（应用数学专业论文）鞅分析在美式期权定价中的应用.pdf

坠玺鎏耋三查兰登兰翌圭茎堡笙兰 鞅分析在美式期权定价中的应用 摘要 美式期权的定价问题是当前金融统计学面临的重要研究课题之一。由于 美式期权可以提前执行，故为其定价要比为欧式期权定价困难得多。然而由 于美式期权在实际交易中的重要性，对它们进行准确的定价对期权市场的参 与者来说是非常重要的。 本文从期权定价理论的研究背景出发，在综述了期权的基本概念、内 容、方法基础上，研究了期权的一般定价方法，讨论了b s 期权定价方 程，揭示了期权定价的对冲思想。 本文将鞅论思想方法引入到期权定价中去，用鞅分析对美式期权定价进 行了分析与探讨。在此基础上，本文利用b s 期权定价模型的对冲思想， 构造了一类无风险利率的混合美式期权，并利用鞅的最优停时理论对混合期 权进行了分析和研究，讨论了有违约风险存在的情况下永久美式混合期权的 一种定价问题，并给出了美式看涨、看跌期权中标的资产最优执行价格的表 达式。 本文利用鞅分析得出了期权定价的表达式，这不仅丰富了鞅的应用，而 且在金融统计中，具有实际意义。 关键词美式期权；对冲；鞅：混合期权；最优停时 篁堡鎏堡三奎兰耋差鎏圭兰竺篓圣 t h e a p p l i c a t i o no fm a r t i n g a l ea n a l y s i s i na m e r i c a no p t i o n a b s t r a c t t h ep r i c i n go ft h ea m e r i c a no p t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t q u e s t i o n si n f i n a n c i a ls t a t i s t i c s i ti sm o r ed i f f i c u l tt h a nt h ep r i c i n go ft h ee u r o p e a no p t i o n ， b e c a u s ea m e r i c a no p t i o nm a yb ec a r r i e do u t ，h o w e v e r , b e c a u s eo ft h ep r a c t i c a l i m p o r t a n c eo fa m e r i c a no p t i o n ，t h e i ra c c u r a t ep r i c i n gi sv i t a lt oo p t i o nm a r k e t p a r t i c i p a n t s i nt h i sp a p e r , w eb e g i nw i t hr e s e a r c hb a c k g r o u n do fo p t i o np r i c i n gt h e o r y , b a s e do nt h ec o n c e p t ，c o n t e n ta n dm e t h o do fo p t i o n ，g e n e r a l o p t i o np r i c i n g m e t h o da n db - so p t i o np r i c i n gf u n c t i o na r ed i s c u s s e dt oi l l u m i n a t eh e d g e t h o u g h t s i nt h i s p a p e r , m a r t i n g a l et h e o r y i s a p p l i e dt oo p t i o np r i c i n g a m e r i c a n o p t i o np r i c i n gi sd i s c u s s e db yu s i n gm a r t i n g a l ea n a l y s i s o nt h eb a s i so ft h e r e s e a r c ho ft h ef o r m e r , ap e r p e t u a lm i x e da m e r i c a no p t i o nw i t hd e f a u l t r i s ki s c o n s t r u c t e db yu s i n gh e d g et h o u g h t s i ti sd i s c u s s e db yo p t i m a ls t o p p i n gt h e o r y o fm a r t i n g a l e ，w eo b t a i nf o r m u l a t i o no fo p t i m a la s s e t p r i c ei na m e r i c a nc a l l o p t i o na n da m e r i c a np u to p t i o n i nt h i sp a p e r , w eo b t a i nf o r m u l a t i o no f o p t i