（概率论与数理统计专业论文）黑白系统的统计研究.pdf

摘要 摘要 黑箱( 也称为黑暾子) 是科学方法论中的一个蹙要概念，它广泛存在于现 实世界中。对于人们还不可能、不允许戏不值得深入研究内部结构，不清楚内 部机理的辫物都可以稽作是黑箱如果只了解某个事物或系统的部分结构， 我们称之为“灰箱”( 也称为“黑白系统”) 。在现嶷生滔和现代物瑕研究中， 人们经常会遥到诧类问题。统计掌是研究黑箱的有散工舆，本文通过将黑箱灰 祀，稠蘑统计静方法糖出黑鑫匿子系统的优亿设计阔题获解决闷瑟黪方法。 辩予一个复杂酶系统，浅销可戳把它分成若干个子系统，这是试验设计馥 关键一步，鼙黑籍灰纯。子怒霹予一令复杂系统豹研究就转纯蔽对若干个子系 统懿秘究。我弱凝羟务令子系绫戆结棒及穗囊关系，进露建立了绕诗模型，这 撵对予整个系统也就可以具体分叛了。在研究这种内部要素粒结携遗不漪楚 的的子系统时，我们避开研究系统的具体结孛勾丽邋过探索系统的输入与输出 的关系来考察系统的结构。 本文主要讨论输般变量与输入变量是线性关系时的情况，建立了线性模型 去拟台黑瞄系统，并利用最小二乘估计( l s e ) 和广义最小二乘估计( g l s e ) 对模型的祭数进行了估计，进而可以推得模嫩的一些统计性质。本文最后成用 f o n 蛩低功效逐算放大器给出实例说明。模拟结果显示，在若干情况下( 如 集成电路的电路设计问题等) ，该方法十分简便、有效。 关键调：黑白系镜熙箱方法响应越西最小二乘法低毖效运算放大器 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t b l 氇放南o xi 3a ni m p t a 飘七n o t i o ni ns c i e n 七i 数m e t h o d o l o g ya n d 麟i s t si nr e - a i i s t i cw o r l dw i d e l y 。 a n y t h i n gw h o s ei n t e r n a ls t r u c t u r ei si m p o s s i b l e ，u n 以l o w e d o ru n w o r 伯yt ob es t u d i e dt h o r o u g h l ya n da n f t h i n gw h o s ei n t e r n a li n e c h a n i s mi 8 u n c l e a rc a nb es e e na sb l a c k - b o x i fw eo n l yk n o wp a r to ft h e8 t r u c t u r e 。fas y 舢 t e m ，w ec a l li t ”g r 鲥b 0 0 ( s o m e t i m e 8w ea l s oc a 姐i t ”b 1 a c ka n dw h i 她s y s t e m ”) t h i sk i n ( 主o fp r o b l e mc a nb ee n c o u n t e r e df r e n q u e n 毛l yi no u rd 出l yl i f e n 畦m 。r d e r n p h y s i c sr e s e a r c h s t a t i 8 t i c si sap o w e r f u lt o o li nt h er e s e 钾c ho ft h ep r o b l e m t h i 8 p a p e rd i s c u s s e sh o wt ow h i t e nt h e ”b l a c k 与旺，b y8 t a t i s t i c 越黼t h o d s ，b 洳昏f o r - w a r do p t i m u md e s i g no f ”g r a yb o x ”m 龇t e ra n dp u t sf o r w 甜dt h ei d e at o8 0 1 v et h e p r o b l e 粥， f o rac o m p l e c a t e ds y s t e m ，w ec a nd i v i d ei ti n t o8 e v e r a ls u b s y 8 t e m 8 ，w h i c h t 璐鑫b l a 矗b o xp r o b l e mi 躐e8 譬掣o n e 。t h i s 量s 惦em 0 8 tc r 主t 主c a l 鲢印趣t k e ) ( p e r i m e md e 8 i g n 8 0w ec a ni n v e s t i g a t et h e8 u b s y 8 t e m 8r a t h e rt h a nt h ei n t r i c a t e s y s t e m ，t h r o u 馥t h er 鹳e a r c 圭l 缱s t r u c 毫糕r e sa n d 糖l 艇圭。