（应用数学专业论文）与一般扩张矩阵相关的向量细分方程的lp解.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文考虑细分方程伊( x ) = c r u z a ( o t ) o ( m x 一口) ，x 豫5 ，其中向量值函数 伊= ( 强，竹) 7e ( l p ( 赋) ) ，( o p ，4 ) 是具有有限长的r r 矩阵值序列，称 为面具，m 是s x s 整数矩阵且满足l i m m 一= 0 基于与口、m 有关的有限个线性 算子集的p 一范数联合谱半径对细分方程的l p - 解及其连续解的存在性进行了深 入研究，并对1 p 蔓0 0 时由细分方程生成的细分格式的收敛阶问题进行了探讨。 其主要贡献与创新点可概括为以下几点： 1 刻画了细分方程的l p 一解的存在性。当l p 蔓0 0 时，在假设解p 稳定 的条件下，给出了细分方程最一般情况下厶一解的存在性的完善刻画。按照 类似的方法给出了0 p 1 时方程的上。一解存在性的完美刻画，这一全新的 结论可望在小波理论以及其它领域中得到应用。 2 特别给出了细分方程连续解存在性的完美刻画。扩张矩阵m 为各向同 性矩阵，在未假设其解稳定的条件下给出了上述细分方程连续解存在的充分 和必要条件。 3 刻画了( 乞( r 。) ) 7 ( 1 p o o ) 空间细分格式的收敛阶问题。定义 ：= q ”，n = 1 ，2 ，其中包p ( x ) = 。矿a ( a ) ( o ( m x 一口) ，妒( 0 ( 科) ) ， 为初始向量，函数列 体) 。称为细分格式或级联序列。利用由扩张矩阵m ， 面具a 以及集合e 生成的有限个线性算子的p 一范数联合谱半径来刻画与 日，m 有关的细分格式 吼) 。的收敛阶问题，这里集合e 表示含0 的商群 z m z 5 的不同代表元。 关键词：细分方程，细分格式，联合谱半径，( 0 ( 科) ) 空间，收敛阶，厶一解 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h es o l u t i o n so fm u l t i v a r i a t er e f i n e m e n t e q u a t i o n s o ft h ef o r m9 ( x ) = m 。a ( a ) q ，( m x 一口) ，x 黔，w h e r et h ev e c t o ro f f u n c t i o n s 妒= ( 纪，t 一，竹) 7 ( l p ( 豫5 ) ) 7 ( 0 p 茎。) i su n k n o w n , 口( 口) ，口z 5 i sa f i n i t e l ys u p p o r t e ds e q u e n c eo fr xrm a t r i c e sc a l l e dr e f i n e m e n tm a s k ，a n dmi sa n 3 x si n t e g e rm a t r i xs u c ht h a tl i m 。m 一= 0 i nt h i sa r t i c l e ，w ec h a r a c t e r i z et h e e x i s t e n c eo fl p - s o l u t i o na n dc o n t i n u o u ss o l u t i o no f r e f i n e m e n te q u a t i o na sa b o v ef o r 0 p o o a n da l s og i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fc o n v e r g e n c er a t e so fs o m ec a s c a d e a l g o r i t h m sb a s e do i lt h ep - n o r mj o i n ts p e c t r a lr a d i u so fa f i n i t ec o l l e c t i o no fs o m e l i n e a ro p e r a t o r sd e t e r m i n e db yt h es e q u e n c e aa n dt h es e ter e s t r i c t e dt oac e r t a i n i n v a r i a n ts u b s p a c e ，w h e r et h es e tei sac o m p l e t es e to fr e p r