（应用数学专业论文）批量到达和服务率可变的可修排队模型.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究了具有可变服务率的可修批量到达排队系统，针对不 同的服务率变化规则，讨论了几种不同的模型。批量到达的m 。i g l l 排队模型已经得到了许多学者研究，获得了不少成果。另外服务率 可变的排队模型也得到过一些讨论，然而有关将批量到达，服务率 可变以及可修相结合的m 。i g l l 排队模型尚未得到关注。针对上述情 况本文首次研究了批量到达，服务率可变以及可修相结合的排队模 型。本文首先讨论了一个具有两种不同服务的可修 m 。( g 。+ g ：x m m ) 1 1 排队模型；其次本文研究了一种服务速度依门限 n 变化的可修m 。i g i m ) 1 1 排队模型；再次对具有优先权和第二次 可选择服务的可修排队模型进行了一些讨论；最后在具有两种不同 服务的可修m 。( g ，+ g ：x m i m ) 1 1 排对模型的基础上，考虑服务员可以 休假的情形，研究了具有两种不同服务和多重延误休假的可修 m 。( g ，+ g ：) i ( m m ) 1 1 排队模型。通过补充变量法得到了各模型的瞬 态队长母函数、稳态队长母函数以及一些可靠性指标。 关键词：批量到达队长母函数可靠性补充变量法 江苏大学硕士学位论文 a b a s r a c t t h ep a p e rr e s e a r c h e st h er e p a i r a b l eb a t c ha r r i v a lq u e u e i n gs y s t e mw i mv a r i a b l e s e r v i c er a t e ，w es t u d ys e v e r a lk i n do fd i f f e r e n tm o d e l sa c c o r d i n gt ot h ev a r i a n to f d i f f e r e n ts e r v i c e t h em 3i g l l q u e u e i n g s y s t e m h a sb e e ns t u d i e db ym a n y r e s e a r c h e r sa n dm a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d o nt h eo t h e rh a n dt h eq u e u e i n g s y s t e mw i mv a r i a b l es e r v i c er a t eh a sa l s ob e e ns t u d i e db ys o m er e s e a r c h e lb u tt h e q u e u e i n gs y s t e mc o m b i n i n gb a t c ha r r i v a l ，v a r i a b l es e r v i c er a t ea n dt h er e p a i r a b l e m o d e lh a sn o tb e e ns t u d i e d u n d e rt h i sc i r e u r n s t a n c e ，w es t u d yt h er e p a i r a b l eb a t c h a r r i v a lq u e u e i n gs y s t e m s 谢mv a r i a b l es e r v i c er a t e f i r s t l y ，w es t u d yar e p a i r a b l e m 。( s l + g 2x m m ) 1q u e u e i n gs y s t e mw i t ht w op h a s eh e t e r o g e n e o u ss e r v i c e ； s e c o n d l y , w es t u d yt h er e p a i r a b l e m 。g m m ) 1q u e u e i n gs y s t e mw i t hv a r i a b l e s e r v i c es p e e du n d e ra nn - p o l i c y ；t h i r d l y , w es t u d yar e p a i r a b l eb a t c ha r r i v a lq u e u e i n g s y s t e mw i t l lp r i o r i t yc u s t o ma n dt h es e c o n do p t i o n a ls e r v i c e ；a tl a s tw es t u d ya r e p a i r a b l em 3 ( g 1 + g 2 ) i ( m i m ) 1 q u e u e i n gs y s t e m 稍m t w o p h a s e h e t c r o g e n e o u ss e r v i c ea n dm u l t i p l ed e l a yv a c a t i o n so nt h eb a s i so ft h er e p a i r a b l e m 。