《函数的般概念》PPT课件.ppt

1.3函数的一般概念,映射函数的概念几个特殊的函数举例函数的性质,一、映射,定义1：,设X与Y是两个非空集合，若对X,中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的,元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合,Y的一个映射，记为f，或者更详细地写,将x的对应元y记作,1.映射的概念,并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).,集合X称为映射f的定义域，,记作,，而X的所有元素的像f(x)的集合,称为映射f的值域，记为,概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：,有唯一确定的y=f(x)与之对应.,需要指出的是：,（1）映射要求元素的像必须是唯一的.,（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.,定义2：,设f是集合X到集合Y的一个映射，,若f的逆像也是唯一的，即对X中的任意两个不同元素x1x2，它们的像y1与y2也满足y1y2，则称f为单射；,如果映射f满足Rf=Y，则称f为满射；,如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）.,2一一对应,3.逆映射,逆映射：,如果映射f既是单射，又是满射，则,逆映射，,4.复合映射：,那就可以构造出一个,和,新的对应关系,复合映射.,二函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.,例圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,D称为定义域，记作Df，即Df=D.,函数值的全体构成的数集称为值域，记为：,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,下页,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=0,+).,(2),(1)常值函数y=c.其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=c.,下页,三几个特殊的函数举例,(3)符号函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=-1,0,1.,(4)取整函数y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-,+),其值域为=Z.,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6)狄利克雷函数,其定义域为D=(-,+),其值域为=0,1.,(7)取最值函数,y,x,o,x,o,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例2,解,故,三、函数的性质,有界,无界,1函数的有界性:,1函数的有界性:,四、函数的性质,f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:|sinx|1.,所以函数无上界.,下页,有界函数举例,例3,2函数的