珏s h i p so ft h 髓e # 曲s y s t e m ， as t a t i 8 t i c 以m o d e l 王8d e v e l o p e d i nt h i sw a y ，t h ew h 0 1 es y s t e mc a nb ea n a l y 8 i s e d w 氧e 珏s t 疆畦y 汪gt kb l a c k - b 缓姆艇e m ，w h l c hf a c t o r s 勰ds 轻璐t 淤e 躲e 珏。tv e 姆c l e 辩 w ec a nw o r ko e rt h er e l a t i o n so ft h ei n p u ta n do u t p u to ft h e8 y s t e mt og e tt h e 蘸 u e 魄r e 。f 强es y 8 t e 辩i 璐匏砖。ft 殛s t 毽匆i 珏g 癌es 垤驻e t u r eo f 糖es y s t e 越d i r e e t l y t h i 8p a p e rm a i n l yd i s c u 8 8 e st h es i t u a 上i o nt h a tt h er e l a t i o no fo u t p u tv a r i a b l e s 强di n p 躐v 躯i 痨k s 巍i i 珏e 蔷r 勰da 嚣n 鳃r 趣。ll su s e dt 。羲专瞧eg r 螂s y s 毫e m ， a b s t r a c t 毡u s eo fl e a s ts q u r em e t h o d ( l s e ) a n dg e n e r a l i z e dl e a s ts q u a r em e t h o d ( g l s m ) t oe s t i m a t ep a r a m e t e r 8i nt h em o d e l t h e nw ec a ng e ts o m ec h a r a c t o r so ft h e l i n e a rm o d e l a tt h ee n do ft h i 8p a p e r ，o n ee x a m p l eo ff 0 1 1l 。wp o w e ro p e r a t i o n a l a m p l i 6 e r i sa n 出y z e db yt h es t a t i s t i cm e t h o da n di tp r o v e st h a tt h em e t h o di se a s i e r a n dm o r ee 赶色c t i v eu n d e rs e v e r a lc i r c u m s t a n c e ss u c ha st h ec i r c u i td e s i g no fi n t e g r a t e c l r c u l t k e y w o r d s ；b l a c ka n dw h i t es y s t e m ；m e t h o do fb l a c k _ b o x ；r e s p o n 8 i b i l i t ys u r - f a c e ；l e a s ts q u a r em e t h o d ；1 c m ，p o w e ro p e r a t i o n a la m p l i 丘e r 第1 章绪论 第1 章绪论 美国科学家n 维纳 1 一创立的控制论是二十世纪最重要的科学成果之一， 它很大程度上改变了我们对现实世界的认识，具有划时代的深远意义黑箱方 法作为控制论最重要的方法之一，对现代科学技术的发展具有不可估量的促 进作用。不仅如此黑箱方法还对认识论的发展具有重要的意义。因此对黑箱问 题的研究具有现实重要的价值。 1 1黑箱问题的简介 黑箱，自箱，黑白箱( 也称为灰箱) ，反映了人们对事物的认识程度对事 物或系统的结构全部认识，我们称之为白箱；丝毫没有一点认识称之为黑箱； 对事物或系统部分认识部分不认识，我们称之为黑白箱，它就是介于黑箱和 白箱系统之间的系统。 现实世界中，有很多客观事物，当人们还不可能或不允许或不值得深入剖 析其内部细节，清楚其内部情形时都可以看作黑箱淄 黑箱问题广泛存在于现实世界当中，控制论学者艾斯比指出；“所有的事 物都是黑箱，我们从小到老，一辈子都在与黑箱打交道。” 目那么黑箱是不可 认识的吗? 