（应用数学专业论文）负到达下的服务中心库存模型研究.pdf

摘要 本论文主要是研究一种新的库存模型一一带有负顾客的服务中心库存系统， 模型的分析背景分为库存商品为一般物品和易腐性物品两种情况。 负顾客排队模型是排队论的一个新兴分支，由e g e l e n b e u l1 2 1 于1 9 9 1 年首次 从神经网络的应用中提出的，其中的负顾客是相对于平常所说的普通顾客而言 的，它可以被认为是一种调度信号、工作消失信号、一种病毒等等，当其进入排 队系统后如果队列中还有普通顾客，它会移走部分或全部的普通顾客。负顾客排 队现在主要运用在通信、神经网络、计算机等方面。而服务中心库存模型也是经 典库存模型的一个新分支。该模型同经典库存模型的主要区别在于需求到达后 库存的商品必须经过一定时间的服务后才能提供给顾客，不能立刻让顾客带走。 如一个汽车修理厂库存了若干轮胎，一辆需要更换轮胎的汽车到达后需要经过一 段时间的维修服务后才能离开，有时甚至需要一段的排队等待时间后才能得到维 修，电脑售后服务中心库存了一批计算机零件，每一个需要更换零件的电脑都要 经过一段或短或长的时间维修后才能让机主取回等等，诸如此类问题都可能要考 虑服务时间给库存带来的影响。 本文首次将负顾客引入服务中心库存系统，并将服务中心库存模型中以往只 考虑单服务台的情况扩展到多服务台，从而得到了一个新的模型。文中首先考虑 库存商品为一般物品的情形，假设服务中心中有有限等待空间和多个服务台，每 个顾客的服务时间以及补给商品的到达滞后时问均满足指数分布，订货采取的是 连续盘点的( s ，s ) 策略。一般顾客和负顾客均按p o s s i o n 流到达，负顾客到达后不会 加入队列且会移走队列中的一般顾客，移走的数目是一个与系统中的等待顾客数 有关的随机变量。在平稳状态下，利用矩阵分析法去研究系统中库存量和队列中 的顾客数的联合分布情况，得到了系统的各种性能指标，如平均库存量、顾客的 平均等待时间等，进而得到了系统的总期望费用率。最后得到了使系统的长期期 望费用率最小的最优值s 。对于库存商品为易腐性物品的情形，分析的方法与一 般物品类似，文中也考虑了物品变质对系统带来的影响，得到了该情况下的各种 系统性能指标以及长期总期望费用率。 关键词：p o s s i o n 到达；负顾客；库存管理；矩阵分析法；期望费用率。 ab s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oa n a l y z ea ni n v e n t o r ym a n a g e m e n ts y s t e m a ts e r v i c ef a c i l i t yw i t hn e g a t i v ea r r i v a l si nb o t hg e n e r a la n dp e r i s h a b l ei n v e n t o r y i t e m se a s e s q u e u e i n gm o d e lw i t hn e g a t i v ec u s t o m e r si san e wb r a n c ho fq u e u e i n gt h e o r y n e g a t i v ec u s t o m e r sc a nb ec o n s i d e r e da sr e m o v a ls i g n a l ，i n h i b i t o rs i g n a li nn e u r a l n e t w o r k so rv i r u so fs y s t e ma n ds oo n t h e yw i l lr e m o v es o m er e g u l a rc u s t o m e r s a f t e ra r r i v i n ga ts y s t e m i n v e n t o r ym o d e la ts e r v i c ef a c i l i t yi sa l s oan e wb r a n c ho f c l a s s i ci n v e n t o r yt h e o r y t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h em o d e la n dc l a s s i ci n v e n t o r y t h e o r yi st h a ti n v e n t o r yi t e m si sn e c e s s a r yt op e r f o r ms o m ek i n do fs e r v i c eb e f o r e d e l i v e r e dt oc u s t o m e r s i nt h ep a p e rw ei n t r o d u c en e g a t i v ec u s t o m e r st