（应用数学专业论文）非自治拟线性双曲型方程组的精确能控性.pdf

非自治拟线性双曲型方程组的精确能控性 摘要 本文将一阶拟线性双曲组混合初边值问题的半整体c 1 解理论推广到更为一 般的形式，并且以此为基础，利用直接的构造性方法建立了非自治一阶拟线性双曲 组的局部精确能控性理论，揭示其与自治系统情形的差异性，并对相应的控制时间 给出了精确的估计作为应用，本文解决了一维非自治拟线性波动方程和一维绝热 流方程组的局部精确边界能控性问题最后，本文对齐次的一阶拟线性对角型双曲 组实现了整体精确能控性，并在一维等熵流方程组得到了应用 本文的具体安排如下： 首先在第一章，作者简单介绍了精确能控性的定义以及相关问题的研究历史与 现状 在第二章，作者结合一些例子说明了非自治双曲系统的精确能控性存在多种不 同的可能性通过与自治系统的比较，揭示出非自治双曲系统的精确能控性的一般 特点，并指出对其研究的困难和意义 作为下一步研究的基础，在第三章中，作者对带非线性边界条件的一般形式的 一阶拟线性双曲组建立了其混合初一边值问题的半整体g 1 解理论 在第四章，作者以第三章建立起来的半整体g 1 解理论为基础，采用一个与自 治系统情况相似的直接构造方法得到了非自治一阶拟线性双曲组的局部精确能控 性当系统不具有零特征时，证明了只需通过作用在一侧或双侧边界上的控制即可 实现局部精确能控性；而在系统具有零特征的情形，虽仍然可以得到的相应的局部 精确能控性，但此时除了边界控制，还需要对相应于零特征的方程加入内部控制 在第五章，作者致力于研究一维非自治拟线性波动方程的局部精确能控性问 题利用第三章得到的一阶拟线性双曲组的半整体g 1 解结果，作者可以用统一的 方式处理各种不同类型的边界条件，得到一维非自治拟线性波动方程混合问题的半 整体g 2 解理论，并进而实现相应的双侧和单侧局部精确边界能控性作为一个直 接的应用，作者对具有旋转不变性的n ( n 1 ) 维拟线性波动方程建立了相应的局 部精确边界能控性 在第六章，作为已有结果的应用，作者研究了l a g r a a g e 坐标下的一维绝热流方 程组的精确边界能控性问题，并通过对边界上速度与( 或) 压强的控制实现了其局部 精确边界能控性 最后，在第七章，本文对齐次的一阶拟线性对角型双曲组实现了整体精确能控 性，并在一维等熵流方程组得到了应用 关键词：拟线性双曲型方程组，半整体经典解，非自治系统，局部精确能控性，整 体精确能控性，拟线性波动方程，绝热流方程组，等熵流方程组 2 0 0 0m r 主题分类： 3 5 l 0 5 ，3 5 l 5 0 ，3 7 8 5 5 ，4 9 j 2 0 ，7 6 n x x ，7 6 n 2 5 ，9 3 8 0 5 中图分类号：0 1 7 5 2 7 ，0 2 3 2 e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rn o n a u t o n o m o u s q u a i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t t h ep r e s e n tp h d t h e s i sd e a l sw i t ht h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rn o n a u t o n o i l l o u s q u a i l i n e a rh y p e r b o f i cs y s t e m s a sab a s i so ft h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , t h ea u t h o rp r o v e s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e m i g l o b a lc 1s o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rg e n e r a lf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m si nt w ov a r i a b l e sw i t hg e n e r a l n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e nb ym e a n so fac o n s t r u c t i v em e t h o d ，t h ea u t h o r r e a l i z e st h el o c a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rn o i l a u t o n o m o u sf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i c s y s t e m sa n dp r e s e n t ss h a r pe s t i m a t e so i lt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yt i m e m o r e o v e r ，t h e a u t h o rr e v e a l st h ee s s e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h en o n a u t o n o m o u sh y p e r b o l i cc a s ea n dt h e a u t o n o m o u sc a s e a sa p p l i c a t i o n s ，t h ea u