（应用数学专业论文）带脉冲项非连续函数的推广的gronwallbellman型不等式.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 带脉；中项非连续函数的推广的g r o n w a l l - b e l l m a n 型不等式 摘要 积分方程不等式是微分方程理论中一个十分重要的部分，它具有深刻的 物理背景和数学模型近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发 展和广泛的重视有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结 果特别是近几十年，积分方程不等式研究发展的相当迅速，其中以g r o n w a l l - b e l l m a n 不等式的研究最受人们关注，因此也被研究的比较深入和广泛，无论 是从不等式的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展( 部分结果可参见文 【1 j - 3 5 ) 本文推广了g r o n w a u - b e l l m a n 型不等式，对脉冲型积分方程进行了进一步 的研究，得到一些新的结果 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题。 第二章在这一章中，我们用两节分别研究了几种推广的带脉冲项的v o l t e r r a 型积分方程的不等式其主要结果如下：这两节我们主要考虑了如下带脉冲项 的v o l t e r r a 型不等式 ，t u ( t ) k c t ) + n ( t ，s ) 让( s ) d s + ：展u ( 如一o ) ( 2 1 1 ) j t o t o 碌t 和非线性带脉冲项的v o l t e r r a 型积分方程 出) = 即枷t 上怖m s ) 】寸卜z 。邑蕾触( 甄- 0 ) t ( 2 2 2 ) 在第一节中，将o l i v i al i p o v a n 在文【17 】中的结论推广和改进到带脉冲项 的积分不等式( 2 1 1 ) ，得到了新的不等式证明 在第二节中，我们主要讨论了方程 如h ( 卅皿t 上撕删s 舳卜窖。邑卫蒯2 川) ( 2 2 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 对积分不等式( 2 。1 1 ) 进一步的推广和改进到非线性的情况，最后得到了一些 应用更广泛的新不等式 第三章在这一章中，我们主要研究b i h a r i 型带时滞项的积分方程不等 式我们考虑了下面的积分方程不等式 妒( ) sn ( t ) + a ( 8 ) o ( s ) d s + 6 ( 5 ) 妒( s ) 如+ a i 9 9 m ( 如一o ) ，v t t o ， j t o ，n ( t o ) t o 一 t i t ( 3 1 1 ) 这节我们将得到不等式( 3 1 1 ) 在【t o ，) 上的一些新结论，同时将给出一个反 例，修正了文【5 】中的结论，从而得到了一些新的结果 关键词：时滞项；脉冲项；积分不等式；非连续函数；v o l t e r r a 型不等式； b i h 矗i 型不等式 i m p r o v e dg r o n w a l l - b e l l m a n d i s c o n ti n u o u st u n c t l o nw i tn 一 一 - 1 a b s tr a c t - i n e q u a l i t i e si o r - i m p u l s i v et e r m t h ei n e q u a l i t yt h e o r yo fi n t e g r a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c ho t i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b e c a u s ei th a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t k n a t h e m a t i c a lm o d e l s i nr e c e n ty e a r s ，t h i st h e o r yh a sm a d eq u i c k l yd e v e l p m e n ta n dw i d e l yc o n