oi n v e n t o r ys y s t e mw i t hs e r v i c e f a c i l i t ya n de x t e n dt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e sw h i c ho n l yd e a lw i t has i n g l es e r v e rc a s e u n d e rt h ea s s u m p t i o nw i t hi n d e p e n d e n te x p o n e n t i a ls e r v i c et i m ea n dl e a dt i m e ，( s ，s ) o r d e r i n gp o l i c y r e g u l a ra n dn e g a t i v ec u s t o m e r sa r r i v ea ts y s t e ma c c o r d i n gt o p o s s i o np r o c e s s n e g a t i v ec u s t o m e r sd o n tj o i nt h eq u e u ea n dr e m o v es o m er e g u l a r c o s t u m e si fp r e s e n tf r o mt h es y s t e m ，t h en u m b e ro fr e m o v a l si sar a n d o mv a r i a b l e d e p e n d i n go nt h en u m b e r o fw a i t i n gc u s t o m e r si nt h es y s t e m f o rt h es t a b l ec a s e ， t h em a t r i x - a n a l y t i cf o r m a l i s mi su s e dt os t u d yt h ej o i n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n o ft h ei n v e n t o r yl e v e la n dn u m b e ro fc u s t o m e r si nt h eq u e u e o u ra n a l y s i sa l s o y i e l d sv a r i o u ss y s t e mp e r f o r m a n c em e a s u r e s b a s e do nt h e s em e a s u r e sw eg e t l o n g - r u ne x p e c t e dc o s tr a t e ，f u r t h e r m o r e ，t h eo p t i m a lv a l u e so fsi so b t a i n e dt o m i n i m i z et h ee x p e c t e dc o s tr a t e i np e r i s h a b l ei n v e n t o r yi t e m sc a s e ，c o n s i d e r i n g t h ei n f l u e n c eo ft h e s ei t e m so nt h es y s t e m ，w eg e ts o m ep e r f o r m a n c em e a s u r e sa n d e x p e c t e dc o s tr a t ev i as i m i l a rm e t h o dt or e g u l a ri t e m sc a s e k e yw o r d s ：p o s s i o na r r i v a l ；n e g a t i v ec u s t o m e r s ；i n v e n t o r ym a n a g e m e n t ； m a t r i x - a n a l y t i cm e t h o d s ；e x p e c t e dc o s tr a t e ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 ) 学位论文作者签名： 噘，j 奔 签字日期：少。7 年月2 日 。 l 学位论文版权使用授权书7 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文 的规定。特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存j 汇编以供查阅和借阅。