（概率论与数理统计专业论文）投资于实业项目且借款利率高于存款利率时的投资组合优化问题.pdf

山东大学硕士学位论文 投资于实业项目且借款利率高于存款利率时的投资组 合优化问题 ， 张林言 ( 山东大学金融研究院。济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 在投资组合优化研究中，一个重要的研究内容就是在同时考虑消费时，投资者投资 于无风险的银行账户( 或债券) 和有风险的股票，怎样分配其资金来获得期望效用的最 大化目前解决这一同题的主要方法是动态规划方法和鞅方法但这些文献在考虑投资 的风险资产时仅考虑股票，很少有考虑实际中普遍存在的实业项目也可以作为一种风险 资产 本文主要考虑了投资于实业项目且借款利率高于存款利率时的投资组合优化问题， 采用的解决方法是动态规划的方法 本文共分为五章 第一章前言主要是对投资于实业项目且借款利率高于存款利率时投资组合优化问题 的一些介绍，同时回顾了在投资组合优化同题上前人的一些结果 第二章主要是对这个问题的详细描述，给出了本文中债券及实业项目所采用的模型， 以及所用的效用函数和值函数，同时给出了此时的财富方程 第三章主要是用动态规划的方法具体来解决本文提出的问题由于财富c - ，和在项目 上的投资额霄的大小关系不定。故分作三种情况来讨论，并分别给出了最优的隐式解 第四章主要是对于特殊的h a r a ( 双曲绝对风险厌恶，h y p e r b o l i ca b s o l u t er i s k a v e r s i o n ) 的情形，就第三章论述的三种不同情况给出了显式解 第五章主要是对h a r a 情形的特性分析和经济解释 关键诃投资组合优化实业项目借款利率高于存款利率h a r a 动态规划 山东大学硕士学位论文 o p t i m a lp o i u f o l i oc h o i c ew i t hb o r r o w i n gr a t eh i g h e rt h a n d e p o s i tr a t ew h e nn m s t i n gi n t oap r o j e ( 了t z h a n gl i n y a n ( i n s t i t u t eo ff i n a n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h es t u d yo fp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，a ni m p o r t a n tp r o b l e mi sw h e ni n - v e s t o rp u th i sm o n e yi n t oab o n d ( o rb a n ka c c o u n t ) a n das t o c k ，h o wt od i v i d eh i s m o n e yt og e tt h eb e s tr e s u l ti nt h ec a s eo fc o n s i d e r i n gc o n s u m p t i o nr a t e t os o l v et h i s k i n do fp r o b l e m ，t h ed y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o da n dm a r t i n g a l em e t h o da r et w om a i n m e t h o d b u ti nm o s to fp a p e r s ，t h 盯o n l yc o n s i d e rt h es t o c ka st h er i s ka s s e t f e wo f p e o p l ec o n s i d e rt h eu s u a lc a s ew h e r et h ep r o j e c tc a nb es e e na sar i s ka s s e t 1 n l i sp a p e ri sm a i n l ya b o u tt h ep o r t f o l i oc h o i c ew i t hb o r r o w i n gr a t eh i g h e rt h a nd e - p o s i tr a t ew h e nt h ei n v e s t o ri n v 器mi n t oap r o j e c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t o5c h a p t e r s c