（概率论与数理统计专业论文）集值与模糊集值随机变量的choquet定理.pdf

摘要 随机集是统计中关于粗糙数据的数学模型m a t h e r o n 在 1 5 】中建立了 h l c s c ( 局部紧，h a u s d o r f f 的第二可数) 空间上的随机闭集理论并讨论了它的 应用，c h o q u e t 定理在统计应用中起着关键作用在过去的几十年里，人们 感兴趣的是将经典统计推断的应用范围扩大到不确定的数据，其中不确定数 据可以是集合也可以是模糊集合，例如，基于信息的感知可被模型化为模糊 集基于此，本论文对集值与模糊集值随机变量的c h o q u e t 定理进行了研究 研究内容分成三部分( 一) 引入了集值，模糊集值随机变量的概念，随机集 的产生背景以及模糊集合的理论给出了一些相关的定理以及性质这些理 论与概念是本文研究的基础( 二) 首先，介绍了h i t o r - m i s s 拓扑的构造形 式，表示方法以及重要性质接着给出了容度泛函的定义和一些重要性质最 后介绍了p o l i s h 空间上c h o q u e t 定理的相关内容( 三) i l y am o l c h a n o v 在 他的著作随机集理论中介绍了集值c h o q u e t 定理并给出了详细的证明 对于模糊集值随机变量的分布及c h o q u e t 定理，h u n gt n g u y e n ，y u k i oo g u r a 分别在 2 3 】中进行了研究，但都未给出c h o q u e t 定理的具体表述以及详细证 明本文是在集值随机变量的c h o q u e t 定理的基础之上做的进一步研究由于 随机模糊集可由与它相对应的随机超图像来表示，我们将集值随机变量的一 些结论推广到了乘积空间上，介绍并证明了乘积空间上几个有用的引理，在 此基础上给出了随机上半连续函数的c h o q u e t 定理并给出了定理的详细证明。 定理 关键词：集值随机变量模糊集值随机变量上半连续函数c h o q u e t 4b s t r a c t r a n d o ms e t sa r em a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rc o a r s ed a t ai ns t a t i s t i c s at h e o r y o fr a n d o mc l o s e ds e t so nh a u s d o r f f , l o c a l l yc o m p a c ta n ds e c o n dc o u n t a b l es p a c e s ( h l c s c ) i se s t a b l i s h e da n di t sa p p l i c a t i o n sw e r ea l s os t u d i e di nm a t h e r o n 15 】i n w h i c ht h ec h o q u e tt h e o r e mi sc r u c i a lf o rs t a t i s t i c a la p p l i c a t i o n s 。i nt h ep a s tt w o d e c a d e si n t e r e s t sw e r eo ne n l a r g i n gt h ed o m a i no fa p p l i c a b i l i t yo fs t a n d a r ds t a t i s t i c a li n f e r e n c et oi m p r e c i s ed a t as u c ha sp e r c e p t i o nb a s e di n f o r m a t i o nw h i c hc a nb e m o d e l e da sf u z z ys e t s ，w h e r ei m p r e c i s ed a t ai ss e t so rf u z z ys e t s 。i nt h i sp a p e l w es t u d yt h ep r o b l e ma b o u tc h o q u e tt h e o r e mf o rs e t - v a l u e da n df u z z ys e t - v a l u e d r a n d o mv a r i a b l e t h ep a p e rc o n s i s t so ft h e r ep a r t s ( 1 ) w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t o fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ，f u z z ys