（应用数学专业论文）金融市场中的随机波动率模型.pdf

摘要 现代金融理论是随着金融市场的发展而不断成熟起来的，其显著的特征是不断 在金融经济学中引入数理理论与方法，用它们来研究金融风险防范与控制、资本市 场的运营、资本资产的结构与定价。考察现代金融的数量化进程可以发现，波动始 终是金融理论的核心问题，这是本文研究的理论背景。 波动性不但是评价市场优劣的重要指标，而且也是人们进行投资决策、资产评 估、期权定价、风险管理时所要考虑的重要参数。因此，如何对市场的波动性进行 准确的度量和预测，多年来一直是理论界和实务界所关注的焦点。现代经济计量学 方法论的发展，为波动性的动态建模分析提供了坚实的方法论基础，并引发了后来 的精彩纷呈的关于波动性建模的各种理论和方法。随着研究的深入，在众多学者和 专家的努力下，波动模型取得了显著进展。特别是随机分析学的发展为金融市场提 供更加有力的数学工具，本文就以期权定价b s 模型为背景，建立随机微分方程， 在此基础上研究了波动率在金融市场中的作用。 本文第一部分介绍了金融研究的数量化进展以及各种波动率模型，分析了金融 市场波动率的特征。 本文第二部分介绍了b s 模型，给出了在波动率为固定值下的期权定价公式， 并且以2 0 0 4 、2 0 0 5 、2 0 0 6 年的中国股票的大盘指数为数据作了实证分析，与实际 数据进行比较发现几何布朗运动较好的描述了两个市场在2 0 0 4 年、2 0 0 5 年和2 0 0 6 年内的变化情况。 本文第三部分推广了b s 模型，建立了在随机利率下标的资产价格波动率服从 有限马尔可夫链的期权定价模型，通过分析模型中的随机微分方程，给出了期权定 价公式。 关键词：波动率b - s 模型随机波动率期权定价 硕士孝位论文 m a s t e r s1 h e s i s a b s t r a c t t h em o d e mf i n a n c i a lt h e o r yi sg r o w i n gu pc o n s t a n t l yb yt h ed e v e l o p m e n to ft h e f i n a n c i a lm a r k e t , i t sp r o m i n e n tc h a r a c t e r i s t i ci s i n t r o d u c i n gt h e o r ya n dm e t h o do f m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c si nf i n a n c i a le c o n o m i c sc o n s t a n t l yt os t u d yt a k i n gp r e c a u t i o n s a g a i n s ta n dc o n t r o lf i a n c i a lr i s k , u p e r a t i o n go f c a p i t a lm a r k e t i n g , s t r u c t u r ea n dp r i c i n go f t h ec a p i t a la s s e t sw i t l lt h e m f r o mt h ei n v e s t i g a t i o no f t h eq u a n t i t yp r o c e s so f t h em o d e m f i n a n c e i ti sf o u n dt h a tak e y q u e s t i o no f t h ef m a n c i a lt h e o r yl a n d so nf l u c t u a t i o na l lt h e t i m e ，w h i c hi s t h eb a c k g r o u n do f t h es t u d i e d 。 1 1 l ef l u c t u a t i o ni sn o to n l yt h ei m p o r t a n ti n d e xa s s e s s i n gt h em a r k e t b u ta l s ot h e i m p o r t a n c et h a tp e o p l ec a 玎yo ni n v e s t m e n td e c i s i o n , a s s e t sa s s e s s m e n t , o p t i o nf i x i n gt h e p r i c ea tt h et i m eo fr i s km a n a g e m e n t t h e r e f o r e , h o wt oa c c u r a t ea n dp r e d i c t et h e f l u c t u a t i o no f m a r k e th a sb e e na l w a y st h ef o c u so f p r a c t i c ec i r c l ea n dt h ec i r c l eo f t h e o r y a l lt h et i m ef o rm a n yy e a r s 1 1 他d e v e l o p m e n to f m o d e me c o n o m e t r i c sm e t h o d o l o g y , h a s a n a l y z e da n do f f e r e dt h es o l i dm e t h o d o l o g yf o u n d a t i o nf o rt h ed y n a m i cm o d e l i n go ft h e f l u c t u a t i o n ，h a v ei n i t i a t e du n u s u a l l yb r i l l i a