h a p t e r1i sm a i n l ya ni n t r o d u c t i o nt ot h ep o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mw i t hb o r r o w i n g r a t eh i g h e rt h a nd e p o s i tr a t ew h e ni n v e s t o ri n v e s t si n t oap r o j e c t a ni n t r o d u c t i o nt o s o m ee x i s t i n gr e s u l t si sa l s oi n c l u d e d i nc h a p t e r2 ，w ed e s c r i b et h i sp r o b l e mm o r ed e e p l y i tg i v e su st h em o d e lo ft h e b o n da n dt h ep r o j e c t t h ee x p e c t e du t i l i t yf u n c t i o n ，v a l u ef u n c t i o na n dw e a l t he q u a t i o n a r ea l s og i v e ni nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h es o l v i n g p r o c e d u r eu s i n gt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o d w e c o n s i d e rt h r e ec a s e sb e c a u s et h er e l a t i o no fua n d ，ri su n k n o w n m e a n w h i l ew eg i v et h e o p t i m i z a t i o nr e s u l t 伊a n d 矿( t ) i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h es p e c i a lh a r a ( h y p e r b o l i ca b s o l u t er i s ka v e r s i o n ) c a s ef o rt h et h r e ec a s em e n t i o n e di nt h ec h a p t e r3 c h a p t e r5i sm a i n l yt h ea n a l y s i so ft h er e s u l t so fh a r a a n dw ea l s og i v es o m ee c o - n o m i ci n t e r p r e t a t 沁nf o rt h er e s u l ti nt h i sc h a p t e r k e yw o r d s ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t m n ，p r o j e c t ，b o r r o w i n gr a t eh i g h e rt h a nd e p o s i tr a t e ， h a r a ，d y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o d i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：豕：越妻导师签名：鹾 第一章前言 在投资组合优化研究中，一个重要的研究内容就是投资者投资于无风险的银行账户 ( 或债券) 和有风险的股票时，怎样分配其资金来获得期望效用的最大化而投资者投 资的最终目的是为了消费，所以在分配资金时要充分考虑消费的因素因此从整个投资 和消费的分配过程来看，这是个动态的演进过程 1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 在一个一阶段离散模型下提出这一理论m e r t o n ( 1 9 6 9 ， 1 9 7 1 ) 利用随机控制的技术首先解决了在连续时间假设下的投资组合优化问题以后又 有人提出了解决这一问题的另外个方法即鞅方法对于风险资产为以下形式的股票， 其价格满足， d p ( t ) = b ( t ) p ( t ) d t - 1 - a ( t ) p ( t ) d w ( t )( 1 1 ) 其中6 ( t ) 为瞬时回报率，盯( t ) 为瞬时波动率，在【3 】中这一问题已经解决对于h a r a 情形。