e s e n t a t i v e so ft h ed i s t i n c t c o s e t so ft h eq u o t i e n tg r o u pz 5 m z 5c o n t a i n i n g0 t h em a i n c o n t r i b u t i o na n d i n n o v a t i o na l es u m m e du pa sf o l l o w s ： 1 w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fl p - s o l u t i o no fr e f i n e m e n t e q u a t i o n a sa b o v e u n d e rt h es t a b i l i t yc o n d i t i o n so n 9 ，w eg i v eac o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h el p - s o l u t i o no fe q u a t i o na sa b o v ew i t h l p o o b yu s i n gt h es a l n em e t h o d ，w eo b t a i na c o m p l e t e l yn e wc o n c l u s i o no f t h ee x i s t e n c eo ft h e 上。- s o l u t i o no fe q u a t i o na sa b o v ew i t h0 p 1a n dm a y b eu s e di nw a v e l e tt h e o r ya n do t h e rf i e l d s 2 t h ee x i s t e n c eo fc o n t i n u o u ss o l u t i o no ft h er e f i n e m e n te q u a t i o n sa sa b o v ei s c o m p l e t e dc h a r a c t e r i z e d w i t h o u ta s s u m i n gs t a b i l i t yw h e nmi sa ni s o t r o p i c d i l a t i o nm a t r i x an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f c o n t i n u o u ss o l u t i o ni sc o n c l u d e di nt h ec h a p t e r3o f t h i sp a p e r 浙江大学硕士学位论文 3 u n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no ft h ec o n v e r g e n c e r a t e so ft h ec a s c a d ea l g o r i t h m s ) i nt e r m so ft h ep - n o r mj o i n ts p e c t r a lr a d i u s t h ec a s c a d e a l g o r i t h m s a s s o c i a t e dw i t h 口，m g e n e r a t e s a s e q u e n c e = q ”吼， = l ，2 ，b y 包妒( x ) = 。d a ( a ) o ( m x 一口) ， 妒( l r ( r 5 ) ) f r o m as t a r t i n g v e c t o r o f f u n c t i o n 吼i n ( l p ( r 5 ) ) ( 1 p ) k e yw o r d sa n d p h r a s e s ：r e f i n e m e n te q u a t i o n s , j o i n ts p e c t r a lr a d i u s , l p - s o l u t i o n c a s c a d ea l g o r i t h m s , ( l p ( 科) ) 7 ( o p o o ) s p a c e s , c o n v e r g e n c er a t e 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用 十分广泛的双重意义。