（概率论与数理统计专业论文）关于两值可换数据的统计推断.pdf

摘要 可交换的俩值随机变量模型在实际中有着广泛的应用，例如药物毒性研 究，社会调查，心理学研究等方面。对于俩值随机变量模型的研究，历来都 是围绕着响应变量的均值和二阶相关展开的，但是均值和二阶相关性并不能 完全决定响应变量的分布，所以需要引入具有更高阶相关性的模型，但是引 入高阶相关性之后，会使模型变得更加复杂，对于俩值可换随机变量模型来 说，它能够把各阶相关性用简单有效的方法进行处理，从而使模型得到简化。 本文主要总结了g e o r ga n dk o d e l l ( 1 9 9 6 ，j a s j ) ，g e o r ga n db o w m a n ( 1 9 9 5 ，b i o m e t r i c s ) 这两篇文章中关于俩值可换变量模型的最新研究成果： 对非参数似然比检验的推广，如独立性检验、奇性检验、剂量一趋势的检验。 以及完全似然方法等问题，并在此基础上，滋_ 步探讨了模型的推广及其意 义。 关键词：可换随机变量，超二项变量，相关二项模型，口一二项模型， 似然函数，对数似然函数，极大似然估计，似然比统计量。 a b s t r a c t t h ee x c h a n g e a b l et h eb i n a r yr a n d o mv a r i a b l em o d e li na c t u a lh a s aw i d e s p r e a da p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，i tc a nb ea p p l l e di nm e d i c i n e t o x i c i t yr e s e a r c h 、s o c i a li n v e s t i g a t i o n 、p s y c h o l o g yr e s e a r c ha n d s o m eo t h e rf i e l d s c o n c e r n i n gt h er e s e a r c ho ft h eb i n a r yr a n d o m v a r i a b l em o d e l ，i ti sa l w a y sc o n s i d e rt h em e a na n dt h es e c o n d c o r r e l a t i o no ft h er e s p o n s ev a r i a b l ef i r s t ，b u tt h em e a na n dt h es e c o n d c o r r e l a t i o nc a n tc o m p l e t e l yd e c i d et h ed i s t r i b u t i o n so ft h er e s p o n s e v a r i a b l e s oi t sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c eh i g ho r d e rc o r r e t a t i o nm o d e l ， a n dt h em o d e lb e c o m e sm o r ec o m p l e xo w l n gt ot h ei n t r o d u c t i o no fh i g h o r d e rc o r r e l a t i o n t h ee x c h a n g e a b l et h eb i n a r yr a n d o mv a r i a b l em o d e i c a nd e a lw i t ha n yo r d e rc o r r e l a t i o ns i m p l ya n de f f i c i e n t l y ，a n d s i m p l i f yt h em o d e l t h i sa r t i c l em a i n l yt a k eg e o r ga n dk o d e l l ( 1 9 9 6 ，j a s j ) ，g e o r ga n d b o w m a n0 9 9 5 ，b i o m e t r i c s ) t h e s et w oa r t i c l e sa sab a c k g r o u n d ， s u m m a r i z e dt h en e w e s tr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tt h ee x c h a n g e a b l et h e b i n a r