（气象学专业论文）大气自由模与中高纬低频振荡.pdf

大气自由模与中高纬低频振荡 摘要 本文用变分法得到实际大气自由模，并设计了一族解析自由模一理想大气 自由模，用标准模方法对实际大气自由模与理想大气自由模的稳定性进行了分 析，得到：两类自由模均是不稳定的，且不稳定自由模呈准定常或呈长周期低 频变化，特别最快增长自由模更趋于准定常，具有很强的局地性。 以两类自由模分别作为强迫场，初始场取1 9 9 3 年7 月1 日的5 0 0 h p a 流函 数场，然后应用强迫耗散正压涡度方程的全球谱模式积分3 0 0 d ，得到：( 1 ) 以 1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日5 0 0 h p a 的实际大气自由模作强迫场时：a = y = k o 0 2 ，强迫、耗散系数相等且足够大时，随着时间演变，大气总是接近自由模态； 强迫系数a = o 1 ，耗散系数y = 0 0 2 时，中高纬出现经向型环流与纬向型环流 相互转换的局地性准双周振荡；( 2 ) 以理想大气自由模作强迫场时，固定耗散 系数y = 0 0 1 ，强迫系数o 0 0 9 5 、 a o 0 1 1 时，中高纬出现了经向型环流与纬 向型环流之间相互转换的准双周指数循环，振荡周期与强迫系数呈正相关关系。 ( 3 ) 以两类自由模分别作强迫场时，当耗散项不能抵消强迫项时，最终模式大 气均会发生爆炸。 以理想大气自由模作初始场，无强迫耗散项时，随时间演变，模式大气会 发生中高纬准双周低频振荡；以两类自由模分别作初始场，无强迫有耗散时， 随时间演变，模式大气都会出现系统西移，流函数值减小的现象。 综上所述，无论实际大气自由模和理想大气自由模作为强迫场，在适当的 强迫耗散系数的范围内，均能出现中高纬低指数经向型环流与高指数纬向型环 流之间相互转换的准双周指数循环。由此提出，中高纬低频振荡可能由高、低 指数准双周循环形成的新的物理机制。 关键词：自由模；中高纬准双周振荡；低频振荡 f r e em o d ea n dl o w f r e q u e n c yo s c i l l a t i o ni ne x t r a t r o p i c a ll a t i t u d e a b s t r a c t u s i n g v a r i a t i o n a lm e t h o d ，t h ee f f e c to ft h eo b s e r v e df r e em o d ei so b t a i n e da n da t 、，d eo fa n a l y t i c a lf r e em o d e s ( i d e a lf r e em o d e ) a r ed e s i g n e di nt h et e x t n o r e t l a l m o d e a n a l y s i si sp e r f o r n l e dt oe x a l n i n et h es t a b i l i t yo f t h e o b s e r v e df r e em o d ea n dt h ei d e a l f r e em o d e ，t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h et w ok i n d so ff r e em o d e sa r eu n s t a b l ea n da r e q u a s i s t a t i o n a r y o r l o n g p e r i o d i c a n d l o w f r e q u e n c y e s p e c i a l l y , t h eq u i c k e s t i n c r e a s i n gf r e er n o d ea p p r o a c h e st ob eq u a s i s t a t i o n a r ya n di so fg r e a t1 0 c a l u s i n gt w ok i n d so ff r e em o d e s a sf o r c i n gf i e l d sr e s p e c t i v e l y ，a n d5 0 0 h p as t r e a m f n n c t i o nf o r j u l v1 19 9 3a sai n i f i a lf i e l d t h e t rt h en u m e f i c a 】e x p e r i m e n t sa y er u nf o r3 0 0d a y sb yaf o r c e da n d d i s s i p a t i v eg l o b a ls p e c t r a lm o d e l ，t h er e s u l t ss h o