（理论物理专业论文）一维库仑三体系统的整体动力学.pdf

致谢 莎 3 5 j ，u j 本论文是在导师顾雁教授的悉心指导下完成的。顾雁教 授敏锐的物理思想和清晰的数学思维使我在跟随他近五年的 学习和研究中受益匪浅。更重要的是，他严谨的工作态度和 对科学的执着追求告诉我什么才是一个科学家的本色。在以 后的工作中，这永远是激励我前进的力量。 这里我向顾雁教授表示最诚挚的谢意! 摘要 我们研究了两个一维库仑三体系统，e z e 一共线构型和s 渡模型，的经典 动力学。本篇论文的重点是从几何的观点阐述系统的整体行为。 三体碰撞奇点决定了e - z e 一共线构型的整体动力学。我们引入由标度变换 对称性产生的约化相空间，把e = 0 与e 0 的运动放在一个三维光滑动力系 统中统一地讨论。在约化相空间中，三体碰撞的极限行为等同于e = o 的运动， 它们由一个二维不变子流形( m o ) 上的流描述。当z 互o 2 8 7 7 7 4 2 时，m o 上的流不是完全退化的，这表明在所有物理上有意义的情况下，三体碰撞奇点都 不可以规则化。绝大多数e = 0 的轨道都是正常散射轨道，它们可以用两个符号 序列表示。利用连续性，我们在对e 0 的庞加莱截面的剖分中证明了系统存 在完全的二字母符号动力学，而且所有的正向( 或逆向) 分割线存在个自然的 序。我们的研究显示了混沌( 共振) 散射的几何机制是入射系综在演化过程中的 拉仲与折叠。散射函数中混沌带的结构可以用符号动力学的结果方便地解释。我 们从几何上证研了共振散射截面在能量阈值附近遵从的w a n n i e r 幂次律，并指 出它对每个共振通道也成立。束缚运动构成截面上的个分形集，它们的整体 行为同构于二维面包师变换( 除去个零测度的不变集) 。我们发现系统的整体 动力学不因考虑了核的有限质量而改变。最后，我们证明了如果m o 上的流完全 退化，e = o 的三体碰撞总可以规则化，而在e 0 时般不可以，但仍然存 在可观测的物理效应。 对于。渡模型，为了消除双电子临界碰撞的不确定性，我们先利用电子交 换对称性把运动限制在由r 2 r 1 定义的基本区。基于对t e c c 轨道与临界入射 轨道的分析，我们在截面上定义了一个共振区。如果1 z 1 0 2 8 7 7 7 4 2 w h i c hi m p l i e st h a tt h es i n g u l a r i t yo ft r i p l ec o l h s i o nc a n n o tb er e g u l a r i s e da ta l lp a r a m e t e r s ( z ) o f p h y s i c a li m p o r t a n c e m o s to ft h eg e r o e n e r g yo r b i t sa r en o r m a ls c a t t e r i n go n e sw h i c h c a nb er e p r e s e n t e db yt w o s y m b o l i c 3 e q a e n c e 8 b a s e do nt h i sr e s u l t ，i nt h ep a r t i t i o no fs u r f a c eo fs e c t i o n ( s o s ) ，w e p r o v et h a tt h eb i n a r ys y m b o l i cd y n a m i c si sc o m p l e t ea n dt h es y m b o l i cs e q u e n c e s c a j lb ea s s i g n e dan a t u r a lo r d e rw h i c hi ss i m i l a rt ot h a ti nt h eo n e - d i m e n s i o n a l u n i m o d a lm a p t h eg e o m e t r i c a lo r i g i no ft h ec h a o t i cs c a t t e r i n ga c es h o w nt ob e t h es t r e t c h i n ga n df o l d i n go ft