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一 起地。小波分析对当前的理论科学、应用科学、尤其是信息科学产生了重要影响， 对非线性科学、智能计算、网络与信息安全研究有很好的推动作用。现在，它已 经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化：计算机分类与 识别；音乐与语言的人工合成：医学成像与诊断；地震勘探数据处理：大型机械 的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压 缩、传递等。在图象处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学 成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 1 1 文中方程研究的重要性 小波变换是传统傅里叶变换的继承和发展在小波分析中，利用小波基取代 传统的三角函数基，对函数进行分析和研究，所以小波函数的构造是小波理论分 析与应用研究的基础而小波的优点是存在具有良好时一频局部化特性的正交小 波基 1 2 考虑常用的r ( 豫) 上的小波。我们称函数系，i = 1 ，2 ，2 5 1 为母小 波系，如果其膨胀和整平移2 5 j 2 ( 2 。一k ) ，z ，k z 构成l 2 ( r ) 上的正交基 构造这样的( 正交) 小波基的一个自然的方法是应用m a l l a t 和m e y e r 引进的多分 辨分析多分辨分析理论为小波的构造提供了一般的途径由多分辨分析出发构 造的小波称为多分辨分析的小波；一般的“好”( 光滑性，收敛性或者具有一定的消 失矩、紧支集等) 的小波一定对应于多分辨分析 6 2 一个多分辨分析由一系列区间套空间 _ f e z 构成，使得它的并在l 2 ( r ) 上稠 密，交集为零，多分辨性质要求序列 一) 。满足：f 一f ( 2 ) ，因此可 浙江大学硕士学位论文 以假定一可由空间v o 由简单的尺度变换生成多分辨分析完全被尺度函数妒( 它 生成每个空间的一组正交基) 所刻画，刻画p 的性质，这些性质保证空间一满 足多分辨分析的所有条件，可以证明，任何尺度函数都被一个叫“共轭镜像滤波 器”的离散滤波器( 即文中的h ( 善) ) 所确定( 文献 6 3 ) 所以可从选择适当的尺 度函数妒出发构造多分辨分析；有了定义的尺度函数妒，可通过妒( 一l j ) 构造k ， 再经过尺度变换可生成空间序列( 巧) j z ( 文献 1 2 ) 这样小波基的构造就简化 为求k 在空间巧上的正交补 以上是小波分析中最常用的l 2 ( r ) 空间，多分辨分析中伸缩因子为2 的情况， 然而在工程上我们需要的伸缩因子可能是小数或者整数( 包括2 ) ，需要的空间可 能是多维的情况如：在图像处理中采用分数的尺度因子可以提供更精确的频率 定位，如果伸缩因子为2 ，则痧( 小波y ) 主要定位于7 和2 玎之间对某些应用而言， 使用带宽低于一个频程的小波基是有用的，而分数伸缩小波基满足了这种要求 1 2 ；早在1 9 8 5 ，g d a v i d 就指出m e y e r 小波可以推广到伸缩因子为口= 后壤， ( t n ，后1 ) 的情形；a u c h e r ( 1 9 8 9 ) 则包括了与任何有理数有关的构造( 由 于多分辨分析框架的限制，由多分辨分析产生的标准正交小波基的伸缩因子必须 是有理数) 具有非整数的有理伸缩因子( 特别地，伸缩因子为3 2 ) 的子带滤波 方法由k o v a c e v i c 和v e t t e r l i ( 1 9 9 3 ) 提出并通过f i r 滤波器构造出来( 1 2 ) 对于具有矩阵伸缩因子的多维小波基，如矩阵m = ( ：_ ；1 的情形，如 g r i c h e n i n y 和m a d y c h ( 1 9 9 2 ) 以及l a w t o n 和r e s n i k o f f ( 1 9 9 1 ) 所指出的一样， 尺度函数驴是双生龙集( t w od r a g o ns e t ) 上的示性函数再如：具有 纪2 = ，竹) ；聊+ n 2 z 的二维情形，也称“五点格”，在图像处理方面由较多 的应用，因为它与可分的二维算法不同，对各个方向是均匀处理的鉴于多维小 波在工程上的应用，在这篇论文中，我们将讨论最一般的( 三。( r 5 ) ) 7 空间上，即考 虑任意维数和伸缩因子为任意有理数的情况下尺度函数的方程 2 浙江大学硕士学位论文 考虑如下形式的函数方程 妒= 。