（概率论与数理统计专业论文）随机时滞微分方程的近似解及其稳定性.pdf

摘要 本文主要是研究了随机时滞微分方程近似解的收敛以及近似解 与精确解之间的稳定性关系第一章简单介绍了随机时滞微分方程稳 定性和数值解的发展历史及所得结果，并给出了文章的结构安排第 二章给出了研究过程中经常用到的定义以及必要的性质和不等式第 三章将一般的随机时滞微分方程形式推广到中立型方程，并给出了其 近似解在全局l i p s c h i t z 条件下的均方收敛；为了方便实际的应用与 推广，又给出了在一般条件下，近似解的依概率收敛第四章研究了 由马尔可夫链和p o i s s o n 跳跃共同驱动的随机时滞微分方程，在全局 l i p s c h i t z 条件下，指出了方程近似解与精确解稳定性之间的关系； 确立了部分等价条件第五章则是将第四章方程形式变成了中立型随 机时滞微分方程，同样指出了方程近似解与精确解稳定性之间的关系 和确立了等价条件与以往文献不同的是：本文将原有方程的形式改 进为中立型，并添加了马氏链与p o i s s o n 跳跃，使其在现实中的应用 更为广泛 关键词：中立型，马尔可夫链，近似解，p o i s s o n 跳跃，稳定性 a b s t r a c t i nt h e d i s s e r t a t i o n , w ec o n s i d e rt h ec o n v e r g e n c eo fa p p r o x i m a t e s o l u t i o n sf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n sa n dt h er e l a t i o no f s t a b i l i t yb e t w e e na p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n de x p l i c i ts o l u t i o n s i nc h a p t e r 1 w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dr e s u l to fs t a b i l i t ya n dn u m e r i c a lm e t h o d f o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l d e l a ye q u a t i o n s ；a n de l s e ，w ep r e s e n tt h e s t r u c t u r ef o rt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n s a n di n e q u a l f f i e sw h i c ha l ea l w a y su s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r3 ， t h ef o r mo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n si sg e n e r a l i z e dt ot h e n e u t r a lf o r m ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n si so b t a i n e d u n d e rt h eg l o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n ；b e c a u s eo ft h ea p p l i c a t i o n , t h e c o n v e r g e n c ei np r o b a b i l i t yo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n si so b t a i n e dt o o i n c h a p t e r4 ，u n d e rt h eg l o b a ll i r s c h i t zc o n d i t i o n , w ei n v e s t i g a t et h e r e l a t i o no ft h es t a b i “t yb e t w e e na p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n de x p l i c i t s o l u t i o n sf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n sw i t hj u m p s ，a n d o b t a i nt h ec o n d i t i o n sf o re q u i v a l e n c e i nc h a p t e r5 ，t