（应用数学专业论文）逆热传导问题的正则化方法.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者答名：伴醐：孕年且月丛日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：争嫩翩签名韭垃。魄牛年卫月翊 摘要 本文针对两类具体的逆热传导问题( i h c p ) 采用不同的正则化方 法，得到了其正则解并分析和证明了其正则解的收敛性及收敛率。同 时，我们通过两个数值实验将本文提出的正则化方法与已有的方法进 行了比较，说明了此算法的有效性。 在笫二章中，我们主要研究一类一维逆热传导问题( i h c p ) ，这是 一个非常不适定的问题。对于求解温度分布已经发展了许多数值方法 和稳定性理论，然而对于表面热流分布的研究及结果相对较少。本文 将使用改进的l a n d w e b e r 迭代法求解热流分布函数，并给出了其误差 估计，同时若选择偏差原理作为我们的后验停止准则，则在数值计算 中将不再需要函数厂( ，) 的精确有界值。 而第三章主要研究一类二维逆热传导问题( i h c p ) ，并对这一类问 题提出了两种正则化方法。第一种正则化方法是简化的t i k h o n o v ，我 们分析了正则解的收敛性及收敛率。第二种正则化方法是采用加速的 l a n d w e b e r 迭代法，在讨论中，我们发现了由于这类问题的特殊性质， 加速l a n d w e b e r 迭代法将退化为傅立叶正则化方法，同样对于这种方 法的收敛性我们也给予了证明。 关键词逆热传导问题，不适定问题，l a n d w e b e r 迭代，偏差原理， 表面热流分布 a bs t r a c t t h ed i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h er e g u l a r i z e dm e t h o d sf o rt w os e t so f i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s w eo b t a i nt h er e g u l a rs o l u t i o n s ，o f w h i c hc o n v e r g e n c ea n dc o n v e r g e n c er a t e sa r ea n a l y s e da n d d e m o n s t r a t e d m e a n w h i l e ，w eg i v eac o m p a r i s o nw i t ho u rr e g u l a r i z dm e t h o d sa n dt h e o l dr e g u l a r i z dm e t h o d sb yt w on u m e r i c a le x p e r i m e n t s i nc h a p t e r2 ，w ef o c u so nac l a s so fo n e d i m e n s i o n a li n v e r s eh e a t c o n d u c t i o np r o b l e m s ，w h i c ha r ew e l l k n o w ni l l p o s e dp r o b l e m s t h e r e a r em a n yn u m e r i c a lm e t h o d sa n ds t a b i l i t yt h e o r yw h i c hh a v e b e e n d e v e l o p e df o rd e t e r m i n i n gt e m p e r a t u r e b u tt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l to n h e a tf l u xi sv e r ys c a r c e i nt h i sp a p e r , t h ei m p r o v e dl a n d w e b e ri t e r a t i o n i si n t r o d u c e dt os o l v et h eh e a t f l u xa n da ne r r o re s t i m a t ei sg i v e n f u r t h e r m o r e ，i fw eu s e t h ed i s c r e p a