wt h a t ：( 1 ) w h e nu s i n gt h eo b s e r v e df r e em o d eo f d e c e m b e r2 7 2 8 1 9 9 2a saf o r c i n gf i e l d ：w h e na = y = k 0 0 2 ，t h a ti st os a y w h e nt h ef o r c i n g a n dd i s s i p a t i v ec o e f f i c i e n ti se q u i v a l e n ta n dg r e a te n o u 曲，m o d e la t m o s p h e r ea l w a y sa p p r o a c h e s t ot h e f o r c i n g f r e em o d ea st i m ee v o l v e s ；w h e nt h ef o r c i n gc o e f f i c i e n ta = 0 1a n dt h e d i s s i p a t i v ec o e f f 6 c i e n ty = 0 0 2 ，t h el o c a lq u a s i b i w e e k l yo s c i l l a t i o no ft h ec o n v e r s i o n b e t w e e nm e r i d i o n a lc i r c u l a t i o na n dz o n a lc i r c u l a t i o ni n e x t r a t r o p i c a ll a t i t u d ew i l l o c c u r ；( 2 ) w h e nu s i n gt h ef r e em o d eo fi d e a l i z e da t m o s p h e r ea saf o r c i n gf i e l d ，a n dm a k i n gt h e r a n g eo ff o r c i n gc o e f f i c i e n to 0 0 9 5 a 0 0 1 1 t h ed i s s i p a t i v ec o e f f i c i e n t0 0 1 t h eq u a s i - t w o w e e k si n d e xc y c l ec a u s e db yt h ec o n v e r s i o nb e t w e e nm e r i d i o n a lc i r c u l a t i o na n d z o n a lc i r c u l a t i o ni ne x t r a t r o p i c a l1 a t i t u d ew i l l 卸p e a ra n dt h ep e r i o do fo s c i l l a t i o nh a sa p o s i t i v ec o r r e l a t i o n w i t h t h ev a l u eo f t h e f o r c i n gc o e f f i c i e n t ；( 3 ) i f t h e t w ok i n d so f f r e e m o d e sa r e u s e da sa f o r c i n g f i e l dr e s p e c t i v e l ya n dt h ef o r c i n gi t e r mc a n n tb ec o u n t e r a c t e d b y t h e d i s s i p a t i v e i t e r m ，t h em o d e la t m o s p h e r ew i l le x p l o d eu l t i m a t e l y w h e n u s i n gt h ei d e a l 丹e em o d ea sai n i t i a lf i e l dw i t h o u tt h ed i s s i p a t i v ei t e m a e x i s t i n g ，t h eq u a s i t w ow e e k s o s c i l l a t i o nw i l lt a k ep l a c ei ne x t r a t r o p i c a ll a t i t u d e i f t h e t w ok i n d so f 行e em o d e sa r eu s e da sai n i t i a lf i e l d s e p a r a t e l ya n dt h e r ei sn ot h e f o r c i n gi t e r mb u tt h ed i s s i p a t i v ei