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时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 摘要 由于人工神经网络( a n n ) 在最优化、信号处理、图像处理、模式识别和联 想记忆等方面的广泛应用，人工神经网络得到了蓬勃发展人工神经网络的信息 处理能力取决于其动力特征因此，研究人工神经网络的动力特征，例如稳定性、 吸引性、周期性等问题，就成为人工神经网络设计中必不可少的先决条件特别 地，在最优化、神经控制、信号处理和模式识别的应用中，必须要求网络避免发 生局部最小值，因此，人工神经网络的全局渐近稳定性是研究的核心问题 在人工神经网络的电子实现中，由于网络神经元放大器的有限转化速度问 题，时滞是不可避免的发生在连接神经元间的时滞将会影响网络的稳定性而发 生振动现象本文就研究了具有时滞的几类神经网络的动力行为 本文的内容包括四章：第一章绪论部分，首先介绍了人工神经网络的背 景知识，本文的主要工作以及基本知识 第二章中本文利用拓扑度理论结合同伦不变性，泛函不等式和l i a p u n o v 泛 函方法研究了具有不同时间尺度的时滞竞争神经网络的全局鲁棒稳定性，给出了 实用的判断平衡点存在唯一性与全局鲁棒稳定性的条件 第三章中作者利用同胚映射，肘一矩阵，研究了s 一分布时滞的细胞神经网 络，给出了实用性较强的判定平衡点的存在唯一性及全局指数稳定性的条件 第四章研究了s 一分布时滞静态神经网络模型，利用b a n a c h 压缩映像原理 和微分不等式技巧给出了判断该模型概周期解存在性与指数稳定性的充分条件 关键词：全局鲁棒稳定；s 一分布时滞；拓扑度；竞争神经网络 g l o b a la s y m p t o t i cd y n a m i c a lb e h a v i o ro fr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k sw i t l lt i m ed e l a y s a b s t r a c t d u et ot h eb r o a ds p e c t r u mo fa p p l i c a t i o n si no p t i m i z a t i o n ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g e p r o c e s s i n g ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，a s s o c i a t i v em e m o r i e sa n ds oo n ，t h ea r t i f i c i a ln e u r a l n e t w o r k s ( a n n ) h a v eb e e nf u l l yd e v e l o p e d b e c a u s et h ef u n c t i o ni ni n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi sd e t e r m i n e db yd y n a m i cq u a i l 哆o f t h ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，i ti sn e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t et h ed y n a m i cq u a l i t ys u c ha s s t a b i l i t y e s p e c i a l l y , i nt h ea p p l i c a t i o n so fo p t i m i z a t i o n ，n e u r a lc o n t r o l ，s i g n a l p r o c e s s i n ga n dp a t t e r nr e c o g n i t i o n ，t h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yh a sb e c o m et h e c o r ep r o b l e mi nr e s e a r c hi no r d e rt oa v o i dl o c a lm i n i m a i nt h er e a l i z a t i o no fe l e c t r o n i cn e u r a ln e t w o r k s ，t i m ed e l a y sa r el i k e l yb ep r e s e n t d u et ot h ef i n i t es w i t c h i n gs p e e do fa m p l i f i e r s ，w h i c hw i l la f f e c tt h es t a b i l i t ya n dl e a d t ot h eo s c i l l a t i o na n dt h