( g l + g 2 x m m ) iq u e u e i n gs y s t e m b yt h e m e t h o do fs u p p l e m e n t a r y v a r i a b l ew ed e r i v et h eq u e u e l e n g t ha n ds o m er e l i a b i l i t yi n d e x e so f t h e s em o d e l s k e yw o r d s ：b a t c ha r r i v a l ；q u e u e l e n g t h ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；r e l i a b i l i t y ； t h em e t h o do f s u p p l e m e n t a r yv a r i a b l e i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密田。 学位论文作者签名：张山争 交。驴5 年争月多日 指导教师签名： 婀髟 a 口口岁年驴月今日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：弓长峰 日期： a d 口芦年午月多日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1批量到达排队模型的研究现状 排队论是运筹学的重要组成部分，它源于2 0 世纪初丹麦数学家、电气工程 师爱尔朗关于电话问题的研究。近几十年来排队论得到了迅速的发展，它不仅建 立了较完备的理论体系而且已被广泛地应用到通信系统、交通系统、生产管理和 计算机等领域。 随着现实问题的复杂多变，特别是近年来通信技术和电子计算机技术的发展 使得描述排队现象的排队模型也越来越复杂，引入的规则也越来越多。在各种各 样的排队模型中，批量至0 达排队模型由于具有较强的适用性而得到了广泛的研 究。例如；在生产系统中原材料往往是批量到达；通信系统中，信元的传输也往 往是成批的。总之，在实际生活中我们经常会遇到批量到达的排队现象。 在批量到达的排队模型中研究的较多的是m 。g 1 排队模型。首先在2 0 世 纪6 0 年代的早期的著作中s u z u k ，t i 【2 0 、t a k a c s 3 8 等人针对基本形式的 m 7 g 1 排队模型作了一些研究，获得了一些排队指标。之后，1 9 7 5 年 b u r k e ，e j 2 】研究了有延迟的m 。g 1 排队模型，1 9 7 9 年c h a u d h r y 2 1 研究了 m 。( 7 1 排队系统及其分支情况，对经典的m 。g 1 排队模型进行了一些扩展， 获得了更多的排队指标。同时c h a u d h r y 指出了补充变量法的优点，并且用它来 研究m 。g 1 排队模型，从此补充变量法成为研究m 。g 1 排队模型的重要工 具。此后各种规则逐渐被引入到m 。g 1 排队系统中。例如：b a b a ，y 【1 在1 9 8 6 年研究了具有休假时间的m 。g 1 排队模型，1 9 8 7 年b a b a ，y 【2 3 】又讨论了后到 先服务规则下，带休假与不带休假的m 。g 1 排队模型。2 0 世纪9 0 年代以来各 种休假策略和n 策略也被引入到m 。g 1 排队模型中。例如：1 9 9 3 年 r o s e n b e r g ，e ，y e c h i a l i 8 】研究了后到先服务规则下单重休假与多重休假的 m 。g 1 排队模型。1 9 9 4 年和1 9 9 5 年l e e ，h wl e e s s ，c h a e ，k c 4 】，【5 】等人对 江苏大学硕士学位论文 n 策略单重休假及多重休假的m 。i g i i 排队模型进行了深入的研究得到了比较 丰富的排队指标和随机分解等结果。到2 1 世纪初c h o u d h u r y , g 9 1 0 【1 1 1 2 】 讨论了启动时间和休假时间相结合的m 。i g 1 排队模型也获得了很多成果。更 复杂的情形则是把以上多种规则相互结合起来。 