恫意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：2 旮 签字日期：少夕年，月沙日 导师签名：亦声寿 签字日期：少、7 年月驯日 第一章绪论 1 1 排队论的历史和发展过程 排队是我们在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品形成的排 队：上下班坐公共汽车，等待公共汽车的排队；病人到医院看病形成的排队；在售 票处购票形成的排队等等都是人的排队；另一种排队是物的排队，例如文件等待 打印和发送；路口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口；电话局的占线、故障机 器的停机待修、水库的存贮调节等排队问题。排队现象由两个方面构成，一方要 求得到服务的人或物统称为顾客，另一方设法给予服务的服务人员或服务机构统 称为服务员或服务台，顾客与服务台构成服务系统。由于顾客到达间隔时间和服 务时间具有随机性，使排队现象不可避免。如果增加服务设备( 服务台) ，就要增 加投资或发生空闲浪费；如果服务设备太少，排队现象就会严重，对顾客个人和 对社会都会带来不利影响。总而言之，管理人员必须考虑如何在这两者之间取得 平衡，经常检查目前处理是否得当，研究今后改进对策，以期提高服务质量，降 低成本。为了解决上述问题而发展的一门学科一一排队论( q u e u e i n gt h e o r y ) ，亦 称随机服务系统理论 排队论起源于2 0 世纪1 0 年代后期，第一个研究排队论的是在哥本哈 根电话公司工作的丹麦工程师爱尔朗( a k e r l a n g ) ，他主要是对电话交 换机的使用情况分析，可以说排队论问题最初是从通信中提炼出来的。 然后m o l i n a ( 1 9 2 7 ) 和t h o r n t o nf r y ( 1 9 2 s ) 继续推广了a k e r l a n g 的前期工作。 在2 0 世纪3 0 年代后，p o l l a c z e k 、k o l m o g o r o v 、k h i n t c h i n e 、c r o m m e l i n 和p a l m 也 分别做了一些进一步的研究工作。在这2 0 多年里排队论的进展缓慢，到了2 0 世 纪5 0 年代在排队论领域涌现出大量的结果。总之排队论大约经过一个世纪的发 展，已经逐步成为一个独立的数学分支，见文献p 刨睁1 ，并且得到了非常广泛的应 用，特别是在国防、经济发展和计算机通讯网络中有更加直接的应用，从而它给 学者们提出了很多实际问题，并要求我们不断的探讨和摸索，建立许多新的排队 模型虽然在第二次世界大战之后，排队论得到了迅速发展，并在通信、交通、生 产线、存储问题、救护、公共事业、计算机等方面都得到了应用，但通信始终是 排队论发展的推动力量和源泉f 1 。 在2 0 世纪5 0 年代，英国统计学家d g k e n d a l l 给出排队系统的符号表示后，可 以看出排队论的奠基工作是a k e r l a n g 研究的m m l c l o c 队系统( e r l a n g 消失 系统) ，这个排队系统关键是要求出顾客的消失概率。从此人们对排队论展开了 大量的研究，例如m m i 排队系统、m m c k 混合制排队系统、m 叉m 1 排 队系统、m m y 1 o o 排队系统、m g 1 排队系统、g i m l l l o c 排队系 1 第一章绪论 统、c s l m l l l o o 排队系统等等。随后又在此基础上产生了可修排队系统嘲、 休假排队系统嘲。 进入9 0 年代，产生了一类新兴的排队系统一一负顾客排队系统。负顾客排队 是e o e l e n b e 阻引于1 9 9 1 年首次从神经网络的应用中提出的，其中的负顾客是相 对于平常所说的一般顾客而言的，它可以被认为是一种调度信号、工作消失信 号、一种病毒等等，当其进入排队系统后如果队列中还有一般顾客，它会移走部 分或全部的一般顾客。负顾客排队现在主要运用在通信、神经网络、计算机等方 面。在最近的十多年里，有关负顾客的理论和应用产生了许多可喜的成绩，其中 以h a r r i s o n p i t e l i l 0 。b a y e r b o x m a f l ，x i u l ic h a o l l 2 1 以及j a r t a l e j o l s 11 1 4 1 等的 研究工作最具有代表性。本文与前面所提到的排队论文章不同的地方在于首次 将负顾客的概念引入到服务中心库存理论，得到了一个新的排队库存模型，并有 着一定的实际应用意义。 1 2 库存论的发展和现状 库存问题一直是人们熟悉又需要研究的问题之一，早在1 9 1 5 年，f h a r r i s 针 对银行货币的储备问题进行了详细的研究，建立了一个确定性的存贮模型，并 求得了最优解，即最优批量公式q = 、2 k d 危。1 9 3 4 年r h w i l s o n 重新得出了这 个公式，后来人们称这个公式为w i l s o n 公式或经济订购批量公式( 简记为e o q 公 式1 ，这是对存贮论进行的启蒙工作。