e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ，t h eb a c k g r a n do f r a n d o ms e ta n dt h e o r ya b o u tf u z z ys e t s t h ep a p e ri sb a s e do nt h e s et h e o r e m sa n d c o n c e p t s ( 2 ) f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no f t h eh i t o r - m i s st o p o l o g y , i t s r e p r e s e n t a t i o na n ds o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e s s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t o fc a p a c i t yf u n c t i o n a la n ds o m ep r o p e r t i e s f i n a l l y , w ei n t r o d u c es o m ec o n t e n t s a b o u tc h o q u e tt h e o r e mo np o l i s hs p a c e s ( 3 ) i nt h eb o o ko ft h et h e o r yo fr a n d o m s e t s ，i l y am o l c h a n o vh a si n t r o d u c e dt h ec h o q u e tt h e o r e mf o rs e t v a l u e dv a r i a b l e s a n dg i v e nt h ep r o o fo ft h et h e o r e mf u l l y h u n gtn g u y e n ，y u k i oo g u r ah a v e s t u d i e dt h ep r o b a b i l i t ym e a s u r ea n dc h o q u e tt h e o r e mf o rf u z z ys e t - v a l u e dr a n d o m v a r i a b l ei nt h ep a p e r s 【2 】【3 】，b u t 氇e yd i dn o tg i v et h er e p r e s e n t a t i o no fc h o q u e t t h e o r e ma n di t sc o m p l e t ep r o o f t h i sp a p e ri sb a s e do nt h et h e o r e mf o rs e t v a l u e d v a r i a b l e s 。b e c a u s er a n d o mf u z z ys e tc a nb er e p r e s e n t e db yt h ec o r r e s p o n d i n gr a n d o m h y p o g r a p h ，w ew i l le x t e n ds o m el e m m a so fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l et ot h e p r o d u c ts p a c e s 。f i r s t l y , w ei n t r o d u c es e v e r a lv e r yi m p o r t a n tl e m m a s o nt h ep r o d u c t s p a c e s ，a n dt h e nw eg i v et h ec h o q u e tt h e o r e mf o ru p p e rs e m i c o n s c i o u sf u n c t i o n s i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 a n dt h ep r o o fo ft h et h e o r e mi si n c l u d e d k e y w o r d s ：s e t ? v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ；f u z z ys e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ； u p p e rs e m i c o n t i n o u sf u n c t i o n s ；c h