（概率论与数理统计专业论文）有缺失数据的双向有序方列联表的统计推断.pdf

摘要 列联表在实际问题中有着广泛的应用，是统计分析中一个重要的研究领域。同时 在对列联表数据进行分析的过程中，经常会遇见有缺失数据的情况。应用工作者最关 心的是如何用有效的统计方法分析缺失数据的实际问题，即用何种方法为缺失数据确 定一个合理的替补值，补充到原缺失数据的位置上并尽可能接近缺失的原数据值。 本文讨论的是有缺失数据的双向有序方列联表的统计推断如临床试验研究中，由 于试验本身特有的性质或试验个体不按规定完成试验因而导致部分缺失数据的发生。 当数据是有信息的缺失而且变量属于有序情形时，如何充分利用这些信息进行统计推 断也是一个很有意义且富有挑战性的问题文中提出的方法可以用于解决上述问题 本文在充分考虑分类变量有j 芋性的前提下，建立有约束的对数线性模烈t l o g p t j 一 + a + 碍+ a | t j 其中a ，a f ，v 和1 l 一j 满足t 七k七一1 = 巧= 0 ，= 0 ， i ，j = 1 州2 - - ，k i = 1 j = lj = 1 然后给出基于模型的e m 算法从对具体实例数据的处理上可以看到研究的问题得到 了较为完满的解决 关键词：缺失数据；双向有序方列联表；对数线性模型 a b s t r a c t c o n t i n g e n c yt a b l ei sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hf i l e di ns t a t i s t i c a la n a l y s i s i tc a nb ef o r a l lk i n d so fp r o c t i c a lp r o b l e m s w eo f t e nm e e tm i s s i n gd a t ad u r i n ga n a l y s i so fc o n t i n - g e n c yt a b l e s s os t a t i s t i sa n a l y s i so fm i s s i n gd a t a a r ea l s oi m p o r t a n ta s p e c to fs t a t i s t i c s r e s e a r c h f o ra p p l i c a t i o n t h e ya r ec a r ef o rt h ep r a c t i c ep r o b l e m h o wt ou s es t a t i s t i st h e o r y t oa n a l y s em i s s i n gd a t a ，t h a ti s ，h o wt or e a s o n a b l ys u b s t i t u t em i s s i n gd a t ab yc o n c r e t e n u m b e rt h a tc a na p p r o x i m a t et ot h et r u ev a l u eo fm i s s i n gd a t a w ed i s c u s st h es t a t i s t i c si n f e r e n c ef o rb i d i r e c t i o n a l l yo r d i n a ls q u a r ec o n t i n g e n c yt a - b l e sw i t hm i s s i n gd a t a f o re x a m p l e ，m i s s i n gd a t ao c c u rf o re x p e r i m e n tc h a r a c t e ro rt h e s u b j e c ta b s e n c ei nm e d i c i n a le x p e r i m e n t w h e nt h em i s s i n gd a t ai n c l u ds a m p l ei n f o r m a t i o na n dt h ev a r i a b l e sa r eo r d i n a lv a r i a b l e s ，t h ep r o b l e mi sm e a n i n g f u la n dc h a l l e n g i n g t h et h e o r yi nt h ea r t i c l ec a nb e u s e df o rf o r e g o i n gp r o b l e m t a k i n gi n t oa c c o u n tt h e o r d i n a lc h a r a c t e ro fv a r i a b l e s ，w ei n t r o d u c eal o g l i n e a rm o d e lu n d e rr e s t r