（概率论与数理统计专业论文）λ模糊测度在信息度量中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 模糊数学理论在信息论有着较好的应用，所以两个理论的结合一直以来是倍受关注 的课题 香农于1 9 4 8 年发表的通信中的数学理论一文中，用概率的方法给出了信源、信 道的数学模型，并对信息做出了定量的规定，称信息量为信息，并用熵来表示这一论 文的发表，标志着信息科学的创立其中采用经典测度一概率测度对信息量大小进行度 量，本文打破传统的度量方式，采用a 一模糊测度对信源进行度量，引入了相应的度量 熵，并研究了它的性质 本论文的内容如下： 1 第一章介绍了经典集合，并通过打破经典集合的非此即彼性引出模糊集合，并对模糊 集具有的性质做了简单的介绍，模糊集已不满足补余律 2 第二章介绍了模糊测度，并针对零可加性、自连续性、一致自连续性、零上连续性等 性质在模糊测度上进行讨论同时给出了几种特殊的模糊测度 3 在第三章，我们着重对入一模糊测度进行研究，这一测度不仅满足模糊测度所具有的 性质，同时还有其它较好的性质，可以看成是概率测度的推广；最后研究了a 一模糊 测度与其他几种模糊测度之间的联系及相互间的转换 4 在第四章，我们新定义了a 一模糊熵，a 一模糊相对熵以及a 一模糊互信息，针对这 种新定义的熵着重研究了它的一些性质：对称性、凸性等，并研究了该种熵与新定义 的a 一模糊条件熵和入一模糊互信息之间的关系 关键词：模糊集；模糊测度；a 一模糊测度；a 一模糊熵；a 一模糊条件熵 入二模糊测度在信息度量中的应用 a p p l i c a t i o n so fa - f u z z ym e a s u r et oi n f o r m a t i o nm a g n i t u d e a b s t r a c t a sf a ra sw eh a v ek n o w n ，f u z z ym a t h e m a t i c si sa l w a y sw i d l ya p p l i e di ni n f o r m a t i o n t h e o r y i n m a t h e m a t i c a lt h e o r yi nc o m m u n i c a t i o n ，p u b l i s h e da t1 8 4 8b yc e s h a n n o n ， t h ef o u n d e ro fi n f o r m a t i o nt h e o r y , t h em o d e lo fi n f o r m a t i o ns o u r c ea n di n f o r m a t i o n c h a n n e lw a sg i v e nb yp r o b a b i l i t ym e t h o d ，a n dt h ea m o u n to fi n f o r m a t i o nw a sq u a n t i f i e d w i t he n t r o p y t h er e l e a s eo ft h ep a p e rm a r k e dt h ee s t a b l i s h m e n to fi n f o r m a t i o ns c i e n c e t r a d i t i o n a l l y , p r o b a b i h t ym e a s u r ew a su s e dt om e a s u r ei n f o r m a t i o ns o u r c eb ys h a n - n o n d i f f e r e n c ef r o mi t ，a - f u z z ym e a s u r ei si n t r o d u c e dt om e a s u r ei n f o r m a t i o ns o u r c ei n t h i sp a p e r o nt h eb a s i so fn e wm e t h o d ，t h ep r o p e r t i e so fa - f u z z ye n t r o p yd e f i n e da r e e x p l o r e d ；f u r t h e r m o r e ，ar e l e v a n te x a m p l ei sp r o v i d e d t h ec o n t e n t so ft h i sp a p e rc a nb es u m m a r i z e d ： 1 i nc h a p t e r1 t h ef u z z ys e ti si n t r o d u c e db yb r