o np r i c i n gb ym a r t i n g a l ea n a l y s i s ， w h i c hi sn o to n l yv a l u a b l et or i c ha p p l i c a t i o no fm a r t i n g a l et h e o r y , b u ta l s o p r a c t i c a lt of i n a n c i a ls t a t i s t i c s k e y w o r d s a m e r i c a no p t i o n ；h e d g et h o u g h t s ；m a r t i n g a l e ；d e f a u l t - r i s k ；o p t i m a l s t o p p i n g i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文鞅分析在美式期权定价中 韵应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他 人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：彳之匿式日期：矽奔弓月, 7 b 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 鞅分析在美式期权定价中的应用系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士 学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理 ，工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解 哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分 内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打) 作者躲彳霓钐式 导师签名：钏醪秽 日期：2 0 0 7 年3 月1 7 日 同期：2 0 0 7 年3 月伽p 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景及研究意义 第1 章绪论 衍生证券的研究已经有相当长的历史，它的雏形早在古希腊时期就已出 现。研究衍生证券要解决的主要问题就是如何确定衍生证券的价格即衍生证券 的定价，其次是如何构造投资策略，已达到尽可能地化解卖方因卖出衍生证券 而带来的风险。在所有的衍生证券中，期权的研究最为广泛，这是因为：( 1 ) 与 其他衍生证券相比期权易于定价：( 2 ) 许多衍生证券可表为若干期权合约的组合 形式；( 3 ) 各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一 般衍生证券的定价理论。期权是2 0 世纪7 0 年代中期首先在美国出现的一种金 融创新工具，3 0 多年来它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发 展。按照交易时间的不同，期权有欧式期权和美式期权之分。由于美式期权可 在其有效期内任何营业日进行交易，因此，它比欧式期权应用得更为普遍，国 际金融衍生市场交易的大多数期权都是美式期权。然而，美式期权提前执行的 可能性，使得其收益不仅取决于到期日的基础资产价格，而且具备路径依赖特 征，所以对其定价，确定最佳实施期就显得复杂：这也是购买者最关心的问 题。期权赋予其购买者在预先约定的时间或以前的某个时刻以预先约定的价格 买入或卖出某项标的资产的权利，为获得这种权利则必须支付给期权出售者费 用f 即期权价格) ，反映出买卖双方对某一权利做出的价值判断，但期权的价格 很难从市场中直接反映，因此期权定价一直都是金融数学中的一个重要课题， 在金融衍生市场中进行交易的期权大部分是标准期权，即欧式期权和美式期 权。而又基于美式期权在金融市场的普遍性，所以对标准期权( 尤其是美式期 权1 的定价就显得尤为重要。 现代金融衍生证券则诞生于2 0 世纪7 0 年代，1 9 7 3 年芝加哥期权交易所首 次把期权引入有组织的交易所交易，此后期权获得了迅猛的发展，但同时金融衍 生证券市场的蓬勃发展也给现代金融学提出了极其复杂的数学伺题。 纵观2 0 世纪期权定价理论的发展历程，不难发现，期权定价理论是以鞅 分析理论为主要工具而逐步发展和深化的。1 9 7 3 年，美国芝加哥大学的b l a c k 教授和s c h o l e s 教授i j l 在美国“政治经济学杂志”( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上发表了一篇名为“期权定价与公司负债”( t h e p r i c i n g o f o p t i o n sa n d c o r p o r a t e 晴尔滨理工人学理学硕士学位论文 l i a b i l i t i e s ) 的论文；同年，美国哈佛大学的m e r t o n 教授1 2 l 贝0 在另一刊物“贝尔 经济与管理科学杂志”( b e l l j o u r n a lo fe c o n o m i c sa n dm a n a g e m e n ts c i e n c e ) 上发 表了另一篇关于期权定价的论文“期权的理性定价理论”( t h e o r yo fr a t i o n a l o p t i o np r i c i n g ) 。