n tv a r i o u st h e o r i e sa n dm e t h o d sa b o u t f l u c t u a t i o nm o d e l i n gl a t e ro n w i t ht h ed e e p e n i n go ft h es t u d y , u n d e rt h en l n n e l - o n s e f f o r t so f s c h o l a r sa n de x p a t s ，f l u c t u a t i o nm o d e lm a k e sap r o m i n e n t p r o g r e s s e s p e c i a l l y a n a l y z i n gt h ed e v e l o p m e n to fs t u d y i n go f f e r st h em o l - ee f f e c t i v em a t h e m a t i c st o o lf o r f i n a n c i a lm a r k e ta tr a n d o m i nt h et e x t ，b a s e d t h eb sm o d e lb a c k g r o u n d ，i ti ss t u d i e d t h ef u n c t i o no f s e t t i n gu pr a n d o md i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nf i n a n c i a lm a r k e to f f l u c t u a t i n g 。 i ti si n t r o d u c e da n da n a l y z e df i n a n c i a lq u a n t i t yp r o g r e s sa n dv a r i o u sf l u c t u a t i o nr a t e m o d e lo f r e s e a r c hp a r t i a l l y , t h ec h a r a c t e r i s t i co f t h ef l u c t u a t i n gr a t eo f f i n a n c i a lm a r k e ti n t h ep a r tio f t h et e x t i nt h e p a r ti i ，b sm o d e li sp r e s e n t e dp r o v i d i n gt h ep r i c ef o r m u l au n d e rf i x e dv a l u e f i xo f f l u c t u a t i o no p t i o n , a n da n a l y z i n gt h er e a le x a m p l eo f t h eb i di n d e xo f t h ec l l i i l 岱e s t o c ko f2 0 0 4 ，2 0 0 5 ，r e l a t i v e l yf i n d i n gt h eb e t t e rc h a n g ew i t h i n2 0 0 4a n d2 0 0 5o ft w o m a r k e t sb yt h ed e s c r i p t i o no f g e o m e t i r eb m w n i a nm o v e m e n tw i t ht h er e a ld a t a 。 i nt h et h i r dp a r t ，p o p u l a r i z i n gb sm o d e l ，s e t t i n gu pp r i c i n gm o d e li nr a n d o mo f t h e f l u c t u l a t i o nr a t ea s s e t sp r i c eo b e y i n gl i m i t e dm a r k o vc h a i n , t h r o u g ha n a l y z i i n gt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h em o d e l ，p r o v i d i n gt h ep r i c i n gf o r m u l a 。 k e y w o r d ：v o l a t i l i t y ；b sm o d e l ；s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ；, o p t i o np r i c i n g i i 硕士擘位论丈 m a s t e r 。st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本入承担。 作者签名：日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 日期：年月 日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重丝窑握銮卮登厘；旦圭生i 旦二生i 旦三玺筮查： 作者签名： 日期：年月 日 导师签名： 日期：年月 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ 1 s 1 1 金融波动理论的背景介绍 1 绪论 1 1 1 金融理论数量化发展趋势 现代金融理论是随着金融市场的发展而不断成熟起来的，其显著的特征是不 断在金融经济学中引入数理理论与方法，用它们来研究金融风险防范与控制、资 本市场的运营、资本资产的结构与定价。考察现代金融的数量化进程可以发现， 波动始终是金融理论的核心问题，这是本文研究的理论背景。 