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多孔介质中两类方程的均匀化过程 专业：应用数学 硕士生：赵红星 指导老师：姚正安教授李磊教授 摘要 目前关于流体在多孔介质中运动状态的研究已取得迅速的发展，研究的方 法也从不严格的形式展开发展到严格的纯数学推导，各种不同的手段也相继被 引入如何用这些有效的方法从数学的角度严格导出物理学中具有实际意义的 d a r e y 定律，成为对多孔介质中各类方程均匀化过程研究的一个焦点 本文利用了文献 2 8 中提供的一种方法，主要研究了二维的多孑l 介质中一 种不可压、非定常的、非均匀的n a v i e r s t o k e s 方程均匀化的问题；同时也考 虑了在一个厚度为h ( h j 0 ) 的多孔介质( 相当于三维中的薄膜) 中的另外一类 s t o k e s 方程的均匀化问题通过对这两类问题细致的研究，在文章的最后，我 们分别得到了这两类方程的均匀化方程，也就是它们都满足d a r c y 定律 关键词：均匀化 n a v i e r s t o k e s 多孔介质t h i n f i r m t h e h o m o g e n i z a t i o np r o c e s s o f t w oc l a s s i c a le q u a t i o n si np o r o u sm e d i u m m a j o r ：a p p l i e d m a t h e m a t i c s n a m e ：z h a o h o n g x i n g s u p e r v i s o r ：p r o y a oz h e n g a n p r o l il e i a b s t r a c t t h es t a t eo ft h ef l u i di nap o r o u sm e d i u mh a sb e e ns t u d i e df o rm a n yy e a r sa n d r a p i dp r o g r e s s h a sb e e nm a d e t h em e t h o d sh a v ea l s o d e v e l o p e d f r o mt h e n o n - r i g o r o u sa n d u n f o r m e de x p a n s i o nt ot h er i g o r o u sd e r i v a t i o ni np u r em a t h e m a t i c m a n y d i f f e r e n tm e t h o d sh a v ea l s ob e e ni n t r o d u c e d i ti sav e r yu s e f u la n di n t e r e s t i n g t h i n g f o rt h er e s e a r c h e r st ok n o wh o wt or i g o r o u s l yd e r i v et h e “d a r e y sl a w w h i c h i sm u c h i m p o r t a n t i np r a c t i c ei np h y s i c sb ys o m ev a l i dm a t h e m a t i c a lm e a n s i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o ru s et h em e t h o dw h i c hi sa p p l i e db yp r o f e s s o ry a oi n r e f e r e n c e 2 8 t os t u d yt h eh o m o g e n i z a t i o no f ai n c o m p r e s s i b l e , n o n s t a t i o n a r ya n d d e n s i t yd e p e n d e n tn a v i e r - s t o k e se q u a t i o ni nap o r o u sm e d i u m f o rt h ee a s e so ft h e d i m e n s i o nn = 2o rn = 3 a tt h es a m et i m et h ea u t h o ra l s oc o n s i d e r st h e h o m o g e n i z a t i o no fa n o t h e r s t o k e se q u a t i o ni nap o r o u sm e d i u mw i t hat h i c k n e s so fhw h e