这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础，s c h o l e s 教授和 m e n o n 教授因此而获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖。在这两篇具有划时代意 义的论文中，他们正是从证券价格的随机过程模型出发，利用伊藤随机积分和 扩散过程的马尔可夫性，导出了期权定价公式。从那时起，许多经济学家和数 学家发现，鞅分析理论是处理现代金融问题最有效的工具之一。在2 0 世纪7 0 年代，关于半鞅的随机积分理论在以法国学者eam e y e r 为代表的s t r a s b o u r g 学派的研究下，取得了实质性的发展。这些理论成果的取得，激发了一些数学 家对其在期权定价问题中的应用进行进一步的探索和研究。在1 9 7 9 年和1 9 8 1 年，h a r r i s o n 分别和k r e p s 3 j 、p l i s k a 4 j 合作，写了两篇对期权定价理论以后发 展有深远影响的论文。在论文中，作者建立了经济学中的无套利、完全市场等 概念和鞅分析理论中的等价鞅测度概念、鞅表示定理之间的联系，为鞅分析理 论在期权定价理论中的应用开辟了道路，同时也为期权定价理论的进一步发展 提供了强有力的工具。随后，在数学家和金融学家的共同努力下，建立了资产 定价基本定理，从而把期权定价理论和鞅分析理论一两个完全不同的学科紧紧 的联系在一起。 期权是2 0 世纪国际金融市场创新实践的成功典范，众多金融机构利用这 一工具来管理自己的金融风险。在一个不确定的资本市场中，风险通常与投资 收益始终相伴，具有一定的负效用。但是，利用期权这一工具，各种风险的价 格便可以得到量化，从而使风险与收益相分离，成为一种特殊的商品。因此， 以期权为代表的金融衍生工具市场的诞生为原先主要有商品市场和要素市场所 构成的市场体系增加了一个新成员，即风险市场。在这个市场上交易的商品为 风险。通过一定的价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险转交给那些对特 定风险有深入研究的专家，或者是那些追求风险受益的投机者。 从以上的介绍中，我们可以看出，在现代金融市场中，期权发挥着极其重 要的作用。而要想使期权发挥这一作用，就必须研究其在不同市场条件下的定 价问题。通过对一定市场条件下证券价格建立起合适的随机过程模型，再以鞅 分析理论为主要工具，对期权价值过程用数学的方法进行科学而精确的刻画， 我们就可以得出其价值过程的一般规律，并且在一定条件下，可精确计算出在 期权生命期内，任意时刻期权的价值。这样就为会融机构进行投资决策和风险 管理提供了科学的理论依据。因此，对期权定价问题的研究具有极其重要的理 哈尔滨理t 大学理学硕l 学位论文 论和现实意义。 1 2 研究状况及其进展 对期权价格进行的研究可追溯到法国数学家巴舍利耶( l o u i sb a c h e l i e r ) 5 1 在1 9 0 0 年有关投机理论的研究。在该文章罩，他假设股票价格按无漂移的算 术布朗运动( 又称绝对布朗运动) 变化，得出了在到期日式的股票期权价格的 期望值公式： p x , t 中( 等) kc l , ( 等卜4 f o ( 等) 其中，e ( x ，f ) 表示f 时刻股票价格为z 时期权的价格，工表示股票价格，k 表示 期权的执行价格，中表示标准正态分布函数，e 表示标准正态分布密度函数。 然而，他的模型存在两个缺陷：一是此模型假设标的股票的价格服从币态分 布，这使得股票价格出现负值，这是一个与股票的有限债务假设相矛盾的条 件；另一个是平均期望价格为零的假设，它忽视了资金的时间价值为正，期权 和股票间的不同风险特征。虽然有此不足，该公式对预测短期看涨期权的价格 还是非常使用的。同时，该文章首次引入了随机过程描述股票价格运动，为布 朗运动的研究奠定了数学基础。 在接下来的半个多世纪，期权定价的进展主要是在应用计量经济模型方 面。这方面的典型成果是卡索夫( k a s s o u f ) 的工作，他利用下述公式估计看 涨期权价格c ： c l 工 ( 5 ，z ) 7 + 1 】v ，一寸，- s ys 这罩z 为期权的执行价格，s 为股票价格，y 为待估计的参数。卡索夫利用到 期时间、分红以及其他变量估计参数y ，得出看涨期权价格公式。这一公式限 定了看涨期权的价格最高至股票价格，最低至实值m a x ( s x ，0 ) ，当系数y 取 无穷时，该式还给出了精确的看涨期权的到期价值。卡索夫通过到期时间、股 票收益和其他变量估计参数y ，从而确定这一模型。 