如果存款利率r ( s ) 等于借款利率r ( s ) ，( s ) 表示投资者的财富，【3 】中给出了以 下结论，最优的投资组合和消费满足， 矿( s ) = 而b ( s ) - r ( s ) u ( s ) 并且 伊( s ) = d ( s 如( s ) 其中d ( s ) 为一个给定的确定的函数 最优值函数为， v ( s ，“，) = ( s i - r ( 8 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中t j ( s ) 为一个给定的确定的函数 然而在现实世界。借款利率e ( 8 ) 通常大于存款利率r ( s ) 因此，假定r ( s ) = e ( s ) 是不合适的另外，实际中投资者投资于一个实业项目也是个普遍的情况目前解决 这类问题主要有动态规兜| 的方法和鞅方法等本文采用的是动态规划方法在本文中， 投资者投资于无风险的银行账户( 或债券) 和个生产单一产品的实业项目银行账户 ( 或债券) 的价格满足如下常微分方程， 础，= e c t ) 吲p o ( 幻t ) 出d ti 浆： s ， p o ( t ) 0 表示向银行存款( 或买入债券) ，此时的利率为r ( t ) ； 山东大学硕士学位论文 p o c t ) r ( t ) 投资者投资的项目生产单一产品，产品的成本价格满足如下随机微分方程 d p ( t ) = 卸( ) 尸( t ) 出+ a c t ) p ( t ) d w t( 1 6 ) 产品的出售价格满足 d s ( t ) = a s ( t ) s ( t ) d t + a c t ) s c t ) d w , ( 1 7 ) 我们假设实业项目产品的产量依赖于产品的出售价格，为霹，从而该项目的利润流满足 兄= ( 1 一下) 霹慨一只)( 1 8 ) 这里r 为税率，卢为常数在整个投资过程中，投资者同时在消费，其消费率为c ( t ) 我们的耳的在于寻求最优的投资于项目的资金额r * ( t ) 和消费率口( t ) ，使得期望效用 j ( c ，霄) = e j 口( c ( t ) ，t ) d t + ( 岬，t ) 】最大化 在文章的第4 部分给出了特殊的h a r a 情形时最优组合的显式解最后给出了对 这情形的一些特性分析和经济解释 2 第二章问题描述 假设投资者投资于债券或银行账户 吲d = k t ) p o c t ) d t i 篇三： 眨， 其中。r ( t ) 为存款利率。e ( t ) 为贷款利率，通常e c t ) r ( t ) 另外投资者可以投资于个实业项日。其产品的成本价格满足 d p ( t ) = o t p ( t ) p ( t ) d t + a ( t ) p ( t ) d w , 产品的出售价格满足 a s ( t ) = a s ( t ) s ( t ) d t + 盯o ) s ( ) 西砚 ( 2 , 2 ) ( 2 3 ) 该实业项目产品的产量依赖于产品的出售价格，为卵 其中，w ( t ) 为给定的概率空间( n ，只尸，五) 上的一维布朗运动，五是自然信息族，即 五= h w o ：0 s3 s t ) 我们假定模型中的参数k t ) ，r ，( t ) ，o t p ( t ) ，o t s ( t ) ，盯( ) 在t 【o ，卅上是确定的函数且一致有 界，并且( q ，丌t ) 酵( o ，刁珐( o ，t ) ，这里工多( o ，刃是满足如下条件的五适应过程 e 口2 ( t ) d t o , s 为初始时刻 那么。财富方程满足。 妣= d r ( t ) 一c ) d r + r ( t ) ( u ( t ) 一7 r 0 ) ) d t 一( r ，( t ) 一r ) ) ( u ( t ) 一7 r ( t ) ) 一d t = 器酬1 州邢) d w t + 器砟) 巾) 出卅撇+ r ( 吼) _ 丌( 啪出- ( r ，( t ) 一7 卿( u ( t ) 一霄( t ) ) 一d t = ( 器踯) ) q + r ( t ) ( ) - 丌( t ) ) 一( 一叫) ( 坤) - 丌) 一) d t + 器酬1 + 跏矾 投资者的期望效用如下， f t j ( c ，7 r ；8 u ) = e 【g c c ( t ) ，t ) 出+ h ( w t ，? ) 】( 2 6 ) ， 选择最优的投资策略和消费率使得值函数， y ，s ) = s u p i ，( g 丌) c 后 4 ( 2 7 ) 第三章问题求解的动态规划方法 由上章定义， f t v ( u ( t ) ，力= s