（应用数学专业论文）非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究.pdf

摘要 摘要 本文从动力系统分岔理论的角度来研究非线性波方程的行波 解，行波解的分岔及其动力学行为，并结合计算机符号代数的方法 和相图分析的方法给出了不同波方程可能存在的行波解的种类，分 析了这些复杂行波解产生的原因。在实际模型中，有界行波解具有 很强的实际应用价值，目前求解行波解的方法给出的解不能明确给 出该行波解是否有界，本文根据动力系统理论的特点，利用连接平 衡点的闭轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性 波方程的精确行波解的显式表达式。 对于具有耗散项的非线性波方程，有些情况下，精确行波解不 易求出，本文就根据平衡点附近轨道的性质，给出其近似解的表达 式，拓广了求解的方法。 在研究非线性波方程中，很多方程会出现非解析解( 非光滑解) ， 对于这些非解析的行波解，尤其是p e a k o n 解和c o m p a c 自o n 解，在文 中解释了这些非解析波存在的原因，并证明了p e a k o n 解是广义导数 意义下的广义解而非弱解，c 伽叩a c t o n 解是广义导数意义下的弱解， 利用分岔理论揭示了这些非解析波解与解析波解之间的关系以及产 生这些行波解的分岔条件。 另外本文还证明了在积分常数不为0 的情况下，非线性波方程 也可以产生c o 唧a c t o n 解，当方程的首次积分比较复杂时，尤其是 出现超越函数( 例如对数表达式) 表达式时，方程的解非常复杂，可能 出现不可数多的c o m p a c t o n 解，这些c o n l p a c t o n 解有一个能量界。 最后，本文研究了柱面波方程的行波解及相关的分岔行为和动 力学性质，揭示了在柱面系统中，存在旋转的周期波族和破缺波， 给出了这些波存在的分岔条件，并解释了这些波产生的原因。 关键词：行波解，c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，孤立波，周期波，分岔， 动力系统，广义解，弱解。 a b s t r a c t t h cn o i l l i i l e a rw a v ee q u a t i o n 锄d b i 缸c a t i o nm e o r yo fd 脚i i i l i c a ls y s t 锄黜 t h eh o t s p o ti i lt l l en o n l i l l e a rs c i c l l c e ，m o 糟a n dm o r c i e n 石s t st l l r o wt l l e m 沦l fi n _ t 0 t l l e a r e 器i n 曲忙p 印e r ，f b mt i l ev i e w p o i mo fd ) ，l l a n l i c a ls y s t e m ，w ei n v e s t i g 砷e d m e 廿a l i i l g m v es o i u t i o 璐，t l l eb i 删。璐o ft r a v c l i n gw a v es o l l n i o l l s 锄dt l l e i r d y n a m i c a lb e i l a v i o ro f t l l en o i l l i n e a rw a v ee q 嘶i i lt h em e 锄劬e ，c o m b i l l i n gt h e s y m b o l i ca l 舒d ) mo fc o m p u t e ra n da 1 1 a l y s i so fp h a p o r h 面t s ，w eo b t a m e dt h e d i 丘毫嗽l tt y p e so f 订：l v e l i i l g 、a v es o l u t i o n sb 亭t 】l ，c e nd i 丘b r c me q u “o i 硌锄da l l a l y z e d m er e a s o nw 1 1 y 也e s ec o m p l e x 仃a v e l i i 培w a v es o l i n i o n sa r i kt h e 他a lm o d e l ， n 甜e l i n g 啪v es o l 砸o n s 谢t hb o u n d a r yh a v es 仃o n g l y 舯a c t i c a l 、棚，b i l tm e 础亭t h o d w h i c hf i n dt b e 衄v e l i n gw a v es o l l n i o n sc 强n o te l l s i l w h e t l l 盯t l l e l u 曲n si s b o 吼d e d h lt l l i sp a p e r a c c o r m n gt 0t h et h e o r ) ，o f 由m a m i c a ls y s t e m ，w ei n _ v e s t i g a t e n