e r e f o r ei n f l u e n c et h ef u n c t i o no ft h ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s s o ，t h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h et h r e ek i n d so fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k sm o d e l sw i t h d e l a y sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t o4c h a p t e r s c h a p t e r1i n w o d u c e st h eg e n e r a lk n o w l e d g e ： t h em a i nw o r k sa n ds o m ep r e l i m i n a r i e so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yf o rc o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e d e l a y sa n dd i f f e r e n tt i m es c a l e sh a sb e nd i s c u s s e db ye m p l o y i n gt o p o l o g i c a ld e g r e e t h e o r y , h o m o t o p yi n v a r i a n c et h e o r e m ，f u n c t i o n a li n e q u a h t ya n dl i a p u n o vf u n c t i o n a l m e t h o d ，a n dt h ef a i r l yg e n e r a la n dc o n v e n i e n tc d t e n ao fg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yh a v e b e e np r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，t h ec o n d i t i o n se n s u r i n ge x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n to fi n t e r v a ln e u r a ln e t w o r k sw i t hs t y p ed i s t r i b u t e d d e l a y sa r es t u d i e d a p p l y i n gt h ei d e ao fh o m e o m o r p h i s m ，m - m a t r i xt h e o r ya n d l i a p u n o vf u n c t i o n a l ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o f i n t e r v a ln e u r a ln e t w o r k sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，t h es t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hs t y p ed i s t r i b u t e d d e l a y sa r e c o n s i d e r e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h e a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e db yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e ma n d d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i c a l k e y w o r d s ：g l o b a lr o b u s ts t a b i f i t y ；s - d i s t r i b u t e dd e l a y s ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ； c o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k s 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 ( 篷! 翅遗直墓熊霞要挂型虚盟趁：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：壶令l 节签字日期：z 。