yr a n d o mv a r i a b l em o d e l ：t h ee x p a n s i o no ft h en o n p a r a m e t r i c 1 i k e l i h o o dr a t i 0t e s t ，s u c ha si n d e p e n d e n c et e s t ，h e t e r o g e n e i t yt e s t 、 d o s e t r e n dt e s t 、c o m p l e t e1 i k e l i h o o dm e t h o da n ds oo n ，a n db a s et h a t d i s c u s st h ee x p a n s i o na n ds i g n i f i c a n c eo ft h em o d e l t h eb i n a r yr a n d o m v a r i a b l em o d e lc a nd e a lw i t ha n yo r d e rc o r r e l a t i o ns i m p l ya n d e f f i c i e n t l y ，a n ds i m p l i f yt h em o d e l k e yw o r d ：e x c h a n g e a b l er a n d o mv a r i a b l e ，e x t r a b i n o m i a l v a r i a t i o n c o r r e l a t e d b i n o m i a l m o d e l ，b a t a b i n o m i a lm o d e l ， l i k e l i h o o df u n c t i o n ，l o g l i k e l i h o o df u n c t i o n ，m a x i m u m l i d e l i h o o de s t i m a t e ，1 i k e l i h o o dr a t i os t a t i s t i c 儿 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指 导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刘邈辈日期：麴z ! 左：甚： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 岛 学位论文作者签名：叁避垂指导教师签名：正迅 日 期：2 塑z ! ! 毋日期：4 碰。笸：圣 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：硅程墨盔耋笙垒生基! 垒毖 通讯地址：惦名鬲卯区迭豹骺；卯 电话：墨鱼丛! 盈 弓邮编：( 1 2 兰f 引言 在许多重要应用中，都会得到一些相关的俩值数据。例如纵向数据，发 展的毒性试验等i l j 。近几年来，随着一些应用学科的飞速发展，相关的俩值 数据也在与日俱增。对这些相关的两值数据进行分析时，普遍的困难就是缺 乏简单并且容易处理的联合分布的表达方式。目前，处理相关两值数据的方 法基本上有以下几种：拟似然法和g e e 方法口卅，p 一二项模型和相关二项模 型( c o r r e l a t e db i n o m i a lm o d e l s ) 1 7 - 1 0 j ，以及把俩值数据中的独立组转化 为单个俩值数据点的方法。 在处理由畸形学得到的俩值数据时，通常要考虑到同一个试验组出生鲍 仔畜之间的反应是具有相关性这个因素的，因为同一个试验组出生的仔畜比 不同试验组出生的仔畜在行为上更相近。历史上，有两种方法处理这种相关 性，第一种方法是口一二项模型 1 2 - 1 7 j ：假设在同一个试验组内( 1 i t t e r ) ，个 体出现反应的总数服从贝努利分布并且不同组之间相互独立；所有试验组的 贝努利试验的参数服从共同的口一分布，该模型是w i l l a i n ( 1 9 7 5 ) 最先提出来 的；第二种方法是相关二项模型n ”矧：根据贝努利试验，假设从同一个试验 组出来的仔畜行为不独立，即同一个试验组的仔畜之间的反应是具有相关性 的，但它们有一个固有的可交换的相关结构，应用这个结果，一个试验组的 反应数目的分布与所有试验组的相同数量的分布是相同的阻j 。 当一个随机变量x 服从两点分布，且分布的参数p 服从某一分布f 时， 称其为超二项变量。对超二项变量进行处理时，我们会先假定一个它的分布， 如口一二项模型或者分布自由的拟似然函数模型，或者使用g e e 方程，用“设 计效果”和“有效样本量”这些样本调查概念来解释超二项变量i m 4 ”。 