e a k i n gt h ep r o p e r t yo fo n eo rt h eo t h e ro f c l a s s i c a ls e t w i t has i m p l ei n t r o d u c t i o na b o u tt h en a t u r eo ft h ef u z z ys e t ，i ti n d i c a t e s c o m p l e m e n t a r yl a w so nc l a s s i c a ls e ti si n v a l i do nf u z z ys e t 2 i nc h a p t e r2 t h en u l l - a d d i t i v i t y , a u t o c o n t i n u i t y , t h eu n i f o r m l ya u t o c o n t i n u i t yo n t h ef u z z ym e a s u r ea r ed i s c u s s e d a n ds e v e r a ls p e c i a lf u z z ym e a s u r e sa r ei n t r o d u c e d a tt h ee n do ft h ec h a p t e r 3 i nc h a p t e r3 ，w ef o c u so nt h ea - f u z z ym e a s u r e ，w h i c hi sn o to n l yp o s s e s st h en a t u r e o ft h ef u z z ym e a s u r e ，b u ta l s op o s s e s so t h e rg o o dn a t u r e t h e r e f o r e ，i tc a nb cs e e n a st h ep r o m o t i o no fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s a n df i n a l l y , r e l a t i o na n di n t e r - c o n v e r s i o n b e t w e e na - f u z z ym e a s u r ea n do t h e rf u z z ym e a s u r e sa r eg i v e n 4 i nc h a p t e r4 w eh a v en e wd e f i n i t i o no fa - f u z z ye n t r o p y , a - f u z z yr e l a t i v ee n t r o p ya n d a - f u z z ym u t u a li n f o r m a t i o n f u r t h e r ，t h ep r o p e r t i e so fa - f u z z ye n t r o p y ：s y m m e t r y , c o n v e x i t y , e t c ，a r ee x p l o r e d ，a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee n t r o p ya n da - f u z z y m u t u a li n f o r m a t i o n ，a - f u z z yr e l a t i v ee n t r o p yi ss t u d i e d k e yw o r d s ：f u z z ys e t ；f u z z ym e a s u r e ；a - f u z z ym e a s u r e ；a - f u z z ye n t r o p y ；a - f u z z y c o n d i t i o n a le n t r o p y 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：公= 劐丝l 趣丕盈避宝兰垒塑： 作者签名：受砬! ! 日期：碰生年l 月羔日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 2 9 大连理工大学硕士研究生学位论文 引言 2 1 世纪的社会是信息的社会，社会的总趋势是社会信息化信息科学与人们的生产、 生活密切相关在生产、科研等众多领域无不涉及到对信息的定量分析、加工及处理 那么，信息到底是什么? 