7 年岁月2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：壶令串 签字日期：z 。7 年歹月2 7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：垆 签字嗍缈厂月巧日 电话： 邮编 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 1 1 神经网络简介 第l 章绪论 神经网络是一门活跃的边缘性交叉学科，研究它的发展过程和前沿问题具有 重要的理论意义神经网络既是高度非线性动力系统，又是自适应系统，可用来描 述认知，决策及控制的智能行为它的中心问题是智能的认知和模拟，神经网络理 论是巨量信息并行处理和大规模并行计算的基础从解剖学和生理学来看，人脑 是一个复杂的并行计算系统，它不同于传统的n e u m a n n 式计算机它不但有记忆 功能而且有联想功能，能从一个不完整的或模糊的模式中联想出存储在记忆中的 某个完整的清晰的模式更重要的是它具有“认知”，“意识”和“感情”等高级 脑功能毫无疑问，人们以人工方法模拟这些功能有助于加深对思维及智能的认 识，特别是对计算机产业的发展有强烈的刺激和极大的推动作用“】 神经元模型与神经网络模型： 人工智能的研究领域存在两种观点：一种观点是把大脑视为“黑盒”，不关 心其内部结构，主张从功能上进行模拟；另一种观点主张充分理解脑部构造和机 理的基础上对其结构进行模拟，从而实现人脑所具备的功能 神经网络，是通过模拟人类大脑结构，实现某类智能行为的信息处理系统其 基本处理单元称为人工神经元自从1 9 4 3 年m c c u l l o c h 和p i t t s 合作提出了旧 模型“圳之后，许多神经元被相继提出，这些模型包含着若干基本共同特征o j 因 此。我们只讨论一种通用神经元模型，如图1 1 输入神经网络的输入端将来自其它人工神经元( 处理元件) 的信息和外界 信息引入 权重输入对神经元的影响大小由权重来反映，从一个神经元到另一个神经 元的信号强度也由它们之间的连接权重加以调节，权重直接影响从一个神经元到 另一个神经元的作用量 连接函数将各输入量与对应的权重进行处理，并将处理结果送至传递函 数最常见的连接函数是加权求和函数 传递函数也称为作用函数、活性函数，将连接函数的结果映射为神经元的 输出目前，人们已经提出了许多种传递函数睢j 】 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 输 入 权 传递函数 重 连接函数 图1 1 人工神经元结构 相应的，人工神经元按照一定的拓扑结构相互连接组成的网络被称为人工神 经网络，简称神经网络 神经网络的特点 与传统的n e t m a n n 计算机相比较而言，神经网络具有以下几个突出的特点： l 、大规模的并行计算与分布式存贮能力 传统计算机的计算与存贮是相互独立的，而在神经网络中。无论是单个神经 元还是整个神经网络都兼有信息的处理和存贮的双重功能，这两种功能自然融合 在同一网络中神经网络计算过程的并行性决定了其对信息的高速处理能力 2 、自适应、自组织、自学习的能力 神经网络最突出的特点就是具有自适应、自组织、自学习的能力。它可以处 理各种变化的信息，而且在处理信息的同时，非线性动力系统本身也在不断变化。 即可以通过对信息的有监督和无监督学习，实现对任意复杂函数的映射，从而适 应环境的变化 3 、较强的鲁棒性和容错性 由于信息的分布存贮和集体协作计算，每个信息处理单元既包含对集体的贡 献又无法决定网络的整体状态，因此，局部神经网络的故障并不影响整体神经网 络输出的正确性 4 、非线性映射能力 神经网络各神经元的映射特征是非线性的，有些网络的单元间采用复杂的非 线性连接因此，神经网络是一个大规模的非线性动力系统，具有很强的非线性处 2 时滞递归神经网络的全局灏近行为分析 理能力 5 、非局域性 一个神经网络通常由多个神经元广泛连接而成一个系统的整体行为不仅取 决于单个神经元的特性，而且可能由神经元之间的相互作用、相互连接所决定， 通过神经元之间的连接模拟大脑的非局域性，联想记忆是非局域性的典型例子 6 、非凸性 一个系统的演化方向，在一定条件下将取决于某个特定的状态函数，例如能 量函数。它的极值对应系统某个稳定的平衡状态非凸性是指某系统的能量函数 有多个极值，故系统具有多个稳定的平衡状态，这将导致系统演化结果的多样性 拓扑结构 圣霉曼薹 学习方式 妻兰薯茎要 拓扑结构 反馈网络学习方式 二二：二：。： l 混合网络 r 。 