金融理论的数量化趋势最早一般可以追溯到b a c h e l i e r 1 】( 1 9 0 0 ) 的博士论文。 在分析期权定价问题时，他提出了对f o u r i e r 偏微分方程的两种推导，该方程所蕴 含的概率密度就是现在著名的w i e n e r 过程或b r o w n 运动。 上世纪5 0 年代以数量化为标志的现代金融理论正式形成。m a r k o w i t z 于 1 9 5 2 年建立了资产组合的风险模型，该模型假设投资者的预期效用函数是具有均 值和方差两变量的函数，从而在分析上具有可处理性，第一次把数理工具引入金 融研究，从而能够进行定量的检验和预测。在m a r k o w i t zt 作的基础上。 s h 舡p e 2 ( 1 9 6 4 ) 、l i n t n e r 3 ( 1 9 6 5 ) 、m o s s i n 4 ( 1 9 6 6 ) 各自独立地研究了任一证券组 合收益率与某个共同因子的关系，从而导出资本资产定价模型( c a p i t a l - a s s e t p r i c i n gm o d e l ，c a p m ) ，该模型使用了带参数的随机二次规划理论，讨论了在一 定风险水平下达到最佳收益的投资组合问题。 6 0 年代投资实务研究的另一具有重要影响的理论是s a m u e l s o n 5 】( 1 9 6 5 ) 与 f a m a 6 1 ( 1 9 6 5 ) 的有效市场假说( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) ，这一假说 主要包括理性投资者、有效市场和随机游动三个方面。 7 0 年代，随着金融刨新的不断进行，金融衍生产品的定价成为理论研究的重 点。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 7 】建立了期权定价模型，该模型认为标的资产价 格过程是概率空间上的i l o 过程，并以此关系建立了随机微分方程。此后，人们 又建立了套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n g t h e o r y ，删 8 】，研究了多时期证券市场 的均衡定价，非对称信息下的金融市场等问题 8 0 年代，现代金融创新进入到鼎盛时期，在此期间诞生了所谓的“8 0 年代 国际金融市场四大发明”，即票据发行便利、互换交易、期权交易和远期利率协议。 也正是在这段时间，金融理论的一个新概念“金融工程”诞生了，它的出现 硕士学位论文 m a s le r sf h e s i s 为国际金融市场带来了一片崭新天地，它也因此成为国际金融创新的主要方向和 最新潮流。 9 0 年代至今，金融创薪继续保持高速发展的态势，世界经济发展区域化、集 团化和国际金融市场一体化、证券化的趋势并存，金融服务更加完善，同时，人 们努力将已有的金融创新理论不断丰富完善，并创造性地运用至q 各个具体问题上， 通过一系列的金融创新工具为整个国际金融市场带来了巨大效益。在这种形势下， 金融工程作为一个新的学科从金融学独立出来。“金融工程将工程思维引入金融领 域，综合地采用各种工程技术方法( 主要有数学建模、数值计算、网络图解、仿 真模拟等) 设计、开发和实施新型金融产品，创造性地解决各种金融问题。”【9 】 这里的金融产品既包括股票、债券、期货、期权等金融工具，也包括结算、清算、 发行、承销等金融服务。 1 1 2 波动与现代金融理论 从现代金融理论的发展可以看出，各种各样的市场模型处于核心地位。其中， 至今仍有重大影响的有：有效市场理论、证券组合理论、资本资产定价模型、套 利定价理论、期权定价方程、资产结构理论，这些理论或模型除有效市场理论与 资产结构理论外都与波动有着直接的不可分割的联系。 1 2 金融市场中的波动与波动模型 如前文所述，人们在对风险深感恐惧的同时，也迫切想了解风险这把悬 在人们头顶之上的利剑背后所深藏的经济规律以及寻找尽可能对其进行准确 度量的方法和工具。从现代金融理论的发展可以看出，各种各样的市场模型处于 核心地位。其中，至今仍有重大影响的有：有效市场理论、证券组合理论、资本 资产定价模型、套利定价理论、期权定价方程、资产结构理论，这些理论或模型 除有效市场理论与资产结构理论外都与波动有着直接的不可分割的联系。可见波 动始终是金融理论的核心问题，这也是本文研究的理论背景。波动性不但是评价 市场优劣( 功能) 的重要指标，而且也是人们进行投资决策、资产评估、期权定 价、风险管理时所要考虑的重要参数。因此，如何对市场的波动性进行准确的度 量和预测，多年来一直是理论界和实务界所关注的焦点。然而，传统的经济计量 学由于其本身的缺陷，不可能为这一问题提供有力的分析工具。正是在这种背景 下，现代经济计量学应运而生。现代经济计量学突破了传统经济计量学以经济理 论为基础的从简单到复杂的研究方法，更加注重数据本身的动态结构的分析，强 2 碛士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 调模型设定的逻辑性和联贯性。现代经济计量学方法论的发展为波动性的动态 建模分析提供了坚实的方法论基础，并引发了后来的精彩纷呈的关于波动性建模 的各种理论和方法。随着研究的深入。在众多学者和专家的努力下，波动模型取 得了显著进展。目前，波动性的衡量方法大致可分为如下四大类模型： 1 2 1 纯时间序列( p u r et i ms o r i e s ) 模型 纯时间序列模型是指使用直接观测到的波动变化，采用简单的时问序列模型 来评估及预测市场的波动。这些简单时间序列模型包括：随机游走( r a n d o m w a l k ) 、 历史平均( h i s t o r y a v e r a g e ) 、移动平均( m o v i n g a v g a a g c ) 、指数平滑( e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ) 、指数加权移动平均( e x p o n e n t i a lw e i g h t c dm o v i n g a v e r a g e ) 等模型。 