1 2 服务率可变的排队模型的研究进展 由于在实际生活中顾客需要的服务是多种多样的，因此有时服务台的服务率 要针对实际情况而发生变化，于是服务率可变的排队系统也得到了一些研究。一 种较常见的情况是服务率依赖于当前系统中的顾客数。例如：在实际中为了节省 费用，很多服务台的服务强度会因系统中的顾客数的多少而发生变化。因为当顾 客较少时用低强度工作能减少机器损耗、能源消耗以及其它人力资源的支出；而 当顾客较多时，为了减少顾客等待费用，必须加大工作强度尽快把顾客服务完。 例如可以通过对系统设置两个门限k 和n ，其中k 小于n ，且k 和n 都是正整 数。当系统中的顾客数增加到n 时，服务台的服务率由较低的“转变为较高的 ：，而到系统的队长降到k 以下时，服务率又由较高的：转到较低的。例如： 1 9 9 2 年g r a y , w p w a n g 和m ，s o t t 1 6 研究了服务率依赖于队长的m g 1 排队模 型。关于服务率可变的控制策略也被很多作者所研究。如1 9 6 7 年g e b h a r d 1 7 ， 1 9 7 7 年g r a b i l l ，g r o s s 和m a g a z i n e 1 8 以及1 9 8 4 年l u ，s e r f o z o 2 4 ，1 9 8 6 年 t e g h e r m 2 5 ，19 9 3 年w a n g ，p p - 【2 6 】等等。 还有一种较为多见的情况是一个服务台可以为顾客提供两种服务，第一种服 务是必要的，第二种服务是可选择的。例如：m a d a n 1 5 研究了具有第二次可选 择服务的m g 1 排队模型。关于服务率可变化的排队模型的文章还有很多例如： 1 9 9 9 年b a b a , y 2 7 研究了每个忙期的前n 个顾客接受不同服务的m g 1 排队系 统。同时b a b a 指出这类模型可以广泛的应用于通信系统和生产系统。1 9 9 7 年 n o b u k o i g a k i ，u s h i o s u m i t a 2 8 1 等研究了服务率可减弱或加强的m t g 1 排队模 型等等。 江苏大学硕士学位论文 1 3 研究内容和研究背景 前面分别介绍了批量到达和服务率可变的排队系统的研究现状。有关将批量 到达和服务率可变相结合的排队系统也有些，例如：n o b e i , r d t 萄m s ，h c 2 9 】 研究了具有两种服务模式的m 。i g i i 排队系统。f u h - h w a l i u ；j u n g - w e i t s e n g 3 0 】 讨论了有门限k 和n 的m 。m 1 排队模型。然而有关将批量至达，服务率可变 以及可修相结合的排队系统尚未得到讨论。这类系统对于研究通信系统有着积极 的现实意义。例如：在通信系统中信元往往成批地到达，而对信元的服务要根据 复杂的现实情况作不同的处理，这样便对服务台提出了更高的要求，需要根据具 体的情况来改变服务率。例如：在高性能通信系统中，有时系统要对信元进行确 认、分类然后再进一步的传输处理。再如用电话卡打电话时，系统要先确认用户 的帐号和密码然后再接通电话等等，这样就要求服务台连续地为顾客提供两种或 两种以上不同的服务。又如为了节省损耗更方便地利用资源，可以对系统设置一 个适当的门限n ，当系统中的顾客数小于n 时，服务台以较低的服务速度对顾 客进行服务：当系统中的顾客数大于n 时，服务台以较高的服务速度对顾客进 行服务等等。由于在服务过程中服务台难免会出现故障，需要对其进行维修以及 平时需要对服务设施进行保养、维护等等。这样就需要将可修和休假也引入到此 类系统。本文正是在这种背景下研究了批量到达，服务率可变以及可修相结合的 排队系统。 本文分六章，第一章为绪论，简要地介绍批量到达和服务率可变的排队模型 的研究现状。第二章为研究排队模型的主要方法，列出了几种常见的解决排队模 型的方法。第三章为具有两种不同服务的可修m 。( g 。+ g 2 ) 似m ) l 排队系统， 第四章为服务速度依门限n 变化的可修m 。i g ( m i m ) 1 排队系统，第五章为具 有优先权和第二次可选择服务的可修m ，m ：2 g ( m i m ) 1 排队系统，第六 章为具有两种不同服务和多重延误休假的可修m 。，( g 。+ g 2 ) i ( m m ) i 排队系 统。通过补充变量法得到了各模型的瞬态队长母函数、稳态队长母函数以及一些 可靠性指标。 江苏大学硕士学位论文 第二章研究排队模型的主要方法 排队论是运筹学的重要分支，也是应用概率论的重要组成部分。它的基础是 概率论和随机过程。排队论已经发展了近一个世纪形成了一系列较成熟的研究方 法，取得了丰富的成果。下面简单介绍几种常用的研究排队模型的方法。 2 1 嵌入马尔可夫链法 当一个排队系统的队长过程 f o 为非马氏过程对，为了能用成熟的马 氏过程知识来分析问题，可以在此过程中嵌入一个离散时间的的马氏链，然后建 立该离散马氏链的极限结果与该过程的极限结果的关系从而达到分析排队问题 的目的。 