存贮论真正作为一门理论发展起来却是在 本世纪5 0 年代的事，其中k a a r r o w 和a d v o r e t z k y 对现代存贮理论进行的奠基 性工作。k a a r r o w 等人在1 9 5 8 年写的 s t u d i e si nt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo f i n v e n t o r ya n dp r o d u c t i o n ) ) 一书中提炼了生产存贮问题中的数学理论。此后，存 贮理论成了运筹学中的一个独立分支，并陆续对非平稳和随机需求的存贮模型进 行了广泛深入的研究。p a u lh z i p k i n 6 1 对随机需求的存贮模型进行了深入的研 究，对不存在经济订货的存贮模型采用基本库存策略，对订货存在规模经济的模 型，采用固定订货点、固定订货量的( r ，q ) 策略，并对策略的优化解根据需求的 不同分布情况进行了讨论。a f e d e r g r e n 和y ，s z h e n g u “，对广泛使用的连续盘 点( r ，q ) 策略进行研究，提出了计算该策略优化控制参数( 彤，q + ) 的有效算法，该 算法的计算复杂性与q + 成线性关系。此外e p o r t e u s n 等人也对随机型库存模型 的研究作了较大的贡献。 随着科学技术的迅猛发展，生产的社会化、现代化程度越来越高，体现在企 业的生产规模越来越大，生产环境越来越复杂，另外随着网络时代的到来，供应 链管理和电子商务的概念深入人心，物流库存，资金流库存管理也正是现代经营 管理者必须直面的一个课题，因为产品的生产一般都要经过若干环肖，最终产品 一2 一 第一章绪论 面对的是后续环节对各种原材料和零部件的需求，所有环节为保证最终产品能够 满足市场的需求而形成一条物流供应链。一条可靠稳定的供应链对企业缩短生 产和供货周期，降低生产成本，提高产品质量进而为企业提高竞争力起着至关重 要的作用。另外，市场的需求是不确定的，而库存又起着吸收需求波动的缓冲作 用旺剐。因此，供应链下的库存管理应运而生，并越来越受到青睐。 在供应链下的库存管理产生的同时，也产生了另一种新的库存模型一- n 务 中心库存模型，并得到了快速的发展。服务中心库存模型是由o b e r m a n u 州等人 于上世纪九十年代初首先提出的，此模型与普通库存模型的主要区别在于需求到 达后库存的商品必须经过某种需要一定时间的加工或服务后才能提供给顾客，不 能立刻让顾客带走。如一个汽车修理厂库存了若干轮胎，一辆需要更换轮胎的汽 车到达后需要经过一段时间的维修服务后才能离开。电脑售后服务商库存了一批 计算机零件，每一个需要更换零件的电脑都要经过一段或短或长的时间维修后才 能让机主取回。这样在计算库存商品消耗的时候就不能直接看市场的需求率，有 时还要看系统的服务率。对于在需求率较高、需要服务时间较长的情况下，顾客 可能会产生排队现象，此时在考虑商品库存消耗时就不能看市场需求率，而要依 据服务率。如果商品是某些易腐性的物品弘叫，更要考虑由于商品需要接受某种服 务所要花费的时间，这样对于此模型将有着更好的实用性。 1 3 研究背景及文章结构 本文是基于如上所述的负顾客排队和服务中心库存模型的理论基础，首次将 二者有机的结合在一起，并将服务中心库存模型的服务台数由单个扩展到多个而 得到一个新模型。得到的新模型有着一定的应用背景，如企业之问为了抢客源相 互竞争，到对方销售中心或服务中心招揽客户，此时的招揽客户者( t o u t s ) 可以 被认为是一种负顾客。鉴于服务中心库存模型对于易腐性的物品有着更好的实 用性，本文也将得到的新模型应用于商品为易腐性物品的情形。 本文的下四章的安排如下，第二章主要介绍经典排队论的基本知识以及负顾 客排队模型近十年建立起来的一些基本理论。第三章主要先概述经典库存模型 的一些系统指标，再简要的介绍服务中心库存理论的理论基础。第四章中，我们 将负顾客排队模型和服务中心库存模型结合起来，并将服务设备( 服务台) 数由 一个扩展到多个，得到了一个新模型。再此模型的基础上，我们得到了库存系统 的各种系统性能指标和费用以及长期总期望费用率的情况。第五章是将第四章 建立的新模型应用到库存商品为易腐性物品的特殊情形，得到了负到达下的服务 中心易腐性库存模型，并得到了此时的系统性能指标以及总期望费用率。 3 一 第二章排队理论基础及负顾客排队系统 2 1 排队系统的组成及主要指标 一排队系统的组成 尽管排队系统是各种各样的，但从决定排队系统主要因素看，它主要由三部 分组成：输入过程、排队规则和服务机构，下面分别加以说明。 一) 输入过程 输入过程是描述顾客来源以及顾客是按怎样的规律抵达排队系统，其主要分 为以下三个方面： a ) 顾客总体数：顾客的来源可能是有限的，也可能是无限的，例如工厂内发 生故障待修的机器是有限的；到达窗口购票的顾客总数可看成是无限的。 