这就用到控制论所讲的黑箱方法在现代物理的研究和现实生活 中，黑箱( 在维纳那里又称为闭盒口1 ) ，是指人们一时无法或无需通过直接观 测来认识其内部结果、要素、本质特征和功能，只能从外部的整体输入值和整 体输出值的变化比较去认识现实系统。这种认识现实系统的方法就是通常所 体输出值的变化比较去认识现实系统。这种认识现实系统的方法就是通常所 北京工业大学理学硕士学位论文 说的黑箱方法。黑箱方法就是通过从外部输入黑箱一定的信息，观察和测试黑 箱输出的信息便可以认识其功能和作用机理。控制论认为，黑箱方法就是不打 开系统本身，而仅从系统的整体联系出发，通过对系统的输入与输出的关系的 分析研究，从而把握系统的功能和特性、探索其结构与机理的研究方法。 黑箱在客观世界是普遍存在的，但是并非不可认识在实际研究中，我们 所谓的黑箱方法就是按以下步骤研究黑箱： 首先把黑箱当作一个相对孤立的系统，把与研究目标无关的或次要的联 系暂且不管。这时候再由人主动向黑箱输入，对黑箱施加各种影响和作用，然 后观察黑箱对输入的反应，即黑箱的输出。如此反复多次，通过对输入和输出 的观察了解黑箱的功能 其次通过输入与输出，主动考察黑箱人们通过可控制变量对黑箱实施控 制，为黑箱变化变化创造条件，然后观察黑箱的反应了解其状态变化。也就是 说，通过考察人对黑箱施加的各种典型的输入，观察其输出反应，取得输入与 输出两组数据，以此作为黑箱认识的依据。 最后，建立模型，辨识黑箱在获得了关于黑箱大量的输入与输出数据之 后，对这些数据进行“去粗取精，去伪存真”的分析和整理排除其中无用和 虚假的数据，然后根据整理的数据或信息建立阐明黑箱的模型( 一般常用数学 模型) 。凭借模型探究黑箱系统的功能和特性。进而对其内部结构和机理做出 某些推测，达到系统辨识的目的。 当然，黑箱方法在实际应用中，情况远非我们描述的如此简单明了。由于 黑箱的输入和输出并不都是单值，因而要求人们采用较为复杂的手段或者增 北京工业大学理学硕士学位论文 变量y 响应向量对输入向量的依赖关系可表示为 e y = 9 ( x ) 或 y = 9 ( x ) 十e 对于白箱就是9 ( ) 是已知的，黑箱9 ( ) 是未知的( 如图1 ) 。如何选取一 g ( 1 。2 3 ) 图1 ：黑箱 组输入并测量相应的输出就是试验设计，基于这些数据找出9 ( ) 的近似表达 式就是试验设计的统计分析。系统和函数间建立了对应关系各种家用电器都 是系统的例子。同种产品个体间的差异是随机的，这种描述个体差异的随机变 量叫做随机参数，以卢记之随机参数是非控制参数。对一个系统除随机参 数外，还有调整参数使系统处于良好状态。因此，黑箱函数应该是 y = 9 ( x ；q ：芦) + e 第l 牵绪 论 鬻敲税：不能真正实凌垒两傥纯，掰请静激饶只怒近稼的，最霞点谗只蓬较优 点。但实际应用表明，离散优化完全能够满足一般科研椒生产的实际需要。 对于一般的建模，是抱输入因子、可控因素与不可控因素同时考虑，研究 系统的输_滋值(邈麓是要骈究静工艺稽稼)与它们三者的绫性或菲线性关系并 考虑这三赣之间有无交叉影响，建立模型，在这里，我们分两步考虑；首先仅 研究输出变量y 和输入变詹x 的关系 x 北京工业大学理学硕士学位论文 2 。l 吾l 害 第2 章黑自系统的统计建模 对一个系统兹骚究可以转毙为黠若予令予系缝豹骚究，每个予系统冒鑫 其系统参数决定，这些因索可分为两类： 1 + 可控因索( a ) ：是在设计和制造过程中可以人为控制的因素，在同一随 枧参数下毒选不强熬诞整参数，霹以遗避潺整袋羧毒鏖这蘩羲懋蓬，爨赡 在电路中电阻的选择。 2 不可控因素( 妒) ：也嘲噪声因索，它麓引起指标y 波动的源泉，它是不 可以浞攘鲍。宾又可分为三静； 外部噪声：系统在逡行中由于环境和使用因索的差异或变化而影响指 标特往稳定往静茵索，翔澈度、温度等环境条件和使用条件等 内部噪声：暴统在存放秘使建过程中，随时阀的推移薅直按影嚏掺掭 特性的因素，如储存、老化等。 隧梭漂声：也称为产品阉襟声，蔻系统由予在生产中入、钒、料等鹣 差异而使产品质量特性发生波动的因素，如元器件的实际傻与标称馕 问的差异。虽然它无法预测，但它服从一定的统计规律。 这萋，我们掰考虑静不可控因索主要怒寝于予系统中部释静不同丽使系 统发生波动的随机噪声，其它噪声我们不予细致考虑，将其影响综合考虑，袭 现为方程中的误差顶e 。 第2 章黑童系统的统诗建摸 下面，我们冀研究子聚统馥镑构，把予系统蓍作一个系统，这样它的结构 如图3 所示：在设计中，我们关心的是选择可控因素的水平，以使产品对噪 罄3 ：作震撬瑾 声戆响应其蠢最小兹灵敏疫，著纛霹鞋遗巍懿谖整鹫嚣抟馕上，寻求尽胃魏不 受干扰的最佳参数水平组合。 于是，黑箱象统函数表示为9 ( x ；a ，p ) ，a 是调整参数，它可以人为控 裁，在窝一淹壤参数下逡不圈煞调整参数。多蹙夔瓿参数，一基选定不再 变化；x 是输入燮量，擞同样的随机参数和调整参数下，可以巴选定输入变 鬣，测量输出变蹙。