由k u p p e r 和h a s e m a n 定义的相关二项模型和一二项模型在畸形学框 架里解决了很多问题，但是由d e - f i n e t t i 基本定理可知，相关二项模型只是 一二项模型的一个特例。尽管如此，我们也不能忽视相关二项模型在畸形 学框架里的地位，因为在畸形学这样的生物应用中，生物反应是有限的，从 而，对于俩值随机变量序列五，五，以的联合分布来说，一二项可能不 够合理，因为均值和二阶相关性不能完全决定反应是多元变量的分布。使用 具有更高阶相关性的参数来表示五，k ，以，的联合分布比仅仅使用均值和 二阶相关性可能更实用一些，但是，一个合并较高阶数相关性的相关二项模 型会变得非常复杂，很难处理各阶相关性。 对于有限或可列的俩值随机变量序列五，x a ，以，如果满足；对任 意的1 1 ，任意的向量 而，而， 以及任意的1 ，2 ，n 的置换石( 1 ) ，万( 2 ) ， ，万( 疗) ，都有等式 p l ( - ) = 五，以( z ) = 而，( 。) 2 矗) - p ( 置= x l , 五= 而，以2 ) 成立，则称俩值随机变量序列五，五，只，是可换的。 可换俩值数据模型的优点是：在统计结构中，所有阶数的相关性都允许 使用简单有效的方法进行处理。 卢一二项模型和相关二项模型都是在可换的假设下建立的，因而，一 二项模型和相关二项模型可以解释所有阶数的相关性，当然也包括均值和二 阶相关性。 本论文主要总结了关于两值可交换变量模型的一些最新研究成果，并在 此基础上讨论了将来的研究计划。论文分五部分，第一部分为可换两值随机 变量的概念和有关结论。第二部分，利用可换俩值数据模型的特点，对同一 个处理组内的独立性构建了一个似然比检验，统计量的大样本分布是z 2 分 布。第三部分，对不同治疗组之间，反应的分布是否相同给出了一个检验， 统计量的大样本分布也是z 2 分布。第四部分，对剂量一趋势检验，归纳了以 往的两个检验方法，同时，利用参数空间的近似表达给出了似然比检验，大 样本的分布不是精确的z 2 分布，但是可以借助z 2 分布求得它的p 值上界。， 第五部分，讨论了含协变量的参数模型。 2 第一章、基本概念和有关结论 1 、设置，五，k ，为一个有限或可列的离散随机变量序列，如果对任意 ( 五，五，五 的所有可能取值 玉，屯， 和对l ，2 ，n 的任意置换 1 一) ，气：) ，气。) 均有以下等式成立： p t o ) = 而，z 【2 ) = 镌，k 。) = 磊 = p 墨= x a ，互= 屯，鼍= 磊 ， 则称离散随机变量序列五，置，z ，是可换的 2 、令五，五，以为一列可换随机变量序列，若置的取值为0 或1 ，则称 五，五，以是两值可换的随机变量序列。 注：当五，五，五为两值可换的机变量序列时， p 五= l ，五= l ，以= l 仅仅依赖于， 令 凡= l ， 乃= p 五= 1 ，五= 1 ，e - - - 1 ( 1 1 ) 从而有， 尹 墨= o = i - p x t = l = l 一五= 磊一五， p 蜀= l ，五= o = 一也， ， 蜀= 1 ，五= 1 ，砭= o ) = 如一五， ， p 五= 1 ，置= l ，以= l ，z + ，= o = 乃一丸。 进而 4 = p 五；l ，五= l ，墨= 1 = p 五= 1 ，五= 1 ，z = l ，z + ，= h ：一= 以= o 小1 ) l ( 以以量啦乩 一乩墨+ 2 - - - - x r + 2 ) 以圳 + ( 一1 ) 2 f 疗：1 p 墨= 1 ，墨= l ，以，= 1 x r + ：= 1 ，墨+ ，= = 。，以= l 二叼 + ( - l y 。p 五= l ，互= l ，以= 1 因此有 p 墨- - - 1 ，墨= 1 ，以= l ，墨+ l = o ，。k 2 = o ，量= o ) = 驴n - r ) 7 ( n 办 z ， ， 五= 却五= 而，瓦= = ( ： 薹( 一) 。( 行j 7 ) 九， ct s ， 其中r = 薯 令r = 置则有 出叫= ( 强叫r j 7 钆 “t ， 上述方程中的五并不是与方程独立的参数，它必须满足 如 - - 4 , ， ( 1 - 5 ) ”1 ( 4 ) = 薹( 一) 。( 靠一j7 ) 丑+ ，。 的限制条件，并且要求 黝阻汁办小 当置，恐，蜀独立时，即有 丑= p x = 1 ，置= 1 ，墨= 1 4 ( 1 6 ) ( 1 。