t h o rg e t st h el o c a le x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t y f o ro i l e d i m e n s i o n a ln o n a u t o n o m o u sq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sa n dt h eo n e d i m e n s i o n a l a d i a b a t i cf l o ws y s t e m a tt h ee n d ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e st h eg l o b a le x a c tb o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t yf o rf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so fd i a g o i l a lf o r m ，t a k i n gt h e o n e d i m e n s i o n a li s e u t r o p i cf l o ws y s t e ma sa ne x a m p l e t h ea r r a n g e m e n to ft h et h e s i si sa sf o l l o w s ： f i r s to fa l li nc h a p t e r1 t h ea u t h o rg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no nt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t y i nc h a p t e r2 ，b yc h o o s i n gs u i t a b l ee x a m p l e s ，t h ea u t h o rs h o w st h a t ，q u i t ed i f f e r e n tf r o mt h ea u t o n o m o u sh y p e r b o l i cc a - 一q e ，t h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o ri l o i l a u - t o n o m o u sh y p e r b o l i cs y s t e m sp o s s e s s e sv a r i o u sp o s s i b i l i t i e s a n dt h e nt h ea u t h o rp o i n t s o u tt h ed i f f i c u l t ya n ds i g n i f i c a n c eo fs t u d y i n gt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rn o n a u t o n o m o u s h y p e r b o l i cs y s t e m s a sab a s i so ff u r t h e rs t u d y , i nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o rp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e i l e s 8o fs e m i g l o b a lc 1s o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rg e n e r a lf i r s t o r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hg e n e r a ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，b ym e a n so ft h er e s u l to b t a i n e di nc h a p t e r2a n da si nt h ea u t o n o m o u s c a s e ，t h ea u t h o ra d o p t sad i r e c tc o n s t r u c t i v em e t h o da n do b t a i n st h el o c a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rg e n e r a ln o n a u t o i l o m o u sf i r s to r d e rq u a s i l i u e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s w h e nt h e r e i sn oz e r oe i g e n v a l n e ，t h ea u t h o rp r o v e st h a tt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yc a nb er e a l i z e dw i t h b o u n d a r yc o n t r o l sa c t i n go n o n ee n do ro nt w oe n d s w h i l ei nt h ec a s et h a tt h e