i c t i o n ： l o g p 0 = a + a + a i + a h 一， w h e r e a ，垮，a y a n 岫t j l a r ep a r a m e t e r s w h i c hs a t i s f y i ，j = 1 ，2 ，7 t h e nw ei n t r o d u c ee m a l g o r i t h mb a s e do r j b e f o r e - m e n t i o n e dm o d e l t h ea l g o r i t h mi s u s e dt ot h ea c t u a le x a m p l ef i n e l y k e yw o r d s ：b i d i r e c t i o n a l l yo r d i n a l l ys q u a r ec o n t i n g e n c y ；m i s s i n gd a t a ；l o g l i n e a r i i o = b 触 0 l | y ， 博 i i x ； a 一嘲 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说髓并表示谢意 学位论文作者签名：丝i 日期。坦主：兰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有 权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权 东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名； 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位t 通讯地址： 丝：。至 指导教师签名： 日期 挝缝亟燮 燃童固篮! 硝邮编：! ! ! ! ! 呈 引言 列联表是由两个或两个以上变量进行交叉分类的频数分布表，在临床试验、社会 调查、生命科学以及可靠性研究等方面有着广泛的应用由于列联表有较强应用背景， 在过去的一个世纪里，列联表研究取得了丰硕的成果如提出了对数线性模型、l o g i s t i c 模型、p r o b i t 模型等，在这些模型的假设下，参数估计、方差分析等问题为我们所熟知 在临床药物试验中研究药物的有效性时，为了克服混杂因子以便得到可靠的分析 结果，往往采用分层抽样，把患者按某一特征进行分层，来研究药物的有效性。为了 解决这类问题研究高维列联表变量之间的关系显得尤为重要，优比是用来度量各变量 之间关系的一种重要度量。c h o wa n dl i u ( 1 9 9 8 ) t 有关于这方面的讨论在过去的研究 中，主要讨论药物有效性的齐次性，即药物在各个有序层是否呈现出同样的效果但当 分层变量为有序变量( 如年龄) 时，基于生理因索的考虑，齐次性的假设考虑往往是不 尽合理的，即药物有效性应随着各个有序层的次序变化，呈现出某种趋势更具合理性。 在疾病诊断方面，同样会遇到有序列联表( 其中一个变量是有序的) 的统计推断问题 如对某种疾病诊断分为t 一定患有该疾病；可能患有；可能或一定不患有，两病理专家 独立地对患有该种的疾病某一群体做出诊断于是得到一个3 x 3 维的列联表，这里 可能有两个感兴趣的问题，( 1 ) 两病理专家的诊断是否诊断一致；( 2 ) 两病理专家 的诊断结果是否呈现某种单调趋势有序列联表的统计推断是具有普遍性，关于这方面 的研究可以参考a g r e s t i ( 2 0 0 2 ) 1 2 的专著 对有序约束条件下列联表的统计推断，目前国内外的研究仍在探索中，还很不完 善，并且其研究主要集中在低维列联表方面r o b e r t s o n a n dd y k s t r a ( 1 9 8 1 ) 3 研究了2 k 维列连表在随机序下的统计推断s h i ( 1 9 9 1 ) 4 研究了2x ( k + i ) 维列联表优 比( o d d sr a t i o ) 在简单半序下的统计问题g a oa n ds h i ( 2 0 0 3 ) 5 j 研究了i 一投影与对 数线性模型中的参数在序约束条件下最大似然估计之间的关系d y k s t r a ，k o c h a ra n d r o b e r t s o n ( 1 9 9 5 ) 6 1 研究了似然序下的统计推断a g m s t i a n dc o u l l ( 1 9 9 6 ) 7 讨论了二项分 布的参数在各种模型下的统计推断s i v a p u l l ea n ds e n ( 2 0 0 5 ) i s 在最近出版的专著中， 也对目前有序列联表方面的理论研究进行了总结在实际应用方面，这些方法大多太复 杂无法在实际中实施，关于这方面的论述可以参考a g r e s t i a n dc o u l l ( 2 0 0 2 ) 9 的文章。 