l ee x p l i c i t 锄de x a c t 舰v e l i n gw a v es o l 蛳o n so fn o i l l i n e a rw a v ee q 删o nb y 嘴i n g c h a 翰c t 髓o ft h ec l o s e d 仃萄e c t o r ) rc o 姐e c t i n ge q u i l i b r i 眦p o i i l t s觚dt l l er e l a l i b e t v 煳血eo b i t sa n d 仃a v e l i n gw a v e w h e nt l l ew a v ee q u a t i o nh 嬲d i s s i p a t i v et e m l ，i n m ec 船e ，m ee x a 吐订a v e l i n g 唧es o l 砸o i l sc a n tb eo b t a i n e d ，w eb c g a nt os t l l d yt h ea p p r o x i m a l cm 幽d 恤c hf h l dt i 地s o l u t i o 船ht l 伦c h 印t e r3 ，b yl l s i n gt l 圮d ”锄i c a lb e h v i o ro f o f b i t s n e 盯t h ee i q l l i l i b r i 啪p o i n t s 锄dt h em e t h o do fs y m b o l i ca l g c b mo fc 唧l i c 删位i n g m el l i g h e ro r d e rt c n n ，w ec 姐o b t a i l l t l l e e x p l i c i te 印s s i o n o f a p p 】( i 删她s o l m i o m ，t h e 明r i c ht h em e n l o d 删c hs t i l d yt l l ea 删i m a 圭e l u 矗o m w h e i lw es t u d yt l l e i l l m a rw a v ee q u a t i o i l s ，al o to f 啪v ce q 嘶嘲s t n - 锄m y t i c a l ( n o n - s m o o t h ) l i n i o 璐f o rt l l e 1 1 0 n - a i l a l 蛐c a l 脚e l i n gw a v c l m i o 璐，f o re x 姗p l e ，e s p e c i a l l y ，p e a k o n 锄dc o m p a c t o n ，w ee x p l a i nt l l er e a s o n w h yt h e n _ 锄a l y t i c a lt r a v e l i i l gw a v e l l n i o 撕，觚dp m v c t l l a tp “ni s g e r l a 谢i z e ds o l u t i o ni nm e8 e n 辩o fg e n e r a l i z c dd i 侬鹏碰a l 锄dt l l ec o m p a c t o ni s i i i 两北工业丈学博士学位论文 w e a l 【s o l u t i o n i nt l l em e 觚t i m e ，w eo p e no u tt l i er e l a t i o nb e 似e e nt h en 伽- a n a l y 廿删 w a v es o l u t i o r l s 锄d 锄a l y l i c a lw a v es o l u t i o i l s ，a n dm ec o n d i t i o nw h j c hb i 矗眦a t i o no f d i f r e r e n t 姐v e l i n gw a v es o l u t i o na r i s e m o r e o v e r ，j j lt l l i sp a p c r ，w ep m v e 出a tt i l en o l l l j n e a rw a v ee q u a 吐o nc a t l 百v e b i r 也t oc o m p a c t o nw h e nt h ei 1 1 t e 伊a lc o i l s t a mi sn o to e s p e c i a 王l y ，w h e n 也e 矗r s t i n _ t e g 脚e ) 【i s t si o g 撕t h i n 劬1 c t i o i l t l l es o l l n i o i l so f 、j l ，a v ee q u a t i o na r ev e r yc o i n p l e x ， 觚dt h ew a v ee q u a t i o nm a yp r o d i l c en o n n 嘲e r a b i ec o f n l 嫩t o nw h i c ht h ee n e r g yo