h en e u t r a lf o r mi s e m b e d d e di n t ot h ee q u a t i o nw h i c ha p p e a r si nt h ec h a p t e r4 ，a n dw eg e t t h es a m ec o n d i t i o n d i f f e r e n c e sf r o mt l l el i t e r a t u r ea l et h a t = t h en e u t r a l f o r ma n dj u m p sa l ee m b e d d e di n t ot h ee q u a t i o n s ，w h i c hi sg o o df o rt h e p r o d u c eo f h u m a n k e yw o r d s ：n e u r a l ，m a r k o v i a nc h a i n ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，p o i s s o n j u m p s ，s t a b i l i t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明 作者签名：玉伍墨作者签名：卤i 么二 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用 作者魏雄咔撇但嗡期：迎年一月丑日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 稳定性理论是研究动态系统中的过程( 包括平衡位置) 相对于干扰是否具有 自我保持能力的理论古代中国晋书中。行人安稳，布帆无恙”的说法就是当时 人们对自我保持能力或稳定的一种直觉的说话在西方。s t a b l e ”一词源出自拉 丁文“s t a b i l i s ”也只表示一种坚持的意思这千年以前的名词与说话反映了人类 对“稳定性”这一科学概念的最初理解由这种理解开始到真正形成稳定性理论 其间经历了近一千五百年，其决定性因素来自两个方面，工业革命后科学技术进 步的需要和人类在十九世纪对自然科学首先是数学和力学方面的贡献 为了理解现今稳定性理论所形成框架，分析与回顾一下近百年来稳定性理论 的发展及其背景是有意义的 在稳定性理论发展进程中最伟大的事件乃是俄国数学力学家l y a p u n o v 在 1 9 8 2 年完成的博士论文“运动性的一般问题”，他由p e a n o 。b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自变量( 时间) 在 有限区间上变化拓广到无穷区间之上，科学地给出了系统中运动是稳定和渐进稳 定的概念；他从类似系统总能量的物理观念得到启示，提出了后来被人们称之为 l y a p u n o v 函数的概念，将一般1 1 阶微分方程组中扰动解渐进性质的讨论归结为讨 论一个标量函数( l y a p u n o v 函数) 及其对系统的全导数的一些特性的研究，成功地 避开了讨论n 阶微分方程组的解的困难，从而建立了稳定性理论研究的框架 稳定性理论和方法不断在发展，尤其是上世纪3 0 年代以来，由于科学技术 日新月异的发展，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出现， 稳定性理论得到了蓬勃的发展，引起了自然科学工作者和工程技术人员的更广泛 的兴趣 美国著名数学家l a a s l l e 早在上世纪6 0 年代就说过：“稳定性理论在吸引着 全世界数学家的注意，而且l y a p u n o v 直接法现在得到了工程师们的广泛赞赏” 我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论中说过：“对于控制系统的第一 个要求是稳定性，从物理上说，就是要求控制系统能稳妥的保持预定的工作状态， 在各种不利因素的影响下不至与摇摆不定，不昕指挥”这些都说明了稳定 性的重要意义 稳定性理论所研究的内容，简单通俗地说就是对于用一般或特殊的随机微分 方程所描述的动力系统、遗传系统建立判别法。以判明哪些实际运动系统受干扰 与不受干扰的运动状态相差甚微；哪些则相反，特别为设计稳定的动力系统，避 免不稳定的事故发生，为遗传系统中的优良品种能持续供种，提供一整套数学理 硕士学位论文第一章绪论 论和方法，这就是稳定性理论的意义 在工程和物理的研究中，仅对随机微分方程稳定性的研究是不够的，由于其 精确解极难求出而又需要解的某些性质自然人们将此问题的解决放在数值方法 上面，利用数值方法求出方程的近似解，如 8 ，2 7 ，2 8 ，3 2 ，4 1 ，4 2 , 5 4 ，6 3 最近十年来，随机微分方程的数值方法以其巨大的魅力引起了许多数学家的 极大关注它在现代物理和工程中起了巨大的作用，构造出了许多随机系统的近 似解，为下一步解的性质研究奠定了基础同时，将此方法应用于数学中，则发 展了许多重要的公式和规律 