（理论物理专业论文）faddeevjackiw方法中若干问题的研究.pdf

摘要 本文系统地回顾了约束系统的f a d d e e v j h w 正则量子化方法。详细阐述 了f a d d v j “w 理论的意义与特点。区分了原始的f a d d e w j l 【i w 方法和 通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法。在引入动量为辅助场构造一阶l a g r 鼬g e 量的 前提下，把通常使用的f a d d v j “w 方法同d i r 方法作了数学上的严格对 比，发现f a d d e e v j 舵l ( i w 方法在没有自由度被消去的条件下，仍然在某些情况 下会出现其f a d d v j a c l 【i w 方法中的约束个数比d i f 方法中的次级约束个数 要少，同时发现这会造成f a d d e c v j “w 量子化同d i f 量子化之间的矛盾。 并且构造了一个具体的功掣啦g e 量，其f a d d v j a c l 【i w 约束比d i m c 次级约束 要少，而且在f a d d e e v j a c l 【i w 体制下此l a 伊锄g e 量是属于有规范自由度情况， 而在d i r a c 体制中却无规范自由度。对此，本文相应地提出了一个对一般使用的 f a d d e c v j a c k i w 方法的修正，使得f a d d e e v j a c l 【i w 方法同d i m c 方法保持一致。 我们还给出了在f a d d e e v j a c k i w 体制中矩阵的零本征矢和矩阵奇异概念的严格 定义并且相应的采取同样的思想，我们还提出了一种在d i m c 方法中用于组合 尽量多的第一类约束的系统的方法。同时本文还阐述了f a d d v - j a c k i w 方法同 d 甜b o l l ) 【定理之间的关系，并且基于d a r b o l l 】( 定理，建立了一种新的在辛变量空 间中的路径积分量子化方法。这种路径积分量子化方法是同f a d d e e v j k i w 正 则量子化方法保持对应的。最后本文讨论了对与弦场论相关的自对偶场的 f a d d e e v j l ( i w 正则量子化，给出量子化结果，并且将其同d i r 正则量子化 结果进行了比较，发现两者是等价的。 关键词：f a d d e e v j a c k i w 方法d i r a c 方法j 下则量子化路径积分量子化 d a r b o u x 定理 a b s r a c t l 珏m i s 铂e 3 i s t h ef a d d e e * j a c k i wq 娃皴t i 盟t l o 毂 s 掣s 孵瞰i e 羽l yf 簪v i e w 醴。w e d i s c 璐s 蠡驴i 矗c a n c ea n dc h a 糟c 妇o ft h i sq u 蛐t 王z a t i o n a n dw ed c m o n s 仃a t e 协e d 灏h _ e n c eb e t w e e nm ei n i t i a lf a d d e e v _ j a c k - wm e t l l o da n d 堋eu s u 站f a d d e e v - j 踮| 【i w 粥确o d w 毫蝴舡a 或抽eu s u a 耋f a d d e 时- j a c 融wm e m o dw i 龟t h ed i l i 哈m c t b o di nd e t a i l s o nt l l ec o n d i t i o n so fi n t r o d i n go fm o m e n t aa sa u x i l i a r y6 e l d s 赳l dl l 毫i v i i l gn ov a r i a b l 铺 e l 薹i 囊掰i 酣，f b fs o 覆嚣孙辫琶珏菩鞠s + 氇ec o n s 蚓珏挺弦魏翻磊冶弘蠡嵫瓣wm 曩 ￥o da 糟两w 钟 t i t a nt h es e c o n d a r yc o n $ 灯函n 协i ni ) i m cm e t 脚，w i l i c hw i l l 鹏s i l l ti l l 曲懵c o n i 糟d i c t i o n b e 粕酵e 珏f 菇d e e v j a c 毯w 母嘲囊喇。