（概率论与数理统计专业论文）随机和分布的若干性质.pdf

ll1 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在年月解密后适用本规定。 非涉密论文留 论文作者签名：苤查叁 日 导师签名：j l 鹜丛乎一日 期：2 口f 级争矿 期：知，- ，二! 卜 歹 随机和分布的若干性质 中文摘要 中文摘要 随机和在排队论、风险理论、网络通信、无穷可分分布理论以及分支过程理论等应 用概率领域都有着广泛的应用，许多学者对此进行了大量的研究，并得到了许多结果 令 x ，x k ：k 1 ) 为支撑是r 或r + 上的独立同分布随机变量列，具有共同的分布f ： f ( x ) = p ( xsz ) ，7 - 是一个非负整值随机变量，其分布为h ：h ( x ) = 日( 一。o ，z 】= p n 记g = f 打是随机和爵= x l + + 墨的分布本文主要从两个方向探讨了随机和的 性质：一个方向是关于重尾项数随机和的分布，在x 的尾概率轻于r 的尾概率的条件下， 得到了乏弦( z ) 一皇虿( z ) 的一个充分条件；另一个方向是关于支撑在r 上的随机和尾分布 的下极限，在d e n i s o ve ta 1 ( 2 0 0 8 ) n 、d e n i s o ve ta 1 ( 2 0 0 8 ) 9 和y ue ta 1 ( 2 0 0 8 ) 1 2 4 等文章的基 础上进一步探讨当f 的支撑在r _ e x - o 。时乌掣的性质，得到了一些简单的结果，并 且给出了相应的密度形式和局部形式 关键词：随机和；轻尾；重尾；5 族；下极限 作者：苏在荣 指导老师：成风肠( 副教授) a b s t r a c t s o m ep r o p e r t i e sf o rd i s t r i b u t i o n so fr a n d o ms u m s s o m e p r o p e r t i e sf o rd i s t r i b u t i o n so fr a n d o ms u m s a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h er a n d o ms u m so fr a n d o mv a r i a b l e sh a v ew i d ea n di m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si nq u e u e i n gt h e o r y , r i s kt h e o r y , t e l e t r a f f i c ，i n f i n i t ed i v i s i b i l i t yt h e o r y , b r a n c h i n g p r o c e s st h e o r ya n ds oo n r e c e n t l yr e s e a r c h e r sh a v ep a i dm o r ea t t e n t i o n st ot h e ma n dm a n y r e s u l t si nt h i sf i e l dh a v eb e e no b t a i n e d l e t x ，讯：k 1 】b eas e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s s u p p o r t e do nr o rr + ，w i t ht h ec o m m o nd f ( z ) = p ( x z ) d e n o t eb yg = f rt h e d i s t r i b u t i o no ft h er a n d o ms u m 爵= x 1 + + 墨，w h e r e 丁i san o n n e g a t i v ei n t e g e r - v a l u e d r a n d o mv a r i a b l ew i t ht h ed f 日( z ) = 日( 一，z 】= p n i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ep r o p - n 霉 e r t i e sf o rd i s t r i b u t i o n so fr a n d o ms h i n so nt w od i m e n s i o n s o nt h eo n eh a n d ，w es t u d yt h e d i s t r i b u t i o n so fr a n d o ms u n l sw i t hh e a v y - t a i l e dt e r m sa n do b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r g 。