r ea r es o m e z e r oe i g e n v a l u e s ，i no r d e rt or e a l i z et h ec o r r e s p o n d i n ge x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , o n es h o u l du s e n o to n l yb o u n d a r yc o n t r o l sb u ta l s os o m es u i t a b l e i n t e r n a lc o n t r o l si nt h o s ee q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n gt oz e r oe i g e n v a l u e s c h a p t e r5i sd e v o t e dt ot h el o c a le x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o ro n e - d i m e n s i o n a l n o n a u t o n o m o u sq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n s b yt h er e s u l t so fs e m i g l o b a lc 1s o l u t i o nt o f i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so b t a i n e di nc h a p t e r3 ，t h ea u t h o rd e a l sw i t h v a r i o u st y p e so fb o u n d a r yc o n d i t i o n si nau n i f i e dw a ya n de s t a b l i s h e st h es e m i g l o b a lc 2 s o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ro n e - d i m e n s i o n a ln o n a u t o n o n l o u s q u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n t h e nt h ea u t h o rg e t st h el o c a le x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l - i t yf o rt h eo n e d i m e n s i o n a ln o n a u t o n o m o u sq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o ni nb o t hc a s e so f t w o s i d e sa n do n e s i d ec o n t r 0 1 a sa na p p l i c a t i o n t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nt h ee x - a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rn d i m e n s i o n a lq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hr o t a t i o n i n v a r i a n c ea r eo b t a i n e d i nc h a p t e r6 ，t h ea u t h o rs t u d i e st h ec o n t r o l l a b i l i t yf o rt h es y s t e mo fo n e d i m e n s i o n a l a d i a b a t i cf l o wi nl a g r a n g i a nr e p r e s e n t a t i o n b yc o n t r o l l i n gt h ev e l o c i t ya n d o rt h ep r e s s u r eo nt h eb o u n d a r y ，t h el o c a le x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yi so b t a i n e d a tl a s t ，i nc h a p t e r7 ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e st h et h e o r yo ng l o b a le x a c tb o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t yf o rf i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e mo fd i a g o n a lf o r ma n da p p l i e si t t oo n e d i m e n s i o n a li s e n t r o p i cf l o ws y s t e m k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，s e m i