n c yp r i n c i p l ea so u rp o s tp r i o r i s t o p p i n gr u l e ，t h e nw cc a na v o i dt h es e l e c t i o n o fp r i o r ib o u n di nt h e n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n c h a p t e r3 i sd e v o t e dt oac l a s so ft w o - d i m e n s i o n a li n v e r s eh e a t c o n d u c t i o np r o b l e m s ，f o rw h i c ht w or e g u l a r i z dm o t h o d sa r ep r o p o s e d t h ef i r s tr e g u l a r i z dm o t h o di ss i m p l i f i e dt i k h o n o v , a n dw eo b t a i nt h e c o n v e r g e n c ea n dc o n v e r g e n c er a t e o ft h er e g u l a rs o l u t i o n t h es e c o n d r e g u l a r i z d m o t h o d si s a c c e l e r a t e dl a n d w e b e ri t e r a t i o n ，a n d ，a n i n t e r e s t i n gf i n d i n g i so b s e r v e dt h a ta c c e l e r a t e dl a n d w e b e ri t e r a t i o n n r e d u c e st ot h ef o u r i e rr e g u l a r i z dm e t h o df o rt h ec l a s so fp r o b l e m f u r t h e r , t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e d k e y w o r d si n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ，i l l - p o s e dp r o b l e m ， l a n d w e b e ri t e r a t i o n ，d i s c r e p a n c yp r i n c i p l e ，s u r f a c eh e a tf l u x i i ! 目录 摘要i a b s t r a c t 一i i 第一章绪论1 1 1 反问题实例2 1 2 正则化方法5 1 3 一些基本的正则化方法6 j 1 3 1t i k h o n o v 正则化_ 6 1 3 2l a n d w e b e r 迭代法6 1 3 3 广义n e w t o n 迭代法7 1 3 4 f 则化的g a u s s - n e w t o n 迭代法8 1 4 本文的主要工作8 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法1 0 2 1 引言州1o 2 2 改进的l a n d w e b e r 迭代和偏差原理1 2 2 3 数值实验17 第三章一类二维逆热传导方程的数值解2 3 3 1 引言2 3 3 2 简化的t i k h o n o v 正则化方法2 4 3 3f o u r i e r 正则化方法2 7 参考文献3l 致谢3 5 攻读硕士期间主要成果3 6 i v 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 自2 0 世纪6 0 年代以来，在地球物理生命科学【l - 3 】、材料科学4 1 、遥感技术引、 模式识别【6 - 1 2 1 、信号( 图像) 处理1 1 3 。1 6 1 、工业控制乃至经济决策【1 7 2 0 l 、流体力学 2 1 - 2 2 1 等众多的科学技术领域中，都提出了“由效果、表现( 输出) 反求原因、原 象( 输入) ”的问题，通称“数学物理反问题”。