给定随机参数和调整参数就怒一个系统实际上，黑箱模 戮表示势 y = g ( x i a ；p ) + ；e e o 当调整参数。和随机参数卢取定后，它就是由随机参数n 和调凝参数罔确 患的黧箱系统。当9 ( ，) 有确定夥式豹参数模垄，就可导出特定静统计模型。它 也可以是非参数模型。以下考虑线性模型j 数据续梅。 “黑箱”函数可以表示为 一9 扛：o 。卢) + e 北京工业大学理学硕士学位论文 其中x 是输入变量，y 是响应变量，a 是可控参数，卢是随机参数，e 是误 差项。 这样，我们就可以用统计中的试验设计的思想和方法来研究解决“黑箱” 问题。 2 2 线性模型 对于线性集成电路，一般输出信号与输入信号的变化成线性关系，如运算 放大器，音频、中频及宽频带放大器等所以对我们所要考虑的低功效运算放 大器系统，可认为函数关系是线性的或者是近似线性的，故以下我们就输入变 量z = ( 茹1 ，。2 ，却一，) 与输出变量g 是线性关系进行讨论； 这样模型可以表示为： 舍z = 可= 1 b + 7 1 0 1 + + - 一1 唧一1 + e = 茁1 + 1 d 一1 则 ( 2 1 ) 其中，7 是线性模型参数，它依赖于可控参数a 和随机参数p ，则7 可 表示为由。和卢确定的模型。我们在此考虑1 与可控参数a 和随机参数卢是 线性关系和非线性关系的情况。 第2 章黑白系统的统计建模 2 2 1 ，y 是。与卢的线性函数 1 = r o = 假设7 可由可控参数。和随机参数卢线性表出 1 0 07 0 1 1 1 0，y 1 1 饰一1 01 - 一” 加k + f ，y l b + f l 0 1 a k 伪 =r(；=r。+ra+r。卢c22， 其中n 为1 维，卢为f 1 维列向量，r = ( r 。r ，1 1 。) ，这里 0 7 1 0 饰一1 0 伽l 7 1 1 伽k ，y l t 饰一1 1 饰一l k 将( 2 2 ) 代入( 2 1 ) 中，可得 ，r 2 掣= z r o + 嚣r l n + 。r 2 口+ 6 2 2 1 1 变量y 为一维变量 加+ l 1 1 缸 l 伽k + f 7 1 + f 场一1 k + 1 。饰一1 + ( 2 3 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 不妨设。为1 维，卢为f 1 维 蓼= 0 7 + ，7 = r o 十 1 8 + f 2 罗 7 为p l 维向量，r l 为p 维矩阵，f 2 为p l 维矩眸。 = n 1 时 当筘一芦l ，时，假设傲了n l ，次试验，褥 e 9 1 ( 1 1 ) r o + 1 ) 一g m ( 1 1 ) r 当参一照2 时，羧设敛了” = 鬈l ( 1 1 ) r l 甜1 十z 1 ( 1 l o + z 。1 1 ( 1 1 ) r l o l + 1 2 次试验，褥 茹l ( 1 2 ) f l n l + z 1 ( 1 2 o + g 。1 2 ( 1 2 ) r l d l + 当多一愿6 ，时，簌设骰了搬b 次试骏，褥 ) n 胁1 + e 1 ( 1 1 ) 茹n l l ( 1 1 ) r 2 卢1 1 + e 。l l ( 1 1 ) ) r 2 角2 + e l ( 1 2 ) 搿n 1 3 ( 1 2 ) r 2 卢1 2 十e 。1 2 ( 1 2 ) 鼎l + 。1 ( ”1 ) r 2 卢1 6 l + 霹1 ( 1 b 1 ) 1 h ) r 1 0 1 + 茹n 6 l ( 1 6 1 ) r 2 芦l b l + e n b 。( 1 6 1 ) f 饥 h 研 ，l 趴 n + 0 p q 机 _ 莹 n 虮 | | i l ，= u ， 怕 h 0 “ 。 靴 掣 弘 ，、【 第2 章黑白系统的统计建模 。：f “：u1 ，y 叫。表示将矩阵按列拉直。 e ( m 6 m ) 注：特殊情况a ，卢为一维时，由( 2 4 ) 知 可得矩阵形式 其中除夏： 可( 巧) = 茁( 巧) r o + d t z ( 巧) 1 1 1 + 助茁( 巧) r 2 十e ( 0 ) y = x f o + 贾r 1 + x ( 卢) 1 1 2 + e ( 2 7 ) a l 。( 1 6 1 ) a 2 z ( 2 1 ) d 2 z ( 2 b 2 ) a 。( m 1 ) m z ( m 6 m ) 2 2 1 2 变量y 为多维变量 同上稍有不同外，其他变量符号代表意义相 北京工业大学理学硕士学位论文 研究q 个因变量h ，m ，k 和x l ，恐：，昂一l 之间的关系 b = 啊+ 7 1 j x l + 又对h ，k ，一，k 和x l ，蜀，玛一1 做n 次观测，得如 记k 。