f t b e 辩c 伽p a c t o nk i v eam 都【i 】邶m f i i l a l l y w ei n v e s t i g a t et h e 仃a v e l i n gw a v es o l u t i o n s ，b i m r c a t i o n so fi t s 强d t l l em e i fd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft i l eh y d r o g e n b 0 舶d e ds y s t e mi l lt l l ep h 鹊ec y l i i l d s h o wt h a tn l e 他e x i s 招舳t i o np c r i o d i cw a v es o l u t i o i l s 弛db f e 撕n g r a v e 锄d d i s p l a yt i i eb i f h r c a t i o nw h i c ht h e 脚e l i n gw a v ea r i 舱h lt h ep a p e r ，w ea l e x p l a i nt t l e s e 、v a v e sa r i s i n g k e yw o r d s ：1 伽e l i n gw a v es 0 1 u t i o i l ，c 0 m p a c t o n ，p e a k o n ，s o l i t a r yw a v es o l m i o i l p e 由d i c 、张v c ，b i f h r c a t i o n ，d y n 锄i c a is y s t c m ，g e n e r a l i z e ds o l u t i o i l ，w e a i 【s o l u t i o n 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版本人允许论文被查 阅和储阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫接等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一镎注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：壹：l 兰是 ) 一绰f 月占日 指导教师签名： - 舌年 伶矿参 i l 勇舌b 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取褥的成果尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包亩本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本入学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： 勺一一f 年，月f 目 第一章绪论 第一章绪论 在过去的几个世纪中，人们对线性系统已经有了深入的了解和应用，而这 些线性系统只是对复杂客观世界的近似的线性抽象和描述，在实际生活中，我 们遇到的问题往往都是非线性的，从线性到非线性的发展过程中，我们研究问 题的难度发生了质的变化，数学模型本身蕴含的现象更复杂，由于非线性本身 的难度，过去研究问题大多仅限于线性模型的研究。过去的半个世纪中，由于 受到迅速发展起来的计算机科学的促进，非线性科学的相关理论得到飞速的发 展，尤其是动力系统理论和孤立子理论，这些理论在自然科学的各个领域起着 非常重要的角色。 在非线性科学中，非线性波方程的研究非常活跃，尤其是孤立子理论，孤 立子反映的是一类非常稳定的自然现象，例如江河中的某一类水波，光纤中的 光信号传播等等，体现了一大类非线性相互作用的若干特征并为许多应用问题 提供了启示，另一方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方 法，此外描述这些数学模型的非线性波方程本身还蕴涵着许多丰富的未被发现 的复杂而奇妙的现象，因而受到数学界和物理学界的充分重视。 1 1 孤立波研究的历史背景 历史上对孤立波的最早报道可以追述到1 8 3 4 年。那年一次偶然的机会，英 国工程师罗素( j o h ns c o nr u s s e ) 观察到了从爱丁堡到格拉斯哥的运河中浅水面 上形成的保持原有形状和速度不变，圆而光滑、轮廓分明、孤立的水波”。1 8 “ 年他给第1 4 届英国科学促进协会的报告2 1 中写到 “1w 0 b s e n ，拥gt h em o n 巧口b o 谢w h c hw r 印铂l y 西仍m 口i o n gnn n ”o wc l c 咐谢b yn p 曲西 1 0 r s e s ，w i i e ”t h eb ts 谢d e n l ys i o p p 积一，l o t3 0 t k m s 醇t h e w 口l e r i n l l ec 蛔嘲d w h i c hnh c dp t l t 衲m o 娃o n ：na c c m l l l 4 l e dr o t 拉l d 螬坼p r o w 巧好呛v e 筘e l 泌ns 娥对v i o k t 两北工业大学博士学位论文 口g l f a l i o n t l e ns 删e n l yk 副蛔gnb e h i 耐r o d 知r w 甜dw n h 矿e 越v e l o c i 珍a s s t 晰蛔gt h e 如m 耐4 | 甜旨es o h 把r ye | 甜口l i 钟。