在进行数据分析过程中，人们经常会遇到有缺失数据的情况应用工作者最关心 的是如何用有效的统计方法分析缺失数据的实际问题，即用何种方法为缺失数据确定 一个合理的替补值，补充到原缺失数据的位置上，并尽可能地接近原缺失数据。如在临 床试验研究中，由于试验本身特有的性质或试验个体不按规定完成试验因而导致部分 缺失数据的发生当数据是有信息的缺失而且变量属于有序情形时，如何充分利用这些 信息进行统计推断也是一个富有挑战性的问题这时，需要研究数据的缺失机制模型， 同时也耍考虑这时的数据是由重复观察而得到的。与通常独立抽样是不同的。该问题的 研究可以用来处理纵向数据 本文研究的是有缺失数据的双向有序方列联表的统计推断，该问题的研究可以用 于解决上面提到的在l f 缶床验研究中有序变量数据部分缺失的统计推断问题。本文首先 在充分考虑序的信息的基础上建立对数线性模型，然后给出了基于模型的e m 算法处 理缺失数据，最后把提出的算法应用于在临床试验中出现的试验数据。 2 1 模型 设专家a 与b 独立地将n 个个体分别分配到k 个有序水平类，则分类结果可以构 成一个k x k 的二维双向有序列联表 表1 专家b 专家a 12 t k 1 n 1 1n 1 2 n l 2 n 2 1n 2 2 n 2 女 ： k n 知1钆知2 。 n k k 令p l j = p ( a = i ，b = ) 为个体被专家a 归为第i 个水平，专家b 归为第j 个 水平的概率；n i j 表示n 个个体中被专家a 归为第i 个水平，专家b 归为第j 个水 平的个数，m o 为相应的期望频数这样对角元描述的是两个专家完全一致的分类结果 对于第t 、j 个水平，令 而一峨 v p q p j i 通常被称为对角线交叉优比( t h ed i a g o n a lc r o s s - p r o d u c tr a t i o ) 它可以用来表示两位专 家随机地选取两个个体，他( 她) 们做出一致判断的度量如果各水平定义的合理、两 位评分者具有相同或类似的专业知识，也i 应该随着i 、j 差别增大而增加 定义i 如果对于第i 、j 个水平，对角线交叉优比= 1 ，则称第i 与j 个水平是 不可区别的( i n d i s t i n g u i s h a b l e ) 基于以上的考虑，提出了如下的对数线性模型： l o g p i 5 = + + 巧+ 1 h 一 其中参数a ，a ，a 和a i t - j i 满足； kkk 一1 a = 巧= 0 ，= 0 扣= l j = 15 = 1 3 最后一项沁一j i 反映第i 个水平与第j 个水平间的差异对于有序水平札一引关于下 标l i j l 的是非增的更具合理性，即 o2a 1 r 一1 此时，对角线交叉优比为 。黑= e x p 2 。卜卵，幻_ 1 ，2 ，女 ( 1 2 ) 引理1 设p = ( p 1 ，现，p k ) ，口= ( 口l ，q 2 ，吼) ，是概率向量，令i ( p l g ) ：量鼽l o g p j t = ly l 则1 ( p l q ) o ，且等号成立当且仅当p = q 证明：见l e m k e 和d y k s t r a ( 1 9 8 4 ) 1 0 定理1 对于模型( 1 t 1 ) ，如果m 玉满足下面的条件，则m 玉是期望频数m 坩在约束 ( 1 2 ) 下唯一的极大似然估计 m 0 = h i + ，m 0 = n + j ； k ( n o r b ) o l i 一引0 i = 1 j = l 盘七 ( n d m 玉) i 一，l = 0 6 b 口1 乩一1 证明：首先证明满足条件( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 的m 玉是m l e 对数似然函数为t l ( 竹；p ) = n i j l o g p i j + c i = 1 j = l 其中c 为常数。 4 ( 1 _ 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 拉格朗日函数为 a l _ _ _ 一 a 其中c 为常数 kk + 6 ( 1 一p 巧) + c 注1j = 1 嚣= h i + - - n k + 4 - 6 + - p i + ) 1 【= 1 2 ，卜1 碍o l = n + i - - n + k + 6 ( p + k - p + j ) j = l ，2 ，一l 甏= 驴k 吨t + m 州t 叫耋p i i - - p k l - - p l t ， 裟= 薹k - ! ( 州柏+ “) - - r t k l + n l t 。4 - 6 1 - - 叫萎k - l r + 酬嘞，咱e f = 1 ，2 ，k 一2 由k u h n - t u c k e r 条件知，若m 0 是m l e ，则满足 a 工 a a 嚣i 黝尊= 。 器k 警= 。 蒜i 蛳：霉= 。 瓤，尊= 。 矿= 0 a ； ；a z 一1 5 一 一 入 函 + 聊 懈 n 。赳 。斟 | | d l 6一 ， 。埘 。