（应用数学专业论文）非线性微分方程组的正解.pdf

作者签名张荫日期 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性微分方程组的正解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在 导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文 的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者砗认萌咻 导师签名：稳克拖 日期。 、 曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程组的正解 摘要 随着近代物理学和应用数学等学科的不断发展，对数学知识的要求也逐渐提 高，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域 出现了各种各样的非线性问题，这些非线性问题f t 益引起了人们的广泛重视而 非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理论工具非线性分析已成为 现代数学中的重要研究方向之一，其中非线性微分方程组边值问题又是近年来讨 论的热点之一，引起了许多学者的关注，是目前微分方程研究中的一个十分重要 的领域本文主要利用锥理论和不动点理论，研究了几类非线性微分方程组正解 的存在性问题 本文共分为三章： 在第一章中，我们讨论了一类非线性混合阶微分方程组 i 一( t ) = f ( t ，口) ，0 t 1 ， 叫，( d 刊 川) ，0 k 1 ， ( 1 1 1 ) iu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， i 口( o ) = u ，( 0 ) = 钞，( 1 ) = 0 ， 这里，g c ( 【o ，1 】【0 ，+ 。o ) ，【0 ，+ o 。) ) ，f ( t ，0 ) 三0 ，a ( t ，0 ) 三0 我们利用锥拉伸与 压缩不动点定理并结合锥理论中的有关知识，得到b v p ( 1 1 1 ) 正解的存在性，本 章改进和推广了文【2 1 1 中的主要结果 在第二章中，我们讨论了一类奇异半正微分方程组 i u ( t ) = i ( t ，钉) ，0 t 1 ， 叫，( _ 9 川) 0 k l ( 2 1 1 ) it ( o ) = 让( 1 ) = 0 ， i 口( o ) = 口，( 0 ) = 口，( 1 ) = 0 正解的存在性，这里，c ( ( o ，1 ) x o ，+ 。) ，( 一o o ，+ o o ) ) ，g c ( 【o ，1 】【o ，+ ) ，【0 ，+ o 。) ) 且，在t = 0 ，t = 1 奇异本章进一步改进和推广了上一章的主要结果 曲阜师范大学硕士学位论文 在第三章中，我们利用锥理论和锥上的不动点定理讨论了带有参数的三阶非 线性奇异微分方程组 i 一( t ) = 入口( t ) ，( t ，钍，钉) ，0 t 1 ， 一 肼( ) 2 p 6 ( 。) 9 ( 。，“，口) ，o t 0 ，f ，g c ( o ，1 】 0 ，+ o o ) 【0 ，+ o 。) ，【0 ，+ o 。) ) ，n ，b c ( ( o ，1 ) ，1 0 ，+ o o ) ) 且在t = 0 ，t = 1 奇异，但在( 0 , 1 ) 上不 恒等于零 关键词：边值问题；不动点定理；正解；半正 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hm o d e r np h y s i t s a n da p p l y e dm a t h e m a t i c s d e v e l o p m e n t ，t h er e - q u i r e m e n to fm a t h e m a t i c sk n o w l e g ei si m p r o v i n g v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b l e mh a s c o m eu pf r o mt h ef i e l d so fp h y s i c s ，c h e m i s t y , m a t h e m a t i c s ，b i o l o g y , m e d i c