g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ，n o n a u t o n o l n o u s s y s t e m s ，l o c a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ，g l o b a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ，q u a s i l i n e a rw a v ee q u a - t i o n s ，s y s t e mo fa d i a b a t i cf l o w ，s y s t e mo fi s e n t r o p i cf l o w 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：3 5 l 5 0 ，3 7 8 5 5 ，4 9 j 2 0 ，9 3 8 0 5 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 7 ，0 2 3 2 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作箍名：烂i 茧哺塑! ：纠f 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阗：学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 作者签名导师莓名：搬日期： 莎一6 6 第一章绪论 近几十年来，无论是理论研究或是实际应用，偏微分方程的精确能控性问题一 直是一个十分活跃的方向本文主要研究双曲型偏微分方程( 组) 的精确能控性首 先我们给出双曲型偏微分方程( 组) 的一些基本概念 在空气动力学、弹性力学等学科中提出了带两个自变量t 和z 的一阶拟线性双 曲型方程组 豢+ a ( “) 筹= f ( 口) ， ( 1 1 1 ) 其中u = ( t 1 ，) t 是( t ，霉) 的未知向量函数，a ( u ) 为n x n 阵，其元素a q ( u ) ( t ，j = 1 ，n ) 适当光滑，而f ( u ) = ( ，l ( “) ，厶( “) ) t 为“的适当光滑的向量值函数，且 f ( o ) = 0 ( 1 1 2 ) 由( 1 1 2 ) 知，t = 0 是方程组( 1 1 1 ) 的一个解平衡态 由双曲型的定义( 见【2 7 j ) ，对于所考察区域上任意给定的“值，矩阵a ( “) 有n 个 实特征值a i ( u ) 8 = 1 ，n ) 及一组完全的左特征向量h ( u ) = ( 毛1 ( 钍) ，( t ) ) “= 1 ，n ) ： “( ) a ( “) = a d u ) t i ( u ) ，( 1 1 3 ) 且 d e t ( “) i 0 ( 1 1 4 ) 特别地，当a ( u ) 的n 个实特征值互异时，方程组( 1 1 1 ) 称为严格双曲组在本文 的讨论中，我们不排除重特征的情况，但假设a i ( u ) 及l i ( u ) ( i = 1 ，n ) 与a ( u ) 有 同样的正规性 利用( 1 1 3 ) 式，方程组( 1 1 1 ) 可以等价地改写为如下的特征形式： l i ( u ) ( 害“( “) 塞) = 小) 锄让) 跏_ 1 ， ( 1 1 5 ) 且 m ( o ) = 0 ( i = 1 ，n ) ( 1 1 6 ) 特别地，当a ( “) 的一组左特征向量l i ( u ) ( i = 1 ，n ) 可以选取为舯上的单位坐 标向量时： l i ( u ) = e t = ( 0 ，1 ，0 ) ( i = 1 ，n ) ，( 1 1 7 ) 1 第一章绪论 方程组( 1 1 1 ) 称为对角型双曲组此时，相应的特征形式为 九n 一 等+ 沁) j e r a = i = ( t ) ( i = 1 ，n ) ( 1 , 1 8 ) 由于在有界区域( 或有边界的区域) 上求解双曲型方程( 组) ，需要有适当的边界 条件因此我们对双曲系统施加的控制，可以是出现在方程中( 作用在整个或部分 求解区域上) 的内部控制，也可以是出现在边界条件中( 作用在求解区域的整个或 部分求解边界上) 的边界控制在实际的应用中，在求解区域内部施加控制往往比 较困难，而在求解区域的整个或部分边界上实施控制则相对容易得多因此，对于 具体的应用问题，在条件允许的情况下，尽可能不用或少用内部控制来实现精确能 控性，应该是一个一般性的原则但在有些情况下，例如对没有边界的c a u c h y 问 题，内部控制仍然必不可少的此外，从理论研究的角度，对具有内部控制的情况 进行深入的研究仍是很有意义的 这样，有关双曲系统的精确能控性可以定义为：对任意给定的初值i p 和终值 妒，存在t o 及适当的边界及( 或) 内部控制，使得系统( 方程连同可能的边界条件) 在区闻 t o ，t o + 刃上能将妒变为妒这里的t o 为实施控制的初始时刻 具体地说，仅仅利用边界控制就能实现的精确能控性，称为精确边界能控性； 仅仅利用内部控制就能实现的精确能控性，称为精确内部能控性；而同时利用边界 控制及内部控制实现的精确能控性，则统称为精确能控性此外，如果精确能控性 仅对( 某种意义适当小的初值及终值才能实现，厕称为局部精确能控性；否则， 称为整体精确能控性 在边界控制的情形，由于双曲波传播速度的有限性，精确控制时间t 0 一般 不能太短，即通过边界控制的影响而实现的精确能控性不可能在瞬间完成，这是因 为，在没有内部控制时，所考察的方程( 组) 是给定的，其中没有可以调节的因素 于是，对于任意给定的初值，通过求解此双曲型方程( 组) 的前向c a u c h y 问题，可 在其最大决定区域上唯一地决定一个解同样地，对于任意给定的终值，通过求解 此双曲型方程( 组) 的后向c a u c h y 问题，也可在其最大决定区域上唯一地决定一个 解为了保证解的相容性，这两个最大决定区域不能相交，这就要求控制时间t 适 当大这是实现精确边界能控性的一个必要条件( 详见第二章) 当然，从实际应用 的角度出发，还应要求? 