s i d e r a b l ei nt h ef i e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s i a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n yg o o d e s u l t s i nv e r yr e s e n ty e a r s ，t h i sf i e l dd e v e l o p e dv e r yf a s t ，e s p e c i a l l y , t h er e - ：e a r c ho ft h eg r o n w a l l - b e l l m a ni n e q u a l i t y s oi tr e s e a r c h e dm o r ew i d e l ya n d n o r ed e e p l yt h a no t h e ri n e q u a l i t i e si nt y p ea n dm e t h o d s o m er e s u l t sy o u c a r l e ef 1 1 f 3 5 1 ) t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot w os e c t i o n st oi n v e s t i g a t es o m f i n d so fi m p r o v e dv o l t e r r at y p ei n t e g r a le q u a t i o nw i t hi m p u l s i v et e r m s 佬s t a t et h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ：f i r s t ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ( t a m p e dv o l t e r r at y p ei n t e g r a le q u a t i o ni n e q u a l i t y u 洲卅r 。s ) 小) d s + m dt h en o n l i n e a rv o l t e r r at y p ei n t e g r a le q u a t i o nw i t hi m p u l s i v et e r m s ( 2 1 1 出h + 皿圻 s ) 毗舭s 卜邑，出川) ( 2 2 2 i nt h ef i r s ts e c 颤o n ，w ei m p r o v e dt h er e s u l to fo l i v i al i p o v a ni nt h ea r t i c b 1 7 t h ee q u a t i o ni s 珏叫卅( 巾，s ) u ( s ) d s + l 屈u ( 岛一o ) 。 t o 1 的情况本章将对此问题的错误进行修正，并对其进 行一定的推广 2 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 2 1一类推广的v o l t e r r a 型积分方程不等式i 积分不等式在微积分方程的质量分析中是十分有用的，一些近期的研究开 始与2 0 0 0 年o l i p o v a n 在j m a t h a n a l a p p l 上的一篇文章，其后b g p a c h p a t t e 等专家学者又做了很多这方面的工作，可参考文献 2 1 一【2 6 】在这篇文章中， 我们主要考虑了一类带脉冲项的v o l t e r r a 型积分不等式 ，t 让( 舌) 尼( t ) + a ( t ，s ) u ( s ) d s + ：屈乱( 如一o ) ，vt t o ，幻 t o 云 同时通过例题，我们根据研究的不等式得到了一类方程解的有界性 2 1 2 主要结果 在这一部分，我们的主要结果在下面的定理中给出 定理2 1 1 假设一个非负连续函数u ( t ) 在t t o 0 ，具有第一类不连续点 仇) ，t = 1 ，2 ，满足不等式： u ( 亡) 七( t ) + o ( t ，s ) u ( s ) d s + 侥u ( 屯一o ) ，vt t o 。