（应用数学专业论文）非线性波动系统整体解存在的最佳条件.pdf

非线性波动系统整体解存在的最佳条件 应用数学专业 博士研究生舒级指导教师张健教授 摘要 非线性s c h r s d i n g e r 方程是一种典型的色散波动方程，这类方程从数学角度 揭示了线性色散与非线性作用项之间的相互关系同时，非线性s c h r s d i n g e r 方程 又是量子力学中的基础数学模型，不同的非线性s c h r s d i n g e r 方程有不同的物理 背景例如，经典的非线性s c h r s d i n g e r 方程描述光脉冲在色散与非线性介质中传 输、非线性光学中的自陷现象( 阻 ) 以及等离子体物理中的l a n g m u i 波( 8 9 】) 等量子物理现象，带调和势的非线性s c h r s d i n g e r 方程描述著名的玻色一爱因 斯坦凝聚( b e c ) 现象( ( 1 1 ，1 2 ，8 l ，8 4 ，9 4 ) 具二阶导数项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程描述上混合振荡传播( 6 7 ，5 1 ，4 5 ) ，广义d a v e y - s t e w a r t s o n 系统描述了流体 力学中沿个方向行进的非线性弱水波的变化过程( 2 6 ，3 1 ) ，带白噪声的随机非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程描述了非齐次或随机介质中非线性耗散渡的传播( 1 】) 近3 0 年来，对经典的非线性s c h r s d i a g e r 方程的研究取得了一系列重要进 展特别是在其典型性质如初值问题解的局部适定性、整体解的存在性及其渐近 行为、驻波解的存在性及其稳定性、解在有限时间内的爆破性质及其动力学行为 的研究上取得了丰硕的成果g i n i b r e ，v e l o 3 2 】在能量空间1 ( r ) 中建立了解 的局部适定性，g i n i b r e ，v e i o 3 2 】，l i n ，s t r a u s s 4 9 1 ，s t r a u s s 7 6 ，t s u t s u m i 【8 2 】， c a z e n a v e 2 2 1 讨论了解的渐进性质；s t r a u s s 7 5 】，b e r e s t y c k i ，l i o n s 【3 ，4 研究了 驻波解的存在性，k w o n g ( 4 6 】得到了基态驻波解的惟一陛；b e r e s t y c k i ，c a z e n a v e 【2 】，c a z e n a v e ，l i o n s 2 0 1 ，w e i n s t e i nf 8 7 ，s h a t a h ，s t r a u s s 7 5 ，g r i k l l a k i s ，s h a t a h ， i i s t r a u s s 3 5 ，3 6 】研究了驻波解的稳定性；g l a s s e y 3 4 ，w e i u s t e i n s s ，m e r l e 5 3 ，5 4 ，z h a n g 【9 6 ，9 7 ，o g a w a ，t s u t s u m i 【5 7 ，5 8 】讨论了爆破解的存在性 对于带调和势的非线性s c h r s d i n g e r 方程，o h 5 9 】在能量空间中建立了 解的局部适定性，r a b i n o w i t z 6 9 】，c a o ，n o u s s a i r 【1 3 等研究了驻波解的存在 性。r o s e ，w e i n s t e i n1 7 “z h a n g 9 4 ，9 5 】等研究了驻波解的稳定性，t s u t s u m i ， w a d a t i 【s 1 ，z h a n g 9 4 ，9 s ，c a r l e s 【1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，c a z e n a v e 1 8 】讨论了爆破解的 存在性c h e n ，z h a n g 【2 3 ，2 4 ，2 5 研究了整体解存在的最佳条件 对于具二阶导数项的非线性s c h r s d i n g e r 方程，已有的研究工作主要集中于 解的爆破和适定性方面，例如。文【4 7 1 讨论了孤立子解的l i a p u n o v 稳定性， 文6 4 ，6 5 】得到了此类方程在任意维空间h ”和通常的s o b o l e v 空间日o ( r ) 中 的局部适定性和整体适定性，文【9 2 研究了任意维空间中解的爆破性质，文 3 0 j 讨论了二维和三维空间中解的整体存在性 对于广义d a v e y s t e w a r t s o n 系统，g u o ，w a a g 3 7 ，g h i d a g l i a ，s a u t 3 1 】在 能量空间日1 ( 冗n ) 中建立了解的局部适定性o h t a 【6 1 证鲳了：对于= 2 ， 如果p 3 ：爆破解将充分接近驻波解，另外，o h t a1 6 2 】还证明了：对于n = 2 或n = 3 ，如果p 1 + 砉，那么基态钆对任意的u ( 0 ，) 是不稳定的 对于带白噪声的随机非线性s c h r s d i n g e r 方程，d eb o u a r d ，d e b u s s c h e 9 1 已 经建立了在能量空间日1 中的局部适定性以及在次临界或排斥非线性项下的整 体存在性另外，d eb o u a r d ，d e b u s s c h e 7 ，8 】也证明了对任意初值，爆破将在 如下意义下发生：对任意的t 0 ，解在时间t 之前爆破的概率总是为正的 从物理学的观点来看，对于非线性波动系统而言，如下问题是非常重要的： 在什么样的条件下，波变得不稳定从而坍塌( 爆破) ? 又在什么样的条件下，波对 任何时间都存在( 整体存在) ? 特别地，波坍塌和整体存在的最佳条件更是被强烈 地追踪 本文研究几类典型的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程，我们的思想和方法源于z h a n g 【9 4 ，9 6 ，9 7 ，9 8 所建立的以现代变分法为基础，把非线性波动系统的整体适定性与 驻波解的存在性有机联系起来的工作框架在此框架下，我们作了进一步的发展 四川i 大学博士学位论文i i i 和推广。