nhg o e st oz e r o ， w h i c hi st h es p e c i f i cc a s eo ft h ed i m e n s i o nn = 3 ，b yd e d i c a t e ds t u d yt h ea u t h o rg e t s t h eh o m o g e n i z e de q u a t i o nf o rt h et w oc l a s s i c a le q u a t i o n sr e s p e c t i v e l ya tt h ee n do f t h ea r t i c l e t h e yb o t hs a t i s f yt h e d a r c y sl a w ” k e yw o r d s ：h o m o g e n i z a t i o np o r o u sm e d i u m n a v i e r s t o k e s t h i n f i l m i l 中山大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 关于多孔介质理论已经应用到了现实生活中的很多领域比如：在土木工程 学中，有许多讨论流体在多孔介质中的流动和物质的传递的专著；在化学工程学 中，也建立了一些关于混合理论的模型；在理论物理学和随机分析中，也有相应 的渗透理论；在数学上，为了解决偏微分方程中一类具有急剧振荡系数的偏微分 方程和较为复杂区域上的偏微分方程边值问题，也建立了一套被称为均匀化的理 论有人曾经把数学上的这种均匀化方法称为是一种“高雅的”处理偏微分方程 的方法这不仅是因为这种方法本身的优美，更主要的是它提供了一种严格证明 收敛性的数学工具 早在1 8 5 6 年，达西( d a r c y ) 就提出了著名的达西定律a r t y sl a w ) ，描述流 体运动的基本方程从这以后，人们一直在寻求一种有效的数学方法从 n a v i e r - s t o k e s 方程来严格地推导这个定律其中最引人注目的结果是由 j b k e l l e r 和e s a n c h e z - p a l e n c i a 给出的他们通过渐近展开的方法从纯数学的角 度推出了这个定律这种渐近展开的方法对于一些标准形式的问题是非常有效 的，在很多时候也可以得到正确的结果但可惜的是，这种渐近展开的方法只是 从形式上得到了达西定律( d a r t y sl a w ) ，并不是十分严格的 这之后，越来越多的学者致力于这方面的研究，而且许多有关研究均匀化的 方法也被引入1 9 6 8 年，s s p a g n o l o 首先引进了g 一收敛的方法来研究抛物方程； 随后，l t a r t a r 、f m u r a t 研究了h 一收敛：e d e g i o r g i 引入了r 收敛对于变分 问题的研究，给解决均匀化问题提供了强有力的工具，为精确地从纯数学的角度 导出达西定律( d a r c y sl a w ) 奠定了坚实的基础 七十年代未，对具有周期系数或周期结构的区域上的各种数学物理问题的研 究中也取得了丰硕的成果，这些在a b e n s o u s s a n 、j l l i o n s 以及g p a p a n o c o l a o u 、 e s a n c h e z - p a l e n c i a 等人 1 0 】， 2 5 的著作中都有细致的讨论其中尤其是在对周 期结构的区域上的问题的均匀化研究中，l t a r t a r 引入的能量方法一直被认为是 最严密的方法之- - 2 6 多孔介质中两类方程的均匀化过程 第一章前言 近几年来，g n g u s t e n g 与g a l l a i r e 8 ，v 引入了一种所谓的双尺度收敛 ( t w o ，s c a l ec o n v e r g e n c e ) 的方法，对于周期问题的均匀化研究也是一种有效的手段 之后，l t a r t a r 和f m t t r a t 9 还引入了补偿列紧的方法；1 9 9 0 年，l t a r t a r 和p g e r a r d 同时提出了h 一测度理论，这些都为均匀化问题的研究提供了更为有效、更新的 方法 均匀化问题研究的一般方法是将问题分成整体问题和局部问题来讨论，其中 局部问题通常是由细胞方程( c e l l - p r o b l e m ) 给出，借助局部问题求极限最后得到整 体问题的解 本文分两个部分： 第一部分是论文第二章的主要内容着重讨论了在多孔介质中非线性、非定 常不可压非均匀( 与密度相关) 的n a v i e r s t o k e s 流的均匀化问题文章借鉴了 2 8 】的研究方法，最后导出了此类方程的均匀化方程满足达西定律( d a r c y s l a w ) 第二部分是论文第三章的主要内容重点讨论了在一个有厚度h 的多孔介质 ( t h i n - f i l m ) 斯托克斯( s t o k e s ) 方程的均匀化问题我们最后仍然得到了这个问题 在h 一0 的情形下的均匀化方程是达西定律( d a r c y sl a w ) 本文中多次用到了几个重要的不等式，比如 谰2 3 若1 p n , p g = 嵩，妒w o b 心；) 删 l + f ! 