0 t o t i t 其中七( s ) 耋o ，反= c o n s t o ，n c ( r + r + ) 且( 右，s ) 卜侥n ( 亡，s ) c ( 蜀r + ) 则对于vt t o ，函数豇( t ) 将满足如下估计式 让( t ) 七( 亡) + z i k ( t t ) + n ( 1 + 屈) t o t l tt o t i 卢。忌( t 。) + ( 1 + p 。) e $ n ( t 劫凼j “ e 一局n ( r 出辞( a ( r ，s ) 惫( s ) d s ) 打to l。 z 1 0 ) e 一髓n ( t ，s ) 出e j 奄口( t t ，s ) 如p l 克( 亡1 ) + ( 1 + p 1 ) r 1 ”嘶出啪( s ) d s ) 打 + f 睁嘶神m ，s ) m ) d s ) h 。z l ( 亡) s 卢l k ( t 1 ) + ( 1 + p 1 ) e 乇口( 妇幽 e 一m 力出磊( 。( r ，s ) 后( s ) d s ) 咖 郇) 纠卅腓- ) + ( 1 舶) e 驰s ) 幽r 睁m 劫出帅s 班s ) 卜 5 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 接着在t 厶，vt t o 应用类似的过程，我们得到 钍( 亡) 忌( t ) + p i k ( t i ) + n ( 1 + 反) e 聃踟8 ( 小心瑚m ，s ) 婚) d s ) d r t h e o r e m2 1 2 假设一个分段连续函数u ( t ) 在t t o 0 ，具有第一类间断 点他】，i = 1 ，2 ，满足不等式 ) 洲卅r 醐小) 让( 删d s + e 。卢i u 慨- 0 ) ，v 攀 其中k ( 8 ) o ，展= c o n s t 0 ，a c ( r + j ) 且( t ，8 ) 卜a , a ( 0 4 t ) ，8 ) c ( r + 兄+ ) 假设q 是非减的，对于t o , a ( t ) t ，那么对于vt t o ，函数 让( t ) 将满足如下的估计式： t ( 亡) 七( 亡) + 屈忌他) + ( 1 + 屈) ： ( e 聃a ( t 油汹肛( q ( r ) 曲。( m 啪( q ( s ) ) d _ s ) d r 证明根据定理的条件我们可以得到 u ( z ) 后( t ) + ( 口( q ( t ) ，s ) 乱( q ( s ) ) d s + 屈u ( 如一o ) 。o t o t i t 让我们考虑区间五= f t i l ，t i ，i = 1 ，2 ， 孟 ：净( t ) 盘( 亡) + 邵( 亡) 忌( 亡) + e 坛口( a ( 味s ) 出厂e 一磊n ( a ( r ) s ) 幽 西睁m 啪( 删枞d r 其中z o ( t ) = 芘o ( a ( t ) ，s ) 让陋( s ) ) 幽 6 曲阜师范大学硕士学位论文 p c t 1 2 = p l ，亡2 】= 净u ( t ) 后( ) + o ( q ( t ) ，s ) u ( 口( s ) ) d s - 4 - 卢l u ( t l 一0 ) j t o 纠卅( 1 口( 姒s ) 让( q ( s ) ) d s + f t a ( q ( t ) ，s ) u ( q ( s ) ) d s + 卢t “( t t 一。) 令 z 1 ( t ) = f ? o ( 口( 亡) ，s ) u ( 0 f ( s ) ) d s + 脏o ( q ( t ) ，s ) 孔( o ( s ) ) d s + 卢1 u ( 芒1 一o ) ，i c l z ：( t ) = 侥口( 口( 亡) ，s ) 仳( q ( s ) ) 7 ( t ) d s - 4 - n ( q ( t ) ，t ) 札( q ( 亡) ) j t o ，c + o t a ( a ( t ) ，s ) u ( q ( s ) ) 0 f 他) d s ，t l o ( 口( 亡) ，z ) 【尼( q ( 亡) ) - 4 - z l ( t ) 】- 4 - ao(凸(t)，s)陋(0f(s)+zl(s)ldsp 1 i ，t o p e + a o ( q ( 亡) ；s ) 后( q ( s ) ) + z l ( q ( s ) ) l d s j t l 因此 z i ( t ) o ( 乜( t ) ，t ) 陋( q ( t ) ) 4 - z 1 ( 亡) 】+ a o ( 口 ) ，s ) 限( q ( s ) ) + z l ( s ) 】d s p c j t o 我们得到 删咱扒d 上。t 。