（概率论与数理统计专业论文）随机变量组列的完全收敛性质.pdf

摘要 全文共分四章： 第一章，我们给出了前人的一些经典的结果，本文主要就是在不同的背景下推广这 些结论 第二章，讨论了行内独立随机组列的完全收敛性，在这一章我们首先给出了一个一 般化的h o f f m a n n - j o r g e n s e n 不等式，即不在要求随机变量是对称的情况利用这个推广 我们得到了比h u ( 2 0 0 3 ) 以及g a n ( 2 0 0 5 ) ，s u n g ( 2 0 0 5 ) 更加j “泛的结论，即： 定理21 设 x 1 sm 。，n 1 ) 是定义在( q ，莎，p ) 上的行内独立的随机变 量 m ”n 1 ) 是一个止整数列，并且l i mm 。= 。， c 。， 1 ) 是一个正常数列若 有下面条件成立： 。 m n ( 1 1v e 0 ，p ( i 。l2 ) 0 0 ， t l = jk = 1 ( 2 ) 存在大于零的j 和p 以及6 使得：c 。( e i 墨k p i i x 。i 0 ，c n p ( i 墨。i 芝) o 。， = 1= l o 。 m n ( 2 ) 存在大于零的j 和p 使得：( e i x 。i ) 0 ，有 p p 蜘i i t s , xl 若剐h k 。 利用定理2 2 我们给出一个推论2 7 是h u ( 1 9 8 9 ) 主要结论的一般化，也是 g u t ( 1 9 9 2 ) 的定理2 1 一般化，v i c t o r ( 2 0 0 6 ) 等人给出的结论考虑了1sq 2 的情 况，卜面我们哥岍j 定理2 2 发现其实在0 q 2 也是有下面的结论成立的，即： 推论2 7 假设 凰。，1sk 茎n ，n 1 ) 是定义在( 化箩，p ) 上的行内独立且均值为 i 浙江大学硕士学位论文 零的随机变量，并且被随机变量x 在c e s a m 意义下随机控制，0 q 0 ，e c n 尸( i 五i ) 1 和p o r p j l ，以及6 0 使得：c r i ( e l 五i 吖 。瞬) ) 0 ，有 o o 。m 岛p 。；m a x 。l 一e 。“x 拶川e 1 ，当有下面条件满足 时： ( 1 ) v e 0 ，n 2 p i x 划 e 0 ，磁 阢。f 计= d ( 挖一) 一) 则对任意的 0 ，有 我们得到 五。，1 k ，n21 ) 其每一行是p 混合序列情况下也有结论： 定理3 4 设随机阵列 x 。，1 k ，l 1 其每一行是p 混合序列，p 1 且 r 1 ，k ，凡1 是正整数，当有下面条件满足时： ( 1 ) 垤 0 ，礼9 2 p i 五i i | e n 。) 0 ，e 礁 i 托。胁 = o ( n 一5 ) m o o ) = l 则对任意的 0 ，有 l n ”2 p 。浆鼍i 【一e m 。胁 】i e 矿) 0 ，c r i p ( i i x 。0 ) 0 ，c ，l ( e i i x 。0 l l l x 。l l s 6 ) ) 0 ，有 p 。m 。& 。x 。o 【x n 。一e 。 i 。喇川l e ) m n = l 一一。k = 1 该定理的推论中我们提到其实可以把定理2 1 推广到p ( 1 ps2 ) 型的b a n a c h 空间 定理4 2 设b 是g 型b a n a c h 空间( 1sq 。2 y ， 。，1 k n ，n 1 ) 是b 值的 行独立随机组列若对于0 r 0 ，有 ， 螈 a 0n n ”2 p | i 阢。一e 。 l l x 。怄一) 川矿e ) 0 ，岛p ( j 。1 2e ) o ，p 0 ，6 0 ，岛( e i x 。i i x 。即1 ) j 0 ， 一e 。h l x o 。l ! 町】i e ) 0 ，g l p o x 。i e ) o ，p 0 ，( e i k 。i ) j 0 ， 三p 。