一u i i 妒i i p ) 。99 钿v 训妒( n 。) r 此不等式见【2 8 ，其中给出了较为详细证明它还有一些其它的形式，参见 2 8 文章中许多相关的结果都是在此不等式的基础上才能得到 2 中山大学硕士学位论文 第二章n a v i c r - s t o k e s 方程均匀化过程 第二章非定常的n a v i e r s t o k e s 方程均匀化过程 1区域和记号 本文采用文献【2 8 】中的记号，为了便于阅读，在这里重新叙述如下：q 是r ” 中的一个光滑的有界区域记y = 【o ，1 r ，这里一般考虑= 2 , 3 的情形设是严 格含于y 的一个具有光滑边界a t = f 的闭子域这里t 表示介质y 中的固体部 分设 = 】，一i ， ( 2 1 1 ) 表示介质y 中的流体部分 令 i 耳= y + 七，r = r + k ， 【弓，t = 乓一乓七z 2 对于r 2 中的任何子集f 及6 0 ，定义 占f 兰f 石i 三工f l l s 考虑集合疋= 妊z 2 l 幽亡q ，令q 。= q 一。竖必 体的部分，其边界为 弛s = m u 兰( a s r ，j ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 则q 。即为多孔介质中流 ( 2 1 4 ) 在这里，p 。，正，雎( 0 ) 分别表示流体的速度，压力，外部作用力和粘性系数 多孔介质中两类方程的均匀化过程 第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 2 预备性结果 在这一部分中将列出一些引理和命题，这些结果在后面的讨论中非常重要 为了简便，在本文中不给出证明，相应的严格证明，可参阅 2 8 引理2 1 设卢 n ，伊“4 心。) ，则 fl 一旦 渺。) 蔓c ij v p i l i ：( o 。) r ， ( 2 2 1 ) e l i ：( s c 8 i i v 妒怕( n ，) i v 而且，如果g n ，则 、+ f ! 1 i i 妒i i f ( n ，) c s 1 49 j0 v 妒l l p b 。) r ( 2 2 2 ) 这里c 仅依赖于n ，q ，i 和卢 附注2 1 ( 2 2 1 ) 式中的第二个不等式对于口1 也是成立的 引理2 2 若g = n ，妒e 1 9 ( q 。) ，则 生 i i 训p 呱) o 9 i i v 训p ( n 。舻 ( 2 2 _ 3 ) 引理2 3 若1 卢，卢g + = 斋等，妒。) ，则 i i 妒i i 盹) - c 8 1 9 别i i v 伊i i ：( a 。) r ( 2 2 4 ) 引理2 4 存在一个线性算子尺。：慨1 一q ) r 斗眈。) r ，满足如下性质 ( f )v 妒k 1 ，- 。) r 都有疋，妒：妒： ( f f ) 如果在q 上d 如妒：0 ，则在q 。上也有砒，伍。- 妒) = 0 ； ( i i i )v 妒阮1 。q 矿，存在一个常数c ，满足 对叽刘v ( 跏) 玎c 圳i v 妒) ( 2 z 5 ) 4 中山大学硕士学位论文 第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 3 问题的模型和主要结果 本文将主要研究如下的n a v i e r s t o k e s 方程 5 “皇呈t + a i v ( p u ) = o ，p 。o ，在q 。( o ，丁冲， ( t t 占。煎掣+ 挑如以。“。) 一肛a a u e + s s 勖。 ( 2 3 1 ) 0 管 、二j ， = 丘n + 在n 。( o ，r 冲， d i v u 。= 0在q 。( 0 ，r 冲 问题的初、边值条件按如f 的方式给出 ( 1 ) 初始条件 f 见( 膏，0 ) = 岛，。( x ) 在q 。中， ( 石，0 ) = “叫( z ) 在q 。中， ( 2 3 2 1 ( z ，o ) = m 印( x ) 在q 。中， 这里m = 戊。“啪是流体在q ；上的初始动量 ( 2 ) 考虑d 洲c 肌身边界条件“。i m 。= o ( b j 幼) ( 2 3 3 ) 本文中还要用到两个重要的假定 ( h ) o o - 。f 。与厂在r ( q ，) 中， ( 2 ，3 4 ) ( h ：) 6 - s g 。