错误纠正学习型 基于记忆学习型 学习规则 h e b b 学习规则型 竞争学习型 b o l t z m a n n 规则型 1 2 本文的主要工作 具有不同时间尺度的竞争神经网络是近年来提出的一种神经网 络，m e y e r b a s e s ，o h l ，s c h i c h ，p i l y u g i na n dc h e n 等人对它的全局渐近动力 学行为进行了研究m 】该网络模型包含两种不同类型的变量：短期记忆变量( s t m ) 和长期记忆变量( l m t ) ，它的数学的基本形式为 ， s t m ： 占毫( f ) = - b i x ( f ) + d 口， j ( f ) ) + e e m 口y ， l t m ： m f ( r ) = - m f ( f ) + ) ，z ( 葺( f ) ) ， i = 1 , 2 ，n ，j = 1 , 2 ，p 3 ( 1 2 1 ) 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 其中( f ) 表示第i 个神经元的状态变量，饥表示神经元的时问常数，z ( 曲表示神 经霉的作用函数，d f 表示第f 个神经元与第_ ，个神经元的连接权重，m 口( f ) 表示f 时刻第i 外部刺激和第，个神经元的触突作用系数，y ；表示外部刺激常量，e 表 示外部刺激强度常数，占表示s t m 状态的时间尺度 令 ， s ，( f ) = m “( f ) ) ，= y r m f ( f ) ，y = ( y i ，y 2 ，y p ) 7 ，m j ( f ) = ( m n ，z i 2 ，m 口) 7 ， ，= t iy 1 2 = ) ，? + y ；+ + ) ，；= 1 ，s = 1 ，则( 1 2 1 ) 转化为 s t m ：毫( f ) = 眈工，( f ) + 芝：d 口乃( 工( f ) ) + e 以( f ) ， i | l t m ： 以( ，) = 吖j ( f ) + f t ( x f ( f ) ) ， i = 1 , 2 ，( 1 2 2 ) 本文在第二章中利用拓扑度理论和李雅普诺夫泛函方法，研究了( 1 2 2 ) 含有 时滞情况下的动力学行为，给出了判断该模型全局鲁棒稳定的一个充分性条件 第三章研究了s 一分布时滞细胞神经网络的全局指数鲁棒稳定性s 一分布时 滞既包含离散时滞，也包含了连续分布时滞，因此，对s 一分布时滞神经网络的研 究不但在理论上，而且在实际上也有深远的意义我们利用同胚映射，肼一矩阵， 研究了s 一分布时滞的细胞神经网络，给出了实用性较强的判定平衡点的存在唯 一性及全局指数鲁棒稳定性的条件 第四章研究了静态神经网络的概周期解的全局指数稳定性我们知道从生 物神经网络系统的观点看，人的大脑时刻处在周期和混沌状态”，因此对神经网 络周期震荡和混沌现象的研究有着十分重要的现实意义。概周期函数包含了连续 周期函数，并且对实际问题往往比研究周期运动更切合实际情况本章利用不动 点理论和微分不等式技巧研究了s 一分布时滞静态神经网络模型概周期解存在性 与指数稳定性问题 1 3 基本概念 1 3 1m 一矩阵 9 , 1 0 j 4 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 定义1 3 1 实矩阵a = ( 4 。) 。，若满足下列条件： ( 1 ) a “ 0 ，i - - 1 ，2 ，n ，a d 0 ，f - ，i ，j = l ，2 ，n ； 伞名m 则称矩阵a = “) 。为m 一矩阵 4 “ o ，i = l ，2 ，n ，4 玎s o ，i ，i ，j = l ，2 ，n ； a “ o ，i = l ，2 ，疗，- o ，j = l ，2 ，n 使得 c ， o 或c i 口u o ( 多4 d o ，i = 1 ，2 ，n ，口h o ，f _ ，i ，j = l ，2 ，胆； 任给一组正数f = ( 磊，邑，) ，方程a 工= f 都有正数解 嘞 o ，i = l ，2 ，l ，口“ o ，i = 1 ，2 ，l ，4 d o ，f _ ，i ，i = i ，2 ，忍； 1 0 ，i = 办 g = ( 岛) 一：占口2 恤，f 工，：1 ，2 ，撑 的谱半径p ( g ) o ，i = l ，2 ，栉，o ，i _ ，i ，j = l ，2 ，n ；且存在矩阵d = d i a g ( d j ) 0 ， 定义1 3 2 称函数，( f ) ：r 哼r 是概周期函数，如果任给s 0 ，集合 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 t ( f ，占) = f ：i f ( t + f ) 一f ( t ) i 0 存在 ，= z ( 力 0 ，使得在每个长度为，的区间内至少有一个f = r ( 0 r ( ，s ) ，使 f ( t + ) - f ( t ) i 0 ，则 娶2 也是概周期函数 暑( f ) 设 ( f ) ( h = 1 ，2 ，都是概周期函数，且函数序列 ( f ) 在r 上一致收敛于 函数f ( t ) ，则f ( t ) 是概周期函数 1 3 3s 一积分 定义1 3 3设，( f ) 和占( 力是在k 胡有定义的两个有限函数在陋，堋中插入分 点4 = x o 五 屯 工。_ l 工。= 6 ，又在每个子区间【屯4 ， 】中任取一点磊，令 o r = 厂( 磊) ( g ( 耳) - g ( x i 。) ) ，如果当旯= m a x i 。( & 一工。- 1 ) 斗。时，不论分法如何， 也不论磊的取法如何，c r 趋于一个有限的极限，则称此极限，为，( f ) 关于g ( f ) 的l e b e s g u e s t i e l t j e s 积分，简称s 一积分，记为r ，( x ) 妇( j ) 1 3 4b a n a c h 压缩映像原理 定理1 1 设d 是b a n a c h 空间x 的一个非空闭子集，r 是d 到自身内的映像，且 在d 内满足 对任意的工，y d ，有n d 1 1 a l i 工一y ( 0 五 1 ，在d 内满足 对任意的石，y d ，有i i t 。