这些模型虽然比较简单，但并不能很好地再现前面描述的金融序列及波动特征。 1 2 2 期权隐含波动( o p t i o ni n p i j e dv o l a t i i t y ) 模型 期权隐含波动模型首先由i 碰8 l e 和r e n d l e m a n 1 0 1 在1 9 7 6 年提出。其基本原理 是：根据b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式从期权价格倒推出市场波动性由于期权价 格反映的是市场未来的波动性，因此应用该模型可以预测波动。b l a c k - s c h o l e s 期 权定价模型提出后，在期权从业者中得到了广泛的应用，但是它的一些假设在实 际中并不成立，特别是假设波动盯为常数，因姻i l l l 和w h i t e 提出了随机波动下的 期权定价公式f l l l 。 如果假定所观察到的期权价格服从h i l l l w h i t e 期权定价公式，那么期权价格将 产生两类隐含波动概念：( 1 ) 瞬时隐含波动；( 2 ) 平均隐含波动。b a j c u x 和r o c h e t 证明了期权价格与瞬时波动之间存在一一对应的关系，实际上就是正式把期权市 场用作对冲波动风险的合适工具来使用 1 2 1 长期以来，随机波动下的期权定价问题在统计上处理起来很复杂，实际中期 权从业者倾向于使用另一概念的隐含波动，即前面提到的由l a t a n e 和r e n d l e , m a n i ；i 入的所谓“b l a c k s c h o l c s 隐含波动”。【1 3 】用过程缈却( f ，t + | j i ) 表示，其定义为： i e = 墨【( j 。，) 一p 一妒( d ：，) 】 d l l _ ( c o 呻( t ，h ) 压) + 国卸( f ，t + h ) 4 - g 2 l d 2 ，= d i ，+ c o 忡( t ，t + h ) 4 h 其中e 期权价格的观测值。h u l l w h i t e 期权定价模型可以看作其理论基础。 硕士学位论文 m a 8 t e r st h e s i s 1 2 3 自回归条件异方差( 胴c h ) 族模型 该类模型可以描述波动的时变特性。自回归条件异方差模型最初是由美国圣 地亚哥大学经济学家恩格尔( e n 出e ) 【1 4 教授于1 9 8 2 年提出的，主要用于具有 丛集性及方差波动性特点的经济类时间序列数据的回归分析及预测。他假设不相 关的随机过程饥 有如下表达式： 只= 占，h t “，t n i d ( o , 1 )( 1 1 ) h t = 掰+ 口( 三) 卯 ( 1 2 ) 其中 0 ) d f l 0 , i = 1 , 2 ，口。一般地”对应着均值方程中的误差项，即新息。 a r c h 模型是一类确定性波动描述模型，利用过去价格的信息来修正当前资产的 波动，而且可以改进b l a c k - - s c h o l c s 定价偏差。a r c h 模型为波动的估计和修 正提供了一种很好的定量分析方法。 a r c h 模型最基本的特征在于它真实地反映了某些经济数据的方差随时间的 变化而变化的特点，因此在经济领域尤其是金融市场中得到了越来越广泛的应用， 并取得了良好的效果。如e n g l e ( 1 9 8 2 ) 用a r c h 模型分析预测美国通货膨胀率的 趋势，取得了令人满意的结果。d o m o w i t z 和h a k k i o 也曾经把a r c h 模型用于外汇 汇率市场的研究中【1 5 】。w e i s s 对美国1 3 种不同的宏观经济时间序列用a r c h 建 模，取得了成功的结果。 a r c h 模型后经b o l l e r s l e v 0 ) c g i 0 , i = 1 , 2 , - - q ，0 , j = 1 , 2 ，口，a ( l ) 与( 上) 分别为g 阶、p 阶滞后多项式。虽然( 1 3 ) 式与( 1 2 ) 式都可以写成a r 形式，但( 1 3 ) 式比( 1 2 ) 式有 快的收敛性。实践证明，在股市中大多数情况下，简捷的g a r c h ( i ，1 ) 、 g a r c h ( i ，2 ) 、g a r c h ( 2 ，1 ) 模型已能充分反映长时期的金融数据的波动特征。 纵观a r c h 类模型的发展，经历了从a r c h 模型到广义a r c h 即g 灿屺h 模型， 从线性a r c h 模型到非线性a r c h 模型以至非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模 型到单整g a r c h 模型再到分整g a r c h 模型，从单变量g a r c h 模型到多变量即向 量g a 联殂模型等不同的发展阶段。在众多的a r c h 类模型中，基本也是最重要的 几种模型为e n g l e 提出的a r c h 模型、e n g l e 等人的a r c h m 模型【1 7 】、b o l l e r s l e v 的 g a r c h 模型、e n g l e 和b o l l e r s l e v 的单整q r c h 即i g a r c h 模型、n e l s o n 的指数 q 讯c h 即e g 蟠e h 模型【1 8 】、b o l l e r s l e v 等人的分数单整g a r c h 即f i g a r c h 和 4 硕士学位论文 m a s l e r st h e s i s f i e g a r c h 模型【1 9 】以及e n 百e 和k r o n e r 、 b o l l e r s l e v 、 e n 舀e 和 w o o l d r i d g e 的