口m 矾矗8 d ，s m m 册dw e i l - d 舒瑚d l e 叩w 口| e r 们i c h h 矗眦甜 t 锯c o 埘s e 口l 蛳gt h ec k n m la p p 甜e m l y 埘t 沁_ t nc h 翻g e 嘭如mo rd 弧t 舢t t o n 耐s p e e 曩i f o n 洲e d 缸o n 栅s e b a c k 锄d 甜e r t o o k ns t i n m n 讷g a 毫o r a t e 耐3 0 m ee g h to r n 妇m j l e s 僦 i l o 珊p r e s e h 锄g t s 甜i g 打珏 孬g 嘏s o m e 廿虹哪批d l 嬲g 钟d 扭知o l t o n 如o ta 谢口蛔玎籼 l e 曲f 1 招 l e i g m 铲砸l d l l y d i m 籼i s h e d d 舒e r 口c h 珂o mo r 抑o m n i 妣t n 饥t h e w i n d i n 擎醇 t 知c h 鼬e | s u c h 伽t h em o 硪h a 则ti 8 3 4 w 璐m y ，弧tc h 田l c ei n t e r v j e ww i t hl h a t3 i n 昏t d 甜 蒯6 盯甜肋口 d h 硼砌，妇 删船 ，口 d ，砌口，口f 溉”他凭着敏锐的观 察力意识到这种现象绝非一般的水波运动，之后r u s s e l l 为了更加仔细的研究这 种现象，在实验室里进行了很多试验，也观察到了这种波一孤立波，认为这种 波是流体运动的一个稳定解，并试图给出孤立波的解析形式，不过未能如愿。 随后，a i r y ( 1 8 4 5 ) ，s t o k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o l l s s i n e s 1 8 7 2 ) 和r 掣l e i 烈1 8 7 6 ) 对这种波做了 进一步的研究，提出了一个一维非线性演化方程一b o l l s s i s q 方程嘲。但是 r l l s s e l l 等人观察到的孤立波到底存在于什么样的水波方程中呢? 直到1 8 9 5 年， k o n e w e g 和他的学生d ev r i e s 在长波近似和小振幅假定下建立了单向运动的浅 水波运动方程一k d v 方程4 1 ，从理论上证明了这种波的存在。但是并没有发现 该方程的其它新的应用，于是对孤立波解的研究暂时停了下来。 到了2 0 世纪5 0 年代，著名物理学家f e m l i ，p a s t a 和u l 锄提出了f p u 问题明， 即将6 4 个质点用非线性弹簧连成一个非线性振动弦来说明经典统计力学中的 “任何弱非线性作用必将导致系统由非平衡状态向平衡状态过渡”的能量平衡 观念的错误性才出现了新的局面，由于实验是在频率空间中考虑的，未能出现 发现孤立波。后来t o d a 用晶体的非线性振动近似模拟这种情况，得到了孤立波 解，赋予f p u 问题的正确解释。随后，1 9 6 2 年p 踟面g 和s k y n m 嘲研究基本粒子 模型时，对s i 一g o r d o n 方程所做的数值计算结果表明：这个方程产生的孤立 波并不散开，即使碰撞后两个孤立波也仍保持着原有的形状和速度。 真正引入“孤立子”这一概念并导致世界范围内对孤立子理论研究热潮的 是k m s 呦和2 r 丑b u s k y 在1 9 6 5 年发表的一篇文章门，他们从连续统一体的观点来考 虑f p u 问题，在连续的情况下，f p u 闯题近似的可用k d v 方程来描述，他们对 第荦绪论 k d v 方程的波速进行研究，发现如果两个孤波开始分开且波速大的在左边，那 么在相互碰撞后，仍然保持形状不变，仅仅是位移变换了一下，这些碰撞是弹 性的，类似于粒子状，因此称为“孤立子”( 简称孤子) 。孤子具有下面的特性： ( 1 ) 能量比较集中于狭小的区域；( 2 ) 两个孤子相互碰撞后，波形和波速能恢复到 最初。 一般意义上的孤立子具有很好的解析性质，并且具有无限长的指数势，但 是1 9 9 3 年，应用数学家p r o n 孤卿，在研究高阶的k d v 方程时，发现在特定的参 数情况下，孤立波的无限长的尾势消失，但是这种波仍然具有孤立子的特性， 即相互碰撞后形状和速度保持不变，这种波是一种局部化的具有紧状结构的孤 立波，称为c o m p a c t o n 。在随后的研究中，c 枷髂s a ，h o l m 【删和r o s e n a u 【嘲分 别在c a m s s a - h 0 1 m 方程和k d v 方程发现了某些孤立波的顶部会出现尖状结构，即 在相平面上斜率趋向无穷大的情况，c 锄鹪h o l m 根据非线性项和色散项的关 系研究了这种非解析的孤立波( 称为p e a k o n ) ，它具有口麟p ( j 一口) 形状。