（应用数学专业论文）迁移方程解的构造性理论及应用研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：己 签字日期：盼年卜月? 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名：己炒晖 签字日期：b 年明z 。日 导师签名 叩 签字日期：年月日 中文摘要 迁移方程解的构造性理论及应用研究 摘要 本文综合运用泛函分析、算子理论和半群理论等现代分析方法，研究了 迁移方程解的构造性理论和应用，获得了迁移算子的谱分析、迁移方程解 的大时间渐近稳定性和展开理论、参数方程解的存在性和迁移方程的扩散 近似理论等一系列新结果主要结果述叙如下： 1 关于迁移算子的谱分析： ( 1 ) 在非齐次( 广义、反射等) 边界条件下，( a ) 对具各向异性、连续能 量、非均匀介质的迁移算子，获得了在区城r 中仅有有限个具有限代数重 数的离散本征值的存在性；( b ) 对具各向同性、( 单能) 连续能量、( 非) 均 匀介质的迁移算子a ，获得了在区城咒( a ) 中仅有有限个具有限代数重数的 实离散本征值i ( 2 ) 在有界凸体情况，对具各向同性、连续能量、均匀介质的迁移算子 a ：得到了a 仅有可数无限个向负无穷远点聚结的代数指标为1 的实离散本 征值 ( 3 ) 在抽象( 周期、完全反射) 边界条件下，对具各向异性、连续能量、 均匀介质的迁移算子a ，它产生e 0 群和该群的d y s o n - p h i l l i p s 展开式的二阶 余项在铲空间上是紧的； ( 4 ) 在抽象( 周期) 边界条件下，对具各向异性、连续能量、均匀介质的 奇异迁移算子a ，它产生岛半群和该半群的d y s o n - p h i l l i p s 展开式的二阶余 项在空间上是弱紧的 2 关于迁移方程解的渐近性质：对最小速率可为零的板几何( 齐次和非 1 博士学位论文 齐次) 和任意有界凸体中具各向异性、连续能量、非均匀介质的迁移方程， 在一般的条件下，证明了其相应的迁移算子a 的严格占优本征值的存在性 和其解的大时间渐近稳定性等结果 3 关于迁移方程解的展开理论： ( 1 ) 1我们讨论了r i e s z 算子和j o r g e n s 型迁移算子广义本征函数系统的 完整性，给出了若干关于其完整性的充分条件和充分必要条件； ( 2 ) 对具各向异性、连续能量、非均匀介质的j o r g e n s 型迁移方程，证 明了： o o。 e 6 “h 7 1 时，只存在可数无穷个正数矗m = 0 ，1 ，2 ，) ，使该方程有非。解，控制临界 本征值如存在的充要条件是l m 圳 1 ( 2 ) 在广义边界条件下，对板几何中具各向同性、连续能量、均匀介质 的控制临界本征方程，我们得到：( a ) 若l i t i l 1 ，则该方程没有非0 解； ( b ) 若1 t t l 1 ，则只存在可数无穷个正数如( n = 0 ，1 ，2 ，) ，使该方程有非0 解；控制临界本征值如存在的充要条件是l i t i i 1 ，且满足i l a ( , 3 ) l i = 1 并有 中文摘要 估计式： 丽1 - - o l 爵正咖仁l m s 西f 2 d w 1 ( 2 ) i ng e n e r a l i z e db o u n d a r yc o n d i t i o n ，f o rt h ec o n t r o lc r i t i c a le i g e n v a l u ee q u a t i o nw i t hi s o t r o p i cc o n t i n u o u se n e r g yh o m o g e n e o u si ns l a bg e o m e t r y ，w eo b t a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ：( a ) i fi i t i | l ，t h e r e i sn o tn o n z e r o p a r a m e t e rds u c ht h a tt h ee q u a t i o nh a sn o n z e r os o l u t i o n ；i fi t il l t h e r ee x i s to n l yi n f i n i t e l ym a n yp o s i t i v en u m b e r s 凡( n = o ，l 。