信息论的创始人香农( c e s h a n n o n ) 指出：信息就是用来消除 消息中不确定性的东西香农研究的信息实际上仅包含一种特殊的不确定性，即随机不 确定性，我们称包含此种不确定性的信息为随机信息随着科学技术的发展，人们对信 息的认识早已超出了随机信息的范畴，信息涉及到的系统越来越复杂，其对数学处理方 法的要求也越来越苛刻随机信息的研究源于长期以来人们对通信系统的实践和研究 香农于1 9 4 8 年发表的通信中的数学理论【l 】一文中，用概率的方法给出了信源、信 道数学模型，并对信息做出了定量的规定，称信息量为信息，并用熵表示这论文的发 表，标志着信息科学的创立从此，信息科学就蓬勃地发展起来了香农就将信息论应 用到通信问题中去，取得了辉煌的成就，从而被世人公认为信息论的鼻祖研究随机信 息的数学工具是传统的经典数学，主要有：概率论，数理统计以及随机过程 1 9 6 5 年，美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授提出了模糊集的概念闭，创立了 研究模糊性或不确定性问题的理论方法，经过4 0 年的研究和发展，成为一个充满活力的 数学分支 国内外学者在模糊理论与技术领域作了大量卓有成效的工作，使其得到了迅猛的发 展，这其中的许多探索是具有突破性的，模糊理论与技术的一个突出优点就是能较好的 描述与仿效人的思维方式，总结和反映人的体会与经验，对复杂事物和系统进行模糊度 量、模糊识别、模糊推理、模糊控制与模糊决策等尤其是模糊理论与人工智能在神经网 络的专家系统等方面进行相互结合的研究已涉及到计算机、多媒体、自动控制以及信息 采集与处理等一系列高新技术的开发与利用，并有力地推动了应用科学、决策科学、管 理科学与社会科学的进步随着学术理论体系的不断完善，新成果正在迅速的转变成生 产力，同时促进了社会物质文明水平的不断提高 在模糊理论和模糊技术迅速崛起的今天，对于像概率论这样一个有着广泛应用的经 典学科，在与模糊数学的结合方面虽然已有大量的研究，取得了喜人的成果，但仍有许 多的工作等待深入，比如在模糊数学中建立起随机理论的严格的数学体系事实上，概 率论与模糊理论的结合也是复杂的科技活动所需要的 信息的测度是先将信息抽象为简单集合加以表达，然后测量其发生的可能性信息 的测度与评价方式具有深刻内涵风险( r i s k ) 、不确定性( u n c e r t a i n t y ) 、不明确性( a m - b i g u i t y ) 及其之间的关系与信息测度的演变有着必然联系最初，风险是以概率表征的， 它与概率的客观性相联系风险的测度也是以概率为基础展开的后来，发现有些风险无 法用概率表征，于是出现不确定性近来的发展趋势认为，不确定性是一个泛的概念， 它包括可以知道概率的事件( 即前述风险) 、不明确性以及其它无法用概率表达的( 比如 模糊事件) ，而不确定性会招致风险这样在一定意义下不确定性与风险密切联系不确 1 a 一模糊测度在信息度量中的应用 定性是不可以完全以概率表征的，于是后来出现了用以表征不确定性的容度和模糊测度 等概念，它们极大地扩展了经典概率的表达能力，这使得自2 0 世纪7 0 年代以来，在诸 多研究领域中出现了以模糊测度解释信息不可加性问题的研究主流它们反映了实际信 息之间的交叠，互补甚至冲突的现象，克服了概率测度的有限可加性 【3 】 2 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 模糊集合 1 1 经典集合与模糊集合 1 9 世纪末，德国数学家g c a n t o r 首创集合论，并迅速渗透到各个数学分支，对于 数学基础的奠基有着重大贡献1 9 6 5 年，美国计算机与控制理论专家l a z a d e h 第一 次提出了“模糊( f u z z y ) ”等概念，对c a n t o r 集合做了有益的推广，受到广泛重视，迄 今已形成一个较为完善的数学分支，且在很多领域中获得了卓有成效的应用，并取得了 明显的成果和经济效益 在一个实际问题中，将考虑对象的全体称为一个基本集合，或论域，通常以x 记之， x 中的对象称为元素 对于一个经典集合a ，空间中任意元素z ，要么z a ，要么x 量a ，二者必居其一， 这一特征可用一个函数表示为， 心( z ) 即为集合a 的特征函数 从特征函数的角度来看，经典集合是一个分明集合，它对应着二值逻辑从实际问 题来讲，二值逻辑并不能完全反映实际情况，比如“张三是年轻人，李四是老年人”就不 能反映在二值逻辑中张三目前是3 0 岁，是否为年轻人? 李四目前是6 0 岁，是否为老 年人? 如果张三是年轻人，那么再过一年是否还是年轻人? 