o q u e tt h e o r e m i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 貅僻日期选出型 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：卒现蒸午一导师签名 参 | 麂k 缅日期：盟：型 第l 章绪论 第1 章绪论 本文主要研究集值与模糊集值随机变量的容度泛函的性质及容度泛 函的c h o q u e t 定理，在阐述本论文的思想和方法之前，首先回顾一下集值 随机变量( 也称为随机集) ，模糊集合理论以及模糊集值随机变量的一些 知识 1 1 集值随机变量 随机集的引进，首先来源于经济系统与控制系统的需要例如在经 济系统中，消费计划，预算和供给，生产计划等都是商品空间的集合。 为了要研究经济系统的均衡问题必须研究取集值的映射和取集值的集 函数，因为在经济系统中有不可忽视的人的动因产生的不同效应1 9 6 4 年，r j a u m a n n 与k v i n d 从经济系统理论的研究出发，提出了两种不 同的观点r j a u m a n n 从单个动因的效应出发引进了集值映射，而k v i n d 从群体动因的效应出发，引进了集值集函数1 9 7 2 年，g d e b r e u 与 d s c h m e i d l e r 研究了集值函数的r a d o n n i k o d y m 导数，指出了两种观点的 内在联系，即群体动因的效应是个体动因效应的总积累 集值随机变量不是通常的取值为数值，而是取值为1 1 维欧氏空间或 b a n a c h 空间上的集合为值的随机变量，它既描述了客观事物所具有的随 机性，又描述了事物状态的多值性以集值随机变量为基础建立起来的 集值随机分析是现代应用概率的一个具有活力的新分支，有其深刻的实 际背景二十世纪中叶，以g d e b r e u 等为代表的一大批经济学家研究 了经济中的不确定性这不仅是经济问题数量化研究的一次重大突破， 也为现代概率的研究提出了新的课题这里的不确定性包括两个方面， 即市场经济中客观上影响经济因素变化的随机性和具有一定资产的投 资者投资方式的多样性这一现象反映到数学上为一般集值随机变量问 北京工业大学理学硕士学位论文 题由于d e b r e u 把这两种不确定性用量化形式描述出来，应用现代数学 手段，建立了经济模型的一般理论，使他在1 9 8 3 年获得了诺贝尔经济学 奖值得一提的是d e b r e u 所提出的相关数学概念与使用的方法( 如【2 2 ) 和r j a u m a n n 引进的a u m a n n 积分( 5 】) 推动了集值随机变量理论的发 展近4 0 多年来许多数学工作者进行了深入的研究，得到了一批非常精 彩的结果例如，法国学者b v a nc u s t e m ( 5 0 ) 在1 9 6 9 年提出了紧凸集值 鞅的概念；日本的h i a i 与u m e g a k i ( 4 8 ) 在1 9 7 7 年给出了一般的集值随机 变量的条件期望的概念；7 0 至9 0 年代法国的n e v e u ( 5 1 ) 、h e s s ( j 4 9 ) ，越 南的l u u ( 2 6 【2 7 】【2 8 ) ，美国的p a p a g e o r g i o u ( 3 8 ) ，北京工业大学的l i 与日 本的o g u r a ( 1 3 】 1 4 】) 分别在不同的条件下讨论了集值鞅、上鞅与下鞅的收 敛性西安交通大学的张文修教授( 【5 2 】) 、华东师大的汪荣明教授( 【2 9 】) 分别在一般集值随机过程的表示定理与集值平稳过程的研究中得到精彩 的结果美国的t a y l o r 与日本的i n o u e 等人( 3 9 4 1 】) 研究了集值随机变量 序列的大数定律与中心极限定理 下面我们给出与本论文有关的关于集值随机变量的相关概念的结 论 我们假设( 芏，1 1 ) 为b a n a c h 空间，记 p ( x ) = a 戈：a 为芏的所有子集 ， p o ( 芰) = a 芰：a 为非空子集) ， k ( 笑) = a 芰：a 为非空闭子集) ， k k ( a ；) = a 芏：a 为非空紧子集) ， k 七。( 王) = a 芏：a 为非空紧凸子集 2 第1 章绪论 定义1 1 1 设x 芏，a ，b p o ( x ) ，称 为x 到a 的距离，定义 d ( x ，a ) = i n l iz y d h ( a ，b ) = m a x s u p z a d ( x ，b ) ，s u p s d ( y ，a ) ) ， 称妇( a ，b ) 为a ，b 间的h a u s d o r f f 距离 设( q ，4 ) 为可测空问，芏为度量空间设9 为笺中全体开集，b ( x ) m - - - - o ( a ) 称作芏上的b o r e l 代数，称axb ( x ) = a axb ：a a ，b 召( 王) ) 为qx 芏上的乘积o r 代数，而称( qx 芏，axb ( 芏) ) 为乘积可测空间任给 acg tx 芏，a 在q 上的投影定义为 p r n ( a ) = o ) ( 这里 c l 表示集合的闭包) 容易验证，对任意的模糊集v ，它的水平截集具有下面的性质： ( 1 ) 7 3 0 = 芏； ( 2 ) o z p 号坳cv a ； 一7 一 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 3 ) u o = nu 口； ( 4 ) ( u 1vv 2 ) q = u q luu 。