山g 在r 娩，) 中 ( 2 3 5 ) 命题2 1 在上面假定的条件下，存在三个函数u ，p ，p ，使得 s ：丁山“在l 2 缸，) 中，n 芝斗p 在r 娩，) 中，甄旦哼勖在 r ( o ，丁；f + ( q ) ) ( 1 p 兰毒马) 中，其中“，办p 满足方程 f6 f i v u = 0在_ qe p ， i z u = k ( f p + g v ) 在q 中， ( 2 3 6 k 亓= 0在铀x ( o ，r ) 中 其中足是一个仅依赖于的正定对称张量，通常称为渗透矩阵这个均匀化 方程也常被称为“达西定律”( d n ，砂5l a w ) 4 先验估计 在证明这个命题之前，首先要解释一下为什么可以得到满足条件的弱解这 也只要解释如何得到关于的一致估计 从方程( 2 3 1 ) 的第一个方程和边界条件( 2 3 3 ) 可以得到表示质量守恒的 关系式i pd x = l 成。d x 正f i 。 关于r ，“。的先验估计，可以从能量等式中得到为此，先建立关于这个方 程的能量等式在( 2 3 1 ) 的第二个方程两边同时乘以“。并在q 。上积分，得到 s i 掣出+ 一p s u s 圆u e ) 帅，卜啦旺4 + f v p ，u e d r = ( 正肛+ ) d x 下面对( 2 4 1 ) 式中的各项作细致的计算对于第一项有 酽掣啦掣 掣哏哮卜 掣甲1 掣卜泣4 出掣吲1 划2 斗 对于第二项相应的计算可以得到 6 中山大学硕士学位论文第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 j 西v ( 见虬圆叱) 办= j 历v ( 见“。- 。办 n 。o 。i = l = 善肛( 圳划2 + 扣v k1 2 卜 = 善驴警k 卜知v k1 2 卜 一i 等k 陋+ + 莓 撕( 删蚶k = 一等等k 陋 ( 2 4 3 ) 从第三项和第四项中容易得到如下的结果 s 4j 血a u e 出= 一肛9f iv 虬1 2 d x ，( 2 4 4 ) n 。皿 ，f 吼u + d x = - s 5i p 。d i v u ；d x = 0 ( 2 4 5 ) n 。n 将( 2 4 2 ) ( 2 4 5 ) 代入( 2 4 1 ) ，并且在( o ，f ) 上积分，即得到能量等式 等掣+ l v 虬1 2 出= ( 正b + ) 出，c z a a ， 等驰掣州扩驴驰t 胁出批眩4 m s f p + l 虬1 2 出+ 肛，i l v 1 2 捌r ：等f 以一。l ：出+ j t ( 正反+ 岛) 出 t 0 吼t 0 迁 ( 2 4 8 ) 把它改写成 批k 陋矿。眨i v 叫2 捌r 2 铂挚佰“驶( 正见训批 这就是所得到的能量等式 下面考虑最后的一项的估计，为此先引入 7 ( 2 4 9 ) 多孔介质中两类方程的均匀化过程第二章n a v i c r - s t o k e s 方程均匀化过程 引理2 5 存在一组整体弱解( “，p ) 满足方程( 2 3 1 ) 及条件( 2 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 而且上述能量不等式成立更进一步地，对于任给的0 k l k 2 o o ，集合 x e r 4 i 毛p ( z ，t ) - k z 的测度与时间f 无关特别地，如果q = 胄”且 岛一p 。f ( 掣) ，1 p ，p ”【o ，o 。) ，岛一p ”( e o ，o o ) ；l p ( r “) ) ，贝e j i i p p 。i i 口( ，1 与时间f 无关同时如果风= 万【o ，o 。) ，则在q 【o ，o o ) 上，p = ； 本文中还要对初始条件和外加力项作如下的假定：o 岛，。旦( 一p 为常数) 2 - 口一“ ( “) t 晶r ( q ，r ) ， ( 2 4 1 0 ) ( 柳 2 一口川 占丁工r ( q ，) 附注2 2 由引理2 5 知，在条件0 几。旦( 一p 为常数) 下，有如下的结果 成立：岛r ( q ，) 附注2 3 从( 2 3 5 ) 和( 2 4 1 0 ) ，可以假定叶：三二要兰，这即是 口+ 卢= 2 s + 2 ( 2 4 i i ) 占1 f f ( 正岛+ 丞) “。捌r = s ”f j 正以“。删r 托1j f g s u e 捌r ”b0 j f 0 【】 分别对右边的两项作如下的估计：首先对于第一项 e - a j 正岛- k d r , d r s s l i i 几i i p 正- d x d r 占”i n 峙i i 正i l l 2 i i 叱i i r 1 。8i l l 忆i i v u 。i i r ( 2 4 1 2 ) 2 - a - p 竿i l l i i p 肛譬帆i i r 坚2f埠帆酽r 。 4 。 u邶 型瓜 主些查堂堕主堂垡堡茎 兰三兰望型堡! 坠唑竺查堡望望些! ! 堡一 对于石边的第二坝，芡似地也伺到p 州佰订 s 一0 r ! 叱删r g 叮功划2 捌彳 殛划2 跏寸 。：a 。