首先分析这些方程的特征，以初值问题的局部适定性为基础，构造合适 泛函和n e h a r i 不变流形，从而设置约束变分问题然后根据这些变分问题的特 性，建立丁所谓的发展不变流，最后得到了解的爆破性质和整体存在性，驻波的 不稳定性，整体解存在的最佳条件等结论本文的结构安排如下： 第一章，介绍了相关物理背景、已有研究工作，以及本文的主要结论 第二章，讨论了带调和势的非线性s c h r s d i u g e r 方程通过构造交叉约束变 分问题和所谓的不变流形，我们获得了解爆破和整体存在的一个最佳条件 第三章，研究了具二阶导数项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程通过设置变分问 题，同时运用势井理论和凹方法，我们证明了爆破解和整体解存在的最佳条件并 回答了初值要小到什么程度，整体解才会存在 第四章，讨论了具双非线性项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程首先通过变分方 法建立了相关于基态的驻波的存在性，然后运用势井理论和凹方法，我们得到了 整体解存在的最佳条件并回答了初值要小到什么程度，整体解才会存在，同时结 合上述结论证明了驻波的不稳定性 第五章，研究了带阻尼项的g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程我们证明了阻尼参 数存在一个门槛值，当阻尼参数大于该门槛值时，初值问题的解整体存在；当阻 尼参数小于该门槛值时，其初值问题的解将在有限时间内坍塌 第六章，研究了广义d a v e y s t e w a r t s o n 系统，通过构造交叉约束变分问题 和发展流的所谓不变流形，我们获得了整体解存在的一个最佳条件 第七章，讨论了一类耦合非线性s c h r s d i n g e r 方程组通过构造一个交叉约 束变分问题和所谓的发展不变流，我们获得了其初值问题整体解存在的一个最佳 条件，另外我们还证明了驻波的不稳定性 第八章，研究了一类具非齐次项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程通过设置约束变 分问题和所谓的发展不变流，我们获得了解爆破和整体存在的一个最佳条件 第九章，讨论了一类带白噪声的随机非线性s c h r s d i n g e r 方程通过建立这 个方程的性质，运用随机分析方法和g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式，我们得到了 该方程对应的初值问题解整体存在的一个充分条件 关键词 破解； 非线性波动系统；非线性s c h r s d i n g e r 方程；整体解；爆 最佳条件；驻波；基态 四川大学博士学位论文 s h a r pc o n d i t i o n sf o rg l o b a le x i s t e n c eo fn o n l i n e a rw a v es y s t e m m a j o ra p p l i e dm a t h e m a t i c s d o c t o rj is h u s u p e r v i s o r p r o f e s s o rj l a nz h a n g v a b s t ：r a c t t h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o ni sat y p i c a ld i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n ， w h i c hr e f l e c t st h er e l a t i o nb e t w e e nd i s p e r s i o na n dn o n l i n e a ri n t e r a c t i o n a tt h e s a m et i m e ，t h en o n h n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o ni sa l s oaf u n d a m e n t a lm o d e li n q u a n t u mm e c h a n i c s ，a n dd i f f e r e n tn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n sh a v ed i f f e r e n t p h y s i c a lb a c k g r o u n d s f o ri n s t a n c e ，c l a s s i c a ln o n l i n e a rs c h r d d i n g e re q u a t i o ni s u s e dt od e s c r i b es o m ep h e n o m e n ai nq u a n t m np h y s i c s ，s u c ha st h ep r o p a g a t i o n o fi a rb e a mi nd i s p e r s i v ea n dn o n , n e a rm e d i u m s e l ft r a p p i n gi nn o n l i n e a r o p t i c s ( 【删) dl a n g m u rw a v i np l a s m a ( ( 8 9 】) t h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o nw i t hh a r m o n i cp o t e n t i a l 缸k n o w na sam o d e lf o rd e s c r i b i n gt h er e m a r k a b l eb o s e - e i n s t e i ne o n d e n s a t e ( b e c ) ( f 1 1 ，1 2 ，8 1 ，8 4 ，9 4 】) t h es e c o n do r d e r d e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n si su s e dt od e s c r i b et h eu p p e r - h y b r i d o s c i l l a t i o np r o p a g a t i o n ( 【6 7 ，5 1 ，4 5 1 ) t h eg e n e r a l i z e dd a v e y - s t e w a r t s o ns y s t e m d e s c r i b e st h ee v o l u t i o no fw e a k l yn o n l i n e a rw a t e rw a v e st h a tt r a v e lp r e d o m i - n a n t l yi no n ed i r e c t i o n ( 【2 6 3 1 】) ，t h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hw h i t e n o i s em o d e lt h ep r o p a g a t i o no fn o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v e si nn o n h o m o g e n e o n s o rr a n d o m m e d i a ( 【1 】) ”。