b 、到达的类型：顾客是单个到达，或是成批到达，例如工厂内发生故障待修 的机器是单个到达；在库存问题中，进货看成顾客到达，就是成批到达的例子。 c 1 相继顾客到达的间隔服从什么样的概率分布，分布的参数是什么，到达的 间隔时间之间是否独立。 二) 排队规则 排队规则是指服务允不允许排队，顾客愿不愿意排队，在排队等待的情形下 服务顺序又是什么，主要分为： a ) 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构就不允许顾客等待， 此时顾客就自动离去。 b 1 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们排队等待服务。在等待 制系统中，服务顺序又可分为： i ) 先到先服务，即顾客按到达的先后顺序接受服务； i i ) 后到先服务，如情报系统总是后到的信息越重要，要先处理； i i i ) 随机服务，即在等待的顾客中随机地挑选一个顾客进行服务； i v ) 有优先权的服务，即在排队等待的顾客中，某些类型的顾客具有特殊性， 在服务顺序上要给予特别对待，让他们先得到服务。优先权又分为强拆型优先权 和非强拆型优先权。强拆型优先权是指这类顾客到达时，无论正在接受服务的顾 客是否服务完毕，都必须立即中止服务而转为接受这类顾客并给予服务。非强拆 型优先权是指这类顾客到达时，必须等待正在接受服务的顾客服务完毕才会得到 服务。 c ) 混合制：混合制是损失制与等待制的混合，分为队长有限的混合制系统，等 待时间有限的混合制系统，以及逗留时i 、日j 有限的混合制系统。 4 第二章排队理论基础及负顾客排队系统 三) 服务机构 刻划服务机构的主要方面为- a 1 服务台数目，在多个服务台的情形下串联还是并联。 b 1 顾客所需服务时间服从什么样的概率分布，每个顾客所需服务时间是否 相互独立，是成批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间分为：定长分布、 负指数分布、超指数分布、k 阶爱尔朗分布、一般分布等。 二排队系统的主要指标 对于经典的排队模型主要有如下的四个指标： 1 1 队长和排队长 队长是指在系统中的顾客数( 包括正在接受服务的顾客) ，它是随机变量，是 顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标，应确定它们的分布及有关矩( 至少 要确定数学期望1 。 排队长又称队列长，是指系统中正在排队等待服务的顾客数，其均值记为厶 2 1 逗留时间和等待时间 顾客的逗留时间是指从顾客进入系统的时刻起直到顾客被服务完毕为止这 段时间( 排队等待时间与被服务时间之和) o 等待时间又称虚等时间，是指一个顾客在系统中排队等待服务的时间。逗留 时间和等待时间是顾客最关心的数量指标，应用中关心的是统计平衡下它们的分 布及期望平均值。 3 1 系统的忙期及闲期 从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再次变为空闲，这段时间 是系统连续繁忙的时间，我们称为系统的忙期，它反映系统中服务员的工作强 度。与忙期对应的是闲期，即系统连续保持空闲的时间长度。在统计平衡下忙期 和闲期是交替出现的。 4 ) 输出过程 输出过程也称离玄过程，是指接受服务完毕的顾客相继离开系统的过程。刻 划一个输出过程的主要指标是相继离去的间隔时间和在一段己知时间内离去顾 客的数目，这些指标从一个侧面也反映了系统的工作效率。 2 2 排队论的几个重要模型 - - ) m m i 排队系统 众所周知，在排队论的研究中第一个被研究的典型模型就是m m i j j 队系 统。所i 胃m m 1 排队系统是指： 一5 第二章排队理论基础及负顾客排队系统 ( i ) 输入过程是参数为a 的p o i s s o n 流； ( i i ) 各顾客的服务时间口1 ，7 3 2 之间以及与输入过程均相互独立，且每个v i 有 相同的负指数分布，即： p c 地z ，= 0 1 一e 一z ；三三三 ( i i i ) 只有一个服务台，顾客到达按照先到先服务的服务规则接受服务我们 一般称p = 入肛为服务强度。 1 平均队长和排队长 队长的平均值厶表示系统的平均顾客数，表达式为 厶= 佗r = 佗p n ( 1 一j d ) 5 南，o j = o3 。= c ” 平均等待时间为 厩= 岩劬 平均逗留时问为 一w ：丽+ 二 3 m g i 掷) k 系统 所谓m g 1 排队系统是指这样的系统： ( i ) 输入是参数为入的最简单流，b 1 p o i s s o n 流； ( i i ) 各顾客的服务时间u 1 ，u 1 ，之间相互独立同分布，且与输入独立。服务 时间的均值为1 # ，方差为盯；。 ( i i i ) 有一个服务台，顾客到达按照先到先服务的服务规则接受服务 对于此模型当p = a p 8 ，则不对库存进行补充； 若i 8 ，则对库存进行补充，补充数量为q = s 一辟h 充后库存量达到最大库存 量s 。