i n e ， e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e m e t i c s ，a n dt h e s ep r o b l e m sh a sa r o u s e dp e o p l e s w i d e s p r e a da t t e n t i o nd a yb yd a y h o w e v e r ，t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i so f - f e r se f f e c t i v et h e o r e t i ct o o l sf o rt h e s ep r o b l e m s ，a n di ti sa s u b j e c to fp r o f o u n dt h e - o r i e sa n db r o a da p p l i c a t i o n s t h en o n l i n e a ra n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n t r e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h es y s t e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r et h eh o ts p o t sd i s s c u s s e di nr e c e n ty e a r sa n dh a sa t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o no fm a n ys c h o l a r s s ot h e yb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f f e r e n - t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r ya n dt h e f i x e dp o i n tt h e o r yt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o m ek i n d so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r s y s t e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rak i n do fs y s t e m so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一( 亡) = f ( t ，御) ，0 t 1 ， 一( 亡) = g ( t ，让) ，0 t 0 ，g c ( 【0 ，1 】 【0 ，+ 。o ) 【o ，+ o o ) ， o ，+ o 。) ) o ，b c ( ( o ，1 ) ， o ，+ ) ) a r ea l l o w e d t ob es i n g u l a r a tt = 0 ，t = 1 ，b u td on o tv a n i s hi d e n t i c a l l yo i l ( 0 ，1 ) k e y w o r d s ：b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；f i x e d - p o i n tt h e o r e m ；p o s i t i v es o l u - t i o n s ；s e m i p o s i t o n e u l l t 亡 b “ “ 地 叭n 卜吐姑q 以 ， ， ： = = = = 0 心舻伽川川 彬 一 一 以畎 l l i i i i d d t 亡吖k r 二， w 护 芝m 俳 力l d b 、钌，0 0 ，眦 q 凹 柑m 地地 以= = = = 即即 卜卜v 0 = = 卿小驴惦 一 一 以以 第一章非线性混合阶微分方程组的正解 博渊嚣 ， 雠；= z 篙裂二器芸 一 卜) = 以0 ) - 0 ， ( 1 1 2 ) 叫“八t 咄0 k 1 ( 1 1 3 ) 1 乱( o ) ：秒( o ) ：o ， 、工1 。