，口 ) 妒( m 一口) ， ( 1 1 ) 其中函数妒= ( 仍，致，竹) 7 ( k ( r 。) ) ( 0 p s 。) ，d 缸) 是具有有限长的r x 矩阵值序列，吖是s j 整数矩阵并且满足l i r a m 一= 0 方程( 1 1 ) 称为齐次细分 方程，m 称为扩张矩阵，n 称为细分面具细分方程是小波理论中的基本方程，在 小波分析和c a g d 中有着重要的应用 满足方程( 1 1 ) 的函数称为细分函数应用中大多数有用的小波是由细分函 数生成的，小波的近似性和光滑性也是由相应的细分函数决定的。在一定的条件 下，细分函数可以生成多分辨分析；细分函数和尺度函数有一定的关系，如在 口( r ) 空间上关于多进制小波有结论：假设伊为细分方程( 1 1 ) 的规范化解，妒是 某个多分辨分析的尺度函数的必要和充分条件是p 具有稳定的整平移 6 2 在这 篇文章中我们讨论最一般情况下细分方程的解p 的一些相关性质 1 2 研究的历史背景 细分方程( 1 1 ) 的解的存在性问题已经引起了逼近论和小波分析领域的众多 数学家的关注，h e i l 和c o l e l l a 在文献 2 1 中研究细分方程( 1 1 ) 的紧支分布解 的存在性，c o h e n 、d a u b e c h i e s 和p l o n k 在文献 5 中考虑了j = 1 ，m = 2 1 的情况， z h o u 在文献 5 8 中研究了r = 2 ，m = 2 1 的情况j i a n g 和s h e n 在文献 3 8 中对 肘= 2 ，情况进行了研究假设h ( 0 ) 满足特征值条件，文献 2 1 证明了存在惟一 紧支分布向量p 0 ) 满足方程( 1 1 ) ，p ) 满足庐( o ) = ( 1 ，0 ，o ) 7 ，称之为方程的规 范化分布解：在h ( o ) 满足特征值条件的假设下，文献 3 7 给出了方程( 1 1 ) 具有 l 一解的存在性分的刻画m i c c h e l l i 和p r a u t z s e h 在文献 4 6 中首次得到细分 方程( 1 1 ) 当r = l ，s = 1 、m = 2 时连续解存在的充分和必要条件文献 3 2 ，3 5 ，3 9 刻画了s = 1 ，m = 2 1 时细分方程( 1 1 ) 的连续解和三。一解( 1 p o o ) 的情况众所 浙江大学硕士学位论文 周知，如果与面具口、扩张矩阵m 有关的细分格式按l 一范数收敛到p ，贝：j l i m c o 为方程( 1 1 ) 在厶一空间的解所以通过研究与细分方程( 1 1 ) 有关的细分格式在 乞一空问的收敛性来刻画方程( 1 1 ) 在l p 一解的存在性也是一种有效的方法在 日( 0 ) 满足特征值条件的假设下，文献 4 4 研究了细分格式l s p 。o 时的l 收 敛性然而从j i a ，l a u 和z h o u 在文献 3 2 给出的例1 可知，细分格式的l 一收 敛是k 一解的存在的充分而不是必要性条件，所以有必要对细分方程( 1 1 ) l v 一 解的存在性给出完整的刻画 文章第二章利用由m ，a 以及集合e 生成的有限个线性算子限定在某不变子 空间上的p 范数联合谱半径，旨在刻画细分方程( 1 1 ) 的乙一解( 1 p * 和 0 p 1 ) 的存在性，其中m ，d 以及集合e 的定义同上我们指出0 p i ，h a n 等在文献 2 0 中研究了m 为一般的扩 张矩阵时细分格式在l p ( 碾) ( 1 p 茎0 0 ) 中的收敛性，文献 4 0 和文献 5 3 分别研 4 浙江大学硕士学位论文 究了细分格式在厶( 皿5 ) 中的收敛性z b o u 在文献 6 1 中基于限定在某些不变子 空间上的有限个线性算子集的p 一范数联合谱半径对1 p m 时细分格式的l p 一 收敛给出了完美的刻画；文献 4 3 对0 p 1 时细分格式的l p 一收敛给出了类似 的刻画在n ( o ) 满足特征值条件的假设下，l i 4 4 研究了m 为一般的扩张矩阵 时细分格式在( 三。( r ) ) ( 1 p ) 中的收敛性 在收敛的条件下，我们往往关心收敛的速度问题文中第四章基于由m ，盯以 及e 生成的有限个线性算子集的p 范数联合谱半径旨在刻画细分格式在 ( l p ( r 。) ) ( 1 p ) 空间中的收敛阶当，= 1 ，m 是各向同性矩阵时，即m 相似 于对角矩阵西昭( 吼，0 2 ，吒) ，其中b | _ k l ：= k l ，文献 2 6 研究了齐次细 分方程在( 上。( 群) ) ，( 1 - p 叫上的收敛阶，文献 4 2 研究了非齐次方程在 ( l p ( i r 5 ) ) ( o p o 。) 