t e r m ，t h es y s t e r mo fm o d e la t m o s p h e r ew i l im o v e w e s t w a r d sa n dt h ev a l u eo f s t r e a m f u n c f i o nw i l lm i n i s ha st i m ee v o l v e s t os u m u p ，w h i c h e v e rf r e em o d e i su s e da saf o r c i n gf i e l d w h e nt h ef o r c i n ga n d d i s s i p a t i v ec o e f f i c i e n ti s c h o s ei n p r o p e rr a n g e ，t h eq u a s i t w ow e e k si n d e xc y c l e c a u s e db yt h ec o n v e r s i o nb e t w e e nh i g h - i n d e xm e r i d i o n a lc i r c u l a t i o na n d1 0 w i n d e x z o n a lc i r c u l a t i o ni ne x t r a t r o p i c a l1 a t i t u d ew i l la p p e a r n l ed e w p h y s i c a lm e c h a n i s m i s p u tf o r w a r da c c o r d i n g l yt h a tt h el o w f r e q u e n c yf l u c t u a t i o nm a yb ec a u s e db yt h e q u a s i - t w ow e c k sc i r c u l a t i o nb e t w e e nt h eh i g hi n d e xa n d1 0 wi n d e x 2 k e y w o r d s ： f r e em o d e ；l f oi ne x t r a t r o p i c a ll a t i t u d e ；q u a s i _ b i w e e k l yo s c i l l a t i o n 3 11 自由模 第一章引言 短期气候变化是气候动力学中的一个重要问题，中高纬的阻塞和低频振荡， 副热带高压，大气环流的遥相关，这些现象与短期气候变化密切相关，对经济 和社会发展造成了重要影响，引起了各国政府和科学界的高度重视，从而成为 当前大气科学的前沿研究课题之一。 自七十年代末以来，对诸如阻塞、副高等持续性异常的研究，一直是气象 学界研究的热点。对其物理机制的研究可分为两类：一类是着重分析大地形和 热带海温场距平等外源强迫作用；一类是用孤立子、偶极子、多平衡态等非线 性理论或者线性的行星波理论，试图从大气内在的动力学原因来解释持续性异 常环流的形成和维持。 自由模是无粘无强迫大气控制方程定常解，如r h 波、孤立波、偶极子 等。我们所熟知的自由模( 自由解或自由态) 有两类：一类是线性自由模，如 r h 波；一类是非线性自由模，如孤立波、偶极子。它们分别属于单、双斜率 理想化自由模( 斜率为自由模的流场与涡度场之间成线性关系的斜率) 。这两类 自由模均是无粘无强迫、耗散正压涡度方程的定常解。它们为研究大尺度大气 运动尤其是诸如阻塞等持续性异常提供了坚定的物理基础。 对阻塞机制的研究可分为两类：一类是阻塞的全球性理论，研究低指数和 高指数环流型之间的转换。c h a r n e y 和d e v o r e 1 】提出多平衡态理论，认为阻塞形 势是准稳定的低指数接近于共振性的平衡态；另一类是阻塞局地性理论，以孤 立波和偶极子理论为主，来研究阻塞高压和切断低压的形成机制。对孤立波的 研究：l a r i c h e v 和r e z n i k l 2 1 ，r e d e k o p p 3 1 ，c l a r k e 【4 j ，f l i e r l t “，m a l a n o t t er i z z o l i 和h e n d e r s h o t t “，证明了孤立波存在的可能性，h e n r o t a y _ j 讨论了地形对孤立波 的影响。m a l g u z z i 和m a l a n o t t er i z z o l i 8 提出k d v 型r o s s b y 孤立波理论，罗德 海、纪立人 9 - 1 0 j 提出了代数r o s s b y 孤立波和包络孤立波理论，以此解释大气中 出现的偶极子阻塞；对于偶极子的研究：s t e m 川，l a r i c h e y 和r e z n i k 【2 1 ，以及 f l i e r l 等【1 2 j 提出b 平面偶极子理论，v e r k l e y 1 3 ，t r i b b i a e l 4 给出旋转球体上的广 义偶极子形式，但无论是平面上还是球面上的偶极子，它们只存在于东风基流 背景下，v e r k l e y 1 5 通过一点改动得到了西风基流背景下的偶极子，m c w i l l i a m i “ 提出相当偶极子理论。 