本文第三章至第五章将进一步研究随机微分方程解的收敛和稳定性问题其 中，第三章首先讨论了在全局l i p s c h i t z 条件下，方程 d ( y ( t ) - g ( y o f ) ) ) = f t y ( f ) ，j ，( f 一力，r ( t ) ) d t + g ( y ( ，) j ，( f r ) ，( f 黼o ) ( 1 1 1 ) 数值解的强收敛，接着又讨论了局部l i p s c h i t z 条件下方程( 1 1 1 ) 的依概率收敛， 推广了y u a n 6 7 中的结论；第四章研究了方程 方( f ) = ( 肿) ，y ( t f ) ，r ( f ) ) 讲+ g o ，( f ) ，m f ) ，( f ) ) 咖( f ) + ic ( y ( f ) ，y ( t - f ) ，都) f 似，幽) ( 1 1 2 ) 数值解稳定性和精确解稳定性之间的等价关系；第五章在第四章的基础上，考虑 了方程( 1 1 2 ) 的中立形式，即 d ( “f ) 一g t y ( t - r ) ) ) = ，( 灭f ) ，y ( t - f ) ，( f ) ) 西+ g ( “f ) ，y ( t - f ) ，r ( t ) ) d w ( t ) ，+ + j 。c o ，( f ) ，y ( t f ) ，甜) 移触，幽) ( 1 1 3 ) 给出了此方程数值解稳定和精确解稳定等价关系的条件 2 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 在本章中，由于许多知识点为基本的定理和引理，故其证明作出了省略祥 见m a o 6 2 1 概率论基本知识 概率论主要用来估计现实各种事件发生的不同机率所有不同的可能情况作 为元素国组成了集合q ，即曲q 而q 的子集一般作为研究的有效事件，因此， 我们将这些有效事件组成了一个族f 由于研究的需要，具有下列性质： ( a ) 彩f ，其中彩为空集； ( b )a f j a 。f ，其中爿。= q a ； ( c ) 4 ) 。c f u ：，4 ， 如果f 具有上述性质，则称f 为仃一代数，( q f ) 为概率空间 定义l - l ：( f 可测) 如果徊：x ) s 口) f ，v 口r ，则称实值函数z ：q _ 尺为f - 可测， 引理1 2 ：令x ，y ：q 一刷为两实值函数，y 是盯( x ) 可测，当且仅当存在波 雷尔可测函数g ：寸，使得y = g ( 引理1 3 ：( a ) h 6 1 d e r s 不等式 t e l ，x e 口( g ) 】，e f ( g ) ； ( c ) c h e b y s h e v j 不等式 户( 国：l z ( 国) l 0 c 一e l x l 其中c 0 ，p o ，x ( q ) 定义1 4 ：( a ) 如果存在零测度集o o f ，使得对任意的m 硭瓯，序列( 五 ) ) ， 硕士学位论文 第二章预备知识 & 敛至| j x c a ) ，则称 k ) 以概率l 收敛到x ，记作憋以= z 记s ( b ) 如果对于任意的占 0 ，当k 专时有 尸劬：i 五 ) 一x ) | 占 ，则称 鼍) 依概率收敛到x ( c ) 如果置，x f ，且e i 以- x l j o ，则称 墨) 以p 阶矩收敛 到z ( d ) 如果对任意的实值连续有界函数g ，有i i m e g ( x , ) = e g ( x ) ， 则称 e ) 依分布收敛到x 定理1 5 ：( 单调收敛定理) 如果 j 气) 是一列非负单调增的随机变量，则 l i m 以鼍) = e ( n m 五) 定理1 6 ：( 域收敛定理) 令p 1 ， 五) c 7 ( q ) ，y f ( q ；r ) ，如果 i 以l j ，a j ， 五) 依概率收敛到x ，则x f ( q 月) ， 五) 以p 阶矩收敛x ， k t ) m e g ( x t ) = e g ( x ) 引理1 7 ：( b o r e | - c a n t e l l s 引理) ( a ) 如果 4 ) c f ，：。p ( 4 ) 0 0 ，则 p ( i m s u p 以) = 0 ( b ) 如果序列( 4 ) c f 相互独立，且：。p ( a 。) - - q o ，则 p ( 1 i m s u p 4 ) = l 性质1 8 ：( 条件期望性质) ( a ) g = 彩，q ) j 耳x l g ) = e x ； ( b ) x 0 j 以x i g ) 0 ； ( c ) z 是g 可测的j 以x i g ) = x ； ( d ) x = c = c o n s t j 以x i g ) = c ； ( e ) a , b r j e ( a x + b y i g ) = a e ( x i g ) + b e ( y i g ) ； ( f ) x y 耳x l g ) e i g ) ； ( g ) x 是g - 可测的以y y i g ) = x e ( y l g ) ，特别的， e ( e ( x i g ) y i g ) = e ( xj g ) e ( y i g ) ( h ) 盯( z ) ，g 相互独立j e ( x i g ) = e x ( i ) g lcg 2c f j 以以x ig 2 ) ig 1 ) = e ( x ig 1 ) 2 2 随机积分 令( q f ，p ) 是一完备概率空间，其自然流 e ) 。