u p 最f 9 ( c ( 8 ) ，s ) d s + j l ( 灯，z ) 】 珊j i ，t + tr t = s u p e t 【 9 ( c ( 8 ) ，3 ) d t + f9 ( c ( s ) ，8 ) d 8 + 九( 竹，t ) 1 抽j tj t + t pt+&t = 8 u p 晟【 g ( e o ) ，s ) d t + y ( u o + t ) ，( t + t ) ) 】 从而 4 + t 0 = s u p 最【 g ( g ( s ) ，s ) d s + y ( u ( t + t ) ，c t + t ) ) 一y ( ( i ( t ) ，t ) 1 “fj t p t + , x t = 眦p 蜀【 9 ( e ( s ) ，s ) a s + 且【y ( t ) ，t ) 】 = 8 i l p 最【0 p 0 + ) ，t + a t ) 一夕( c ( t ) ，t ) ) 司+ 五【y ( t ) ，t ) 】 a t a t _ 0 时。则上式变为， 由i t 6 公式， 0 = s u 比够( t ) ，t ) d t + 最( t ) ，t ) 1 ( 3 1 ) c , f ( t ) 埘= - 尝- d t + 等幽。+ ；g ( 咖) 2 = 署d t + 豢 【器删卅删州) - ( 卜帕( t ) 哪( 啪- 1 d t + 器即) ( 1 删) 媚) + i l 面o u v 雨1 r 2 ( t ) 叭2 叭 l + j ) 2 出 = 罾+ 菇【舔酬卅删叫( t ) ) 一- r 一( 啪一】 + ；等豁冗2 ( t ) ( 1 删2 巾舭+ 鼍器踯) ( 1 删) 矾 代入( 3 1 ) 式，并除以d t 。得到h j b 方程。 “ o _ s c u ，p 邸( s ) 一+ 石o v + 训o v 器砷) 邝) q + 州沪删- ( r ，- r ) ) 町( s ) ) 一1 山东大学硕士学位论文 + ；等端脚) ( 1 删2 以m = 哿似c ( s ) ，s ) 一丽c g v c ( s ) ) + 互1o 钆z v 2r 铲2 ( ( s s ) ) 、l + 卢) 2 盯2 ( s ) 7 r 2 ( s ) + 瓦a v 雨r ( s ) 兄( s ) ，( s ) 一面o v 仉 一笔( r ，一r ) 。( s ) 一心) ) 一) + 瓦o v + 瓦o v m ( s ) 若设为， u ( s ，c ( s ) ) = 夕( g ( s ) ，s ) 一等c ( 8 ) 则。器= 型里o c 幽一笔 令器= 0 ，则有 掣一万o v ：o a c钆 ( 3 2 ) 那么最优消费率c 。为以上偏微分方程的解， 因此，c ( t ) = 踮1 ( 等，8 ) 令 七( 丌) ：= 髻( 蛋筹，( s ) 一r ) 丌i 一髻( r ，一r ) ( u ( s ) 一丌( s ) ) 一+ 5 豢 ；菩措( 1 + 卢) 2 矿( s ) 丌2 ( s ) 七l ( 丌) ：= 器( 簧等，o ) 一r ) 7 r ( s ) + i 手a 2 百v 蓦器( 1 + 卢) 2 0 r 2 ( s ) 7 r 2 ( s ) t o r ) ：= 笔( 器m ) _ r 互i 瓦c 9 2 v 雨r z ( s ) ( 1 删2 以咖2 ( 3 ) + 面( g v ( r ，叫h ) = o a 【i v 训r ( s ) 坩f ( m 丌( s ) + 三2 丝0 2 0 。盟s 2 ( s ) l + ( s 咖) + 拶o v 一忡) 那么， 坳，= 雠； 下面求出s u p k l ( 7 r ) 和s u p 乜( 丌) ff 通过配方， 州护辫船( 1 删2 邢州+ 器1 2 - ；器 因此。k - 丌在，r ：( s ) = 一幕。薹vr 鞴3 2 时， 取得最大值为一；善曼黼 同样，x , - t 乜( 丌) 由配方法， 6 ( 3 3 ) 山东大学硕士学位论文 哆2 ；铝黜( 删2 啪+ 蕊耥南】2 豢v2 群r 稀2 + 髻( ，一0 2 _ s 2 “) 7 口z us 2 f j i 州。， 因此，何) 在砭( 力= 一吾篓糕时， 取得最大值为一爱篓豁+ 普( r ，一r p ( s ) 由上面显然，, r t ( t ) 嵋( t ) 而且由七l ) 和如( 丌) 的表达式可知， 当岛( 万) = = 七2 ( ，r ) 时，1 1 = u 因此对s u pk ( 1 r ) 可以分为三种情况讨论， 第一种情况t 当u 丌主( 8 ) 时， 此时七( 丌) 的图像为( 其中实线) 由图中显然， ，i 。 i_i i 、 o 一硼 以以雹 s u p k ( 7 r ) = 觚p 如( 丌) =一三2；02耋v譬r黼。