如果仍为年轻人，一直下去 就可能导致李四也是年轻人的荒唐结论在这里“年轻人”和“非年轻人”，“老年人” 和“非老年人”没有明确的界限，为了描述这种不分明状态，需要扩充特征函数为隶属 函数所谓x 上的隶属函数是指x 到【0 ，1 的映射，它代表的是一个模糊集 1 4 】 定义1 1 1 z 【o j 设a 是论域x 到f o ，1 的一个映射，即 a ：x _ 0 ，l 】，zha ( x ) 称4 是x 上的模糊集，a ( x ) 称为模糊集a 的隶属函数( 或称为z 对模糊集a 的隶属 度) 1 2 模糊集的基本运算与性质 定义1 2 1 【2 】设a ，b 厂( x ) ，若v x x ，4 ( z ) b ( z ) ，则称b 包含a ，或a 被包含 于b ，并记为a b ，或b 三a j 而比x ，a ( x ) = b ( z ) ，则称a 与b 相等，记为a = b 若a b ，但a b ，则称b 真包含a ，或a 被真包含于b ，并记为acb ，或b ) a 3 a a g z z 1 o ，、一一 i l z畅 a 一模糊测度在信息度量中的应用 按照定义1 2 1 ，下面的定理是显然的 定理1 2 1 1 2 】设a ，b ，促厂( x ) ，则下列各式成立： ( 1 ) 有界性仍sa x ( 2 ) 自反性a 4 ( 3 ) 反对称性asb ，b a 兮a = b ( 4 ) 传递性4 b ，b c 号月c 定义1 2 2 【矧设a ，b 厂( x ) ，分别称模糊集月ub ，anb ，aob ，a p b ，a b 为a 与 b 的并，交，和，联，差，而称模糊集a 。为月的补集或余集其中v ：r x ， ( 1 ) ( aub ) ( z ) = m a x a ( x ) ，b ( z ) ) = a ( x ) vb ( z ) ( 2 ) ( anb ) ( z ) = m i n a ( x ) ，b ( z ) ) = a ( x ) ab ( z ) ( 3 ) ( 4ob ) ( z ) = r a i n 1 ，a ( x ) + b ( z ) ) = la ( a ( x ) + 召( z ) ) ( 4 ) ( a 护b ) ( z ) = m a x o ，a ( x ) + b ( z ) 一1 ) = 0v ( a ( x ) + b ( z ) 一1 ) ( 5 ) ( a b ) ( z ) = m a x o ，a ( x ) 一b ( z ) ) = 0v ( a ( x ) 一b ( z ) ) ( 6 ) ( a c ) ( z ) = 1 一a ( x ) 定理1 2 2 2 】设a ，b 厂( x ) ，则厂( x ) 上的u ，n ，c 运算具有下列运算规律： ( 1 ) 幂等律aua = a ，ana = a i ( 2 ) 交换律4ub =bua ，anb=bna i ( 3 ) 结合律au ( b uc ) = ( aub ) t jc ，au ( bnc ) = ( anb ) n c ； ( 4 ) 分配律4u ( b nc ) = ( aub ) n ( au c ) ，an ( b uc ) = ( anb ) u ( an c ) j ( 5 ) 吸收律au ( a nb ) = a ，an ( aub ) = a j ( 6 ) 复原律( a c ) c = a j ( 7 ) 两极律au 仍= a ，and = 仍，aux = x ，anx = a i ( 8 ) 对偶律( aub ) 。= a 。nb c ，( anb ) 。= a cub c 定理1 2 2 中的( 4 ) ，( 8 ) 可以推广到一般的情形设b t 厂( t ) ，则有 ( 4 ) 么u ( nb t ) = n ( a ub t ) ，an ( ub t ) = u ( anb t ) ( 8 ) ( ub t ) 。= u 研，( ub t ) c = u 磁 与经典集合比较，对模糊集合，补余律不成立，即aua c = x ，ana 。= 仍不真 定义1 2 3 i 卅设a ，b e 厂( x ) ，分别称模糊集 a b 全anb 。，aab 全( anb c ) u ( a 。nb ) 为a 与b 的差和对称差 显然，v z x ，有 a b ( x ) = a ( x ) a ( 1 一b ( z ) ) aab ( z ) = ( a ( x ) a ( 1 一b ( z ) ) ) v ( ( 1 一a ( z ) ) a b ( z ) ) 4 大连理工大学硕士研究生学位论文 2 模糊测度 2 1模糊测度的定义及性质 在大量的实际问题中，对于一个事物的评价和测量是不确定的这不仅是因为客观 上许多事物缺乏清晰性、没有明确的含义，而且评价与测量都是由人去完成的，它受到 人的经验、知识及工具的限制，本身也是不确定的比如一些专家判断某病患者是否有 某种病，可能会有一些专家认为患者患有此种病，也会有某些专家认为患者未患有此种 病这不仅因为患病的证据不充分，还在于每个专家有着不同的经验和知识这样专家得 出患有或未患有此种病时也不是肯定的，而是可能性更大一些，或者可能性更小一些 此时关心的是在某些症状的证据下，各种疾病发生的可能性或信任程度，这是一种不确 定性测度，称为模糊测度【，】 定义2 1 1 【8 】设x 是非空集合， 召尹( x ) ，满足： ( 1 ) x 1 3 ； ( 2 ) a 召号a 。