( m s ) d s ) 丢( 石啦，s ) ( s ) ) 幽) 对于上面的不等式两端同乘以e 一丘n ( q ( t ) ，s 灿，我们得到 磊d ( 引咖州t ) 邮5 ) e - 脚鼽出爰( ( 榔) 7 s 磁q ( s ) ) 从t l 到t 积分上面的不等式 7 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 而 名z e 吨n 哦如螂1 ) e 埘巾m 小冲+ r e 氓巾( r ) ，5 ) 幽 缉( ( 巾 s ) ( s ) ) d s ) 咖 z 1 ( t 1 ) e 睹a ( 邮1 ) s ) 出厂h e 一焉巾( r ) s ) 幽辞口( q ( r ) ，s ) 七( q ( s ) ) d s l 打+ 尻 七( t 1 ) j t o l o 故 + e 腐口( 。( t 1 ) t s ) a s p 1 七( t 1 ) + ( 1 + 卢1 ) 础如m 如r 1 e - 上二b ( q ( r ) 。) d 3 4 ( 口( q ( r ) ，s ) 七( a ( s ) ) d s ) d r ) e 一局口曲如出屏( 。 ( r ) ，s ) 后 ( s ) ) 品) d r z l ( 芒) e j 乏n 陋( t ) ，s ) 如e 一0n ( 口( t t ) ，。) 出卢1 尼( t 1 ) + ( 1 + 卢1 ) r 1 e 一叩吐汕帅( q s ) 忡舯卅 + 肛由( a ( 吐( 0 ( m 啪( 删酬d r z l ( t ) f l l k ( h ) + ( 1 + p 1 ) 如似觋啦5 一小( r ) 一幽帅( m 啪( 删卜 让( t ) 忌( 亡) + 卢l k ( t 1 ) + ( 1 + 尻) e “t 。叭a l ”5 j 5 上。t e 一f ：毛口( n ( r ) s ) 如缉( 。( q ( r ) ，s ) 反q ( s ) ) d s ) d r 接着在t 厶，vt t o ，应用类似的推理过程我们得到 8 曲阜师范大学硕士学位论文 乱( t ) 尼( ) + f l i k ( t i ) + i i ( 1 + 屈) 舶o ( a 一幽肛钾r ) 班训惭) ) s 磁俐d s ) 卜 2 1 3 应用 在这一部分，我们给出定理的一个简单应用 u ( t ) = 七( 亡) + f ( t s ，u ( q ( s ) ) ) 幽+ u 他一o ) ， ( 2 1 1 ) ，0 o 石 0 如果u ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 的任意一个解，那么 ) i i 尼( t ) l + b t l k ( t t ) l4 - i i ( 14 - 屈) o “ to “ ， e 菇如( 州幽- 【e 一鬈如( 州出屏( o ( q ( r ) ，s ) ( q ( 争) ) d s ) 炒 证明在方程( 2 1 1 ) 中应用( 2 1 3 ) ，我们得到 l u ( t ) l i + f 口( q ( 亡) ，s ) ( s ) ) | d s + u ( 屯一o ) ，o o 五 t 根据定理2 1 1 ，我们得出结论， 2 2一类推广的v o l t e r r a 型积分不等式i i 9 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 2 2 1 引言 在这一章中，我们主要考虑的是带脉冲项的v o l t e r r a 积分方程 可( z ) = m ) + 七( 叩) 可s + 屈( 盈一o ) ( 2 2 1 ) 缸h + 皿”地眦舭s 卜邑茁腓_ o ) ( 2 2 2 ) 其中，( z ) ，七( z ，8 ) 是非负的已知函数，函数q ( 钍) 和函数( u ) 都是正的，关于 口是不减的令，代表区间0 ，t = 1 ，2 ，满足不等式 俐皿 r 吣刚s ) 】如) + 。三。腓- 0 ) m 独 其中h ( s ) o ，屈= c o n s t 0 ，则对于vt t o ，函数o ( t ) 将满足下面的估计； 埘叭t ) h 矧( 1d - 卢i ) 1 + 壹霍陋汜k + l k = li - k 砸m 彬s 、) 1 - i幻 “ tll 。 + 皿 j _ 1 ( z 。