1 9 6 1 年，斯普里克尔( s p r e k l e ) 1 6 1 发展了路易巴舍利耶的期权定价模 型。他假设股票价格服从具有固定平均值和方差的对数分布，且该分布允许股 票价格有正向漂移。在此假设下，他得到的看涨期权公式为： 晴尔滨理工大学理学硕士学位论文 p 0 ，f ) - 艇。中型生过 。也 一( 1 一石炯 1 n ( x o ，z q + s ) - z ( s ) ( 0 ，c 2 t ) ； ( 3 ) z ( f ) 关于t 是连续函数； 则称z ( t ) 是布朗运动或维纳过程。特别地，当c 一1 时，称z ( f ) 为标准布朗 运动。 定义2 2 设 z ( f ) ，t 2 田为b r o w n 运动，记z ( f ) 一z q ) + t i t ，其中叩为常 数，称 z ( f ) ，t z 0 为带漂移的布朗运动，又称为普通布朗运动。 首先对标准布朗运动进行分析。 设血代表一个小的时间间隔长度，垃代表变量z 在出时间内的变化，遵 循标准布朗运动的& 具有以下两种特征。 特征1 ：a z 和址的关系满足 & 一石 ( 2 9 ) 其中，代表从标准正态分布中取的一个随机值。 特征2 ：对于任何两个不同时间问隔f ，止值相互独立。 从特征1 可知，z 本身也具有正态分布特征，其均值为o ，标准差为 垃，方差为出。从特征2 可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马 尔可夫过程的一种特殊形式。 我们进一步来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间t 中的变化 情形。我们用z ( r ) 一z ( 0 ) 表示变量z 在r 中的变化量，它可被看作是在j v 个长 个 度为址的小时间间隔中z 的变化总量，其中- 二_ ，因此有 出 z 叮) 一z ( o ) a 萝毛石 ( 2 1 0 ) 箭 其中e j ( i - l 2 , - - - , n ) 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2 可知，是相互 独立的，因此z ( r ) 一z ( 0 ) 也具有正态分布特征，其均值为o ，方差为n a t t ， 标准差为丁。 由此可以发现两个特征： ( 1 ) 在任意长度的时间间隔r 中，遵循标准布朗运动的变量的变化值具有 均值为0 ，标准差为r 的正态分布； ( 2 ) 对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加 性。 当a f 一0 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： d z ；f 4 - g ( 2 1 1 ) 哈尔演理t 人学理学硕i 学位论文 为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂 移率( d a f tr a t e ) 是指单位时问内变量z 均值的变化值。方差率( v a r i a n c er a t e ) 是 指单位时问的方差。 标准布朗运动的漂移率为0 ，方差率为1 。漂移率为0 意味着在未来任意 时刻z 的均值都等于它的当i i i 值，方差率为1 意味着在一段长度为丁的时间段 后，z 的方差为r ，我们令漂移率的期望值为a ，方差率的期望值为b 2 ，就可 得到变量算的普通布朗运动： d x a d t + b d z ( 2 - 1 2 ) 其中，a 和b 均为常数，出遵循标准布朗运动。 由式( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) 礅n 道，在短时间后，z 值的变化值缸为： a x a a t + 6 r ( 2 - 1 3 ) 因此，缸也具有正态分布特征，其均值为口a | ，标准差为6 缸，方差为 b 2 a t 同样，在任意时间丁长度后，z 值的变化也具有正态分布特征，其均值 为a t ，标准差为b 4 r ，方差为b 2 t 。 标的资产的价格汹1 是由标的资产的投资回报率的分布导出的。由布朗运动 以上的性质，我们可以建立以下标的资产的价格模型。 设任意t 时刻，标的资产的价格为s ，在无收益情况下，我们可以得出从t 时刻到t + 1 时刻的投资回报率 ，c、 1 一a s 。s , 一l n i 等1 i i n s f + 1 一l n s ( 2 1 4 ) ， 、jr 假设把时间段l o ，tl 等分成若干个小的等长时间段，每个小区间的长度为a t ，于 是由+ 的定义式( 2 1 4 ) ，可知 s s 一1e x p ( r , )( 2 - 1 5 ) 所以有 - 。s oe x p ( r , + 一1 + + r 0( 2 - 1 6 ) 为了确定标的资产投资回报率r 的分钿，我们假设： ( 1 ) 在不同时刻t ，的分布是相互独立的； ( 2 ) 在不同时刻f ，的分布； ( 3 ) 的期望值和方差可以分别表示为： e 【】一t a t ，v a r r , 】= o r 2 a t 其中，r 为时间日j 隔长度，p 和e l r , l = 肚，v a r r , 】= 仃2 a t 均为常数，它们分别 表示单位时间间隔内回报率的期望值和方差，又称为瞬时期望回报率和瞬时回 报率方差。 