2 ，( u 1av 2 ) a = u 口1nu ：； 这里口，v 1 ，u 2 厂( 芏) ，q ，p 【0 ，l 】 显然，模糊集合的水平截集是普通集合这样有了水平截集的概念 后，就可以将模糊集合与普通集合联系起来下面的分解定理告诉我们， 模糊集可以由它的水平截集来表示 定理1 2 3 ( 【1 2 】) 如果 厂( 芏) ，并且 u q ：o t 【0 ，1 1 是 的水平截集 族，那么对任意的z 笺，我们有 u ( z ) = s u p 【a l 。( z ) 】= s u p q l 。( z ) 】， a e o ，1 】a e q n o ，1 l 其中q 是有理数全体实际上，普通集合族在一定的条件下也可以确定 一个模糊集合，下面的一个定理给出了确定方法 定理1 2 4 ( 【1 2 ) 地：o t 【0 ，1 】) 是一族非空集合，满足： ( 1 ) i o = 芏； ( 2 ) q p 净 缸) m 舀； ( 3 ) 厶= n 口 o ) 是紧的 对于任意的两个模糊集u 1 ，u 2 n ( 芏) ，我们称u 1 u 2 当且仅当v q 【0 ，1 】，v 。1c q 2 定义1 2 5 称模糊集v n ( 笺) 是凸的，如果它满足对任意的z ，y 笺，入【0 ，1 1 ， u ( 入z + ( 1 一入) 可) m i n v ( x ) ， ( ) ) 这种定义首先是在文章【4 5 】中被引进的v 是凸的当且仅当对任意 的q ( 0 ，1 ，水平截集是凸集( 【4 6 】，定理3 2 1 ) 记f k 。( 芏) 表示f k ( x ) 中 所有凸模糊集的全体对于任意的u f k ( 3 e ) ，u 的闭凸包历 f k c ( 芏) 是 指满足对任意的o z ( 0 ，1 】，( 劢) 。= 劢a 对任意的两个模糊集1 ，2 ，定义： ( 正，1 + v 2 ) ( z ) = s u p a ( 0 ，1 】：z 1 2 。1 + 。2 ) ，v z 芏 类似地，对于模糊集和实数入，定义 ( 入) ( z ) = s u p a ( 0 ，1 】：z a ) ，v z 芏 1 3 模糊集值随机变量 模糊集值随机变量是美国的p u f f 和r a l e s c u ( 4 7 ) 于19 8 6 年结合集值随 机变量理论与模糊集的思想提出的，同年他们与k l e m e n t 一起还证明了独 立同分布的模糊集值随机变量序列的大数定律与中心极限定理在此基 础上许多研究者都做了大量的研究， 间上证明了模糊集值鞅的收敛定理； 例如：“和o g u r a ( 1 3 ) 在b a n a c h 空 t a y l o r , i n o u e ，l i 和o g u r a ( 3 9 4 l 】 1l 】) 等在不同的假设下研究了独立不必同分布随机变量序列的大数定律；吴 9 北京工业大学理学硕士学位论文 让泉、冯玉瑚、吴丛忻、李洪兴教授等人及其研究组对模糊集值随机序 列的收敛性、模糊集值映射及模糊随机控制进行了研究，得到很好的结 果( 【5 3 【5 4 】【5 5 】 5 6 【5 7 】) 对于模糊集值随机变量的分布及c h o q u e t 定理，h u n gt n g u y e n ，y u k i oo g u r a 分别在【2 【3 】中进行了研究，但都未给出c h o q u e t 定理的具体表述以及详 细证明 1 4 本文主要解决的问题及论文结构 本文主要解决的问题就是：在【2 】【3 的基础之上给出模糊集值随机变 量c h o q u e t 定理的具体表述形式及定理的详细证明具体而言，全文内容 安排如下： 第一章，绪论 本章对相关的概念及背景作了介绍 第二章，h i t m i s s 拓扑，容度泛函以及波兰空间上的c h o q u e t 定理 本章主要是给出h i t o r - m i s s 拓扑的定义，容度泛函的定义、性质及 p o l i s h 空问上的c h o q u e t 定理的相关结论 第三章，随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 本节主要是在集值c h o q u e t 定理的基础之上，写出随机模糊集c h o q u e t 定理的表述以及证明 1 0 - 第2 章容度泛函以及波兰空间上的c h o q u e t 定理 第2 章h i t o r - m i s s 拓扑，容度泛函以及p o l i s h 空间上的 c h o q u e t 定理 本章中我们假设芏是p o l i s h 空间，用k ( x ) 或k 表示由芰的所有闭子 集构成的集类9 ( 芏) ，k k ( 2 ) 分别表示芰的开集类和紧集类 2 1h i t o r - m i s s 拓扑 定义2 1 1 称映射s ：q _ k 为随机闭集，如果对每个紧集kc 芏， 让7 ：st lk 0 ) a 定义2 1 2 ( 1 6 ) 我们称以b = k g h 一，g 。