满足一般条件令w ( t ) 为定 义在此概率空间上的一维布朗运动 4 硕士学位论文 第二章预备知识 定义2 1 ：令o a 6 o o ，定义m 2 ( 【口，6 王固空间元素性质如下： 如j l l i m 2 ( 阻川；尺) ，则l i b = 西扩( f ) 1 2 d t o ，c o ，z f ( ) 是定义在【o 刀上的波雷尔可 测非负有界函数，“) 是定义在【o 刀上的非负可积函数，如果 ( f ) c + j ： ，o ) ”o ) a s o s t t ， 则 材( f ) c e x p ( j ：v ( s ) 画o o f r 证明：令：( r ) = c + j ：，( 印甜o ) 凼 o t t ，则( f ) z ( f ) 而且，由以往的 数学分析知识得 6 硕士学位论文 第二章预备知识 t 喇栌- o s + c 等产 l o g ( c ) + s ：v ( s ) d s 由上式得 z ( f ) s c e x p ( j ：v ( s ) d s ) o s t t 因此 ”( f ) z ( f ) s c 瓤p ，o ) 凼) ， o t o , c 0 ，k ：( r + 专r ) 是连续单调增函数， 再令甜( ) 是定义在【o ，刀上的波雷尔可测非负有界函数，比) 是定义在 o 刀上的非 负可积函数，如果 ( f ) c + j ：l ，( 力量如o ) ) 凼 o t t 则 o ) g 。1 ( g p ) + j ：v ( d k ) 其中g ( r ) 2 j ：, i d 西s ，g 一1 为g 的反函数 证明：令z ( f ) = c + j ：v o ) k o ) ) 凼o t t ，则”( f ) z ( f ) 而且，由以往 的数学分析知识得 g 似f ) ) ：+ j ：丛需蛾 g + j ：吣陟 由上式得 ：( f ) g 。1 ( g + j ：v o ) o t t 因此 材( f ) z s g 一1 ( g o ) + j ：s ) 凼) ， o t 0 口【0 ，1 ) c o ( ) 是定义在【o 刀上的波雷尔可测非负有 界函数，吒) 是定义在【o 7 1 上的非负可积函数，如果 甜( f ) c + j ：v ( s ) 【“( s ) 】4 d s o t t 则 甜( f ) ( c 1 ”+ ( 1 一a ) j ：v p ) d 的i ； o s f r 7 硕士学位论文 第= 章预备知识 证明：证明：令z ( f ) = c + j ：“酬_ ( s ) r 凼o t t ，则甜( f ) z ( f ) 而且，由 微分公式可得 k o ) 】i - a t c t - a + ( 1 一口) j ：警 c 。4 + ( 1 一瑾埔 ，( s 冲 由上式得 z ( f ) 0 1 4 + ( 1 一a ) j ：v ( s ) a s ) 瓦 o t 0 ，t o 耳，存在一个 正函数万= 6 ( t 0 ，占，叩) ，其对每s 和叩关于f o 连续，使p c a ： k 扣) i 万) o ，t o 耳，存在a o = 6 ( t o ) t = t ( t o ，占，7 ) ，使当p 和：l 五 ) i 田 0 ，记c ( 卜f ，o 】；尺”) 表示从卜f ，0 】到r ”的连续函数伊的全体，且范数 0 硼= s u pl 妒( 纠，其中 i 是f 中的欧氏范数若4 是向量或矩阵，表示a 的 转置若名是矩阵，f a i 、t r a c e ( a 7 彳) 表示a 的迹范数，r a i l = s u p l a x l ：x = 1 ) 表 示算子范数用c 。b ( 一f ，o 】；r ”) 表示所有有界，矗可测，c ( 卜f ，o l r ”) 值的随机 变量设p 0 ，t 0 ，用聋( 【一f o 】；r “) 表示所有e 可测c ( 卜f ，o 】；r “) 值的随机 l o 硕士学位论文第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 变量伊= ( 妒p ) ：一f f o ) ，且s u pe i p 够) i ， 0 ，若j 上聆 0 表示从状态i 转到状态，的转移概率，且 = 一巧 假设马尔可夫链，( f ) 与布朗运动w ( o 是相互独立的易知，r ( t ) 的几乎每一个样 本轨道是右连续的阶梯函数，且在r + ( = 【o m ) ) 的任何一个有限区间上至多含有有 限多个跳跃点 马尔可夫链，( f ) 可表示为关于p o i s s o n 随机测度的随机积分事实上，设f ， f ，为r 上相邻的左闭右开区间，其长度为九，( ) 为r 上的l e b e s g u e 测度定 