竺堡堡至三查茎矍茎堡圭兰竺丝兰 在上述三个假设条件下，标的资产投资回报率服从独立的正态分布。由概 率论的中心极限定理，当垃无穷小时，服从正态分布( 肚f ，口2 a t ) ，即 - u a t + 咄 其中，缸服从正态分布期望值为o ，方差为血，且不同时刻的& 相互独 立，由定义知，& ，是一个维纳过程，所以标的资产的投资回报率可以用下列 几何布朗运动方程表示 ，c、 i n i 半| - 肚+ o a z ， ( 2 - 1 7 ) 、o ， 结合表达式( 2 1 4 ) ，就可以得到标的资产价格变化的概率分布模型 a s ，s , - v a t + o a z , ，令厶f o ，得到微分方程 豳，s , 一u d t + a d z ，( 2 - 1 8 ) 其中，五为一个维纳过程。因此，在上述假设下，股价的变化为一个几何布朗 运动过程。 。 为了进一步研究标的资产价格变化所服从的概率分布，下面引入伊藤引 理。伊藤引理( i f o l e m m a ) 是由日本数学家伊藤( ki t o ) 在1 9 5 1 年提出的，它揭示 了这样一个基本规律，即一个伊藤过程的函数仍是一个伊藤过程。 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率 当作变量x 和时间f 的函数，我们可以从公式( 2 1 2 ) 得到伊藤过程( 1 t o p r o c e s s ) ： d x a ( x ，t ) d t + 6 0 ，f ) 出 ( 2 - 1 9 ) 其中，出是一个标准布朗运动，口、b 是变量z 和f 的函数，变量z 的漂移率为 a ，方差率为b 2 。 在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量z 遵循伊藤过程，则变 量z 和t 的函数g 将遵循如下过程： d g f 要口+ 警+ 要害b ：i d t + o _ ，_ q _ g b a z ( 2 - 2 0 ) i 越 a f2 缸2 ，缸 其中，出是一个标准布朗运动，由于詈a + 百o g + i 1 害6 2 和詈6 都是工和f 的函数，因此函数g 也遵循伊藤过程，它的漂移率为堕口+ 塑+ 三竺孚6 ：， d xa f z 以 方差率为f 竺1b 2 。 缸， 公式( 2 2 0 ) 就是著名的伊藤引理。 从公式( 2 1 8 ) 中，我们可得： 竺玺童垩三查茎竺兰至! ：兰堡丝兰 d s 。弘剐f + o s d z ( 2 - 2 1 ) 其中，p 和盯为常数。我们知道，衍生证券的价格是标的资产价格s 和时间t 的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格g 应遵循如下过程： 粥- ( 詈心+ 百a g + i 孑a 2 g 口妒1 d f + 詈砒 ( z 2 2 ) 比较式( 2 - 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) n - j 以看出，衍生证券价格g 和相应标的资产价格 s 都受同一个基本的不确定来源出的影响，这对于后面期权定价公式的推导有 重要意义。 根据标的资产价格变化的微分方程及伊藤引理，可以推导证券价格自然对 数i n s 变化所遵循的随机过程。 令g i n s ，由于 a g 1a 2 g1o g 石。i 孑f 百刈 代入式( 2 - 2 2 ) ，可得出证券价格对数g 所遵循的随机过程为： d g f p 一生k + o r l z 2 ， 由此可知，标的资产价格对数g 也遵循布朗运动。所以，在当前时刻f 和 将来某一时刻r 之间g 的变化都是正态分布的，其均值为“一盯2 2 ) 仃一t ) ，方 差为盯2 ( r f ) 。这意味着： 蚣r 山卜妒陋卵叫，盯厉】 其中，s 为当前时刻t 的标的资产价格，s ，为r 的标的资产价格。 也就是说，标的资产价格变化服从对数正态分布。 根据正态分布的性质，从式( 2 2 3 ) 可以得到 - n 刚卜畔卜加厉】 p 砷 2 3b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型及其公式 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型是期权定价理论的核心和基础。本节根据上述 随机过程的有关知识，给出了该模型的推导方法。首先给出了b j a c k s c h o l c s 微分方程的推导，然后得出了b l a c k s c h o l e s 期权定价公式。 由于衍生证券价格和标的证券价格都受到一种基本的不确定性出影响，若 哈尔演理t 人学理学顾f 。