若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时库存i ，然后根据i 是否超过订 货点s ，决定是否订货，订货多少，这样的策略称为( t ，s ，s ) 策略。 3 1 2 确定性库存控制模型 所谓确定性库存控制模型，是指需求量、前置期都是确定的条件下的库存控 制模型，其基本管理方法就是经济批量法( e o q ) 。用经济批量法来制订库存策 略，不但可以确定订货量，而且还可以确定订货周期，既解决了“什么时候订货” 问题，又解决了“订多少”的问题。它又分为以下五种模型： 一) 不允许缺货，补充时间极短的库存控制模型 在研究、建立模型先建立如下假设： ( 1 ) 缺货费用无穷大，即无缺货情况发生； ( 2 ) 当存储降至零时可以立即得到补充； ( 3 ) 需求是连续的、均匀的，设需求速度r ( 单位时间的需求晕) 为常数，则t 时 间的需求量为r t ； ( 4 ) 每次订货量不变，订购费不变； ( 5 ) 单位存储量不变。 由于可以立即得到补充，所以不会出现缺货，在研究这种模型时不再考虑缺 货费用。只需考虑存储费用和订货费用。假设每隔时间t 补充一次存储，那么订货 量必须满足t 时间的需求r t ，记订货量为q ，则有q = r t ，订货费为c 3 ，货物单价 为k ，则订货费为c + k r t ，t 时间内的平均订货费为岛亡+ k r ，t 时间内的平 均存储量为r t 2 ，单位存储费用为g ，t 时间内所需平均存储费用为威g 2 ，则t 时间内的平均费用为 c ( t ) = c 3 ：t + k r + g r t 2 对上式利用导数求极值的方法可以得到，当o = 、躲时，即每隔时间t o 订货一 次可使c ( t ) 最小。此时的订货量为 q + ：q 。： r ，。j 一】4 第三章服务中心库存模型理论 该公式即存储论中著名的经济批量公式( e c o n o m i co r d e r i n gq u a n t i t y ) ，简称e o q 公式。可求出最佳费用为c ( t o ) = 、2 c 3 c i r 。 - - - ) 不允许缺货，补充需一定时间的库存控制模型 本模型的假设条件，除生产( 补充) 需要一定时间的条件外，其余条件皆与模 型一的相同。设生产( 补充) 批量为q ，每隔时间t s b 充一次存储，所需生产( 补充) 时 间为t ，则生产速度为p = q t ，已知需求速度为r ( r p ) 。在生产( 补充) 的产 品一部分满足需求，剩余部分才作为库存，这样在f 0 ，t 1 区间内库存量以p r 的速 度增长，在i t ，t 1 区间内库存量以r 速度下降，且有 ( p r ) t = r ( t t ) t 时l f l - j 内的平均存储量为【；( p r ) 丁】；t 时间内的存储费为 q ( p r ) t t ；则单 位时间内的总费用( 平均费用) 为 c ( q ) = 胁- 4 - k q - 4 - 专g ( p r ) t t 】 = 虿r mk q + 1 c i ( p - r ) 学】 = 警+ k r + 丢q 竿 进一步计算得到 百d c ( q ) = 一笫q + 三2 q 竽= od q 2 。 1 p 。 由此可得最佳批量为 q + ： 进而可得最佳生产( 补充) 时问为 t = 等= 最佳生产周期为 t o = 最小成本为 m i n c ( q ) = v f 2 c 3 c ir ( p r ) p 可以看到当p = r 时，最优存储量为零，总成本为零，这就是企业追求零库存的原 因。 三) 允许缺货( 缺货需补足) ，补充时间极短的库存控制模型 本模型是允许缺货，并把缺货损失定量化加以研究。由于允许缺货，企业可 以在存储降至零后，再等段时间后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的 一】5 一 第三章服务中心库存模型理论 固定费用，少支付一些存储费用。当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而 企业出支付少量的缺货费用外也无其它损失，这时发生缺货现象对企业有利。本 模型的假设条件除允许缺货外，其余条件皆与模型一相同。 设单位存储费用为g ，缺货费为q ( 单位缺货损失) ，每次订购费为g ，r 为 需求速度。每隔时间t 订货，假设在t 1 时间间隔内库存量是正的，在t 2 时间间隔内 发生缺货，则有t = t 1 + t 2 。本模型不但要确定最优订货量q 还要确订货物到达的 最优滞后时间t 2 。通过分析可得单位时间内总费用为 c ( q , t 2 ) = 【岛+ 去g ( q 一尉z ) 2 + 互1 国兄瑚， ( 3 1 ) 利用多元函数求导数法求c ( q ，t 2 ) 极值得到最优批量为 从而得到 t = q + = 此时的单位时间总费用为 m i n c ( q 忠) = 鬻 很明显，在相同的时间段里，允许缺货的订货次数比不允许缺货使订货次数 减少了。 