墨i 蚤墨- i 芝5 ) u s i n gt h e o r e m 2 2w e c a ng e tac o n c l u s i o n ，w h i c hi sa g e n e r a t i o no ft h em a i n r e s u l t o f h u ( 1 9 8 9 ) ( c a l s og u t ( 1 9 9 2 ) ，t h e o r e m 2 1 ) v i c t o r ( 2 0 0 6 ) p r o v e d t h es i t u a t i o nw h e n1 g 2 w ep r o v e dt h ec o n c l u s i o na l s or i g h tf o r0 口 2 t h ec o n c l u s i o ni s ： 。 焉一 m 鲫 h 臼 c o r o l l a r y2 7l e t 瓦礓，1 七s 仃k ，n 1 b e a na r r a yo fr o w w i s ei n d e p e n d e n t l n e a nz 盯or a n d o mv a r i a b l ew h i c ha r as t o c h a s t i c a l l yd o m i n a t e di nt h ec e s & r os e n s eb y a m d o m v a r i a b l e x ，0 口 0a n d 力 1 ，6 0 ，( e l - l p l l l x 。l 茎”) j 0 ， 萎卅，墨l 善【x n kb 巩 础 舱拈 w ec a ns e et h i st h e o r e mi sg e n e r a t i o no ft h e o r e m 2 1f o r 力 1 t h e o r e m 3 2l e t ( k k ，1s 七s 仃k ，n 1 ) b e 锄a r r a y o fr o w w i s e n e g a t i v e l y a s s o c i - a t e dr a n d o mv a r i a b l e s r 1 ，s u p p o s et h a t ： ( 1 ) 垤 0 ，一2 ep l x 畦i ) 0 ，e 砩女 m 。断) = o ( - 一) 一) t h e n f b r a 0 ， i 一2 尸 器麓i 【置止一e 墨小 l 。胁 ” e l ，ko fp o s i t i v ei n t e g e r s ，s u p p o s e t h a t ： ( 1 ) 垤 0 ，礼。p 2 p i x 耐l 矿) o ，登e x 基j “。脚，= d ( n 一6 ) m o o ) t h e n f b r a u 0 ， o o 1 扩2 尸 。琶茏i 一瓯- 胁川 矿 0 ，c - a p ( i i 墨。0 - - - - c ) 0 ，岛( e i i x n 。i i 。蚴) ) 0 ， 三卅，蹶o k = l 陬一蹴山训肥水o 。 t h e o r e m4 2 l e t k ，1s 七s ，扎21 ) b ea na r r a yo fr o w w i s ei n d e p e n d e n t r a n d o me l e m e n t st a k i n gv a l u e si nar e a ls e p a r a b l eb a n a c hs p a c eo ft y p eq ( 1 q 2 ) ，0 r 0 j 9 ) 厶 e k “l 。i i - 0 ，若有下面条件成立： n - = l o o k ( 1 ) v 0 ，岛p ( i l e ) 0 ，a n p ( i k 。i e ) 0 ，e a n e p ( i x 。l2e ) 1 ，且当口1 时，进一步假设e x ，= 0 ，则下面的描述是等价的： ( 1 ) e i x l l 7 俨e ) 0 n = l ，! “ 此外也有很多学者发表文章，讨论如何使得如下各种形式的概率级数收敛的各种充 分或者必要的甚至充要的条件： y _ = f l ( n ) p ( 1 & l h ( n ) ) 0 ( n ) p ( x m k a 臣 e 日( n ) ) 0 ( n ) p ( 8 u p i 鼠i ( ) e ) 0 n = l “s 其中，e ( n ) = o o ，0 ( 6 x 2 # - z - 2 m 筠p ( m m a 吵x l ”惕 p ( 。