曩鑫翻转i 琢e 唾u 硅l l 巍骧熏主她翩dw e 凇曩| c l 秘l e l a g r 如西吼t od e m o n s 柏t et 1 1 i sc o n t n l d i 州o n f o rt h i sl a 掣a n g i a l l ，t l l en 啪b c ro f f 矗d d e e 、k j a c k i we o n s l 豫i n t si s 瓣嚣l l e f 氇髓蠛a to fd 主稼es e c o n d 8 f ye o l l 酬嫩s ，8 穗融 t h ef a d d e e v * 了a c k i wm 酏o d ，m i sl a g m g i a 聃i sg a u g es y m m “c a j ，w h i l ei n 也cd i r a c m e t h o d “i sn o tg a u g es y m m e t r i c a l ，w h i c he m b o d i e s 搬i sc o n l r a d i c t i o no ft l l e s et w o m e 墩o d s ta n dt h c nw e 煳o s eam o d i 矗e df a d d e 即j a c k i wm 确o d 讷i c hk e c p s 妇 e q u i v a l e n c e t od i r a cm 吼b o d m o r e o v e r s m c t l y ，w ed e f i n et l l ez e r o m o d ea n d s i n g l i l a r 琳毪蜒xi 珏耄l l ef 蟠d e e v 鑫c l 【主w 氇e 甜y ，w 量l i c hi s 镬最嬲娃 b mt h eu s u 采d e 蠡n i t i o n a n d o nt h eb 船i so ft 量l es 锄ei d e a ，w ep r o p o s eo n es y s t e m i cm e m o dt of i n dt l l em a x i m a ls e l o f | 薹搭 - c 1 8 s sc o 珏s t 蕊n 抟i 珏t 囊e 貉i 糟ei 鞋e | 凄湖w 毫镬s e 强s s e d 量臻嘲贰i 酶辆警e e 秘 f a d d e e v j a c k i wm e t l l o d 姐dd a r b o u xm e o 糟m ，o nt h eb a s i so fd a r b o u xt l l e o r e m ，b y w h i c h ，s u b s e u e n t 量y ，、张e o n s 嘲c tl 魏ep 雏h * i 矬垂e g 喊q 毽牲珏垃z 8 圭i o 矬o w rl 酶s y m 多l c c v a r i a b l e s ，h i c hp a t l l - i n t e g r a lq u a | 1 t i z a t i o ni sc o 玎s p o n d i n gt om ef a d d e e v - j a c k i w c a n o n i c a lq u a l l t i z a t i o n a tl a s t ，w eq u a n t i z et h eg a u g ei n v a 靠a n ts e l f d u a l 蠡e l d s ，a n df o r t h i sn e i d ，t h ef a d d c e v j 疆c 鲰wq u a 啪z a t i o ni se q u i v a i e n tt ot h ed i r q u a n t i z a t i o n k e y w o r d s ： f a d d c e v 一妇c k i wm e t h o d ， p a c h i n t e g r a lq u a n t i z a “o n d h a c m e t h o d ， c a n o n i c a lq u a n t i z a t i o n ， d a r b o u xt h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 j ， 。 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 日期：垃。，少 本人宠全了勰j k 京工业大学骞关保磐、使用学位论文豹规定，即：学校有 投保爨送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全郝 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 篁盈燧锄 a 甄j _ 一毛。f 第1 章绪言 对动力学系统系统的描述一般有位形空间中的l a g r a n g e 体制和相空阃中的 h a i l i i l t i o n 体制两种形式，但一般在量子理论中后者具有更重要的作用。而物理 系统的状态与运动过程常常受到某些条件的约束，其约束一般分为两类：一是在 位形空间中描述某些系统的运动时出现的附加条件( 约束) ，如力学中的完整约 束与非完整约束；另一类是在系统的运动方程中，由系统的运动方程自身动力学 过程所造成的约束关系，这不同于前者为外加的条件，这种约束关系称为固有约 束或内在约束。