， 等恬川2 r + 字h i 孔掀 将( 2 4 1 2 ) ( 2 4 1 4 ) 代入( 2 4 9 ) ，可以得到下面的能量不等式 抄出吼i s iv u s1 2 d x d r 挚 眨24 1 4 ， n o n ，珥，5 ，o f) + 堡竺z 2 ，+ 孚恬川2 p 一 “ 一 成k 1 2 e r ( o ，r ；( q 。) ) ， 口一口 s t v “。工2 ( q ，) ， ( 2 4 1 5 口一口一2 占t 叱f ( q ，) 5 关于“r ，b 以及b 的扩张 ( 1 ) 关于见的扩张 在研究均匀化过程的时候，最主要的困难是区域q 。是随着s 的变化而变化 解决这个困难的主要方法是将定义在q 。上的函数“。，p 。及p 。延拓到整个q 上去 由于固体部分没有流体流动，因而可以很自然地认为流体在固体部分的速度和密 度都为零，用抒。，矿分别表示延拓后流体在整个区域上的速度与密度，即有 ( t ) ，q 5 ( o ，丁) ，( 2 删 e t s e 芦r ：j 尸。 ( z ，) q 。( o ，丁) ， ( 2 5 2 ) l0e l s e 、。 f o ，j、l | i f 一拼 多孔介质中两类方程的均匀化过程第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 在不引起混淆的情况下，仍然用“。，p 。表示扩张之后的速度与密度 ( 2 ) 关于只的扩张 尽管流体在固体部分没有速度，但它对固体部分有压力，因此不能期望象 “。，p 。那样在固体的部分作零扩张，这也是十分不合理的为了对p 5 作出合理的 扩张，还必须对p 。作出精确的估计，以便使扩张后的p 5 较为合理，并具有一些 相应的性质 在下面的这一部分中将着重说明如何对p 。作出精确的估计记 f t t r = i p 。d t ， u s = p c d f ，g g = l g s d z 00 0 。= i d i v ( b u e ) d f 0 f 。2 弭p e d ( 2 5 3 ) 将( 2 3 1 ) 的第二个方程在( o ，f ) 上积分，利用上面的记号，原方程可以改写成 v 只= 一6 “见“。+ 8 见o “。o + s 一5 西。+ p e 4 以+ 占一5 c + 占一。q ( 2 5 4 ) 利用先验估计，还可以得到 6 - g , c d ，丁l r 心。) ) ，占1 c e c 0 i d ，r l p 心。) ) ， s t u c ，r l 巧，。) ，o 。c ，丁l 嘭。) 这里吒。= v i v 瓯1 ( q 。) ，d i w = 0 ( 2 5 5 ) 为了对v 作出细致的估计，引入如下的两个重要引理( 见 2 8 ) 引理2 6 对n q 。，若p 慨1 。q 。) r ，虬r ( 0 ，丁；i n l q ；) r ) 岛r 娩，) ，则 l挺讲v(聃p)删i-cs”q0l 俐一lv 叫l 删 断) n ，l f “一，ll 1 l 蚺j l 证明： 1 0 中山大学硕士学位论文第二章n a v i c r - s t o k e s 方程均匀化过程 i f 咖( 疋。吩弦凼出l 0 爿j 咖( 尾 纠一亿 “：v 纠也出 0 爿忍心v c g r a t i c 蚓圳口( 唾一呲m c q 州 i 口( 唾) lo p 垆j fj l v 吧( q 一吼酬 f f f 9 1 l 。均j ， = 。9 恻l 一观，) 这里用到了引理2 3 及m 船r 不等式中的指标关系：! + 2 ：1 g， 引理2 7 设q 是一个有界域，并且具有l i p s c h i t z 边界触，1 q 则 f 对任何，e 厶4 ( q ) ，厶9 ( 弓) = 厂( z ) 口，厂( 工) 出= o ，总存在一个 u e 慨1 1 4 ( q ) r ，满足厂：咖“，而且还存在一个常数c ：c ( q ，q ) ，使得 附( n c l l f l l q ( n ) ( 2 5 7 ) 这个引理的严格证明参见 2 8 ，为了简单起见，本文在此省略 下面来估计耽对于n q m ，妒慨。) r ，从( 2 5 4 ) 有 i ( w ：，妒) 降l ( 一s 成心+ s b ，。虬，。+ s l o 。+ 肛肛虬+ 占一。c + s s q ，妒孔 ( 2 5 8 ) 考虑( 2 5 8 ) 式中右边的各项首先，注意到 多孔介质中两类方程的均匀化过程第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 ( 一，5 n ，妒) = l - 广5 n 驴出 n c 5 ”5 i i “山叮：嘲) 岛，) l l 妒l l 嘲r c e 2 | | 伊- 。( q ) c 6 2 附( 州 c 5 m 。 对于( 占1 q ，西，也有如下的估计 1 ( s l e ，驴) i = | f s - s g 。删r 1 0 【k 占。