近年来，人们开始研究大气中普遍的非线性性自由模。b r a n s t a t o r 和 o p s t e e p h 1 研究发现，在全球或半球的点阵图中，流函数和位涡或者流函数和 绝对涡度呈多斜率、分段线性甚至是非线性的，不同的斜率对应不同的大气环 流形势，并且用实际观测资料按变分法求得多斜率普遍的自由模，对阻塞进行 了初步的研究。陆维松使用变分方法， 新的斜压自由模解，提出“不相容原理”。 波数不能相等。 1 2 中高纬准双周振荡 首次求得近定常有限振幅准确解，即 即正压定常行星波和斜压定常行星波 大气中的物理量或系统随时间呈较长时间周期的变化称之为大气低频振 荡，它是相对于几天的高频振荡而言的，早期大气低频振荡是指3 0 一5 0 天的周 期振荡，后来大气低频振荡扩展到包括i o 一7 0 天左右的周期振荡。大气低频的 振荡是8 0 年代以来大气科学研究的重要问题之一。一方面大气低频振荡及其结 构和活动规律的揭露，使人们对地球大气运动的认识有了极大的提高，在长波 槽脊活动的基础上，知道了大气低频波的存在、活动及影响：另一方面，大气 低频振荡直接同长期天气和短期气候变化有密切关系，在实际气象业务上已显 示它的重要性。气象学者对大气低频振荡的基本性质、结构和活动规律作了大 量的研究。w a l l a c e 等【l 叫把大气低频振荡的产生概括为6 种机制，实际上可归纳 为两种：大气对外源的响应和大气运动的非线性相互作用。大气中的准双周振 荡是低频振荡的重要组成部分，它是在研究季风天气及其相联系的季风系统时 发现的。t n k r i s h n a r n u r t i 等”u j 在关于季风系统的振荡的研究中不仅指出南亚系 统各成员存在明显的1 0 2 0 d 振荡现象，而且印度地区的降水也有清楚的1 0 - - 2 0 d 振荡。李崇银等进一步揭示了中高纬低频振荡的存在，并作了全面的总结。 近年来，国际气象学界非常关注外部强迫如何激发和影响中高纬低频振荡， w a l l a c e 等怛”和l a u 等【2 2 1 分别从观测研究和数值试验得到，中高纬s s t 异常能 激发中高纬大气低频遥相关型；m a r c u s 2 2 1 从数值试验发现地形能产生中高纬4 0 d 低频振荡。伍荣生四j ，陆维松口1 分别提出波动共振或准共振可能产生中高纬低 频振荡。中高纬地区大气环流变化的准双周振荡以指数循环最为清楚，因为大 气环流由高指数( 纬向型环流为主) 变为低指数( 经向环流为主) 再变为高指 数的周期为1 0 - - 2 0 d 。 1 3 本文研究的目的、意义 与研究强迫耗散系统的定常解一平衡态不同的是，p i e r r h u m b e r t 和 m u l g u z z 产纠研究了无粘无强迫系统的定常解一自由模，认为自由模可以导致大 振幅有闭合流线的经向流和纬向流两类平衡态。p e i l i w u 【7 6 j 发现自由模虽是全 球性的，以自由模作为强迫项所导致的多平衡态却是局地性的，所以自由模的 存在可以导致多平衡态。为了解决多平衡态的转换问题，许多学者作了一些研 究和分析。金飞飞和朱抱真口7 l 利用两层准地转低阶谱模式研究强迫波、瞬变波 与纬向流的非线性相互作用，解释了高、低指数特征流型的维持和转换。会飞 飞、朱抱真口副研究发现，在耗散系统中定常强迫可以出现多平衡态。在周期外 源的作用下，生成两类平衡态转换，形成与外源同周期但不对称的周期振荡。 这里引进的周期性可变外源对平衡态的转换有诱导作用。g r a n tb r a n s t a t o r 1 利 用正压涡度方程谱模式发现，对于任何初始条件，非线性正压大气在弱强迫耗 散作用下，大气由一种自由态转向另一种自由态。 但是我们所熟知的自由模诸如r h 波、孤立波、偶极子和实际大气中的自 由模不完全相似： ( 1 ) 实际大气大尺度运动方式并不全都表现为r h 波、孤立波或偶极子。 ( 2 ) m c w i l l i a m 【】6 j 所提出的m o d o n s 解必须要求位涡与流函数呈线性关系， 而b u t c h m t 等睇9 j 的计算表明在阻塞区位涡与流函数的线性关系并不成立。对于 k d v 型r o s s b y 孤立子要满足长波近似，它的偶极子结构必须限制在窄的b 通道 内。但由于偶极子阻塞有很大的经向尺度，因此，长波近似l y l x 1 0 严格来讲 也不成立。m a l g u z i i 和m a l a n o t t e r i z z o l i 川认为，对于k d v 型r o s s b y 孤立子， 要获得偶极子阻塞结构，必须要求基本气流有强的水平切变，而强的水平切变基 本气流容易产生正压不稳定，并导致偶极子阻塞结构的破坏。 ( 3 ) 孤立子、偶极子有较强的边界条件，在无穷远处，扰动流函数为零， 即它是一个局地解，无全球性特征。 伍荣生瞄”，陆维松 2 4 1 分别仅从时间周期上提出波动共振或准共振可能产生 中高纬低频振荡，但没有考虑低频振荡的空间结构。低频振荡的主要部分是由 少量天气型互相转换，阻塞可视为低频振荡的某一位相。迄今，未考虑中高纬 低频振荡与准定常天气型之间转换的联系，且以上仅单一考虑了其全球性或局 地特性，为更接近真实大气，本文用普遍非线性自由模作为强迫场，来研究强 迫耗散系统中阻塞型与纬向型之间转换产生的中高纬低频振荡，未见有人研究 过，本文利用自由模的概念进一步研究大气低频振荡产生的机制，并用实际大 气自由模与理想大气自由模分别作初始场和强迫场来研究模式大气演变规律。 21 原理与方法 第二章实际大气自由模 许多学者，如e l i a s e n 和m a c h e n h a u n e r l 3 ，m a d d e n 川，m c w i i l a m s ，从理 论上导得了特殊的线性或非线性自由模并应用于实际大气，这几种理论自由模 与实际大气差距较大，有很大的局限性。b u t c h a r t 等1 比较了长期大气环流和这 理论自由模的相似性，发现实际大气只是偶尔和它们相似。b r a n s t a t o r 和 o p s t e e p h r ”蟪出用实际观测资料直接求得实际大气自由模，即设计了一泛函，用 变分法求出使泛函达到极小值且与初始场较相似的流函数场。用这个方法所得 到的实际大气自由模，流函数和绝对涡度的函数关系不仅仅呈多斜率的线性关 系，而且在某些地区呈非线性关系。 定常自由解可由定常球面正压涡度方程来描述 l ，( v ，v 2 妒+ 厂) = 0 ( 2 1 ) 将其无量纲化后，方程形式仍为( 2 1 ) 式，只不过式中均为无量纲量，式中v 为 无量纲流函数，为地转参数。j a c o b i 形式3 0 j ( a , b ) = 击l 嚣嚣一筹嚣 。 为方便求解满足( 2 1 ) 式的v ，定义一泛函 聊) = 石1 土22 z v 2 y c o s 御蛳 ：， 此泛函代表了实际流函数场v 和自由模之间的距离。若找出一v 。使得 f ( v 。) = o ，则此y 。为自由解。这里，首先将v 用球谐函数表示，取1 5 波平行 四边形截断，然后用拟牛顿法求解( 22 ) 泛函的极值问题。用拟牛顿法求解时 需假设f 是l f ，的二次函数，且需知道，对1 f ，的一次导数。我们认为这个假设成 立，而f 对v 的一次导数的表达式可由以下方法求得 f 可简单的写为： 这里舔为单位球面积元，g 为绝对涡度。那么 6 f = 2 j ，( y ，g ) ，( y ，五q ) - j ( q ，6 v , ) d s ( 2 4 ) 将方括号内的项展开，并分步积分得 6 f = 2 ；v ，( y ，口) ( 国) f v y d s + 2 f ( 句) i ， _ ，( y ，g ) ， d s 一2 j v - 【，( 妒，g ) ( 6 y ) 云v q d s 一2 ( 6 v ) t ， ，( v ，g ) ，q d s( 2 5 ) = 2 i ( 6 q ) j j ( y ，g ) ，v 】d s 一2 j ( 占v ) l ， ，( y ，g ) ，q d s 注意到句= v v ( 6 y ) ，对上式中的第一项进行分步积分并整理得 由内积的定义 所以有 6 f = 2 ( 6 v ) 勺2 j e j ( v ，口) ，y 一， l ，( 妒，g ) ，g 】扣s ( 2 6 ) a 日= ia b d s 罢：2 扣：j e j ( m ) ，y d i c ， ( 2 7 ) 用( 2 2 ) 式求得的自由解的振幅较虽然小，但不足以和实际环流相似，所以 在( 2 2 ) 式中加一权重场旷，进行修正以弥补这个缺陷，则 聊，= 去缈c 咿2 ， 2 + u ( v - 盯 c 。s 蝴， 这里谚为实际流场。“分别依次取无量纲值为1 、0 0 1 、0 0 0 0 1 和0 ，而对应的 迭代初始场分别取实际流场s n n 前一个所求得的自由解，由于最终“= 0 ，所 以用( 29 ) 时所求得的解应是自由解，且是和实际流场最接近的自由模。相应 ，对t l , 的一次导数的表达式为： 罢竺：2 知2 ，【l ，( y ，7 7 ) ，v 一j j ( v ，q ) ，r 1 + 2 f f ( g 一妒) ( 2 1 0 ) d i f ， 我们用5 0 0h p a 实际风场资料，计算出相对涡度，进而利用泊松方程迭代 计算出实际流场。然后用拟牛顿法求出满足方程( 2 2 ) 的解，即自由模。 