由于此类闷题有着广泛而重要 的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性， 因而吸引了国内外许多学 者从事该项研究迄今，它已发展成为具有交叉科学的计算数学、应用数学和系 统科学中的一个热门学科方向。我国著名计算数学先驱、已故的中国科学院院士 冯康教授早在2 0 世纪8 0 年代初期就大力提倡开展反问题数值解法的研究。近二 十多年来，数学物理反问题已成为数学中发展和成长最快的领域之一。 反问题是与正问题相对应的概念，一般说来把研究的比较多的问题作为正问 题，把相对应的问题称为反问题。反问题的定义是多种多样的，本文给出一种较 为一般的定义1 2 3 1 ，将研究的问题看作一个系统模型，由系统输出数据来反演系 统的输入数据或者系统的某些性质，这些性质包括材料的性质及系统模型的几何 形状等，依赖于要反演的量，反问题被划分为两类；一类是重构问题，另一类是 系统识别问题。重构问题常常指确定系统输入数据的问题，系统识别问题通常指 确定系统参数问题。如逆热传导问题及反向热传导问题等都是典型的重构问题， 而偏微分方程中的系数确定问题就是系统识别问题。关于反问题的一般视角，参 看综述性文献f 2 4 羽】。反问题与不适定问题的联系主要表现在绝大部分反问题都是 不适定的。这种不适定性主要表现在两个方面，一方面，由于客观条件的限制， 反问题中的数据往往是欠定的或者是过定的，这就会导致解的不唯一性或者是解 的不存在性；另一方面，反问题的解对数据往往不具有连续依赖性，由于数据中 不可避免的存在测量误差，为得到反问题在一定意义下的近似解，人们就必须提 出由扰动数据近似求解反问题的稳定的方法。因此，从上述意义而言，反问题和 不适定问题大紧密联系在起的。 数学物理反问题的求解已发展了各种方法，诸如脉冲谱技术( p s t ) 、广义脉 冲谱技术( g p s t ) 、最佳摄动量法、蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) 、各种优 化方法【3 5 1 和j 下则化方法等；其中，最具有普适性，在理论上最具完备而且行 硕+ 学位论文第一章绪论 之有效的方法，就是由著名学者t i k h o n o v 以第一类算子方程为基本数学框架，于 2 0 世纪6 0 年代初创造性地提出，后来得到深入发展的证则化方法。其基本思想 是用簇与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解。 在这一章里面，我们将首先介绍几个反问题实例和有关的一些基本概念，以 及基本的正则化方法及其相关的一些结果。 1 1 反问题实例 例1 i 1 棚投入产出问题 投入产出分析可能是我过应用得最广泛、最成功的经济模型之一。目前，除 了用它来研究国民经济各部门之间的经济联系之外，还被用于研究部门内部、地 区之间、国家之间乃至全世界的经济联系。 不妨讨论价值型的投入产出模型。作如下假设：( h 1 ) 国民经济可划分为聍个 物质生产部门，每个部门生产一种产品；( h 2 ) 每个生产部门的生产以为着将其他 部门的产品经过加工或“变换”，变成一定数量的本部门的产品。在此过程中消 耗的产品称之为“投入”，生产所得的本部门最终产品称之为“产出”。作为这个 经济系统的各个组成部分，每一部门的投入产出( 变换) 关系在一定时期内是不变 i 的。于是，若记 置= 第阶部门的总产品( 或总产值，下同) ； r = 第f 个部门的最终产品( 或最终需要) 总量； 置，z 鳓个部门在生产过程中消耗的第j 部门的产品数量 且假定投入和产出是平衡的，则有下述关系： 工1 + 五，2 + ，z 。+ r = z ( i = l ，2 ，m )( 1 1 1 ) 定义= 置( ，j = l ，2 ，刀) 为直接消耗系数，则五= 嘞一，从而 q l 五+ q 2 五+ + 咒+ r = 置 ( f = l ，2 ，1 )( 1 1 2 ) 令a = ( 口f ，) 职疗，x = ( 五，五，以) r ，y = ( x ，艺，匕) 7 分别表示直接消耗矩阵， 各部门的总产品向量和最终产品向量，则式( 1 1 2 ) 可写成下述矩阵形式： a x + y = x 或 2 硕十学位论文第一章绪论 ( ，一a ) x = y( 1 1 3 ) 其中，为甩阶单位矩阵。于是j 下问题是：由已知的消耗矩阵a 和各部门的计划 总产品向量x ，求相应的最终产品向量】，。而反问题则是：对于给定的最终需 求】，( 计划) 和消耗矩阵a ，求各部门的总产品向量( 生产计划安排) x 。由于消耗 系数不仅与技术进步有关，而且与管理水平有关，故不能认为是一成不变的， 因而有时我们甚至要根据y 反求x 和彳。 