定义设随机过程 x o l f t 的状态空间s 为r 中的可列集，如果对t 中 任意n 个f 1 f ： 为连续 参数马尔可夫链。 在波松到达与服务肘间为负指数分布的排队系统中，在任何时刻系统都具有 马尔可夫性质。因而可用马尔可夫链的方法化成可求解的平衡方程组，得到系统 的平稳解。然而对于服务时间或到达间隔时间为一般分布的排队系统，并不是在 任何时刻系统都具有马尔可夫性质，只是在某些特殊的随机时刻系统才具有马尔 可夫性质。这种随机时刻叫再生点，即从这个时刻起，系统好像又重新开始样。 利用再生点，服务时间或到达间隔时间为一般分布排队系统可以嵌入一个离散时 间马尔可夫链，用马尔可夫链的方法来分析和解决问题。现在以经典的m g 1 排 队系统为例，说明用嵌入马尔可夫链的方法来解决排队问题的主要思路。 江苏大学硕士学位论文 第二章研究排队模型的主要方法 排队论是运筹学的重要分支，也是应用概率论的重要组成部分。它的基础是 概率论和随机过程。排队论已经发展了近一个世纪形成了一系列较成熟的研究方 法，取得了丰富的成果。下面简单介绍几种常用的研究排队模型的方法。 2 1 嵌入马尔可夫链法 当一个排队系统的队长过程 o l ，o 为非马氏过程时，为了能用成熟的马 氏过程知识来分析问题，可以在此过程中嵌入一个离散时间的的马氏链，然后建 立该离散马氏链的极限结果与该过程的极限结果的关系从而达到分析排队问题 的目的。 定义设随机过程 * “i f e t 的状态空间s 为r 中的可列集，如果对t 中 任意n 个f ， f ： o 的状 态，i k j ，女= 1 。2 ，n 一1 ，与状态5 均有 p ( x o 。) = f 。i 卫0 。) = l 。，x ( t 。一：) = 。一：，z 也) = 1 1 ) = p ( x o 。) = i ，l x 0 ，) = f 。) ， 则称 0 i ，t 为马尔可夫链，简称马氏链。如果t 还是可列离散集，则称 z o x f t ) 为离散马尔可夫链，如果t 是连续参数集，则称 工fe t 为连续 参数马尔可夫链。 在波松到达与服务时间为负指数分布的排队系统中，在任何时刻系统都具有 马尔可夫性质，因而可用马尔可夫链的方法化成可求解的平衡方程组，得到系统 的平稳解。然而对于服务时间或到达间隔时间为一般分布的排队系统，并不是在 任何时刻系统都具有马尔可夫性质，只是在某些特殊的随机时刻系统才具有马尔 可夫性质。这种随机时刻叫再生点，即从这个时刻起，系统好像又重新开始一样。 利用再生点，服务时间或到达间隔时间为一般分布排队系统可以嵌入一个离散时 间马尔可夫链，用马尔可夫链的方法来分析和解决问题。现在以经典的m g i 排 队系统为例，说明用嵌入马尔可夫链的方法来解抉排队问题的主要思路。 队系统为例，说明用嵌入马尔可夫链的方法来解决排队问题的主要思路。 江苏大学硕士学位论文 在经典的肘g 1 排队模型中，令虬为第r 1 个顾客被服务完毕离开系统时的 瞬间看到留在自己身后的顾客数。k 为第月个顾客接受服务员服务的服务时间。 a 。是k 中所到达的顾客数。 则 = p 瓷1 。描 可以证明a 。- qn 1 ，：，n 。相互独立 因此n 。为马尔可夫链 与= p ( 虬。= ，i 虬= i ) 当f _ 0 时，晶，= p ( m 。= ，l o = o ) 2 尸( 以。= ，) 当i 1 时，弓= p ( 虬。= j l n 。= j ) = 户( 爿。= ，一i + 1 ) 令，= p 0 。= ，) 这样可以得到一步转移概率矩阵为 可以证明此马尔可夫链是不可约，非周期，正常返的，进而可以求得系统的平稳 分布。 2 2 补充变量法 补充变量法是研究排队模型的一种常用方法。许多排队系统的队长过程 ( f ) r o 不是马氏过程，但是可以通过引入补充变量使得这个非马氏过程马氏 化。e r l a n g 的阶段化思想可以看成是补充变量法产生的初始背景。c o x 完整地提 出了补充变量的技巧。下面我们以m 。g 1 排队模型为例来说明用补充变量法 解决排队问题的主要思路。 考虑一个经典的m 。g 1 排队模型，顾客成批到达，每批到达的顾客数是 5 也也k h 屯也缸向h 0 0 o 江苏大学硕士学位论文 随机变量x 。批到达流是参数为五的波松流，服务时间为一般分布： g g o ) = f g o 弦= t e 印( 一r g 皿) ，e ( g 卜1 “ 系统中只有一个服务台； p ( x = 扣qc 0 ) = q z 。 设o ) 表示，时刻系统中的顾客数显然o ) 不是马尔可夫过程。设z o ) = 工 为，时刻正在接受服务的顾客已经用去的服务时间，则引入补充变量x ( ，) 后 ( ，l x ( r ) ) 是一个二维马尔可夫过程。 