《matlab矩阵代数》PPT课件.ppt

MATLAB数学实验A矩阵代数,矩阵计算线性方程组建模举例：投入产出分析,2019/12/5,第三章矩阵代数,2,一矩阵计算,创建矩阵的方法直接输入法规则：矩阵元素必须用括住矩阵元素必须用逗号或空格分隔在内矩阵的行与行之间必须用分号分隔,矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j输入,a=123;456x=2pi/2;sqrt(3)3+5i,2019/12/5,第三章矩阵代数,3,注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用三个以上的续行,逗号和分号的作用：逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,2019/12/5,第三章矩阵代数,4,冒号的作用用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句,用matlab函数创建矩阵,空阵matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand（m,n）返回mn随机矩阵eye(n)返回n阶单位矩阵zeros(m,n）返回mn全部元素都为0的矩阵ones(m,n)返回mn全部元素都为1的矩阵,2019/12/5,第三章矩阵代数,5,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵(magic)、对角矩阵diag、范德蒙(vandermode)等矩阵的创建。注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。,2019/12/5,第三章矩阵代数,6,矩阵的修改,直接修改可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=来修改。,2019/12/5,第三章矩阵代数,7,例如a=120;305;789a=120305789a(3,3)=0a=120305780,可用find函数找出矩阵元素编址修改。,I=find(a=0);a(I)=100;a=1210031005789,注：I=5;9,2019/12/5,第三章矩阵代数,8,2.矩阵运算,(1)矩阵加、减（,）运算规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,2019/12/5,第三章矩阵代数,9,(2)矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=123;456;780;b=1;2;3;c=a*bc=143223,d=-1;0;2;f=pi*df=-3.141606.2832,2019/12/5,第三章矩阵代数,10,(3)矩阵乘方an,ap,pa,apa自乘p次幂,方阵,1的整数,对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。,2019/12/5,第三章矩阵代数,11,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2ans=303642668196102126150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5ans=0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i,2019/12/5,第三章矩阵代数,12,(4)矩阵的其它运算,inv(A)求矩阵A逆det(A)求A行列式的值eig(A)返回矩阵A的特征值向量或特征向量列矩阵和特征值对角矩阵diag(A)返回矩阵A的对角元素向量diag(x)返回以向量x为对角的对角矩阵矩阵转置sqrt(A)返回矩阵A方根null(A)返回矩阵A行向量正交补，即Ax0的基础解系,2019/12/5,第三章矩阵代数,13,相似对角化如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=,其中是A的特征值构成的对角矩阵。P的列向量是对应的n个正交特征向量。（P,=eig(A)）使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,2019/12/5,第三章矩阵代数,14,例3用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求，这里,1.00000.44720000001.0000,qA=100;1/41/21/4;001；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得为,qA=100;1/41/21/4;001；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得为,qA=100;1/41/21/4;001；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得为,qA=100;1/41/21/4;001；V,D=eig(A)；则An为inv(V)*Dn*V，算得为,2019/12/5,第三章矩阵代数,15,(5)矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向rot90:旋转;fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩阵的抽取diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的扩展由小矩阵以矩阵格式扩展成大矩阵,2019/12/5,第三章矩阵代数,16,(6)矩阵的数组运算,数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同！数组加减(.+,.-)a.+ba.-b,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,2019/12/5,第三章矩阵代数,17,数组乘除(，./，.）aba，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。a=123;456;789;b=246;135;7910;a.*bans=281841530497290,2019/12/5,第三章矩阵代数,18,数组乘除(，./，.）aba，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。a=123;456;789;b=246;135;7910;a.*bans=281841530497290,2019/12/5,第三章矩阵代数,19,a=123;456;789;b=246;135;7910;a*bans=253746558510985133172,矩阵乘法,2019/12/5,第三章矩阵代数,20,a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a都是a的元素被b的对应元素除a.b=b./a都是a的元素被b的对应元素除a=123;b=456;c1=a.b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000,2019/12/5,第三章矩阵代数,21,数组乘方(.)元素对元素的幂例:a=123;b=456;z=a.2z=1.004.009.00z=a.bz=1.0032.00729.00,2019/12/5,第三章矩阵代数,22,3.多项式运算,matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的：f(x)=anxn+an-1xn-1+a0p=anan-1a1a0即用行向量p=anan-1a1a0表示1)矩阵特征多项式函数poly(A)产生矩阵A的特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1,2019/12/5,第三章矩阵代数,23,例a=123;456;780;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00P表示的多项式是p(x)=x3-6x2-72x-27p1=poly2str(p,x)将多项式p的向量形式转化为函数形式显示p1=poly2str(p,x)p1=x3-6x2-72x-27,2019/12/5,第三章矩阵代数,24,例如a=123;456;780;p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73r是矩阵a的特征值组成的向量-0.39,2)roots求多项式的根,注意，我们可用poly命令由多项式的根向量返回多项式形式：p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,2019/12/5,第三章矩阵代数,25,3)多项式乘/除运算,conv(p,q)返回多项式p与q的乘积,例a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=123;b=456;c=conv(a,b)=conv(123,456)c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,x)p=4x4+13x3+28x2+27x+18,2019/12/5,第三章矩阵代数,26,a=123;c=4.0013.0028.0027.0018.00d=deconv(c,a)d=4.005.006.00,2019/12/5,第三章矩阵代数,27,二求解代数方程,线性方程组表示为Ax=b,2019/12/5,第三章矩阵代数,28,对于方程Axb，A为nm矩阵，求解时分三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程当nm时，此方程成为“超定”方程当nm时，此方程成为“欠定”方程,2019/12/5,第三章矩阵代数,29,线性方程组的解若秩(A)秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)A=123;234;b=1;2;x=Abx=pinv(A)bx=x=1.000.8300.330-0.17,Ax=b,2019/12/5,第三章矩阵代数,36,例2线性方程组通解用rref化为行最简形以后求解用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础解系,2019/12/5,第三章矩阵代数,37,A=1-11-11;-111-11;2-2-11-1;rref(A)ans=1-1000001-1100000所以该方程组的通解为x=0,0,1,0+c1*1,1,0,0+c2*0,0,11,A=1-11-1;-111-1;2-2-11;Abans=0010,2019/12/5,第三章矩阵代数,38,null(A)ans=0.70710.00000.70710.00000.00000.70710.00000.7071则可给出该方程组的通解为x=0,0,1,0+c1*0.7071,0.7071,0,0+c2*0,0,0.7071,0.7071,2019/12/5,第三章矩阵代数,39,相似对角化如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=,其中是A的特征值构成的对角矩阵。P的列向量是对应的n个正交特征向量。（P,=eig(A)）使用MATLAB函数eig求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,2019/12/5,第三章矩阵代数,40,例3用相似变换矩阵P将A相似对角化，并求，这里,2019/12/5,第三章矩阵代数,41,三建模举例,设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。分配平衡方程组消耗平衡方程组i,j=1,2,n,2019/12/5,第三章矩阵代数,42,令C=（cij），X=(x1,xn),D=(d1,dn)，F=(f1,fn),则X=CX+D令A=EC，E为单位矩阵，则AX=FC称为直接消耗矩阵A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。,2019/12/5,第三章矩阵代数,43,Y=1,1,1*B,Y表示各部门的总投入，称为投入向量。,新创造价值向量F=XY,B=C,B表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。,2019/12/5,第三章矩阵代数,44,例某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费。在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电