：k k ( 芰) ，g i 9 ( 芏) ，n 0 ) 为子基的拓扑为h i t o r - m i s s 拓扑其中 对a 王，有 k 邕，g 。= k kr - ik c ln nk o 。， k a = f k ：f na = 0 ) ， k a = f k ：fna 0 ) 注记2 1 3 由k a = f k ：fna 0 ) 可以看出，在b 中，当n = 0 时，k g h 一，g 。意味着k k 例2 1 4 特别地，我们取笺是h i l b e r t 空间 f 2 = z = ( z n ) ：忪l l = ( 2 ) ) ， t l = 1 的闭单位球，也就是 芏= z = ( z n ) f z ：i izi i = ( z ：) 1 ) n = 1 北京工业大学理学硕士学位论文 可以知道王是有界的，无限维的p o l i s h 空间，而且芰在任何点都是非局 部紧的( 即笺中不存在有紧邻域的点) 因而，如果我们给由芏上的闭子集 构成的空间k ( x ) 一个m i s s o r - h i t 拓扑，那么空间k 不再是h a u s d o r f f 的 事实上，我们有下面更强的结果 性质2 1 5 ( 1 6 ) 如果戈在任意点都不是局部紧的，那么k 上的m i s s - o r - h i t 拓扑具有下面的性质： k ( x ) 上的任意两个非空开集的交非空 证明假设芏在任何点都不是局部紧的令“，y 是k ( x ) 中的两个非空 开集由m i s s o r h i t 拓扑的定义可知，存在k g 。，g 2 ，g 。c “，k g 。，o ：，o 。c y ，其中， k ，c k k ( 笺) ，且x 寸i = 1 ，2 ，7 , ，j = 1 ，2 ，m ，g i ，q 9 因 为kuc 是紧的，且笺在任意点都是非局部紧的，对i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，m ，存在玑g i ( kuc ) ，勺0 j ( kuc ) 显然有 _ 【可1 ，耽，z 1 ，勿，。m ) k 9 1 ，g 2 ，g 。nk g 。，0 2 ，o 。c 吖nv 因此研ny 仍 2 2 容度泛函 对于戈上的一般的随机闭集s ，有下面的容度泛函的定义： 定义2 2 1 设s ：( q ，4 ，尸) 一k ( x ) 是集值随机变量，由 t s ( k ) = p ( s nk 0 ) = p s ( k k ) ，vk k k ( x ) ， ( ) 给出的泛函t s ：k 惫( 芰) _ 【0 ，1 ，称为由集值随机变量s 生成的容度泛函 注记2 2 2 在没有歧义的情况下，我们将b 简记为t 性质2 2 3 由上面定义的容度泛函丁满足下面的性质： ( 1 ) t ( o ) = 0 ， 1 2 第2 章容度泛函以及波兰空间上的c h o q u e t 定理 ( 2 ) 0 t ( k ) 1 ，k k k ( 笺) ( 3 ) 当上k k k ( x ) 时，t ( k ) 【t ( k ) 容易看出容度泛函t 是单调的，i e 当甄c 飓时，t ( k 1 ) t ( k 2 ) 而且t 满足下面所描述的更强的单调性对于定义在( 紧) 集类的每个 泛函t ，我们可以有下面的逐次差分： ，t ( k ) = t ( k ) 一t ( kuk 1 ) ， ： a k a k 。= 一。a k 。t ( k ) 一七。一，。t ( ku ) 再加上( ) 式我们可以得到 ( 4 ) a k 。k ，t ( k ) 0 由上面的内容我们可以知道，定义在k k ( - ：t ) 上的实值泛函丁如果满 足( 1 ) - ( 4 ) 式，则称作容度泛函换句话说也就是，容度泛函是定义在紧 集k 七( 笺) 上，取值于 o ，1 中，特别的，在空集上取值为0 的泛函，且在 k k ( 3 e ) 上是c o m p l e t e l ya l t e r n a t i n g 的上半连续泛函后面的概念将在第三章 给出 定义2 2 4 ( 对偶容度泛函) 满足 f ( k ) + t ( k 。) = 1 ，vk k k ( 3 e ) 的容度泛函f ，称为丁的对偶容度泛函 性质2 2 5 对偶容度泛函f 满足下面的性质： ( i ) f ( o ) = 0 ，0 f 冬1 ， ( i i ) f 在k k ( x ) 上是a l t e r n a t i n go fi n f i n i t eo r d e r , ( 说) 当lk k k ( 戈) 时，t ( ) t ( k ) 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 定义2 2 6 ( 极大容度泛函) 泛函丁称为极大的，如果对所有的紧集 k 1 ，鲍，有 t ( k 1u 鲍) = m a x ( t ( k a ) ，丁( 鲍) ) 2 3p o l i s h 空间上的c h o q u e t 定理 定理2 3 1 ( c h o q u e t 定理【1 6 】) 令芏是一个p o l i s h 空间泛函 t ：k k ( x ) 一 0 ，1 】，且t ( 0 ) = 0 是芏中随机闭集的容度泛函，当且仅当t 是上半连续的且c o m p l e t e l y a l t e r n a t i n g 在l c s h ( 局部紧，可分，h a u s d o r f 0 空间王上，c h o q u e t 定理有如下的 等价描述 定理2 3 2 令s ：9 _ 0 ，1 】是一个集函数那么存在b ( k ) 上的唯一的 概率测度p ，使得 对每个g 9 ，p ( k g ) = s ( c )( 2 3 1 ) 当且仅当 ( q ) s ( 0 ) = 0 ，0 s 1 ， ( ) s 在夕是a l t e r n a t i n go fi n f i n i t eo r d e r , ( ，y ) 在9 上，如果g n c ( i e 对每个n n ，g n g n + 1 且g = u n 0 0 ：1 g 。) ， 那么t ( g 。) 丁( g ) 一1 4 第3 章随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 第3 章随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 随机集是统计中关于粗糙数据的数学模型m a t h e r o n 在【l o 】中建立 了h l c s c ( 局部紧，h a u s d o r f f 的第二可数) 空间上的随机闭集理论并讨论 了它的应用，c h o q u e t 定理在统计应用中起着关键作用在过去的几十年 里，人们感兴趣的是将经典统计推断的应用范围扩大到不确定的数据， 例如，基于信息的感知可被模型化为模糊集将随机闭集的m a t h e r o n 理论 拓展到随机模糊集，我们考虑隶属函数是上半连续函数的模糊集，即拓 广了的闭集的示性函数因此我们关心取值于空间“( 笺) ( 定义在h l c s c 空间复，取值于单位区间【o ，1 】上的上半连续函数构成的) 的随机元 在这个研究方向上，以前的研究工作限制在紧的随机模糊集上到目 前为止，考虑的最大的模糊集类就是由有紧支撑的上半连续函数构成的 类，尽管容易产生误解的词“模糊集值随机变量”可能给人的印象是：所 有的模糊集可以作为这些随机元的值鉴于随机闭集的m a t h e r o n 理论， 去考虑一般情况下的随机模糊闭集( 没有紧支撑的限制) 是可能的 在文献 1 中，i l y am o l c h a n o w 主要讨论了集值的c h o q u e t 定理， 2 3 中y u k i oo g u r a 给出了不同的拓扑，h u n gt n g u y e n 等则通过研究取值于 单位区间 o ，1 】中的上半连续函数所构成的空间之上的拓扑来严格定义随 机模糊闭集的概念且得到了由随机模糊闭集到积空问中闭集所构成空间 的一个拓扑嵌入，并由此对c h o q u e t 定理进行了严格的研究本章中，我 们以文献【1 【2 【3 的相关结论与结果为基础，讨论随机模糊集的c h o q u e t 定理的表述及证明 15 北京工业大学理学硕士学位论文 3 1 预备知识 在本章中我们假设( q ，4 ，p ) 是完备的概率空问，笺是局部紧的h a u s - d o r f f 的第二可数空间( h l c s c 空间) ，用p 表示由芏的所有子集构成的集 类，k ( x ) 或k 表示由芏的所有闭子集构成的集类，9 ( 芏) ，k k ( 王) 分别表 示戈的开集类和紧集类 定义3 1 1 令口是一个集合类，且对有限并封闭( 也就是，如果m 1 ，m 2 d ，则尬um 1 7 9 ) 定义在口上的实值泛函妒称作c o m p l e t e l ya l t e r n a t i n g 或c o m p l e t e l yu - a l t e r n a t i n g ( 记作妒a ( 7 9 ) 或妒a u ( d ) ) ，如果 a h - 。