， i nt h er e c e n tt h i r t yy e a r s ，as e r i e so fi m p o r t a n ta d v a n c e sa r ea c h i e v e do n t h em a t h e m a t i c a ls t u d i e so ft h ec l a s s i c a ln o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o e s - p e c i a u yf o ri t st y p i c a lp r o p e r t i e ss u c ha st h el o c a lw e u - p o s e d n e s so ft h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e m s ，e x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o n sa n dt h e ka s y m p t o t i cb e h a v - i o r ，e x i s t e n c eo ft h es t a n d i n gw a v e sa n dt h e i rs t a b i l i t y , b l o w - u pp r o p e r t i e so f v i t h es o l u t i o n si naf i n i t et i m ea n dt h e i rd y n a m i c a lb e h a v i o r ，p l e n t i f u la n ds u b - s t a n t i a lr e s u l t sa r eg o t g i n i b r ea n dv e l o 【3 2 e s t a b l i s h e dt h el o c a le x i s t e n c e i ne n e r g ys p a c eh 1 ( r ) g i n i b r ea n dv e l o 【3 2 】，l i n ，s t r a u s s 【4 9 】，s t r a u s s 【7 6 ， t s u t s u m i 【8 2 】，c a z e n a v e 【2 2 】d i s c u s s e dt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e s s t r a u s s 【7 5 ， b e r e s t y c k i ，l i o n s 【3 ，4 】s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fs t a n d i n gw a v e s ，a n dk w o n g 【4 6 o b t a i n e dt h eu n i q u e n e s so ft h eg r o u n ds t a t es o l u t i o n ；b e r e s t y c k i ，c a z e n a v e c a z e n a v e ，l i o n s 【2 6 ，w e i n s t e i n s t ，s h a t a h ，s t r a u s s 【7 5 】，g f i k l l a k i s ，s h a t a h ， s t r a u s sf 3 5 ，3 6 s t u d i e dt h es t a b i l i t i e so fs t a n d i n gw a v e s g l a s s e y 【3 4 ，w e i n - s t e i nf s s ，m e r l e 【5 3 ，5 4 1 ，z h a n g 9 6 ，9 7 】，o g a w a ，t s u t s u m i1 5 7 ，5 8 】d i s c u s s e dt h e e x i s t e n c eo fb l o w - u ps o l u t i o n s f o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q f i a t i o nw i t hh a r m o n i cp o t e n t i a l ，o h 【5 9 】 e s t a b l i s h e dl o c a le x i s t e n c ei nt h ec o r r e s p o n d i n ge n e r g ys p a c e r a b i n o w i t z 【6 9 j ， c a o ，n o n s s a i r 【1 3 s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fs t a n d i n gw a v e s r o s e ，w e i n s t e i n 【7 1 】， z h a n g 【9 4 ，9 5 】s t u d i e dt h es t a b i l i t yo fs t a n d i n gw a v e s t s u t s u m i ，w a d a t i 【8 l 】 z h a n g 9 4 ，9 s ，c a r i e s 【1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】，c a z e n a v e 【1 8 】d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fb l o w - u ps o l u t i o n s c h e n ，z h a n g 2 3 ，2 4 ，2 5 g o tt h es h a r pc o n d i t i o n so fg l o b a le x i s t e n c e f o rt h es e c o n do r d e rd e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ，m o s to fp a - p e r sa r eo nt h eb l o w - u pa n dw e l l - p o s e d n e e so fs o l u t i o n s ，f o ri n s t a n c e ，l a e d k ea n d s p a t s c h e k 【4 7 g o tt h el i a p u n o vs t a b i l i t yo fs o l i t o ns o l u t i o n s ，p o p p e n b e r g 【6 4 6 5 】 g o tt h el o c a la n dg l o b a lw e l l p o s e d n e s sr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ec a n c h yp r o b l e mi n h a n dh ( r ) ，z h a n g 【9 2 】g o tt h eb l o w u pp r o p e r t i e so fs o l u t i o n si na r b i t r a r y d i m e n s i o n ，a n dg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n si nt w oo rt h r e ed i m e n s i o n si sg i v e n i n 【3 0 】 f o rt h eg e n e r a l i z e dd a v e y - s t e w a r t s o ns y s t e m ，g u oa n dw a n g 【3 7 】，g h i d a g l i a a n d $ a u t 【3 1 】e s t a b l i s h e dt h el o c a le x i s t e n c ei ne n e r g ys p a c e 日1 ( ) o h t a 1 6 1 】p r o v e dt h a ti fp 3 ，t h e r ee x i s t sb l o w - u ps o l u t i o n sa r b i t r a r i l yc l o s et ot h e s t a n d i n gw a v ei nt h ec a s eo fn = 2 i na d d i t i o n ，o h t a 【6 2 】a l s op r o v e dt h a ti f 四川大学博士学位论文 i p 1 + 砉，t h eg r o u n ds t a t eq 钆i su n s t a b l ef o ra n yu ( o o 。) i nt h ec a s eo f n = 2o rn = 3 f o rt h es t o c h a s t i cn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hw h i t en o i s e ，d eb o u a r d a n dd e b u s s c h ef 9 e s t a b l i s h e dt h el o c a le x i s t e n c ei ne n e r g ys p a c eh 1a n dg l o b a l e x i s t e n c ei ns u b c r i t i c a lo rd e f o c n s i n gc a s e i na d d i t i o n ，d eb o u a r da n dd e b u s & c h e 【7 ，8 】a l s op r o v e dt h a tf o rs o m ei n i t i a ld a t a ，b l o w - u po c c l e r si nt h es e n s et h a t ， f o ra r b i t r a r yt 0 ，t h ep r o b a b i l i t yt h a tt h es o l u t i o nb l o w su pb e f o r et h et i m et i ss t r i c t l yp o s i t i v e f r o mt h ev i e w - p o i n to fp h y s i c s ，f o rn o n l i n e a rw a v es y s t e m ，t h ef o l l o w i n g p r o b l e m sa r ev e r yi m p o r t a n t u n d e rw h a tc o n d i t i o n s ，w i l lt h ew a v eb e c o m e u n s t a b l et oc o l l a p s e ( b l o wu p ) ? a n du n d e rw h a tc o n d i t i o n s ，w i l lt h ew a v ee x i t s f o ra l lt i m e ( g l o b a le x i s t e n c e ) ? e s p e c i a l l yt h es h a r pc r i t e r i af o rb l o w - u pa n dg l o b a l e x i s t e n c ea r ep u r s u e ds t r o n g l y i nt h i sp a p e r ，w es h a l ls t u d ys e v e r a lt y p e so fk n o w nn o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n s o u rm e t h o da n da r g u m e n ta r eo r i g i n a t e di nt h ef r a m e w o r ko fc o m - b i n i n gt h eg l o b a lw e l l p o s e d n e s so ft h en o n l i n e a rw a v es y s t e mw i t hs t a n d i n g w a v e sb a s e do nt h em o d e r nv a r i a t i o nm e t h o d ，w h i c hi se s t a b l i s h e db yz h a n g 1 9 4 ，9 6 ，9 7 ，9 8 1 1 nt h ef r a m e w o r k ，w ed e v e l o pt h e m f i r s ta n a l y z i n gt h ec h a r - a c t e r i s t i c so ft h e s ee q u a t i o n s ，b a s i n go nt h el o c a lw e l l - p o s e d n e s eo ft h ec a u c h