7 ) 从而有 = p 五= l p 五- - l p 以= l = 刀 即叫= ( ： 静小吖j = ( ： 萎c 一，( 万一j 7 爿， = i r ) ，r 办 = m r j 种, - o k 批 ) ， = ( 柚m 厂 目口r b ( n ， ) ， ，= 0 , 1 ，疗 令 易= p 五- - 1 ，置= l ，墨= l ，墨“= o ，墨- 0 ) ， ，= 0 ，1 ，拜 则可以由( 1 4 ) 式反解出a ，得到 五；躬七卜 s ， 五；r “b ( 1 8 ) 产o j 利用以上的事实，可以得到r 的各阶矩和任意r 个随机变量的相关系数， 推导过程如下： 令a 表示五，五，五的相关系数，则有 由 ( k = l ，2 ，n ) ( 1 9 ) v a r ( 五) = ( 1 一 ) ，i = i ，2 ，刀 得 以= ( ( 1 一五) ) _ m r ，) = e ( e 8 ) = 口”p r = r j r 神 = 砉引弘，卜 = 嘉纠加厂7 利用公式( 1 1 1 ) 可以得到r 的各阶矩。 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 3 、一个重要的定理( w i l k s 定理) ： 令墨，托，置是来自统计空间( z ，a ，p ) 的一组样本，其中p = p 匕；占o ， 0 是r 中的一个集合，y 是( z ，a ) 上的一个口一有限测度，满足p 1 ，令 笔岩叫删) ，v o e o , 并假定p 与弛；啪一对鳓假设黻函数满足 下面的条件： ( 1 ) f ( x ，们关于口二阶可导，三阶导存在且有界 ( 2 ) 是紧致空间，z o ：o e 。 4 , ：0 一o o z c v o e e ，i ，( o ) - - 0 。( 叫 是一个正定阵，其中 i 。( 曰) = f 里皇! 趔a o , ) 1 f t , 旦皇o 剑o j j ( x ；口) d p ( 曰) ， 6 +丸 八j 一七 砟 ，l 矿卜 、， 聆 r ，l 驴 。 j j 、j i p ，- 、 挖， ，l 乃 。刖 i i 且口的真值岛是参数空间的内点，则似然比统计量 k 一2i n i a ( x ) = 2 s u p l n ( 毛；口) 一s u p 1 n 厂( 矗；岛) ) h l n - - i 并且一2i n a ( x ) 渐进z 2 分布，其自由度为m 其中m = d i m ( ) 一d i m o o ) 证明：见文献p 0 1 。 7 第二章、独立性检验 在这里，我们所说的相关俩值数据是从一个为了检验疗法的效果而设计 的随机试验中获得的，数据点是容量有限的组，并且有一个可交换的分布。 考虑一个有m 列的处理组，数据集的最初单元是一列俩值的点，即数据 集为 五。 如 ： 五，巨 这里s 代表列长( 即一列中包含的个体数目) ，它可以是一个随机变量， 它的可取值为l ，2 ，k ( k 可以理解为未知参数) 一般情况下，可以给k 取一个充分大的值，这是合理的假设。 令 z 。 置： ： x 。 记相应的第i 列的数据，i = l ，2 ，m 令表示列长为n 的列的个数， n = l ，2 ，k 则给定k ，( ，确，) 多项分布( 膨；g l ，q 2 ，钒) n 其中吼= p s = f ， i = i ，2 ，k ， m - - x 码 忙l 在长度为n 的列中，令4 。表示列和为r 的列的个数，q = ( q l ，9 2 ，q x ) 则五和q 的似然函数为 上( a ，g ) = r 1 p 五= 薯，五。= 毛：，爿- = s j = 啊) p 墨= 啊 = 垂胯( 吩办m ” 汜， 其中乃，= 尸 五= 1 ，z = l ls = 雎 ，丑是第j 列的长度，= 嘞， 声l ，2 ，m 由 机= p x t = 1 ，z = l l s = 撑 g 可得参数的估计为 互俨上羔 笛 ，五- - 1 ，以l = x r + l ，置= 矗is = 阼) 将( 2 2 ) 代入到( 2 1 ) 得到似然函数的最大值为 m 如a 彩x c a ，g ，= 尊 篓c t ，7 ( 崎歹7 啦i-i f o 棚t 一去鬟 f = 兀 fh = n 兀 n = lr = o 其中；。q n 的极大似然估计： 检验问题为： ( 2 2 ) a 4 a m n g 一一面 风：幻= ( 缸) ，r = 1 ，2 ，k 羁：3 ，s t 九，( ，) 1 ，2 ，x 在风下，丑的极大似然估计为 9 ( 2 3 ) 、一 七 一、， 一 一协 珥 一r l l ，l一 、，lrj纸礤 盟 一、，生。v 在下， 似然比统计量为 ( 毛) = 隆埘 黼神= 酬氧n 7 ( - 刮一r 弦t ， a ( 互，；) = 荣m a xl 丽n ( 2 , q ) 密 三t ，7 ( z 一五：。) 4 4 k” = 丌兀 _ l ，t 0 似然比统计量与吼无关，2 l g 人渐进z 2 分布，其自由度为m = l 其中 厶= 匕，4 ，4 4 昙篙 对鸽，4 ，的n 值，为检验提供一个自由度。 1 0 第三章、奇性检验 处理奇性的原假设定义为不同处理机制下响应分布的等价，数据集为： 控制组 试剂第i 组的数据为 其中 知= 任 - x 嘲。 