m a ：x 。i 百f 吲型) ) 掣 证明：首先对于j = 1 可证上式成立，事实上： p 燃- - l imi独)妒(麟i2t)+8p麟lpf)2；l f ) ) 2 由数学归纳法可知，以下只要证明j 4 - 1o21 ) 时上述结论也成立即可 p | 型 ( 6 趔q ) f ：p ，臻i km l 2 t + 2 x ( 6 x2 i - t - - 2 ) 玎 2 p 盟吲2 讣8 p ( 盟l p ( 6 触1 q 朋 2 p ( 思蓉i k i t ) + 8 【g p ( 蜀誉i k l ) + 功 p ( m ：。a ：x 。1 石 5 _ y d _ ) ) 掣】2 = 2 p ( 滕i k + 1 6 四p ( 盟m 卅1 6 巧 p ( 脚m a s x 。1 吾5 - ：y d - + 1 t ) 1 矿1 = p ( 嬲m 列+ p 嬲i 擎1 t ) 注：其中g + i = 2 + 1 6 四，岛+ 1 = 1 6 8 2 综上引理( 2 2 ) 得证 浙江大学硕士学位论文 6 引理2 3 1 3 设z 0 ，l x l 1 则e i x i z 2 e x 2 一z 2 引理2 4 1 1 8 j 五，l t s k ) 是定义在( q ，罗，p ) 上的随机变量组列： ( 1 ) 如果存在一个随机变量x 对于m 。 0 ，使得 p i 五。l t ) c m 。p i x i z ，对于任意的z 0 ，n 1 成立，则称之被随机变 量x 在c e s a r o 意义下随机控制 ( 2 ) 如果存在一个随机变量x ，存在一个常数c 0 使得e i l x 。i z ) sd p x l x ，对于任意的z 0 ，n 1 ，k 1 成立，称之被随机变量x 随机控制 注：通过积分我们可以得到：e 1 1 7 c 7 l e l x l 7 ，r 0 2 2 定理及其证明 定理2 1 ：设 五。，1 女m n ，n l ，是定义在( n ，箩，p ) 上的行内独立的随 机变量 h ，n21 ) 是一个正整数列，并且：骢”h 2 ， c ，i ，n 1 ) 是一个正常数列 若有下面务件成立： ( 1 ) 垤 0 ，岛e ( i 托。i ) ， n = l女；l ( 2 ) 存在大于零的j 和p 以及6 使得：( ej x 。1 9 l i i x 。脚 y 0 ，有： 三岛p 。当卷。f 萎- 一e 山胚” 1 - - e ) o 。 证明：对n 2 1 ，1 兰，m 他。，记： = i ( i x 。彤 ， a = n 咒。= ， i = 1 b = u h ) 七= 1 ( 2 1 ) 下面出现的e 代指常数，但在不同的地方值不一定相同( 在本文后面将要反复使用这些 记号，不再一一说明) 因为 p l 黑。l 岛一踢i e ) = j p ( 。撅l s m 一矾l e ) n a ) + p ( 。兰黑。l 一踢i e ) n b ) p ( ，黪i 矗一巩阻) + 三p ( i ) k 。脚 = c ，芋 。眦 = 浙江大学硕士学位论文 7 则可得 。c n p ，器。i 一巩i 2 e 尸( ，。m 。a 。x 。1 一e t , i2 e ) n 2 1 o o h + 岛p ( i 矗。i 6 ) 由条件( 1 ) 知道该不等式右边的第二项小于，因此下面我们只要证明 n = lc ，i 尸( ，黑一巩i e ) o ( 2 - 2 ) 为方便证明我们作出如下记号： f ，l ，lm l = 伽：e i x 。p l i x 。1 _ 1 ) ，n 2 = n ：e x ：k l i x 。r _ 6 1 l k = 1k = l 则显然有n 2 f i n l = 0 ，n = j f v 2 u n i 岛 n e n i m n s 岛( e l 墨1 l i x 一鲫p o ，取型 j ，t = e ( 6 2 。