本文中所讨论的内容正是针对具有固有约束关系的系统。 具有内在约束关系的动力学系统是由奇异l a g r a n g e 量描述的，这样的系统 称为奇异系统阻”，对奇异系统的研究始于d i r a c 旧。在物理学的很多领域中都 广泛地存在着奇异系统。例如相对论性粒子运动必须满足的质壳条件表明动量的 分量不是独立的，那么用光锥描述的场便是奇异系统；f e r i 场的l a g r a n g e 量 是奇异的；所有具有定域规范对称的系统是奇异系统。更为重要的是，描述自然 界4 种基本相互作用的量子电动力学( 。c d ) 、量子色动力学( q c d ) 、量子味动力 学( q f d ) 和引力理论( 广义相对论，g r ) 中的l a g r a n g e 量也都是奇异的；而超 对称、超引力与超弦等理论中场也都是是奇异系统。因此在这些理论中，研究和 处理固有约束是它们的基本问题之一。尤其是在对这些理论中系统的量子化中， 因为奇异系统的正则变量之间存在约束关系，故这些系统不能使用初等量子力学 中的量子化方法进行量子化。因此，奇异系统的基本理论在现代物理学中，尤其 是在现代量子场论中具有十分重要的位置。 对动力学体系的量子化方法主要分为算符形式的正则量子化方法和路径积 分量子化方法两种。对于奇异系统的丁f 则形式和最予化方法的研究始于d i r a c l 5 】， 他最早系统地研究了奇异系统的约束理论和量子化并提出了d i r a c 括号，通过 d jr a c 括号和量子括号的对应而实现系统的算符形式的量子化。然而在对y a n g d ir a c 括号和量子括号的对应而实现系统的算符形式的量子化。然而在对y a n g 能京工业天攀理掌臻攀靛论茗 一m i l l s 场的量予化中，d i r 8 c 方法遇到了很火羽困难。对y 锄g 一1 i l i l l s 场，路 径袄分形式的量子化方楚种有效的薰子化方案。掰以后来f a d d e e v 剃用 f e y 册a n 路径积分的概念实现了仪含第一类约束的系统量予化i “，然后 s e n j a n o v i c 又给如了同时禽有第一炎约束与第：类约柬的系统的路径积分纛子 化 ”，这统称为d d e e v s e n j a v i c 踌径积分量子化方法。一般簌对电磁场和 y a n g m i l l s 场嚣子化中使用的f 8 d d e e v p o p o v 路径秘分量子化方法m 是一种 建立在慧鼹上麓方法，它豹壤论基硝摄是f 醚d e e v s e n j a n o v i e 爨予纯方法。畲 有g r a 8 s m n n 数的奇异系统相应的磁煦i j 量子化和路径积分量子化方案也已缀给 出。相辩论协变的燕子化方案是由b a t a l i n 、f r 列k i n 和v i l k o v i s 虹( 8 f v ) 艨 提出的这种方案是建立猩b r s t ( b e c c h i r o u e t s t o r a t y u t i n ) 对称藻础 上的，称为b f v 爨子化方法 9 j o 】，包括芷则量子化帮路径积分形式爨子化两种。 以上的瓒论都是要建立在d i r a c 方法的基础之上。但最近这十多年w 来，在对奇异 系统的研究和处域中，f a d d e e v j a c k i w 9 方法作为一种新的誉凋于d i r 8 c 方法的约束理论和芷则量予化方案逐渐发展起来，它是一套全新的处理奇异系统 的理论，它绘奇异系统赋予了更为丰寓的数学内涵，这秘方法是本文掰研究的是 要的内容。 现将本文的结构简要介绍如下：在籀2 章我们将系统地嘲颁f a d d e e v j a c k i w 逢论磷究瓣历史，鬻述这种臻论的数学瘤涵与特点；在第3 掌审，我们将黠d d e e v j a c k i w 方法同d i r a c 方法在数学结构上做了严格的对比，诚明了对某些 l a g r a n g e 量，一般交簸孛采敬静娩d d e e v j 8 e k i 鬻量子纯方法会鬻淡r a e 鬃子 化发生矛盾，并相成的给出了f a d d e e v j a c k i w 方法的修推，以使窘同d i r a c 方 法保持一致；筹4 章巾，我粕将在阮幻o # x 定理豹蒸硝土，建立与f 利d 8 e v j a c k i w 正则量子化方法对应的路径积分爨子化方案，并使用这种量子化方案对 s c h r 醐i n g e r 场进行了量子化，发现量子让结果嗣f 8 d d e e v s e n j a n 。v i c 量予纯 结果是等价的：第5 章，我们进行了一些对f a d d e e v j a c k i w 量予化的应用，对 与弦场论相关的自对偶场进行了f a d d e e v j a c k i w 讵则量子化，并发现对于这个 系统融d d e e v j a c k i w 方法掰p r a c 方法是等价的。 