2 ) ，s u c h t h a tt h ee q u a t i o nh a sn o n z e r os o l u t i o n ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fc o n t r o lc r i t i c a le i g e n v a l u e6 0i s 1 t | | i , a n d 6 】c a nb ed e t e r m i n e db yt h ee q u a t i o nl i g ( p o ) l l = 1 a n di th a se s t i m a t e s 1 一口 ， ( 1 + c y ) 2 7 rje 1 + q q 1 2 7 r 5 a b o u tt h ed i f f u s i o na p p r o x i m a t et h e o r yo ft r a n s p o r te q u a t i o n 7 0 ，( r ，钉，亿0 ) = f o ( r ，可，q )( 13 ) 此外，边界条件( 1 2 ) 称为齐次边界条件，即假定介质外部无粒子进 入介质体内部设介质占据三维欧氏空间中一内部非空的闭凸区域y ，其 晃面f v = y v ( v 表示0 7 的内部) 为分片光滑曲面r k 1 7 , = p 。，。m 】，o 可。 w o o ，q v 乞：r 3 的单位球面令 g = v e 令x = 驴( g ) ( 1 p 。，c t ，e d c a ) cl 9c g ，三x ，s p 。，。，6 ， ll i 粤1 | ，( t ) 一f o ( t ) l i = 0 ，0 d ( a ) 第一章绪 论 ( 2 ) 对具各向同性、( 单能) 连续能量、( 非) 均匀介质的迁移算子4 ， 获得了在区域r 。( a ) 中仅有有限个具有限代数重数的实离散本征值； 2 在有界凸体情况下，对具各向同性、连续能量、均匀介质的迁移 算子a ，证明了：a 有可数无限个向负无穷远点聚结的代数指标为1 的实 离散本征值； 3 ，在抽象边界( 周期、完全反射) 条件下，对具各向异性、连续能量、 均匀介质的迁移方程，证明了其相应的迁移算子a 在工2 空间上产生函 群v ( ) ( t 0 ) 和该群的d y s o n p i l l i p s 展开式的二阶余项r 2 ( t ) 是紧的， 且域r 中仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成 4 在抽象边界( 周期) 条件下，对具各向异性、连续能量、均匀介质 的奇异迁移方程，证明了其相应的迁移算子a 在l 1 空间上产生国半群 v ( ) 0 ) 和该半群的d y s o n - p i l l i p s 展开式的二阶余项r 2 ( t ) 是弱紧 的，且域r 至多由有限个具有限代数重数的离散本征值组成 在第三章，迁移方程解的渐近性质，对最小速率可为零的迁移算子a ， 在一般的条件下，我们证明了： 1 对具各向异性、连续能量、非均匀介质的迁移算子a 存在严格占 优本征值阮；且对而( 。， ，u ) = 如d ( a 2 ) ，则其相应的迁移方程有解： ，( z ， ，u ，t ) = ( 知，妒彘) 妒口e 风。+ o ( 扩1 。) 即：迁移方程解的大时间行为是渐近稳定的 博士学位论文 2 在非齐次( 广义、反射等) 边界条件下，对具各向异性、连续能量、 非均匀介质的迁移算子a 存在严格占优本征值风 3 在有界凸体模型，对具备向异性、连续能量、非均匀介质的迁移 算子a ，得出：迁移算子a 存在严格占优本征值风 在第四章，迁移方程解的展开理论， 1 我们讨论了r i e s z 算子和j o r g e n s 型迁移算子广义本征函数系统 的完整性，给出了若干关于其完整性的充分条件和充分必要条件；即 ( 1 ) 设a 是r i e s e 半群t ( t ) ( t 0 ) 的无穷小母元，如果r ( z ，a ) 的 级p 十。，且s u pi i b i i l 及充分大的凡，对每个z h ，有 口( a 。) ，舞。i i 善嘶，叩) 粕) “+ 。 则有本征投影级数是相对于a 一“e ( 丁) 强收敛的；从而，当且仅当。