- 1 - 2 ) ，由引理2 2 可以得到 p ( 。搬i k 一砜i e ) ”p ( 螂m 孙a x 陬一砜i 州) + 叫p ( - 娜m a x 。i 善一苫砜l ) t ( 2 4 ) 若有l 。i n a x 。e l y i - 讹) + a 善 e i 。i i i x 。i 蜊) 一 e 霹。i i x 。鲫) gh“ k e m 州 0 ，a 。p ( i i e ) ， n = l七= 1 ( 2 ，) 动2 ，n f i ( e 磙 i 。瞬y ， n = lk = l ( 3 ) e x 。i i x 。1 _ 0 ，有： n 。p “托。i2e ) l = 1k = l 证明：因为 e k i i x 。酎 一0m 一) 浙江大学硕士学位论文 9 故3 n n ，v n 2 n 使得 从而我们可以得到 价n 删m i i i x 。1 1 _ 6 1 e 2 k = l a p ( i 。i2 e ) n = k = l 墨n n 尸 。燃。i z i x n 。一e 矗。 l 墨，。i s 5 l 】l 2 ) ( 2 6 ) 把定理2 1 中条件( 2 ) 的j 和p 取为j 2 ，p = 2 即为推论的条件( 2 ，) 综上，所以由定理 2 1 知道( 2 6 ) 0 ，若有下面条件成立： 。 ( 1 ) 垤0 ，p ( i x 。1 e ) o 。， n = l k = 1 ( 2 ) | j 2 ，o 。( e 霹。i i x 。l s 5 1 ) 0 ，有 e 2 ) o o 证明：由 ”t ，器慧j e k 。 i 。酣 j 一0m o o ) 1 m ( m 。鲁”“一。 、 我们可以知道j ，n ，v n ，有 。郸m a x i 。e t i 0 ，岛p ( 1 i e ) 1 ， = 1 则显然有趣n 塌= o ，= 凰u 巩我们得到 我们现在只需要证明如下结论即可，即 e ) j ，t = e l ( 6x2 “一2 ) ，由引理2 2 我们可以得到 p ( 一啷。l y 石n x - i ) g 飞m 帆a xi x - i t ) + c p ( 1 嬲。l i = 1 - l2 t ) 2 。 ”屯m 蛳a xi x 胗”们 p 埘i ) 2 e p ( i 1 t ) + c z e i x 。1 9 ) ( 2 9 ) k = l k = l 由( 2 9 ) 式以及条件( 1 ) 和( 2 ) 我们可以得到( 2 8 ) 成立 故定理得到证明 下面我们给出的推论是h u ( 1 9 8 9 ) 主要结论的一般化，也是g u t ( 1 9 9 2 ) 的定理2 1 一般化，v i c t o r ( 2 0 0 6 ) 等人给出的结论( 推论8 ) 考虑了1sg 2 的情况，下面我们利用 定理2 2 发现其实在0 q 2 也是有下面的结论成立的 推论2 7 假设 j ，isk y l , ，l 1 ) 是定义在( q ，莎，p ) 上的行内独立且均 值为零的随机变量，并且被随机变量x 在c e s a i d 意义下随机控制，0 口 2 ，p - 1 若e i x 卜2 ) 0 ，有 e n p p 。i s 一- x n 。i n l q e m n = l 。 k = l ( 2 1 0 ) x 。 爨 1 叩毗 x e h c 一甲 xe i 鼬 岛 矾 6 矾 浙江大学硕士学位论文 1 1 证明：我们取c ，i = n n ，x 矾= x , “n 1 q ，则我们只要验证在改推论假设下也有定理 2 2 的条件成立，则该推论得到证明 首先我们证明定理2 2 的条件( 1 ) 是满足的 n o o 矿p ( i x n 。i n l l q e ) sc 矿1 p ( i x l n l q e ) f l = lk = l n = l = c 扩1 p ( i x l 9 升2 1 1 1 , - i - 2 一9 + 2 ) f l = l = c f 1 f p 胪2 e q 动s 阳。