（概率论与数理统计专业论文）直和空间gabor框架的充分条件及稳定性.pdf

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7 】 总之，小波分析对当前的理论科学，应用科学产生重要的影响，它的研究与应用的 范围正在迅速的深入与扩展 框架是研究小波的强有力的工具关于框架的产生，可以追溯到1 9 4 6 年， d g a b o r 在进行信号处理时，引入了一个关于基本信号的分解当时，他的思 想方法很快成为与时间频率方法联系起来的范例后来，1 9 5 2 年框架这一概念 由d u f f i n 和s c h a e f f e r 8 】在研究非调和f o u r i e r 级数时提出，它是r i e s z 基的推广，在 小波分析和不规则采样理论中起着非常重要的作用框架理论在最近十多年中发 展很快，尤其在小波理论和g a b o r 系统中 本文首先介绍关于h i l b e r t 空间的框架的概念及f o u r i e r 变换的相关性质然后 在第三章中介绍了窗1 3 f o u r i e r 变换，g a b o r 框架的概念及其主要性质，并且给出了 在l 2 ( r ) 上g a b o r 框架的一些充分条件和必要条件，最后还给出了一个g a b e r 框架 稳定性条件在第四章中，给出了本文的主要结果，即研究了在直和空间f 假) ( 7 ) 上g a b o r 框架的充分条件，及其稳定性条件，并给出了详细的证明 第二章 第二章 本章首先介绍一些关于h i l b e r t 空间 性质 2 1h i i b e r t 空间的框架与r e i s z 基 定义2 1 在l 2 ( r ) 中，定义，g 弘畔) 的内积为( 厂，g ) ：= f r f ( x ) g ( x ) d x , 则有 如下性质 似( ，g ) = 1 石两； f 2 ) ( ，f ) 0 且( 厂，g ) = 0 当且仅当f = o ，a e ； r 以对任意的实如，( a f ，g ) = a ( f ，g ) i 一，( + 止，g ) = ( 厂l ，g ) + ( f 2 ，g ) 完备的内积空间称爿t h i l b e r t 空间，例如，2 ( r ) 就是一个h i l b e r t 空间 定义2 2 肋，z n 如空间x 中的两组基 确：咒z ) - 与 y n ：n z ) 称为等价的，如 果岛z c n x n 收敛当且仅当匕z c n y n 收敛 设( ：，l z ) 是b a n a c h 空间x 的一组基对于任讯x ，存在唯一的展开式： 工= 锄妇 n e z 如果定义f n ( x ) = c n ，则厶歇上的线性泛函，称为基 而：n z ) 的系数泛函此时 有如下表达式： 工= 厶( j ) 而 n e z 引理2 3 设：r l z ) 助a n a c h 空间x 的一组基厶是相应的系数泛函 则厶x + 此外，存在常数m 使得 1 i b i 厶i | m ，n z 定理2 4b a n a c h f f _ 间x 中的两组基 粕：n z ) 与 ：n z ) 是等价的当且 仅当存在有界可逆算子t ：x - - + x 使得= y n ，n z 2 第二章预备知识 证明充分性是显然的，只需要证明必要性设 而：n z 和 蜥：n z ) 歇 中等价的基对于任佩x ，魄= l z c n x n ，则n z c n y n 收敛到x 中的某个元素 y = t x 显然，这样定义的算子丁匙到x 上的线性1 1 映射，并且= y n 下证丁是有界可逆算子考虑珊= n ：一n c k y k 易知，t x = l i m 玎- + 。死石，对于 任何x x 成立再由引理2 3 ，死是有界线性算子由b a n a c h s t e i n h a u s 定理，丁是 有界的再根据逆算子定理，丁可逆 口 定义2 5i z ( x n ：n z ) 和【h ：n z 是觑l b e r t 空间形中的两个序列如 果，y m ) = 8 n 册则称 勘：n z ) 和 h ：n z ) 为双正交列如果对任何k z ， x k 隹s p a n x n ：n j i ：) ，则：n z ) 称为极小列 引理2 6h i l b e r t 空间中，等价的基具有等价的双正交列 定义2 7h i l b e r t 空间澎的一组基称为r e & z 基，如果它与澎的一组正交基 等价 设 厶：n z ) 是澎的r e i s z 基由定义，存在澎的标准正交基 ：n z ) 和澎上的有界可逆算子r ，使得 厶= t e n 所以仃可1i i f 1 l i i t i i 因些，r e i s z 基是有界的，即 o i n f l l 厶| i s u pj i f j i + 定理2 8 设乡纩是一个可分的h i l b e r t 空间，以下四个条件等价? f j 厶：n z ) 是乡纩的尺p 括乙基 f 2 j 厶：n z ) 在澎中完备且存在正常规4 ，b 使对任何有限复数 列岛，白+ l ，锄， mi | m| i z小 a i 吼1 2 | | | i b i c k l 2 k = n i l k = n i i k = n p 【厶：，l z ) 在澎中完备且相应的g m m 矩阵 ，f j ) i ，j z 定义了产上的 一个有界可逆算子 f 以 厶：n z ) 在澎中完备且存在完备的双正交列 踟：n z ) 使对任 何f 澎， 厶) 1 2 + ， n e z 3 踟) 1 2 0 j 则雪( ) = 九，( 九) i r 印若g ) = 一吖0 ) ，且g l l ( r ) ，则广叮微并且户( ) = 季( ) ； r 办若，局部绝对连续并且，尸l 1 ( r ) ，则尸( ) = i a l f ( f o ) 定理2 1 4 对每个厂l 2 ( r ) ，存在函数夕l 2 ( r ) ，满足条件 f ，j 若厂l ln l 2 ，夕就是前面定义的而“庇厂变换即 ，( ) = f ( x ) e - i x t o d x i ，r 仨 对任竹l 2 假) ，f f 刊；= 2 z c l t f l 2 2 ( 3 ) ，r t 任何f , g l 2 ( r ) ( 加) = 去( 触) 上式称为p a r s e v a l 恒等式 ( 4 ) 令 锄= f a j - a f ( x ) e - i x t 妣姚= 去a a f ( r ) e i t x 以 锄( f ) = 出，姚2 去 以 则 f i q a 一尹f 1 2 - - + 0 ，f | l 妇一厂f f 2 _ o ，aj + 5 在f 0 衰减 一起 ( v g f ) ( t ，t o ) = f ( x ) g ( x t ) e - t x t o d x 可以证明 f r f a i f ( x ) g ( x - t ) 1 2 出= i l f l l ；l l 圳； 0 ，记g 砌，加= p 掀9 0 一n a ) 如果_ g 砌，撇： m ，n z ) 构成l 2 ( r ) 的框架，则称之为一个g 以6 d r 辛匡架r 或者w e l y h e i s e n b e r g ：f 匡 架j 这时，对任何，l 2 ( r ) ， - 扩，胁，m ) = lf ( x ) g ( x - n a ) e 一掀出，z ，l z g a b o r 框架具有以下性质： 定理3 2 ( c h u i - s h i ，1 9 9 3 ) 设 g 砌，阳：m ，n z ) 是上2 ( r ) 的以a ，b 为界的框 架则 a 2 口7 r 厄一i g 。堋) 1 2 即已 a = 1 i 营( 一m 6 ) 1 2 b ，订p i , g m e z 下面给出一个由r 0 n 和s h e n 给出的g a b o r 框架的特征先给出以下记号，g l 2 ( r ) ，定义 m ( x ) = ( g ( x - n a m b ) ) 卅，l z ，x r ； 是一个矩阵值函数对于a e x r ，其定义是有意义的，它的第m 行第n 列的元素 是 m m ，n ) = g ( x - n a m b ) 6 第三章g a b o r 框架 其中m ，聆z 令m 0 ) + 是肘0 ) 的共轭转置，则 命题3 3 ( 【1 1 】定理8 2 3 ) 给定a ，b 0 和 踟西，瑚：m ，n z ) ，则 g m b ，m ：m ，n z 是一个l 2 ( r ) 中的以a 和b 为界的框架，当且仅当 m i m ( 石) m ) 4 b b ，a e x 瓞 其中，是f 2 ( z ) 上的单位算子 下面我们考虑问题：怎样得到l 2 ( 酞) 的g a b o r 框架_ g 砌朋：m ，n z ) 一个最 基本的结果是，a b 的乘积决定 g m b 舢：m ，z z ) 是不是弘嘤) 的一个框架我们 有如下结果： 命题3 4 ( 【1 1 】定理8 3 1 ) 设g l 2 ( r ) ，口，b 0 则 r j ) 如果动 2 而那么 g m b ，m ：m ，r l z ) 不是驴( r ) 的一个框架； f 2 ) 如果 g m b ，阳：m ，n z 】- 是一个框架，则 动= 2 7 r 当且仅当 胁，加：m ，n z ) 是一个尺p 缸z 基 需要注意的是，a b 1 ，口 0 为常数设 0 c l i g ( x - n a ) 1 2 c 2 0 ，当日o 当且仅当c l = = c r = 0 时，等号成立从而，m ( g ) 是正定矩阵，故有正的上下界 口 特别的，取 9 1 ，g r ) 是标准正交的，贝j j m ( g ) = ，可使引理中的如，b e , = 1 定理4 3 设g = ( 9 1 ，g r ) r 弘( r ) ( ，且9 1 ，9 7 线性无关，则对任何厂= ( ，1 ，厂) 丁l 2 ( 瓞) ( 川，有 i i ( f j ) ( f ，) l h 2 = 2 万f a f r 。) m ( g ) 巧驰 1 0 第四章直和空f 日- g a b o r 框架的充分条件及稳定性 证瞬 i i ( f f f ) ( t ，) 憾 = 鼢揪锄，l | 2 = 厶匡二厕矿胁如卜 卅兀上：l 言m 厕l 抛 = 2 万二：荟r 荟r 广厕( 一r ) ) 确f 出 = 2 万上：( ，1m ，f r ( x ) ) ( 而习，而习) 7 ( 9 1x f ) ，9 7 一f ) ) ( 而，雨) 丁d t d x = 2 万f r ( x ) m ( g ) 一f ( x ) d x t ，r 命题4 4 ( w i r t i n g e r 不等式【3 0 】) 如果，0 ) 在陋，b l 上可微，厂l 2 a ，纠且 f ( a ) f ( b ) = o ，那么 x ) 1 2 出去p 一口) 2 a 6 i 厂 ) 1 2 出 引理4 5 如果厂 ) 在陋，b 】上可微，尸l 2 陋，b l ，并且存在某个c 陋，纠使 删= 0 徽 b x)12dx万zif(x)l d x 4 8 2 参i m ，移i 阱出， 其中，6 = r i l a x c - a ，b - c 证明由上面的w i n i n g e r 不等式，得 f f l s ( x ) 1 2 出 ：i ci f ( x ) 1 2 d x + i bi f ( x ) l - 万4 ：f a f 俐2 出+ 警z 6 1 2 出 墨加1 2 出 第四章直和空间g a b o r 框架的充分条件及稳定性 凼此结论成立 引理4 6 对于任何厂= ( f 1 ，f r ) r ，g = ( 9 1 ，g r ) 丁驴( r ) ( ，有 ( f g f ) ( t ，c o ) = ( 1 2 f f ) e - i a ) t ( r f f ) ( w ，一f ) 如果矿= ( ( 9 1 ) 7 ，( g r ) 矿l 2 畔) ( 川，则 妄( 咯，) ( f ，) = 一( 名，厂) ( f ，) 证明对于任何l k 厂，记h k ( x ) = 矿 一t ) e 扛，则 哟= 仁p 一呦5 = 仁舟一，) 酬出， 从而 而 故 ( 广) ( f ，) = f k ( x ) g k ( x - - t ) 矿鼬d x ，一o = f k ( x ) g k ( x - - t ) e i x o d x = 仁广。) 瓣( i 扫p a r s e v 凇内 = 2 去f a 丽 = 芴l 上o 。o 产 ) k ( s - - f ) p 话( 叶) d 眈 = 去仁产”仁邦矿啦呦s e i x t e - r 。t 出 = 1 2 万e - i t o t 仁产 ) 鬲面e i x t 出 = 1 2 万e - i t o t ( 咏一( ，一f ) 下证第二个等式 ( f g f ) ( t ，) = ( 曙广) ( f ，) ， 七= l ( 磊，) ( f ，) = 去p f 伽( 吩，) ( ，一f ) 1 2 口 第四章直和空间g a b o r 框架的充分条件及稳定性 对于任何1 k r ， i 妄( 略揪徊) 十批川i = l 妄仁广 ) 西吼i 面一扭出+ f _ 二f k ( x ) ( g k ) ( x - - t ) e 一扛出 | ，* =l i mi f ( x ) 岔- 0 i ，一g k ( x - ( t + a t 石) ) - g k ( 一x - t ) + ( g k ) ，x f ) p一 i 一及出l l 鹄| | 丛譬掣蝴伊讣 故只需要证明下式 -im|j幽生盟瑚gkax-+o a x 侧z _ o | j、“， 。 而i 刍f o u r i e r 变换的性质知 | 窒羔三学一( 矿) 7 0 ) l2 = i ie i a x 。