22 等c r ，一r ，u 。，。一露蓊赢+ 丽p 吖p p 7 山东大学硕士学位论文 此时， 筹( 器似) 一r ) 掰黜( 1 + 卢) 2 c r 2 ( s ) 相应的h j b 方程为， 罾+ 髻山( s ) + g ( 踮1 ( 面8 v ，s ) ，8 ) 一器虻1 ( 面8 v ，s ) 一 彗o r 蓉2 薪r 2 y ( i ，= ，t ) v 为上式的解 第二种情况：丌主( s ) u 丌：( 3 ) 其中七( 7 r ) 的图像为( 其中实线) - i c ( 两 ，一7 。j 、 ，一r x i 。厕 ： 、 ；：烈而 | | 、 ，l il 、 一 o 耳主礤曩： a 由图中显然。矿( 司= u ( s ) s u pk ( i r ) = k ( s ) ) = o vr r 吲( 8 ) c s h 川+ ；笔鬻( 1 删2 水咖) 8 山东大学硕士学位论文 相应的h j b 方程为 罾+ 等器，( s 扣( t ) + 9 ( 踮1 ( 箬，s ) ，s ) 一器虻1 ( 鬈，s ) + 铝黜( 1 - i - 8 ) 2 0 r 2 ( s ) u 2 ( s ) = 0 y 和，t ) = h c w ，砷 。 v 为上式的解 第三种情况， 丌；( s ) 0 ，r 【0 ，1 ) 为珩现凼于 首先求出 = ( 圭唧m ) 筹一 s u ，p ( u ( c ( s ) ，s ) ) = 叩o ( e ( s ) ，8 ) 一鼍c ( s ) )ffv w ：工唧( - - 7 8 ) 鲤掣 一_ 【o vz 1 唧( ，y s ) 箬) 一j = 击( 娜( 删击( 等警 对于第一种情况。u 嵋 此时的h j b 方程为， 丽o v 留o v ，( s m s ) + 击( 酬邓舻, c 丽o v 烨；笔黼= 。 ( 4 1 ) y ，t ) = k 1 ( 4 2 ) 下面解此方程，尝试下面形式的解y ( 以s ) = 圣- ( 8 ) 等等 那么上面的h j b 方程可以写成， 刚s ) , - - i - = x 帆沪w 墙( 工唧( 删棚咖- | 1 警一；老筹鼍筹= 化简上式可得， 山东大学硕士学位论文 圣：(s)+(1一兄)【r，(s)+三霎黼】西-(s)+r(le印(一7s)蠢圣-(s)与=。 垂l ( t ) = k 显然，上式为一个贝努利型的方程， 令 m - c s ，：= c ，一只，【r ，c s ，+ i 鬟黼， 仇2 ( s ) ：= r ( l e x p ( - t s ) ) ：| 那么这个贝努利方程可写为， 西：( s ) + m l ( s ) 西1 0 ) + m 2 ( s ) 圣l ( s ) 2 字= 0 垂l ( 丁) = k 下面解此方程t 两边同时除以圣。( s ) 2 铲得， ( 4 3 ) ( 4 4 ) 圣：( s ) 西- ( s ) 一等+ m t ( s ) 圣。( s ) 1 一簪+ m ：( s ) = o 掣掌击+ m l 州一祭+ m 2 ( s ) - o ( 4 5 ) 进一步化筒： t d o l ( s ) - x i l ”一等) 酬喇- 一簪_ - ( 1 一等) 吣) 先解对应的齐次方程。 d e l ( s ) t 一警；一( 1 一墨) m l ( s ) 圣l ( s ) - 一簪出 ( 4 6 可得， 圣。( s ) h 簪：a 8 叩( ：7 曲i ( s ) 1 一簪( 1 一墨) m 。( t ) d o 由常数变易法，取a = t ( s ) 即圣1 ( s ) 1 5 萨= 乱( s ) e 印( r ( 1 一等) m l ( t ) d t ) 嘶剜小一等眦( 1 一簪”啡) ) 1 2 山东大学硕士学位论文 解得一 州= 一厂( 1 一等) ( 刊啪唧( 一f t ( 1 一等m ) 批+ g 那么。 州矿警= 旷。( 1 一警) 他唧( 一，r ( 1 一等) m l ( r 疵 2 e x p + c 2 e x p ( 厂2 ( i 一掣) m l ( 3 ) 6 f s )( ( 一) m 。( s ) 6 f s ) y i 玉i 西l ( 力= k ，可知，岛= k l 一警 于是圣t 0 ) = 旧击m z 0 ) e 印( 一r 击m t ( r ) 打) 幽+ 素j 露e 印( f 仇。( 3 ) 幽) y ，s ) = 圣l ( s ) 百 伊( s ) = - i 州s ) _ 器) 此时，由u 吃可得司端之1 即贷款利率满足一( s ) 器，( s ) 一r 鬻( 1 + 卢) 2 矿( s ) 对于第二种情况t 丌；( s ) ，- ，t 1 ( 8 ) 相应的h j b 方程为。 