九c s ，9 c s ，d s ) ) f 2 2 3 ) 其中巧1 为r 的逆 ，ui 毋( ) = ! q i i ( 1 + 展) j 0 l t o t i 睢k = l 皿( 硅c e l 忡m 彬s ，卜，n ， 且 ，t 九( s ) q 【夕( s ) 】d s d o m ( f i - 1 ) ，让 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 证明根据定理的条件 器外卵，皿眨吣，q ( 篙) d s 卜t o t i t 屈厕o ( t , - o ) 蚓t ，卜队，q ( 篱) d s + 幻乏。屈蔫) 令 叫( t ) = 1 + 邮) = 鬻， m ，q ( 篙) u ( t o ) = 1 ， _ 蚓t ，卜咖s 埘绯舭s 卜点。屈揣) u ( t ) 夕( 亡) 叫( 亡) ， u ( t i o ) g ( t i o ) 伽( 如一o ) 根据上面的条件， 邢) 缈皿( r 砸刚s 川冲) + 幻未。眦- 0 ) 1 + 皿( ( m s 脚( s ) 】d s ) + 。东。驯) 让我们考虑积分区间厶= f t 彘1 ，i = 1 ，2 ， j 坤旧叫石1 ( 胁m s ) x e e 。f o ( 虻( 高 1 2 丽揣 展。眯 曲阜师范大学硕士学位论文 亡厶= h 】暑川) 1 + 皿 f l 吣) g ( s ) q m s ) 】d s ) 怕邮t _ o ) 1 + 皿郴吲忡( s ) 】d s ) + 皿 r 吣) 小) q m s ) 】幽) 柏坤，- 0 ) 鲰怕， 1 叫石1 ( 小咖d s ) + 皿眨m m 忡( s ) ) d s ) 令 q 【叫( 亡) 】q ( 1 + p - ) 1 + ( 宵1 ( ( 1 允( s ) 9 ( s ) d s ) ) + 皿( r 郴m s 删s 凇s ) ) 币丽f 杀g o - 前而嘲鲥9 ，q ( 1 + 卢t ) 1 + (1 ( 璧危( s ) 夕( s ) d s ) ) + ( r - ( ) ) ) y 从 叭u 1 3 丽 一口， 旦州 坳 篓 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 因此 酬矸1 ( ( m s ) 号坤矧1 柏， ( 石1 ( 小咖如) ) + 皿( 矸1 ( 肛m 班s ) ) 邮) 1 + 皿( ( 吣) 小) 咖( s ) ) d s ) 舶邮t _ o ) + 仍婶2 _ 0 ) 外皿( 肛s m 忡，出) + 皿( 小咖嘶舯s ) + 皿( r 吣) 如) 吣( s ) ) d s ) 舶邮- _ 0 ) + 仍婶。_ 0 ) 鲫俐1 侧卜( 盯1 ( ( 1 郴m s 灿) ) + 皿( 矸1 ( r 2 c 咖c 郴s ) ) + 皿( r c s m s ，q c 加c s 胂s ) 令 啪胚q ”剐c 1 侧卜( 盱1 ( 小s 圳s ) ) + 皿( 耳1r 2 砸m s ) + 皿( ( m s ，q c 伽c s 胂s ) ) 脚，= ( 冲例1 侧( 1 + 皿( 盯1 ( 小咖d s ) ) + 皿( 耳1 ( 小咖如) ) 删) ) - 1 妃 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 必旭dt 一 、，j 、， 聊) 巧1 ( f m ) 小) 纠 因此 挺j 1 3 暑啡) 0 ，皿( s ) = s ，q ( s ) = s ，展= 0 通过 ( 2 2 3 ) 能够得到经典的g r o n w a l l b e l l m a nf 1 9 如果屈0 我们得到文献 【3 0 】中的结果 定理2 2 2 令7 - ( s ) m 和在t t o 0 上的非负函数口( 孟) 具有第一类间断 1 5 一一1j 写、 卜0 皿 地；m + 0 l 危 a _ 柚 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 点他) ，i = 1 ，2 ，满足不等式 吣侧重 m 删小) ) 】d s ) + 。三。眺_ 0 ) m 独- 这里关于，( t ) ，9 ( t ) ，h ( s ) 的定义同定理2 2 1 ，展= c o n s t 0 则对于vt t o ， 函数e ( t ) 将满足估计式 o ( t ) ，( 亡) 9 + 皿 ，如一 + l 兵中j ：1 是寥i 的逆凼数兵足义为 踯，= e 黔圳 i + e 皿( j 二：( e ：。+ 1 危c s ，g c 丁c s ，d s ) ) + 皿2 t ， ) ) 一1 d t ，t 忽( s ) q b ( r ( 8 ) ) 冲d d m ( 巧1 ) ， 证明根据定理的条件可以得到 器外鲍，皿泓加( 耕) 幽) + 。三。