四) 允许缺货( 需补足缺货) ，补充需一定时间的库存控制模型 假设条件除允许缺货生产需一定时间外，其余条件皆与模型二相同。 取 o ，t 】为一个周期，【0 ，z ，】系统处于缺货状态，在t 1 时刻开始生产，【t l ，亡2 】时间内除 满足需求外，还要补足【o ，t 1 】时间内的缺，【t 2 ，t 3 时间内的满足需求后的产品进入 存储，存储量以( p r ) 的速度增加，t 3 时刻停止生产， t 3 , t 时l ；- j 库存量以需求速 度r 减少。 通过以一卜描述可得f 0 ，t 】内总期望费用为 c ( t , t 2 ) = i 1 呸1 g 学( t 一妫2 + 丢g 学+ g 】( 3 - 2 ) 利用多元函数求导数法则可得 | 2 c 3c , + c 2 | p v 孺v 瓦一v p - r ： 一1 6 第三章服务中心库存模型理论 仁丧= 丧属乒孚属 得到的最小成本为： m i n c ( t + ，呓) =( 3 - 3 ) 五) 价格有折扣的库存控制模型 以上模型所讨论的货物单价均是常量，得出的库存策略都与货物单价无关。 然而，在现实生活中，我们经常可以看到一种商品有所谓的零售价、批发价和出 厂价，购买同一种商品也有可能因购买数量的不同而有不同的价格。一般情况 下，购买数量越多，商品单价越低。在少数情况下，某种商品限额供应，超过部分 的商品单价要提高。在该模型中，除货物单价随订购数量而变化外，其余条件皆 与模型一相同。 3 1 3 随机性库存控制模型 上一节讨论的库存模型中的参数，即需求量及提前期都是确定的，这一节讨 论的几个模型的参数都是随机的 一) 单周期无准备成本的库存模型 所谓的单周期模型是指订货库存只满足一个特定时期需求的模型。先假设需 求量是随机的，需求是瞬时的，补充也是瞬时的，而且无准备成本。在这些条件 下，根据期望总成本最小的原则，去确定最佳存储策略，即确定最佳订货量q 。 1 ) 需求是连续的随机变量 为了叙述的方便，现将一些参数符号表示如下： i 一初始库存量： q 订货量； k 一单位货价： y 一订货补足后库存量，y = q + i ； g 一这个时期内单位货物存货费； q 一这个时问内单位货物缺货损失费，o 一需求量； 妒( ) 需求量为的概率密度函数。 用最佳订货补充后库存量y + 代替q + ，即圹= i + q ，确定了y + 也就确定了q + 。 因此首先要到处期望成本与y 之间的函数关系。由分析知，如补充后的库存量 1 7 第三章服务中心库存模型理论 为y 时，这时期库存量 缺货量为： ： y ：y ： s 时，不订货； 2 ) 当j s 时订货，订货量为孓i ，其中函数 l ( 剪) = k + g ( y f ) 1 9 ( ) 必+ c 2 ( 一y ) 妒( ) 必， 的极小点，可由方程 小淞= 菘 来确定。s 为方程l ( s ) = g + 三( s ) 的最小值，显然s 和s 的值与i 无关只是与 需求量的密度函数妒( ) 有关。 2 需求是随机离散的 当需求量是离散取值时，订货补充至y 是的期望成本为 e 【q 爹) 】= g + k ( y 一) + c - 乏二( 爹一) 妒( f ) + q ( 一爹) 9 ( ) ( 3 5 ) 完全类似前面的讨论，最佳值y + 可由满足不等式 喜眯妒雌糕缸驯 p ( 矽一1 ) 占 幸 毫p ( ) = 0 1。 = o 的y + 值来确定。取s - - y * , 然后同样再确定s 值。设 1 9 第三章服务中心库存模型理论 三( y ) = k 可+ g ( 可一) 妒( ) + 岛 一) 妒( f ) ”e 掣 考察不等式 l ( y ) g + l ( s ) 取使不等式成立的最小y 值为s 值。 3 2 服务中心库存模型 服务中心库存模型是库存论的一个新兴分支，是由o b e r m a n 叫等人于上世 纪九十年代初首先提出的。此模型与普通库存模型的主要区别在于需求到达后 库存的商品必须经过一定时间的服务后才能提供给顾客，不能立刻让顾客带走。 如一个汽车修理厂库存了若干轮胎，一辆需要更换轮胎的汽车到达后需要经过一 段时间的维修服务后才能离开。而电脑售后服务商库存了批计算机零件，每 一个需要更换零件的电脑都要经过一段或短或长的时间维修后才能让机主取回。 这样在计算库存商品消耗的时候就不能直接看市场的需求率，有时还要看服务率。 对于在需求率较高、需要服务时间较长的情况下，顾客可能会产生排队现象，此 时在考虑商品库存消耗时就不能看市场需求率，而要依据服务率。 0 b e r m a n 和k i m 在文2 7 1 中分析了顾客按p o s s i o n 流到达，服务时间为指数分 布，物品订购后补给的滞后时间为零的情形。随后o b e r m a n 并f i s a p n a 在文 2 8 】中 分析了服务时间为一般分布的情形，并假设商品补给的滞后时间为零，服务中心 中有有限数的等待空间。