h ei n c i d e n te n s e m b l ea n dt h ef r a c t a lp a t t e r n se x - h i b i t e di nt h es c a t t e r i n gf u n c t i o n sa r ee x p l a i n e db y s y m b o f i cm e t h o da c c o r d i n g l y ag e o m e t r i cp r o o fo fw a n n i e r sp o w e rl a wf o rr e s o n a n t s c a t t e r i n gc r o s ss e c t i o n w h e ne 0i ss u p p l i e d w h i c hi n d i c a t e st h a tt h ep o w e rl a wi sa l s ov a l i df o re a c h r e s o n a n tc h a n n e l t h eb o u n d e dm o t i o nr e s i d e da taf r a c t a ls e ti sc o n j u g a t e dt ot h e t w o - d l m e n s i o n a lb a k e r st r a n s f o r m a t i o n w ea l s os h o wt h a tt h eg l o b a ld y n a n u c s r e m a i n st h et 3 4 t l ei ft h ef i n i t em a s so ft h en u c l e u si st a k e ni n t oa c c o u n t f i n a l l y , w e f i n dt h a ti ft h ef l o wo nm oj 8 t o t a l l yd e g e n e r a t e t h es i n g u l a r i t yo ft r i p l ec o l l i s i o n i sa l w a y sr e g u l a r i z a b l ef o rt h ez e r oe n e r g ym o t i o nw h i l ei ti 8g e n e r a l l yn o tt r u ef o r e 0 ，h o w e v e r ，c h a r a c t e r i s t i ce r i e c tc a na l s ob eo b s e r v e di nt h e s ec a s e s t os t u d yt h eg l o b a ld y n a m i c so fs - w a v em o d e lh e f i u m ，w ef i r s tu s et h ee l e c - t r o ne x c h a n g es y m m e t r yt oc o n f i n et h em o t i o nt ot h ef u n d a m e n t a ld o m a i nd e f i n e d b y 2 r ls oa st oe l i m i n a t et h ea m b i g u o u s n e s so ft h eo r b i t sa f t e rt w o - e l e c t r o n c r i t i c a lc o n i s i o n ( t e c c ) b a s e do i lt h et o p o l o g yo fs e v e r a lo r b i t sw h i c hl e a dt o t e c co rc r i t i c a le s c a p e ，ar e s o n a n tz o n eo ns o si se x p l i c i t l yd e f i n e dw h e r ea g l o b a ls m a l eh o r s e - s h o ei s c o n s t r u c t e df o rt h ec a s eo f1 z ! 