| ig si i 一( n 。) l lvi l e a ) y d f n 西1 州il l , ( 咿心( 吐” 蔓c m n 。) 同样地，对于( 占一5 c ，妒) ，有类似的估计 ( 占1 c ，9 ) 蚓呲州叫” 考察( 肛9 5 u ，妒) ，利用假定口+ = 2 s + 2 ，有如下的结果 i ( 肛户5 以，妒) i 哪v “c 。旷i iv 哗( 。目w ， c 8 2 帅q ) 1 一： c 8 m n 。 最后，由引理2 6 。可以得驯 ( 2 5 9 ) ( 2 5 1 0 ) ( 2 5 1 1 ) ( 2 5 1 2 ) 中山大学硕+ 学位论文第二章n a v i e r = s t o k e s 方程均匀化过程 i ( 6 1 。，p ) i 。一口+ 2 一旦 ( 2 5 1 3 ) c 6 9 附( n 。 这里需要条件口一卢+ 2 - s 一詈0 ( 2 5 1 4 ) 在条件( 2 4 。1 0 ) ，( 2 5 1 4 ) 之下，在上面的估计和条件下得到 i ( 咒，妒) 恒c l l q , i i m 。， ( 2 5 1 5 ) 命题2 2 存桫的一个扩舻r ( 。凇( q ) ) ( 1 g 。可n - 1 ，并且 对尹有如下的估计式成立 垆 删c ，i | 即。，r 一向c ( 2 5 1 6 ) 这里c = c ( q ，p ) 在不引起混淆的情况下，仍记卢s 为p 。 从上述讨论中，我们可以作如下假定( 如有必要，可先取子列) ( 1 ) s t “。o “在r 她) 中； ( 2 ) 占下u 5 竺辛u 在上产( o ，r ；r ( q ”中；( 2 5 1 7 ) ( 3 ) 卢一鼬f 口。( q ) ) h 等) 附注2 4 这种类于梯度的扩张最早见于l t a r t a r 【2 6 ，文献中所用的是 n = 2 ，且q = q7 = 2 时的情形更一般的结果见2 8 1 多孔介质中两类方程的均匀化过程 第= 章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 6 均匀化过程 在这一部分中，将着重导出方程( 2 3 1 ) 的均匀化方程，即d a r c y j l a w 通过在( 2 - 3 1 ) 的两边乘以一个试验函数，并在q 。( o ，r ) 上积分，得到所要的极限 方程为此，先考察如何确定这个合适的试验函数 6 1 辅助问题 考虑如下的局部问题犯d 翻，p r o b l e m ) ( 参见【2 8 ) f v x 一脯= e 7z 弓， d v w = 0 x _ ， ( 2 6 1 ) 【= o z s 弘 这里，巧是y 一周期的，肇r 一是r ”有一组基 对于局部问题，有如下的己知结果 引理2 8 对于局部问题( 2 6 1 ) ，存在唯一的一组解“，n 一，满足 h l o ，眈) ，厶2 ( 弓) ( 2 6 2 ) 矾，。( y ，) = 扩g ) 础，b ) = o , x e l ，k 2 眈) = ，g ) r ，g 妞= o ) 而且，还有如下的估计 旷c ，i ，( 嘭c 盯s c 2 这里1 g o 。，c = c ( q ，弓) 定义k = 嘞l 小。”，= ( ) ，d r ( 2 6 4 k 是一个正定对称张量，通常被称为渗透矩阵( 参见 2 8 ) 问题( 2 6 1 ) 可通 过一个伸缩变换y = 一x ，转化成如下的细胞问题( 盯p m b l e 研) ( 参见 2 8 ) 1 4 中山大学硕上学位论文第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 f 刃餮，2 篡i ( 2 6 5 ) 这里w f e = w ( 孝) ，w l s = w f ( 言 对于此问题，也有类似于( ：6 - s ) 的结论 。( 。月w c ， l l 以刈饥髟s c ，l l v k ，( 州舻詈 其中1 g 。，c = c ( g ，) ( 2 6 6 ) 6 2 均匀化过程 最后，考虑问题( 2 3 1 ) 的均匀化方程先取。妒作为试验函数，这里。是 ( 2 6 5 ) 的一个解，伊g ”她) 用这个试验函数乘以方程( 2 3 1 ) 中的第二个方 程，并在q ( o ，r ) 上积分，就可以得到 一l l 辨争s 削s we 础拈l p 弘wc 础d t + j 博1 a 。e 9 d x d t + j l 皆弘w ；9 d ) c d t 0 n 0 n0 0 0 。五 一j p 以w 。妒硪西+ j p n 邮。妒出西一j p l 。5 。p 出出 ( 2 6 7 ) 下面将考虑( 2 6 7 ) 式中各项的收敛性首先考虑左边的项，有 一l l p s p 3 蜘e = 似p 5 v u 。：v 妒固w f 。d x d t + j 忙即v u 8 ：v 。