近年来， r o s e n a u 【4 】，a v g o r b a c h8 n ds f l a c h 【1 明等人又相继发现离散系统的呼 吸子也具有局部紧状结构。这些发现为孤立子的研究开辟了一条崭新的途径。 综上所述，孤立子理论的产生和发展与近代物理密切相关的，孤立子理论 不但包含了相关的数学理论，也包含了物理，力学等实际学科的相关理论，是数 学的严密性和物理，力学的启发性和实用性的结合，相互促进，相互依存，推动 着现代科学技术的发展。 1 2 孤立子理论的研究概述 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，其研究内容和方 法非常丰富，近年来国内外学者对孤立子理论的多个方面进行了大量的研究工 作，并取得了许多进展，下面简单的介绍一下这些研究工作的几个主要方面。 1 2 1 非线性波方程的求解 非线性波方程的求解问题是一个古老而重要的研究课题。尽管许多学者 在求解问题上做出了大量的工作，但是由于方程本身的复杂性，能够求出的解 仅仅是方程本身蕴涵的很少的一部分，况且能够精确求解的方程也是很少的， 因此在研究方程解的过程中，主要是从两个方面来研究：( 1 ) 精确解( 2 ) 近似解。 在精确解的研究过程中，目前已经发展了一些构造精确解的有效方法，如 逆散射法、d a r b o i l 】【变换、h i r o t a 双线性变换，b k l u n d 变换等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r e e n e 、k s i ( a l 和m i u r a 口6 1 ( g g k 吣等发现k d v 方程的 逆散射方法，利用量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程的特征值问题( 正散射) 及其 反问题( 逆问题) 之间的关系，经过求解g e l f a n d l e v i t a n m a r c k e n k o 线性积 分方程而给出k d v 方程初值问题的解，随后，l a x 口1 推广并提高了g g k m 的方法， 使之能用于求解其它的非线性发展方程的初值问题，从而逐步形成一种系统的 求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t o ”推广了这一方法，求出高阶k d v 方 程，立方s c h r o d i n g e r 等的精确解，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r o ”更加 一般化逆散射方法。1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法叫是构造非线性 发展方程n - 孤子解及其b 茜c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。1 9 7 5 年， h l q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法p ”，以外微分形式为工具，给出寻找与 逆散射方法相联系的线性特征问题的系统的方法。 利用d a r b o u x 变换求解近年来也取得了很大的发展，1 9 7 5 年d a t i 【”1 等 人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e _ g o r d o n 方程中，1 9 8 6 年谷超豪等人1 将d a r b o u x 变换推广到k d v 族，a n k s 族及( 1 + 2 ) 维，高维方程组，并将d a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中。 计算机代数的出现，极大提高了非线性方程的求解速度，拓广了求解的方法， 近年来围绕计算机代数的兴起，许多学者构造出一些行之有效的机械化方法。 1 9 9 5 年王明亮等p 3 1 提出了齐次平衡法来求解很多方程，高以天等改进该方法并 第一苹绪论 把它推广大变系数的方程中，随后范恩贵，闫振亚等在这方面也作了许多工作。 在计算机符号计算的基础上发展起来双曲函数法，三角函数法，并有相应的软件 包的出现使得复杂的计算变得更加容易。曹策问教授提出的形式分离变量法， 后来由李翊神，程艺，耿献国，曾云波等人在这方面作了许多工作。z h d a r i o v 和 屈长征等人提出泛函分离变量法吲，楼森岳和张顺利等推广了这一方法提出导 数相关泛函分离变量法。2 0 0 2 年f e n g 【”1 利用代数环论中的除法定理和 h i l b e r t n u l l s t e l l e n s a t z 定理构造出首次积分来求解方程，近年来，李继彬和 张丽俊利用h 锄i l t o n 系统的特点构造出首次积分结合相图分析的方法求解方 程，此后，s h e n 等【4 ”继续推广和发展这种方法求出方程的可能存在的有界行波 解。 