尽可能地小 上面所说的双曲型方程( 组) 的解是指它的经典解对于线性双曲型方程( 组) ， 其经典解在任意时间区间【t o ，t o + 卅上的存在性原则上是没有问题的但是对于非 2 第一章绪论 线性双曲型方程( 组) ，其经典解往往只在时间t 的一个局部范围中存在，而随着时 间的增加，解往往要出现奇性，即产生破裂( b l o wu p ) ；换言之，对非线性双曲型方 程( 组) ，在初值及边值适当光滑并满足相容性条件的假设下，我们通常只能证明存 在适当小的6 0 ，使得在时间区间 t o ，t o + 司上经典解存在但由前述，为保证精 确边界能控性，又必须对适当大的t ，在时间区间 t o ，t o + 卅考察问题而要在一个 虽然有限，但却可能相当大的时间区间 t o ，t o + 司上存在经典解，保证在这一段时 间内解不会发生破裂，在非线性方程( 组) 的情形应该是有条件的这种经典解，既 不同于局部经典解，又不同于整体经典解，我们称之为半整体经典解半整体经典 解的存在性，是在非线性情况借助于边界控制实现精确能控性的一个重要的前提和 基础，也是首先需要克服的一个困难，但解决这个困难的关键本质上还是基于对局 部经典解理论的深入了解和分析( 1 3 ， 4 】，【1 5 ，【2 0 】j 【3 9 】，【4 3 】) 对双曲型偏微分方程边界控制问题的研究最早是r u s s e l l 在1 9 6 0 年代提出的， 在p 5 中，r u s s e l l 将线性偏微分方程的能控性和稳定性理论做了很好的总结，并提 出了许多值得研究的问题l i o n s 开创性地引入h u m ( h i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o d ) 方法，为研究双曲型方程，特别是波动方程的精确边界能控性以及稳定性提供了一 个一般的框架( 见 3 0 】，【3 l 】) l i o n s 所采用的h u m 方法，本质上是在弱解的框架下 通过建立共轭问题的能观性不等式来实现精确能控性这一里程碑式的工作在之 后的敖十年被很多数学家发展和推广结合h u m 方法和s c h a u d e r 不动点原理， z u a z u a ( 【4 7 】，【4 8 】) 给出了一些有关半线性波动方程精确边界能控性的结果l n s i e c k a 和t r i g g i a n i ( f 9 】) 通过使用一个整体的逆定理，对一个抽象的半线性系统建立了整 体精确能控性，并将其应用到半线性波动方程的边界控制问题中h u m 方法是一 个间接的方法，它在线性及半线性情况很有效，但是对拟线性的情况目前还难以应 用 对一般的二自变数的拟线性双曲组的精确能控性，一个较早的工作是由c i r i n a ( 【3 】，f 4 】) 做的与h u m 方法不同，c i r i n a 采用了一个直接的构造性方法，利用线性 边界控制，对本质上为对角型的拟线性双曲组实现了局部零控制( 即终值妒= o ) 之后，李大潜等发展了一个一般性的的构造性方法，在一般的非线性边界条件 下对二自变数的拟线性双曲组的精确能控性建立了完整的理论在经典解的框架 下，李大潜和张秉钰( 2 9 d ，李大潜、饶伯鹏和金逸( 【2 0 】， 2 1 】) 对可化约的拟线性双曲 3 第一章绪论 f 瓦o r 州刊塞_ o 【塞州叫塞- o ， ( 1 1 9 ) a ( r s ) 0 p ( r 8 ) ( 1 1 1 0 ) 接着，这些结果被李大潜和饶伯鹏( 1 8 1 ， 1 9 1 ) 推广到不具零特征的一般的拟线性双 曲组 讯) ( 裳+ 冲) 宝) = 脚= ”一，n ) ， ( 1 - 1 1 1 ) 其中 ( “) 0 k 扣) ( r = 1 ，m ；8 = m + 1 ，- 一，n ) ( 1 1 1 2 ) 当系统具有零特征时 ( u ) 入口三0 t ( t o ) 时成立精确边界能控性，而t ( t o ) 为某个与t o 有关的函数? 如果是， 有没有可能出现精确能控时间与t o 无关的情况? 在本文第二章，我们通过选择适当的例子来回答这些问题，从而揭示出非自治 的双曲系统的精确能控性具有多种不同的可能性，从而必须更加深入仔细地加以考 察 接着，在第三章中，我们首先研究带一般非线性边界条件的一阶拟线性双曲组 ( 1 1 1 4 ) 混合初边值问题半整体g 1 解的存在唯性我们假设在考察的区域上双 曲组( 1 1 1 4 ) 的特征值满足 ( t ，z ，“) 0 ，只 要0 p 8 c 1 【0 ，工j ，f i b l l c q n ( t 0 ，) 】 i i c l i c q 脚, t o ) i 及( ，) “g - ，t o + t o ( p = 1 ，f r = m4 - 1 ，n ) ( 相应地，j j ( 岛，h , ) l l c t t o , t o + t o ( p = 1 ，l ；r = m + 1 ，n ) ) 充分小( 与而 有关) ，同题i ( 相应地，问题i i ) 就在区域r ( t o ，t o ) = ( t = ) l t o t t o + t o ，0 s s 研 上存在唯一的g 1 解t = “( t ，z ) ，且其c 1 模充分小 需要指出的是，和通常拟线性双曲型方程组( 1 1 1 1 ) 不同，在方程组( 1 1 1 4 ) 的 右端多了含有b i ( t ，z ) 沿特征方向鲁= 丸( t 忍i , ) 对t 求导数的项，这使得整个右端项 的正规性有所降低，从方程组左右两端正规性的匹配角度看也更为合理，而经过细 致的分析，特征线方法仍然有效这种形式的混合初边值问题实际上已见于【2 8 】， 【4 3 】中，并且将会在本文第六章研究一维绝热流方程组时得到具体的应用 此外，条件( 1 i 2 4 ) ( 1 1 2 5 j 是保证经典解适定性要求的最一般的非线性边界条 件( 见【2 7 】) ，其特点是；1 ) 在z = 0 ( 相应地，。