玩2 3 4 8 0 8 6 a sa r e s u l t ，t h eb i n a r ys y m b o l i cd y n a m i c sj sc o r n p 】e r ea n dt h eb o u n d e dm o t i o ni s p u r e l yc h a o t i c t h eo n s e to fc h a o t i cs c a t t e r i n gw h e nt h ei n c i d e n te n e r g yi sb e l o w at h r e s h o l di se x p l a i n e db yt h ei n t e r s e c t i o nb e t w e e nt h ei n c i d e n tc u r v e sa n dt h e r e s o n a n tz o n e i m m e d i a t e l yb e l o wt h et h r e s h o l d ，t h er e s o n a n ts c a t t e r i n gc r o s s s e c t i o ni n c r e a s e sl i n e a r l yw i t ht h ee n e r g yd i f f e r e n c e m o r e o v e r ，t h ep e r m i t t e dr e s o n a n tc h a n n e l sf o rt h es c a t t e r i n go r b i t sa ta g i v e ni n c i d e n te n e r g ya r ed e t e r m i n e d b yt h ep r i n c i p a lt e c c o r b i t 4 第一章引言 1 1 背景简介 引力三体问题以其在天体力学中绝对重要的地位和对动力系统理论的发展所起到的巨大推动 作用而被当之无愧地称为“最著名的动力学问题”f 1 。象所有重要的理论模型一样，三体问 题的意义远远超过了其本身的实际应用价值。在对它的研究中，许多重要的方法和深刻的思 想被发展起来，为解决其他问题提供了有益的帮助，极大地丰富了人类的认识 2 。其中最 著名的例子当推庞加莱在上世纪末为回答太阳系的稳定性阿题而发展起来的微分方程的定性 理论【3 3 。可以说，6 0 年代兴起并引起了一场观念革命的混沌动力学，从思想和方法上都与 庞加莱的工作有着极深的渊源。与引力三体问题受到的广泛重视成鲜明对比的是库仑三体问 题。在量子力学创建之初，受到n b o h r 结合经典力学计算与定态假设在解释氢原子光谱结 构上的巨大成功的激励，物理学家开始致力于经典库仑三体问题的研究，以期对氮原子光谱 作出类似的理解。然而，这些努力无例外地失败了 4 j 。随着标准的量子力学及量子场论的 建立，人们不必再求助于经典力学就能够对任何物理体系作出正确的预言。原则上，只要取 足蟮多的基函数，我们就可以把氮原子的光谱计算到任意高的精度。在随后而来的个物理 学迅猛发展并取得空前成就的黄金时代，这个旧量子论时代不成功的尝试就被彻底地淡忘， 以致于在大多数物理学家的头脑中，已经不再有这么个问题了。然而，有一个问题不应该 被忽略：b o h r 在氢原子上的成功纯属偶然，还是氢原子与氦原子两个体系具有某种深刻的 差异? 这个问题长期以来没有引起物理学家应有的重视。直到非线性科学在6 0 年代兴起，混 沌，即富于确定性系统中的随机行为，作为动力系统的普遍现象日益引起物理学家的关注并 成为常识，用这个新观念看老问题，其实质才显现出来：经典的氢原子与氮原子的本质差别 在它们的动力学方面，前者可积而后者不可积。对于氢原子，大家知道，其周期轨道的拓扑 只有一种，而氮原子则不然，其拓扑不同的周期轨道的效目随着作用量的增大指数地增长。 对于这种经典不可积的体系，在进行半经典量子化计算时原则上必须考虑每条周期轨道对束 缚态能级的贡献 5 】。这是当初对混沌毫无概念的量子力学的创建者们始料不及的。 伴随对经典动力学以及经典一量子对应的重新认识，产生了个崭新的课题：以经典混 沌的量子表现为内容的量子混沌。当然，回到经典力学只能提高我们对量子力学的认识，而不 是对它有所怀疑。