u 7 其中锣= 一u t t ，n ，b ，a 为非负数作者借助于对b v p ( 1 1 3 ) 的研究，从而得到 b v p ( 1 1 2 ) 正解的存在性因此方程组的研究在一定程度上有利于解决其它的 数学问题 这里f ，g c ( o ，1 】x 0 ，+ o 。) ， o ，+ o 。) ) ，f ( t ，0 ) 三0 ，g ( t ，0 ) 三0 据我们所知，关于同阶的常微分方程组已经得到了很好的研究，许多理论如 g u o k r a s n o s e l s k i i 7 s 不动点定理( 见【3 】【2 1 】) ，l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理 ( 见 6 】) ，不动点指数定理( 见【8 】) 等都在研究过程中得到了很好的应用，但是有 关混合阶微分方程组边值问题的研究并不多见最近文 7 】运用不动点定理和单 调迭代法给出了一类二阶四阶混合阶微分方程组两点边值问题 二-gx4竺(t玄)=毒fc(兰t,：z,y1)，：,：o盖t，乏：， 。1 上5 ， 篇以1 ) 0 ， u j 固 1 2 预备知识 引理1 2 1 【1 】设( e ，1 1 | i ) 是b a n a c h 空间，p 是e 中锥，假设q 1 ，q 2 是e 中开子集且口q 1 ，孬1cq 2 如果t ：pn ( 砭q 1 ) 一p 是全连续算子并满足 ( i ) l l t u l l i l u l l ，v u pna q l i i t u l l i l u l l ，v u pn a q 2 ， 或 ( 娩) i j t 让i i j i t , 1 1 ，v u pna q l ，i i t u l l 0 u l i ，v u p f ia q 2 ， 则t 在pn ( q 2 q 1 ) 中至少有一不动点 引理1 2 2 设( e ，1 1 i i ) 是b a n a c h 空间，p 是e 中锥，假设q l ，q 2 ，q 3 是e 中开子集且0 q 1 ，瓦1cq 2 ，瓦2cq 3 如果t ：pn ( 豆3 q 1 ) 一p 是全连 2 t ， 划 如 叭 卟 = ， ， ，咄毗仉叭 = l i ，j 9)=、 = | f n 邙刊训 “ 曲阜师范大学硕士学位论文 续算子并满足 i i t 训i l i u l l ，讹p n o a 1 ； i l t 乱i | i l u l l ，t u t , ，地pna q 2 ； l l t 乱i | i l 让i l ，v u p n a q 3 ， 则t 在pn ( _ 3 q 1 ) 中至少有两个不动点z 1 ，x 2 ，且z 1 pn ( q 2 q 1 ) ， z 2 pn ( q 3 q 2 ) 首先我们给出齐次边值问题 iu ”( 亡) = 0 ，0 t 1 ， iu ( o ) = u ( 1 ) = 0 的格林函数 g s ，= t ( 1 - - s ) , 蓦冀： 易见它具有下面的性质 引理1 2 3 1 4 对于0 t ，8 1 ，有g ( t ，8 ) 0 ，e ( 亡) e ( s ) g ( t ，8 ) c ( t ，t ) = t ( 1 一t ) = e ( 亡) 引理1 2 4 令可c o ，1 1 ，则边值问题 有唯一解 这里 ( 亡) - 4 - y ( t ) = 0 ，0 t ( 1 一t ) ， 二二= 一= 一l i 工一厶j h ( 1 ，8 )1 8 一( 1 一s ) 2 1 一s 一1 8 一、 ” 4 q 印 q 幺 2 2 q o 0 曲阜师范大学硕士学位论文 取，y ( 亡) = m i n j 1 。2 ，t ( 1 一t ) ) ，则h ( t ，s ) 7 ( ) 日( 1 ，s ) 证毕 显然， ( 乱， ) c 2 o ，l 】c 3 o ，1 】是b v p ( i 1 4 ) 的解当且仅当( 乱，钉) c o ，1 】c o ，1 】是积分方程组 g ( t ，s ) ，( s ，可( s ) ) d s ， ( 1 2 7 ) h ( t ，s ) 9 ( s ，u ( s ) ) d s 的解，这里g ( t ，s ) ，月( t ，s ) i 司上 由( 1 2 7 ) 我们可以得到如下积分方程 乱 ) = l g ( 亡，s ) ，( s ，0 1 ( s ，r ) 夕( r ，u ( r ) ) d r ) d s 我们考虑b a n a c h 空间e = c o ，1 】，其中i l u l l = m a x o e ( 亡) z 1g ( s ，彬( s ，1h ( s 卅，吣) ) 办) 如 e ( t ) 嚣简1g ( 亡，8 ) ，( s ，z 1 日( s ，r ) 夕( r ，u ( r ) ) 打) d s = e ( t ) l l t u l l 故t ( p ) cp 另外，由f ，口的连续性易知t ：p _ p 全连续证毕 1 3主要结果 5 1 ，1 厂，加厂，加 ( 日1 ) 1 i m u 甜s u p 1 掣= o ，l i r 虬- , o + s u 雎【0 1 1 1 等钏； ( 日2 ) h i i l t 。