在一定的费用结构下，他们得到了使得长期期望费用率 最低的最佳订货量。a r i v a r i g n a n 署f l s i v a k u m a r 在文【2 9 】考虑了一般分布需求，服务 时间和滞后时间均满足指数分布的情形。 如果商品是某些易腐性的物品，可能更要考虑由于商品需要接受某种服务 所要花费的时间，这样对于此模型将有着更好的实用性。如医院一般要储备一 定的血液以各不时之需，在库存时要考虑血液变质带来的影响，不能太多也不 能太少。一个提供苹果派的西餐厅在储备苹果派时一定要考虑苹果派的保质 期。于是o b e r m a n 和s a p n a 在文f 3 0 1 中分析了库存物为易腐性物品的情形，系统 在p o s s i o n 多j 达，服务时问满足指数分布，滞后时间为零的情况下，利用m a r k o v 决 策过程来控制服务台的服务率从而降低系统的长期期望费用率。随后在文 3 1 】中 他们又将此模型扩展到指数滞后时间的情形。在文f 3 2 1 中0 b e r m a n 和k i m 转而 利用m a r k o v 决策过程通过优化订货量来使系统的长期期望利润率最大化。 对于此模型的研究目前主要分为指数服务时间和一般服务时间，下面主要介 绍一般到达情形下系统的稳态指标，指数到达情形可以看成是一般到达的特例。 一2 0 第三章服务中心库存模型理论 考虑一个具有最大库存量为s 的服务中心，系统中有一个服务台，有限个等 待空间n ，当一个顾客看到系统中已经有n 个顾客时便自动离开。顾客按照参数 为入的p o s s i o n 流到达，且按照先到先服务的排队规则接受服务。单位库存商品只 能提供给一个顾客。服务时间是独立同分布的，其密度函数为9 ( ) ，均值为1 v 。 当库存量为零时立刻订货且货物到达的滞后时间为零。 为了叙述方便，先将文中的记号表示如下： i ( t ) ：t 时刻的库存量； x ( t ) ：t 时刻系统中的顾客数； g + ( q ) ：函数g ( t ) 的拉普拉斯变换； h ：单位时间单位商品的保存费； k ：每次订购的准备费； c ：单位时间的等待费用； 召( 亡) = r g ( u ) d u ； e = 1 ，2 ，s ) 1 ，2 ，) 从假设中可以看出过程 j ( 亡) ，x ( 亡) ；t o ) 是建立在空间e 上的半m a r k o v 过 程。因为该过程是不可约的，且状态空间e 是有限的，则该过程平稳分布存在，设 为丌( 歹，亡) ；j ，r e ，贝0 有， 当1 歹s 一1 ；1 r n 1 时 砌刮川，1 ) 等+ 霎丌( j + l , q ) 半鬻； 当1 r n 一1 时 郴吼1 ，紫+ 势柚咩掣； 令a ( r ) = 丌( 歹，r ) 则有 j 一 ，、 丌( 歹，r ) ：掣 此时的系统性能指标有， 再订率为 平均等待时问为 2 1 一 去髯脚 q 一 业7 s 纠 脚 i i 岛 第三章服务中心库存模型理论 平均库存量为 7 ：s n j 7 r ( j ：等； 7 = ，r ) = 竿； 1 = 1 r = o c ( s ) = h 7 + k 伪+ c 侥 = 西k 谭+ 盟2 + c 譬半s ( ) + 马 。台7 令 c 7 ( s ) 2 否曩苫- 再k + 虿h = 。， s = 当服务时间满足指数分布时，利用上述公式可得使系统长期期望费用率最小的订 货量s 为 s = 一2 2 第四章负到达下的服务中心库存控制 4 1 模型描述 考虑一个服务中心库存系统，系统中有着充足的存储空间，但排队等待空间 为有限数n 。该中心中有着价相同的服务台，每个服务台的服务时间都是独立 的且满足指数为p ( 0 ) 的指数分布。当某一需求满足后库存水平降到s 时，则 马上采取订货且使得订货后的库存量达到s ，这种订货方法叫做( s ，s ) 订货策 略。我们假设每单位的存储货物只能提供给一个客户，这些顾客到达后按照先到 先服务的排队规则进行排队( fcfs ) ，货物是连续盘点的，因此订购量q 满 足q = s s ( s 2 s + 1 ) 。其中条件s 2 s + 1 是为了防止订购量为q 的货物 到达后库存量还是低于s 的情况发生，交货的滞后时间满足指数为p 的负指数分 布。两种到达的顾客，正顾客( 一般顾客) 和负顾客，他们都按照p o s s i o n 过程到 达，各自的到达率分别为入和6 且满足( 入 6 0 ) 。如果系统中正在排队的顾客 数小于n ，那么一个刚刚到达的一般顾客将加入队列，一个刚刚到达的负顾客不 会加入队列并且带走一个或更多的正在排队的一般顾客，带走的一般顾客的数目 是一个随机变量m 且具有概率分布函数： i 只j = p r n ，= 尼) ，k = 1 ，2 ， ； ：只詹= 1 ；i = 1 ，2 ， k = l 记如= 6 只如那么则有：1 如= 6 ，k = 1 ，2 ，i 下图能清楚地刻画如上所述的系统情况。 图1 带有负顾客的库存一排队系统 文中的记号表示如下： 2 3 第四章负到达下的服务中心