x e “p 、 第i 处理组的第j 列中第1 个个体是响应； 否则 i = 1 ，2 ，g ：j - 1 ，2 ，m i ：1 = 1 ，2 ，n o 令五芦( 。， ：，如，k ) ，其中k 代表最大列长值a 由于所有的分布完全由向量名决定，所以我们把没有任何处理效应或试 剂效应的检验等价于下面的检验问题 风；= 五( 0 ) j = 1 , 2 ，g 墨：至少存在一个乇，五( ) 五( 0 ) 。南e 1 ，2 ，g ) 其中五( o 和代表向量是五的控制组和试剂j 组。 在h 。下，似然方程为： h ( ，q ) = 冉尊p 巧。= 砀，= i 岛= 嘞 p 岛= = 鼻尊 苫c 叫心) 饥k c s - ， 其中= 壹确，m 为第f 处理组的列数，j = 1 ，2 ，g ，- l 善：一 如肇： v儿鼬知；跏 使用与上一节同样的方法，仅仅假设可换性，得到参数的估计为 从而，在h o 下有 ( 以m a x 。) ( ) ，g ) 。冉彝 ，一1 翠 2 i 台 乳i - 0 巾i ，；， ( ，) 4 。q n ( 扩 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 同理没有限制的似然函数为 吣，q ) = 垂矗j - i j - i 善( 1 y ( 嘞i 勺曲 。， l ( 旯，q ) = n 兀( 一l y ，勺 驾：饥 ( 3 4 ) j i if l o gk n m 。柚a x ，l ( 细) 2 珥珥骠 础猡 铲 ( 3 5 ) 其中爿= p 爿；。= 1 ，鼻0 = l l s = n u ，f = 1 ，2 ，g 在试剂组f ( 耐”，碗“，磴) 是一个服从多项分布( m 0 “，醪，留p ) 的 随机向量，则统计量 鐾 。兀。n 。兀m i i 人m 1 ： = 人( 互) = 垂垂取 在满足正则条件的情况下，2 1 9 a 渐近z 2 分布，其自由度为 搀壹n * l ( 壹i - 0d 盘 一蟊 队 j ( 3 6 ) 其中磷：是在耳下，第f 试剂组中估计z ，非零的个数，屯是在峨下估计厶 ，、 r ， 的非零的个数。 o l 磁一l 盟加互扣 一，一 一，k 第四章、剂量趋势检验 ( 一) 、已有方法的回顾 1 、考虑一个畸形学实验，剂量水平不断增加：o = d o 西 o ， 则p 关于f 递增。 统计量 是检验问题： 黾：壹 ，r 0 h q ：p = 0 仃i ：0 ( 4 1 ) 得分龇其中- 套啊如壹，猩吩 ，- 0 、。、 2 、和，和，t 和- 0 l - - 0 f u n g k r e w s k ir a o ( 1 9 9 4 ) r a os c o t t ( 1 9 9 4 ) r a o s c o t t ( 1 9 9 2 ) 引入设计效果口和有效的样本大小啊之后，可以得到另一个统计量： 耻喜赫。 ( 4 2 ) 1 4 其中 礴名啊。粪善， i 。茜， - _ 喜磋一 h 0 在以上的检验方法中，都只是在边缘均值方面提到了剂量相关的概忿。 ( 二) 、新的检验方法的形成 令 q = ( ，“，五p ) l 织s 乃芽，歹= l ，2 ，马力= 1 ，2 ，七，i = o ，l g 一1 ， q ：p ，) q l 班 0 ，r = 1 ，2 ，n 一1 ：( 4 7 ) 、扰j 既轧 s ， 、荟 啾n 成o - ，一一甥) + 静j 叶 ( 端一p ( 0 ，) 孤 。， 条件( 4 9 ) 等价于硝对f 非降，最大值可以用非线性优化方法求解。 由以上的讨论可知，我们可以通过0 1 的极大似然估计来建立检验，利 用公式( 1 8 ) 可得砚的极大似然估计。 对有限制的极大似然，用成代替如，如代替如，其中d a ! 和瘦 是在限制条件下矗! 和鹕的极大似然估计，该趋势性检验的似然比统计量 h 州= 喜喜私h 每一骞弘h 其中r 1 n 为数据中列长为n 的数目 ( 4 1 0 ) 2 1 h a ，的大样本分布不是精确的z 2 分布，但是与前面的奇性统计量相比 较可得 2 1 0 9 a r 2 1 0 9 a ( 4 1 1 ) 其中2 1 0 9 a 。是奇性检验统计量。 因此，v t 0 有 p ( 2 1 n a r r ) o c 4 ， 因此，方程( 4 1 0 ) 的解不仅仅保证了! 的l 纪对f 有序，而且也得到了袒 对r 的单调性。 在以上的检验中，尽管剂量相关趋势和奇性的假设都是根据条件概率钆 得到的，但这些假设的检验是无条件的。 1 7 第五章进一步讨论 在以上问题的讨论中，我们没有考虑到参数五含有协变量的情况，但事 实上，参数往往跟协变量有关，例如，在畸形学研究中，幼崽的体重，骨骼 的份量等等，都会对畸形的概率产生影响，从而影响到参数的值。因此，我 们需要估计协变量对参数的影响。 