i n f t 【o ，1 1 掣= 。o ，l i n o oi n f t 【0 1 1 笔、。； ( 日3 ) l i m u 。o + i n f t e l 0 , 1 1 掣= o o ，1 i 砜甜i n f 卸 1 】篡5 。； ；日4 ) l i m 缸。o os u p t i o ，1 1 且= 0 ， r i m , 。o 。s u p t 【o 1 1 亟岩2o ； ；乏j ，( t ，钍) ，g ( t i 仳) 墓奚于u 的增函数，且存在常数 o ，使得 ，( 亡， 1 去9 寸，n ) d r ) 0 分别满足 入，z 1g ( s ，s ) d s l ， 入2z 1 日( 1 ，s ) d s 1 对每个札p ，l l 让l l = 1 1 ，结合( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 有 这样 o l h ( s , r ) g ( r , u ( r ) ) d r _ 剑f 0 1 圳h ( 和1 , r ) g ( r , ，u ( 肌r ) ) d r b 1r ) d r | 1 入2 i l 让i if( ， si l 仳i i 5 t 让：tg ( t , s ) f ( s ，f o h ( s , r ) g ( r , u ( r ) ) d r j o ) 如 和s l s ) 小，z 1h ( s , r ) g ( r , u ( r ) ) d r ) d s 入，z 1 g ( s ，s ) 1 日( s ，r ) 9 ( r ，“( r ) ) d r d s a 。a 2l i u l lz 1g ( s ，s ) 1 日( s ，r ) d r d s 冬入1 入2 i i u | i 1 g ( s ，s ) 1 日( 1 ，r ) 打d s l i u i i 6 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 令q 1 = u e ：l l u l i m a x g ，t a ) ，q 2 = u e ：l l u l i 1 2 ) ，则q 1c _ 2 又由( 1 3 6 ) ，则对 u p n o f l 2 ，有f i t u l l i l u l l 7 如 如 、j、一、 s s 1 一1 一 g g z z 第一章非线性混合阶微分方程组的正解 这样，由引理1 2 1 ( i ) 可知，t 在pn ( 殇q 1 ) 中至少有一不动点证毕 定理1 3 2 假设( 风) ，( 凰) 满足，则b v p ( 1 i 4 ) 至少有一正解( 札， ) c 2 ( 【o ，1 】，【0 ，+ o 。) ) c 3 ( 【o ，1 1 ，【0 ，+ ) ) 证明由( 风) 可知，存在常数l ( 0 ，1 ) ，使得对每个( t ，u ) 【0 ，1 】( 0 ，f ) ，都 有 f ( t ，u ) y a u ，g ( t ，u ) 啦u ， ( 1 3 7 ) 这里7 7 1 ，? 7 2 分别满足 叩tz 1 g ( 三，s ) 1 ( s ) e ( s ) d s 1 ，啦! h ( 1 ，r ) 打1 ( 1 3 8 ) 由g ( t ，0 ) 三0 及9 的连续性可知，存在常数l z ( 0 ，1 ) 充分小，使得 夕( 亡，缸) 南v ( 屯乱) 0 1 】o 。3 ) 。 对每个牡p ，i l u l i = i z ，则有 z 1 日( s ，r ) 9 ( r ，钆( r ) ) d r f oh ( s ，r 了i j i i 车_ 丽d r z ， 这样，结合( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) 可得 孔( 去) = l g ( 三，s ) ，( s ，j oh c s ，r ，9 c r ，乱c r ，咖) d s 刀，z 1g ( 三，s 1 h ( s ，r ) 夕( r ，钆( r ) ) d r d s 叼。