学位论文 匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此b l a c k 和s c h o l e s 就建立 了一个包括一个单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数 量适当的话，标的证券多头的盈利( 或亏损) 总是会与衍生证券空头的亏损 ( 或盈利) 相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利 机的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。 b l a c k 和s c h o l e s 在推导其期权定价模型时，做了以下7 个基本假设，即： ( 1 ) 在衍生证券有效期内，无风险利率r 已知，且为一个常数 ( 2 ) 标的证券价格s 遵循几何布朗运动，即： d s 一s c l t + o s d z ： ( 3 ) 在衍生证券有效期内，标的证券没有现金收益； ( 4 ) 不考虑交易费用及税收等交易成本； ( 5 ) 允许卖空标的证券； ( 6 ) 不存在无风险套利机会； ( 7 ) 证券交易是连续的，价格变动也连续的。 在上述假设下，由于证券价格s 遵循几何布朗运动，因此有： d s p s d t + o s d z 其在一个小的时间白j 隔缸中，s 的变化量丛为 a s u s a t + o s z ( 2 2 5 ) 假设厂是依赖于s 的衍生证券的价格，则由式( 2 2 2 ) 可知： d - ( 羔心+ 詈+ 三警盯2 s 2 p + 姜砒 在一个小的时间间隔f 中，的变化值为： 一( 善筇+ 善+ 吾豢口2 s 2 1 血+ 芸跳 c z 粕， 由于出代表标准布朗运动，因此式( 2 2 5 ) 和式( 2 2 6 冲的z 相同，都等于 & 。因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定 性。为了消除a z ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和旦单位标的 於 证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则： 。，+ 芸s ( 2 2 7 )。 a s 、7 经过r 时间后，该投资组合的价值变化d h 为： d h ；- a f + 凳i s ( 2 - 2 8 ) 。 a s 哈尔滨理t 人学理学硕 学位论空 将式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 代入式( 2 - 2 8 ) ，可得： 愕o t 2 祟o s 叫血 ( 2 - z ，) i j 、 7 由于式( 2 2 9 ) 0 7 不含业，该组合的价值在一个小时问间隔f 后必定没有风 险，因此该组合在f 中的瞬时收益率一定等于血中的无风险收益率。否则就 与无套利假设与违背。因此，在没有套利机会的条件下： 4 h - t h a t 把式( 2 2 7 ) 和( 2 2 9 ) 代入上式得： 隆三豢叫= r ( ，一善s ) ia f2 砸2jl 。瓠j 化简为： 笪+ 巧堕+ 三粤a 2 s ：。玎( 2 3 0 ) 以m2a s 这就是著名的b l a c k s c h o l e s 微分方程，它适用于其价格取决于标的证券 价格s 的所有衍生证券的定价。 从式r 2 3 0 ) 还可以看出，衍生证券的价格独立于主观变量一风险收益偏 好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率口并未包括在衍生证 券的价格决定中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对，的值产 生影响。于是，我们根据b l a c k s c h o l e s 微分方程所揭示的这一特性，可以假 定所有投资者都是风险中性的。在所有投资者风险中性的条件下，所有证券率 都可以等于无风险利率，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得 现值。这就是风险中性定价原理。 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 成功地求解了他们的微分方程，从而了欧式看 涨期权和看跌期权的精确公式。 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时( t 时刻) 的期望值为： e m a x ( s r - x ，0 ) 】 ( 2 - 3 1 ) 其中，应表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧看涨期权 的价格c 等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即： c = e - r ( t t ) ； m a x ( s r - x ，0 ) 】 ( 2 3 2 ) 在风险中性条件下，我们可以用r 取代式( 2 2 4 ) 所表示i n s ，概率分布中的 ，即： ，妒卜( r 譬卜l 口厉1 p ，s ， 哈尔演理_ t 大学理学硕】学位论文 对式( 2 3 2 ) 右边求值是一种积分过程，结果为： c 一5 中( d 1 ) 一船”o “) 中似2 ) ( 2 - 3 4 ) 其中： 吐i n ( s x ) + ( r t + a 2 2 ) ( t - 一t ) ，d ：。