这是因为我们不仅需要正确的计算，更需要( 而且也可能) 理解计算结果的 5 物理含义在此基础上形成个物理图象，它再反过来影响我们的思考方式和工作方法。在 这种意义上，经典力学再一次促进了量子力学的发展，于是就有了所谓“后现代量子力学” 的叫法 6 】。 无疑，库仑三体问题，作为最具有认识价值的不可积系统之一，为量子混沌的研究提供 了一个内涵丰富而很有挑战性的物理模型。因此迫切需要对它的经典动力学作全面系统的研 究。而且，除了上述理论上的价值，经典库仑三体问题也有其现实的意义。随着现代激光光 谱技术的发展，实验上人们可以把两个外壳层电子同时激发到很高的能级，从而能够对电子 之间的强关联效应进行细致的观察 7 】。由于此时系统处于半经典能区，借助经典力学提供 的物理图象，一些重要的现象可以得到很好的解释，而这正弥补了通常的量子力学计算的不 足。 虽然经典库仑三体问题有上述理论和实验上的重要意义，近年来受到相当的关注并取得 了许多重要结果，但是目前对其整体动力学还远没有达到全面彻底的理解 1 9 j 。其中的困难 主要表现在 ( 1 ) 高维数：系统有9 个自由度，1 8 维相空间。利用空间对称性( p x s o ( a ) ) ，相空间可 以约化为8 维。即使总角动量为o ，三个粒子在个固定的平面内，仍有3 个自由度。 ( 2 ) 强藕合：忽略电子排斥作用的可积系统高度简并，k a m 定理不成立。电子之间的耦 合对感兴趣的运动模式起着关键的建设性作用，我们不可能在独立粒子图象的基础上利用微 扰方法理解系统的整体动力学。 对这样个高维强耦合( 并有奇异性相互作用) 的无界多体系统，物理学家还缺乏有力的手段 进行全面的研究。即便如此，人们总是可以从相对简单的情况入手，先研究一些低维的限制子 系统1 9 1 。这些低维系统可以是原系统的不变子流形，如两个电子始终与核等距的w a n n i e r 鞍面上的对称运动以及e - g e 一和z e e 一共线构型，也可以是经过合理简化的系统，如s 波 模型。自然地，可以预期在这些简化系统上得到的知识为将为理解原系统的整体动力学提供 有益的信息。 1 2 论文提纲 这篇论文的工作是用几何方法系统地研究了两个相对简单的低维库仑三体模型，e - - z e 一共 线构型与s 渡模型，的整体动力学。几何( 定性) 方法和符号动力学语言的应用是本文的两 个特点。 第二章是本篇论文的重点。我们以三体碰撞奇点为突破口系统地对e - z e 一构型e = 0 和e 0 的整体动力学进行了讨论。首先，利用标度变换对称性对系统进行约化，其结果是所 有能量的运动可以统地放在个三维光滑微分动力系统中描述，特别地，其中个二维不 6 变子流形描述了e = 0 的运动或者三体碰撞的极限行为。通过研究这个不变流形上的运动， 我们对e = 0 的轨道按其拓扑进行了分类并搞清楚了三体碰撞的物理结果。在对e 0 的运 动的讨论中，我们首先通过生成三体碰撞流形，讨论了庞加莱截面的剖分，主要包括符号动 力学的完全性与符号序列的排序规则。然后，通过临界逃逸流形和l l 缶界入射流形的生成，我 们得到了产生混沌散射的几何机制。作为上面结论的直接应用，接下来我们讨论了混沌散射 的发生和分类以及束缚运动的整体结构。另外，我们还从几何上证明并推广了关于混沌散射 截面的w a n n i e r 幂次律。最后，我们讨论了核的有限质量对系统整体动力学以及三体碰撞规 则化的影响。 在第三章我们讨论了s 波模型。首先，为了消除双电子临界碰撞的不确定性，我们利用 电子交换对称性把系统限制在占相空间一半的基本区。接下来我们简单地讨论了e = 0 的运 动。对这个模型e o 4 9 5 ，存在非对称的k l a r 转动 解。所有的转动解都不稳定。 s 波氦原子是基于量子力学的图象把两个电子限制在球对称态而提出的简化模型。首先 是h a n d k e ，d r a e g e r 和f r i e d r i c h 对它的经典力学进行了数值研究 2 5 】。他们发现这也是一 个典型的完全混沌系统。与e - - z e 一构型共线氮非常相似，周期轨道与二字母符号序列一一对 应，而且它们都不稳定。几乎所有的初始条件都会导致自电离，束缚态的寿命在相空间的分 布具有自相似的分形结构。h a n d k e 还计算了这个分形的维数 2 6 i 。