工一t 4 y 1 1 - 旯l ij y ( 0 a 1 ) 则存在唯一的工+ d 。使t x = j ，即丁在d 内存在唯一的不动点 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 第2 章具有不同时间尺度的时滞竞争神经网络的全局鲁棒 稳定性 由于竞争神经网络在图像处理、模式识别、神经计算、控制等方面的广泛应 用，而受到关注，本章主要是研究具有不同时间尺度的时滞竞争神经网络模型 考虑具有不同时间尺度的时滞竞争神经网络( c n n d d ) s t m ：主，( r ) ：眈玉( f ) + 壹乃( - ( f 一。) ) + 置( t - a , ) ， l f f i l l t m ：西( f ) = 一吼( f ) + z ( 而( f t ) ) ， i = 1 , 2 。一，n 2 1 预备知识 在研究时滞系统 。c l x ：，( x ，) d t ( 2 1 ) ( 2 2 ) 的平衡点的存在性时，往往转化为b a n a c h 空间上算子方程 f ( x ) = 0 ( 2 3 ) 的解得存在性如果方程( 2 2 ) 还包含某些参数，那么相应的算子方程也就含有某 些参数，这是要考虑有参数的算子方程 f ( x ，= 0( 2 4 ) 厂： 置一e 2 ， ，e l ，e 2 是b a n a c h 空间往往用拓扑度理论讨论( 2 3 ) ，( 2 4 ) 的 根的存在性在r 4 空间中，对拓扑度理论的一个描述性的解释是：对于r 4 中的有 界开集q c r 4 ，f ：- f i 寸r 4 ( _ 为闭包，a q 为边界) ，如果f ( o q ) 0 ，则用整值函 数a ( f ，q ，0 ) 记函数，在q 上关于0 的拓扑度d ( f ，q ，o ) 表示方程，( x ) = 0 在q 内解的某种“计数个数”因此，如果a ( f ，q ，o ) = 1 ，则，( 工) = o 在q 内至少有一 o 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 个解因而可以利用拓扑度理论研究系统的平衡点的存在性问题。 下面我们就利用拓扑度理论证明系统( 2 1 ) 平衡点的存在性，利用李雅普诺 夫泛函方法证明该平衡点的唯一性和全局鲁棒稳定性 令一+ ( f ) = 丑( f ) ，i = 1 , 2 ，n ， w 盯= d d ，1 i ，j ； b i ，1 i n ，_ ，= n + f ； i ， n + i i 2 n ，i = 歹+ ； 0 ， 其它， f b l ，i i s ： q 5 1 l ，n + l f 2 ， 以功= ? 并黎：m f e = ， i = 1 , 2 ，： 【& “= q ，i = 1 , 2 9 f a9 n ， 所以我们可以把系统( 2 1 ) 改写为 新( f ) = 口j 五( f ) + 乏：g ，( j j ( f 一岛”， i = l ，2 ，2 ( 2 5 ) 设 f = a = d f g ( a l , a 2 , , a 2 n ) ：a 0 ； d = ( d # ) 2 。2 0 ，d “0 ；d + = ( 1 d 口d 2 。2 定义2 1 具有条件( 2 6 ) 的系统( 2 5 ) 称为鲁棒稳定的或全局鲁棒稳定的，若对 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 a = d i a g ( a l ，口2 ，a 2 ) a ，w = ( _ ) 2 x 2 e w , ，口= ( 口i ，岛，岛) 易，系统 ( 2 5 ) 都存在唯一的平衡点x = ( z - z ：，x ：，) ，且工是稳定的或全局稳定的 引理2 1 ( 周伦不变原理) 1 1 5 1 设q 为r 4 中某有界开集，日：【o 朋五专连续，令鬼( 工) = 日( f ，工) 若 p 硅h , ( a f 2 ) ，v o f s l ，则d e g ( h , ，q ，p ) 保持常数( 对于0 ，1 ) 2 2 平衡点的全局鲁棒稳定性 定理2 2 设 ( t )i ( z 0 - g i ( 岛) i s i 毛一忍i ，对任意z l ，z l r ，i = 1 , 2 ，2 ； ( 疋) c = , 4 0 一吖l 是肘一矩阵， 其中吖= ( od2 x 2 ，iw ：i = m a x 1 w 口i ，lw oi j ，f ，j = 1 ，2 ，2 ， ： a = d i a g ( a 。