2 ) ( k + 1 ) 卅2 册2 o“ 一 。 n = lk n o ok = c 1 p k n + 2 e m 2 吲m 2 ) ( 七+ 1 ) p + 2 一2 ，o 一 。 七= l n = l sc 5 _ 七p + 2 p 七舛2 e 口( p + 2 sl j 【1 9 ( p + 2 ) ( k + 1 7 + 2 e 口( p + 2 一z j k = l s ；i 函e l x l 9 2 1 试 ( 2 1 1 ) 接下来我们我们验证定理2 2 的条件( 2 ) 是满足的 矿( 阮一2 e l x l 卅2 ) n = 1 0 0 1 = ( c e i x l 9 ) 元i 而1 。n + 2 l ，则条件( 2 ) 得到证明 综上推论得到证明 注：在证明的过程中我尝试了证明在期望不为零的随机变量是否也有该结论的成 立，得出了如下的结论： 推论2 8 假设 x 。，1 k n ，n21 ) 是定义在( q ，莎，p ) 上的行内独立的随 机变量，并且被随机变量x 在c e n r o 意义下随机控制，p - 1 ，若e i x i 则有： ( 1 ) 0 o ，量矿p l 辫l 舌墨- i ： n l q e 。 ( 2 ) 1 q 0 ，n n p ，婴磐i ( k 。一e x n - ) l n v q ) o o n = 1 j 三m 三”一1 证明：显然2 ) 可以由推论2 7 的直接得到故下面只要证明( 1 ) 成立即可首先定义 为 r ，i 女，若l 托一 n 1 q e ， = l0 ，其它情况 ， 2p口 向 加 xe m m p 浙江大学硕士学位论文 1 2 则有 n p p 。2 慧i 。i n 1 向e ) ，t 2j 女= 1 矿p i i n 1 7 4 ，j k n ) n = 1 + 矿p 。m a x 。1 5 - - ( y 。一e ) i n a ( 1 7 l 1 - 1 埘i ) 首先看上式的第一项，由推论2 7 证明中的( 2 a 1 ) 式可以得到 再看第二项 n 3 女n ) 矿p | x 。i n x q c o 。 = lk = l z n p p 。m a x z ( y 。一戤。) i2n l ( 1 一n o - ，1 1 q ) i ) n = i = l e 矿”向e l 1 7 n = 1k = 1 sc 佗1 竹响e l x l t = l = c e i x l 7 礼1 + 1 向 ( 2 1 2 ) 因为e l x l 0 0 ，1 + p r q 0 ，存在q 2 ，使得对6 = 去有： n = l k ( i ) a n p ( 1 i 0 ，有 1 k t j h 一1 引理3 3 1 删 设 五。，n 1 是n a 的随机受量，且e x 产0 ，e x ? 0 ，o 0 ，0 x ) n ) + 击酬焉”2 3 l n ( 1 + 兹) 】) 引理3 4 1 3 3 1 设 x 。，n 1 ) 是p 阶矩存在的随机变量序列，当0 p 1 是任意 的随机阵列序列，当1 p - ：e i x a ，0 p 2 ( 3 - 1 ) 一一 j = l 砀 目 m ：l 2 ( 3 2 ) j = lj = l 引理3 5 1 2 6 l 设 墨。，m n 七1 ) 对于任意的n 1 ，是一个对称的n a 实随 机变量，而 以。，m 。k 1 ) 是一列独立的实随机变量组列其中，对于任意的 n 2 1 ，”k 七1 ，j 和五是同分布的那么对于任意的整数j 1 ，有 p 1 辫。雹。i 拈l p 。m a 。x i x , , 。i2 南) + 导z ”i p ( i 若r a n k i 云妒如 ” m m a xi x 舱南) + 譬j ( 。【p ( i 塾l 耖出 其中磁= ( 一南) v x - 。a 南，r r t n 2k 1 ，l 1 ，g 是一个只和j 有关的常数 3 1 2 定理及其证明 定理3 1 ： 设 墨。，1sk h ，几1 ) 是定义在( q ，罗，p ) 上的行内n a 组 列 m n ，l 1 是一个正整数列，并且u mm 。