例1 1 2 m 10 t 技术中的反问题 r a d o n 于1 9 1 7 年在数学上证明了二维、三维的物体可由它的无限多个投影 的逆变换实现重构。c t ( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，计算机层析成像) 技术是在计 算机技术与r a d o n 变换在医学成像方面的最突出的应用。h o u s e f i e l d 在19 7 2 年 成功研制出头颅x 射线断层摄影装置，使得r a d o n 交换的理论得到应用其基本 原理是：在不损伤物体本身结构的情况下，发射各种可通过物体的讯号( 如各种 射线、波、粒子、电磁场等) ，然后通过对从体外接收到的信号，利用数学方法 和计算机进行加工和处理，获取物体内部结构的信息，形成该物体内部结构的三 维透视图像，亦称图像重建或图像恢复。我们考虑二维的情况：考虑人体的某一 平面( 截面) ，用p ( x ，j ，) 表示点( x ，y ) 处的密度，而用三表示该平面内的任一直线。 假定我们发射一束薄的x 光束沿直线三穿过人体，并且测量x 光穿过人体 后的强度的变化。 设直线用参数( s ，艿) 来表征，其中s r ，艿【0 ，万】，如图所 示： y 3 x 硕十学位论文 第一章绪论 于是射线丘占可表示为s e 膳+ i u e 腰c ，“r ，此处c 代表复平面尺2 强度，的减 弱可以近似地表示为d i = 一? p l d u ，7 为一常数沿直线三积分将有 倒d6 i ni ( u ) = - 7i , o ( s e 培+ i u e 堵胁 ( 1 1 4 ) 或者，若假定密度p ( x ，y ) 具有紧支柱，则相对的强度损失由下式给出： 一a 。 o i n ，( o 。) = - yip ( s e 岱+ i u e 坩胁( 1 1 5 ) 原则上，由强度的减弱我们可计算所有的线积分 b 仅万) 会p ( s p 话+ i u e j ) d u ，s er ，5 【o ，j r ( 1 1 6 ) 上式中的吃称之为p 的r a d o n 变换。于是，正问题是：对于给定的p ，计算其 r a d o n 变换髟；而反问题则是：由给定的r a d o n 变换心( 即所有线积分的测量 值) 来决定密度函数p ( x ，y ) 。 例1 1 3 地质勘探 一般而言，地质勘探就是要通过对地球表面的某些测量资料来决定地球内 部的地质情况( 例如位置，形状或某些地质参数) 的异常，以便为找矿、找水、找 油等提供依据。假定我们要了解地球内部的密度变化情况，选定( x ，j ，) 平面位于 地面，而o z 轴铅垂向下的直角坐标系o x y z ，并且用g 表示位于下半空间z 0 内 的一个源。众所周知，具有密度p = p ( f ，刁，f ) 分布的物质源g 在其周围产生的引 力位v = v ( x ，y ，z ) 为 肚r 胍丽黍器鼢纳砖 ( 1 ：”， 其中，r 为引力常数( 等于6 6 7x l o 。9 c g s ) 而在地面z = 0 上其重力场为 g ：娑f 。于是，t 主t ( 1 1 4 ) 得 仍l p o 衄= k f f 学c d r l d f 。 ( 1 1 8 ) 以f ，r ，f ) ，根据上式计算出g 而反问题则是：若衄已知，要由求解上述的第 一类f r e d h o l m 方程来决定密度分度p ( x ，刁，f ) ； 显然，后者要i l 前者困难得多。 4 硕卜学位论文 第一章绪论 1 2 正则化方法 我们通常用来求解各种问题的数值方法，其绝大部分是为适定问题所设计 的，如果用它们去求解不适定问题，几乎无法得到具有满意精度要求的近似解。 为此，人们发展了一套处理不适定问题的方法正则化方法。本节我们简要的 叙述下不适定问题正则化方法的一些著名的结论许多数学物理反问题模型最 终都可转化为如下第一类算子方程的求解问题： f ( x ) = y 或 k x ；y ( 1 2 1 ) 其中f ：x 专y ，x ，y 是两个h i l b e r t 空间。上述问题的解可能并不依赖于右边的 数据，即如果可测数据y 占满足： l - y 占l l o ，义； l ， ( i v ) f ( x ) = r x f ( x ) ，怜一，8 s c 卜一x 0 ，c 0 那么，9 一x 4 = d ( 万而) 1 3 3 广义n e w t o n 迭代法 n e w t o n 迭代法在解适定问题时，具有很好的局部收敛性，因此很受欢迎 广义n e w t o n 迭代法，就是在每一迭代步，用解线性问题的正则化方法求解方程 ( 1 1 1 ) 的线性化形式，其基本格式为 磺= 善一o ( ( ) ( ) ，) 乒( ) + ( ( ) 一( ) ( 一善) ) ( 1 3 7 ) 其中孝为方程解的某个猜测，函数o ( ，) 为所谓生成函数或过滤器函数正则化 参数序列 吒) 一般满足如下条件： 。 