2 ( z ) 一g ( z ) w h e nt h et a i lo fx i sl i g h t e rt h a nt h a to fr ，t h a ti s ，f ( z ) = o ( 日( z ) ) o nt h e o t h e rh a n d ，b a s e do nd e n i s o ve ta 1 ( 2 0 0 8 ) 8 1 、d e n i s o ve ta 1 ( 2 0 0 8 ) 9 l a n dy ue ta 1 ( 2 0 0 8 ) 2 4 1 ， w es t u d yt h el o w e rl i m i t so ft h er a t i o so ft a i l s 祟a s 。- - o oa n ds o m ee l e m e n t a r yr e s u l t s ，【z j h a v eb e e no b t a i n e d ，w h e r efi sad i s t r i b u t i o no nr f u r t h e r ，w eg i v es o m el o c a lv e r s i o n sa n d d e n s i t yv e r s i o n so fa b o v er e s u l t s k e y w o r d s ：r a n d o ms u m s ；l i g h t 4 a i l e d ；h e a v y - t a i l e d ；s ；l o w e rl i m i t s i i w r i t t e nb ys uz a i r o n g s u p e r v i s e db yv i c ep r o f c h e n gf e n g y a n g 目录 第一章引言1 1 1 常用的符号和概念1 1 2 已有成果的回顾及本文的动机4 第二章重尾项数随机和分布的一个性质1 0 2 1 主要结果1 0 2 2 定理的证明1 0 第三章支撑在1 1 上的随机和尾分布的下极限1 5 3 1 主要结果1 5 3 2 定理的证明1 7 3 3 局部形式和密度形式1 9 第四章结论2 2 参考文献2 3 几个结果本文主要从两个方向探讨了随机和的性质：一个方向是关于重尾项数随机 和的分布，其主要结果在第二章中给出；另一个方向是关于支撑在r 上的随机和尾分布 的下极限，其主要结果在第三章中给出 本章第一节我们介绍一些常用的符号和概念；第二节对已有的一些成果进行回顾， 从而引出本文的动机 1 1常用的符号和概念 设n ( z ) ，6 ( z ) 为两个最终正值函数，如果l i m s u p a ( x ) b ( x ) 1 ，则记为o ( z ) s6 ( z ) 或 者6 ) 乏口( z ) ；如果o ( z ) s6 ( z ) 且6 ( z ) so ( z ) ，则记为口( z ) 一6 ( z ) ；如果l i ms u pa ( x ) b ( x ) o 如果f 的支撑 在r 上，则定义q = f ( o ，。o ) 且f + ( 如) = ( 1 一q ) f 如( 妇) + f ( 如) 1 ( z o ) ，其中1 ( a ) 是事件a 的 示性函数令7 是一个独立于 x ，x k ：鬼1 ) 的非负整值随机变量，其分布为h ：日( z ) ： 日( 一。o ，z 】= i o n ，具有质量加= p ( - r = 礼) ，礼0 ，且存在一些整数n 2 使得p n o 定 n s 茁 义p = 协) 的卷积如下：o p ) 竹：= 妻p k p n 一七记f r 是随机和岛= x 1 + + 坼的分 2 0 布，即f 竹( z ) = p ( s z ) = p n f 。n ( z ) ，其中f 1 = f ，f 0 为在零点的退化分布 定义1 1 称一个支撑在r 或冗+ 上的分布f 属于重尾分布族疋，记为f | i c ，如果对 任意的入 0 ，都有 z e 啊妒o 。