= ， c t l ，n 1 ) 是一个正常数列若有 下面条件成立： ( 1 ) 垤 0 ，c - n p ( i 。1 2 ) 1 和p 0 且力 1 ，以及j 0 使得：岛( e l x n l l x 。脚p 0 ，有 11 i = 女2 一e 。l i x 。】| e ) 0 待定，则由性质3 1 知道k i 仍然是n a 的实 随机变量，同定理2 1 中使用的记号和( 22 ) 式的证明可知，下面我们只要证明 岛p ( 1 m 。a ，2 p + 1 ) 在条件( 2 ) 的作用下我们可以得到 c r is 岛( e ( ，矿1 ) 户 n e l n 1 x m 蹦 要 嚣一 h 矗 浙江大学硕士学位论文 1 6 故下面只需证明 三妒( ，娜m a x 。i 耻圳h ) c 2 e v , 。) 1 p ) = p v m 2 e ) s1 2 因此有l m e d t m e t m i ( 2 e v m ) 1 v 进而可得 又因 。掇i m 以一e t , i l 雏m a x 。( 2 e v m ) 1 加= ( 2 ) 1 加 e 2 c l 蚀m 。a ：x 。i t m 一巩l e ) c - l p ，然。i m e 仉一巩i e 2 ) h e n 2 。n e n 2 。 + p l m a x 。i t m m e d t m l 2 ) 事实上我们下面只要证明 c ，l p 1 器i 一m e d 1 2 2 o 记 k 女，1sks k ，n21 ) 为 y n k ，1 七m 。，n 1 ) 的独立复制，这样我们 可以得出 磊 = k 女一砼i ，1 k ，n 1 ) 为对称n a 分布，记 绦，1 女 k ，n 1 ) 为一列独立的实随机变量，且对每一个1 仉。，n 之1 ，z 和z 同 分布，由对称不等式以及l e v y 不等式我们可得 p 。搬i 一胱羽_ l e 2 2 p 。撅i z 矗i e 2 1 4 p l 磊一e 2 ) 取整实数j 1 ，7 = 赤 6 则由引理3 5 可以得到 p l 磊- i2e 2 1 p ，。m 。a x 。i z k l e 0 0 j ) ) 叩9 机 一 酆机a陬 胤 f “ 州 誓 扩 j | 们) ) b 1 m nt t g n = ( e i k i 1 1 i x 。胁) + 尸 i 。i q ) k = 1k = 1 f se ( e i x 睹i i x 。l ! 町) + c p | 。i 叩) 故由定理的条件( 1 ) 和( 2 ) 可以知道 m 岛( e l l 户 0 ，若有下面条件成立： ( 1 ) v 0 ，c ，l e ( i x 。i ) 1 和p 0 且力 1 ，使得：岛( e l x u p l i x 。1 1 町) 0 ，有 c 。p i 托。i ) e 2 + 圣岛p l - l 6 1 ，当有下面条件 满足时： a 0 1 , 1 ( 1 ) v 0 ，矿- 2 p i x 融l ) 。 戮 p d 浙江大学硕士学位论文 1 9 ( 2 ) 劭，r l 0 ，e 碟i l i x 。l 口 = o ( n 可) ( n 一) 则对任意的 0 ，着： l n r 一2 p 般g 一甄幽x 划圳 小： 证明：首先记k 。= ( 一6 ) v 五ua ( 6 ) ，而正，岛，a ，b 同前面定理2 1 中的记号，则 ，t 罢器i 品一e 1 j i 5 j = p ( 。m a ，xi s t e v , i e n a ) + p ( 燧is f e t , i e ) n b ) 曼p ( m a x 。 t t e t , i e ) + p ( 1 。1 6 ) 这样参考条件( 1 ) 要证明定理中的结论事实上只要证 矿p ( 。m a 。x 。i t t e t t l e ) e ) 2 p ( 。m 坐a x 。i y 。，l n ) + 而2 “p 辆- z 2 a 【l + 2 3 l n ( 1 + 薏) 1 2 ，m 坐a x 。p ( 刚 。) + 而2 唧丽- - x 2 。【1