仡z 1g ( 三，s ) z 1 日c s ，r ，u c r ，d r d s 狲删u o 1 g ( 三，s ) 巾) e ( s ) f 0 1 h ( 1 ，r ) 办d s 1 令q 3 = u e ：i l u l i m a x 2 3 ，2 c 6 ) ，q 4 = 让e ：i l u l i z 4 ，则q 3cq 4 又由( 1 3 1 1 ) ，则对 乱pn a q 4 ，有i i t 缸i l i i 乱i i 这样，由引理1 2 1 ( i i ) 可知，t 在p n ( _ 4 q 3 ) 中至少有一不动点证毕 定理1 3 3 假设( 日2 ) ，( 风) ，( 风) 满足，则b v p ( 1 1 4 ) 至少有两个正解 ( u 1 ，v 1 ) ，( u 2 ，u 2 ) c 2 ( 【0 ，1 】，【0 ，+ o o ) ) c 3 ( 【o ，1 】，【0 ，+ o o ) ) 证明令b = u e ：l l u l l ) ，由计算可得m a x o t 砖lg ( t ，8 ) m k x o 鲤a ( 8 ，s ) = ，m a x o t 砖1h ( t ，s ) = m a x o 。1h ( 1 ，s ) = 百1 结合( 飓) ，对 每个钆0 b knp ，t 0 ，1 】，贝0 有 t u ( t ) 丢z 1 ，( s ，f o ih c s ，r ，9 c r ，钍c r ，) 打) d s 五1z 1 ，( s ，0 1 百1 夕( n 缸( r ) ) 打) d s 互1z 1 小，0 1 烈1 叫，打) 幽 去删 = 9 第一章非线性混合阶微分方程组的正解 这样 i i t u l i i l u l l ，v u 0 b np 由( 飓) ，( 风) 得 i i t u l i i l u l l ，y u 尸na q 2 ， i i t u l l i l u l l ，v u p n a q 3 我们可以选择f 2 ，2 3 和使得2 3 n f 2 且满足以上三不等式，由引理1 2 2 可知，t 在pn ( 丽2 b ) ，pn ( 百q 2 ) 中各有一不动点证毕 1 4 例子 例1 4 1 令，( 亡，u ) = v ( v + t 一1 ) ，g ( t ，钆) = 乱( u + t 一1 ) ，则定理1 3 1 的条 件满足，根据定理1 3 1 可知，b v p ( 1 1 4 ) 至少有一正解 例1 4 2 令厂( 亡，钉) = 秒壹( t + 1 ) ，g ( t ，u ) = 乱壶( t + 1 ) ，则定理1 3 1 的条件满 足，根据定理1 3 2 可知，b v p ( 1 1 4 ) 至少有一正解 例1 4 3 令，( 亡，口) = 堕2 拦，g ( t ，乱) = u 壶+ u 2 ，选择n = 1 ，则定理1 3 3 的 条件满足，根据定理1 3 3 可知，b v p ( 1 1 4 ) 至少有两个正解 1 0 第二章一类奇异半正微分方程组的正解 2 1引言 本章主要考虑以下二阶三阶混合阶奇异半正微分方程组两点边值问题 l 一( t ) = f ( t ，u ) ，0 t 1 ， 刈，( 幻刊。一) 0 k l ( 2 1 1 ) l u ( o ) = 钆( 1 ) = 0 ， i 仃( o ) = u ，( 0 ) = ( 1 ) = 0 ， 这里，c ( ( o ，1 ) x 0 ，+ o o ) ，( 一o o ，+ 。) ) ，9 c ( 【o ，1 】【0 ，+ ) ， 0 ，+ ) ) ，且， 在t = 0 ，t = 1 奇异 常微分方程组在应用数学、物理学、生物学等多个领域有着广泛的应用，近 年来也得到了很好的研究与此同时，有关半正问题的研究也取得了很大进步 如文 9 】运用不动点指数定理得到了以下微分方程组边值问题 i z ( 亡) = ，( 亡，耖( t ) ) + g ) ，0 t 1 ， 一可( 亡) 2 夕( 亡，z ( 。) ) ，o t 0 最近，文 7 】又运用不动点定理和单调迭代法给出了一类二阶四阶混合阶常 微分方程组 i z ( 4 ( 亡) = m ，z ，y ) ，0 t 1 ， 一秒( 亡) 2 夕( 亡，z ) ，o 亡 1 ( 2 1 3 ) l z ( o ) = x i ( o ) = z ( 1 ) = ( 1 ) = 0 ， i 可( o ) = 秒( 1 ) = 