义函数玎：s r o s 为 抛y ) = j o ，- i y , y 仨a 口 则d r ( t ) = i r r l ( r ( t 一) ，j ，) 峭，砂) ，其中v ( d t , d y ) 是p o i s 8 0 n 随机测度，密度为 国( 砂) 设c 2 僻“x s ；r + ) 表示r ”x s 上关于x 两次可微所有非负函数v ( x , i ) 的的全 体对任意的o ，f ) r “s 和任意的y e r ”，定义算子三如下： l v ( x , y ，0 = g ( x , o f ( x , y ，f ) + 去棚科g r 化y ，f ) 吃o ，o g ( x ，y ，f ) 】+ 勺矿瓴j ) 其中 纠警絮，孚嘶沪帮k 。嘶喁 考虑下面的马尔可夫调制的随机时滞微分方程 d ( y ( t ) - g ( y ( t - v ) ) ) = ，( j ，( f ) ，j ，( f f ) ，o ) ) 国+ g ( f ) ，y ( t f ) ，r ( f ) ) 咖( f ) 0 t t ( 3 2 1 ) 方程初值y ( o ) = 善c ( 【一f o 】；月”) ，r ( o ) = o s ；其中，：尺“x r “x s 寸r ” 硕士学位论文第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 g ：r ”x r ”x s _ r “坩对任意的x , yr ”，存在k ( 0 , i ) ，使得 l g ( d g c v ) - o ，k o 则 带，后= o l ，2 ) 是离散时间马 氏链，且一步转移概率矩阵为： 尸( ) = 纯( ) ) 。= 证明：由上面的条件易得 彳，k = o , l 一2 是马氏链，令兄( f ) 表示，( f ) 的转移 概率即 。 弓( f ) = 尸 ，o + 曲= j i r ( 印= 味0 s f o ，由引理2 i 知离散时问马氏链( 口，k = 0 , 1 2 ) 的一步转移概率为 p ( a ) - 嗨( ) ) 。= 令学= i o 及随机数点在【o ，l 】内分布如果参= l ，则令矿= = 或存在s 使 得芝气( ) 轰 圭气，( a ) ，中：，其中o ，。p “：o 再重新生成随机数乞( 与 螽无关) 在 o ，l 】内分布如果磊= 1 ，则令p = 岛= n 或存在屯s ，使得 ( ) 参 置j ( ) ，乎= f 2 重复以上过程则 # ，k = o , l , 2 ，被构造 由此构警方程( 3 2 i ) 的e u l a r - - m a r u y a m a 近似解设o o ，使得i 似只f ) i v k ( x ，y ，o l - o ( 与无关) 使得方程( 3 2 1 ) 的近似解与精确解满足 下列条件： e s u pl y o ，使 得 l 厂( t 只力一( - 只，) i v 悟( t y ，f ) 一g ( - 只f ) l 工啦一司+ 陟一卅) 由上式可得： l 厂( e 弘f h l 厂( 墨只j ) 一f ( o ，o , 0 + l f ( o ，o ，) fs 三q x l 十i j ，| ) + i 厂( o o ，f ) l i g ( t 只叫l g ( 薯只力一g ( o ，o ，f ) i + i g ( o o 力i 工q | | + 陟1 ) + l g ( o o ，d i 因此矿( t 只叫v k ( y ，0 1 - 0 和，( o l 】，使的对任意的 硕士学位论文 第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 - t _ s t 0 ，0 o 是与无关的常数 证明：对任意的t o ，刃，存在k 0 ，使得t | ， + 1 ) ) ，有 x ( t ) - 置( f ) = j ( f ) 一置 ) = x ( f ) 一x ( k a ) g ( 豆( f ) ) 一g ( x ( k a 一a ) ) + l ，( 置( n 置( s ) - ( + j 。g 五( s ) 五o ) - ( j ) ) d l l ，( f ) 由引理3 1 和引理3 2 及( 3 2 4 ) 知 e i j ( f ) 一五( f ) 1 2 e k ，( 置p ) ，置o ) ，- ( s ) + 烈置( 吐元( 珐以s ) 瑚r o ) j 2 2 ( a + 1 ) c t e j ；。