令p o ( o = p ( o ) = 0 ) 只( f ，x ) 出= p ( ? v ( f ) = n ，x 一 阼 0巴 肪 。 = 00 、 0 +五 0 + = d 一出 凸r二1d卜曦。 江苏大学硕士学位论文 只( o ) = 血。r + f 乒g 蛾+ ，g ) 出 异+ 妻f 只g 皿= 1 n = l 然后可以对上述方程求解，从而得到一些排队指标。 2 3 拟生灭过程和矩阵分析法 矩阵解析方法是由美国随机模型( s t o c h a s t i cm o d e l ) 杂志主编m n e u t s 首次 提出，并且在他1 9 8 1 年和1 9 8 9 年出版的两本专著中作详细阐述。该方法主要从 计算概率的角度解决随机模型研究中的数值计算问题，其突出特点在于用该方法 得出的结果均以矩阵形式给出，便于在计算机上进行计算。而传统的嵌入马尔可 夫链方法所得结果均以l a p l a c e 变换或母函数的形式给出。因此矩阵解析方法是 研究随机模型的一种有效的和重要的方法。 定义 考虑一个二维马尔可夫过程( x ( 4 j ( t ) ) ，状态空间是 q = 他，办七0 , i j 肌i 称 z 似，o ) ) 是一个拟生灭过程，如果其生成元可以 写成下列分块三对角形式。 q = 山c 。 且 一 c b4c 占爿c 其中所有子块都是m 阶方阵，满足 以。+ c o k = p ，+ 4 + c x = 陋+ a + c k = 0 凡和a 有负的对角线元素和非负的非对角线元素，其余子块均是非负阵， e 是元素全为1 的列向量。 称状态集( k ，1 ) ，( k ，2 ) ，( k ，m ) 为水平k 。若过程是正常返的，以似，j ) 表示过程 z ，o ) 的极限变量，并记万目= l i m e x ( o = 七，( r ) = 办= p 忸= i ，= ，) 江苏大学硕士学位论文 其中k 20 , 1 l ，m 。为适应q 的分块形式，将稳态概率按水平写成分段形式 f i 一仿 万女2 ，z h ) ，七0 拟生灭过程是经典生灭过程从一维状态空间到多维状态空间的推广，正如生灭 过程的生成元具有三对角形式一样，拟生灭过程的生成元是分块三对角阵。从2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代田乃硕等把n e l l t s 的矩阵几何解方法引入到休假排队模型中， 促进了多服务台休假排队系统的研究，并且初步建立起多服务台休假中以条件随机 分解为核心的理论框架，为经典排队论的发展和应用开辟了更为广阔的前景。 江苏大学硕士学位论文 第三章具有两种不同服务的可修 m x ( a 。+ g ：x m ，m ) ，1 排队系统 本章在批量到达排队系统的基础上，考虑一个具有两种不同服务的可修 m 。g ( m m ) i 排队系统。在此系统中，顾客成批到达，每个顾客必须接受同一个 服务台提供的两种不同服务，第一种服务完成紧接着进行第二种服务，通过补充 变量法得到了各状态的瞬态解、稳态解及一些可靠性指标。在实际的生产生活中 我们可以经常碰到同一个服务台提供两种不同服务的情况例如测量身高体重的 仪器一般先测量一个人的体重紧接着又测量身高；又如用电话卡打电话时系统要 先确认用户号密码，然后再接通电话等等。 3 1 模型和方程组 3 1 1 模型描述 假定在此系统中顾客成批到达，批到达流是参数为五的泊松流，每批到达的 顾客数是随机变量x 而且p ( = f ) = c 。，e 口) ( o o ：系统中只有一个服务台，服 务台为顾客连续提供两种不同的服务。两种服务的服务时间g 。和g ：均为一般连 续型随机变量 g ，g 。o ) = f g 。m = 一e x 井“g k g ：g ：( f ) = f g ：m = 一井 c ：( y 且e ( g ，) ：上，e ( g 2 ) ：上均为有限； 一lp 2 服务规则是先到先服务，假定服务台提供第i ( f = l ，2 ) 种服务时，服务台的寿 命及修复时间分别服从参数为，屈的负指数分布s o ) = 1 一e - ”，h ，o ) = 1 一e - 却 其中口。p ，有限：另外假定闲期服务台不会损坏；系统中只有一个修理工，对失 效的服务台立即修理，且修复后服务台和新的一样。若在服务过程中服务台失效 则正在接受服务的顾客暂停接受服务，等待服务台修好后继续接受服务且己服务 过的时间仍然有效。另外假定以上随机变量均相互独立。 江苏大学硕士学位论文 令| v o ) 表示时刻f 系统中的顾客数，j o ) = 0 , 1 分别表示f 时刻服务台故障与 正常，( ，) = 1 , 2 分别表示服务台正在提供第一种，第二种服务。由于服务时间为非 指数的随机变量所以 ，似j ( f ) ) 显然不是马氏过程，为此引进补充变量 工o ) = 石，】，( f ) = y 分别表示，时刻正在接受第一，第二种服务的顾客已经用去的服 务时间。