0 第二章一类奇异半正微分方程组的正解 正解存在的充要条件，并得到了迭代序列解的收敛速率而当厂的值域为r 时， 文 1 0 】得到了四阶微分方程 fu ( 4 ( ) = s ( t ，u ) ，o t 1 ， a l u ( o ) 一岛u ，( o ) = 0 ， h u ( 1 ) + 6 1 u ，( 1 ) = 0 ， ( 2 1 4 ) 【0 1 2 u ! ，( 0 ) 一忍让州( o ) = 0 ，q 2 u ( 1 ) + 5 2 u 胛( 1 ) = 0 在s t u r m l i o u v i l l e 边界条件下c 2 【o ，1 】正解与c 3 o ，1 】正解存在的新结果 基于以上的讨论，本章进一步改进和推广了前面的结果，文中，9 不仅具有 不同的边界条件，而且具有完全不同的性质 2 2 预备知识 我们考虑b a n a c h 空间e = c o ，i i ，其中i i 钆i l ：= m a x o t 显然qcp 且p ，q 是e 中的锥 我们首先给出本章中用到的主要引理 引理2 2 1 【1 1 设( e ，i | i i ) 是b a n a c h 空间，p 是e 中锥，假设q 1 ，q 2 是 e 中开子集且0 q 1 ，瓦1cq 2 如果 t ：pn ( q 2 q 1 ) _ p 是全连续算子并满足 ( i ) l l t u l i i l u l l ，v u p n 0 q 1 ，i i t u l i l i 钆i i ，v u p n a q 2 ， 或 ( i i ) l l t u l l 0 u i i ，v u p n 0 1 2 1 ，l i t u l l l l 乱| l ，v u p n a q 2 ， 则t 在pn ( 豆2 q 1 ) 中至少有一不动点 下面我们给出齐次边值问题 三二： l 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 lv t ( t ) = 0 ，0 0 ，使得 1 i mm i n 型：+ o 。 成立 ( 凰) 存在r 露口( s ) d s o ，使得詹g ( s ，s ) ( p ( s ) + 口( s ) ) 幽磊五夏南 成立，这里r = m a x o 。lg ( s ，7 ) 詹h ( 1 ，r ) d r ( 凰) h n b 。+ o 。掣= + o o 在( o ，1 ) 的任何闭子区间上一致成立 1 3 擎 i 第二章一类奇异半正微分方程组的正解 对于讹e ，我们记 矿书l 篡竺 令u ( 亡) = 詹g ( t ，s ) q ( s ) d s ，0 t 1 由( 日1 ) 我们有 。) = f 0 1g ( 如) q ( s ) d s f 0 1g ( s ，s ) 口( s ) d s 丢z 1q ( s ) d s + o o 故叫( 亡) p 由计算可得( 亡) = - q ( t ) ，u ( o ) = u ( 1 ) = 0 因此u ( 亡) 是以下边值 问题 i 一( 亡) = g ( 亡) ，0 t 1 ， l “( o ) = 让( 1 ) = 0 的正解 我们考虑以下非线性奇异微分方程组 v ( t ) u ( t 0 ， 1 ) i ( 1 僻豢= ：蒜 仁她， ) = f og s ) ，( s ，f oh ( s ，r ) 卅州丁) 叫r 矿) + 口( s ) d s ，帅) p 1 4 l k “ 0 0 l碱删 n i i l | = i l m 们州州岫崎 一 一 似“ 曲阜师范大学硕士学位论文 下面我们来考虑非线性积分方程( 2 。2 3 ) 对v u ( t ) p ，显然有 “( s ) 一 u ( s ) i l u l l ，则由g 的连续性及( 凰) 可知 夕( s ，【牡( s ) 一u ( s ) 】+ ) 夕( s ，l l u h ) 。m ! 。a x g ( s ，l l u l l ) ：2g ， 厂1 日( s ，丁) 9 ( 1 ，阻( 下) 一u ( 7 ) 】) d r 厂1 日( 1 ，7 ) 9 ( 7 一，阻( 丁) 一u ( 下) r ) d 下 j 0j 0 9 1 日( 1 ，7 - ) 打：= r 1 从而对v t f 0 ，1 1 ，根据( 峨) 可得 钍( 亡) = f o c ( t ，s ) p ( s ，j 0 1 日( s ，r ) 9 ( 下，【仳( 丁) 一u ( 丁) 】+ ) d 丁) + q ( s ) 羔f 0 1 g ( s s ) ( z 1 耶，丁) 卅， 钍( r ) 一矿) 打) + q ( s n ：f o ：g ( s ，s ) 【p ( s ) + q ( s ) 】d s ( 2 2 6 ) 这里1 = m a x o 一z r 。