假设模型为 j 五( z ) = ，( 五= 1 ，誓2 1 ，鼍2 1 i 引 ( 5 1 ) il o g 五( z ) = 吼- t - z 其中z 为m 维协变量，它的值可以观测到，是一个m 维的列向量，k = 1 , 2 ，片 设有1 7 个试验组，每个试验组有，个个体参与试验。对于第j 个试验组， 其协变量为= ，所得到的观测数据为，t ：，x i l 。则其似然函数为 l ( c t ，i z ) - - - 1 7 p ( t ，而：，h1 4 ) ， ( 5 2 ) i - i 其中p ( ，t 2 ，i 弓) = p 置，= x t t ，置：= x i 2 ，蜀= i 毛) 对数似然函数为 z 缸，iz ) = l o g l ( a ，p fz ) 令 = l o g ( p ( 玉i ，薯：，x ai 五) ) i l ( 5 3 ) 杀凇，, a l ：) = 毒喜b g ( p ( 孙驴蚓五) ) 一o ， 住， 刍删z ) = 嘉娄k g ( p ( 耵州z ) ) _ o ， 5 ) 利用( 5 4 ) 、( 5 5 ) 我们可以求出( 吼，) 的极大似然估计( 童，多) ， k = - i ，2 ，o din n 在以上的讨论中，我们关心的是协变量对参数以影响的程度，给出了上 面的估计，如果关心的是协变量是否对参数 有影响的话，那么一个可能 的建模方式是给出下面的检验问题： 风：= o i - i j ：口o ( 5 5 ) 利用( 吼，) 的极大似然估计f 怠，多 给出似然比统计量，进而去研究协变量对 参数五的影响。 1 9 参考文献 1 g e o r g e ，e o a n dk o d e l t ，r l ( 1 9 9 6 ) t e s t so fi n d e p e n d e n c e ，t r e a t m e n t h e t e r o g e n e i t ya n dd o s e r e l a t e dt r e n dw i t he x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t a j o u r n a lo ft h e m e r i c a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n 9 1 1 6 0 2 1 6 1 0 2 k u p p e r 。l l a n dh a s e m a n ，j e ( 1 9 7 8 ) t h eu s eo fac o r r e l a t e db i n o m i a lm o d e l f o rt h ea n a l y s i so fc e r t a i nt o x i c o g i c a le x p e r i m e n t s j b i o m e t r i c s 。3 4 ，6 9 7 6 1 3 l i p s i t z ，s r ，l a i e d n m ，a n dh a r c i n g t o n ，0 p ( 1 9 9 1 ) g e n e r a l i z e de s t i m a t i n g e q u a t i o n sf o rc o r r e l a t e db i n a r yd a t a j b i o m e t r i k a ，7 8 ，1 5 3 1 6 0 4 m o o r e ，d e ( 1 9 8 7 ) m o d e l l i n gt h ee x t r a n e o u sv a r i a t i o ni nt h ep r e s e n c eo f e x t r a - b i n o m i a lv a r i a t i o n j a p p l i e ds t a i s t i c s ，3 6 ，8 - 1 4 5 p r e n t i c e ，r l 。a n dz h a o ，l p ( 1 9 9 1 ) e s t i m a t i n ge q u a t i o n sf o r p a r e t e r si nm e a j m sa n dc o v r r i a n c e so fm u l t i v a r i a t ed is c r e t ea n dc o n t i n u o u s r e s p o n s e s j b i o m e t r i c s ，4 7 ，8 2 5 - 8 3 9 6 r y a n ，l m ( 1 9 9 3 ) u s i n gh i s t o r i c a lc o n t r o l si nt h ea n a l y s