风黼 纠小皿协s ，q ( 帮) 幽) + t o t i t 屈蔫j 令 1 6 ii，-一r-、；胁训 屈 涫 十 0 h 从 默 幻 巧 盟脚 i l 、l ， u 曲阜师范大学硕士学位论文 邮h + 皿 ( 吣，q ( 帮) d s ) + 我们得到 u ( t ) 夕( t ) 伽( 古) ， 让( 屯一0 ) g ( t i o ) 叫( 屯一o ) ， 媒夕( 丁( s ) ) 伽( s ) ， ，( 7 ( s ) ) 。扒u 叫r 门 口( r ( s ) ) - 厂( 7 - ( s 2 ) 9 ( 7 - ( s ) ) 伽( s ) 9 ( 7 ( s ) ) ，( s ) 伽( s ) ， 掣夕( 丁( s ) ) 伽( s ) ，( s ) 一趴_ 叫广r 厂 根据前面的条件， 邮) 1 + 皿( r 吣删小黼) ) d s ) + 。三t 腓叫 1 + 皿( r 忡m 丁( s ) 剿s ) ) d s ) + 。东。腓_ 0 ) 然我们考虑区间厶= 【t i - 1 ，t i 】，i = 1 ，2 ， 其中 则 号啡， _ 1 - 1 - ( 盯1 ( rm m 丁) ) 厂u出 蜀( u ) 2 u o 高。 ，。工i 。， 1 7 0 一一 一赴二9 如一0 吼| i 一他 一，j 啄幻 第二章一类带时滞项的v o l t 毫r r a 型积分方程不等式 古厶却z 】考婶) 1 + 皿 ( 弘) 加( s ) ) m ( s ) ) d s ) 卦皿吣m 丁( s ) 删s ) ) d s ) + f 坼) 加( s ) ) q ( 吣) ) 如) 舶邮- 0 ) 鲰帕， 1 叫盯1 ( 1 忡m 丁冲) 叫肛m 丁删啪m 定义r l ( t ) = j ： ( s ) 夕( 7 - ( s ) ) 52 ( 叫( s ) ) 抛 呲胚q ( 1 + 剐卜( 石1 ( 小咖圳幽) ) + 皿( 肛m 丁删圳训) 币丽f 而f o - 而研面丽鲫咖fq ( 1 + 卢) ( 1 + m ( 1 ( 启九( s ) 夕( 丁m s ) ) + 皿( r t ( 删y 从叫叭八卜 令 脚，2 ( 币丽f 币靠而硼 删荆夕(7(z)，dt 一 、，j 、， 酬耳1 ( r m 丁( s ) ) 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 r 2 习邮) ( 1 帕) 1 + 皿( 石1 ( ( 1 吣) 如) d s ) ) 、 + 皿( ，1 ( 肛m 丁油) ) 呻) 1 + ( ( ) 卅( s ) ) q ( 吣) ) d s ) 帕邮o ) + 尾呻2 枷) 1 + 皿( r 1 郴) 咖( s ) ) q ( 吣) ) d s ) + 皿( r 2 吣) 加( s ) ) q ( 吣) ) 如) + 皿( ( 吣) 卅( s ) ) 吣( s ) ) 书怕邮- 0 ) + 阮邮z _ 0 ) 鲰圳1 + 仍，卜( 盯1 ( ( 1 吣m 丁油) ) + + 皿( 矸1 ( r 2m m 巾) ) d s ) ) + 皿( ( ( s m s ) q ( 叫( s ) ) d s ) 令 啪胚q ( 1 + 刚1 倒卜( 盯1 ( 小s m 丁) ) + 皿( 耳1 ( 小s m 丁灿) ) + 皿( e 危( s ) 夕( 7 一( s ) ) q ( 叫( s ) ) d s ) ) 踯，= ( 娜1 堋1 圳( 1 + 霍( 盯1 ( 小s m 丁) ) + 皿( 耳1 ( 小咖) ) 例) ) _ 1 班 1 9 第二章一类带时滞项的v o l t e r r a 型积分方程不等式 因此 幽荆夕(删，dt 一 、。，j 、。， 蹦啦巧1 ( ( 吣) 卅( s ) ) d s ) 右厶；川) ( 1 柏) ( 1 + 仍) 1 + 田( 盯1 ( ( 1 ) 卅( s ) ) d 号) ) + 皿( 矸1 ( r 2h ( 咖s 胂s ) ) + 皿( 巧1 ( ( m 丁，出) ) 接下来，在区间t 厶，vt t o 应用类似的推理，我们得到 郴t o 黔 t ； 1 + 壹k = l 皿( 砬汇+ 1 吣圳丁、) t l。