能够精确求解的方程毕竟是少数，为了研究方程本身所蕴含的丰富特征，人 们不得不采取近似求解的方法，先后发展了a d o m i a n 分解法”一3 】，p a 砸逼近法i “1 来近似求解非线性波方程，最近何吉欢把同伦扰动m 1 和变分迭代的方法l ”“1 应 用于波方程的求解中，廖世俊等【“删把同伦分析法应用于波方程的近似求解中， s h e n 等【州利用微分方程定性理论根据平衡点附近轨道的特征结合计算机符号代 数的方法构造出方程的近似解，这些都取得了不错的效果。 1 2 2p a i n l e v 6 分析，b a c k l u n d 变换与守恒律 1 9 8 0 年，a b l o w i t z ，r 锄a n i 和s e g u r 刖发现凡是可用逆散射方法求解的偏微分 方程都具有p a i n l e v 性质，而不能用逆散射方法求解的偏微分方程都不具有 p a i l l l e v 性质，由此他们给出了所谓的a r s 猜想：“一个非线性偏微分方程是可用 逆散射方法求解的当且仅当所有精确约化的常微分方程是p 一型的”，这个猜测给 出了检验可积性的必要条件。1 9 8 3 年，w d 豁，1 a b o r ，c 锄e v a l e 【”1 提出偏微分方 程的p a i n l e v 性质的概念( w t c 方法) 与偏微分方程可积性的联系，使之能用于更 多的偏微分方程的求解。一般来说，p a i l l l e v 检验不研究负共轭点的性质。1 9 9 1 年j i i i l b o ”1 ，f o r d y 和p i c k e 咖g 圳研究了负共扼点的重要意义。曾云波改进 p a i l l l “截尾展开导出了t 0 d a 方程的b a c k i u n d 变换，给出了从给定具有p a i n l e 诞性 质的方程出发去构造具有p a “e v 6 性质的一族方程的一般方法。 在寻找k d v 方程的解的一般方法的过程中，人们发现k d v 方程有无穷多的守 恒律，1 9 6 5 年，w l l i t h a m 【“1 发现了k d v 方程的三个守恒率，接着z a b u s k y 和i 【r u s k a l 【州在数值计算k d v 方程的过程中发现了第四个和第五个守恒率，1 9 6 8 年，m i u r a 【“1 借助于他所找到的m i u r a 变换证明了k d v 方程有无穷多的守恒律。1 9 7 0 年k 门l s k a l i 酗1 等对一般k d v 方程的守恒率的个数提出了一种猜测，后来被屠规章等【冽所证 实，此后屠规章发现守恒率与对称之间的联系，利用无穷多对称来构造无穷 多守恒率，1 9 8 1 年，他又利用b a d d 吼d 变换来获得无穷多的守恒率。之后，人 们利用不同的方式研究了其它孤子方程的守恒律，各种变换。 为了统一和扩充常微分方程各类求解方法，1 9 世纪末，l i e 引进连续群的 概念( 即李群) ，证明了；一个微分方程如果在单参数l i e 群作用下不变，则其阶 数可减少一次。对于常微分方程而言，l i e 的工作系统而全面地讲述了积分因子、 变量分离方程、齐次方程、降阶方法、待定系数法、常数变易法、e u l e r 方程以 及常系数齐次方程等种种课题，之后l i e 【6 3 1 又考察了偏微分方程的情形，指出： 在l i e 群变换下的不变性通过变换直接导致解的叠加，建立了热方程的局部变换 群，开创了l i e 群在偏微分方程中的应用。在2 0 世纪5 0 年代后期以o v s i a n n i k o v 【叫 为代表的一批前苏联学者的出色工作使得l i e 群方法得到进一步的发展。1 9 6 9 年， b l u 眦n 和c o l e 推广了经典l i e 群方法，1 9 7 7 年0 1 v e r 【“1 建立了利用递归算子构 造无穷多个新的对称的方法，李翊神，田畴等国内学者1 6 7 “l 在构造非线性发展 方程的对称及其l i e 代数方面做了大量的工作并获得一系列重要的研究成果。 第一章绪论 1 9 8 9 年。c 1 a r k s o n 和i 【r u s k a 【”1 提出非线性偏微分方程的直接约化的方法( c k 直 接法) ，发现l i e 群方法的结果只是直接方法的特殊情形，接着，楼森岳等m 1 对 c k 直接法进行了推广。1 9 9 0 年n u c c i 和c l a r k s o n i ”1 以f i t 吐u 垂卜n 孵珊。模型为例说 明了c k 直接法推不出用经典约化方法得到的相似解，1 9 9 3 年，楼森岳提出了 一种简单而直接的“形式级数法”获得大量的非线性发展方程的广义对称和l i e 代数结构。 1 2 3 可积系统中波方程研究的现状 哈密尔顿力学成为经典力学发展过程中继牛顿力学和拉格朗日力学之后非 常重要的体系，它揭示了力学原理不仅可以按牛顿的方式来描述，也可以按某 种作用量的逗留值方式来描述，力学的状态的描述和力学方程可以找到一种优 秀的正则形式以及等价的“波动形式”，这些形式有着极好的数学性质，雅克比 继续了哈密尔顿的工作，开辟了解决天体力学及物理学中的一系列重要的动力 学问题的途径，同时作为波动力学的先导启发了量子力学的发展。 