； 第一章引言 随机和分布的若干性质 称一个支撑在冗或冗+ 上的分布f 属于轻尾分布族，记为f c ，如果存在a 0 ，都有 z e 蛔f ( 如) o ，都有 z 抑( 小o o ； 称k ：2 = 瓦瓦1 为重度重尾分布族 定义1 3 称一个支撑在r 或r + 上的分布f 属于长尾分布族c ，记为f 厶如果对 一切t 0 有 一f ( x t ) 一f ( z ) c 的一个重要子族是次指数分布族 定义1 4 称一个支撑在冗+ 上的分布f 属于次指数分布族s ，记为f s ，如果 剪( z ) 一2 t ( x ) 称一个支撑在r 上的分布f 属于次指数分布族s ，记为f 5 ，如果f + c 且 两( z ) 一2 f ( z ) 定义1 5 称一个支撑在尉或冗+ 上的分布f 属于广义正则变化分布族若存在某 个q 和卢，0 q 卢 o o ，对所有的8 l 有 s 邓n r 鬻驯一鬻 ， zjt i z l 记为f e r v ( 一q ，一卢) 若q = 卢，则称f 属于正则变化族，且记为f 冗一a 定义1 6 称支撑在尉或r + 上的分布f 属于一致变化族，记为f c ，若 l “i m 。l 。i m _ i n f 零f _ _ ( ( x z y ) ) 二1 或l 盯i m 1 z i m 叫s u 。p - f t ( 【x z y j ) = 1 2- 七：2 k x 的七1 ，帮= 2 ，容易看出f 量c ；而另一方面很容易看出f d 下面我们介绍另外两个重要的分布族 定义1 8 假设7 0 ，称一个支撑在碰戈冗+ 上的分布f 属于分布族c ( ，y ) ，记为f c ( 7 ) ，如果 一f ( x + t ) 一e - 啊t ( x ) ， 对所有的t ( 一，o o ) 成立 定义1 9 假设7 芝0 ，称一个支撑在冗或r + 上的分布f 属于卷积等价分布族s ( 7 ) ， 记为f s ( ，y ) ，如果 且 f c ( ，y ) ， 剪( z ) 一2 d f ( x ) ， 其中d o 时，分布族c ( ，y ) 和卷积等价分布族5 ( 7 ) 是两个重要的轻尾分布族，它们由c h o v e r e ta 1 ( ( 1 9 7 3 a ) 6 ，( 1 9 7 3 b ) 6 】) 给出；，y = o 时，c ( 0 ) ，5 ( 0 ) 即分别为c 族和5 族 定义1 1 0 记 n 孙= f ( ) ，o 。p ) n = p k p n 而佗= o ，1 ，2 称一个支撑在非负格点上的分布f 瓯( 7 ) ，如果 其中d = 伊e t x f ( d x ) 。 p ，l e 1 砌+ 1 且o p ) n 一2 妣， 3 第一章引言 随机和分布的若干性质 当1 ：o 时即为非负格点形式下局部次指数分布族& 的定义 定义f 在q r 点的拉普拉斯变换为： 妒( 口) = e a 髫f ( d y ) ( 0 ，酬 如果0 妒( q ) 0 ，则分 布f 是轻尾的，此时对任意的7 0 ，t ( x ) = d ( e 一忙) 对任意的0 0 对于一个支撑在r 上的 函数，( z ) ，e f 。2 = 厶，p y ) f ( y ) d y ，固( 叶1 ) ( z ) = 厶，( z 一耖) ，骱( ) 妇，n 2 约 定，。o ：o r f 。1 ：f 显然f r ( z ) 的密度为，甜( z ) ：曼肌，肌( z ) ，z 0 定义函数，在口 处的拉普拉斯变换变换为 灭q ) = f ( x ) e 垃d s 令 ，y = s u p 口：，( a ) z ) 万( 去) 一( 戤) 卢百( z ) a l 西h 、r i 芒i e 酌e ta 1 ( 2 0 0 8 ) 1 】将定理1 a 推广到c 族情形，得到了如下结果 定理b ( 舢西k e v 诡i e n 6e ta 1 ，( 2 0 0 8 ) 1 1 ，定理1 2 ) 令【x ，x k ：k 1 ) 为独立同分布的非负随 机变量列，具有共同的分布f ，下是一个独立于 x ，溉：k 1 ) 的非负整值随机变量，其 分布日c ，期望e 下有限，且满足f ( z ) = o ( 百( z ) ) ，则 p ( 鼻 z ) 万( 去) r o b e r ta n ds e g e r s ( 2 0 0 8 ) 2 0 】也在f ( z ) = d ( 万( z ) ) 的条件下对随机和s 进行了研究，给 出如下结果 定理c ( r o b e r ta n ds e g e r s ，( 2 0 0 8 ) 2 0 】，定理3 2 ) 令 x ，：k 1 ) 为独立同分布的非负随 机变量列，具有共同的分布f ，7 - 是一个独立于 x ，x k ：k 1 ) 的非负整值随机变量，其 分布h c ，若对某个r 1 有e x r 0 0 ，且有以下条件之一成立： ( i ) e r z ) ) 的条件下，在一个 大的重尾分布族5 中，已经得到了很多关于鼻的尾性质的结果近年来，在x 尾概率轻 5 第一章引言随机和分布的若干性质 于丁的尾概率，艮p p ( x z ) = d ( 尸( r z ) ) 的条件下，一些学者在c 族内探讨了随机 和s 的渐近性，得出品的尾是依赖于丁的尾的结论于是我们就想到这样一个问题：能 否在一个更大的分布族中得到爵的一些尾性质? 