i so fd e v e l o p m e n t a l t o x i c i t yd a t a j b i o m e t r i c s4 9 1 1 2 6 1 1 3 5 7 w i l lj a m s ，d a ( 1 9 8 7 ) p o s e r e s p o n s em o d e l sf o rt e r a t o l o g i c a l e x p e r i m e n t s j 】b i o m e t r i c s ，4 3 ，1 0 1 3 1 0 1 6 8 】k u p p e r l l ，a n dh a s e m a n j k ( 1 9 7 8 ) t h eu s eo fac o r r e l a t e db i n o m i a lm o d e lf o r t h ea n a l y s i so fc e r t a i nt o x o c o l o g i c le x p e r i m e n t s j b i o m e t r i c s ，3 4 。6 9 7 6 9 p r e n t i c ee l ( 1 9 8 6 ) b i n a r yr e g r e s s i o nu s i n ga ne x t e n d e d b e t a b i n o m i a ld i s t r i b u t i o nw i t hd i s c u s s i o no fc o r r e l a t i o ni n d u c e db yc o v a r i a t e m e a s u r e m e n te r r o r s j j o u r n a lft h ea m e r i c a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n 8 1 ，3 2 1 3 2 7 1 0 r o s n e r ，b ( 1 9 8 9 ) m u l t i v a r i a t em e t h o d sf o rc l u s t e r e db i n a r yd a t aw i t hm o r e t h a no n el e v e lo fn e s t i n g j j o u r n a lo ft h ea m e r i c c a ns t a t i s t i c a l a s s o c i a t i o n 。8 4 ，3 7 3 3 8 4 1 1 w i l l i a m s ，d a ( 1 9 7 5 ) t h ea n a l y s i so fb i n a r yr e s p o n s e sf r o mt o x i c o l o g i c a l e x p e r i m e n t si n v o l v i n gr e p r o d u c t i o na n dt e r a t o g e n i c i t y j b i o m e t r i c s ，3 1 ， 9 4 9 - 9 5 2 2 0 1 2 p a u l 。s r ( 1 9 7 9 ) c l u m p e d b e t a - b i n o m i a lm o d e l f o rt h ea n a l y s i so f c l u s t e r e da t t r i b u t ed a t a j b i o m e t r i c s ，3 5 ，8 2 1 - 8 2 4 1 3 r a o j n k ，a n ds c o t t ，a j ( 1 9 9 2 ) as i m p l em e t h o df o rt h ea n a l y s i so f c l u s t e r e dd a t a j b i m e t r i c s ，4 8 ，5 7 7 5 8 6 4 3 l i a n g , k y ，a n d z e g a r ，s l ( 1 9 8 6 ) l o n g i u d i n a ld a t a a n a l y s i su s i n g g e n e r a l i z e d l i n e a rm o d e l s j b i o m e t r i k a ，7 3 1 3 - 2 2 1 5 b o w m a n d ，c h e n ，j j ，a n d g e o r g e ，e 0 ( 1 9 9 5 ) e s t i m a t i n g v a r i a n c e f u n c t i o n s i n d e v e l o p m e n