1 9 世纪p o i n c a r 6 等人已指出三体问题不可积，并意识到许多哈密尔顿系 统是不可积的，从而转入对动力系统的定性理论的研究，此后人们对可积系统 的研究就不太关注了。孤子的发现对数学物理有着深远的影响，它引起了被遗 忘多年的可积系统研究的兴趣，人们重新认识可积系统从而取得了许多进展。 沃尔夫奖获得者v a r n o l d i 例用现代数学的观点，从辛几何的角度阐述了哈密 尔顿系统的主要特点：相流是相空间上的辛变换群。经典力学中的有限维系统的 l i o u v i l l e a r n o l d 定理表明：一个自由度为n 的h 锄i l t o n 系统，如果具有n 个 独立的首次积分则是可积的，解可用积分表示出来。对于无限维的h 硼i l t o n 系 统来说，无穷多彼此对合的首次积分的存在并不足以说明它是完全可积的，因 此对于无穷维的h 鲫i l t o n 系统，人们还不能从整体上给出其确切的定义，只能 局部的来研究它的一些性质，通常采用l a x 可积和l i o u v i l l e 可积【”1 两种定 西北工业大学博士学位论文 义方式。如果一个非线性方程拥有l a x 表示或零曲率表示，则该方程是l a x 可 积的。1 9 7 5 年，w a l l l 删s t 和e s t a b r o o k l ”所提出的延拓结构法是目前较为成功 的方法，但要傲大量的计算，d r i n f e l d 和s o k o l o v l 驯以k a c m o o d y 代数为工 具系统的构造了k d v 方程的l a x 对，d a t e 等3 1 1 发展了t 函数法，1 9 8 5 年，谷超 豪和胡和生蜊基于曲面论提出了一类方程的可积性准则是这一方向上的重要 进展，1 9 8 8 年曹策问提出了保谱方程换位表示的理论框架，随后马文秀l “， 乔志军等推广和发展了这一方法给出了大量发展方程族的l a x 表示和零曲率 表示。 寻找有限维哈密尔顿系统的关键在于寻找对合的函数系，1 9 7 4 年， f l a s c h k a 【蚓利用l 强对等技巧首先得到t o d a 晶格的对合的运动积分；1 9 7 5 年， m o s e r 杆1 给出了c a l o g e r o 模型和s u t l l e r l 趾d 模型所产生的完全可积系统：1 9 8 3 年t u 从等谱问题出发，提出一种用于研究孤子方程族的可积的哈密尔顿结构 法，此后t u 【嘲又提出用带约束变分计算来研究孤子方程族的哈密尔顿结构的新 方法，1 9 8 9 年，他用迹恒等式来构造孤子方程族的l i o u v i l l e 可积的哈密尔顿结 构，这一方法被称为屠格式【，此后屠格式被推广到离散谱问题，l i e 超代数 问题。1 9 8 9 年曹策问例首次提出在位势函数和特征函数所确定适当的约束下， 对l a x 对非线性化而产生有限维完全可积系统的思想，即l a x 对的非线性化方 法，利用可换流的对合解给出孤子方程解的对合表示，巧妙的把l a x 对的空间 部分化为一个有限维可积的哈密尔顿系统，从而把它的时间部分化为对合的守 恒积分，曾云波和李翊神1 进一步发展发展非线性化方法，提出利用位势函数 和特征函数所确定的高阶约束，把无限维的哈密尔顿限制在有限维子流形上构 造有限维可积啥密尔顿系统的一般方法。此外马文秀”1 还提出了构造有限维可 积哈密尔顿系统的b i 1 i i l e 撕z a _ t o n 方法，并获得了许多l i o u v i l l e 意义下的完全 可积的哈密尔顿系统。a m o n o 、v i c z 和w 巧c i c c h o w s l ( i 提出由无限维可积哈密尔 顿系统双哈密尔顿结构出发构造约束流的双哈密尔顿结构的较为系统的方法。 第一章绪论 1 2 4 近可积系统中波方程研究的现状 在近可积系统方面，近年来也有很大的发展，1 9 7 8 年m c l 肌g l l l i i l 和s c 0 廿嗍 在利用扰动的s i n e g o r d o n 方程来研究磁通量子的动力学行为时提出了一种新 的坐标体系，以未扰系统的孤子解为基础，通过引入随时间变化的c o l l e c t i v e 坐 标( c c 方法) 得到孤子的质量中心，借助于能量的保持关系给出孤立子的质量中 心和速度所满足的常微分方程，这种方法后来被许多学者( ”删发展。2 0 世纪9 0 年代以来，以d w m a c l 卸u g l l l i n f ”4 】为代表的一批著名学者对近可积系统进行 了一系列深入的研究，并于1 9 9 6 年取得了理论上的突破，提出了扰动非线性 s c l l 硒d i n g 盯方程同宿轨道的不变性。为了证明这一点，他们首先进行了详尽的 数据计算，并对有限维截断情况进行了深入的分析，利用奇异摄动理论，整体 芒 可积孤立子理论，f e l l i c h e i 纤维理论，无穷维m e l i l i 】k o v 函数以及偏微分方程的时 空设计，得到了这一重要的理论成果，并在空间离散情况下，利用c o n l e y m o s 盯 条件或s i l i l i k o v 定理证明s m a l e 马蹄的存在性。