他发现随着z 增大，维 数单调增长并趋于1 。他认为这反映了系统的双曲性在逐步减小。他们对8 波模型的半经典 研究可见f 2 7 ，2 8 1 。 上面我们对以前的关于库仑三体系统的经典动力学的工作做了简单的介绍，可以发现它 们大部分都是纯数值的，而且讨论的对象主要是具体的轨道。针对这种情况，这篇论文的重 点放在理解系统的整体动力学。通过几何分析，决定系统整体动行为的条件很自然地显现出 来。这样我们只需借助很少( 相对而言也就可靠得多) 的数值证据，我们就能够得到一些重 要的结果。 9 第二章e z e 一共线构型 在库仑三体系统中，如果限制三个粒子在同一条直线上，并且两个电子分别处在核的两 边，就得到了个不变子流形( 即使考虑到二体碰撞也如此，见附录) ，称之为e - - z e 一共线 构型。这一章我们将利用几何方法系统地讨论它的整体动力学。工作的关键是引入由标度对 称性产生的约化相空闻，把e = 0 与e 0 的运动放在个三维光滑系统中统一地讨论。在 2 1 节我们详细地介绍了这种约化，另外，还引入了轨道的一种符号描述。在2 2 节我们讨论 e = 0 的运动，得到了轨道的分类，作为自然的结论，还讨论了三体碰撞不可规则化的物理 意义。接下来我们在2 3 节讨论了e 0 ，p i 分别是第io = i ，2 ) 个电子与原子核之间的距离及其共轭动量，6 = p 。m 。， z 为核电荷致( 作为个模型，我们并不限制z 必须取整数) 。由于执o ，为简单起见，我 们先令6 = 0 。简化的哈密顿量在超球坐标( r ，日) e ( 弼，a r c t a u ( r 2 r 1 ) ) 中可写作， 口= ；僻+ 鍪) + 半， ( 2 m ) 这里 呻) = 一刍一岳+ 志， ( 2 粥) 一( 0 ，t 函。 由于势能是r 的阶数为一1 的齐次函效，动力学方程在如下标度变换下保持不变。 乳：( n0 ，舟，p o ，d t ，e ) _ 呻( e r 0 ，e - - 5 p r ，e 瑚，e - - 出，e - s e ) ，( 2 1 ，4 ) 1 0 。( 一。，o 。) ，这里e = 日是系统的总能量。这种标度变换对称性使得我们可以在由它导 致的等价类( 即如的轨道) 构成的约化相空间( r e d u c e dp h a s es p a c e ) 中考虑系统的动力学。 通常的做法是根据e # 0 与e = 0 两种情况分别取s = l n l e i 与s = 0 ，即根据曰的符号分 别将运动限制到e = 4 - 1 与e = 0 的等能曲面上。这样做的优点在于物理上的简单性，同时 保持了哈密顿结构，其缺点是破坏了原系统的连续性。从物理上考虑，在r “o 的地方( 即三 体碰撞附近) ，势能项对运动起主导作用而e 的大小并不重要，或者说，我们可以利用标度 变换把r 放大到可观的大小，从而有e 一0 。所以趋近三体碰撞的运动与e = 0 的运动之 间存在着某种连续性。几何上，原来的相空间d o 兰r + 丑+ r 咒，约化相空间- b = d o a 。 有自然的商拓扑。而在用能量标度的约化系统中，因为没有反映约化相空间的整体拓扑，所 以不能得到上述物理上的连续性。事实上，只要s 是相空间上的光滑函效，具体地，我们取 s = 一l n r ，就可以避免这个问题。这样，运动限制在r = 1 的三维光滑流形上，约化相空间 的坐标是( 。l ，z 2 ，z 3 ) = ( p ，r 1 2 p r ，r - - 1 ，2 期) ，而自然的虚拟时间可取作d r = r - s f 2 d t 。此时 动力学方程写作 要：譬：! - 4 i + 面，i d z s ：等! 一v 弘1 ) ， ( 2 1 5 ) u t“r 口u 7 苜 其中百= r e = j ( z ；十z ；) + y ( z 1 ) ，易知等= z 2 百。我们称( 2 1 5 ) 为标度变换对称性给 出的约化系统( r e d u c e ds y s t e m ) 。 如果e 0 ，由r = 面佃给出了从约化系统至物理系统的直接对应。如果e = 0 ，一 般地，约化系统的一根轨道对应于原系统的一族相似轨道。在后面的讨论中我们将给出从约 化系统的一维庞加莱映射重建物理系统二维庞加莱映射的方法。所以物理系统的所有动力学 问题都可以在约化系统中研究。 