- - 1 一z ) 毋( ，2 因为f 丝爰f ：i 垄螋a x j t o j i ，所以 i ( t e i a x 6 n - 1 一f ) 毋( ) l 2 i 毋( ) i r ( r ) 由己知，( 矿) 7 l 2 ( 酞) ，所以，n ) 毋( ) l 2 ( 酞) 再从控制收敛定理可知 牌l f ( 等嘲鼬i = o 口 f 丽给出直和空间g a b o r 框架的一个充分条件 定理4 7 设9 1 ，g r 线性无羌g k ( x ) ， ) ，工( g 七) 7 ( x ) 弘( r ) ，1 k r 设口，b 为正常数，且 ：= i 2 a b 乡2 + 2 万b 。t l 2 + 警磊g ， s ( ( 9 1 ，9 7 ) 2 ；口，b ) = ( s ( 9 1 ；口，6 ) ，s ( 9 7 ；口，6 ) ) 1 一( 跚础s u p m e z - h 石- i g * 帅口，g l 帅口一铡， 伽触s u p m 毳z 钟咖协一剖) 2 引理4 8 ( 2 5 1 引理2 1 ) 假设 o 且蛐，t o r 则有 r i 2 i ( 曙揪凡口+ t o ，m b + ( o o ) i r l m 。a 1 嘶 酗 卜 0 蛳 l g 髓 舅 撕 框 ：一 0 ( 阳 果 吣蹦叫肌蝴 士 ：，和灿裂 第四章直和空间g a b o r 框架的充分条件及稳定性 证明因为 v 矿f k ( n a + t o ，m b + o a o ) = f k ( x ) g k ( x - ( n a + t o ) ) 矿打( m o 愉) 出 = f k ( x + t o ) g k ( x - n a ) p 一) ( 砌+ 咖) 出 = p 一( 砌+ 蜘) f o ( f l ( x + t o ) e 一蚶，g 七x n a ) e 砌撕) ， 再由于引理4 8 ，得 r1 2 f ( 吩揪n a + t o ，m b + o g o ) i m , n e z i r 2 i ，i ( 广) ( n a + t o ，m b + o j o ) i ：r r i ( f i e ( x + t o ) p 一啦，矿 一咒口) p 砌缸) 1 2 r t k - = l ：0 , i f k ( x 训1 2 舢e z 卜加孚) 卜 ，l m 2 彳己 ( 矛 ) ，矿 ) ) r = ( 裾1 ) ，x g r ) ) 丁， 6 ，7 7 是正常数如果 ：= 等腿s ( ( 蹦啪) 1 2 + i 4 d ；腿s ( 如6 ) 1 2 + 丁1 6 6 1 m 脚a xs ( 如，俨 迮 v r 那么对于任何的k ，n ，l t m ，一满足? i z m ，l m b i 6 ，和j ，忍一n a l 叼， ( e i z m , , x 9 1 ( x - - l l m ，1 ) ，p 9 7x 一，九) r ：m ，咒z 是上2 ( 取) ( ，) 中的以( 瓶一 ) 2 和( 施+ ) 2 为界的框粜 。 证明容易验证，( ( 国1 ) 7 ；口，易) ，s ( ( 9 7 ) 7 ；口，易) ) 丁，( p ( 矛；口，易) ，s ( g r ；a , 6 ) ) 。， ( ( s ( ( 9 1 ) 7 ；订，6 ) ，s ( ( d 0 7 ；口，b ) ) 都是有限的对于任何的( ，1 ，f r ) t 弘( 瓜) ( ， 通过引理4 5 和引理4 9 ，可得7 肌, f n z 6 觚喙广) ( n a + t , m b + c o ) - ( c m ，) 1 2 出 厂喜川毳z d f ( 曙广) ( n a + t , m b + o o ) 一( 咚广) ( 加m 6 + ) 1 2 班 第四章直和空间g a b o r 框架的充分条件及稳定性 = 厂善rm 毳z 可1 6 0 2 上8 6 d ，揪肼神刊1 2 班 r 可1 6 0 2 4 6 7 7 1 m 的a x 北，6 ) ( 1 l f ln + i l f r l l 2 ) 另一方面，由引理4 9 ，我们有 童卜巴 r e ( v g k f k ) ( n a + t ，m b + t o ) 七= l 厂砉1m n c z 仁d l七= j o 一一， 2 d t ( 曙卢) ( n 日+ f ，川易+ ) j 2 以 4 6 0 卜1 m 七a x ，s ( g k ；口，b ) ( 1 l f l1 1 2 + + l l f r l l 2 ) r ( 吩广) ( 脚，刀，m b + c o ) 七= l 2 d t d t