y p r o b l e m ，w es e ts o m ei n t r i c a t ef u n c t i o n a i sa n dn e h a r im a n i f o l d st op o s ec o i l - s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e m t h e nc o m b i n i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ee q u a - t i o n s ，t h ev a r i a t i o n a lp r o b l e m s ，w ec o n s t r u c ts o m ee v o l u t i o ni n v a r i a n tf l o w so f t h e s ee q u a t i o n s ，a n df i n a l l yw ed e r i v et h eb l o w - u pa n dg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u - t i o n s ，i n s t a b e h t yo fs t a n d i n gw a v e s ，s h a r pc o n d i t i o n so fg l o b a le x i s t e n c e t h i s p a p e ra r eo r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h ep h y s i c a lb a c k g r o u n da n ds o m ek n o w nr e s u l t s o nt h e s ee q u a t i o n s i na d d i t i o n ，i n a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ea l s og i v e n i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s e dt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hh a r m o n i c p o t e n t i a l b yc o n s t r u c t i n gac r o s s - c o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n ds o - c a l l e d i n v a r i a n tm a n i f o l d so ft h ee v o l u t i o nf l o w ，w ed e r i v eas h a r pc r i t 嘶o nf o rb l o w u p a n dg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h es e c o n do r d e rd e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n b ye s t a b l i s h i n gav a r i a t i o n a lp r o b l e m ，a p p l y i n gt h ep o t e n t i a lw e l la r - g u m e n ta n dt h ec o n c a v i t ym e t h o d ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sas h a r pc o n d i t i o n f o rg l o b a le x i s t e n c ea n db l o w - u po ft h es o l u t i o n s i na d d i t i o n ，t h eq u e s t i o nt h a t h o ws m a l lt h ei n i t i a ld a t aa r e ，t h eg l o b a ls o l u t i o n se x i s ti sa l s oa n s w e r e d i nc h a p t e r4 ，w es t u d i e dt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hd i f f e r e n t p o w e rn o n l i n e a r i t i e s w ef i r s te s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fs t a n d i n gw a v ea s s o c i a t e d w i t ht h eg r o u n ds t a t e sb yv a r i a t i o n a lc a l c u l u s t h e nbt h ep o t e n t i a lw e l la r g u - m e n ta n dt h ec o n c a v i t ym e t h o d ，w eg e ta s h a r pc o n d i t i o nf o rb l o w u pa n dg l o b a l e x i s t e n c et ot h es o l u t i o n sa n da n s w e rs u c hap r o b l e m ：h o ws m a l la r et h ei n i t i a l “ d a t a ，t h eg l o b a ls o l u t i o n se x i s t ? a tl a s tw ea l s op r o v et h ei n s t a b i l i t yo fs t a n d i n g w a v eb yc o m b i n gt h o s er e s u l t s 。 。 i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e r e dt h ed a m p e dg r o s s - p i t a e v s k i i ( g p ) e q u a t i o n w e p r o v et h a tt h e r ee x i s t sat h r e s h o l dv a l u ef o rt h ed a m p i n gp a r a m e t e ra n dw h e nt h e d a m p i n gp a r a m e t e r i sa b o v et h et h r e s h o l dv a l u e 。