警+ o 倒vr 叩( s j ) f ( 啪( 卅南( 工唧( 一，y 刚j ( 筹) 警+ ；笔鬻( 1 + 卵以铲( s ) = 。 一而t 0 1 - r 篙 下面】睥此方程，尝试下面形式的解y 习：圣2 ( 酱 此时的贝努利方程为， + ( 1 一目【嚣饰) 一；鬻( 1 + 所2 邢) 啦州脚( 邓) 枷。簪= o 山东大学硬士学位论文 垂2 ( t ) = k 解此方程可得t ( 解法与第一种情况类似) 垂。( s ) = ，r n 。( r ) d r ) 【 + 去，r n 。( t ) e 印( 一：if r ( r ) d r ) d r e x p ( 1 1 1 2 1 】冗垂2 ( 8 ) = n 。p ) d r ) 【 + i n 。( t ) e 印( 一 ( r】冗 ，。， 。 其中 酬= ( 1 - r ) 【器烨) 一；鬻( 1 卅2 捌 砌( s ) = r ( l e x p ( - t s ) 奇) 因此。 y ( ，o ) = 圣2 ( o ) 而“j 1 - r 丌( s ) = u ( 3 ) 矿( s ) = ( 7 1e 印( 7 3 ) 圣2 ( s ) ) 一素，( 5 ) 此时。 删= 礴s r c 塑：丽j ( s ) - r ( s ) u ( s ) 虻( s ) =器吣) r 黜( 1 + 卢) 2 盯2 ( 8 ) 7 由嵋( s ) sus 丌：( s ) 可知存款利率和贷款利率满足， 小) 器几) _ 冗瑞( 1 删2 以小r ，( s ) 第三种情况t嵋( s ) 7 r ：( s ) ，r ：( s ) 可得砭端 器，( s ) 一兄鞘r 2 $ ( 1 + 卢) 2 矿( 3 ) 最后，对h a r a 情形，由以上分析我们可以得出以下定理， 定理1 在第二章和第三章的假设下，h a r a 情形的投资组合优化问题的最优结果如 投资者投资在实业项目上的资金额为， f 器) ：晔) 嚣m m 黜( 1 州2 以曲 霄。( 8 ) = u ( s ) ：r ( s ) s 簧碧，( 8 ) 一兄蓦等( 1 + ) 2 盯2 ( s ) r ，( s 【莲旨亳) ：r ( 沙荔m r 鞘( 删2 州 投资者用于消费的资金额为， 山东大学硕士学位论文 f 圣l ( 8 ) 酉c d l - - r ：，( s ) 爱著，( s ) 一冗；器( 1 + 卢) 2 盯2 ( s ) 1 6 0 他 以 劂一 嚣诽嘉螽聊 “ 矗矗矗 啪枷啪班班m唧唧砒 皓皓扣 乏) 第五章h a r a 情形的特性分析 本章中，我们对模型参数取一些数值时，得到最优解的数值和曲线，并给出特性分 析和经济解释在所有的分析中，我们取模型的参数为常数 图1 是当期望效用达到最大时，最优的消费伊与初始时问s 的关系图为了便于数 值计算和画图，我们不妨取产量函数的参数卢= 3 ，这就表示此项目的产量随着产品的出 售价格的增加而增加这样的情况在实际中也是经常出现的我们取初始时刻8 时的财 富为8 9 5 2 万元9 ( c c t ) ，t ) 和 ，刃中的参数根据模型中的取值范匿，我们取l = 2 ， r = 0 5 ，k = 1 2 3 在图中，我们表示出了8 取值0 到1 6 时，最优的消费随初始时间 的变化趋势其余的参数分别取- 盯= 0 2 6 ；7 = 1 ；r = o 3 ；p ( o ) = 8 0 ；8 ( 0 ) = 9 0 ；a p = 0 2 ；口s = 0 3 ； 图1 我们取第一种情况第二种情况和第三种情况的利率分别为，r ，= 0 0 2 ，r = 0 0 1 ； 一= 0 0 3 ，f = o 0 1 5 ；r ，= 0 0 3 5 ，r = 0 0 2 5 由图可见，当我们取定以上参数时，对于 文中所涉及的三种情况伊都呈现了下降的趋势因此，无论存款利率r 和借款利率r 取值关系怎样，随着初始时间的推移投资者在达到最优时的消费将减少由图中三种情 况的图线的比较，可以很清楚地看出若模型中所取参数满足相应情况的要求时，第一种 情况下的口要低于另外两种情况，第三种情况最大图中三条曲线最终都趋近于零， 1 7 山东大学硕士学位论文 表明在上面所取参数的情形下投资者会越来越会倾向于投资而不是将资金用于消费由 于图中曲线下降趋势很剧烈，可以看出初始时间s 对投资者在期望效用达到最大时的消 费选择起了重要作用 图2 是当期望效用达到最大时，投资在风险资产( 即项目) 上的资金霄与初始时间 s 的关系图在此图中，我们取h a r a 情形本身的参数分别为。