- a k ，q o ( k ) 0 ，n 1 ，k ，k 1 ，k d ( 3 1 1 ) 如果( 3 1 1 ) 式对所有的佗m 成立，那么妒被称作m a l t e r n a t i n g 由文献 1 的附录e 知，定义在紧集k 七( 芏) 上的容度妒可以很自然的推广到笺的 子集类p 上，仍然保持a l t e r n a t i o n 性，在随机闭集的容度泛函的应用中， 记 丁+ ( g ) = s u p t ( k ) ：k k k ( 2 c ) ，kcg ) ，g 9 ( 3 1 2 ) t + ( a 彳) = i n f t + ( g ) ：g 9 ，g ) m ) ，m p ( 3 1 3 ) 定义3 1 2 函数，：芏_ 【o ，1 】在点z 笺是上半连续的，如果对于 v o l 0 ，1 】，s t f ( x ) 0 ，对所有的y b ( x ，6 ) ，有f ( y ) 0 1 其 中b ( z ，6 ) 是中心在z ，半径为6 的开球 函数在芰上是上半连续的，如果它在每一点。芏都是上半连续 的 上半连续函数的简单刻画：，在芏上是上半连续的当且仅当对vo z 酞， 水平集 z 芰：f ( x ) q ) 是闭集令，：芏_ 0 ，1 】，我们将厂与乘积空间 16 第3 章随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 笺【0 ，1 】上的子集联系起来 ，的超图像h y p o ( f ) = ( z ，q ) 芏【0 ，l 】 o ，( z ) ) ，( f 的上图像e p ( ，) = ( z ，q ) 芰【0 ，1 】：o t ，( z ) ) ) 有了这 种对应关系( 即函数，和超图像h y p o ( f ) ) ，通过集合来研究函数就成为了 可能，因为对于上半连续函数，通过f ( x ) = s u p a ：( z ，0 1 ) h y p o ( f ) ， h y p o ( f ) 可完全的表示，可以证明h v p o ( y ) 是h l c s c 乘积空间芏【0 ，1 】 的闭子集 定理3 1 3 ( 【2 】) 上半连续函数厂的超图像h y p o ( f ) 是h l c s c 乘积空间 芏【0 ，1 】的闭子集 定理3 1 4 ( 2 ) 集合u 一= h y p o ( f ) l f 在笺上是上半连续的) 是k ( x 【0 ，1 】) 的闭子空间 我们用u ( x ) 或“表示由定义在芏上，取值于 o ，1 】的上半连续函数构 成的空间 定义3 1 5 模糊集值随机变量或随机上半连续函数( 模糊随机集) 是一 个映射x ：q _ 酎，满足对任意q ( 0 ，1 】，x ow ) = 【z 芏：x ( 叫) ( z ) q ) 是集值随机变量 定义3 1 6 对每个k k ( i 芏) ，我们用k + = u ( 叩) q ，1 】 z ) 来定 义k 的上半影k + 。 定义3 1 7 对vk k k ( i e 0 ，1 】) ，p ：芏 0 ，1 】一芏是投影映射，通 过下面的式子定义函数h g ( z ) ， h k ( x ) = i n f a 0 ，1 】i ( z ，q ) k ) ，z p ( k ) 1 ，x 芏p ( k ) 对于随机上半连续函数，i e 取值于u ( x ) 的随机元，它们在盯( k ) ( 由 闭集k 生成的盯域) 上的概率测度( 分布) 以u 一作为支撑对v k k k ( 芏 17 北京工业大学理学硕士学位论文 【o ，1 】) ，令 ( u 一) = f 芏x 【0 ，1 】if u 一且fnk d ) ， ( u 一) k = fc 芰【0 ，1 】lf u 一且fnk = o ) ， ( k u 一) = f 芰【0 ，1 1 lf k u 一且fnk 0 ) 其中，u 一是k 的紧子集，( u 一) k ，( u 一) k ，( k u 一) 均是可测的( 参见文献 【2 】) 随机上半连续函数s ( 芏上的) 在u 一取值，( s 将由与它相对应的超图 像表示) 换句话说，如果b 是通过c h o q u e t 定理与s 的容度泛函相联系的 概率测度，那么b ( k u 一) = 0 ，这意味着对每个紧集k ，p s ( ( k u 一) k ) = 0 ， 因此对每个紧集k 芏x 0 ，1 】，我们有 b ( k k ) = p s ( ( u ku ( k u 一) k ) = p s ( ( u 一) k ) + 咫( ( k u 一) k ) 定理3 1 8 ( 2 ) 令s 是随机上半连续函数，t 是它的容度泛函，b 是 相应的概率测度，则对每个紧集k k 七( 芰 0 ，1 】) ，有 t ( k ) = b ( k ) = b ( ( u 一) k ) = 1 一b ( ( u 一) k ) = 卜p ( h y p 。