t h es o l u t i o n so f t h ec a u c h y p r o b - l e mg l o b a l l ye x i s t ；w h e nt h ed a m p i n gp a r a m e t e ri su n d e rt h et h r e s h o l dv a l u e t h e s o l u t i o n sw i l lb l o wu pi naf i n i t et i m e i nc h a p t e r6 ，w es t u d i e dt h eg e n e r a l i z e dd a v e y - s t e w a r t s o ns y s t e m b ys o n - s t r u c t i n gac r o s s - c o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n ds o - c a l l e di n v a r i a n tm a n i - f o l d so ft h ee v o l u t i o nf l o w ，w ed e r i v eas h a r pc r i t e r i o nf o rb l o w - u pa n dg l o b a l e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s i nc h a p t e r7 ，w ec o n s i d e r e dt h ec o u p l e dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n s b yc o n s t r u c t i n gac r o s s - c o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n ds o - c a l l e di n v a r i a n t 四川大学博士学位论文 m a n i f o l d s w ed e r i v eas h a r pc r i t e r i o nf o rb l o w - u pa n dg l o b a le x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n s a tt h es a m et i m e ，t h ei n s t a b i l i t yo fs t a n d i n gw a v ei 8a l s o 舀v e n i nc h a p t e r8 ，w es t u d i e dt h en o n h o m o g e n e o u sn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a ， t i o n b yc o n s t r u c t i n ga c o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n ds o - c a l l e di n v a r i a n t m a n i f o l d so ft h ee v o l u t i o nf l o w ，w ed e r i v eas h a r pc r i t e r i o nf o rb l o w - u pa n dg l o b a l e ) c i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s i nc h a p t e r9 w ed i s c u s s e dt h es t o c h a s t i cn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n w i t hw h i t en o i s e b yt h et o o l so f s t o c h a s t i ca n a l y s ma n dt h eg a g l i a r d o - n i r e n b e r g i n e q u a l i t y , w ed e r i v ea s u f f i c i e mc o n d i t i o nf o rg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s k e yw o r d s n o n l i n e a rw a v es y s t e m ；n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ；g l o b a l s o l u t i o n s ；b l o w - u ps o l u t i o n s ；s h a r pc o n d i t i o n s ；s t a n d i n gw a v e 8 ； g r o u n d s t a 土e 四川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四川大学所有，特此声明 作者签名：导师签名 四j i l 大学博士学位论文 前言 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程是一种典型的色散波动方程，这类方程从数学角度 揭示了线性色散与非线性作用项之间的相互关系当线性色散作用起主导作用 时，能量在空间扩散。解整体存在，并随着时间的发展渐进衰减( 【16 】，f 1 7 ， 3 2 d 当线性色散作用与非线性作用平衡时，就形成局部化的有限能量解，通常称为驻 波( 【2 】，【3 】， 2 0 1 ，【3 5 】， 3 6 1 ， 6 9 1 ，f 7 1 】，【7 5 】，【9 4 】) 当非线性起主导作用时，波会坍 塌，解在有限时间内爆破 同时，非线性s c h r s d i n g e r 方程又是量子力学中的基础数学模型，不同的非 线性s c h r s d i n g e r 方程有不同的物理背景例如，经典的非线性s c h r s d i n g e r 方 程描述光脉冲在色散与非线性介质中传输、非线性光学中的自陷现象( 阻】) 以 及等离子体物理中的l a n g m u i 波( 【8 9 1 ) 等量子物理现象，带调和势的非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程描述著名的玻色- 爱因斯坦凝聚( b e c ) ( i i ，1 2 ，8 1 ，8 4 ，9 4 1 ) 具 二阶导数项的非线性s c h