耳= 0 在约化系统中定义了个二维不变子流形，记之为m o 。m i 上的向量场描述了 e = 0 的运动。在m s 附近的流则描述了e 0 但r e z0 ，即三体碰撞附近的运动。这样 就自然地给出了前面提到的物理上的连续性。事实上，这里的m o 和m c g e h e e 在研究三体碰 撞时引入的三体碰撞流形具有完全相同的数学结构【3 2 】。 方程( 2 1 5 ) 在z l = 0 ，t 2 奇异。这种由二体碰撞导致的奇点是可以规则化的。物理上， 当个电子与核碰撞时，只需将其动量反号( 弹性反射) 然后接着演化就行了。数学上则需要 在奇点附近引入新的局部坐标和虚拟时间，使运动方程中不出现奇异。经过这样的操作( 见 附录) ，约化系统可以表示为一个嵌 在舻中的三维光滑流形上的光滑向量场。在二体碰撞 附近，合适的局部坐标可以取作( $ z ，_ 3 = z 。s i n 2 z l ，百) 。不过为了方便，我们仍然用系统( 3 ) 来讨论，只是需要记住方程在z ，= 0 ，r 2 的奇异并不导致实质的困难。 与原系统一撵，约化系统具有电子交换( ( z 。，。2 ，码) 一( r 2 一z l ，z 2 ，一。3 ) ) 和时间反演 ( ( 扎；9 2 ，：r s ，r ) _ ( z l ，一z 2 ，一一r ) ) 对称性。 2 1 2 庞加莱映射与轨道的符号描述 利用庞加莱截面方法，可以把动力学约化为千更容易做几何处理的二维映射。考虑到 电子交换对称性，我们把截面( s u r f a c e o fs e c t i o n ，s o s ) 放在z l = 0 和z 1 = w 2 ，即一个电 子与核发生二体碰撞的地方。s o s 上自然的坐标可取作( 耳，z z ) 。如此选择s o s 的优点在于 除了n ；r 2 ( 即所谓“w a m a i e rr i d g e ”上) 的所有轨道都至少与s o s 有个交点。在( 2 1 5 ) 中( z 。，z 。) 作为位置和动量，描述个在一维双势阱v ( z t ) 中并受到含时阻尼( 若x 2 0 ) 或加速( 若z 。 0 ) 的粒子的运动。在两次穿过s o s 之间，粒子要么在一个势阱中振动一 周( 对应于两次二体碰撞发生在同一电子上的情况，此时z 3 只改变一次符号) ，要么越过位 于z 。= * 4 的势垒从个势阱运动到另一个势阱( 对应于两次二体碰撞发生在不同电子上 的情况，此时z 。不变号) 。另外，从s o s 出发的轨道有可能永远不再回到s o s ，如果e 冬0 时，这对应轨道直接进入三体碰撞或者立即导致双电子f f 缶界逃逸的情况。如果我们用不同的 符号分别代表上面描述的轨道片断的两种般的和两种特殊的形态，再把一条完整轨道的各 个片断的符号按时闻先后顺序排成个序列，我们就得到了轨道个粗粒化的描述。为此， 我们对s o s 作剖分机u 址u 址u 址。从( “一) 中的点出发的轨道将在z 1 = - 4 的同一 侧( 另一侧) 再次穿过s o s 而从址( 址) 出发的轨道则立刻进入三体碰撞( 双电子逃逸) 。根 据连续性可知玑和“一都是开集，它们的分界线是玑和巩。所以c 和e 可以视为退化的 + ，一，我们实际上引入了个二字母的符号动力系统。庞加莱映射f 在址和玑上都没有 定义。设蟛是关于直线z 2 = 0 的镜象p = + ，一，c ，e ) ，根据时间反演对称性，它们给 出了根据轨道逆时间演化的定性特征对s o s 的剖分。显然有雄= f ( u + ) ，“二= v ( u 一) ，而 f 。在w 和以上都没有定义。对s o s 上任意给定的点x ，经过x 的轨道对应的符号序 列 s ( x ) = 盯_ m o - 0 盯。，o k + ，一，c ，e )1 m ，n + 。o 由关系p 伍) ( 若t o ) 以及p 十1 ( x ) 蟛。( 若k 0 ) 给出。除非被c 或e 阻断，符 号序列s ( x ) 可以向两靖无限延 申，此对对任意t 都有矿( 盖) 。s ( x ) 中的只是为 了标记初始点，当我们只关心整个的轨道时，可以略去它( 见图2 1 中示例) 。 上面对s o s 的剖分随着所考虑符号串长度的增长而逐步加细。对任意的符号序列e = 一一。一印一。，与之对应在s o s 上有个区域“( e ) ，它由所有包含子串e 的序列s ( x ) 对应的点石构成。