试 一 ， ” 。皿 。斟 l i 钟2 0 婶( 时一吼，) = 0 i ，= 1 ，2 ，一，k 一1 1 = 1 ，2 ，一，女一2 七女 其中 n = i = 1 i = 1 对上面的方程亿简后可知其与条件( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) 等价 若m 嚣满足条件( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，玎满足模型( 1 1 ) 则有 rkk n d j l o g m d j = n l o g a + 竹件l o g ) l d x + n + j l o g 穆+ t = 1 j = l i = 1 j = l 当佻j = m 玉时，等号成立故 m o l 0 9 1 h i = l j = l 由引理l 知( 1 6 ) 式是非负的，而且当且仅当m i * j = v n i j 时，( 1 6 ) 式等于0 证得m 舀是满足条件( 1 3 ) 一( 1 5 ) 的m l e 6 ( 1 6 ) 唱 j 。皿 。甜 1 哩 ， n 。越 。 + 磅 呕 。可 m 。触 卜 x o g k 。件 m 。汹 l g k m + y ， 曙 。打 仇 。触 卜 x ； 唱 。件 m 。渊 崦 十 m 一 畸面 皑 t u ，州 ，汹 | | 下面证明唯一性 如果m 0 和m 嚣都满足( 1 3 ) - ( 1 5 ) ，那么 证毕 宴妾：jlog。m臼i*jm：jlog：=011 。- = f =。” 即m 玉= m 孑 i ，j = l ，2 ， 下面根据定理1 给出一种计算 m 嚣) 的算法令c = d 岛：1 2 鲰 权 向景为u ，向量z r n 。我们把z 在g 上的加权投影投影记为圣= 兄( 圳g ) 其满足t = m i n ( z i 一玑) 2 蜥，g ) 对于p 。( z l c ) 可由p a v a 算法求得，详见r o b e r t s o nw r i g h t 和d y k s t r a ( 1 9 8 8 ) “ 算法一令蝴渤= ，t ，j = l ，2 ，k 其中 第( s , 1 ) 步； 第( s , 2 ) 步 第( s , 3 ) 步 m 牡m 驴h i + m 牡拶静 拶鹊 。( 8 ) = 兄( 。( 5 i g ) ，u ( 8 ) 一m g 钔，z f 5 = n i j a r l 加( 8 ) i j - 日= li j - i l = t 7 z 一 扛 。触 定理2 对于模型( 1 ，1 ) ，上述算法中的( m 芽) 收敛到期望频数 m 玎 在约束( 1 2 ) 下 的极大似然估计 证明t 详见g a o a n ds h i ( 2 0 0 3 ) 1 5 l 8 2 对双向有序方列联表中缺失数据的处理 假设分类变量x 和y 均有女个有序水平，有圭圭。玎个样本关于两个变量均有观 # i 】2 l 测；有轰m 个样本只有x 的观测值，缺失y 的观测值；有喜m ；。个样本只有y 的 观测值，缺失x 的观测值这样构成的表为表2 ： m 材 m 拧 m 管 m 蛰 表2 y x12 k 缺失 1 r i l ln 1 2 n l k 竹1 r 2 7 1 2 1n 2 2 。 n 2 詹m 争) ： - k n 女ln k 2 。 n 奄 m 缺失m r m p - m p m 材 m 辫 m 豁m 管 m 龆 此时，对数似然函数为； 未观测到的潜在数据 m ( r m ， ： - m m 钟 m 并 m 兽 趔 m 按 m 瓣 够辫仇格m 龆 评_ 司r _ _ 可 七k七i l ( n ，r e ；p ) = 蛾硒+ m g l o g p + + e m 妒l o g p + j + c i = 1 j = l i = 1i = 1 其中c 为常数 9 拉格朗日函数为 女七七 l o ；6 ) = ”蛆1 0 9 p 玎+ m g l o g p i + + = 1 j = l 詹一1 + 也( i = 1 t = 1 m g l o g p + j l = l 七 1 一) + d ( 1 一p 甜) + c i = 1 j = 1 其中c 为常数 嚣= t 。i + - n k + i - 一川十壶掣警m k + - p i + ) i = 1 ，2 ，七一1 霹o l = n + j - - n + k - 1 - r n ；c ) _ m 妒+ 耋m 警撕+ k - p + j ) i = 1 ，2 ，七一1 0 工 8 沁 壹母而p j _ l m p 筹一甜嚣“叫妄鼽t p 咱* ， 啪+ m t + 善k - t m 警+ 三k i = l1 m p 等 = i + ，o t 一槲嚣一彬嚣+ 霎m i ( c ) p p j 押+ l j + ，塞。m 5 c 等一卅p p + k _ _ l 。 一m 妒嚣+ 而一“- 一6 【i = 1 嘶+ 州t ) 一腓1 - p l k 】 ! = 1 ，2 ，一，k 一2 1 0 e 0一 忙 m 。