第2 章f a d d e e v j a c k i w 正则量子化方法回顾 本章将系统地回顾f a d d e e v j a c k i w 方法的历史，并阐述此方法的数学内涵 与它的特点。 f a d d v j l c i w 方法起源于对一阶l a 争a n g c 量系统的研究中( 这里所说的 一阶l a g 捌1 9 e 量是指l a g r a n g e 量中只含有广义速度的一次幂) 。在二维自对偶场 的量子化中，f l o 陀匝i i l i 和b c l c i w 提出了一种定义在位形空间中的括号( 1 9 8 7 ) l ，他们利用这种括号迸行正则量子化。随后。f a d d e e v 同j a c k i w 又从数学上 阐述这种括号的含义，较完整地建立起f a d d v j a c l 【i w 方法( 1 9 8 8 ) 。g o v a e r t s ( 1 9 9 0 ) 将f a d d e e v j a c l 【i w 方法推广到了含有g r 蠲s m 趾n 数的系统中。然后 c o s t a 和g i r o t t i ( 1 9 8 8 ) 以及g o v a e n s ( 1 9 9 0 ) 分别证明了在f a d d e e v j k i w 方 法中辛矩阵为非奇异的时候【1 4 】，f a d d e e v j a c k i w 方法同d i r a c 方法的等价性。 而对于辛矩阵非奇异，f a d d e c v j a c l ( i w 方法同d i r a c 方法的等价性后来也被 g a r c i a 和p o n s 证明“。这是早期f a d d e e v j a c k i w 方法，它是完全建立在 d 砷o u x 变换的基础之上的，但是实现d a r b o u x 变换比较困难，于是b a r c e l o s n e t o 和w j t z a s e k 提出了一套比较简单回避了d 盯b o u x 变换的f a d d e e v j a c k i w 方案7 1 ”。这是我们一般使用的f a d d e e v j a c l 【i w 方法，在后文我们将阐述这种 方案是有一定缺陷的，它并不绝对同d i r a c 方法保持一致。 f a d d e e v j a c k i w 方法具有方法简单，计算量少，且不需要区分第一类和第 二类约束等优点。自提出以后，已经用于许多系统的量子化，如自对偶场j 、 电磁场、g m i l l s 场1 1 8 】、非线性盯模型、w z w 模型阻”】、超对称陋蚓 和超引力o ”等其它4 些重要的物理模型1 3 8 4 ”。且这些系统的f a d d e e v j a c k i w 量子化结果都是同d i r a c 量子化结果保持一致的。 2 1 数学上严格的f a d d e e v j a c k i w 方法 f 8 d d e e v 一妇e k i 鬻方法蓄先是出涮d e e v _ 鞫j a c k i 钾两入系统阐述豹嘲，在链 们的文献中，f a d d e e v j a c k i w 方法并不完全同于现在我们一般使用舱f a d d e e v j a c k i w 方法。在这些文献中f a d d e e v j a c k i w 方法是数学上魑完全建藏在 d a r b o u x 定理姻基础上的，毽是视期浆f 醚如e v 一强c k i w 方法虽然数学上嚣零严 格，假是其中强调的d a r b o u x 变换在实际处理中其实并不方便，所以艏来 b a r c e l o s 一辩e t o 彝鞠t z 8 s e k 提出了一个霹激运逮瑟8 r b o u x 变换瓣方案，整褥 f a d d e e v j a c k i w 方法变得比较实用。现襁我们将数学上严格的f a d d e e v j 廷i 鬻方法叙述鲡下。、 酋先考虑一个一般的一阶l a g r 蝴g c 量系统 工= 口，( 茹) 量5 一日( x ) ， ( s = l ，n )( 2 1 ) 爝( 2 。1 ) 表示戈擞分形式为 上m = 口，( 并) 西f 5 一，( 石) 西 ( 2 2 ) 根据d a r b o l l ) 【定理( 见数学附录a ) 2 ”，任何一个1 一f o | m 日。( 出都 霹鞋遴逶一个艇标变换 x 5 ( q ，只，z 。) ，( ，= 1 ，n ；口= l ，一2 甩) ( 2 3 ) 使得( 2 2 ) 变为 五_ 国= 只擞一嚣( 9 ，0 ，z 。) 露 ( 2 ，4 ) 需要注意的是这里p ，q 并不是广义动量耦广义坐标，但是q ，只之闽是一种 正则对应的关系。 遴避( 2 。4 ) 的e u l e r l 3 馨豫n 窑e 方程，哥以撂毯一缝关蓉式 掣：o ( 2 - 5 ) 藏一 “。 棂搬姻数存在定理，( 2 ”是否能解出脯眦喹矩黪爰) 是否为 非奇异决定。但是无论怎样。