( s ( 叫) ) nk = 仍) = 1 一尸( 可p o ( s ( 叫) ) 在e 彬( 尼k ) 的下方，且在p ( k ) 上， h y p o ( s ( w ) ) 严格的在e 以( 九k ) 的下方) = 1 一尸( s ( 叫) ( z ) h k ( x ) ，z 芏p ( k ) 且s ( 叫) ( 2 ) h k ( x ) ，z p ( ) ) = 1 一p ( s ( 训) ( z ) h k ( x ) ，z p ( k ) ) 18 第3 章随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 3 2 主要结果 引理3 2 1 令芏是一个h l c s c 空间，y 是芏x 【0 ，1 】的子集类，且关于 有限并封闭令口是由k y 和k y ( y v ) 生成的集类，且对有限交封闭 那么d 是一代数且对每一非空的y d 可表示成如下形式： y = k v , ， ( 3 2 1 ) 其中n 0 ，vk ，k y ，且当i j 时，有k 旺v juv ( 3 2 1 ) 式称 作y 的简约表示如果 y = k v v ：， 是y 的另一种简约表示，那么v = v ，n = k ，且对每一个i 1 ，2 ，n ) ， 存在j i 1 ，2 ，几) 使得yuk = vu 吃 证明已知集类口对有限交封闭，且仍= k o d 如果y 口，那么y 的补集 k y = k 矿uk v u u k 、v ，1 u 耽u uk 讼篓一l 是d 中有限个集合的并综上可知d 是一集代数 如果y 满足( 3 2 1 ) 式，对于某些i j ，有kckuv ，那么集合可 以消去而不影响y 的值因此y 的简约表示存在 考虑非空的y 的两种简约表示，不失一般性，假设存在点z v v 因 为y 仍，存在k 个点z 1 ，z 2 z 七( 其中有些点可能是相同的) ，使得彰 y 7 ( 1 j 七) 且 z 1 ，z 2 ，z 凫) k 谠，k ，= y = k 讫，因为zg v ， 我们有 z ，z 1 ，x 2 x k ) k 玩，k ，同时z v 7 ，因此 z ，z 1 ，x 2 x k ) g k v v i ，k ，这与y = k ，k ，= y = k 讫，k 相y - r 4 ，因此有v = v 7 取可k k 且y i k ( y u k ) ，i = ( 1 ，2 ，佗一1 ) 因为( 可1 f i n _ 1 ) g y 且 ，y l 一1 ) y ，那么存在 1 ，2 ，南) ，使得吃且y i 彰 一19 北京工业大学理学硕士学位论文 v ，i 。( i = 1 ，2 ，n 一1 ) 对其它的任意点可v ；v ，类似可得秒吃，因此 有k vc 吃且kcvl j 吃用相同的方法可以得到吃vck 。 如果i n n ，有kck 。uv ，这与”y 有简约表示”相矛盾，因此有 如= n 且k v = k 。y 对于其它的k ( i = 1 ，2 ，t , 一1 ) ，重复运用此方 法，结论即得到证明 引理3 2 2 同引理3 2 1 中的记法相同令丁是v 上的泛函，t ( 0 ) = 0 ，0 t 1 ，那么存在唯一的可加映射p ：d _ 0 ，1 】，使得p ( o ) = 0 且对 所有的v v 有p ( k v ) = t ( y ) 此映射有下面的式子给出： p ( y ) = 一、，1 丁( y ) ( 3 2 2 ) 其中3 2 = k 扳，m 是y 口的任意元 证明首先证明p 的可加性： 令d y ，y d 且y 和y 互不相交，简约表示分别如下： y = k _ ，y = k 砭，以 使得yuy 7 d 因为yny = k 灌 u v 、毛吖v 。, i = d ，不失一般性，假设kcvuv7 又 因为yuy 7 d ，所以此并本身有一个简约表示yu y = k 谤l ，o 。1 1 如 果y = d ，则可加性显然成立现在假设存在点zgv ，且z k ki = l ，2 几那么f = _ z ，x l ，z 。，y ，所以f 3 2u3 2 ，由此我们可以得 到f nv ”= 0 ，i e z v ”，因此有v ”cv ，同样可以得到v ”cv 7 ，因此有 v ”c ( vnv ) 下面证明v ”= v 假设存在点z v v ”，z v 7 y ”选取点 z ，k ”v ”，i = 1 ，2 ，m ，那么 z ，z 7 ，z ；，z 二) 3 2uy ，所以有 z ，z ) nv = 仍或 z ，z ) nv7 = 0 ，这都与假设矛盾，所以有v = v ”或 一2 0 第3 章随机上半连续函数的c h o q u e t 定理 矿一旷而后者成立又是不可能酶，因为碥cv u v 一v ，所以有歹= 谚，这 与f = z ，髫l ，z 他) y 相矛盾故有v v ”综上可知v 燃v ”，vcv 且cv 对每个f yuy ，当fnk 谚时，有fgy ，而fnk = 0 时意味 着f y ，因此 y = ( y uy ) nk v = k 泌， y 7 = ( y uy ) ak = - k 、v 叽u v ，皑 有 一尸( y ) = a v a v - q ，丁(