危( 名) + i ，r i 由( 2 2 5 ) 定义 我们定义非线性积分算子t ：尸一e 如下 乳= f 0 1g ( 如) ，( s ，j ( 0 1h ( s ，丁) 卅，) 一旷) 打) + g ( s ) 出，地p ( 2 2 7 ) 易知方程组( 2 2 1 ) 正解存在当且仅当( 2 2 3 ) 正解存在，当且仅当算子r 在c o ，1 】 中有不动点若让( 亡) 是算子t 在c o ，1 】中的不动点，则( 2 2 1 ) 有一正解( z ，可) ， 即 iz ( t ) = u ( 亡) ， t 秒( 亡) = f o i h ( 亡，s ) 夕( s ，阻( s ) 一u ( s ) 】+ ) d s 引理2 2 2 若( u ，u ) 是方程组( 2 2 1 ) 的正解，且让( 亡) u ( 亡) ，t 0 ，1 】，则 ( u 一叫，口) 是奇异半正微分方程组( 2 1 1 ) 的正解 证明若( 心， ) 是方程组( 2 2 1 ) 的正解且牡( t ) u ( 舌) ，t 【0 ，1 】，则由( 2 2 1 ) 1 5 第二章一类奇异半正微分方程组的正解 及 u ( 亡) r 的定义可得 i 一( ) = ，( t ，可( t ) ) + q ( 亡) ，0 t l ， 一( 亡) 5 夕( 蝴) 一u ( 亡) ) ，o 亡 1 ，( 2 2 8 ) 、。o ， ( 1 ) _ 0 1 iu ( o ) = 口，( 0 ) = ( 1 ) = 0 令钍1 = u u ，则让：= 一，从而( t ) = 乱：( 亡) + ( t ) = u t ( t ) 一g ( 亡) 这样 ( 2 2 8 ) 可变为 i 一心：( t ) = 厂( 亡，u ) ) + q ) 一q ) ，0 t 1 ， 叫，( d = 夕 一“d ) 0 0 ，使得v u d ，i l 乱0 l 1 ， 则心( s ) 一u ( s ) r 也( s ) i l 1 ，由( 吼) ，结合( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 可得 z 1 日( s ，丁) 9 ( l 【( 丁) 一u ( 丁) r ) d 丁0 1 日( 1 ，丁) 夕( 丁，阻( 丁) 一u ( 丁) r ) d r h ( 1 ，7 - ) 夕( 7 - ，l 1 ) d r ( 2 2 1 0 ) ，1 m a xg(s,l1081 ) 上日( 1 ，丁) 加= 岛 一 7 ， 、。7。 由( 2 2 6 ) 可得 t u ( t ) n 2 c ( 8 ，s ) 囟( s ) + q ( s ) d s + o o ， 这里n 2 = m a x o 0 ，使得当亡1 ，t 2 【0 ，1 】，i t l t 2 i 6 时，对v s 【0 ，1 】有 i a ( t 1 ，8 ) 一g ( t 2 ，s ) i n f l ( s ) + g ( s ) ) _ 1 e ，( 2 2 i i ) 从而对v u d ，结合( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 1 1 ) 有 = l z l ( g m s ) 一g 渤s ) ) ，( s ，f oh ( s 咖( 下，) 一时矿) d 丁) + 口( s ) 幽i z 1i g ( 也s ) 一g 渤，s ) i ，( s ，f oh ( s 咖( 丁，) 一圹) 打) + g ( s ) d s z 1i g ( 圮s ) - g 池，s ) i 九( 0 1 耶，丁) 卅，阶) 一矿) d 丁) + g ( s ) n 2 ( 1 l a ( 九s ) 一g m ，s ) li p ( s ) + 口( s ) 】d s 0 ，使得 l l u o l i l 2 ，i l i i l 2 类似于( 2 2 4 ) ， 夕( s ，【u n ( s ) 一u ( s ) 】4 ) g ( s ，l 2 ) o m 。a x g ( s , l 2 ) ：29 2 ， ( 2 2 1 2 ) 1 7 第二章一类奇异半正微分方程组的正解 咿一( 丁训圳z 0 0 1g ( s ，s ) j ，( s ，j f 0 1h ( s 咖( 下肛打) 叫州d ，- ) 一，( s ，0 1 耶，咖( 丁( 丁) 一吣矿) d 丁1 旭 c s ，= g c s ，8 ，i ，s ，1h c s ，7 ，9 c 丁，阻n c 7 ，一u c 丁? + ，打) 。