妒d x d t ( 2 郇6 ) u“0n = + 厶 对于其中的厶，又有如下的估计 多孔介质中两类方程的均匀化过程 第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 峰c 肛加5 吖i i v 哗( 州i i r 怯l 口( 垮) ll 口1 0 川 c 矿5 + 譬h 口+ , 6 。- 2 s c 占 2 | | v 妒 f ( - ) ” s 由此可知，当s 寸0 时 一0 对于厶，作一次分部积分，就有如下的结果 1 2 = ll “s 争s v u “v - d e q ，d x d t 0 n = 一l l 鼬p 可酬c 妒d x d t l l t l s 阳u 圆可9 ：可o 5 d x d t 2 l + 1 2 2 再考虑，2 ：，有如下的结果 r i ，2 ：卜| j 肛即u 5 。v 妒：v 。d x d t 0 n 口一p + 2 c t l a 6 # 一。s 一1 占f 一 c 6 由此可知，当s 一0 时如斗0 对于厶，利用( 2 6 5 ) 中细胞问题中的第一个方程，可以得到 ( 2 6 9 ) ( 2 6 1 0 ) 一肛p ”2 驴5 i c - - e i ) 妒拗 ( 2 6 o n u - 1 1 = 一肛p ”1 p v 石。q g d x d t + p 6 户p 2j p 5 州础 0 0 0 n = 1 2 i l + 厶1 2 其中对l 。，有如下的估计 1 6 栅 毋 u 肛 s ，m 一 = 中山大学硕士学位论文第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 l l i l 喀c t 6 2 = c 6 由此可知，当占一0 时也有厶1 1 斗0 ( 2 6 1 2 ) 对于l 由于有假定口+ 卢：2 s + 2 ，那么卢- s - 2 = 旦二兰兰，再由 ( 2 5 1 7 ) 的假定，有 ， l ：斗f p e i q ) d x d t ，当占专。时 ( 2 6 1 3 ) 0 0 从( 2 6 8 ) 到( 2 6 1 3 ) 的讨论，即可得到 rr 一p s 加。础以寸f p e i 妒d x d t ，当s 斗。时 ( 2 6 1 4 ) 0 n0 n 由e - s g 8 j g 在r 她) 中，容易推得 r f f g q ，d x d t ， 当s 一0 时( 2 6 1 5 ) 0 n r 对于f p ”5 b w l s 伊出疵，有估计式 0 n 驰n u s w p 蚴ij p , i i 州叱1 1 0 川一k i 酬w ( 2 6 1 6 ) nl “、蜘叫f ， 1 、 3 a - f 1 。- 2 s + 2 c e 2 呻0 ，当占 - 9 0 时 i 司理，也司以得到 f 卜”5 p e , o u e , o - w l 。伊出出斗o ， 当s 斗。时 对于p 一。，。删，也有如下的估计 7 p 峋s w t 。础出c t n m s t a - a 。t a - p + 2 = c e 8 9 2 寸0 ，当占呻0 时 ( 2 6 1 7 ) ( 2 6 1 8 ) 啼删w酽 一占 ，盯 多孔介质中两类方程的均匀化过程第二章n a v i e r - s t o k e s 方程均匀化过程 再考察p p 5 ；似x d t 的收敛性如同文献 2 8 ，令 。一高以也( 2 6 1 9 ) 对于1 g 0 ，如同文献 2 8 ，定义： 占f 兰f x l 三。f l l s j ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 考虑集合疋= 忙e z 2 i 或c s ，令s 。= s u 或则薄片中流体的部分 e s 叫= ( s 一盟或，。 ( o ， ) ，其边界为礁，。= j u o s ( 0 ， ) u a 妞，。( 0 ， ) ) u s 这里s ，量分别是薄片的上、下两个面( 如图3 ) 图3 2 1 多孔介质中两类方程的均匀化过程第三章薄片上s t o k e s 方程均匀化过程 2 问题的模型 考察在s 。中流体的运动状态，它的运动满足斯托克斯陋d 南盼) 方程即在 这一部分中，将考察如下的方程 p 缸。一+ - ，。一，? s c ( 3 2 1 ) i d i v u = 0 i n 芝 、 并且满足边界条件“。以= o 这里厂。一是外加力，满足| | ，5 。忆c ( 这里c 与s ，h 无关) “5 一，p 6 一分别 表示流体的速度和压力考虑的问题是：在假定h = s 2 ( 0 旯 1 ) ，当 s 斗0 o 斗o ) ，且五 ，在r 5 一) 时，0 一，p 6 一) 的极限在一定的意义下是否 存在? 若存在。它们的极限又满足什么方程? 