这样， x 】， ，( f ) ，j o ) ) 就是一个向量马尔可夫过程。由此可建 立状态转移图和微积分方程组。 定义p j o ，x ) 出= 尸f o ) = 力，o ) = 1 ，o ) = l ，x z ( f ) x + d x h = 1 , 2 ， n ：( f ，y x 砂= p o ) = 啊，o ) = 2 ，o ) = l ，y 0 ，旧 i g ：b 。+ 2 + s - a c g ) 一口，崩玎g ，z 岵：b ：+ a + s - a c ( z ) 一a ：卢：g ，z ) 】 所以z 与( 3 2 6 ) 式的分母有相同的零点个数，故( 3 2 6 ) 式的分母有唯一的零点， 设其为d 0 ) ，又因为b + s ，0 ，z ) 在l z i 1 内解析所以d 0 ) 也为( 3 2 6 ) 分子的零点 故p 2 可磊j 1 己网 陋7 ) 由式( 3 2 1 ) - ( 3 2 7 ) 就可以完全确定方程组的解。 3 3 队长分布 定理1系统的瞬时队长的双变换( 工一变换z 一变换) 为 邶脚“+ 沁，：炻：掣等斜 + 1 e z 2 l 如= 炻：m 警等掣拍) 唧) 证明由于 j d + o ，z ) = p o ，0 ) + n 0 ，础陋+ 瓦g z 妞+ 忙0 ，y ，z 陋+ 心g ，y , z ) d y ：p ：。g ) + 0 + ，：o ，z ) k g ，o ，。m x p ( _ ，i x ) 酉g ) 出 + 6 + 口：e g ，z ) k g ，o ，z 承x p ( - 屹y ) 瓦。协 将b 0 ，0 ，z ) 和e 0 ，0 ，z ) 代入整理可得 尸o ，z ) = p 盏。) + i + 口一o ，z 归：“) - 三区二譬兰芸群 + 1 + o t 2 1 溉蜗m 拦篡掣拍) 江苏大学硕士学位论文 定理2 系统的稳态队长的母函数为 p ( z ) = + 睦枣察掣型f o l t o b l j 、 z g 沌域( ，2 ) 舯删一掣( ，+ 舟 证明假设p 。 记p o l = l i m p 。o ) = l i n l 印未0 ) 则 p g ) = l i m po ，z ) = l i r n 妒g ，z ) 以，1 1 + 豳声后鼽g 阱五) p g ) = p 。一+ 上兰1 ；兰；戋；三笋p 。 。l 嘲户：e 虹c 阱憾) + i 蕊磊甄厂一风 又由户( 1 ) = 1 所以上式令z _ 1 取极限，再由罗必塔法则可得 l旧) 掣 1 。风1 + 盈a l 褥翩a 2 l反 k玩， 所以一一掣旧s 1 ) _ 掣( + 剖 l l2l2 lj 1 4 童| 穰 垒艮v 飞警 下南 一垒岛h r翌掣劫一韵卜一h r羽 江苏大学硕士学位论文 3 4 可靠性指标 定理3 系统的瞬时可用度的三一变换为 证明 “托。、 ( 1 ，蛳：卜s 一筹j a g 2p矗o+j：ie：j：ii；i褊+ 卜g 扣一一羔蚓s 一器l o 赢舯：卜卜筹比一一盟t 疗i + s h 十一一筹比：一筹 由于爿g ) = n g ，x ，1 ) 出+ p 譬0 ，y ，l 协+ p o 。g ) ( 3 4 1 ) 叫赋( s 一筹 + 巩叫弦如筹 将暑0 ，0 ，1 ) 和只g ，0 ，1 ) 代入整理可得 4 + 0 ) = p ：o ) + ( 1 一甲： o ) 弦儿，+ 。一一c f 2 卢2 o ) 卧z 一面j h 昏一一笄 小一翱 定理4 系统的稳态可用度为 证明 捌一掣( 韵二划x 2 t p ： -l 届jj 由a o ) = l i m s a + 0 ) = j 呻o p 0 1 口l 。 丫11 、 愤+ 刊 + 小薏 1 5 + p 0 1 上 ( 3 4 2 ) 璺荆 l r 一 型琳 i 万竺小 哦一卜 一 一 + o|、 丁一麒 江苏大学硕士学位论文 将p 0 1 代入可得 删一掣( 署 一掣( 割 卢。 l 届 ： l ：j 定理5 第一种服务时的瞬时故障频度的上一变换为 埘：o ) = 口。f 墨o ，z ，1 ) 出 锄未一 础1 可i 孬葡 b 4 3 盱搞：掣 q 2 孑赢2 半 b 4 4 州；g ) = 口：f 只o ，y ，1 ) 咖 尘兰塑土：二筹比一一筹 心： 卜筹m ：孺 ( 3 4 _ 5 ) 叩盏：掣 q 2 不满2 斧 b 4 6 1 6 江苏大学硕士学位论文 第四章服务速度依门限n 变化的可修 m x g ( m m ) 1 排队系统 本章在服务速度可变的m g ( m i m ) 1 1 可修排队系统的基础上，考虑批量到达 的情况，服务台县有两种服务速度。当系统中到达的第一批顾客数大于事先设定 的正整数n 时，服务台以较高的服务速度2 服务顾客直到系统变空。