我们总可以解出一部分z 为 毛= 厶r q 7 ，p ，乙) ，( 口l = 1 ，j ) ( 2 6 ) 这里，是小于或者等于z 变量的数目的。 把( 2 6 ) 再带入( 2 5 ) ，我们将得到一些关于q 7 ，只的等式 正。( q 7 ，只) = o ，( 口2 = l ，一2 ，l 一，) ( 2 7 ) 通过，( 2 6 ) 我们可以在l a g l a n g e 量中约去一部分变量z 。，把( 2 6 ) 带入 ( 2 4 ) 得到一个约减的新l a g r a n g e 量 = p 垂7 一日。( q ，p ，z ) ( 2 8 ) 对于h 。，其含有变量z 。必然为线性的，也就是日只包含z 。的一次项， 且乙，无交叉相乘的项，因为如果不是这样，重复前面的操作，变量乙，将被再 次约去。 于是( 2 8 ) 可以写为 k = 0 q 一日一( q 7 ，只) 一乙：正，( q 7 ，只) ( 2 9 ) 通过( 2 9 ) 导出的e u l e r l a g r a n g e 方程，我们可以自然得到( 2 7 ) ，所以 等式( 2 7 ) 实际就是变量q ，只之间的约束关系，这是由运动方程造成的，称为 f a d d e e v j a c l c i w 初级约束关系。 这里作一个替换z d ，呻一元，( 2 9 ) 变为 k = p 垂+ 厶正，( q 7 ，p ) 一日。( q 7 ，0 ) ( 2 1 0 ) 将丸，也视为动力学变量，那么又可以重复前面的操作，继续得到新的约束 关系，并约去变量，这样不断地进行下去，直到不能得到新的约束关系。 这样一个算法过程到最后一步，我们得到的l a g r a l l g e 量，有两种情况。 ( 一) 最后得到l a g r a n g e 量中，z 形式的变量全部被约去，剩下的变量都有 正则对应了，如下面这样的形式。 印= 只q 一h 。( q ，只) ) ( r = l ，j ) ( 2 1 1 ) ( 二) 没有新约束出现，但z 形式的变量还没有被约去。那么这样一种情况， 体系是其有规范辩称的。需要弓i 入穰范条件，然盾再进行前面的算法过稷，直到 得到( 2 1 1 ) 彤武的l a 妒a n g c 基一 对于( 2 11 ) 形残驰l a 擎糙g e 量，弓 入一个嵩2 个分蠡的坐标，称为睾变置。 善= q 。 善”= 只( f = 1 ，) ( 2 1 2 ) 那么l a 斟黼豁量( 2 i l ) 豹徽分形式可戳写为 三西= 喜善厶蟛。一。( 乒) 曲 ( 2 + 1 3 ) 此处约去了全微分项d ( e q ) ，2 ，其中 峨) = e 一盼硼的单位艇鲰 ( 2 那么( 2 1 3 ) 的e u l e r l 8 9 r a 拽g c 方稷为 式弘警 聍= 宵警 ( 2 1 5 ) 定义辛变量之间的广义括号( 或者成为f j 括号) 为 g ，善j = 1 ( 2 - 1 6 ) 任意两个力学量f g ) 和g g ) 之阈驰广义括号定义必 必g 涝。善扰参= 善孑 晓j ， 本文按照e i 嚣酸e 漩勰粼，对莛餐指标涟行求和，螽文不并重复强调。 那么( 2 1 5 ) 可以写为 善，：眠等：眠何。) 。 ( 2 1 8 ) o 。 ( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 所定义的广义括号在f a d d e e v j a c k i w 理论中的位置相当 于d i r a c 理论中的d i r a c 攒号，通过r l 义撼号网量子对易式鞠黠成，便可以完残 葬符形式酌正刘量予化。 睁，善。】= 训譬。，参。) = j 彬；1 ( 2 1 9 ) ( 2 1 9 ) 便是f a d d e e v j a c k i w 正剐艇予纯的撩子化规则，它不黼于d i 糟c 援 则量子化必须在相空闯体制下，f a d d e e v j k i w 正则量予化是建立在辛变量空 潮孛豹纛予纯。 f a d 如e v j a c k i w 方法是从一阶l a 黼m g e 量出发的，但这并不是一个严格的 羧澍。虽然擐多戆壤系统罄怒鑫二瓣如萨啦寥囊臻述戆，翟是对憩炎系统，我 们可以引入辅助场的方法，将二阶的啪g e 量转化为一阶l a f 眦姆量。通黻 我锯使用嬲是通过勃让德交羧，弓l 入正剃动量为辅助臻，毽这劳不是憋对的。遽 套方法同d i r 方法的等价性融经被g a r c i a 和p o n s 证明1 ”l 。 2 2 通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法 2 1 节中所提到的f a d d e e v j a c k i w 方法并不是我们通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法。因为该方法中懿d 蕊o u x 变换并不器易处理，鳜戳实黪裴震时，势 不采取这样种方法。