= 口= b p q = 1 z n l 岛1岛2 昂一1 l 岛一1 2 e 1 1e 1 2 e n le n 2 = ( h ，y 2 ，k ) ( _ 8 - ，恳，岛) 则y = x b + e 这里行向量互不相关，均值为o ，协方差矩阵为= ( 以，) 。q 只需将矩阵向 量化就可转化为前述情况： y e c ( y ) = ( 0 x ) v e c ( b ) + y e c ( ) 驴 驴 茁 z 2 2 驰 ；宝 u n z o l 1 驵 骱 ， g g ；| 钿 ，i，、，ii、 第2 章黑白系统的统计建模 f l v e c ( b ) = rla l 卢 这里的y e c ( y ) ，j x ，矿e c ) 分别簿同于前面所述的e x ，7 ，故由前述讨论 可得各种情况下的相应的模戮。 2 2 2 ，y 与。和p 是非线性关系 上面我们用线性回归系统对黑匣子系统进行了功能模拟，其中将噪声因 子看成具有一定分布的随祝变嚣赢接带入模型，然搿稀用线性模型的理论，给 妻毽了摸登估计所需鹩数据绪擒，这样就可菝撵鑫模麓的参数估计及箕若干往 爨( 羹第三掌) ，避嚣秘究了瀑鑫系统酌动箍。螽暴线淫模登效采良好那么该 方法较之传缆的方法霹黻苇约大量黪实骏成本，芳奠统幸 意义骥礁，鑫然麓题 就解决了，但是绽往系统的参数7 与可控参数n 和隧枧参数叠之阕爨 线性 关系的，这样我们就需囊求助子其它形式的模毅来拟会黑箱的功能这包撼二 次曲耐模型和非参数模型等等。本节从另外一个角度研究了黑自系统的统计 建模。 类似于试验设计中的思想，我们可以将系统的参数 看成控参数n 和随 机参数口的一个响应曲面，进而建立一个二次的响应曲面模型去研究黑箱的 结构功能，但必须指出的是较之参数设计，虽然思想类似但本文研究的问题 踅加复杂，闲为我们不仅要考虑可控因子和噪声因子对黑箱输出的影响_ j 丕必 须考虑模登输入静影响，此时我们所研究的问题就转化成了壹接研究模型输 、lllii，l， j e 寒工业大学理学硕士学位论文 入、可控嚣子与臻声霞予熬效应麓题。 通过响应建模法研究黑皂系统的噪声因子和可控因予的效应，可以炭滔 的选择适幽的输入，考察输入与输出之间的关系，该部分我们认为黑白系统满 麓浚下条佟： ( 1 ) 黑自系统的输入秘输韪之闻是线性关系； ( 2 ) 可控因子对于模型的输出具有一次或者二次效应，包括可控因子间的 交曩效爱； ( 3 ) 噪声因子对于输出只有一次效应( 一般认为噪声因子的二次效应、交互 效应较小，可以忽略) ； 4 鼍控霆子与噪声溜子箕考突互效寂，邃氆楚我销下一步实凌对手慧自 系统进行参数设计的重要条件。 基于上面的簧求，用下列响威曲面模毅描述系统的输出值y 与输入值。= ( 1 ，。l ，孙一i ) ，可控嚣予8 = ( 8 l ，觏) ，礤声黻予筘一洒，) 之阚的 关系 掣= 茁7 十e ，7 = 饷 舰 饰一1 粕= l o + l l q + f 1 2 玲+ 。r 1 3 错+ d r l 4 筘 印一1 端r p 一1 ，o 十r p 一1 ，l 。十r 芦一1 ，2 p + 7 f p 1 ，3 + 0 7 i p 1 ，4 胆 第2 章黑白系统的统计建模 那么 7 忙。 + ( ：= r o + r 1 鼎+ r 2 p + 故 r n b e ( 口e c r p 一1 ，3 ) 妇0 a ) 声仨心 忙n ， y = x 叫+ e = x r o + x 王l o + x i 、2 黟+ o o x ) 钳8 e r 3 + ( 圆a 7 0 j f ) 砧b c i 、4 + e = x r o + ( o x ) 8 c f l + ( p o x ) e c r 2 十( o o n o x ) u e c r 3 十( 卢oa c 固x ) 础e c r 4 + ， 。( x 。x 矿。x g 3 2 模型中的参数估计( 一)( 3 。2 )( 3 3 ) 鳃巢纛实验室条箨下猱声嚣予燕麓可控霾子一襻可班被久为控制，鄹么 第2 嫩黑自强统的统计建模 将( 29 ) 中的x 换成妒暖) 可以平行得到棚应结论。 小结 本章从不同的角度由简翠到复杂介绍了黑箱系统的建模方法。首先建立 绫往模鍪，然磊考虑二次整蠢模登，遂而考虑一般鹣统计模鹫包括菲参数统 诗模黧对黑籍系绕凌锈戆毅台。在实舔熬应蘑中，投据泰赣公式胃籍，一般的 统诗摸型可鼹多矮式遥返，爨戴在糖度要求不爨强离蛇跨况下，我们建立黪二 次蓝霹模型往往戟能够达到较好的擞合效果。这在我癜斌嚣第哩章的骚突模 烈的实际应用时就可以器出来 “统计既是一门技术，又是一f 、1 艺术。”农实际应用中如何选择合适的可 控因子、噪声因子和合适的模型对黑箱的功能进行模拟，黼要具体问题具体分 析一般我们可以先建立线性模型或二次曲面模型，然后确定试验方法，获得 试验数据，褥根据可控参数和噪声参数次和二次效应的姓著性确定模型若 我们给出的模型拟合效果不好，再考虑其它更加一般的模毅。