= l ) 处的边界条件的个数等于正( 相 应地，负) 特征的个数；2 ) 在z = o ( 相应地，z ；五) 处的边界条件可写为对应于正 ( 相应地，负) 特征的“对角化变量”蜥p = m 4 - 1 ，n ) ( 相应地，唧b = 1 ，z ) ) 关于其他。对角化变量”为解出的形式而由( 1 1 2 2 ) 定义的玩“= 1 ，n ) 可视 为。对角化变量”啦( i = 1 ，n ) 的变形，这也是问题i 和问题i i 具有等价性的原 因所在 有了半整体g 1 解理论的保证，我们就可以采用一个与自治系统情况相似的构 造性方法，得到非自治一阶拟线性双曲组的局部精确能控性这种直接构造( 寻找) 控制函数的基本框架为：对适当大的t 0 ，在区域r ( t o ，t ) = ( t ，z ) i t o t t o + t o ，0 $ 肼上寻找一个e 1 函数“= “( t ，正) ，既满足方程组( 除掉对应子零特 征的方程) ，又同时满足任意给定的初始条件和终端条件，且在单侧控制的情形还要 满足非控制端的一切边界条件得到这个g 1 函数u = u ( t ，z ) 后，将其代入一切尚 未满足的边界条件( 在双侧控制的情形，为一切边界条件；在单侧控制的情形，为 控制端的切边界条件) 就得到需要的边界控制，而将其代入原方程组中对应于零 特征的方程则得到需要的内部控制，从而实现精确能控性 借助于半整体经典解理论，通过求解若干个适定的混合初一边值问题，我们可 以构造满足前述要求的g 1 函数u = “( t ，z ) 这种直接构造的方法在空间为一维的 情形是十分有效的我们得到的关于非自治系统的精确能控性结果包含了【1 8 ， 1 9 】， 7 第一章绪论 【2 6 】，【2 9 】中关于自治系统的精确能控性结果 具体说来，当系统不具有零特征t ( t ，z ，“) 0 及 f ( t ，$ ，0 ，0 ，0 ) 兰0 给定初始条件 t = t o ：“= 妒p ) ，u t = 妒( z ) ( as b ) 8 c = c ( t ，u ，t b ，u t ) ( 1 1 3 3 ) ( l 1 3 4 ) ( 1 1 3 5 ) 第一章绪论 及终端条件 t = t o + t ：牡= 圣( 。) ，啦= 雪( 霉) ( b s z 醉，( 1 1 3 6 ) 其中o 1 ) 维空心球 d = z = ( 轧，) e r n f r t h r 2 ， 1 0 蚓：( 壹霹) 0 = 1 ( 0 0 为比容，”与p 分别为速度与压强，而 为状态方程，且成立 p = p ( r ，s ) c 2 p ，- ( r ，s ) 0 l l ( 1 1 5 4 ) ( 1 1 5 5 ) 第一章绪论 任意给定常状态( o ，b ，c ) ( 口 o ) ，易知( r ，。，s ) = ( o ，b ，c ) 都是绝热流方程组 ( 1 1 5 1 ) 一( 1 1 5 3 ) 的平衡态假设我们的讨论在平衡态口，s ) = ( n ，b ，c ) 的附近进 行不失一般性，可设初始时刻为t o = 0 给定初始条件 t = 0 ：r = r l ( x ) 0 ，仃= 秒l ( 口) ，s = s l ( x ) ( 0 。s 工) ，( 1 1 5 6 ) 及终端条件 t = t ：，= 您( z ) 0 ，口= t 1 2 ( z ) ，s = 兜( 茹) ( 0 霉工) ，( 1 1 5 7 ) 其中 气( z ) = 元( z ) + o ， v i ( x ) = 魂p ) + b ，岛( z ) = 鼠( ) + ca = 1 ，2 ) ，( 1 i 5 8 ) 元，魂，磊g 1 【0 司0 = 1 ，2 ) ，且其g 1 模均适当小，t 为待定的控制时间 假设在z = 0 处的边界条件为下列条件中的任一种 $ = 0 ：口= h ( t )( 速度边界条件) ，( 1 1 5 9 a ) z = 0 ：p = h ( t ) ( 压强边界条件) ，( 1 1 5 9 b ) z = 0 ：p 一伽= h ( t ) ( 耗散边界条件) ，( 1 1 5 9 c ) 其中n 为正常数，h c t ) c 1 为已知函数或待定的边界控制函数 类似地，z = l 处的边界条件为下列条件中的任一种 z = l ：。= h ( t )( 速度边界条件) ，( 1 1 6 0 a ) 七= l ：p = 日( t )( 压强边界条件) ，( 1 1 6 0 b ) z = l ：p 一肋= 日( t )( 耗散边界条件) ， ( 1 1 6 0 c ) 其中卢为正常数，h ( t ) c 1 为已知函数或待定的边界控制函数 注意到( 1 1 5 3 ) 的特殊形式，混合问题( 1 1 5 1 ) - ( 1 1 5 3 ) ，( 1 1 5 6 ) 及( 1 1 5 9 ) 一( 1 1 6 0 ) 的经典解在其存在范围内，必有 s ( t ，$ ) 三研( z ) ( 1 1 6 1 ) 因此，希望实现的终端条件必须满足 ( 霉) 1 8 1 ( z ) ( 0 $ 工) ， ( 1 1 6 2 ) 】2 第一章绪论 即为 t = t ：r = r 2 扛) 0 ，。= 地( 功，s = 研0 ) ( 0 s 。三) ( 1 1 6 3 ) 应用第四章建立的一阶拟线性双曲组的精确边界能控性理论( 也见【1 e l 一【l9 】，【3 8 】) ， 我们可以通过对边界上速度与( 或) 压强的控制实现一维绝