，如，垡：) ，则具有条件( 2 6 ) 的系统( 2 5 ) 存在唯一的平衡点，且是 全局鲁棒稳定的 证明：分两步进行证明 第一步：证明平衡点的存在性 由( 五) 知， l g j ( z ) i iz l + l g ( o ) l ，j = 1 ，2 ，2 ，v z r ( 2 7 ) 令 h ( x ，) = a x - w g ( x ) ， ( 2 8 ) 其中a a ，w 显然( 2 8 ) 的解就是( 2 5 ) 的平衡点 定义同伦映射 ( x ，砌= 枷( 工，) + ( 1 2 ) x ，旯j = 【0 1 】 ( 2 9 ) 我们可以得到 h + ( 1 一五) 工】+ + 旯( a v 吒? l ) 【工】+ 一孵【g ( o ) 】+ ，( 2 1 0 ) 其中 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 h + = ( i h ll ，i h 2l ，l h 2 i ) 7 ，【胡+ = ( j x lj ，i 工2l ，i 工2 0 7 ， g ( o ) 】+ = ( i g l ( 0 ) i ，1 9 2 ( o ) l ，l g z m ( o ) i ) 7 因为c = a o 一时l 是肼一矩阵，则c a , 一w o l ) 。1 0 ，且存在 q = ( q i ，q 2 ，q 2 ) 7 0 ，使得( a o 一睇l ) q 0 令u ( r o ) = f 工：【工】+ r = q + ( a 一町d - 1 矸0 【g ( o ) 】+ ，u ( r o ) 是非空的 对任意工a u ( r o ) ， h + ( 1 一a ) 明+ + a ( - 4 0 一下瞄己) j r 一孵【g ( o ) 】+ = ( 1 一句i x + + a ( a o w l ) q + 旯( a w l ) a c a o 一町d 。矸，o + 【g ( o ) r 一朋0 【g ( o ) 】+ 。 = ( 1 一句i x + + 旯( a o w - o + l ) q 0 ， 旯，= 【o ，l 】 所以，对工a v ( e , o ) ，五，= o ，1 】，h ( x ，扔o 由同伦不变原理知。 d ( h ，u ( r o ) ，o ) = d ( 日( 石，1 ) ，u ( ) ，o ) = d c h ( x ，o ) ，【，( r o ) ，o ) = 1 由拓扑度理论，可知系统( 2 8 ) 在c ，( r ) 内至少存在一个解，即系统( 2 5 ) 至少有一 个平衡点 1 3 - 1 6 】 第二步：证明平衡点的唯一性与全局鲁棒稳定性 令工= ( i ，工：，工三) 7 是系统( 2 5 ) 的平衡点，j ( f ) = ( ( 力，工2 ( f ) ，工：( f ) ) 7 是系统( 2 5 ) 的任意的解 把系统( 2 5 ) 改写为 d c 船一) = 刮删嚆吣小一a j ) ) - g j ( 挑 i = 1 , 2 ，2 n ( 2 1 1 ) 因为c = a o w l 是肘一矩阵，存在是 0 ，i = 1 ，2 ，2 ，使得 1 2 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 定义李雅普诺夫泛函 2 虫- z 0 1 w ；i o 1 = 1 + 芸i t f _ e j l g j ( 工，e s 一g ，c 工川妁 c z t 力 则v ( t ) 沿( 2 5 ) 的解的右上导数为 2 2 d + y ( f ) ( 1i x ，( f ) 一i i + 1 k i 1 9 1 ( 工，c t 一岛) ) 一g ；) t - - ii l 2 2 , v + ig j ( x j ( t ) ) - g ( 工：) l 一i i ig j ( x j ( t q ) ) 一g ，( 工：) i l武ld 2 2 = 一q i x ，( t ) - g i + 峋i g j ( _ ( 力) 一g j ( ) i ) j 爿 j = t w i i ( f ) 一并； 2 2 一 璺。一r j1 w ；i i 。 i x ，( f ) 一算； 堋i 屯( f ) 一工j t l 0 由( 2 1 3 ) 式知，平衡点j 是稳定的，且 所以， ( 2 1 3 ) 即) + m f 姜啪h 汹朝o ) ，f o ( 2 1 4 ) 辔秒i 协 o o ，釉沪i i 0 ，使得 i x a t ) 一# i m + ，i = l ，2 ，2 ，f 【o ，佃) ( 2 1 5 ) 由( 2 1 1 ) 与( 2 1 5 ) 知 x一 )p x ( 州h 1 1 ) 矿 0 w m 一4 ( h 一 0 ，m f 0 堕堂望塑塑丝堕些塑全曼塑丝堡垄坌堑 使得驴器i 掣似，舞d i d o i 掣z t i 一i 目 磊一忍 k 一 一勿 令l = d i a g ( l l ，乞，t ) 0 ，m = d i a g ( m l ，m 2 ，m 。) 0 定义f 列矩阵集合： i d i = d = d i a g ( d i ) 。：os d d ，f 卫，当d i d j t i = 1 ，2 ，疗) a t = ( a = ( 口“) ：丛a a ，f 七，a “a 盯口盯，i ，= 1 , 2 ，n ( 3 2 ) l b t = ( b = ( ) 。：墨b b ，i e ，垒玎厶驴，i ，= 1 , 2 ，一，以 定义3 1 ：系统( 3 1 ) 是全局指数稳定的，如果对任意d d ，a 4 ，b 口，和， 系统( 3 1 ) 都存在平衡点工，且存在常数a 0 ，坪 o 使得 i i 工( f ) 一工i i 呦， 则日( 工) 是r 4 上的j 司胚映射 定理3 2 系统( 3 1 ) 满足条件( ) ，且口= d o 一( a o l + b o m v ) 是膨一矩阵，则对 任意d e d ，a a ，口b ，和，系统( 3 1 ) 都存在唯一的平衡点工+ ，其中 d 。