本文中我们在丁属于局部次指数分布 族时，得到了一个初步的结果 1 2 2 对随机和尾分布的下极限的已有成果的回顾 关于随机和尾分布的下极限已经有非常丰富的结果，下面主要对已有的成果进行 回顾 r u d i n ( 1 9 7 3 ) 2 1 】研究了当z 一时! ；婴的下极限，并获得了以下结果 ，l zj 定理d ( r u d i n ，( 1 9 7 3 ) 2 1 1 ，定理2 ) 设f 是支撑在r + 上的分布，若存在一个正整数p 使得e x p = 0 0 且e r p 0 e ( 妒( 7 ) + e ) r z ) = d ( f ( z ) ) ， ( 1 2 3 ) 则( 1 2 1 ) 成立 定理j ( d e n i s o ve ta 1 ，( 2 0 0 8 ) 1 8 ，定理3 ) 设f 是支撑在r + 上的分布，y ( o ，o o ) 假 设妒( 7 ) 和左导数妒7 ( 7 ) 是有限的若对某些c 错，当z - 。时 e ( v f ( 7 ) ；c 7 z ) = o ( e ( e y x ；x z ) ) 如果对任意固定的可 0 ， l i m i n r 帮一， z - + o 。 f ( z ) 一 则 l i m i n f 掣：e r ( ，y ) ) r x - - ) o o f ( z ) ”“ 以上所有的结果都是分布f 的支撑在r + 上的情况，当d = r 时，y ue ta 1 ( 2 0 1 0 ) 1 2 4 1 给 出了如下结果 定理k ( y ue ta 1 ，( 2 0 1 0 ) 2 4 1 ，定b i l 1 ) 设f 是支撑在r 上的重尾分布且e 7 - ( o ，o c i 则 罂鬻狮 进一步假设丁是轻尾的随机变量或者存在p 【1 ，o o ) 使得 e x p l 僻o ) = 0 0 ，e r r o o ， ( 1 2 4 ) 则 l i m i n f 笔盟 e t 。_ + o o f ( x ) 一 定理l ( y ue ta 1 ，( 2 0 1 0 ) 2 4 1 ，定理1 2 ) 设f 是支撑在r 上的分布，7 ( 0 ，o o ) r 妒( 7 ) ( 0 ，o o ， 则 l i r as u pf * 7 ( x ) e r ( 妒( 7 ) ) r 一 x - - ) 0 0 f ( z 】一 、7 、 进一步假设 e ( ( 妒( 7 ) + e ) v1 ) r o o ，( 1 2 5 ) 第一章 引言 随机和分布的若干性质 则 1骧鲜掣e丁(妒(7)r-1f( z _ + o o x 1 一 ”川 定理m ( y ue ta 1 ，( 2 0 1 0 ) f 2 4 1 ，定理1 3 ) 设f 是支撑在r 上的分布假设对某个c ，( 0 ，。) ， ( 1 2 2 ) 成立，则7 o o ，妒( 7 ) 0 ， 罂罨篙e r 警恕了黼 进一步假设7 - 是轻尾的随机变量或者( 1 2 4 ) 成立，则 l i m i n f 嚣篱妨 定理l i , ( y ue t 址，( 2 0 l o ) 1 2 4 1 ，定理3 2 ) 设f 是支撑在r 上的分布，y ( o , o o ) g 妒( ，y ) ( 0 ，o o 则 h 曼，攀锹2 e 7 ( 妒( 旷1 罂恕面薪2 册( 妒( ) 卜1 进一步假设( 1 2 5 ) 成立，则 嗯蝉裂研( 妒( ，y ) ) 下 吧群i 苒裔5 研( 妒( ，y 旷1 定理m 7 ( y ue ta 1 ，( 2 0 l o ) 2 4 | ，定理3 3 ) 设f 是支撑在r 上的分布假设对某些c ，( 0 , o o ) 有 熙零昔= c ， 则，y o o ，妒( ，y ) o o 且c ，e 7 ( 妒( 7 ) ) 卜1 进一步假设( 1 2 4 ) 或( 1 2 5 ) 成立，则c ，： 研( 妒( ，y ) ) r 定理k ”( v ue ta 1 ，( 2 0 l o ) 1 2 4 1 ，定理4 1 ) 设，是支撑在r 上的重尾分布且研( o ，。