召j o o ( 3 ) a 竹b ( n = 1 ，2 ) jua n 召j 称召为盯域，并称( x ，召) 为可测空间 定义2 1 2 1 9 1 1 0 1 1 设( x ，召) 为可测空间，集函数p ：b _ 0 ，o 。) 满足条件： ( 1 ) p ( 仍) = o ； ( 2 ) ( 单调性) ，b e 召，a b = 争p ( a ) 肛( j e 7 ) ； ( 3 ) ( 下连续性) a n 召( n = 1 ，2 ，) ，a 1 a 2 冬a n ，有 o o l i mp ( a ) = p ( 【ja n ) ( 4 ) ( 上连续性) a n b ( n = 1 ，2 ) ，a 12a 22 2a n ，2 - 3 n o ，使，z ( 4 加) 。c ，有 舰p ( 钆) = p ( n a n ) n + o 。 i- n = 1 则称p 为召上的一个模糊测度( f u z z ym e a s u r e ) 称( x ，8 ，p ) 称为模糊测度空间( f u z z y m e a s u r es p a c e ) m 4 ( x ) 表示( x ，4 ) 上的所有模糊测度集 如果p ( x ) = 1 ，称为正则模糊测度 定理2 1 1 吲概率测度是正则的模糊测度 定义2 1 3 【“】 ( x ，召) 为可测空间， p ：召_ 0 ，。) ，若v e ，f 召，t l ( f ) = 0 ，enf = 仍令肛( euf ) = p ( e ) 则称肛是零可加的 定理2 1 2 【上叫设( x ，召，p ) 为模糊测度空间，则下列命题等价 5 入一模糊测度在信息度量中的应用 ( 1 ) p 是零可加的； ( 2 ) p ( p ) = 0 = 争u ( e uf ) = p ( e ) ( v e ，f 召) i ( 3 ) p ( p ) = 0 兮p ( e ，) = u ( e ) ( v e ，f 召) j ( 4 ) p ( f ) = 0 令p ( e f ) = 弘( e ) ( v e ，f 召) ，这里e k b = ( e f ) u ( f e ) 为对称 差； 模糊测度不一定是零可加的 定理2 1 3 【上；3 1 设p 是( 五8 ) 上零- j - 加的模糊测度，a 召，对降序列 b n ) 1 3 ( b 12 岛2 ) 若p ( 玩) _ 0 ，则 ( 1 ) 肛( a b n ) _ p ( a ) j ( 2 ) 当t l ( a ) 0 ，j 6 = 6 ( ) ，v a ，b 嚣，p ( b ) 6 ，有p ( a ) 一e p ( a b ) u ( a ) + ，则称 弘为一致下自连续； ( 3 ) 若肛一致上自连续且一致下自连续，则称肛为一致自连续 定理2 1 6 f l 铆若( x ，召) 上集函数是一致上( 下) 自连续的，则它是上( 下) 自连续 定理2 1 7 【j - 翻 若z 是( x ，召) 上模糊测度，则下列命题等价： ( 1 ) p 为一致自连续； ( 2 ) p 为一致上自连续； ( 3 ) z 为一致下自连续； ( 4 ) 垤 0 ，j 巧= 6 ( ) ，v a ，b 召，u ( b ) 6 ，有i i l ( a z b ) 一肛( a ) l g i 定义2 1 6 1 刁 设( x ，召) 为可测空间，p ：召一【o ，o 。) ，若v 玩) b ，b 12b 22 ， 当存在i , 0 ，v n 佗o ，肛( b n ) o 。，且nb n = d 时，恒有p ( 风) _ o ，则称p 为零上连 6 大连理工大学硕士研究生学位论文 续 定理2 1 8 【1 3 1 设p 是( x ，b ) 上非负单调增集函数，且零上连续，则 ( 1 ) 若p 是上自连续，则p 是上连续； ( 2 ) 若p 有限且下自连续，则弘是下连续； 定理2 1 9 【8 】设p l ，肛2 m a ( x ) ，a a 如果定义p 1up 2 ，肛1f lp 2 如下： ( p 1u p 2 ) ( a ) = m ( a ) v p 2 ( a ) ( p 1f lp 2 ) ( a ) = p 1 ( a ) ap 2 ( a ) 贝1 jt 2 1up 2 ，肛1n ，上2 m a ( x ) 在m 4 ( x ) 上定义序关系：，上1 p 2 当且仅当v a 4 ，p 1 ( a ) p 2 ( a ) 定理2 1 1 0 8 1设，上是可测空间( x ，a ) 上的模糊测度则m ，b a ， a n l 礼n ) 4 ， 有： ( 1 ) u ( a ub ) p ( a ) v ，上( b ) ，上( anb ) 弘( a ) ap ( b ) ； ( 2 ) 肛( ua n ) vp ( a n ) ，p ( na 他) 八p ( a n ) ； n = ln = ln = 1n = l 经典测度论中研究的测度是具有可加性( 可列可加性) 的1 1 4 l ，它是客观世界中长度、 面积、体积、质量( 习惯称为重量) 等重要概念的一种抽象然而，随着对客观事物的更 广泛、更深刻的认识，建立非可加测度的一般理论也是必要的模糊测度就是一种非常 重要的非可加测度，它是菅野道夫提出，后经d a 拉列斯库等推广了的形式【均】 较之经典测度，非可加测度失去了经典测度论中赖以得到许多重要结论的可加性 因此为将可加测度的某些重要结论推广到模糊测度的情形【l b 】，人们自然要对模糊测度再 附加一些条件【1 7 】【1 8 1 2 2 几种特殊的模糊测度 定义2 2 1 1 9 设x d ，a 尹( x ) ，口x 是固定的，m ：p ( x ) _ o ，1 ) ，且对于任 意a a ，满足 m c a ，= 三：三喜三 则称m 为平凡模糊测度 由模糊测度的定义直接验证可得以下定理 定理2 2 1 【8 】平凡模糊测度是模糊测度 定义2 2 2 【l9 】设x 是有限集，称b e h a _ 0 ，1 为信任测度，若： ( 1 ) b e t ( o ) = 0 ，b e l ( x ) = 1 ； ( 2 ) a ，b a ，b e l ( aub ) b e t ( a ) + b e i ( b ) 一b e i ( a nb ) 7 入一模糊测度在信息度量中的应用 由( 2 ) 可得 c a a ，b e l ( a ) + b c l ( a 。) 1 这一事实说明，由“z a 不大可信” 这一命题，不能得出“z a 。就很可信”的结论并且由( 2 ) 还可以得到： v a l ，a 2 ，a 仇a mm b e l ( ua k ) b e l ( a k ) 一b e l ( a kna 1 ) + k = lk = lk l 显然，信任测度是模糊测度 m ( 一1 ) r n - 1 b e l ( na 知) k = l 定理2 2 2 8 】设m ：a 一【o ，1 】满足： ( 1 ) m ( o ) = o ； ( 2 ) m ( m ) = 1 则b e l ( b ) =m ( a ) 是信任测度 a c _ b a 一4 定义2 2 3 1 1 9 1 设x 是有限集，称p i ：a _ 【o ，1 】为似然测度，若： ( 1 ) p l ( o ) = 0 ，p l ( x ) = 1 ； ( 2 ) a ，b a ，p l ( a ub ) p l ( a ) + p i ( b ) 一p l ( anb ) 由( 2 ) 可得v a a ，p l ( a ) + p l ( a 。) 1 ，并且由( 2 ) 还可以得到：v a l ，a 2 ，a m 4 mm m p f ( ua k ) p l ( a k ) 一p l ( a kf1a 1 ) + ( 一1 ) m - 1 p z ( i , - ia k ) 显然，似然测度是模糊测度 定义2 2 4 9 】：4 _ o ，1 称为可能性测度，若： ( 1 ) n ( o ) = 0 ，n ( x ) = 1 ； ( 2 ) ( ua n ) = vn ( a n ) n = ln = l 定义2 2 5 【9 】：4 _ o ，1 称为必然性测度，若： ( 1 ) n ( 0 ) = 0 ，n ( x ) = 1 ； ( 2 ) ( na n ) = 八n ( a n ) 8 大连理工大学硕士研究生学位论文 3 足模糊测度 3 1入一模糊测度的定义及性质 定义3 1 1 1 1 2 2 0 给出可测空间( x ，召) ，令g a ：b _ o ，) 满足： ( 1 ) 存在e 召，锄a ( e ) o o ( 2 ) ( a 一律) ：纵( 月ub ) = 夕a ( a ) + 纵( b ) + a 夕a ( a ) 纵( b ) ( a f lb = d ) ( 3 ) ( 下连续) ：月1 冬a 2 a n 令l i m 纵( a n ) = 纵( ua n ) ( 4 ) ( 上连续) ：a 12a 2 2a n ，2 - 3 n o ，v n n o ，纵( a n ) 一志，则甄为模糊测度 定理3 1 2 i 上叫设肌为入一模糊测度，a = 0 ，若鲰( x ) o 。，则纵为测度；若 纵( x ) = 1 ，则纵为概率测度 定理3 1 3 【8 】 设( x ，b ) 为可测空间，纵：召_ 【0 ，。) ，则叭为a 一模糊测度的充分必 要条件是： ( 1 ) s e 舀，使纵( e ) o o ( 2 ) 若a n 召( n = 1 ，2 ) ，两两不交，则 引吵 戮蛔“九”。