矗 + “，= u m 。渊 + 一” n 。埘 。嘲 l l 丝钡 + 盟叭 p i m一 堕阱 盯一 丝l 圭 m 。矗 +m+ 一n 。汹 i i 丝 + n+ + n 湖 令卢d 为5 d ) 格子中的期望频数，若p 0 为p i ，的m l e 由k u h n - t u c k e r 条件知， 则p 玉满足t 芸= 妻妻n 蚶+ i 壹= 1 0 - , j - - 。m 护+ 妾m g 一矿= 。 嚣i 舻辱= 。 毒i 黝：簪：。 蒜i 驴霉= 。 ：簪= 。 z = 1 ，2 ，k 一2 其中= 量叁n l j + 盘m 护+ 叁m g l = l = il = 1l ：l 于是上述方程可以化简为t 伽州嘻拶笼 喝一，+ 掣+ 圭i = 1 m ：笼 妻妻c n “+ 裤象+ 母一刚l 。 渊k 侧k e e ( n d + m ：呻等+ 母等一脚嗨圹。 ( n d + m p 等+ 母警一p o ) a 幽= o = 1f = 1 p l + p + j + 其中0 l 以一1 1 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 以下给出计算 p 甜) 的e m 算法 e m 算法：令畴( o ) = n i j i , j = l ，2 ， 陟计算肛俨砘卅笳+ 筘幻吐。，* m 步：利用e 步得到的p 乎在应用上一节给出的算法计算p 0 川，i ，j = l ，2 ，k 反复执行e 步、m 步，当i p i j ( e ) 一p 灯( m ) i 足够小时，终止循环 3 例子 表3 中的数据来源于有关痰细胞载物片分类的差异性研究( a r c h e re ta 1 ( 1 9 6 6 ) 【1 q ) ， 曾搜b e c k e r ( 1 9 9 0 ) 13 】应用伪对称模型分析过表中观测数值集中于对角线及其附近位 置，数据的这种分布形式在这类研究中是很常见的 表3 在肺癌诊断中两位露师对痰细胞戢物片的交叉分类表 表3 中最后一行和最后一列数据是缺失数据，应用前面给出的e m 算法，经过迭代 2 0 次后得到的结果见下表t 表4 计算结采 1 3 s - p l u s 程序 附录 i s o 一f u n c t i o n ( x ，”) n 一l e n g t h ( x ) u u 一0 w h i l e ( u u n ) 甜 一“t 上+ 1 b 一c u m s u m ( x v ：n 】) d 一c u m s u m ( w v ：n 】) b 一b i d ” - m a x ( b 1 m 一m a t c h ( u ，r e v ( b ) ) m 一l e n g t h ( b ) 一竹l + l + u i s v ：m 】 一u u “ 一m i s s u b d i a g 一f u n c t i o n ( a ) n 一n f ( a ) “ 一n u m e r i c ( n 1 “ 1 】 - s u m ( d i a g ( a ) ) a 一a + t ( a 1 u m - a n ，1 】 f o r ( i 讯1 ：m 一2 ) ) m 一n c o l ( a ) a 一a 【，一m 】 a 一a 一1 ，】 u 【i + 1 】 - s u m ( d i a g ( a ) ) t 正1 印m a t r i x 一f u n c t i o n ( a ，n ) m - l e n g t h ( a ) f o r ( i 协1 ：( m 1 ) ) f f o r ( ji n1 ：( m 一) ) a j ，j + i 一a 日，j + 目 n _ + l 】 a j + i ，j 】 一a b + i ，j j + n 【i + 1 ) ) 1 4 b - d i a g ( a ) a 一a + ( 【1 】一1 ) d i a g ( b ) n e m o d e l - f u n e t i o n ( a ， = l o ) m - n c o l ( a ) n d - r e p ( 1 ，m m ) n d - m a t r i x ( n d ，n e o l = m ) a r o w - a p p l y ( a ，1 ，s u m ) a c o l - a p p l y ( a ，2 ，8 u r n ) b r - d i a g ( a r o w ) b c - d i a g ( a c 0 1 ) - 0 口 一s u b d i a g ( a 1 b b - r e p ( 1 0 ，m ) w h i l e ( u n ) d r o w - a p p l y ( n d ，l ，s t m ) d - d i a g ( d r o w ) d 一b r s o l v e ( d 1 n d 一d t n d d c o l 一a p p t y ( n d ，2 ，s “m ) d - d i a