t a lt o x i c i t ys t u d i e s j b i o m e t r i c s ，5 1 ，1 5 2 3 - 1 5 2 8 1 6 l e f k o p o u l o u ，m ，m o o r e ，d ，a n dr y a n ，l ( 1 9 8 9 ) t h ea n a l y s i so fm u l t i p l e c o r r l a t e db i n a r yo u t c o m e s ：a p p l i c a t i o nt or o d e n tt e r a t o l o g ye x p e r i m e n t s j j o u r n n a lo ft h ea m e r i c a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t i o n8 4 ，8 1 0 8 1 5 1 7 b i e l e r ，g s ，a n dw i l l i a m s ，r k ( 1 9 9 5 ) c l u s t e rs a m p l i n gt e c h n i q u e si n q u a n t a lr e r a t o l o g ya n dd e v e l o p m e n t a lt o x i c i t ys t u d i e s j b i a m e t r t r i c s ， 5 1 ，7 6 4 7 7 6 1 8 g e o r g e 。e 0 ，a n db o w m a n ，d ( 1 9 9 5 ) af u l ll i k e l i h o o dp r o c e d u r ef o r a n a l y s i n ge x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t a j b i o m e t r i c s5 1 ，5 1 2 5 2 3 1 9 + b o w m a n ，耽，a n dg e o r g e ，e 。0 。( 1 9 9 5 ) s a t u r a t e df o ra n a l y i n g e x c h a n g c a b l e b i n a r yd a t a ：a p p l i c a t i o n st oc l i n i c a la n dd e v e l o p m e n t a lt o x i c i t ys t u d i e s j ， j o u r n a lo ft h ea m e r i c a ns t a t i s t i c a la s s o c i a t o n ，9 0 ，8 7 l - 8 7 9 2 0 t a r o n e ，r e ，a n dg a r t ，j ，j ( 1 9 8 0 ) o nt h er o b u s t n e s so fc o m b i n e dt e s t sf o r t r e n d si np r o p o r t i o n s j j o u r n a lo ft h ea m e r i c a ns t a i s t i c a l a s s o c i a t i o n ，7 5 ，1 1 0 1 1 6 2 1 f u n g ，k y ，k r e w s k i d ，r a o ，j 1 l ，a n ds c o t t ， j ，( 1 9 9 4 ) t e s t ef o rt r e n di n d e v e l o p m e n t a lt o x i c i t ye x p e r i m e n t sw i t hc o r r e l a t e db i n a r yd a t a c j 】r i s k a n a l y s i s1 4 ，5 2 1 - 6 3 0 2 2 c h e n 。j j ( 1 9 9 3 ) t e s tf o ro v e r d i s p e r s e dp r o p r t i o n s j b i u m e t r i c a lj o u r n a l 8 9 4 9 - 9 5 8 2 3 z u c k e r da n dw i t t e s ，j ( 1 9 9 2 ) t e s t i n gt h ee f f e c to ft r e t m e n ti n e x p e r i m e n t sw i t hc o r r e l a t e db i n a r yo u t c o m e s b i o m e t r i c