上的收敛阶文献 2 ，8 研究了收敛阶在b o x 样条中的应用， 文献 1 ，1 5 ，5 6 在双值细分函数( d y a d i cr e f i n a b l ef u n c t i o n s ) 中研究了这个问 题，文献 4 ，6 0 中也有细分方程收敛阶的相关讨论 1 3 理论基础知识 j 爱o p o o ，( l p ( r 。) ) 表示所有满足m i 。 o 。的向量值函数厂= u ，z ) 7 构成的线性空间，其中 ，= ( ：。上，吖出) 石，l p m ，= ：。，时a k ，o p i i i ：i i 。e s s 。s u p ，m a x 埘s r 当1 p 。0 时，f h l 。是一个范数，此时( 岛( f ) ) 是b a n a c h 空间：0 ， l ，是 不变度量，此时( 。( r 5 ) ) 7 为完备的度量线性空间。 浙江大学硕士学位论文 空间( 厶( r 。) ) 7 上的向量函数的f o u r i e r 变换定义为 夕( 孝) ：= l ，( x ) e - “d x ，善磷 其中x 善表示上向量z 与手的内积。 ( 1 2 ) 对瓞5 上紧支分布，用k ( f ) 表示z 5 上序列c 构成的线性空间，c 满足 c ) ，( 一口) = 0 ，如果世( 厂) = o ，则称，的平移为线性无关的。紧支集向量 a e z s 函数z ，l p ( 科) ( o p 兰o o ) 的整平移称为l p 一稳定的，如果对任意的 6 i ，i l 。( z 5 ) ，都存在正常数c l 和c 2 ，使得下式成立 q 别叫嘉互忡) 小叫卜c z 别l ， 其中，( z 5 ) 是指满足i | c | | 。 。的序列c 组成的线性空间，c 的z ，一范数或者准范数 定义如下： i i c 炉( f c ( 盯) 陟， o p o o 口e z 5 i i c l l 。为h 在z 5 上的上确界值。显然，当l p o o 时，。是范数；当o p 1 时， | h | 。是准范数。 j i a 和m i c c h e l l i 在文献 3 3 中对1 p o o i f i 的l p 一稳定性建立如下刻画： ，f 的整平移为l 一稳定的当且仅当对任意的f 赋，序列 ( 夕( f + 2 肛) ) 。( | i = 1 ，) 是线性无关的。j i a 在文献 2 8 中得到o p 1 时有 限个紧支分布的一稳定性的类似刻画。 对z 上给定的有限紧支序列a ，引入口的符号为l a u r e n t 多项式 口( z ) = ， 口e z 对方程( 1 i ) 两边作f o u r i e r 变换，得到 a 妒( f ) = 月( ( 彳7 ) 一1 f ) 妒( ( f 7 ) “f ) ，f r 5 ( 1 3 ) 6 浙江大学硕士学位论文 其中m 7 表示m 的转置， 日( 孝) - 一南互日( 口) e 一 ，善倒 ( 1 4 ) 显然，日( f ) 是以2 r r 为周期的。如果庐( o ) 0 ，则( o ) 为矩阵h ( o ) 对应于特征 值l 的特征向量，记( o ) = y 不妨假设y = e 。事实上，令y 为矩阵h ( 0 ) 的特征值为1 时的特征向量，则 存在非奇异矩阵矿使得v y = q ，其中对= 1 ，2 ，r ，e j 是r x r 特征矩阵的第j 列。定义b ( a ) = v a ( a ) v ，如果妒为方程( 1 1 ) 的解，则庐= v q o 满足细分方程 易见， 庐= 6 ( 口矽( 肘川) ，x e r 。 ( 1 _ 5 ) j d 2 mj ；6 ( 口) q 2 q ( ，6 ) 因此，不失一般性，可以假设h ( 0 ) 有对应于特征值l 的特征向量q 设4 是一个矩阵( 或者爿是定义在有限维线性空间上的线性算子) ，用符号 p ( ) 来表示4 的谱半径。如果p ( 4 ) 1 ，并且1 是a 在单位圆周上的惟一的简单 特征值，则称a 满足条件e 。设妒= ( 竹，仍，竹) 7 ( 厶( 科) ) 7 是紧支集并且满足 细分方程( 1 1 ) 。文献 4 ，2 1 证明了：如果妒( o ) 0 且s p a n 静( 2 印) ：卢z 5 ) _ c ， 则h ( 0 ) 满足条件e 。如果h ( o ) 满足条件e ，则存在一个可逆矩阵v 使得 v h ( o ) v 。1 具有形式 ( ： 其中人是一个( ，一1 ) x ( r 一1 ) 矩阵并且满足l i m a ”= 0 n 与细分方程( 1 1 ) 对应的是细分算子q ，其定义如下， ( 1 7 ) 浙江大学硕士学位论文 q o 口o ( x ) = 。