t 吼，后= 0 , 1 , 2 , - - ；! i m c q 她翟去f 1 ，并且，f 的一阶导数和二阶导数是全局有阶 的，b a k u s h i n s k i i 给出了上述迭代的收敛率。而如果( 1 3 8 ) 中的o 0 ， u ( x ，o ) = 0 ，工0 ，( 2 1 1 ) u 0 ，) = g ( ，) ， ，0 而与之对应的正问题是一个初始边界值问题： u t = 口( x ) + 6 ( x ) z + c ( x ) u ，x 0 ，t 0 ， u ( x ，o ) = 0 ，x 芝0 ，( 2 1 2 ) u ( o ，) = 厂( ，) ， ，o 其中函数a ，b 和c 满足： 口i a ( x ) 口2 ，c ( x ) 0 ， x r + 1 0 ( 2 1 3 ) 硕十学位论文第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 为方便起见，我们总是用8 8 表示r ( r ) 范数，且假设： 订( x ) c 2 ( 尺+ ) ，b ( x ) c 1 ( 尺+ ) ，c ( x ) c ( r + ) ( 2 1 4 ) 为满足解的唯性，要求陋( x ，) 有界( 见 4 】) 。 我们将寻求基于测量数据g 芦的热流分布函数”，( x ，) ( 0 x 0 ， 孝r ， v ( o ，孝) = 1 ，( 2 1 9 ) l i m v ( x ，f ) = o j善0 j - f = 0 时，当x 趋于时v ( x ，0 ) 有界。假设问题( 2 1 1 ) 有一个解u ，那么 硕十学位论文 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 嘶) = 面1 e 扩v ( 一砌然，x 。 且 g ( 掌) = y ( 1 ，孝) ( f ) u “( x 崩= 鬻鼢 ，孝) = 二姜2 罾g ( f ) 讯加鬻鼢 ”，( z ，手) = 二掣g ( 乡) 引理2 1 2 存在常数c 使得对任意的x 董【o ，l 】，使得 i 叱( z ，f ) l c 屈砷) 厕，v 孝月， 其中彳( x ) = r l 止丽凼 引殚2 1 3 如果沩界信问顾 以( x ) k + b ( x ) g + c ( x ) v = 0 ， x 0 y ( 0 ) = 1 ， v ( x ) i x - + 。有界 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 存在唯一解，那么存在常数q ，巳使得 矿删) 厩 - i v ( 1 ，孝) l c 2 e - a o ) d - $ f i ， v 善r ( 2 1 1 6 ) 2 2 改进的l a n d w e b e r 迭代和偏差原理 定义算子k ( x ) ：g ( x ，) 一g ( ) ，0 - x 1 那么问题( 2 1 1 ) 可以重写成如下的算 子方程： k ( x ) g ( x ，) = g ( ) ，0 x 1 ( 2 2 1 ) 事实上，基于上述方程，可以得到如下的迭代格式： t ( 焉，) = ( 工，) + 缈k ( 功( g 占( ，) 一足( 工) 心一l o ，) ) ( 2 2 2 ) 其中国= | 半1 2 ，同时跏坝容易删虾基本糯 丽：丝v u , g ) ； k x 卡v 。丽v 1 2 ( 2 2 3 ) d 刁 筇 l 1 l l 1 l q g 亿 硕十学位论文 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 丽赢k ( x ) u = l k ( x ) 幸 = l ( 2 2 4 ) 由于在迭代过程中先验停止准则包含了有界条件，所以后验停止准则是有 必要的。我们介绍由m o r o z o v 提出的广泛使用的偏差原理。由p a r s e v a l 等式，我 们将在频域中使用偏差原理。 ( x ，孝) 一k ( x ) “耋k ( x ，卜 融 h ，孝) 一k ( x ) “幺( x ，) l l ，f o ro 七 1 且是固定的，那么偏差原理对由式( 2 2 2 ) 定义的 l a n d w e b e r 迭代确定了一个有限的停止步数七( 艿，g j ) ，rk ( 6 ，g 占) ( 警) 2 证明： 戡五_ l 警卜不弑2 川6 朋： 0 五p 一爿( 1 ) 厢l 7 走义多项式仇( 五) ：k - ! ( 1 一五) ，和靠( 名) ：1 一名仇( 五) ：( 1 一九广，则有如下基本结果： 其中 仇( a ) 名k i - i if o ，a l l0 s s 1 ， 吒( 名) 名ps 见( 七+ 1 ) _ p ， 眈= 冀1 1 3 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 硝玑 硝g 2 一)一、j=r，9一g一考一叫 化0一州一魁器 缈 一 一 “一 ： ) 】一v f 又一 ( ，】一 艿帅降 磊一 彩 艿 徊 硝 声j 、 ) 一 m 塑吃 一一 ( 卜 l i 硕十学位论文第j 二章一类一维逆热传导问题的数值解法 卜而f l = | l ”叫器卜占一 k ( x ) 甜耋女一l ( x ，) l l ( - 一名广( ；善一；) 8 + 8 ( t 一五广；l l 2 2 9 s j + 8 t ( 旯) v ( 1 ，孝) 7 4 万+ i r k ( 2 ) 2 啦乞刭 8 + c 2 k l ，2 m 由式( 2 2 6 ) 可得( f i ) 8 c 2 七一啦m ，所以h 万，g 占) 警) 2 。 定理2 2 2 设z x ( x ，) 为原方程在x 处的精确解，o x 1 ，g 声( x ，f ) 为测量 温度且满足条件( 2 1 5 ) ，u 础8 ( z ，) 表示由式( 2 2 2 ) 定义的迭代值且氓。( x ，) = o 。如 果先验界( 2 1 6 ) 或者( 2 1 7 ) 是有效的且迭代格式的终止条件由偏差原理所确定， 同时定义 彘= 丢( 去历等2 ( 2 2 舯) 那么有如下结果： ( 1 ) 当工。，p 岛 川 广州1 l伦， 2 9 一 n f 斡脚怦 一 1 一d ” ” 脚 硕十学位论文 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 若令：以( 孝) = p 删卜舢巧善1 一幻，则显然函数以( 孝) 极小值点为： 进一步令：以( 孝) = p 叫j 巧孝，则显然函数以( 孝) 极大值点为： 当p 1 2 时： 从而有： m 瑚瓜器由 以 m a x ( e - a 瓜篇却，p 删x ) 厅( 纠却) 0 0s 矧，u ( x ，) = 可p ” ，刈 u 鲰剑 【o ，t 0 ， 即为i 、u j 题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 中a ( x ) = l ，b ( x ) = c ( x ) = 0 ，以及 l一 l g ( ，) - 孝吐 0 g ( ，) r ( r ) ； 【o ，s0 ， 且 巾) ：怯p ， 。，巾) 川础p 。 【o ，0 ， 时的准确解 同时，我们可以得到与之对应的一般微分方程的解为： v ( x ，孝) = p 一加。 此时秒( 孝) = ，孝 虽然可以在整个t 轴上实现傅立叶变换，然而我们仅仅选择有限的区间，如 区问 o ，t l 】，t 。 0 ，并且在这个区间上使用离散傅立叶变换实现数值计算。进一 步，：我们必须使得数据g 占是周期性的，在我们的数值计算中，仅仅需要方程 ( 2 1 1 1 ) 近似成立，所以我们将选择，i = 4 ( 这时候已经满足我们的要求) ，使得在 【o ，】上方程( 2 1 1 1 ) 能近似成立。这罩我们选择万意0 0 0 0 1 ，并且在数据g ( f ) 上增 加一个随机扰动。通过两个数值实验，图( 2 3 1 h 2 3 1 0 ) 给出了本文的迭代方 法和傅立叶正则化方法【6 2 1 的一个比较。 图2 3 1x = o ，p = i 1 ，e = u i l b 3 ， j3 万= 0 0 0 0 1 图2 3 3x = o 3 ，p = 妻，e = l 眶s 3 ， j3 万= 0 0 0 0 1 图2 3 2x ：o ，p = 喜，e = i l l l b 3 ， j3 万= 0 0 0 0 1 1 9 图2 3 4z = o 3 ，p = ：1 ，e = i l ! s 3 ， j3 万= 0 0 0 0 1 硕士学位论文 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 e x a c ts o l u t i o n 0 0 l t e r a t i o n i t 0 0 。 x 图2 3 5 。x l ，p = 3 l _ ，e = 8 眶3 ，万= 。1 住 恤 8 6 4 2 0 4 伦 8 6 4 2 o 4 硕士学位论文 第二章一类。