这是统计应用灵 活往与技术性的舆体体现 北京工业大学理学硕士学位论文 阶矩阵。我们假定d 列满秩。将模型中的参数合起来，可表示为如下的n 维 列向量： ”= ( f m 即。即：) ) t 由实验得到的的观测值记为 f = ( 9 1 1 ，1 6 一，1 ，6 。) t ，各次实验的误差啊，j = 1 ，2 ，玩，江 l ，2 ，mt 谢( o ，口2 ) 。故模型( 2 6 ) 有： y = d 叩+ e ，e ( 0 ，盯2 厶) 根据线性模型的理论知，q 的最小二乘估计为 0 = ( d d ) 一1 d 一；( q ，口2 ( d d ) 一1 )( 3 4 ) a 2 的无偏估计为 手： ( y d 日) ( y d 日) ”q 将( 3 2 ) ，( 3 3 ) 中的参数r o ，r 1 ，r 2 ，a 2 分别用其估计代替，便得到u 。，程 的估计： 也。= 。( f o + f l a ) ( 35 ) 占：= 占2 + 晶( z p 2 ) ( z f l 2 ) ( 3 6 ) 故： 也。= ( 茁a o z0 ) 碲 ( 。岛) = ”e c ( z 如) = ( ooj o 。) 日 第3 章黑自系统的参数估计及性质 因魏 其中， p 磊) 一缸如，d 1 )( 3 。7 ) 癌l = y 8 f ( 磊。) = ( 若硅圆寥e ) f 8 r ( 毒) ( $ 0 ) = 口2 g 。o o ) ( d _ d ) 一1 ( 。& o 茗o ) 。 d 1 = y r ( 搿r 2 ) 端盯2 ( oo ，圆。，) ( d d ) 一1 ( 0o 静。7 g i 理2 1若0 一( 口，口2 k ) ，则 ( 1 ) 曰( d ) = 日口+ d 2 抒( 嵋) ，( 2 ) 矿o r ( 伊) 一4 口2 9 k 口+ 2 口4 亡r ( 瞪) 诫明；见王松挂等线性模型弓 论p 6 8 定理2 1 对( 3 6 ) ，子! 是畦的有偏估计，其方麓大小聋旺( 一n ) 的均僵 与方藏有关 证明：由引理l 及露( 铲) 一口2 ，矿o r ( 铲) = 2 口4 加一日可得。 e ( 程) = e ( a ) + 口3 日( ( z 7 p 2 ) ( z p 2 ) 7 ) = 口2 十口；( 。予2 ) ( 嚣p 2 ) + # ；打( d 1 ) 矿甜( a ；) 一y # r ( 参) + 口y n r ( ( 。 2 ) ( 。7 堂2 ) ) 一誉+ 4 硝( 。妻2 ) 移l 。争2 ) + 2 口；如( 。1 ) 定理诞毕。 ， 由上可以看出：寺i 是a ：的有德估计，偏移程度由( 。7 r 2 ) 的方嫠决定， 镌的方差大小既与( 。7 r 2 ) 的均值有关，也与霹的方羞有关。 北京工业大学理学硕士学位论文 3 3 模型中的参数估计( 二) 估计( 一) 讨论的在实验室条件下噪声因子如同可控因子可被人为控制的 情况，显然这样的估计在实际应用中不能被接受。下面讨论的是它不可被控制 时的估计。设第i 号可控因子的水平组合为，相应第i 号不可控因子组合 为屈j ，g ( 巧) ，j = 1 ，2 ，一，m ，i = l ，2 ，一，m ，由( 2 4 ) 可得 掣( 订) = z ( 巧) r o + 血：o 。( 妇) y e c ( f 1 ) 十。( 巧) r 2 尚+ e ( 巧)( 3 8 ) 我们设如= r 2 ，不妨设幻的期望为o ( 若不然= 一四( d e ，) + e ( 略) ，令嘞卜吗一e ( ) ，e ( ) 可视为常数项提到前面) ，方差为玎， z ( 巧) = 忙( 巧) o ：o z ( 玎) ) ，a = ( r 6y e c ( r 1 ) ) 7 ，e ( 巧) = z ( j ) d 玎+ e ( 巧) ，则可 将( 3 8 ) 写成： 可( 巧) = z ( 巧) 入+ e ( 甜)( 3 9 ) 其中，= 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，m ，e ( 巧) 一( o ，z ( 巧) e 一( 玎) + 口2 厶“) 记 y = ( g ”1 ) ，( m ) ) 7 ，e = ( e ( 1 1 ) ，e ( m ) ) 7 ， z = ( 一( 1 1 ) ，一，z ( m 6 m ) ) ，d = 出。9 ( d 1 1 ，一，d 。6 。) 其中_ d 巧= z ( 巧) z ( 巧) + 0 2 厶。