一般处理约束系统比较有效的f a d d c c v j a c k i w 方法是由 8 a r c e l o s 一泰 e t o 和骶t z a s e k 撼妇来鹣舢，他们然方法回避瓣d 雒l 玲馘变换，使 得f a d d e c v j a c k i w 方法的使用变得更为方便和有效。 这里将他们所提出的方法遴行综述。 假设一般的一阶l a 乎鞠g e 麓可写为 三= 球，( 掌蟮。一y ( 毒) ，j = l ， ( 2 2 0 ) 其微分形式为 三出= 搿，( 掌) 衅y ( 孝) 矗 。 ( 2 2 1 ) 这里善祢为辛交缀，口，( 善) 蟛称为诋则1 一f o r i n ，矿( 善) 称为辛势。 如上一蕞掰叙述瓣零搀，罴然f 嚣d e e v j 鼯k i w 方法是建立在输l 鸳融l 鏊e 鬣的基础之上的，但鼹对于一般的非一阶的l a g r a n g e 量，我们总可以引入一些 辅助场，使襁其转换为一除l a g a n g e 鬣，比较典型的辕助场便是委慰动量，毽 邈不是绝对的。 ( 2 2 0 ) 的e u l e r l a g r a n g e 方程为 7t 筹m = 1 - ，拧) ( 2 2 2 ) 其中五= 罄专- ，则矩黪魄j 称为辛矩阵，= d 黩( 孝磁唾= 丢五菇 蟛，我们橼建辛2 一 靛 r m 。 对于擎短蓐沈) 餐嚣秘悸凝存在 ( 1 ) 举2 一f o 瑚，非退化。也就是帆) 非奇异，其可逆； ( 2 ) 睾2 一f o 黜，运纯，纛就是惦j 奇异，冀不霹逆。 一、辛矩阵非奇辫时的f a d d e e v j a c k i w 方法 当眈j 霹逆瓣，方程( 2 ，2 2 ) 等价予 善= 善 ( 2 2 3 ) 从内蕴分析力学的角度上，如果辛2 一f o 啪非退化，那么这就使得l a g 删n j g e 量中辛变煮所构成的流形构成一个辛流形，加上由辛流形上的辛势矿 。= 搿卜，都么相似地授嗣广义裕号通量予对易式之间韵对 应关系便可以完成正则量子化。 i i ) 最瑶簿法截断时，所得到的h 级辛矩阵( 秽) 仍然为督异的，那么这种 情况，体系存在规范对称，需要霉 入规范条件固定规范。 群矿：磷驴 f a d d e e v j 8 c k i w 方法对援范条l 孛的引入也不屈子d i r a c 方法，在 f a d d e e v j a c k i w 方法中，规范条件是对初级l a g r a n g e 量中的擎势部分引入的 y ( o ) 矿( o ) = 矿( o + ，o ( 2 3 7 ) 三( 盛 罄o 防= d ，郇) 蛳一矿0 1 旃一珞礴 ( 2 ，3 8 ) 这榉处攥之爱，秀接鼹d d e e ￥一j 8 c k i 髯方法的箨法避蓑继续称为撬 范溜定瑷。 实际上，毽胃激蠢接把瓣范鑫定璜翔到趣r 器n g e 嚣鑫孽l f o r 扭t ，戮为 经过娩d d e e v j a 馥i w 方法有黻次步骤之螽都会转移到l a g r a n g e 基1 一f o r m 中，瞧裁楚弓l 入蔑懿露囊瑷惹，最蓐褥捌静b g r a n g e 燕形式为； 掣肿 参”= 啦( 害渤增璐7 + 鼗。毛+ 簖鬈一护磷善船) ， = 鬈1 ( 牙，夕) ( 2 4 4 ) 任意龋个力学变量，( ) ) 和g ( ( 尹) ) 之间 芦溉如) ) = 肛锣；为菇讶；尚 ( 2 _ a 5 ) 使用广义括号( 2 。4 4 ) 便可以过渡了量子对易式 啮( 膏) 。玉( 罗) 】= 砌 疙( j ) 以( 罗) 。= ，j l 瘩。( 兄旷) ( 2 4 6 ) 完成场论情况的正则量予化。 但辛矩阵皈幢。矿) ) 如果衡异，那么其必然有零本征矢最( ，贾) ，冀满足 嘏( t 拶o ，贾) ) ，乓( 重，萝) = o ( 2 。4 7 ) 与奏隈自出度樱露，体系必然存在终素。将零本鬣矢按照慕霞懿撬爨作蔫翔 运动方程( 2 ，4 2 ) 的薅端，可褥约束为 衅肛蟛劫，蠢矽眦穸) = 。 ( 2 4 8 ) 这样将这个约束乘上l a g r a n g e 乘予，加入到l 8 9 r a n g e 量去，然后按照与肖 限自由度情况棚同的办法，构造新一级的l a g r a n g e 密度。如此，不断的进行下 去，赢到没有新的约束关系产生。同样地如巢最君一步的辛矩阵非奇异，那么按 怒前黼规测构造广义括号迸彳亍燕子伉，如果奇异，那么与有限自由度情况一样引 入怒藏条件，然君 l 等副胃遂静辛矩阵构造广义括弩进符垂予亿。 以上骥是场变燮系统瓣风稠e e v j a c k i 并方法，它是将2 2 蒂中存限螽出浚 蛉f 列d e e v j 毪c k i 辩方法攘广到了连续爨由度豹场变登系绫。 2 。4 型 有g r a s s m a n n 数舅蕉鸯畦的f a d d e e v j 8 c 款i w 芗法 搿有蠹旋为蠹，2 静粒予( ? e r 弼i 子) ，包括中徽子、轻予、燕子和夸党，他 们罄蹩翅d i r 8 e 旋量场束攘写驰。