h i + 皿( 耳1 ( 小s m r 汹) ) 由于w ( t ) 的定义即 e ( t ) ，( ) 夕( 亡) 叫( 亡) ，v t t o 我们就完成了定理的证明 2 2 3 应用 在这一部分我们主要研究了( 2 2 1 ) 形式方程解的有界性： 例2 2 1 假设 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) 函数q ，霍r 且母满足次可加性， ( i i ) k ( x ，s ) ( z s ) 在i i 上有定义且连续， k ( x ，z ) = 0 ， k ( x ，8 ) 夕( z ) 九( s ) ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中夕( z ) ， ( s ) 是连续函数，夕( z ) l ， ( s ) 0 如果可( z ) 是方程( 2 2 1 ) 式的一个在i 上有定义的解，那么 叭圳鲥咖t o 黔 t ；删 l + 壹k = l k l 汇+ 1 吣m 刚s ) j tlpq 一七 + 叫f 1 ( 胁m 帕) ” 其中巧1 是e 的逆函数，定义方式同在定理2 2 1 z i ci ，由此得到 ，u h ( s ) q g ( s ) l d s d d m ( 耳1 ) ，u 根据定理2 2 1 中的证明我们就可以完成本例题的证明，这里我们省略详细的 证明过程 2 1 第三章b i h a r i 型积分不等式 3 1b i h a r i 型积分不等式 在这一部分首先对此问题做一个介绍：此类问题在1 9 7 7 年由s a m o i l e n k o 和p e r e s t y u k 提出； 在t t o 0 上的非负分段连续函数u ( t ) 满足： 让( 亡) c + 卜( 7 ) u ( 7 - ) 打+ 屈让( 如一o ) 一t o t o t i o t i 是函数让( 亡) 的第一类间断点，则对于函数u ( t ) 有估计式 u ( 亡) c i i t f。(1+屈)expz。(s)ds，v亡；。oti o 0 ，m 1 如) ( t l t 2 ，l i i m _ o ot i = ) ，t i 是v ( t ) 的第一类间断点则对于函数v ( t ) 满足； 在0 m 1 ，vt t o 时， 哪黔圳c-m-t-(1-m)tz 出) d s r o t i 0 1 ，v t t 。：y ：op ( s ) d s 而i 厨：三豪耳两对时 y ( t ) c ( 1 + 觑) 1 - m - 1 ) c m 一- ( 1 + f l i ) m 一- t p ( s ) d s “一1 ， o t i tl t o 以 j t o j 在2 0 0 4 年b o r y s e n k o 将此不等式作了，进一步的推广，对于脉冲项其推广 到非线性项，有如下结果： 在j = t o ，o o ) 上的非负分段连续函数v ( t ) 满足 y ( 亡) s 矽( 舌) + g ( 7 - ) y ( r ) 打t a i v 仇( t i o ) jt o t o 乏 o t 是y ( r ) 的第一类间断点他】- ( t l t 2 ，l i m 一+ o 。t i = o o ) ，则对于函数v ( t ) 有估 计式 即隳，(1+ai妒m-沁踟exp鼢s)ds,0m1,vtt弛oti r o t l uj 坤) 洲觋。( ，1 + a i 妒m - 1 t( 堋e x p m rg ( s ) d 扣斛，耽独o t i lv oj i o v a n e 在2 0 0 5 年将b o r y s e n k o 的结果推广到时滞的情况，有如下结果： 芭t t o 0 上的非负分段连续函数妒( 舌) 其具有第一类间断点他) ( t o t i ；2 0 ，屈= c o n s t o ，7 ( s ) 是一族函数： 丁：冗- - + r 7 ( s ) s ，1 i m7 ( s ) = o o ，卜+ 则vt t o ，幽效妒满足如f 估计式 如果0 m l ； 绯胁t 瑰。( 1 伽一m 跏唧 r 如) 帮d s ， o t i t 。0 、7。 如果m 1 ； 胁t 肿怖一m 拈p mz 。如) 帮d s 】， o t _ i l 。i , 0 、7j ：这里妒( 岛一0 ) = l i m t 一屯一0v ( t ) 另外i o v a n e 还指出若妒( t ) 满足； 绯胁删r 郎肌( s ) ) d s + 。三。缈慨- 0 ) m 孙 其中仇，履，佗( 亡) ，夕( s ) ，t ( 8 ) 同上，q ( t ) 1 ，则vt t o ，函数妒( 亡) 满足估计式 如果0 m 1 ，vt t o ； 妒( 亡) n ( t ) ( 1 + 展n 州( 如) g m ( 屯) ) 。 1 + ( 1 - - m ) f 如胪_ l ( s ) g 叶( s ) ) 帮叫， 曲阜师范大学硕士学位论文 如果m 1 ，vt t o ； 妒( t ) ( ) ( 1 + a m n m 。