唾r ( e ( t ) ) 时，且a n e ( w ) x = 1 i m a 一“e 一) 黾z ，地? h ，a 的广义本征函数 v o 。? 一1 系统是完整的 2 我们讨论了迁移半群按本征函数展开问题，对任意有界凸体中一 般的j o r g e n s 型迁移算子a ，得到了： ( 1 ) e ( 3 下) 是h 上的h i l b e r t - s c h m i d t 算子半群，若_ u 1 ，u 2 ，是 e ( 3 丁) 的本征值，且满足l u l i 1 u 2 1 ，则 蚓2 + 。 ( 2 ) 设a l a 2 ，为4 的一列本征值，按照下列方式排序 r e ) 、1 r e 入2 ，l i r ar e k = 一。o n - + o o 并按照其重数重复，则e 6 r 。1 n 7 第一章绪论 d l d 2 ，矗一o ( 7 一) ，使该方程有非0 解，控制临界本征值如 存在的充要条件是 j m 圳 1 2 在广义边界条件下，对板几何中具各向同性、连续能量、均匀介 质的控制临界本征方程，我们得到： ( 1 ) 若l i t i l 1 ，则该方程没有非0 解； ( 2 ) 若i i t i l l ，则只存在可数无穷个正数 民) 罂l ：6 0 d l d 2 ，“一o ( 似一。) ，使该方程有非0 解；控制临界本征值氏存在的充 要条件是i i t i l l ，且满足i i a ( 9 ) 0 = 1 并有估计式： 击器上d v 岬圣l2 d w 叫雌亭赫上咖仁l m s 0 2 1 2 d w 在第六章，对迁移方程的扩散近似理论，( 1 ) 我们导出了迁移方程的 扩散近似方程，并对与时间无关的离散纵标方程和它的扩散近似方程，证明 了其收敛性和给出了其精度估计为( 0 3 ) 即有； i i f - o + s 等以一等允( 去o - 吨咱忆哪隆3 c 口f0 1 、 其中m 一c e 一扣在 0 ，) m 上，和c 是与- c 无关的常数 ( 2 ) 对多维非定态迁移方程，我们用g a l e r k i n 有限元法，证明了其近 似解的收敛性和广义解的存在性 2 0 第二章迁移算子的谱分析 2 。l 引言 所谓方程的构造性理论，即在赋范线性空间中，通过特定的算子来探 讨线建空间的数学结构闯题，其核心是谱理论，即出方程所确定算子的谱 分析对拙象c a u c h y 问题( 1 6 ) 中所确定的迁移算子a 的谱分析，起始 于本世纪五十年代j l e h n e r g m w i n g 和kj o r g e n s 等人的工作( 见文献 1 _ 3 ) l e h n e r w i n g 采取的是所谓特征线法，即预解式分析法，是算予谱理 论中的标准方法；j o r g e n s 是借用初值问题的半群理论，先分析算子半群 的谱，而后通过谱映象原理来研究母元的谱这两种方法在思想和技巧上 不同但j o r g e n s 法只能研究最小速率。 0 的情况，丽l e h n e r - w i n g 法却能研究最小速率 。0 的情况由于是截然不同的研究积一微分算 子谱的道路，后人称勘。= 0 时a 的谱分析法为l e h n e r w i n g 法，其谱结 构被称为l e h n e r w i n g 类型的谱；称 。 0 时a 的谱分析法为j o r g e n s 法，其谱结构称为j o r g e n s 类型的谱其特点分别为： l w 型谱的特点是u 。= 0 ( 1 ) a c i r e as 一o ) co ( a ) ( 2 ) 天c i r e a 一( 7 0 十1 1 k ) cp ( a ) ( 3 ) 带域f = a c l 一盯o 0 ，它的谱g ( a ) 是由纯离散 的本征值所组成，沿实轴对称地分布在闭半平面r e x 一g o q - l i k i ! 之中， 在任何带域r = a g i 风 _ r e x 阮 ( 一( ) 。 0 ，使得 恕( z ，即，札、1 ，u 7 ) 知o ，n e 【2 ：1 ，z 2 j xp 1 ，2 j 2 x 【一1 ，l j 扣l ，? j 2 1 【一1 ，1 1 设爿= 三2 ( g ) 表示相域( g = 卜，a jxe f 一1 ，1 ) 上平方可和函 3 第二章 迁移算子的谱分析 数全体按通常范数和内积组成的h i l b e r t 空间，定义 、 o f j ( x ，刨，u ) ，、，、 日妒( z ，训，u ) 2 一口“1 芜_ 。