一维逆热传导问题的数值解法 例2 3 2 容易证明 u ( x ，) = ，t 0 ，0 x 1 ， 即为问题( 2 1 1 ) 中a ( x ) = 1 ，b ( x ) = - 1 ，c ( x ) = 0 ，以及 且 的准确解。 如) ： 砉p 一( 2 - t ) 2 ， 。，g ( ，) 锄础 10 ，t o 几) - 击p 一， 。m ，) 州蛾p 。 10 ，t 0 ， 图2 3 6x = o ，p 。去，e = 8 厂3 ， j3 万= 0 0 0 0 1 图2 3 8 x = 0 3 ，p = i l ，e = m i ! 3 ， t j3 万= 0 0 0 0 1 图2 3 7x = o 0 ，p = ，e = 8 8 1s 3 ， )3 艿= 0 0 0 0 1 2 l 图2 3 9 x ：o 3 ，p ：昙，e ：1 1 ：1 1 1 3 ， j 3 万= 0 0 0 0 1 吖一，一4 h r i o 等哪 硕+ 学位论文 第二章一类一维逆热传导问题的数值解法 1 0 5 0 2 1 5 1 0 5 0 2 e x a c ts o l u t i o n 0 0 i t e r a t i o n x 00 x 图2 3 。o x ，p = 三，e = o 厂峰3 ，万= 。- 硕十学位论文第三章一类_ 二维逆热传导方程的数值解 3 1 引言 第三章一类二维逆热传导方程的数值解 1 段设在终端x = 1 处的温度n - i 测，讨论0 x l 处逼近解的收敛率。考虑1 4 空间中二维反热传导问题1 6 3 1 ， 坼( x ，y ，) = z k ( x ，y ，f ) + ”拶( x ，y ，) ，0 0 ， u ( 1 ，y ，) = 伤( y ，) ，y o , t o ， u , 0 ，y ，) = 0 ，y 0 ，0 ， ( 3 1 1 ) u ( x ，y ，0 ) = o ，0 x o u ( x ，0 ，) = 0 ，0 x 0 接下来，我们将由所测温度( y ，) 来决定0 x 1 时的温度u ( x ，y ，t ) 。同样 地， 将函数“( x ，) ，缈( ，) ，( ，) 以及( ，) = 甜( o ，) 在平面 ( y ，f ) ，y o 或f 0 上 零延拓。同时假设所讨论函数都属于r ( 尺2 ) 空间，其r 范数定义如下： 0 缈l i = ( ：i 缈( y ，1 ) 1 2d y d , ) i ( 3 1 2 ) 假定所测数据函数伤( y ，) 满足 0 缈一伤4 万， ( 3 1 3 ) 只考虑了0 ， 0 表示所测得误差界。 对式( 3 1 1 ) 采用傅立叶变换，则 站( x ，孝，f ) = ( 打+ 孝2 ) 舀( ；，f ) 设u 为问题( 3 1 1 ) 的解，则有 五( x ，孝，r ) = 痧( 孝， r ) c o s h ( ( i - x ) o ) ，o x l ，孝，f r ， ( 3 1 6 ) 硕十学位论文第二二章一类二维逆热传导方程的数值解 即 “( w ，) = 瓦1 上：熊f ) c 。s h ( ( 1 一x ) 乡) p w y d c d r ， ( 3 1 7 ) 其中秒为0 i 可的主值： 口：厨：厚怖x 7 + 4 夏 - # 2 令口= 厚2 ，6 ：厚，仃。s ；c f ， 则0 = a + i t r b 由于l c o s h ( ( 1 - x ) 秒) l 对于o s 石 l 是无界的，由式( 3 1 7 ) 可看出，所测数据小 的误差可导致解在0 x l 处的爆破，于是本章中的热传导问题是不适定的。这 里，我们将利用简化的t i k h o n o vj 下则化方法和由迭代格式导出的傅立叶j 下则化 来解决此困难。 3 2 简化的tik h o n o v 正则化方法 定义k ( x ) ：p ( r 2 ) 寸e ( r 2 ) ， k 一( x ) u ( x 石萨尚 ( 3 2 1 ) ，孝，f ) = 广孚 ( 3 1 ) 那么f - j 题( 3 1 1 ) 可被改写为 k ( x ) u ( x ，y ，) = 认y ，) ，0 x 0 为正则化参数。 引理3 2 1 极小化问题( 3 2 2 ) 存在唯一解，即 h a ( x , y , t ) = 瓤加们嚣蒲渺 ( 3 2 3 ) 证明： 令，表示r ( r 2 ) 空间上的恒等映射，rk ( ，) 是k ( ，) 的自伴算子 那么，极小化问题( 3 2 2 ) 的唯一解即为下述问题的解 硕十学位论文 第三章一类：维逆热传导方程的数值解 即有 故 得 = k ( x ) k ( x ) + 口叮1k o 概