2 2 资料说明 本章所用的资料来源于：美国n c e p n c a r ( n a t i o n a lc e n t e rf o r e n v i r o n m e n tp r e d i c t i o n n a t i o n a lc e n t e rf o ra t m o s p h e r i cr e s e a r c h ) 制作的全球日 平均再分析场资料，分辨率为2 5 。2 5 。，资料年代为1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 一io 2 3 实际大气自由模 图2 1 给出了1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日5 0 0 h p a 平均高度场，其对应的流函数 场和绝对涡度场分别如图2 2 、2 _ 3 所示( 除高度场外，其余的图都是无量纲化 的) ， 由图2 2 和2 3 可看出，流函数v 和绝对涡度q 两者的等值线近乎平行。 由( v ，q ) 点阵图( 图2 4 ) 也可以看出，v 、q 点阵图比较发散，v 与q 并不呈 线性关系，点阵图上i i 区对应于赤道地区，( v ，q ) 的斜率为正，i 和i l l 区对 9 应中高纬地区，( 咿，q j 的制率为负，u ，与q 等值线并不是完全平行的。 圈211 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日5 0 0 h p a 平均高度场 图2 2 1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日5 0 0 h p a 平均流函数场 图2 31 9 9 2 年1 2 月2 7 - - 2 8 日5 0 0 h p a 平均绝对涡度场 图2 4 1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日5 0 0 h p a ( v ，q ) 点阵图 根据上述方法，可以求得1 9 9 2 年1 2 月2 7 - - 2 8 目的实际大气自由模图2 5 所示。与实际大气的流函数场( 图2 2 ) 相比较，正如我们所看到的，实际大气 流函数场中，北半球中高纬存在明显的三槽三脊，脊线的大致位置分别为：0 。， 7 0 。e ，1 6 0 。w ，槽线所在的大致位置分别为：3 5 。e ，1 7 0 。e 和1 3 0 。w ，而 实际大气自由模中( 图2 5 ) ，在相同位置上也存在着三槽三脊，南半球大气环 流振幅较小，与实际流函数场比较近似，只是赤道地区等值线不象实际流函数 场中的零乱。自由模态所对应的流函数场虑去了小尺度环流特征，保留了实际 大气流函数场中大尺度环流特征。 圈25 1 9 9 2 年1 2 月2 7 - - 2 8 日5 0 0 h p a 实际大气自由模 自由模中y 和q 的平行程度可以由( 22 ) 式定义的泛函f 来衡量。实际大 气流函数场( 图2 2 ) 中f l = 69 9 9 e 一5 ，自由模态所对应的流函数场( 图2 5 ) 中的f 2 = 28 9 8 e 一7 ，亿 1 0 ，所以图2 5 所示的v 可以看成定常的自由解。 由图2 6 自由模的( t y ，q ) 点阵图可知，点的发散程度已大大消减，其中，i 和v 区对应于高纬地区，i i 和t v 区对应于中高纬地区，i l i 区对应于赤道地区。 因为边界摩擦作用，i 和v 区点比较发散，而i i 区较i v 区比较发散，是因为北 半球的小尺度系统较多。u l 区对应于赤道地区点阵图呈非线性关系，这和大家 所熟知的自由模r h 波、偶极子显然不同。 图2 6 1 9 9 2 年1 2 月2 7 2 8 日实际大气自由模中的( v ，q ) 点阵图 第三章理想大气自由模 由前一一章，实际大气自由模中的( v ，q ) 的点阵图可知，在全球范围内 绝对涡度q 和流函数v 之间呈多斜率线性关系，甚至非线性关系，而经典的r e 波在( 1 ，q ) 点阵图表现为一条直线，偶极子则表现为两条制率不r q f t 9 直线。 所以本章构造一族以( v ，q ) 呈多斜率线性关系为特点的无强迫、耗散正压涡 度方程的解析解一一族与经典的r h 波不同的自由模，并分析其结构特征。 因中高纬低频变化有明显的正压垂直结构特征，故本章用正压涡度方程构 造自由模，来研究中高纬大气低频变化。 3 1 正压涡度方程 球向上正压无辐散涡度方程为 瓦8 v2 v + 7 1 【( 瓦b y 百8 v 2 v 一瓦b y - 百8 v 2 9 ) + 等甏= 。 ( ，) a f 口2la a a “a “ a a ja 2a 兄 。 其中，肛= s i n 庐，a 为地球半径，q 为地球旋转角速度，以d 为水平尺度，f 2 9 1 1 为时间尺度，对( 3 1 ) 式进行无量纲化 瓦8 一v2 妒+ 【( 瓦a w 百o v 2 w 一詈8 v 孤2 v + 詈= 。 2 a ) 研 l a a a “a “a zj 砚 一。 