一仃( z ，”) 妒( z ，u ，“j d ( b ) = 妒x l ( 1 ) b e x ；( 2 ) 砂( 一n ， ，u ) = a ( v ，札) 妒( 妒( 。，u ，一u ) = 7 ( ，札) 妒( o ，u ，乱) ；0 札1 ) r f ，? ，一j ， ( 2 23 ) k 妒( z ， ，u ) = z 咖k ( z ，u ， ，乱7 ) 妒( z ，“扎7 ) 砒7 ，_ d ( ) = 月 a = b + 耳：d ( a ) = d ( b ) 记 r 。( a ) = a c i d r e l i k i l d ，a 仃( a ) ) v f l ，尻，r = a r 。( a ) i r e a p 1 ，恳 ，一d 0 ，则由f o u r i e r 变换知 ( 州卜上d ”五。撕删d 训 。 妒( 训，u ) = ( k 妒) ( r ，v ) e - i w t d r ， j v ( u ，训) = 上。d l r r l e - ( 口+ o ( v ) ) l rr = i 万i 赫 。 ( i i ) 若卢十盯( u ) 0 ，贝 令 ( 母，妒+ ) ：d fd ，_ d ，。 jbj vj v 坐竺竺生掣型(k妒)(u)(k妒)(u)(2删21r l 一7 2 i 、“”7 、”、 。 + d ：d r ，：d r z 箐( 妒) ( r z ，u ) ( 妒) ( r 。， ) f ( 卢) = 上面上咖，二d r z 两兰习s h ( 卢+ 盯( ) ) l t l - - t 2 叭k 妒) ( u ) ( k 妒) ( ) s ( 。) = f ( f 1 ) d f l 则 s = 乒加知南 c 7 小扣驯n 叫z l c ( 口( u ) ) i r l r 2 i 】) ( k 妒) p 1 ，u ) ( k 妒) ( r 2 ，u ) 因刀 0 ，从而本定理获证 2 4 具抽象边界条件迁移算子的谱 最近关于抽象边界条件的粒子迁移方程有一些成果，见文献 7 0 _ 7 6 j _ l a t r a e hk 和d e h i c ia 在文献 7 0 对板几何中具完全反射边界条件的 单能迁移方程，在假设叮) = 仃( 一弘) 对偶性等条件下，得到了该方程相 应的迁移算子a 产生q 群和该群的d y s o n - p h i l l i p s 展式的二阶余项在 ( 1 p 。) 空间是紧的我们将此结果推广到具连续能量的迁移方 程，且去掉了对偶性等条件，并对该迁移算子a 的谱进行了讨论( 见文献 【7 8 ，7 9 ) 在本节，我s j 考虑板几何中具抽象边界条件韵各向异性连续能量 2 9 箜三童 堑整蔓王塑塑坌堑 一一 均匀介质的迁移方程的初边值司题为： f 里掣= 一扎皇掣一口( u ) 妒( z ，u ，“，t ) + p 蚋、，u w ( j ；, 7 3 ：u , ( 2 4 1 ) l 妒( z ， ，。) = 妒。( 。，“) ，e l f - = s 彳( 妒h + ) 其中r 一( r + ) 为相空间边界处进入( 流出) 部分，妒卜( 砂1 r + ) 为i f ，在r 一( r 十) 的限制，7 为正有界线性算子，即平行板的左右面上的完全反射边界算 子亦g 口： j 妒( 一。，u ，u ) = 妒( - a , v , - u ) ，o 乱 1( 2 4 2 ) l 妙( 。，u ，一u ) = 妒( n ，u ，u ) ，o u 1 其余符号意义见 7 0 ，7 8 假设( 0 ) ：函数盯( 副) 和k ( 钉， 7 ，“7 ) 分别为e 和e 一1 ，1 e 卜l ，1 上的有界可测函数，且 0 矿：i n f c r ( v ) s 盯0 ) 盯o ， u e 0 k ( v ，“， 7 ，“7 ) 七，u ，”7 e ，“，“7 f _ l ，1 - 令x = l 2 ( d ) ( d = i 一“，司e 【一1 ，1 j ) 表相域d 上平方可和函 数全体按范数 i l f l l 州如1 ，( ，酬2 1 2 构成的b a n a c h 空间定义相空间d 的进入和流出的边界为： 口。：o lud ；= 一。 xex 。