= d i a g ( d ，堕：，生。) ，a 。= ( 口：) 。，n 口o = l m “a ，。x i a 一# i ，i i 口i l ，b 。= ( 6 ：) ， 6 ：2 。m 。a 。x i b * ，i ，i 证明：对任意d d ，a a ，b b ，令= d 一( i a i l + i b i m y ) 由于 口= d o 一( a o l + b o m v ) 是m 一矩阵，存在毒 0 ( 扛1 ，2 ，n ) ，使得 吨磊+ 乞( ，o + 啦m ，v ，) o “= l ，2 ，1 ) = i 时滞递归神经网络的全局渐近行为分析 所以有 一吐磊+ 每( l a t + t b ，i m j v ) o ( k 1 ，2 ，n ) ( 3 3 ) 由膨一矩阵的等价条件知，口为膨一矩阵 令 h ( x ) = 一d x + 妒( 曲+ b g ( v x ) + ， ( 3 4 ) 显然，h ( x ) = 0 的解是系统( 3 i ) 的平衡点如果能证明h ( x ) 是r 4 上的同胚映射， 则日( 功= 0 存在唯一的解，即系统( 3 i ) 存在唯一的平衡点 下面分两步证明n ( x ) 是r 8 上的同胚映射 第一步：证明n ( x ) 是单射 采用反证法，设工，y r 4 ，工y ，日( 曲= h ( y ) 由( 3 3 )- d ( x 一) ，) + a ( ，( 砂- f ( y ) + b ( g ( 一g ( 盼) = 0( 3 5 ) 由条件( 五) ，存在k = d i a g ( k i ，”，k 。) ( - l k l ) 和q = d i a g ( q l , q 。) ( 一膨q m ) ，使得，( 曲一，( y ) = k c x - y ) ，g w x ) - g ( v y ) = q v ( x - y ) ，代入 ( 3 5 ) 得 一d ( j y ) + ( a 置+ b q v ) ( x y ) = 0 ( 3 6 ) 往证d e t ( 一d + ( a 置+ b q v ) ) 0 考虑： z = ( 一d + ( a 置+ b q v ) ) z 因为一l k l ，一m q m ，由( 3 3 ) 得 一吐毒+ 白( i k i + l b j i q ，v 沙 ( j i 工斗呦 由条件( 弓) ，i z ( 功一五( o ) i 厶i 工l ，i ( 啪一g i ( o ) i 0 ，使 得 丢( p + p 矿) 占e o ( 充分小的s o ) ( 3 9 ) 又【 】7 矾功= a 九一d x + a ( f ( x ) 一厂( o ) ) 十b ( g ( 垤) 一占( o ) ) 】 = 一x r p d x + x 7 p a ( f ( x ) 一f ( 0 ) ) + x t p b ( g ( v x ) 一占( 0 ) 一i j i rp d i x l + i x l 7p i a l l ，( d 一，( 0 i + i 工i fp i b l l g ( v x ) 一g ( o ) 一i x i rp d i x i + i x rp l a i l i 工l + i x rp i b i m v i 工 d x l 7 【p ( 一d + i a i l + i b i m v ) 】i 工 一1 2l x l r ( t i p + p f l r ) i 工l 由( 3 9 ) 式， p x 】7 h - c x ) 一s i i 工1 1 2 由s c h w a r t z 不等式得： 占忆h 2 剑p i ii i 工i ii i 矾工) i i 即掣, d 1 h - ( x ) i i p 1 8 ( 3 1 0 ) 时滞递归冲经网络的全局渐近行为分析 所以i ( 工卜。o ( 工i i - - - o o ) ，即1 1 日( 工) i i - - c o ( i i x i i - - + 呦由引理3 i 知，h 是r 8 上 的同胚映射，日存在唯一的解，即系统( 3 1 ) 存在唯一的平衡点工 3 3 平衡点的全局指数稳定性 定理3 3 系统( 3 1 ) 满足条件( e ) ，g a = d o - ( a o l + b o m v ) 是m 一矩阵，则对 任意d d ，a a ，b b i 和j ，系统( 3 1 ) 都存在唯一的平衡点工，且是全局指 数稳定的，其中d 。= d i a g ( d - ，芝2 ，生) ，a 。= ( a 。o ) 。，口：= 。m a 。x i a i ，1 4 fl ， 口。( 日) 。“，嵋= 。m 。，a ，。x i b i y j i b , li 证明：设工。是系统( 3 1 ) 的唯一的平衡点，工( f ) 是异于工的任意解令 y ( 0 = x ( f ) 一工，则系统( 3 1 ) 转化为： 掣刊幽( f ) + 缸巩+ 妻_ b c g 疋小州劝， i = 1 , 2 ，一( 3 1 1 ) 其中i j ( y j (