，a ( a ) q ，( m x 一口) ，妒( l p ( r 5 旷 ( 1 8 ) 设为( ( r 5 ) ) 7 ( o p ) 中的，1 初始向量函数对门= 1 ，2 ，令吼：= q ”。 称 织) 为与a 、m 以及初始向量有关的细分格式如果 纯) 。如在( 0 ( r 3 ) ) 空 间( 0 p 。o ) 中收敛到某一个妒，则l i mc p 为细分方程( 1 1 ) 在 ( 乞( 科) ) ( 0 p so o ) 空间上的解；如果上述成立，也称与口、m 以及初始向量吼 有关的细分格式在( l ( 科) ) ( 0 n o 因此， ! i ma u 岛( 4 l ，) ) 浙江大学硕士学位论文 第二章三。一解的存在性的刻画 在本章中，利用文献 3 5 、 4 4 和 5 9 中的一些想法给出细分方程( 1 1 ) 的 l p - 解的存在性的刻画文中的刻画主要基于由序列盯以及集合e 限制在某个不 变子空间上生成的有限个线性算子集的p 一范数联合谱半径，其中集合e 表示含0 的商群z 。m z 5 的不同代表元 2 1 联合谱半径 记所有有限长的，r 矩阵值序列的全体为( 。( z 。) ) “设m 是一个给定的扩 张矩阵，记m ：= d e t m i 用集合e = 饥+ m z 。，k = o 1 ，m 1 ) 表示包含0 元素的 商群刀m z 5 的不同代表元，其中7 0 = 0 ，则对任意一个整数口都能唯一表示为 s + 肘，其中占e ，z 5 对占e ，a ( 。( z 5 ) ) “，在( 1 。( z ) ) 7 上引入线性算子4 ： 4 甜 ) ：= 删a ( e + m a 一触( ) ，t e e ，“眠( z 5 ) ) 7 ( 2 1 ) 文中主要应用工具是由( 2 1 ) 式定义的有限个线性算子集的联合谱半径。谱 半径在小波理论中有着重要的应用。 设4 是定义在有限维向量空间w 上的有限个线性算子集，用l 1 表示矿的向 量范数。对于形上的线性算子4 ，定义： ：= m a x l ：。 l l 爿v l l 如果的子空间是4 中每个算子的不变子空间，则称它是a 不变的，对山e w ， 称所有中包含的一4 不变子空间的交集为由0 9 生成的最小的，4 不变子空间， 记为矽沏) ，设胛为正整数，4 的d e s c a r t e s 幂 a ”= ( 4 ，4 ，以) ：4 ，4 ，4 4 ) 当h = o 时，记4 。为集合 i ，其中i 为定义在w 上的恒等映射 浙江大学硕士学位论文 设0 彳”忆：= m a x ( 1 1 4 a ：以：4 ，4 ，4 4 ) 一致联合谱半径定义为： 风( a ) ( 2 2 ) 一致联合谱半径的概念被r o t a 和s t r a n g 在文献1 5 l j 中引入。d a u b e c h i e s 和l a g u r i e s 在文献 9 中将一致联合谱半径应用于小波理论的研究中，显示了其 与细分方程的基础性联系，阐述了一致联合谱半径在细分方程正则性和存在性研 究中的应用 设 0 a ”虬：= ( 0 4 4 以) 形，o p _ q o ，a 2 ， ) c a p 一范数联合谱半径的定义由下式给出： 岛( a ) # l i m 。一肛“舻， ( 2 3 ) 众所周知，上述极限存在并且有如下等式成立： l i m i i a ”，x = = i n g ；。i i a ”l l ，形 ( 2 4 ) 类似地，有下式成立： 一( 4 h ) ：= l i m 一4 肜 易见，砟( a i 忡) ) 与v 上的范数的选择无关aw a n g 在文献 5 7 中引入了平均联合 谱半径的定义( p = 1 ) 当1 p 时。j i a 在文献 2 7 中引入了p 一范数联合谱半 径的定义，l a u 和w a n g 在文献 3 9 中含蓄得引用了p 一范数联合谱半径。当 0 p 1 时，这个概念也出现在文献 4 3 ，6 0 ，6 1 中我们知道利用定义来计算p 一 范数联合谱半径是非常困难的。当p 为偶数时，z h o u 在文献 6 1 得到一个有效 的计算公式 当o p m 时，f 陋”v 忆：= ( f 阻4 4 v ) 石， ( a i ，屿，一 j e 当n = 。时，l 陋”v k ：= m a x ( j 1 4 4 以v 8 ：( 4 ，4 ，4 ) 4 “) 由文献 2 0 和 4 3 知，总存在正常数q 和c 4 使得 浙江大学硕士学位论文 g i l a ”忆| | 4 ”i ，。们忆c 4 i a ”忆，n e ，o p q o ( 2 5 ) 其中矿) 是由c o 生成的最小共i 司a 一不变子空问 设o p o o ，( z ，( 阱) ) “4 表示所有满足。 