l = 2 ；r = 0 5 ；，y = 1 ；k = 0 1 2 考虑到所画图形的代表性，我们取模型中的参数如下由于取的初始财富 u 为8 9 5 2 万元，所以我们取项目产品的成本价格p ( o ) 和出售价格s ( 0 ) 为8 0 元和9 0 元在实际中，企业的各种税率平均在3 0 税率r 为0 3 对于项目产量的参数卢，仍取 为3 文中模型中的其他参数为口p ；0 2 ；q s = 0 3 ；盯= o 2 5 ， 图2 我们取第一种情况，第二种情况和第三种情况的利率分别为：r ，= 0 0 2 ，r = 0 0 1i 一= 0 0 3 ，r = 0 0 1 5j一= 0 0 3 5 ，r = o 0 2 5 从图中可以看出，在模型参数的相 互关系不同时，项目上的最优的投资额丌对初始时间8 的依赖趋势是完全不同的当 “， 丌主( s ) ( 即，5 器，( s ) 一冗善格盯2 ( s ) ) 时，随着初始时刻s 的推迟，丌下降很快然而 当丌主( s ) u r ：( s ) ( r 0 ) 粼，( s ) 一冗；格叮2 ( s ) r ，( s ) ) 时，丌完全不受初始时刻s 的 影响，它等于初始的财富，也就是说投资者从开始到最后一直都保持其在风险资产上的 投资额度对于第三种情况，此时呢( 曲 丌：( s ) 器，( s ) 一冗并筹c r 2 ( 8 ) ) ， 投资者在风险资产上的投资额一直为负。投资者从项目上撤资，因为此时存款利率较大， 1 8 山东大学硕士学位论文 投资者更愿意将资金存入银行或购买债券，而不愿意去投资于有风险的项目从图中看 出，图线变化非常剧烈，表明在投资与一个项目时，投资的时机对最优的投资额影响很 大，从而极大的影响投资者获得的期望效用并且当模型的参数满足一定条件时( 即第 二种情况的的条件) ，投资者只要保持其在项41 - 的投资额就可以获得最大的期望效用 图3 是当期望效用达到最大时，投资在风险资产( 即项目) 上的资金1 与波动率口 的关系图在此图中，为了更好的反映投资在风险资产( 即项目) 上的资金丌与波动率 盯之间地相互关系，我们取初始时刻为8 = 3 税率r 仍为0 3 当其他参数取如下值 时，我们画出了三种情况的图线，其中。 工= 2 ；卢= 1 ；p ( o ) = 8 0 ；s ( o ) = 9 0 ；a p = o 2 ；口s = o 3 ；r = o 5 ；w = 8 9 5 2 万元； 图3 我们取第一种情况，第二种情况和第三种情况的和率分别为。 一= 0 0 2 ，r = 0 0 1 ； 一= 0 0 3 ，r = 0 0 1 5 ；r ，= 0 0 3 5 ，r = 0 0 2 5 从整个图上来看，波动率盯的增加导致项 目上的投资额快速减少投资者对影响预期价格的重要参数盯非常关注，因为未来的不 确定性会导致投资者偏向于投资于收益稳定的债券或存入银行同样当模型的参数满足 一定条件时( 即第二种情况的的条件) ，投资者只要保持其在项目上的投资额就可以获得 最大的期望效用。而不管波动率叮的变化另外的两种情况在波动率变化时具有几乎相 同的变化趋势 山东大学硕士学位论文 图4 是最大的期望效用与投资者的消费额的关系图在实际中。对于有些投资者 来说可能比较关心个人消费与得到的最大的效用之间地相互关系在此图中，我们取投 资者的初始财富为u = 8 9 5 2 万元。初始时刻为s = 3 h a r a 情形本身的参数分别 为t三= 2 ；r = o 5 ；，y = l ；k = o 1 2 其他参数分别为。税率r = 0 3 ，存款利率 r = 0 0 1 5 借款利率，= o 0 3 ，卢= 3 因此，当p ( 0 ) = 8 0 元，s ( 0 ) = 9 0 元， a p = 0 2 ，a s = 0 图4 随着g 的增大。最大期望效用在下降在过分消费时，考虑到在项目上的盈利状况，投 资者得到的效甩将减少而且从图中我们可以看出，当c 较小时最大的期望效用y 对 驴的变动很敏感当伊较大时，图线变得很平坦，表明当消费较大时，消费的变动对 投资者获得的期望效用的影响将减小 参考文献 【1 】a v i n a s hk d i x i ta n dr o b e r ts p i n d y c k ，i n v e s t m e n tu n d e ru n c e r t a i n t y , p r i n c e t o n u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 4 ，p r i n c e t o n ，n e wj e r s e y 2 1 d a r r e l ld u f f l e ，d y n a m i ca s s e tp r i c i n gt h e o r y , t h i r de d i t i o n ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ， 2 0 0 1 ，p r i n c e t o na