如果e 不以c 或e 起头，则有“( ) = n 。f 4 ( 。) 。如果“( ) ， 则称符号串e 是允许的。对于固定的m ，所有允许的对应的区域给出了s o s 的个 剖分。这个剖分随着m ，和( 或) n 的增大而越来越细，当m ，孔，一+ m 时，就得到了这个 符号系统中最细的剖分。注意f 在区域之间的映射很简单， f ：“( ) 一“( 冗( e ) 】，这里冗 表示右移的操作，所以上面的剖分为讨论整体动力学提供了个几何框架。 5 0 05 x 圈2 , 1 截面上点x 的符号序列s ( x ) = + + + + + 。整根轨 道的符号序列是十+ 这是一根共振散射轨道 1 3 2 2e = 0 的运动 2 2 1 初步的分析 如前所述，方程耳= 0 定义的二维流形( m o ) 上的向量场描述了e = 0 等能面上的运动。在 二体碰撞规则化( 这里只需要把二体碰撞前后两点( z l ，。2 ，z 3 ) = ( z l ，z 2 ，士。) ( z 1 = 0 ，z 2 ) 粘 接起来) 以后，m o 同胚于去掉了4 个点的球面。这4 个点是( 钆2 ) = ( 0 ，土o o ) 和( f 2 ，士o 。) ， 它们代表了单电子以有限能量出射或入射的无穷远点。 约化系统仅有的两个不动点a ，口都在m o 上，它们互为时间反演，表2 1 列出了线性稳 定性分析的结果，其中p o i 一2 y ( r 4 ) = 、 2 ( 4 z 1 ) 。由此可见，在朋j 上a 和b 都 是双曲点，在离开m o 的方向a 点稳定丽b 点不稳定。a 和b 都对应物理系统中w a n n i e r r i d g e 上的轨道，其中a 由双电子对称临界入射进入到三体碰撞，曰则从三体碰撞点发射出 来而终止于双电子对称l 临界逃逸。这里“临界”一词是指入射或出射时至少有一个电子的能 萤为0 。 不动点本征值 ( z 1 ，z 2 ，2 ：3 )内离开肘。方向 a ：( x 4 ，p o ，0 ) h 。= 譬c ，士v 筹， a 3 2 一p o b ：( f 4 ，p o ，0 ) 地。= 譬c m 筹， , u a 2 p o 衰2 1 不动点及其稳定性分析 从一条外出发的轨道如果要进入三体碰撞点，即可一0 ( 当r 一+ 。) ，那么它必然 在a 点二维的稳定流形上。所以我们称a 点的稳定流形为三体碰撞稳定流形，记作曲。由时 间反演对称性可知，b 的不稳定流形由所有从三体碰撞发射出来的轨道构成，我们称之为三 体碰撞不稳定流形，记作吩。研究二维流形岛与听从不动点伸展出去在相空间形成的结 构，是理解e 0 时整体定性动力学的关键。在m o 上，a 有一维的稳定流形甄= 毋n m o 和不稳定流形u ，它们的时间反演分别是b 点在m o 上的不稳定流形u b = 巩t n m o 和稳 定流形岛。s 与s 口分别代表了e = 0 时的非对称三体碰撞与临界选逸轨道。在图2 2 中 画出了z = 1 时m o 及它上面包括不动点a ，b 以及它们的稳定与不稳定流形在内的1 0 根特 殊轨道。 因为暑z 2 = i l z 3 2 芝o ，即d 如上的向量场是类梯度的( g r a d i e n t - l i k e ) ，除了不动点a ，b 和它们的稳定( 不稳定) 流形，所有轨道在r 一+ 。( 一。) 时都趋于z 2 = + o 。( 一0 0 ) 的一端。 也就是说，几乎所有e = 0 的轨道( 除了a ，b 和它们的稳定和不稳定流形) 都起始于单电子 有限能量入射并终止于单电子有限能量逃逸，我们称这样的轨道为芷常散射轨道。系统的整 1 4 体行为由u 。与s b 的相对关系刻划。特别地，如果它们重合，则正常散射道的出射和入射 电子要么完全相同，要么全部交换，此时称系统完全退化。 ( 因为有电子交换对称性，如果 一对“，如重合，则另一对也必然重合。在一般共线三体问题中，可能存在只有一支u a 和 如重合的情况。) 圈2 2m o 及它上面1 0 根特殊轨道，不动点a ，b 和它们的稳定与不穗定浇形 2 2 2 庞加莱映射 f 0 上的轨道给出了s o s 上在百= 0 的直线上的一维庞加莱映射， z ：= ，( z 2 ) ，( 2 2 1 ) 由此可以重构出物理系统日= 0 时的二维庞加莱映射。