在量子理论中，旋量场是反对荔豹，对应于经 典情形，f e r m i 场的场量对应为融a s s 隧n n 数，露8 。s e 场黪场量对应c 一数。1 l f 面的f a d d e e v j a c k i w 方法都是对应c 一数的。所以要对f e 珈i 场进行f a d d e e v j a c k i w 量子化，必须将f a d d e e v j a c k i w 理论推广到g r a s s m a 肌数系统。下 面，我们将简要叙述对含有g r a s s m a n n 数的系统，如何进行f a d d e e v j a c k i w 正 则量子化。 假设体系的一阶拉式量密度( 此节是在场论模型中作方法的阐述) 为 c = ，0 ( ) “一矿( ) ， ( 2 4 9 ) 其中的g r a s s m a n n 宇称为，而正则l f o r m ，l ( 妒旧庐4 和辛势以4 ) 必是偶 g r a s s m a n n 宇称的，所以够 ( 妒) 的g r a s s m a n n 宇称也为。 那么由( 2 4 9 ) 得到的e u l e r l a g r a n g e 方程为 矽( 埘( 即) 护( 户) 。淼膨嘞( 动 ( 2 5 0 ) 这里的对g r a s s m a n n 数场量的偏微商都是左微商。 其中 户) = 篙斗咿胁篱 ( 2 5 1 ) 由( 2 5 1 ) 构成的矩阵，称为辛超矩阵，与前文辛矩阵对应且有相似的含义。 同样这里对g r a s s m a n n 数场量的泛函微商也是左泛函商，后文如未说明都是 左泛函微商或左微商。 那么根据定义( 2 5 1 ) ，口( j ，矿) 的g r a s s 髓n n 宇称为( 以+ ) ，且矩阵元 ( 2 5 1 ) 满足对称关系 口= 一( 一1 ) h 咱毛 ( 2 5 2 ) 如果辛超矩阵( 口) 非奇异，那么g r a s s m a n n 数系统的f a d d e e v j a c k i w 理 论中的广义括号定义为 “( 牙) ，妒8 ( 穸) 。= ( 一1 ) n 睨( 哥，) ( 2 5 3 ) 任意两个力学量，( 庐晴) ) ，g ( 彳( j ，) ) 之间的广义括号为 f ( 舭) ) ，6 ( 炒) ) _ 弦谚焉旧朋焉 ( 2 5 4 ) 其中可轰两- 面蔷两分别是左泛函微商和右泛函微商 当辛超矩阵( 。) 为奇异时候，体系应存在约束，同样的设( 。) 存在历个零 本征矢，口= 1 ，历，满足 f d 牙( 屹( j ) ) 口( 哥，夕) = o ( 2 5 5 ) 那么同样的，体系的约束为 q ，= 肛( 屹( 剐一志眵咐) = o ( 2 5 6 ) 求出约束后，我们设r 掣g r a s s 腿n n 字称为背，那么引入一个g r a s s 腿n n 字称也为醪( 目的是使新构构造的正则1 一f o r m 仍然保持偶宇称) 的l a g r a n g e 乘子= 乞乘以q 罗加到l a g r a n g e 量密度( 2 4 9 ) 中去，并令辛势所含的q 全强等于零，故构造新一级l a g r a n g e 量密度为 = 虬( 妒) 每“+ 尬婴一( 庐。) ( 2 5 7 ) 其中矿( 4 ) = 矿( 矿“) 1 0 。：o 。 然后构造新级的辛变量集 ”= ，五o ) ( 2 5 8 ) 于是又可以构造新一级的辛超矩阵 ( 础) ( 2 5 9 ) 如此，又可以讨论下一级约束，这样又继续前面的算法过程，构造新一级 l a g r a n g e 量，直到没有新的约束关系再出现为止，如果得到的辛超矩阵为非奇 异，那么相同于前文的方法构造广义括号并可进行f 则量子化，如果奇异，那么 引入规范条件，再得可逆的辛超矩阵，然后构造广义括号再进行i f 则量子化。 以上便是对含有g r a s s m a n n 数系统的f a d d e e v j a c k i w 方法。 型矿 o 懈万 叫 2 。5 应用举例：对鹾a x 张l l 电磁场的f 鑫d d e e v j 8 c l 【i w 正则量子 化 零节将毅述f 8 d d e e v 一积c k i 群燕委| j 耋予证在融x 霄e l l 电磁场模登中豹疯用 f l s i ，从实际运用的角度阐述f 醐d e e v j a c k i 鬻理论。 电磁场的l a g r a n g e 密度为 一去，p = 丢a 2 + a v a + 三( v 焉) 2 一丢陬胖 ( 2 8 ( 2 6 0 ) 不鼹一个阶l a g r 8 n g e 密度，所以必须弓l 入辅助场将冀转变秀一 阶l a g r a n g e 密度，我们这里引入正则动量为辅助场 吾岔+ a - v + 考( v a ) 2 一言( v 4 ) 2 呻一三硝2 + 疗+ 吼一盯a ( 2 6 1 ) 这里，r ；v a a ，反代入( 2 6 0 ) 便得到( 2 6 1 ) 这样一个替换。 