o 】，则 l i m s u p 错狮。+ 锗眈 进一步假设丁是轻尾的或者存在一个p r + 使得 j 扩，( z ) 如= 。o 且e 7 - p o o ，(!26)0 、一。， 进一步假设 e ( ( ，( ，y ) + ) v1 ) r 。o ， ( 1 2 8 ) 则 l i mi n r 铬妨( 删r 定理m l l * ( y ue ta 1 ，( 2 0 1 0 ) 【2 4 1 ，定理4 3 ) 设，是支撑在r 上的分布，若有 舰铬= c ，( 啉 则7 1 ， ( i i ) 0 p 1 ， ( i o0 p 1 或0 z ) o 。p ) 删岛 z ) = p 。如p ( 罢) n 昔2n 昔 毒咖胪( 扑毒咖胪( 鲁一( 一1 m ， 由强大数定律知撬p ( - 5 一p ( 去一1 ) p ) = 1 ，故当z 充分大时，对n 嚣z ，有 p ( 鲁一肛 ( 三_ 1 ) 咖丢， 又由于日8 ，故 聊) 互1 。砒= 三一2 。( 詈小霄( 。t i 鲁。 。 pp 即有 i m i n r 器 l 2 _ + 日( 譬) 一7 故当弘 l 时，可取l a p 使嚣 o ； 5 0 z ) n x ( p 圆p ) n p ( - m - f i - 1 ) = 圆p ) n p ( z ) n = m + i = 。如p ( 鲁 姜) = ( p 圆p ) n p ( s n 一叩 o ) 1 2 随机和分布的若干性质 第二章 重尾项数随机和分布的一个性质 由以2 o ) = ；，故 t 鼎器：贼f 娑掣 c ( x ) = d ( d ( z ) ) 的证明与上面证明类似，略 下面我们给出定理的证明 0 定理2 1 的证明： 显然万( z ) ：曼pp ) n 两( z ) ，由( 2 1 1 ) 知对任意给定的 0 ， n = 0 存在正整数( e ) ，当n n c e ) i f j ，有 ( 2 一) p n o ) ，其中1 ( a ) 是事件a 的 示性函数，定义：p ( d x ) ：= 口1 1 0 ，) ( z ) f ( 如) ，当g 1 时盯( 如) ：= ( 1 一口) 一1 1 ( 一，o ) ( z ) f ( 如) ， 当口= l 时矿：= 0 ，所以f = q p + ( 1 一q ) a 记p ( a ) = j e a y p ( d y ) ，盯 ) = e a l ，仃( 咖) ， 妒( 口) 是f 在a r 点的拉普拉斯变换，即 妒( 口) = e a u f ( d y ) ( o ，o o 易得妒( q ) = q p ( - ) + ( 1 一口) 仃( 口) 如果0 妒( a ) 。，则定义 j k ( z ) = ( 妒( q ) ) 一1 e a 掣f ( d y ) ，z r 是f 的指数倾斜式令 7 = s u p ar ：z 。e 口l ，f ( 咖) z ) = d ( f ( z ) ) ，z _ o o ( 3 1 1 ) 则 i m i l i m i n f 错姗e ( 3 1 2 ) 二= ；7 ( 3 1 2 ) 。- o o f ( z ) 一 、 1 5 第三章支撑在r 上的随机和尾分布的下极限随机和分布的若干性质 定理3 1 中的条件比定t 里k ( y ue ta 1 ( 2 0 0 8 ) 2 4 1 定理1 1 ) 中的条件要弱一些事实上， 当f 和r 都是轻度重尾时，一定不满足定理k 中的条件，但有些能满足定理3 1 中的条件， 见例3 1 ；当f 和丁都是重度重尾时，有些不满足定理k 中的条件，但能满足定理3 1 中的条 件，见例3 2 例3 1 ： f e 吨，z 【o ，o o ) f ( z ) = z 【一1 o ) 【1 z ( - 0 0 , - i ) 丁满足：p ( c r z ) 一e r ，其中o p z ) 一瓦x - 2 ，其中c e x + = 易验证对任意的p ( 0 ，2 ) ，都有e x p l 僻o ) 铆，有 e ( 妒r ( ，y ) ；盯 z ) = o ( e ( e t x ；x z ) ) ，z o o ( 3 1 3 ) 则 l 骢蝉掣e r ( 妒( 7 ) ) (314)f( 霉- + o o z 1 一 ”“、7 注意到当7 - o 时，条件( 3 1 3 ) 即转化为( 3 1 1 ) 式，并且定理三( y ue ta 1 ( 2 0 0 s ) 2 4 】定 