o ( 4 5 ) 4 蹄 罂蚶溉俨+ 等罂刚科；删胆一2 + + i 胛) 因此，有 m 毳z 仁出仁i 喜( ( 曙广) ( , n , m b + t o 帕胁一 一( 广) ( 加k p ，一脚，一) 1 2 d g 矧e 舢e z 出仁i ( ( , n , m b + t o 删m 1 2 一( 曙广) ( 加k ，n ) p k ，n 脚，叫d t o = r k 圭= im , n e z 出仁f 去( 喙产) ( m b + t o , - 胁) 一去( 喙产，嘞一) 卜 g 矧e 删e z 警序衍( m m ，刊卜 = r 喜m 丢z 譬出仁i 去c 咚揪, n , m b + t o ) 1 2 d 厂警舶“燃s ( 孑飘6 ) 1 2 + 4 邪0m 晒a x 刚孑) ，啪) l 2 2 1 9 ，一 5 巧 厂，一 z 队 惟 所 朋 第四章商和空间g a b o r 框架的充分条件及稳定性 m 萎z 仁d 惶( c 揪n a + t , m b + t o m 叫m 一( 吩广) ( mk 。p f k 一，一) l 2 出 r ，k = l m z 仁d i ( ( n a + t , m b + o 。刊脚一 一( v e f k ) ( u mk ，栉) 沙叫2 班 4 6 7 7 r4 0m a x ，s ( ( 纠；口，6 ) 1 2 + i 4 6 船s ( g 。k ；口，2 + 警船砥矶啦 2 ( | i 厂2 + + | 胛) 另夕 ，由弓f 理4 9 知 所以有 c ，z 口+ r ，优易+ ，1 2 出 ( 以一a ) 2 ( 1 l f l l l 2 + + l i 删2 ) , n e z mn e z 喜1c 广，c 加如一1 2i 七= ( 循+ v 7 ) 2 ( 1 l f l1 1 2 + + f i f r l l 2 ) 因此， ( p 一工g lx 一川) ，p f k ，j 旷 一，n ) r ：所，l z ) 是正2 ( r ) ( r ) 中的以( 瓶一 a ) 2 和( 伽+ ) 2 为界的框架 口 2 0 铲 社 俨 p 么广 旷 旷 斗，矧斗十p、1l 2，2 三= ， a 川哂巧川 ab 肌卿叭 4 珊4 一 一 第五章总结 第五章总结 由于框架可以为信号提供稳定，冗余的表示而被广泛应用于算子理论，非线 性逼近，采样理论，时频分析等数学和信息科学领域中稳定性是研究框架的一 个基本出发点，通过对其稳定性的研究可以更深刻的了解框架的构造，性质及 其特点g a b o r 框架是由一个窗口函数g 通过平移产生的。可作为f o u r i e r 变换的 一种简单局部化，使其更适合于时频分析g a b o r 框架的稳定性是指当窗函数，时 移，或频移参数发生较小扰动时仍然是一个g a b o r 框架本文推广了h i l b e r t 空间 关于g a b o r 框架的一些结论，从孙文昌和周性伟的文献 2 4 】中获得启发，从l 2 ( r ) 中的g a b o r 框架 p 跏觑g 伍一n a ) ；m ，n z 的充分条件和稳定性条件扩充到直和空 i 活q l 2 ( r ) 7 ) 的g a b o r 框架 ( p 胁9 1x 一，z 口) ，p 掀g ， 一加) ) 7 ；m ，n z ) 中通过 研究矩阵m ( g ) 的界给出一个在直和空间g a b o r 框架的充分条件，并利用引理4 9 ， 得出 ( p 触g lx n a ) ，p 融矿x n a ) ) r ；m ，n z ) 是稳定的，并且给出明确的 上下界 对于直和空间g a b o r 框架的研究仍有许多开放问题有待解决，例如框架界与 框架密度的关系，窗函数的选取等我们将在今后的工作中进一步研究这些问题 2 1 参考文献 参考文献 1 】s a m a l l a t ，t h e o r y f o rm u l t i r e s o l u t i o ns i g n a ld e c o m p o s i t i o n ：t h ew a v e l e tr e p r e s e n t a t i o ni e e et r a n s ，p a m i ，1 9 8 9 ，1l ( 7 ) ，p p 6 7 4 6 9 3 2 】i d a u b e c h i e s ，t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 9 2 【3 】程正兴，小波分析算法与应用，西安交通大学出版社，1 9 9 8 【4 