当系统中到 达的第一批顾客数小于或等于n 时，服务台以较低的服务速度1 服务顾客，如果服 务台以较低的服务速度l 服务顾客时再有顾客到达并且使得系统中的顾客数大 于n 则从下一个顾客开始服务台以较高的服务速度2 服务顾客直到系统变空。 通过补充变量法，频度转移法得到了各状态的瞬态解，稳态解及一些可靠性指标。 在现实中为了节省费用，很多情况下服务台的服务强度会因为系统中的颓客数的 多少而发生变化。因为当顾客较少时，用低强度工作更能减少机器损耗，能源消 耗以及其他人力的支出等等。而当顾客较少时，为了减少顾客的等待费用等等原 因，需要加大工作强度尽快把顾客服务完。 4 1 模型和方程组 4 1 1 模型描述 假定在此系统中顾客成批到达，批到达流是参数为五的泊松流，每批到达的 顾客数是随机变量x 而且p 伍= f ) = q ，e 伍) ；系统中只有一个服务台，服 务台具有两种服务速度。如果服务台由闲期转入忙期开始到达的第一批顾客数小 于或等于事先设定的门限n 时，服务台以较低的服务速度1 服务顾客，如果服务台 以较低的服务速度1 为顾客进行服务的同时，再有顾客到达并且使得系统中的顾 客数大于n 则从下一个顾客开始服务台以较高的服务速度2 服务顾客直到系统 变空。如果服务台由闲期转入忙期开始到达的第一批顾客数大n ，则服务台以较 高的服务速度2 为顾客服务直到系统变空；服务规则是先到先服务，服务台的较 低和较高的服务速度g 。和g 2 分别服从一般分布g g ) 和g ：) ，密度函数分别为 自和衰率函数分别籼 ) _ 渊叫z 2 尚。 其中瓦0 ) = 1 一g i g ) ，瓦) = 1 一g ：( y ) ，且e ( g 。) = 上，e ( g ：) ：土均为有限； 江苏大学硕士学位论文 以过程1 表示闲期和以服务速度l 服务顾客的这段时间，以过程2 表示以服务速度 2 对顾客服务的这段时间；设在第f 种过程中服务台的寿命及修复时间分别服从 负指数分布s ，o ) = 1 一e 一”，h ，( f ) = l e 一i = 1 , 2 其中口。，有限；假定在闲期服务台不会损坏，并且上述过程均相互独立。 令0 ) 表示时刻，系统中的顾客数，( f ) = o ，1 分别表示f 时刻服务台故障与 正常，l ，( f ) = 1 , 2 分别表示时刻t 系统分别处于过程l 和过程2 。由于服务时间为非 指数的随机变量所以 ( f l o ) ，o ) 显然不是马氏过程，为此引进补充变量 x o ) = 墨y o ) = y 分别表示t 时刻正在以较高和较低服务速度接受服务的顾客已 经用去的服务时间。这样， z y ， ，( ，) 就是一个向量马尔可夫过程。 由此可建立状态转移图和微积分方程组。 定义见。( ，x x 缸= p ( f ) = 刀，( r ) = 1 ，( f ) = 1 ，x x ( o - x + d x ) 刀= 1 , 2 ，- - p 。：o ，_ y x 耖= p o ) = 以，o ) = 2 ，o ) = l ，y 0 ，h i g ；b ：+ a + s 一知0 ) 一卢：z ：o ，z ) 】 所以z 与( 4 2 7 ) 式分母有相同的零点个数，即式( 4 2 7 ) 分母有唯一的零点，记为j g ) 。 又由于巧g ，0 ，z ) 在h s l 内解析所以i 0 ) 也为式( 4 2 7 ) 分子的零点所以 舶) = 硐阿孑面丽瑙碧磊两丽丽 m 8 ) 其中g 汜 o ) ) 】为把薪“) 中的：换为七g ) 所得的式子 这样由( 4 2 4 ) - ( 4 2 8 ) 就完全确定了方程组的解 4 3 队长分布 定理1系统的瞬时队长的双变换( 工一变换，z 一变换) 为 尸g ，z ) = p ；，0 ) + i + 口。，? g ，z ) 屠“抛0 ，z b ：。0 ) + 0 + 口：，z ) 瓦以) 只g 舭0 )1 ) 其中u ( s ，= ) ，p o 。0 ) ，只0 ，0 ，：) 由式( 4 2 4 ) ( 4 2 7 l ( 4 2 8 ) 给出 证明由于 p 0 ，z ) = p 二g ) + 仁g z k + n ：0 ，挪扭+ 体0 拂= k + 似0 ，y ，z 协 ：p ：。g ) + l + ，沁，：) k s ，o ，：行。x p ( _ x ) 百g 皿 + 【l + 口：e g ，：) l 啄g ，o ，。f k p ( - ，2 _ y ) 瓦( y ) 方 江苏大学硕士学位论文 将e b ，0 ，z ) 和巧扛，0 ，z ) 代入整理可得 p o ，z ) ：p ：。o ) + i + 口。，? o ，z ) 】爵“m g ，z 扫：。o ) + 0 + 口：e g ，= 厩“培0 舭0 ) 定理2 系统的稳态队长的z 一变换为 p o ) 2 凡+ 【- + 万五等羽j 虿g k o ) p o t + 【+ 万南】虿( _ k ( o ，z b 。 l 五+ 2 一幻( z ) j 。