《基变换与坐标变换》PPT课件.ppt

,雷纪刚,leijgyuxin409,北京信息科技大学理学院（统计系）,第一章预备知识第一节线性空间,定义、性质及例子基与维数基变换与坐标变换子空间和维数定理,一、线性空间的定义、性质及例子,定义设V是一个非空集合，F是一个数域（实数域或复数域），在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，即对于任意两个元素与，在V中都有惟一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为；在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k与V中任一元素，在V中都有惟一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为若加法与数量乘法满足下述八条规则，那么V称为数域F上的线性空间,加法满足下面四条规则：,数量乘法满足下面两条规则：,数量乘法与加法满足下面两条规则：,当F为实数域时，V称为实空间；当F为复数域时，V称为复空间,(3)判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则不能构成线性空间,说明,(2)凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算,(1)线性空间不能离开某一数域来定义实际上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为线性空间,(1)零元素是唯一的,线性空间的性质,(2)负元素是唯一的,(4)如果，则或.,若将上例中的C全换成R，则可得到n维实坐标向量空间，记作,和是最常用的两个线性空间,同样，为一个实线性空间,定义,二、基与维数,向量组线性无关等价于,当且仅当时成立,定理1,定义4设S是线性空间V上的子集，如果S的任意有限子集都线性无关，且V的任何向量均可被S表出，则称S是V的基,定理2如果线性空间V的基S恰含n个向量，则V的任何基都恰含n个向量,有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n为空间的维数，即作dimV=n,定理3n维线性空间中任何n个线性无关的向量都是线性空间的一组基,（1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间，因此它没有基,说明,（4）若向量组是线性空间的一个基，则可表示为,（2）若把线性空间V看作向量组，那末V的基就是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩.,（3）线性空间的基不惟一.,例7,注意线性空间V的任一元素在不同的基下所对应的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐标是唯一的,例8如果将复数集合C看作数域C上的线性空间，那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间；如果将复数集合C看作实数域上的线性空间，那么数1和i就是它的一组基，这时空间是二维的空间的维数与所考虑的数域有很大的关系,三、基变换与坐标变换,问题：同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？,在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的,由基向量的线性无关性，得坐标变换公式,解题思路先求基变换公式，再求坐标变换公式,解设,所以,定义5设V是域F上的线性空间，W是V的一个非空子集，若W中的向量对于V中所定义的加法和数乘运算也构成F上的一个线性空间，则称W为V的子空间,四、子空间和维数定理,定理4设V是域F上的线性空间，W是V的一个非空子集，则W是V的一个子