弓i 入派则动量为辅勒场冉勺方法并不是绝对的，我们还可以引入其他形式的辅 助坛寒霉导到一除l a g r 8 n g e 量，魄如 壶a 岭一言p 2 + p a ( 2 。s 2 ) p 是我懿弓| 入瓣骥耢缓，遮遣能褥到一令一除戆l a g r 翮g e 密度，劳显按照 这个辅助场方案可以得到引入动量为辅助场一样的撬子化结果。但这里我们使惩 引入动量为辅助场的方案进行下面的讨论。 怼( 2 + 6 0 ) 萼l 入动鬃为辏驹场豹一除l a g r a n g e 量可敬写为 g ”= 一靠。a y ( 2 。6 3 ) 其中沙1 = 去痒2 + 万v 岛+ 圭陬 初级辛变基集为 善一 4 。，a ( 2 6 4 ) 那么正剐l f o r m 的分量为 窖瓣。* 乃 占! o k = 0 a p 4 = o( 2 6 5 ) 辩珂敬褥耪缓辛矩阵中菲o 酌矩阵嚣为 私圳= 鬻一鬻刚一， 眩6 6 ， 于怒初级辛矩阵为 毛o o o o o 联x 一刃 ( 2 6 7 ) 矩簿( 2 6 7 ) 的零本搓矢涛 u = ( oo “f ) ) ( 2 。8 8 ) 其中一汉，0 为一个经意甄数。 则可褥 p 嘶u ( f ，肖) v 万( f ，并) = o ( 2 6 9 ) 因为d “仅，f ) 为一个镊意函数，于是胃褥襁级约窳先 v - 万( f ，x ) = o ( 2 ? o ) 引入l a g r a n g e 乘子盖乘上( 2 7 0 ) 抟造l 级l a g r a n g e 密度为 ”= 一万a + 盖v 。嚣一y 1 ( 2 。7 i ) 11 其中”= 砉+ 妻( v _ 严，这是令y 中的v 万) 等于o ，而得到的，不 过需要淀意y m l 中，抛弃敝度项v ( 硝a ) ，那么万t v a 就可以写为( v 硝) a 。 o 略o ，。， = )y x( 爵 ， 将毒墩看作辛燹器，那么i 缀辛燹熏集合为 善“= 4 ，曩，五 ( 2 7 2 ) 其中a 不再在l 级l a g r a n g e 密度( 2 ，7 1 ) 中出现，因此l 级辛变量集合中 麟不含骞变量a 了。 相应的1 级正剡l f o r m 分量为 “一啼， a ! o h 篇o 套。弧。v 万敬x ) ( 2 7 3 ) 于是l 级辛矩阵矩障为 ，m ( 托y ) = o 磊 o 一6 口。或 0 彰0 d 仅一y ) ( 2 7 4 ) 其零本征矢为 d 柱= 。，p 。o 护。) ，( 2 7 5 ) 其中是一个任意函数。那么凼( 2 7 5 ) 可得 肛即2 赢j 酬v 洲啦2 = 一肛v 一( v v 洲船) ) ( 2 7 6 ) = 陋u v ( v v x z f ，x ) ) = o 其中第三个等式根据无限远处场量为o 抛去了散度项。那么很明最( 2 7 6 ) 怒一个恒等予o 的式予，不能产生薪的约束关系，露辛矩阵仍然保持鸯冥。所以 在f a d d e e v j a c k i w 理论中m a x w e l l 电磁场同样燕规范场，需要引入规范条件固 定规范。这熙我们选择e o u l o m b 规范条 牛 v t 叠端o ( 2 7 7 ) 那么对其引入l a g r a n g e 索子构造2 缴l a g r a n g e 量为 辨= 一万鼻+ 五v 万+ 猡。4 一扩挫( 2 7 8 ) 其中矿搿) = 吾z 2 一喜奠v z a ( 2 7 9 ) 2 缀睾受基集取为 善= 4 ，辑，走垮 那么提墩戆2 缓事矩眸为 ，2 i ( x ，y ) = q 5 * q 戳 一如o o 0a !oo a !oo o 艿( z y 辛斑阵( 2 8 1 ) 是个非奇异矩阵，怒可逆的，其逆为 ，2 卜1 ( x 。y ) = o 5 盟 v 2 0 0 v 一占+ 丝 ”卓。 v 2 o 8 1 v 0 o 笠 v 笠o v o去 v o l n 一可u ( 2 。8 0 ) ( 2 8 1 ) d ( x y ) ( 2 8 2 ) 根据( 2 8 2 ) 我们便可以构造x w e l l 电磁场的f a d d e e v j a c k i w 广义括号 从而完成正则艟子化 【五( 盖) ，a 镰力】一? 联霭蛾妁，吩( y ) = j 蠡( 毛一罨箬獬及一y ) ( 2 8 3 黻上便楚赫a x w e l l 电磁场的f a d d e e v j a c k i w 芷蒯量子化。 2 。6 本章小结 在本章，我们系统地回顾了f a d d e e v j a c k i w 方法。将f a d d e e v j a c k i w 方 法在有限自由废系统和场变量系统和含有g r a s s m a n n 数系统中的理论详比较详 纲遗作了阐述。较全面蟪总结了f 醐d e e v j a c k i w 理论。 放上霹酌阐述，我稻霹疆发瑗f a d d e e v j a e k i w 方法不仅仪是一种量予纯方 法，同对在经典数郯分中它也是一个