如果在物理系统的s o s 上取坐标 ( 丘，p ) e ( 、，tv r ) ，则标度变换对称性要求相应的庞加莱映射必须是如下形式 ( 爿，p ) = ( g ( p ) 丑，( p ) ) ( 2 2 2 ) 注意到d r a d p = ；d r a d p r ，上面的映射应该保面积，故有g ( p ) = 1 ，( p ) 。所以e = 0 的 动力学完全由映射f ( p ) 描述。在图2 3 中面出了z = 1 ，2 ，4 时f ( p ) 图象。下面讨论它的性 质。 1 5 1 0 f ( p ) 0 1 0 1 00 p 圉2 3 映射，( 尸) 的图象，z = 1 ，2 ，4 1 0 ( a ) 在逼近不动点之前。设s a ( 或s b ) 最后一次在点a o = ( 0 ，n ) ( 或b o = ( 0 、p 2 ) ) 穿过s o s ，那么f ( e ) 在除p = p l ，p 2 两点外的实轴上都由定义( 见图2 2 ) 。事实上， p 1 ，p ? 两点确定了直线耳= 0 上的剖分，即址： p 1 ) ，址= p 2 ) ，“一= ( p 1 ，p 2 ) 以及 玑= ( 一0 0 ，且) u ( p 2 ，。) 。因为充分接近s a ( s b ) 的轨道在到达不动点j t ( b ) 的附近之后会跟 随它的不稳定流形n ( 0 ) 再次穿过s o s ，所以有 p 1 + i m p 】f ( p ) 2 一t 2 和悲，( p ) 2 一p 1 ， ( 2 2 - 3 ) 即p 1 ，p 2 是f ( p ) 的可去奇点。如果根据上式补充定义，( p i ) = 一p 2 ，( p 2 ) = 一p l ，就得 到整个实轴上的连续映射f ( p ) 。 ( b ) 因为，( p ) = r r ，所以当p e t ，p 2 时，0 ，( p ) 1 4 时n ( z ) _ 0 ，并且仅当z = z ，时系统完全退化( 图2 4 ) 。因为后面我们将要看到上面的结 论直接决定了系统的整体行为，这里有必要从物理上稍做解释。物理上感兴趣的是z 1 的情 况。考虑由u a 代表的轨道，它开始于双电子非对称地以零能量( 临界) 入射。由于每个电子 感受到的力都是吸引的，所以它们都至少与核有次碰撞。当先到达的电子，不妨设是e - ， 与核碰撞时，e z 正在向核运动。此时它的坐标r 2 和动量p 2 ( 0 ) 满足关系、，砀2 = 一马， 故有，f p i ) = 一p 2 0 尸2 。粗略地，我们可以把电子之间的相互作用归结为较靠内的电子 ( 入射时是e - 出射时是e 2 ) 对核的屏蔽作用。对e 2 而言，其入射时受到的力小于出射时受 到的，所以它必然损失能量，被核俘获。而e t 正好相反，所以它在与核发生一次碰撞之后立 即以有限能量出射，最终成为自由电子。所以如的符号序列是e 一+ ”，这等价于n ( z ) = i 且系统不完全退化。 4 o 023 1 z 1 1 z 圈2 4 p l ，p 2 以及，2 ( p 1 ) = ，( 一p 2 ) 对棱电荷数z 的依帻关系 1 7 2 2 3 轨道的分类 我们在第一节中指出e = 0 的轨道定性上很简单，这里将从符号序列的角度刻划这种简 单性。考虑任意一条正常散射轨道，它在s o s 交出个双向无穷的递增序列 p = p ( k ) i p 【j = f k ( p ) ，k z ， 满足条件p 1 ，p 2 p 。如果 p 】中有m 个( 必然是相邻的) 点落进开区间( p 1 ，p 2 ) ，那么轨 道的符号序列就是+ 。一”+ o 。容易看出这里m 只可能取n 或n + 1 ( n = n ( z ) ，见2 2 2 节( c ) ) 。事实上，不妨设l s 凫s m 时p ( ) ( p i ，p ，) 。由p ( o p i 可知p ( 1 】( p l ，( p 1 ) ) 。 根据映射，的单调性以及，“( p 1 ) p 2 f - + 1 ( 只) 可知，p l s ，( p ) ，( p 1 ) 。于是有两种 情况， ( a ) p ( 1 ( p l ，厂“( p 2 ) ) ，此时有p 扣+ 1 p 2 i - + x ( n ) p ( “+ 2 ) ，即m = 十1 ； ( b ) p 1 1j ( ，- ”( p 2 ) ，( p 1 )