( 1 + 限o ) f + 恳0 1 2 弦 崛o + 2 g ) a 令c 3 = 4 c 1 ( i + 2 c 2 ) 则 e l x c o - j , 0 ，使得f 雌，他+ 1 ) a ) ，有 x ( t f ) 一忌( f ) = x ( t 一) 一元( 七a ) = x q n a ) 一工 一n a ) 为了得到结果，我们考虑下面三种情况： 第一种情况：如果0 k a 一t - n a ，则 e l x ( t n a ) 一x ( k a n a ) 1 2 e i g ( x 2 ( t 一) ) 一g ( 丘他a 一 r ) ) + j = ，( 置，置( s ) ，r ( s ) ) d s 硕士学位论文第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 + = g ( 置( 观置o ) ，- ( s ) ) 咖( 印1 2 s e i j ：= 八置，置o ) 尹o ) 岫+ j ：= g ( 墨q ) ，元( s ) ，f ( s ) ) a w ( s ) 1 2 2 ( + 1 ) f j = 二( 1 + 限o ) f + i x ：o ) 1 2 冲 s 崛0 + 2 g ) a 7 第二种情况：如果k a n a ，一n a 0 ，则 e l x ( t - r a ) - x ( k a - n a ) 2s e 悟( f j v a ) - 善( k a ) 1 2 凰7 ； 第三种情况：如果k a n as0 f 一，则 e i x ( t 一1 一x ( t , a - n a ) 1 2 _ e i x o - 且c a ) 一 + 毒婚，一氆一n 霄 2 e l x ( t 一) 一孝( o ) 1 2 + 2 e i 亭( o ) 一f ( | 厶一) 1 2 由前两种情况得 e x ( t - n a ) 一z 一) 1 2 8 g ( 1 + 2 g ) a + 2 k a 7 【8 c ； 0 且与无关 证明：由全局l i p s c h i t z 条件得： l ， 丘( s ) ，雄) ) 一，o ，y q 一咖叫么 s 2 j ( 置丘，一，0 ，y o r ) ，r ) 1 2 凼 + 2 e e i 佤( s ) ，丘( 观( s ”一f ( x l ( s ) , x 2 ( s ) ，r o ) ) i 么 4 li v 1 e ( i x , ( , ) 一y ( 回1 2 + l 丘( s ) 一y o 一力| 2 ) 协 + 2 e r l ( 置( s ) ，丘( s ) ，f o ) ) 一，( 置( s ) ，互o ) ，o ) ) f 西 1 7 证毕 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 硕士学位论文第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 令”= 【r 】表不r a 的整数部分，则 l ( 置( 珐置( s ) “s ) ) 一，( 墨( s ) ，尼( s ) r o ) ) f d s = 煮田l 厂( 置o ) ，置，) 一( 墨o ) 互o ) 心) ) 1 2 d s ( 3 3 j 4 ) 再令毛 ) = ( o i , x x e g g ，则由全局l i p s c h 舷条件和引理3 2 得： e r i ，( 墨互o ) ，雄) ) 一厂( 置( s ) ，丘( s ) ，( 圳d s 您r 矿 ) ，是确) ) 一( 置o ) ，丘o ) ，o ) ) r 巾挑 d s c 砑【1 + 限o ) 1 2 + 陬( s ) 1 2 取哪m 。， d s g j i 。e e 0 + 隅o ) j 2 + 限o ) 1 2 氓哪p ，他。i ，瓴) 】胁 c 5 j 皿日( 1 + l 置o ) 1 2 + l 豆( s ) 1 2 ) i ，也) 】皿呻净，l ，( 气) 】凼 其中墨( d = 蜀( t d ，足o ) = 五( 【瓴- o a a ) ， r ( ，瓴) 与，纯) 的盯一代数 是独立的，则由马氏性知 司，( 1 净啦hi ，纯) 】= ， ，( f i p ( r ( s ) i l r ( t d = 0 = ，( h 净i o 名o 一气) + o ( s 一) ) 拒s耐 = ( 懋( 一心) + 。( ) ) 否， 删 c ：a + 口( )( 3 3 5 ) 再由引理2 2 得 i ( 置( 吐置( 曲，砸) ) 一，圆( 珐置( n ， ) f d s ( c 6 + 。( ) ) r 【l + e 瞬o ) l + e 陧( s ) 陋 ( c 7 + d ( ) ) 将上式代入( 3 3 4 ) 得 l ( 墨 ) ，置( s ) ，f 。p ) ) 一厂( 置( s ) 冠( s ) r d ) ) f d s _ t c , a + 。( ) ( 3 _ 3 回 将( 3 3 6 ) 代x ( 3 3 3 ) 得 e j ：i ，( 置( s ) 丘( s ) ，f ( o ) 一o ，d ) y o f ) ，( d ) i 豳 1 8 硕士学位论文 第三章马尔可夫调制的随机时滞微分方程近似解的收敛 衍j ：刮盂o ) 一j ，( s ) 1 2 + 限一，o f ) 1 2 ) d s + 2 t c t a + 。c a ) ( 3 _ 3 7 ) 同理可得 吒k 隔( 珐丘o ) ，琊) ) 一g ( y ，y ( s r ) ，o ) ) 陋 4 2 j o t b q “- - 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