，则根据( 3 9 ) 可得： 】，= z + e ，e ( o ，d )( 3 1 0 ) 由( 3 1 0 ) 可得估计： 天= ( z z ) 一1 z yf 3 1 1 ) 第3 章黑白系统的参数估计及性质 定理2 2i 是a 的无偏估计，其方差为 md 2m0 tm0 1 a o ”( 入) = ( z 俅j ) z ( 巧) ) - 1 ( z 协j ) z ( 巧) 。坼j ) z ( 巧) ) ( ( 巧) z ( 巧) ) _ 1 4 = 1 ，= l t = 1j = 1i = 1j = 1 ，n0 + 口2 ( 一( 巧) z ( 巧) ) _ 1 证明：由定义易证 模型数据的随机性来源于测量误差e 和随机参数卢，测量误差的方差a 2 对参数a 的估计精度有重要影响，下面我们给出a 2 的估计形式。 引理2 2设e ( x ) = 弘，g o t j ( x ) = ，则 e ( x a x ) = p 7 a p + 打( a ) 证明：见王松桂等线性模型引论p 5 7 定理2 3 a 2 有如下无偏估计： 牡d 娄薹 其中占弓= 寿，r ，= ( 物一锄_ 爻。，) ( 物一勺b ) 证明：要证定理成立，只需证e 子弓= 0 2 即可。 对于模型 其中z ( 巧) = ( z ( 巧) d ；圆z ( 巧) ) ， e ( 巧) _ ( o z ( 巧) z ( 巧) + 盯2 厶，) 北京工业大学理学硕士学位论文 a 的最小二乘解为： i = ( z 心j ) z ( 巧) ) 一2 协j ) g ( 玎) ，那么 e b ( 巧) 一z ( 旬) ) ( y ( 巧) 一z ( 巧) a ) = e 可7 ( 玎) ( 厶j z ( 巧) ( 一( 巧) z ( t j ) ) z ( 巧) ) g ( 巧) = 打( 厶，一z ( 玎) ( ( 妇) z ( 巧) ) z 7 ( 巧) ) ( z ( 巧) 。( 巧) + 仃2 矗。) = 盯2 押( 五j z ( 巧) ( 2 ，( 巧) z ( 巧) ) ( 巧) ) = 盯2 ( n 巧一p a ) 其中p 玎= r n n ( z ( i j ) ) 故b ( 占2 ) = e ( a 弓) = e ( 血也上型鼍毪弩器捌) = 盯2 定理证毕 3 4 模型中的参数估计( 三) 以上我们直接利用最小二乘法直接给出了参数的估计，下面我们利用间 接法给出参数的估计。 第一步，基于观测矩阵d ，可由模型 得到参数，y ( a 。，岛) 的估计( a 。岛) ； 第二步，基于模型 ( ，岛) = r l o i 岛 ，。一 第3 章黑自系统的参数镳计及性廪 这样，我们寇。= a i ，声= 岛辩，逶遗式( 1 ) ，鑫不潜的x 取缀可疆褥到 不同的输出僮砖故盎最小二乘估计可得到7 ( a i ，岛) 的估计，然后i ，j 跑过数 据矩阵所有标号，我们就可以由上式得到参数矩阵的估计 3 5小结 本章对统计模型的参数进行了估计，给出它们分量的表示和各自的协方 蓑黪。其孛参数售诗一) 是缓设农实验室条舞下黟疑莓控参数一缂爵淤被控 制，根据全部数据结构利用最小= 乘估计给出参数的估计假；参数估计( 二) 是一般情况下，p 看作随机项，对o ，芦取遍所有范围内的数值得到的参数估 诗蠖。叁鼗可戳番蹬，方浚( 一) 英套是羧洼，应愿蛙不鞭；方法二) 冀有 般性，湖数据充足时得到的估计会更精确，方法( 三) 利用间接法给出参数 的估计，第一步很容易得到7 的估计值，有时候第二步通过观察就可以得到 关系式的避戗，受缎方便髓洁本文最詹黪倒子就是缀好鹣例证， 筹4 章f 0 1 1 戮低功耗避箕放大器的统计研究 倍数等) 诵整到骈希望的往何数值。 多级嶷接辍合放大器憋最大阉题是零点漂移。放大器申毒许多元件懿参 数随温度的改变而改变，温度与电源电压的变动使一个原本是“零入零出”的 壹接藕合效大器，在没有信号输入时也会产生奠名其妙的输出变讫，这个现象 就h q 零点漂移。集成运算放大器也存在着零点漂移现象，因此在磷究其输爨时 必须考虑失调电压t ，o 及失调电流如引起的运算误箍。 当然我稻往往还遥虱箕谴一黧可以引起输出谈差静淼因：魏绥地图潞电 流所引起的运算误差；开环放大倍数的有限性引懿的运算误差等等。 由于上述的各种误差以及运算放大器本身结构的复杂性，仪仅利用分析 其绩梅特点计算输疆显然燕菲常簸杂并且往往是无效静。因此我们可以利用 本文提出的黑籍的统计建模方法对集成这箕放大器进行磷究。下藤一节我嬲 就利用该方法对一个实际问题进行研究。 4 2 f 0 1 1 型低功耗运算放大器的统计建模 f 0 1 1 烈低功耗运算放大器【5 】怒天水永红器械厂( 七四九厂) 舀勺仿日p p e 2 5 3 型产晶，翼有功耗低、增懿高、工作点稳寇、共模范疆宽不易起振、补偿简单 及毒短路保护等特点。其实际电路见图4 + 前面我们已经指出由于运算放大器的内部电路结构相当复杂，以及影响 冀输盘酌溺素菲常多，螽聚通过窀，路结檎研究其输出将蔻一件非常复杂鹋工 作，但如聚利用本文螅黑籀方法礤究这个阗题就j s 常簿单实尾。 