c o 的r d 矩阵值序列的全体， 李乓中c = ( q ，f ( 口) ) l ；，g b ，；d ，当0 p c o 时， ，= ( 二：，。f 勺( 口) 陟 。表t , , m a x l g ，m 。在z 5 上的上确界 用q 表示集合 口e z ：口以) o ，以下假设4 = 4 ：e a e ，w - - - ( 。( z 5 ) ) ， 其中4 由( 2 1 ) 给出由文献 4 ，2 0 知，如果y 是w 的子空间彬的一组基，并 且嵋是一4 不变的，则存在独立于n 的正整数c ，使得 0 a ”j 啦i i ， c m a x 。，l j 4 ”y j j ，c m a x ，。， | 4 ”| 嘶，j j y ， ( z e ) 对( 1 8 ) 式迭代，利用归纳法容易证明 包4 伊- - z 。矿( 口) p ( ”- a ) ，n = 1 ，2 ，一 ( 2 7 ) 其q 。s q n = 1 ，2 ，a 1 = a ，a n 由如下递推式给出 ( a ) = 眦，一。( f 1 ) a ( e t - m f l ) ， 口z 5 ( 2 8 ) 引理2 1 设4 = 4 ：g e e ，v a ( t 。( z 5 ) ) ，则 u 虬= 1 1 玎o v i i ，o p _ o o 其中由( 2 8 ) 式定义，( z 。( z 5 ) ) “和d ( g 。( z 5 ) ) 的离散卷积吒+ u 定义为： a n + u ) = 。讲 一弘( 卢) ，口z 8 证明 e d n a = 毛+ m 岛+ + m “岛+ m ”y ，其中毛毛e ，z 5 。由 文献 6 0 中引理2 1 可知， q d ) = 如厶u ( ，) 1 2 浙江大学硕士学位论文 因此引理对p = o o 时成立。当0 p 0 0 时 慨+ u 忙i a n + v ( 0 0 1 9 = i 如 a e z *q ，e e 7 e z 5 这就证明了引理对0 p 0 0 的情况也是成立的 2 2 细- 2 方程的k 一解的存在性 我们将对细分方程( 1 1 ) 的三。一解妒的存在性给出刻画，使得庐( 0 ) = y ，这一 结论是文献 3 5 中关于具有一般的扩张矩阵的向量细分方程( 1 1 ) 的一些主要结 论的延伸。由1 3 节中讨论，以下不妨假设h ( o ) 有对应于特征值l 的特征向量q ， 即y = e 我们对方程( 1 1 ) 自4 l p 一解的存在性的刻画如下 定理2 2 设4 = 4 ：占e ，1 p o o ，其中4 是由( 2 1 ) 定义在( 。( z 5 ) ) 上的线性算子。m 为一般的扩张矩阵且满足棚 = - i d e t m l ，d ( f 。( z 5 ) ) “，e i 为矩 阵日( 0 ) 的特征值为1 时的特征向量。设矿是p a e , v ，占，巳v ，艿，e r v 艿生成的最小 共同的一4 一不变子空间，其中j = 1 ，s 。如果 d ( 一4 i ，) m 石， ( 2 9 ) 则细分方程( 1 1 ) 存在紧支解妒( k ( 赋) ) 7 ( p = o 。时，p ( c ( r 5 ) ) 7 ) 使得 庐( o ) = ( 1 ，0 ，o ) 7 反之，如果p ( 0 ( 赋) ) 7 ( p = o o 时，妒( c ( 科) ) ) 为方程( 1 1 ) 的紧支解并且仍，竹的平移是稳定的，则( 2 9 ) 成立 证明选择，为，其中由式( x ) = l - i 刀( _ ) ，x = ( 五，t ) 科给出， 其中爿( r ) 是区间【o ，1 ) 上的特征函数我们要证( q “厂) 一玉是( 乙( r 5 ) ) 空间上的 c a u c h y 序列。由( 2 7 ) 可知， 浙江大学硕士学位论文 q ”1 厂一见”，= q ”厶( x ) = 。a ( a ) f o ( m “x d ) 其中五= q f 一厂 经过简单计算可得 0 q ”五忙2 j q ”五( 工) 1 9 出2 磊l 弋【0 ，1 ) ，州i ( q ” ) ( x ) i ”出 在上边的积分中令x = m “( y + 卢) ，由弓i 理2 1 司知， 峪五炉聊一荟睦啪m ( y + f l - a ) 卜 珂”k i l a + q 渺p 抓”k i i a ”q p ， ( 2 1 0 ) 其中o y ( a ) = f o ( y + c t ) ， 口e z 5 ，y e o ，1 ) 5 ( l p ( r 。) ) 中向量函数 p = ( ，) 7 ，定义川= l 吩( x ) 卜由( 1 8 ) 可知对y 【o ，1 ) 。