g ( d c 0 1 ) d 一日c + s o l v e ( d ) n d 一n d d z 一口 b b - s u b d i a g ( n d l b 一i s o ( x ， ) n d 一s p m a t r i z ( n d ，b b b ) 的 一6 u 一u + 1 ) 州 d d m a t r i x - f u n c t i o n ( a ，b ，m r ，m c ) n - n r o w ( a ) a - a p p l y ( b ，1 ，s t m ) b - a p p l y ( b ，2 ，s m ) c - - m a t r i x ( o ，n r o 叫= n ，n c o l = n ) 1 5 g p ，j 一a i ，卅+ m r 吲+ b i ，j 】o 吲+ m c d 】+ 日 ，纠6 d ) ) r e s u t t m a t r i x - f u n 以i o n ( a ，m r ，m c ，n ) t m - 0 ； 日 一且 w h i l e ( m n ) b - d d m a t r i x ( a ，b ，m r ，m c ) m 一m + 1 b 一n e ”m o d e l ( b 5 0 0 0 ) 1 6 参考文献 1 c h o w ，s h e i n - c h u n g a n d l i u ，j e n - p e i ( 1 9 9 8 ) d e s i g na n da n a l y s i s o fc l i n i c a lt r i a l s w i l e y 【2 】a g r e s t i ，a ( 2 0 0 2 ) a n a l y s i so fo r d i n a lc a t e g o r i c a l n e wy o r k ；j o h nw i l e y 3 】r o b e r t s o n ，t a n dd y k s t r a ，r l ( 1 9 8 1 ) l i k e l i h o o d r a t i ot e s t sf o ra n d a g a i n s ts t o c h a s t i c o r d e r i n gb e t w e e nm u l t i n o m i a lp o p l l l a t i o n s a n n s t a t i s t ，1 2 4 8 1 2 5 7 f 4 】s h i ，n 一z ( 1 9 9 1 ) at e s to fh o m o g e n e i t y o fo d d sr a t i o sa g a i n s to r d e rr e s t r i c t i o n s j a s a 1 5 垂1 5 8 5 】g a o ，w a n ds h i ，n 一z ，( 2 0 0 3 ) i - p r o j e c t i o no n t oi s o t o n i cc o n e sa n di t sa p p l i c a t i o n st o m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nf o rl o g - l i n e a rm o d e l s a n n i n s t s t a t i s t m a t h ，5 5 ( 2 ) 2 5 1 2 6 3 【6 d y k s t r a ，r ，k o c h a r ，s a n dr o b e r t s o n ，t ( 1 9 9 5 ) i n f e r e n c ef o rl i k e l i h o o dr a t i oo r d e r i n g i nt h et w o - s a m p l ep r o b l e m j a s a ，1 0 3 4 - 1 0 4 0 7 】a g r e s t i ，a a n dc o u l l ，b a ( 1 9 9 6 ) o r d e r - r e s t r i c t e dt e s t sf o rs t r a t i f i e dc o m p a r i s o n so f b i n o m i a lp r o p o r t i o n s b i o m e t r i c s ，1 1 0 3 - 1 1 1 1 8 】s i l v a p u l l e ，m j a n ds e n ，p k ( 2 0 0 5 ) c o n s t r a i n e ds t a t i s t i c a li n f e r e n c e j o h nw i l e y a n ds o n s ，n e wy o r k 9 a g r e s t i ，a a n dc o u l l ，b a ( 2 0 0 2 ) t h ea n a l