实际电路中，包括两部分元件即内部元件和外部元件。其中内部元件结 北京工业大学理学硕士学位论文 图4 ：外部电路图 构和功能相当复杂，而外部元件的作用有两类：一类是保证运算放大器正常工 作用的，如供电电源、调零电位器、防振电容等；另一类是与输入、输出信号 直接有关的元件如r ，r ，等。在作原理分析时，通常把第一类元件略去不画 以保持图面的简洁，这样我们得到了我们要分析的黑箱图如图5 ： 图5 ：黑箱图 为了利用本文的黑箱统计建模法理这个问题。需要找出影响输出的可控 因素和噪声因素。通过前面的分析可知：我们可以通过调节毋，r ，来控制运 第4 章f 0 1 l 型低功耗运算放大器的统计研究 放的输出。影响逐放输如的还包括其他噪声因素如：失调电压及失调电流 如等等。 x 寸于本文考虑的f o l l 型低功耗运算放大器，我们首先在理想情况下研究 冀功能，这魑理想条件包括： 1 、理想的零入零出无输入失调； 2 、对共模信号竞反应； 3 、对差模僖号敖大倍数极嵩； 4 、电压驱凌，不取辏入售号懿电滚； 5 、理想恒难埝爨等 设其输入电鼹为“l ，辕疆鬯服鸯“2 ，是嚣奄分别表示遥过电阻逸嚣 r ，的电流。由于运放满足理想条 毕，我们得下匿的关系； 是一击( 壤一礞) 一击两一蚴 i l = l | 因此可得： 撕2 蠢嘶 盘 但实际的线路不同于理想状态，这种方法往往是无效的。集成运放是在硅 晶片上用集成工艺制作的双极晶体管、场效应晶体管、电阻、电容等器件组成 的，是具有优良线性放大功能的电路器件，因此它也像普通的半导体器件及元 器件一样，不可避免地舆有噪声，邵自发的随机起伏的电压和电流。从噪声产 北京工业大学理学硕士学位论文 生的机理来看，集成运放的噪声主要包括热噪声、散弹噪声、复合噪声和闪变 噪声。 具体来说对于我们上面考虑的运放，我们在实际电路中遇到的噪声因素 带来的误差可能有以下几种类型： l 、失调电压及其漂移的影响。 2 、失调电流及其热漂移的影响； 3 、开环放大倍数的有限性，引起的运算误差。 4 、接地回路电流的影响。 由于运算放大器工作在反相输入的情况下，两个输入端上不会出现共模 信号。因而本型产品不必考虑共模信号引起的运算误差 通过以上的讨论可知，在实际的运算放大器中，由于参数不是理想值，均 会导致相应的误差。由于运放内部结构复杂，如果通过线路结构分析这些误差 对输出结果的影响，将是一件非常复杂的工作，有时是完全不可能的。利用黑 箱统计建模法就可以处理这个问题。我们不需要单独计算每种误差对输出的 影响，只需要找出影响输出的可控因子和噪声因子，然后建立统计模型，设计 出实验数据结构，根据运算放大器的输出结果，考虑模型中各种误差因素回归 系数的显著性以及回归系数的大小即可确定各种因素对输出的影响。 4 3 集成运算放大器统计模型分析 通过前面的分析可知，要建立f 0 1 l 型低功耗运算放大器的功能模拟模型 需要按下面的步骤进行： 第4 章f o l l 缎低功耗运算放大器的统计研究 l ，确定模测的可控因子和噪声因子，并初步分析各种因予对模型可能产生的 影响。这是建立一个好的统计模型重要的一步。 2 ，初步建立统计模型，并设计出确立该模型的数据结构，进行试验，获得确 定模激的试验数据 3 ，根据实验数据拟合模垄，分析各种溺素静影响，确立模型。 下面我们根据上衙的步骤，对本章需要讨论的运算放大器避行统计分析。 对于该型运算放大器我们可以看到其输入与输出均是一维的。从我们前 面的分析也可戳看出影响其最后输出的可控围素为r ，硒由于我们通过前 面静分析辩遭，疆悫虢态下“2 一警u 1 因诧为了将来建立的耩鍪简单起觅， 我羁将鲁作为将寒统计模瓣中静一令冒控爨子，努羚将露，佟为一个可控嚣 子。燕然象，两与玛，r l 可默摆蔓凌定，敬秀等徐静。 可令 n 1 = 鬻，a 2 = r ，。= 然后考虑噪声因子，盲簦面我们已经讨论过影响运算放大器输出的噪声因 素。即 1 、失调电压及其热漂移的影响 2 、失调电流及其热漂移的影响； 3 、开环放大倍数的有限性，引起的运算误慧 4 、接地回路电流的影响。 我们知道对于后两种噪声因素我们可以通过控制线路中的元件进行控制， 而前两种喋声虽然可以通过输入失调电压和失调电流控制误麓的影响，僵由 北京工监大攀理学碾士学位论文 质= 确，危= 矗，一匕) ， 掣= 钧+ 乍芏+ s 其中钧，7 为冒控参数辩随橇参数声鹃番数，表示蕊 l l 误豢， 我f f 】薅嚣步法研究模鼙翡估计闺瑟。舔首先禳糖试验数据攘合线往模型， 绘塞黧羟系数强鬻数璎静藩诗，然基努辑摸型孛霉彗薹系数乍翻鬻数璞糯与爵 控参数之阕约函数关系，这榉裁慰可控参数秘疆虮参数对运算放大器戆炊憩 的影嗡有了更加深刻的认识。 对于。可控参数豢我们取三个水平2 、4 、8 来做试验，并记录下每次实 验的输入与输出，可得