，口z 5 有， l l ( 口) = q ，( y + 口) 一，( ) ，+ d ) = m ，a ( f 1 ) f ( m y + m e t 一) 一q 占( 口) = m ，a ( m o t 一卵) ，( 坶+ 叩) 一q 万( 口) - 注意到对任意的y o ，1 ) 5 ，存在惟一的巩z 5 ，使得坶+ 巩 o ，1 ) 5 因而存在 y y z 5 、门e 使得， l ( 口) = 口( 口一r y ) e i e l s ( o r ) = a ( m a m y y + 乃) 8 l e l a ( o r ) = a e l s ( o c r y ) 一e e l ( a ) 令q = a t , ( e e l ) 一e l j ( 口) ，i = 0 i ，m 一1 贝0 哆( 口) = q ( 口) + ( q 毛 ) ( 口) 一a t , ( 巳占) ( d ) 而屯。一占可以表示成v ，j = l ，2 ，5 ，z 5 的有限线性组合由引理2 1 浙江大学硕士学位论文 易知， 0 4 ”1 ( q v ，如) 忆= 0 4 ”1 ( q v ，占) z 5 - ( 2 11 ) 根据( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式，为了证明( q ”厂) 。如是按一范数收敛的， 只需要证明对任意的) ，【o ，1 ) 5 ，存在与行和y 无关的常数c 使得， m 一v , l l 。 c o - ” ( 2 1 2 ) 其中盯与n 和y 无关，使得0 o - 1 ，则由( 2 1 0 ) 可知( q “，) 。，2 l p 一范数收 敛到某个伊当p = 。时，因为q ”，是连续的，贝u i i m 妒也是连续的因此，经过 简单计算可得， 包“，( o ) = 日( o ) ”，( o ) = 日( o ) “巳= ( 1 ，o ，o ) 。 当n 斗。d 时两边取极限，可得庐( o ) = ( 1 ，0 ，o ) 7 现在证明( 2 1 2 ) ，要证明( 2 1 2 ) ，只需证明， 和 ! 鳃似”( + q + + 一) 嘭砟( 4 l ，) ， ( 2 1 3 ) ：受i l 一4 ”( 一v ) 。x b ( 4 l ，) ，f = 1 ，2 ，朋一1 ( 2 1 4 ) 现在证明( 2 1 3 ) 由( 1 6 ) 可得 m - - l o o + o i + + _ l _ a ( m f l + y j ) e f i z m q j j = o 矗e z m - 1 = 口( m 奶) 岛( 一万) 因为口 ) 是有限紧支的r ，矩阵，一万可以表示成v ，磊，= l ，2 ，s ，叩z 5 的有限线性组合因此+ q + + 一l 可以写成q v ，磊，i = 1 ，2 ， ，= 1 ，2 ，s ，叩z 5 的有限线性组合由( 2 5 ) 和( 2 1 1 ) 得证( 2 1 3 ) - 要证明 ( 2 1 4 ) ，我们注意到 o ( q 占) ) = a ( m a 一弘- f i ( f 1 ) = a ( m a ) e , 2 ( q ，) ) _ 口e 浙江大学硕士学位论文 所以有 一q = 一4 h ( q j ) 一h ( q j ) = 4 n ( q 4 ，一q j ) 因此，对疗= 1 ，2 ，成立p 式 l 陋”( 一q ) 忆- 0 使得，对 = 1 ，2 ， 埘叫慨蚣c ，卜p ( 一m e j ) l l ， 由上可得， m 一j i v ，q 虻c s i p 一妒( 一m 1 勺) k ，= 1 ，2 ，s ，f = 1 ，2 ，玎 ( 2 1 5 ) 因为l l v ，e ，= i i + ( q v ，占) l i ，由引理2 1 可知， ! i mi v ，= 酬4 ”( q v 俐： 因为熙忪一缈( 一m e j ) l l ，= o ，结合( 2 5 ) 和( 2 1 5 ) 可得砟( 4 l ，) 肌只必要性部 分得证 ( l ( 科) ) ( o p 1 ) 空间频繁出现在逼近论和小波分析理论中，如：对于给 定度数的非线性小波近似函数的刻画只能用于( k ( 科) ) 7 ( 0 p 1 ) 空间( 文献 1 0 ， 1 1 和 2 8 ) 因此，给出( ( 豫5 ) ) ( o p 1 ) 空间细分方程的弓解的存 在性的刻画是很有必要的 1 6 浙江大学硕士学位论文 利用定理2 2 证明的方法，我们可以得到下面的定理 定理2 3令一4 = 4 ：占e ，0 p 1 ，其中4 是由( 2 1 ) 定义在( o ( z 5 ) ) 7 上的 线性算子。4 m 为一般的扩张矩阵且川：= d e t m i ，口( 1 。( z ) ) ，e l 为日