a _ 2 + i ，( y ，g ) ：0 ( 3 2 b ) 其中：q = 审2 v + s i n 西( 3 3 ) 俨炉击品c c o s 皆+ 去筹 。， j ( a ，b ) ：士f 等等罢等1 c o s 妒l d ，ld 妒d d 妒 ( 3 5 ) 这里，g 和v2 v 分别表示绝对涡度和相对涡度，为j a c o b i 算子。满足正压涡 度方程( 3 2 ) 的解有很多，但我们必须构造和实际大气特征较相似的解，下面首先 从普遍的纬向传播解即r h 波解的特征出发。 3 2 纬向传播解 假设有波解沿纬向传播，且满足无量纲正压涡度方程( 3 2 ) ，此解形式可 设为： y = ，( a 一耐，) ( 3 6 ) 这里，为常数，代表相速度，由上式可知 掣：一盟 ( 3 7 ) a t 8 应用球面上的j a c o b i 算子，将上式改写为 半= j ( c os i n i j b ，v ) ( 3 8 ) 将( 3 8 ) 式代入到正压涡度方程( 3 ，2 ) 式中，则有 v 2 ，油s i n6 b ，v ) = - j ，g ) 整理得 ，( 甲，q ) = 0 ( 3 9 ) 其中 甲= l f ，+ s i n ( 3 1 0 ) 由( 3 1 0 ) 式可知，对于定常纬向传播波来讲，流函数线和绝对涡度等值线在球 面上处处平行。 3 3 r o s s b y - h a u r w i t z 波 采用小扰动法将方程( 3 2 ) 线性化。设基本气流的角速度为c “= 玎+ m = c c o s $ + “， 1 ，= v 相应相对涡度为 = 毛+ l = c s i n b + l = c u + j v = 矿+ v = - j 瓦d + v = 一c 肛+ v 将( 3 1 3 ) 式代入( 3 2 ) 式，忽略小扰动的二次乘积项，则有 良c 击卜+ ( 2 c + 1 ) 等= 。 根据正交模法，我们设方程( 3 1 4 ) 的解为 v = 巾( p ) p 肌1 一删 其中m 为沿纬圈的波数，为相速度，将( 3 1 5 ) 式代入( 3 1 4 ) 式 卦d 2 ，面d c d + 嬲一啬卜 则 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 31 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 这是。关于u 的连带l e g e n d e r 方程。由连带l e g e n d e r 方程的本征值问题可知， 只有当 一羔! 业：一，( ，+ 1 ) ；a ( z ：o ，1 ，2 ，) ( 3 1 7 ) c 一 时，m 在球面上才有有界的解，而且，解为连带l e g e n d e r 函数 巾( ) = 只”( ) = # ”( s i n b ) ， ，= m ，m + 1 ( 3 1 8 ) 由( 3 1 7 ) 式求得相速度为 = ( 坐掣 舻l 丁j 州 所以，正压涡度方程( 3 2 ) 的解为 矿= y ( a c o t ，) 一c s i n b + d ( 3 2 0 ) 其中d 是任意常数，y ( a c o t ，) = b 1 ( 十s i n ) e 1 “，y 是l a p l a c e 算子的特征 函数，其特征值为a 4 v2 y ：a ， 出( 3 2 0 ) 和( 3 3 ) 式得 q = a 】，+ ( 2 c + 1 ) s i n 又由( 3 1 9 ) 式得 一c ：幽 所以 q = a 、壬，一a d ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 由上式我们可知，y 和q 之间呈现线性函数关系，那么它也满足( 39 ) 式。( 3 2 0 ) 式即为我们所求得的r o s s b y - h a u r w i t z 波。所以对定常的r h 波来讲，= 0 ， 流函数等值线和绝对涡度等值线在球面上处处平行，且( v ，q ) 为单一的线性 函数关系。经典的r h 波解由相同的特征函数y ，固体旋转一c s i n $ 和任意常数 d 组成，所以在整个球面上q 和v 是单一的函数关系，表现在( v ，q ) 点阵图 上为一条直线。 3 4 一族( v ，g ) 呈多斜率线性关系的自由模 这一节中我们构造满足球面上正压涡度方程且( v ，q ) 呈多斜率线性关系 的一族自由模。经典的r h 波解在整个球面上妒和g 是单一的函数关系，这里我 们考虑不同的纬度带，( v ，q ) 有不同的斜率且满足正压涡度方程的解。由上 一章的观测事实，我们将球面分成三个区域： r ：“。1( 。s 兰) r o ：一卢os 1 0( 却o 咖庐d ) ( 3 2 4 ) r 2 ：一1 , t 一o ( 一兰妒一o ) 2 我们用下标i 表示不同的区域，i = 0 , 1 ，2 不同的区域有不同的特征函数，每一区 域的流函数可表示为 l ，= 一( a 一0 ) i ，) 一c ，s i n ( b + d ，q r ， ( 3 2 5 ) 这里q 表示空间点，且 v r = a 。