这一部分中，本文将讨论在何种意义下可以取0 5 一，p 5 一) 的极限，这种取极 限的方法和过程就是均匀化过程，极限函数0 ，p ) 满足的方程即是均匀化方程 这里我们需要两个重要的假设 c 吼怒c ，鬻苏 z 国 3 主要的结果 命题3 1 在假设) 的条件下，存在一组函数0 ，p ) ，使得在r ( q ) 中， u 5 山“，”5 j 即 并且，0 ，尸) 还满足如下的方程 “= 世( ，一v p ) 这就是极限函数所满足的均匀化方程，也就是所说的( d a r c y l 定律 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 中山大学硕士学位论文第三章薄片上s t o k e s 方程均匀化过程 4 先验估计 为了讨论0 8 一，p eh ) 在何种意义下具有收敛性，首先需要对l d e h ，p 5 一作出相应 的估计为此，引入 m = 五， 儿3 恐， 1 乃2 于 ( 3 4 1 ) 在此变换下，流体区域q 。一= ( s 一盟或，。) ( o ， ) 可重新表述为 q 8 ，= ( s 一。芝或，。 ( o ，1 ) 设0 8 一，p 。) 及厂5 一在变换之下对应的形式分别记为 08 ，p 5 ) ，厂5 应用此变换，方程( 3 2 1 ) 及边界条件可以表叙成 彳( 筹+ 等卜“筹+ 等矾 一型爹+ 篱卜- 2 a 万0 2 u e 2 + 篆巩 4 固 l ( 筹+ 筹卜“等“2 篆矶 一 等+ 等打2 等_ 0 ，州矿o 嘲吼 “1 如果记y = 【y 。，y ：) ，巳= ( 1 ，o ，o l e ：= ( o ，1 ，o x 巳= ( o ，0 ，1 ) 方程( 3 4 2 ) 可以写成 名争2 “等喁小s “筹妒一 帅“筹- o ， “8 k = 0 ( 3 4 3 ) 在方程组( 3 4 3 ) 中的第一个方程两边乘以“。，并在q 。上积分，得到 多孔介质中两类方程的均匀化过程 第三章薄片上s t o k e s 方程均匀化过程 彳a , u 5 u a y a y s + 2 _ 2 2 罄城n 4 q + 妯蜘f 斋，吨螈2 o 螈， 对上式的左边叫个积分分别用分部积分，并注意到( 3 4 2 ) 中最后一个关 系及“5 在边界上为零的条件，可以得到如下的能量等式 i 。、i s 2 1 v + 矿“斟卜= ”5 城 4 卸 更进一步地，对右边的积分进行估计，又可得到 ff u d y d y 3 = j 纡“。+ f 2 s u 2 e m + f 萨“，。城 c 6 1 1 f 5i i r i v y u 8 忆地。4i i f 5i i 训篆忆( 3 4 | 6 ) 训e 2 v ，“5 忆+ 6 2 2 - 2 a a 却u ，c 。2 r + c 2 垆盼 将( 3 4 6 ) 代k ( 3 4 5 ) ，便得到如下的能量不等式 们v 1 2 + 矿2 懵b 刚f 。刃 再由l l ，。忆c ，可以得到 ( i ) s i i v ，”。i i r c ， ( i i ) i l u l i e c ， ( i i i ) 矿瓢 ( 3 4 8 ) 中山火学硕_ 上学位论文 第三章薄片上s t o k e s 方程均匀化过程 5 关于“8 ，p 5 的扩张 类似于第一部分的讨论，为了研究方程( 3 4 3 ) 的均匀化过程，首先必须解决 如何将定义在流体区域q 5 的速度 5 和压力p 延拓到整个区域q 上，也即是考 虑“5 和p 5 在不流动的固体部分g 把n 咖一脚) 上的取值 一方面，由于固体部分是没有流体流动的，因而我们可以很自然地认为流体 在固体部分的速度为零，若用石。表示延拓后流体在整个区域上的速度，即有 厅s ： “5 ( y ，儿) q 5 ， ( 3 5 1 ) l 0e l s e 、 7 另一方面，尽管流体在固体部分没有速度，但它对不流动的固体部分还是有 压力，因此，我们也不能期望象“那样在固体的部分作零扩张，这是十分不合 理的为了对p 5 作出合理的扩张，还必须对p 5 作出精确的估计，以便使扩张后 的p 5 较为合理，并具有一些的性质 将方程( 3 4 _ 3 ) 中的第一个方程改写成 v 仃3 筹妒厂+ 抛“篆 ( 3 5 2 ) 按如下方式定义q 。上的一个泛函 ( 只，妒) 。2 v y p e + 6 - z 两o p t 巳，疋如 ( 3 删 这里也是第二章中提到的限制算子，p l 2 心。) ，并且还满足盔v 伊= 0 由( 3 5 3 ) 及( 3 2 1 ) 有 ( 聊) 。2f e 2 s + 6 2 - 2 a 筹川。； 2 旷脚蛐3 + l 吗z 。r 枘毗+ r 篆3 州y d y 3 n o n o = 1 1 + iz + 1 3 ( 3 5 4 1 麴堂堕鲞塑塑塑些竖一兰型型坐鲤型盥丝翌 下面对( 3 5 4 ) 0 的这三项分别估计 首先，对于，有 i 降 1 ，5 1 1 r 妒1 咖毗 , e l i 纠l 厂5 叫l r 妒l i e - c ( 1 l 删rq - $ l l v p 吣) 同样地，对于j ：，i 。，也有类似的估计 i 占2 f v v r 。妒a # y ， n - c e l i v “吣( b + s i i v 妒 。( 1 i 口o