，1 l j 8 e ( 一1 ；o l d o ：d 2ud 2 = 一o ) e - 1 ，o ju 口) e o ，l 】 博士学位论文 引入边界空间 x 2 = l 2 ( d 2 ，l 札旧 d “) 一l 2 ( d i ，h i d v d u ) ol 2 ( d ；，i 训咖d u ) = x iox ； x o = l 2 ( d o ，i u l d v d u ) 一l 2 ( _ d ，i u l d v d u ) ol 2 ( d o ，| u l d v d u ) 一x ? ox ： 其范数分别为 i i x ；= ( 刊蚓i 弼2 ) 1 胆，1 1 妒o i i x 一( 、i i t ) 0 1 1 2 。o + 0l 砑2 ) 1 7 2 其中一表示这些空闻的宣然恒等。完全反射边界条件可写成 其中 lh ：x o x 2 一x iox 努( “u 1 2 ) = ( 日0 u 2 。) ( 二：) z 龟3 ) 夏二2 ：) ：j j 二。一d ，钉，一u ，；一。 札 。 3 1 一“) j d 0 为实数，妒x ，h ( ，) = ，( ，) 9 ( - ，) ，则对 一切s 1 0 ：有 ”o ( t ) r 2 ( 亡) = r n 2 ，, 1 k ( ) + r 犁n , k ( t ) + r 2 n ，, 3 k ( t ) + r 笳( t ) ( 249 ) n ，k = 0 其中r 芽( t ) 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的表达式见文献 7 8 - 定理2 4 2设h 为由( 2 4 3 ) 所确定的边界算子，k 为x 上的正则算 子，则r 2 ( t ) 在x 上是紧的 证明因为k 为x 上的正则算子，则为l 2 ( g ) 上的紧算子，从而 在l 2 ( g f ) 上存在一列有限秩算子按算子范数收敛于k 为此，对k 为秩 一算子来证明此定理由( 2 4 9 ) 式，因为它们具有相同的结构，所以，我 们只需讨论嬲：；( ) 的紧性设 0 ，令 b = ( s 1 ，8 2 ) r 2 ，s l 0 ，8 2 e 0 ，8 14 - 8 2 ) 3 3 第二章迁移算子的谱分析 令 则考虑r n 2 , 1 k ( t ) 在b 。限制情况因为 础归小i d s 巾h m ，u ) p 舻m ( u 7 ，( z + z 7 十4 h a + s 夕n ( u ) ( 4 七十2 ) a 一札s 1 ) s 2 ) 丘副71 1 d u 9 ( u ”( y ( - - 8 1 - - 8 2 ) 洲州7 ( 2 4 1 0 ) x 【( s g n ( u j ( z + 4 ，t “一u s l ) + ( 4 十1 ) n ) i “i ，( 5 9 n ( u ) ( z + 4 7 i “一u 5 1 ) + ( 4 + 3 ) ) i u i ( 8 1 ) x 【( + ( 4 n 一1 ) d ) i u i i ，( z + ( 4 n + 1 ) 。) 1 。i l l ( s 2 ) lg 2 ：l 2 ( b 。d ) 一l 2 ( b ；卜o ，血 ) 1 ( g 。妒) ( s ，s 。，z 7 ) = ：d u ”上：9 , u i ! , i z l ) 妒( 8 1 , 8 2 ，x t , , u j l , t t i t ) d u ， g ；! ；：l 2 ( b 。【一口，叫) ，x ( g n l , 。k 妒) ( 。， ，札) = f b 。d s t d s 2d v 妣i l e - c , ( v ) s 1 。m e 叫k ( u 7 ，- - ) 妒( s 1 ，8 2 ，z 7 ) 一) ( 卜，1 ( 8 1 ) x 卜，1 ( s 2 ) 其中h ( v 7 ：。) ，x 【，1 ( s 1 ) ，【。l ( s 2 ) 同( 2 4 。1 0 ) 中相应的项所以 碴：( t ) = g 警g 。g t 3 4 ( 2 4 1 1 ) 移 。 以 靶 s y 聊 卜 叩 l 观 斗 h 一 5 省 州 q ，、l 博士学位论文 显然，算子g 1 和g 2 都是有界的，下面仅需说明g 誉的紧性设妒 l 2 ( b e d ) ，则 峨祧厶。f s 。d s l d s 2 f i e 训副s 叫咖叭州矿巾m 2 p ( s l ，8 2 ，z 7 ，削7 ，u 7 ) ) ( 卜，】( s 1