y ： ( 3 2 6 ) = ( 三掣 = 三半 = ( 三学 c s ：， 由( 3 2 5 ) 式流函数的形式，可得绝对涡度的表达式为 g = a ，r + ( 2 c ，+ 】) 肛 ( 3 2 8 ) 可进一步写为 q = a 。甲，一a f d ( 3 2 9 ) 不同的纬度带有不同的特征函数a ，即在不同的纬度带g 和、王，有不同的线性函 数关系，g 和、壬r i 在全球上是分段线性的。 取三个区域的特征函数分别为墨、匕，则 这里定义 i ( a c o t ，p ) = a i 霉( p ) + b 1 ? ( “) c o s ( a c o t ) 匕( a c o t ，p ) = 4 p ( p ) + b o 丁? ( 卢) c o s m ( a c o t ) 艺( 一c o t ，p ) = 一爿1 譬( 一p ) b 1 碍1 ( 一“) c o s 订t ( a 一z ) 丁? ( “) = ? ( p ) 一只，( 一“) ( 3 3 0 a ) ( 3 3 0 b ) ( 33 0 c ) ( 33 1 ) 譬与第二类l e g e n d r e 函数类似，由此可知，这里所定义的球谐函数关于赤i f _ 1 i i 对称。为了使整个解反对称，取c 。= c 1 ，d ：= 一d 。，a ：= a ，。这里 a 1 = - a ( a + 1 ) ，a o = 一c r ( c r + 1 ) ( 3 3 2 ) 由此得到由纬向部分( 只含有d 的项) 和波动部分( 既含有又含有a 的项) 组 成的一族自由模。为了使绝对涡度和流函数及风速在所有纬度上连续，我们必 须求解a 、仃、a 、b 、c 、d ，使其满足以下方程。 341 纬向部分连续方程 由流函数、风速和绝对涡度的纬向部分的连续性有 4 1 彤( “o ) 一c 1 肛。+ d 】= a o 碍( 2 0 ) 一c o 2 0 + d o 4 。0 球? ( 2 。) 咖) 一c ，= 4 。- 碍( 卢。) 咖) 一c o 爿1 a l 掣( 2 0 ) + 2 c 1 1 2 0 = a o a 。露( 2 。) + 2 c o 肛。 ( 3 3 3 a ) f 3 3 3 b 1 ( 3 ，3 3 c ) 这里，若解在p = p 。处连续，则由于反对称，在“= 一p 。也连续。在给定c o 后 c o ，c i 可以由( 3 2 7 ) 式确定。由此，利用( 3 3 3 ) 式求解得a ，a o 和( d 。一d ) 。 3 4 2 波动部分连续方程 由流函数、风速和绝对涡度的波动部分的连续性有 b ，譬( “。) = b 。石( 。) b 。( d 鼍( 2 0 ) d 2 ) = b o ( d 譬( 2 0 ) d u ) 人l b l 掣( o ) = a o b o 碍。( 2 0 ) 要使得方程( 3 3 4 ) 式有不等于零的解，必须有 譬( ) = 巧1 ( 。) = 0 ( 33 5 ) ( 3 3 5 ) 式是关于m ，。，a 和o - 的两个限制方程。若满足( 3 3 5 ) 式，则( 3 3 4 a ) ( 33 4 c ) 两方程自动满足。那么可以由( 3 3 4 b ) 式确定b 。和b 。2 _ f n j 的比率。 川 由于，口。和b 它们之一是任意的，所以，波解的振幅是任意的。 34 3 求特征参数和 2 ，“。，& o - 由以上分析可知，利用( 3 2 5 ) 式在球面t 建立连续解主要是不同l e g e n d r e 函数的匹配。必须对( 3 3 5 ) 式求解以得到互相匹配的特征参数m ，“。，a 和0 - 的值。对于某一给定的，在( 咖，a ) 平面上可以绘出l e g e n d r e 函数最”( 肛) 和 巧1 ( ) 的零等值线图。图3 1 a 给出了m = 2 时巧。( ) 和巧( p ) 的零等值线图，图 中横坐标为l e g e n d r e 函数的阶d ，纵坐标为纬度咖，实线为层”( 肛) 零等值线， 虚线为”( “) 零等值线。由图3 1 可以看出，l e g e n d r e 函数掣( 肛) 和r 2 ( u ) 零 等值线表现为不同的曲线，在口为整数时，l e g e n d r e 函数掣4 ( ) 和巧( ) 零等 值线才会有一条条垂直于a 轴的直线。相应地，我们可以构造出不同纬度带( 1 f ， q ) 有不同斜率的满足正压涡度方程的解。根据图3 1 ，在给定m 和纬度的情 况下，就可以定出满足( 3 3 5 ) 式a 和仃的值。例如，在图3 1 中，m ：2 时， 当= 3 0 。时，= 4 5 4 2 ，盯= 5 8 2 9 ，或者a = 7 6 2 2 ，仃= 5 8 2 9 ，当$ = 2 0 。时， a = 3 8 6 9 ，d = 8 7 1 3 等等。这些a 和盯值是进一步通过数值方法验证而精确得到 的。 图3 1 m = 2 时，l e g