理1 2 ) 中的( 1 2 5 ) 是条件( 3 1 3 ) 的一个充分条件 1 6 随机和分布的若干性质第三章支撑在r 上的随机和尾分布的下极限 推论3 2 假设7 0 ，f 是支撑在r 上的分布，f c ( 7 ) 且妒( ，y ) 和左导数( ，y ) 是有限 的，若对某些c 错，有似j 剀式成立，则有 l i m i n f 鬻圳嘶炉一 通过定理3 1 和3 2 a p 得到以下关于随机和的结果 定理3 3 假设f 是支撑在r 上的分布若对某些c ( 0 ，o o ) ( i 2 剀成立，且p j j ， 式或似j 圳式成立，则c ，= e 丁( 妒( 7 ) ) r 3 2 定理的证明 在本节中，我们首先给出证明过程中用到的一些引理，这些将在本章主要结论的证 明中起着重要的作用，然后给出以上定理的证明 引理3 1 ( e m b r e c h t 3a n dg o l d i e ，f 1 9 s 0 ) 1 0 】jf 是支撑在r + 上的分布，如果f c ( 7 ) ， 则对所有的正整数n ，f + n c h ) 引理3 2 f ，玩e ta 1 ，( 2 0 0 8 ) 2 4 1 ，引理2 1 ，7f 是支撑在r 上的分布，口o 使得妒( 口) $ ) = d ( 耳( z ) ) 故可应用定理3 1 到r 和z ，得： 鬻鸲 随机和分布的若干性质 第三章 支撑在r 上的随机和尾分布的下极限 再由( 3 2 4 ) 式得： ，i mi n r 鬻绷m ) ) r l i m i n r 鬻 e ( 妒( ，y ) ) r 1 e v = 点阡( 妒( ，y ) ) r 即得( 3 1 4 ) 式 定理3 3 的证明：由定理m 得 c e 7 ( 妒( ，y ) ) f 一1 ， 由定理3 1 及定理3 2 得 c ，- - i m i n ff打(x，)lira i d _ t 研( 州) r ， c = z ) = d ( f ) ) ，z _ o 。 则 l i z m 。i 。n f 渊e ，- ( 3 s 1 ) 证明：由定理3 1 得( 3 1 2 ) 成立现在假设( 3 3 1 ) 不成立，因此存在一个有限的常 数c 研及足够大的z o 0 ，使得当z x o 时， f 竹 + ) c f ( x + ) 1 9 第三章支撑在r 上的随机和尾分布的下极限 随机和分布的若干性质 因此有 f 万( z ) = f r + k t + ) k = o 0 0 c f ( x + k t + a ) k = o = c f ( z ) ， 这与( 3 1 2 ) 式矛盾，因此( 3 3 1 ) 成立 定理3 5 假设f 是支撑在r 上的分布，y ( o ，o o ) 假设妒( 7 ) 和左导数( ，y ) 是有限 的，若对某些c 帮，当z 【0 ，o o ) 时，有 e ( 妒r ( ，y ) ；c z ) = o ( e ( e y x ；x g ) ) ，z - o o 则 l i z m + i n f 错e 丁( 妒( 们) r 1 定理3 5 的证明和定理3 4 的证明类似，在此不加详述 由定理3 4 、定理3 5 及定理m 立即得到下面的结论，证明略 定理3 6 令f 是支撑在r 上的分布。假设对某些c ，( o ，o o ) 确- 熙罨等= c ， 则，y ，l p ( 7 ) z ) = 。( ，( y ) 由) ，z 一。 ( 3 3 2 ) 则 1 i m i n i m i n f 错e l ( 3 3 3 ) 1 h f 错趴 ( 3 a 3 ) 9 n 随机和分布的若干性质第三章 支撑在r 上的随机和尾分布的下极限 证明：由定理3 1 得( 3 1 2 ) 成立现在假设( 3 3 3 ) 不成立，因此存在一个有限的常 数c e 7 及足够大的x o 0 ，使得当z z o 时， 因此有 ，酊( z ) c f ( z ) 万( z ) = ，甜( y ) d ( y ) j z ， o f ( y ) l d y j 2 = c f c z ) ， 这与( 3 1 2 ) 式矛盾，因此( 3 3 3 ) 成立 定理3 8 假设，是支撑在r 上的函数，7 ( o ，o o ) 假设，( 7 ) 和左导数，( 7 ) 是有限 的，若对某些c 镏，当z 【0 ，o 。) 