】成礼智，王红霞，等，小波理论与应用，北京科学出版社，2 0 0 4 5 】傅燕，赵容椿，小波变换在地震噪声处理中的应用，西北工业大学学报， 2 0 0 4 6 6 】段晨东，何正嘉，非线性小波变换在故障特征提取中的应用，振动工程学报， 2 0 0 5 1 7 】崔华，宋国乡，基于小波阈值去噪方法的一种改进方案，现代电子技术， 2 0 0 5 1 8 】r j d u 衔n ，a n da c s c h a e f f e r , ac l a s so f n o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s t r a n s a m e l m a t h s o c 7 2 ( 19 5 2 ) ，p p 3 41 - 3 6 6 【9 】d g a b o r , t h e o r yo f c o m m u n i c a t i o n s ，j i n s t e l e c t e n g ( l o n d o n ) 9 3 ( 1 9 4 3 ) ，p p 4 2 9 4 5 7 【10 】n l e a v n ，s y s t e msa n ds i g n a l s ，o p t i m i z a t i o ns o f t w a r el n c 19 8 3 【l l 】o c h r i s t e n s e n a ni n t r o d u c t i o nt o f r a m e sa n dr e i s zb a s e s 【12 】d ew a l n u t , c o n t i n u i t yp r o p e r t i e so ft h eg a b o rf r a m e o p e r a t o r , j m a t h a n a l a p p l ，19 9 2 ，p p 4 7 9 5 0 4 【l3 】p g c a s a z z a ，a n do c h r i s t e n s e n ，w e y l h e i s e n b e r gf r a m e sf o _ rs u b s p a c e so f l z ( r ) ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 9 ( 2 0 0 1 ) ，p p 1 4 5 1 5 4 【1 4 】o c h r i s t e n s e n ，f r a m e s , r e 波b a s e s , a n dd i s c r e t eg a b o r w a v e l e te x p a n s i o n s b u l l ( n e ws e r i e s ) a m e r m a t h s o c 3 8 ( 2 0 0 1 ) ，p p 2 7 3 2 9 1 【1 5 】o c h r i s t e n s e n ，b d e n g ，a n dc h e i l d e n s i t yo f g a b o r f r a m e s ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l ，7 ( 19 9 9 ) ，l a p 2 9 2 3 0 4 【l6 】c k c h u i ，a n dx l s h i ，i n e q u a l i t i e so fl i t t l e w o o d - p a l yt y p ef o rf r a m e sa n d w a v e l e t s ，s i a mj m a t h a n a l 2 4 ( 19 9 3 ) ，p p 2 6 3 2 7 7 参考文献 【l7 】i d a u b e c h i e s ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r m , t i m e - f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na n d s i g n a l a n a l y s i s ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y3 6 ( 1 9 9 0 ) ，p p 9 6 1 - 1 0 0 5 【l8 】i d a u b e c h i e s ，h l a n d a u ，a n dz l a n d a u