2 2 1 4 ， 一，( s ，o1 日( s ，丁) 夕( 丁，心。( r ) 一u ( 丁) r ) 打) l ， 。4 。工q 这里m = m a x o ：飓 ( 名) + 1 ，岛= 9 2f o lh ( 1 ，7 ) 打显然， 。冬z 1f ( s ) d s = 2 mz 1 g ( s ，s ) p ( s ) d s + o o 1 i t 一t 他。i i z 1 ( s ) 幽_ 。，_ + o o ) 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( 凰) 一( h 4 ) 成立，则奇异半正微分方程组( 2 2 1 ) 至少有 - - z 解( 牡， ) c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) c o ，1 】nc 3 ( o ，1 ) 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 证明对( 丑3 ) 中所述的r ，令s2 r = t 乱el l u l l 2 r ，使得 k ( t ，钉1 l v ，t f q ，冈，钐 研 ( 2 3 2 ) 另一方面，由( 2 ) ，存在属 眉，当t 陋，绷，让弼时，便得 型min，用g(t牡,u)ut e a ，五m s n 三赢而， ，用 t 正 。 前 2 r 且素 j r 。 i t u l i l i 钍i i ，v u a q 彤n q ( 2 3 4 ) 由( 2 3 1 ) ，( 2 3 4 ) ，结合引理2 2 1 ( i ) 可知，t 在砭舻g 中至少有一不动 点证毕 定理2 3 2 假设( 风) 一( 上以) 成立，则奇异半正微分方程组( 2 1 1 ) 至少有 一正解( 钆，幻) c o ，1 】n6 吨( o ，1 ) c o ，1 】nc 3 ( o ，1 ) 证明由定理2 3 1 可知，t 在豆r q ，中至少有一不动点u o ( ) ，满足 2 1 第三章三阶非线性奇异微分方程组的正解 3 1 引言 近年来，关于三阶非线性边值问题( b v p ) 得到了很好的研究，文【1 5 】详细 地讨论了以下边值问题 让肼( 亡) + 入口t ) ，t 正t = o o 亡 1 ( 3 1 1 ) iu ( o ) = u i ( o ) = 0 ，q ( 1 ) + b u ( 1 ) = 0 正解的存在性，这里入是正参数作者根据入取值范围的不同，运用不动点 定理，得到了有关b v p ( 3 1 1 ) 是否存在正解的多个结论文【1 7 】运用g u o k r a s n o s e l s k i i 7 8 不动点定理讨论了以下边值问题 i u 胛( 亡) = a ( o l ( t ， ) ，0 t 1 ， 叫，( d _ 6 m o ) ，0 k l ( 3 1 2 ) lu ( o ) = u r ( o ) = 0 ，i t i ( 1 ) = a 钆( 叼) ， lu ( o ) = 口，( o ) = 0 ，u ”) = q u ) 正解的存在性受到以上启发，本章我们考虑以下边值问题 l u l ( t ) = a o ( t ) ，( t ，牡，口) ，0 t l ， j u 肿( 亡) 2 p 6 ( 亡) 9 ( 亡，u ，u ) ，o t 0 ，g c ( 0 ，1 】x 【0 ，+ o o ) 【0 ，+ o o ) ， o ，+ o 。) ) ，a ，b c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ o 。) ) 且在t = 0 ，t = 1 奇异， 但在( 0 ，1 ) 上不恒等于零 3 2 预备知识 引理3 2 1 1 1 1 设( e ，| i 1 i ) 是b a n a c h 空间，p 是e 中锥，假设q 1 ，q 2 是 e 中开子集且日q 1 ，丽1cq 2 如果 t ：pn ( _ 2 q 1 ) _ p i 曲阜师范大学硕士学位论文 j ，牡= a z l g s ) 。( s ) 帅，u ( s ) ，巾) ) d s ) = p 上g ( 如) 6 ( s ) 9 ( s ，u ( s ) ，可( s ) ) d s ，、f 矧