在近可积系统的研究中，郭柏灵 院士嗍及其领导的小组在扰动波方程的数值和理论研究方面也作出了卓越的 工作。j dc a r 衙【1 蛔在他的博士论文中提出用多尺度扰动法来研究s c h r 6 d i n g 盯 方程行波解的稳定性，y l i 等人n 0 “”l 讨论非线性s c l 哟d i n g 盯方程离散形式， 建立了相应的m e l l l i k o v 方法来分析其同宿轨的存在性和混沌解产生的情况。 1 2 5 孤子方程和动力系统理论 自从法国著名数学家p o i n c a r 6 利用定性理论来研究动力系统以来，动力系 统理论有了很大的发展，它已经渗透到数学的各个分支中。简单的说：动力系统 是单参数连续的变换群，它是研究系统随时间演化的科学。非线性波方程也是 西北工业大学博士学位论文 研究波随时间演化行为的学科，尤其是波方程中的孤立波，实际上就是一种特 殊的相干结构，是非线性波方程行波解的一种极限状态，可以被看作行波解所 满足的常微分方程的同宿轨道或异宿轨道来研究l ”。由非线性波方程本身所 蕴含的参数的变化对应着相应的动力系统的分岔行为的变动引起新的波行为的 产生。这些都可以利用动力系统的相关理论来研究并加以证明。 1 2 6 非解析( 非光滑) 孤波解的研究 自从1 9 9 3 年r d s e 咖和h y m a i l 在p r l 上发表题为c o m p a c t o n s ：s o l i t o | 1 s 、祧 f i i l i t ew a v e l e n 粤；t l l 的文章以后，人们开始对非解析的孤立波进行深入地研究，随 后r c 锄硒s a 和d d h o l m 在一个新的浅水波方程c 锄硒s 舢h o l m 方程中发现了具 有尖状顶部结构的孤立波( p e a k o n ) ，对于这些非解析的孤立波，“和0 l v 盯 【”j 0 9 1 从动力系统的角度分析和揭示了这种波存在。李继彬【1 1 2 3 】等利用动力系 统分岔理论研究了这些非解析波存在的分岔条件，并运用奇异扰动理论证明了 这些波存在的原因，对于柱面上的行波系统l i 和s h e n 等人【1 1 4 。1 15 1 也发现这些系 统存在着上述非解析波，并给出了这些波存在的分岔条件，d a i 等“研究了钓 鱼竿模型中存在紧状的孤立波，并利用试探函数的方法分析了这种孤立波是描 述钓鱼竿模型的偏微分方程的弱解。近年来一些学者利用数值模拟6 1 和构造精 确解n 1 ”1 的方法研究了这些波，揭示了这些波产生的一些优良特性。 1 3 本文研究的主要内容及预备知识 非线性系统由于它的复杂性，研究起来比较困难，因此在研究非线性系统 时经常从一些典型的实际模型出发，然后导出一般的结论。正如c a s t i 所说： “现在所有的迹象都趋于此结论：寻找非线性系统完整的一般结论就像寻找耶 幕一荦蹯论 稣在最后晚餐时用过的圣杯一样不可思议这是一条充满许多愉快和惊讶， 进而失望，最终毫无收获的的行动遵循一条更为便利的道路就是集中精力对 待某些特殊类型的非线性问题，通常是出于应用的目的来解决这类问题，并利 用这类问题中的固有结构作为进一步获得有用信息的指南”。下面本文遵循着这 样的原则利用具体的模型得出适用其它模型的一般结论的。 1 3 1 主要内容 本文主要研究非线性波方程行波解，行波解的分岔及其动力学行为，主要 内容如下： 第一章主要回顾一下非线性波方程发展的历史及其研究的现状以及非线性 波研究的主要方法，尤其是近年来非解析波的发现及其研究的工具，这也是本 文研究的一个重要内容。这一章中介绍了非线性波方程与动力系统的关系以及 运用动力系统相关理论来研究非线性波的现状。 第二章主要研究怎样运用动力系统的分岔理论来研究无耗散项的非线性波 方程的精确行波解。在实际应用中，只有有界解才具有实际的应用价值，利用 目前研究精确行波解的方法得出的解往往不能区分有界或无界，但是动力系统 理论可以根据连接平衡点的稳定流形和不稳定流性的特点分析轨道的有界性， 这样就可以区分出轨道的有界性及对应的行波解的有界性。 第三章主要运用动力系统的定性理论来研究具有耗散项的非线性波方程的 解析解及其近似解。具有耗散项的非线性波方程的解比较复杂，尤其是有界解 更不易求出，在这一章中运用p o i n c a 出b e n d i x n 定理分析平衡点附近轨线的特 点，近似的给出方程的有界行波解。 第四章主要来分析广义的广义c 锄a s s a h o l m 方程的行波解，分岔及其动 力学性质。一般文献在研究非线性波方程的c o m p a c t o n 解时，主要采取让其行波 系统的积分常数等于o ，在本节中我们给出了积分常数不等于o ，相应的方程也 可以存在c o m p a c t o n 解，并给出了c o m p a c t o n 存在的分岔条件，这个结论可以推 广到其它系统，同时也启发我们构造c o m p a c t o n 解时不一定要拘泥于让积分常数 西北+ 【业大学博士学位硷交 等于o 。 第五章主要来研究一类新的可积系统的非解析行波解。在这章发现该方程 在某些分岔条件下具有一族不可数多的c o m p a c