i n ( s x ) + ( r t + o ；z 2 ) ( t 一- t ) 吐一口f j o _ t - t o q t t 1 其中，西伍) 为标准正态分布变量的累计概率函数。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。 2 4 本章小结 本章首先介绍了期权的基本概念，然后将随机过程理论应用到期权定价问 题中，在标的资产投资回报率服从独立的正态分布的假设下，得出了股价的变 化为一个几何布朗运动过程的结论，并通过引入伊藤引理，证明了标的资产价 格变化服从对数正态分布这一性质，最后在风险中性定价原理条件下，给出了 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。本章内容是研究期权定价理论的基本内容，为更 进一步研究期权定价理论奠定了基础。 哈尔滨理工大学理学硕j 。学位论文 第3 章鞅分析及其在美式期权定价中的应用 3 1 鞅的基本概念与性质 在介绍鞅论之前，我们先介绍一个简单的鞅过程例子1 2 9 1 。一个赌博者在 每次赌博的时候以等概率赢得或输掉一个货币单位并且每次赌博结果独立于其 它赌博结果。同时他最多只有抨。场赌博机会，但是赌博者拥有在场之前停 止的权利。可以根据随机游动来公式t s 。，厅 来公式化他的收益。令 s o ，置一：。v ，并且x ，k ，k 作为独立同分布的随机变量且依概率1 2 各 自取值一1 和1 。从而是第厅局之后赌博者的赢利。现在定义一个以为界 的规则a 令w ：z 4 一 0 ，1 ，厅- l 2 ，是检测函数族，其中- 1 。停止规则 是取值于诅， 的随机变量f 且使f - - l l 当且仅当 m ，k ，x ) - 1 , n - 1 , 2 , ，n - 1 和k ，k ，v ) - 1 ，n - 1 , 2 , ，l l o 。所以如果经 过第厅局之后检验函数等于0 ，那么这个赌博者继续，然而如果这个结果等 于1 ，他就退出赌博。如果这个停止规则f 被应用，那么这个赌博者将以收益 & - ：。只u p 竹) 墨 放弃赌博，其中：p 。忍) 皇j 二f 。忍。 t u , t - ” 在这些条件下，我们可以证明赌博的公平性，即：e s , 一0 由于f 一忍是独立于k 。，k ，因此 【& ；l r ；n 】 - e 晦+ k + l + + k ；f n 】 峨；f 一一1 + 瞰+ 1 + + k ；f ；h 】 - e 【只；_ r - n 】 即：对于1 s 甩s 有 研。；f ；n 卜隅；r - 厅】 所以 强一e ( 薹o ；厅) ) = e ( 扛- n ) ) 一瓯；0 所以，对v t r l 有： e ( 。i x ，k ) t s n 哈尔滨理工大学理学顼j + 学位论文 记e ( + 。i x ，k ) 表示包事件 w ：( w j ) ，k ) ) 丑 ，b o r e l 集合- b b ( r 。) 的 子o r 代数f 的条件期望。 设( q ，f ，p ) 是概率空间， c ，忍之o ) 是f 的单调不降的子a 代数序列。 以，n 2o ) 是实值随机变量序列，如果对每一n = 0 ，x 。是，n 可测的，则称 k ，n 之田为 c ，开z0 ) 适应的，称x ，e ， 之田为适应序列。对p ，0 ，若 对每一 2 0 ，有e l x 。r t * ( 即x 。) ，则称x 一 x 。，e ，露芑o l 为可积的 适应序列，口可积的适应序列简称为适应可积序列。若果s u p e l 以i t m ，则 m 2 1 称x 一 x ，e ，九2o ) 为矿有界的适应序列。如果对每一扛苫0 ，x 。为c 。可测 的，则称x i x ，e ，雄苫0 ) 为可预测序列。在本章中，随机变量均指实值随机 变量。 定义3 1 称适应可积序列x - ( 置，只，万苫o 为下鞅，如果对任意的 厅，打苫0 ，有 ( 以i ) j ，_ 4 卫 ( 3 1 ) 如果一x 一 一以，e ，起七o ) 为下鞅，则称z - i x ，e ， 乏o 为上鞅，如果 j 一 以，库苫o ) 既是下鞅又是上鞅，则称石一 z ，只，尼田为鞅。 由定义3 1 可见，适应可积序列x 一 以，只，厅z 田为下鞅的充要条件是对 任意的拄2 聃0 ，a e 兄，有f a x ，d p sf x d p 同样的，x 一似，e ，雄苫o t 为上鞅的充要条件是对任意的忍苫mz 0 ，对任 意的z l ，有f x 。d p f x 。d p 若x 一 z ，c ， 芑o 为下鞅，则e x 。t ，若z - 瓦，玎o ) 为上鞅，则 e x 。i ，若x 一 以，只，拄之o t 为鞅，则对任意的 ，o ，盟。以o 。 鞅还有另一种定义： 定义3 ，2 在完全概率空间( q ，f , p ) ，令饭，t = 0 ) 是f 的非降子盯代数流， 称随机过程 j ( f ) ：f 苫o 是关于 f ，t 芑o t 的鞅，若有 ( 1 ) x ( f ) f ，即