时，有 e ( f r ( 7 ) ；盯 。) = o ( e ( e r x ；x z ) ) ，z - 则 1 骢簪铬妨( 删“ ( 3 3 5 ) 定理3 8 的证明和定理3 7 的证明类似，在此不加详述 通过定理3 7 、定理3 8 及定理m ”立即得到下面的结论，证明略 定理3 9 ，的支撑在r 上，如果有 熙错= c ，( 啉 则一r 0 7 【3 】b i n g h a m ，n h ，g o l d i e ，c m a n dt e u g l e s ，c m ，1 9 8 7 r e g u l a rv a r i a t i o n c 锄b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e 【4 】c h i s t y a k o v ，v p ，1 9 6 4 at h e o r w mo ns u mo fi n d e p e n d e n tp o s i t i v er a n d o mv 盯i a b l 鹤 a n di t sa p p l i c a t i o nt ob r a n c h i n gr a n d o m p r o c e s s e s t h e o r yp r o b a b a p p l ，9 ，6 4 0 - 6 4 8 1 5 c h o v e r ，j ，n e y , p a n dw a i n g e r ，s ，1 9 7 3 a f u n c t i o n so fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s j a n a l l y m a t h ，2 6 ，2 5 5 3 0 2 【6 】6c h o v e r ，j ，n e y , p a n dw a i n g e r ，s ，1 9 7 3 b d e g e n e r a c yp r o p e r t i e so fs u b c r i t i c a lb r a n c h i n gp r o c e s s e s a n n p r o b a b ，1 ，6 6 3 - 6 7 3 【7 】c l i n e ，d b h a n ds a m o r o d n i t s k y , g ，1 9 9 4 s u b e x p o n e n t i a l i t yo ft h ep r o d u c to fi n d 争 p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s s t o c h p r o c e a p p l ，4 9 ，7 5 9 8 【8 】d e n i s o v ，d ，f o s s ，s a n dk o r s h u n o v ，d ，2 0 0 8 l o w e rl i m i t sf o rd i s t r i b u t i o n ，r a i l so f r a n d o m l ys t o p p e ds u m st h e o r yp r o b a b a p p l v o l u m e5 2 ，i s s u e4 ，p p 6 9 0 - 6 9 9 f 9 】d e n i s o v ，d ，f o s s ，s a n dk o r s h u n o v ，d ，2 0 0 8 o nl o w e rl i m i t sa n de q u i v a l e n c ef o r d i s t r i b u t i o nt a i l so fr a n d o m s t o p p e ds u m s b e r n o u l l i ，1 4 ，3 9 1 4 0 4 【1 0 】e m b r e c h t s ，p ，g o l d i e ，c m ，1 9 8 0 o nc l o s u r ea n df a c t o r i z a t i o np r o p e r t i e so fs u b 唧o - n e n t i a la n dr e l a t e dd i s t r i b u t i o n s j a u s t m a t h s o c s e r a2 9 2 4 3 - 2 5 6 f 1 1 】e m b r e c h t s ，p a n dg o l d i e ，c m ，1 9 8 2 o nc o n v o l u t i o nt a i l s s t o c h p r o c e s s a p p l ，1 3 ， 2 6 3 2 7 8 2 3 参考文献 支撑在r 上的随机和尾分