、7 “ 只( 0 ，z ) =蚴半措捌 z 一譬，l ，j 圳卜 圳+ 掣骢。， 巩归罢盛 2l 1，、 1 阻+ 2 e x j 证明令l ，i m 。p ：- 0 ) = p 。- ，蛳妒+ g ，z ) = p g ) ( 4 3 2 ) 将p + g ，z ) 代入经过计算可得尸0 ) 由尸( 1 ) = 1 ，因为z _ 1 时b ( o ，z ) 的分子分母都 趋向于0 ，由罗必塔法则可以求得p 2 ( o ，1 l 进而可以求出p 。 4 4 定理3 可靠性指标 系统的瞬时可用度为 彳+ g ) = m ( s ，1 ) p ： 。厨( ”s 一筹 + 巩日一器卜g ， + g 嗣一羔卜。g ) ( 4 4 1 ) m 丑一 z 加 = 、jg m 中其 ，j堕版 + 江苏大学硕士学位论文 由a b ) = 只g ，x ，1 ) 出+ 巧g ，y , o d y + p ；t b ) 叫霹：卜s 一筹) + 矾叫赋( 射卜器 将鼻0 ，0 ，1 ) 和巧g ，0 ，1 ) 代入整理可得。 定理4 系统的稳态可用度为 一：吖( 1 ) 垃+ 丛唑风，+ p 。 ( 4 4 _ 2 ) 证明 由4 0 ) = l i r a s a ( s ) 将彳g ) 代入经过计算整理可得 定理5 过程1 的瞬时故障频度为 圳锄盹t 诫。厨卜卜筹 ， ) 过程l 的稳态故障频度为 b i ：g , m o ) p o l ， ( 4 4 4 ) , u l 定理6 过程2 的的瞬时故障频度为 喇巩o 1 厩h s 一别， ) 过程2 的稳态故障频度为 b ：a 2 p 2 ( o , 1 ) p o , 。 2 ( 4 4 6 ) 江苏大学硕士学位论文 第五章具有优先权和第二次可选择服务的 可修m j - ，m x z ，g ( 删) ，l 排队系统 本章我们考虑具有优先权和第二次可选择服务的可修m ， 乎c - ( m m ) l 排队系统。在此系统中有两类顾客一种是具有优先权的，另一种是没有优先权的。 两类顾客都是成批到达，每个顾客在接受完服务台提供的第一种服务后，要么以 概率r 继续接受第二种可选择的服务，要么以概率1 - r 离开服务台。在通信系统 中不同信元的传输速度以及对它们的处理都是不同的，例如语音的传输速度较 快，而其它的信元传输起来较慢。因此对信元的处理也有先后之分，即信元有不 同的优先级数。在对数据等处理时，有时要先检测其是否有病毒，如有病毒就不 对其服务。如果没有病毒再做进一步的传输处理等等。 5 1 模型与假定 5 1 1 模型描述 ( 1 ) 系统有两种顾客即具有优先权的顾客和一般的无优先权的顾客，两种顾客的 到达流分别是参数为 和如的波松流，其到达的顾客数分别为随机变量x 。和 x 2 ，且p l = t ) - - c l ，p 伍2 = f ) = c 2 ，f x i o o ，e z 2 ，e z ? ，e z ； 0 ，仃1 )( 5 1 9 ) 这里约定当m 1 或行 o 时p m j o ，x ) = p 。：o ，y ) = 0 当埘 0 时有g 。( f ，o ) = 0 q o n l ( ，o ) 0 g 。：( r ，o ) = 0q o 2 0 ，o ) 0 所以我们可以得到 q ? ( z ，w , s ，o ) = 环。( z ，文0 ) 残z 川s ，o ) = 酡0 ，s ，0 ) 将式( 5 2 1 ) 一( 5 2 4 ) 代入式( 5 2 5 ) 一( 5 2 8 ) 利用初始条件整理可得 眦m 。) ，一专地w ，s ) = 研娜沪地吣) 】 一( 1 一，) r “g k ：( z ，s ，x ) 出一f z ：( y 她：g ，s ，y ) 妙+ c 1 ( w 咖：g ) ( 5 2 9 ) 科( z ，w 。 一 毛( z ，0 s ) = ( 1 一r ) r “g 她：g x ) 出一f ：( y k ：g 焉y 协 一+ 如一如c 2 0 ) + s 扫：0 ) + l( 5 2 1 0 ) 由儒歇定理w t g ，w ，s 旌h = 1 内有唯一的零点，设其为心，s ) 其中r e g ) o ，h - 1 则 o - r ) f 。u 。g 她：0 d 出+ f ：她：( z , s , y ) d y = c 1 w g ，s ) 擗o ) + 研g ，w ，s ，0 3 i k , ( z ，w ，s ) 一k ( z ，o ，s ) 】 将上式代入式( 5 2 。9 ) 和( 5 2 1 0 ) 整理可得 g g ，w ，如) ：型业址坐掣匝此l 生盟划陋1 1 ) l - 三七。z ，吨，s l s ) 置( z l w o ) ：型型k 兰盟丛墨判 1 一三 g ，w ，j ) 吲 。) 掣陋21 2 ) 一q ? g ，w ，s ，o ) 一 ( 5 ) 1 一三一o ，w ，j