1 ( t i ) q m ( 如) ) l 一( m 一1 ) 【1 7 ( 1 + f l , m n 仇一1 ( 如) g 仇( 如) ) 】m 一1 r 如( s ) 州s ) ) ( 帮) 一， 这里要求 妒( 屯一o ) 2t + l i t m ；一。妒( 亡) ， 。胁洳s ) ) 帮ms 1 7 , m - 1 1 d 夕( s ( s ) q m ( 7 - ( s ) ) 掣ms = ， | ，t o ，l d ， ， i i ( 1 + f l i m n m - 1 ( 如) q m ( 屯) ) ( 1 + 击) 由 t o t j i t a g a l l o ，a m p i c c i r i l l o 在2 0 0 7 年将上述结果做了一定的推广： 在t t o 0 ，上的非负分段连续函数v ( t ) 其具有第一类间断点 “) ( t o t l t 2 ，l i 驰一o 。t i = 。) 且满足不等式 r t v ( t ) 妒( t ) + 夕( ) q ( s ) v ( t ( s ) ) d s + p ( ) a i v m ( 如一o ) ，t o t o 一 t o ，是正的非减函数，a ( t ) 1 ，p ( t ) 1 ，留( s ) c ( r + ，r + ) ，r ( 8 ) 是一族函数： r ：月冗7 - ( s ) s ，m l i m 。7 - ( s ) = 第三章b i h a r i 型积分不等式 ( 丁= t ( 8 ) 是时滞项) ，a i 0 ，m 0 则在t t o ，v ( t ) 有如下估计式 若m 【0 ，1 】， y o ) 妒 ) g ( t ) p ( 亡) n ( 1 + 啦妒m 一1 ( 也一o ) g m ( 屯一o ) v m ( 如一o ) ) e x p r 如m 小加s ) ) 帮小 若m 1 ， y ( 亡) 妒( 亡) 夕 ) p ( 亡) ( 1 + a i 妒m 一1 ( 如一o ) 9 m ( 南一o ) p 仇( 赴一o ) ) 一m 如m 丁( s ) 贼删帮斗 b o r y s e n k o 等人的结果在2 0 0 4 年以后是有错误的，此前的结果不能应用到m 1 的情况本章将对此问题的错误进行修正，并对其进行一定的推广 3 1 2 主要结果 首先举一反例说明此前的结果不能应用到m 1 的情况 如果上述定理是正确的，则对于函数妒( t ) 满足 以 4 e 2 t 【2 ，3 】 t 【2 ，3 】 故妒( t ) 满足定理条件，但是妒( 亡) 不能满足估计结果 下面给出主要结果及其应用 t h e o r e m3 1 让我们考虑一个分段连续的函数妒( 古) 在t t o 0 ，具 有第一类间断点他) ( t o t l t 2 ，l i 驰_ + o o t i = o 。) 满足积分不等式 妒( t ) n ( 亡) + 厂。( s ) 妒( s ) d s + 严6 ( s ) 妒( s ) d s + n t 矿( t i - - o ) ，t ( t i v t toj 妒( t ) n ( 亡) + o ( s ) 妒( s ) d s 十6 ( s ) 妒( s ) d s + ：n t 妒m o ) ， t o j a ( t o ) t o 杀t 其中n ( 亡) 在t t o 是一个正的非减函数，n ( s ) ，b ( 8 ) c ( 冗+ ，r + ) ， 0 ( s ) 与g 族函数： q ：r _ r q ( s ) s , i i m i 。l _ + a ( s ) = o o ，a 是非减的 a i 0 ，0 m 1 ， 则对于vt t o o ，函数妒( ) 将满足如下估计式 9 0 ) n ( 亡) ( 1 + 锄礼m 一1 ( 屯一0 ) ) e x p a ( t ) + b ( 亡) 】，vt t o 。 ( 3 。1 1 ) t o t l 其中 a ( 亡) = a ( s ) d s ，t o f a ( t ) b ( t ) = b ( s ) d s ，vt t o 酽 ，却 纠毛 阻 e ， + q 亡 0 旧0 + e ， 咖曲 t 卜 + 0 k，iil，、illll 第三章b i h a r i 型积分不等式 证明根据定理的条件得到， 籍l + r 巾，器蚺e ，器d s +ef。ainm_1t他叫 蚓 m o t _ i ( t o 、7o 呻) = 器州埘_ 1 则 口(s)(s)如+广b(s)w(s)ds+ainrn-1(ti-o)吵(屯一o)】mj ) 1 +口( s ) (