1 1 兰 1 ， 证明 ( 必要条件) ( 只要证明( 3 1 ) 成立) ( 1 ) 若a = 0 ，由定理3 1 2 ，即可证明仃一可加性 ( 2 ) 设 a n ) a ，且ana j = o ( i j ) ，则当a 0 时 纵( a 1ua 2 ) = 纵( 4 1 ) + 纵( a 2 ) + a 纵( a 1 ) 仇( a 2 ) = 去 ( 1 - - i - - a 夕a ( a 1 ) ) ( 1 + a 9 a ( a 2 ) ) 一1 由数学归纳法，v n 2 ，恒有 纵( ua 豇) = 去【( 1 + a g a ( a 七) ) 一1 】 k = lk = l 9 a 一模糊测度在信息度量中的应用 由纵的连续性，得 纵( u 厶) = 妄 ( 1 + a 纵( 如) ) 一1 】 n = ln = l ( 充分条件) ( 1 ) 若a = 0 ，则由( 3 1 ) 知，纵具有盯一可加性，因而具有a 一律及上下连续性， 所以夕入使片模糊测度 ( 2 ) 若a 0 , v a ，b b ，anb = 移，令a 1 = a ，a 2 = b ，a 托= d ( 死3 ) ，按( 3 1 ) 夕a ( aub ) =射( 1 + 入纵( a ) ) ( 1 + a 纵( b ) ) 一1 = 纵( a ) + 纵( b ) + a g z ( a ) g ) 。( b ) ( 3 ) 若入0 ，对v a n b ，a 1 a 2 a n ，令b a = a 1 ，风= a n a n - 1i t 2 ) 则最两两不交，且u 反= ua 订，a 礼= ub k ， n 鲰( a n ) =鲰( ub k ) k = l 令l i m 纵( a n ) n + o 。 n = 去【兀( 1 + 入9 a ( b 詹) ) 一1 】 k = l o o = 去 兀( 1 + 入夕a ( b 七) ) 一1 】 k = l 则纵( ub k ) = 纵( ua n ) ，即纵满足下连续性 k = ln = l ( 4 ) 若a 0 ，对a n b ，a 12a 2 2a n2 ，令a = na n ，b n = 如a n + 1 ( 竹= 1 ，2 ) ，则b 几两两不交，4nb = d ，且a n = au ( ub k ) ，由( 3 1 ) 知， 夕a ( a n ) = 妄【( 1 + a 夕a ( a ) ) i i ( 1 + 入纵( b 七) ) 一1 】 、 兮1 + a g a ( a n ) = ( 1 + 概( a ) ) ( 1 + 入纵( 鼠) ) 若存在n o ，v n n o ，鲰( 厶) 0 时，1 + a g i 1 ( i = 1 ，2 ) ，则v a p ( x ) ， i i ( 1 + a g t ) i i ( 1 + a q d = 1 + 入 玉t a i = 1 兮纵( a ) = 妄( 1 + 概) 一1 1 a 一模糊测度在信息度量中的应用 当1 一 入 0 时，0 一1 ) 是仃代数a p ( x ) 上的a 一模糊测度，则： ( 1 ) 鲰( b a ) = 舛鲁瓣，特别地，4 冬b 令甄( b a ) = 纠渊 ( 2 ) g x ( a 。) = i 1 + - 知9 1 。( ( a a ) t ( 3 ) 若h ：a _ 0 ，l 】，且h ( a ) = 1 一g x ( a 。) ，v a a ，p = 斋，则h 是a 模糊测度 证明 ( 1 ) 因b = ( b i 1a ) u ( b a ) ，( bna ) n ( b a ) = 移，我们有 g x ( b ) = g x ( bna ) + g x ( b a ) 1 + a 纵( bn4 ) 兮鲰( b 4 ) = ( 2 ) 由于ana c = d ，则 1 = g x ( x ) = 纵( a ) + 夕a ( a c ) + 入9 a ( a ) 9 a ( a 。) 即( 2 ) 式得证 ( 3 ) 因h ( x ) = 1 一g x ( x c ) = 1 一g x ( o ) = 1 ，由纵的连续性知h 的连续性 h ( aub ) = 1 一夕a ( ( 4 ub ) c ) = 1 一再1 - 面g , x 忑( a 而u b 可) = 1 一i 1 + - 蛔g 。( ( a a ) 7 + 1 一r 1 - 赢g 丽1 ( b ) 一f b 可墨去等瓷黄褊 = h ( a ) 十h ( b ) + p ( a ) 无( 曰) 由入 一1 知，p = 斋 一1 定理3 1 5 【8 】 设a ，b a ，纵是a 上的a 一模糊测度，则有 肌( au b ) = 型业等罴等铲幽趔 1 2 大连理工大学硕士研究生学位论文 定理3 1 6 【13 】设x = z l ，z 2 ，z n ) 是有限集， 纵是p ( x )