（理论物理专业论文）gentile统计的算符实现及应用.pdf

中文摘要 g e n t i l e 统计是一种介于b o s e e i n s t e i n 统计和f e r m i d i r a c 统计的中间统计。自 然界中的粒子有两类：一种服从b o s e e i n s t e i n 统计，每个量子态上的最大占有数 是；另一种服从f e r m i - d i m e 统计，每个量子态上的最大占有数分别是l 。g e n t i l e 统计每个量子态上的最大占有数则是介于0 0 和1 之间的任意有限值刀。b o s e 子产 生湮灭算符之间满足的是对易的算符关系，f e r m i 子产生湮灭算符之间满足的是 反对易的算符关系。对于g e n t i l e 统计，它的产生湮灭算符之间的关系可以用n 括 号表达。n - 括号的两个极限情况是对易括号和反对易括号。如上所述，自然界中 的真实粒子或者是b o s e 子或者是f e r m i 子，因此服从g e n t i l e 统计的粒子并不是真 实的粒子。但是对于这种假想粒子的模型可以用来处理_ 些复杂相互作用系统。 本文除引言和总结外共有五部分内容。第一部分讨论了n 括号的普遍性质。 基于所得到的n 括号的性质，通过取1 = o o 和刀= 1 ，我们给出了相应的对 易括号和反对易括号算符关系。第二部分是g e n t i l e 统计产生湮灭算符所满足的 算符关系。第三部分构造了g e n t i l e 统计振予并讨论了它的能谱。g e n t i l e 统计振 子在拧= 0 0 和刀= 1 时分别回到b o s e 和f e r m i 振子情况。第四部分引入了 g e n t i l e 统计的相干态。第五部分讨论了角动量( s u ( 2 ) ) 代数的g e n t i l e 统计实现。 这种基于g e n t i l e 统计的角动量代数实现可以只用一组产生湮灭算符。而 s c h w i n g e r 表象要用两组独立的b o s e 算符来实现角动量代数。h o l s t e i n p r i m a k o f f 的实现虽然只用了一组满足对易关系的产生湮灭算符，但其实它并不是真正的 b o s e 算符。 关键词：g e n t i l e 统计角动量实现相干态 a b s t r a c t g e n t i l es t a t i s t i c si sak i n do fi n t e r m e d i a t es t a t i s t i c sb e t w e e nb o s e - e i n s t e i n 删i s t i c sa n df e r m i - d i r a cs t a t i s t i c s i ti sk n o w nt h a tn a t u r er e a l i z e so n l yt w ok i n d so f 口a r t i c l e s ：o n eo b e y sb o s e - e i n s t e i ns t a t i s t i c sa n dt h eo t h e ro b e y sf e r m i - d i r a cs t a t i s t i c s ； t h em a x i m u mo c c u p a t i o nn u m b e ro fo n eq u a n t u ms t a t ei nt h e s et w ok i n d so fs t a t i s t i c s i so oo r1 r e s p e c t i v e l y i ng e n t i l es t a t i s t i c s ，h o w e v e r , t h em a x i m u mo c c u p a t i o n n u m b e r ，d e n o t e db yn ，c a l lb ec h o s e na r b i t r a r i l yb e t w e e no o a n d 1 t h er e l a t i o n so f c r e a t i o na n da n n i h i l a t i o no p e r a t o r so fb o s o n sa r ec o m m u t a t i v ea n do f f e r m i o n sa r e a n t i c o n 】m u t a t i v e 。t h er e l a t i o n so fc r e a t i o na n da n n i h i l a t i o no p e r a t o r sc o r r e s p o n d i n g t og e n t i l es t a t i s t i c sc a l lb ee x p r e s s e db yt h en - b r a c k e t t h ec o m m u t a t i v i t ya n d t h e a n t i c ：o m m u t a t i v i t yw i l lb et h e t w ol i m i tc a s e so ft h en - b r a c k e t a se m p h a s i z e da b o v e ， t h eo n l yk i n d so fp a r t i c l e sw h i c ha p p e a ri nn a t u r ea r ee i t h e rb o s o n so rf e r m i o n s ，s ot h e p a r t i c l e so b e y i n gg e n t i l es t a t i s t i c sm u s tn o tb er e a lp a r t i c l e s a sa l le f f e c t i v em e t h o d ， h o w e v e r ，t h ei n t r o d u c t i o no fs u c hi m a g i n a r yp a r t i c l e sc a n b eu s e dt od e a lw i t hs o m e c o m p l e xi n t e r a c t i o ns y s t e m s t h i sp a p e rf a l l si n t of i v ep a r t s ，p l u sa ni n t r o d u c t i o na n d c o n c l u s i o n t h ef i r s tp a r t d i s c u s s e st h eg e n e r a lp r o p e r t i e so ft h en - b r a c k e t b a s e do nt h e s er e s u l t s ，w ea l s o p r o v i d es o m eg e n e r a lr e l m i o n sf o rc o m m u t a t i v e a n da n t i - c o m m u t a t i v eb r a c k e t sb y s e t t i n g 以= o oa n d 船= 1 t h e s e c o n dp a r tf o c u s e so nt h ec r e a t i o na n d a n n i h i l a t i o no p e r a t o r sc o r r e s p o n d i n gt og e n t i l es t a t i s t i c s t h et h i r dp a r ts e e k st o c o n s t m c tt h eg e n t i l e s t a t i s t i c so s c i l l a t o r sa n dc a l c u l a t e 也e i re n e r g ys p e c t r a s u c h o s c i l l a t o r sw i l lr e t u r r lt ob o s ea n df e r m io s c i l l a t o r sw h e n 玎 =o o a n d 珂 2 1 ， r e s p e c t i v e l y t h ef o u r t hp a r ti n t r o d u c e st h ec o h e r e n ts t a t ec o r r e s p o n d i n g t og e n t i l e s t a t i s t i c s t h ef i f t hp a r ts u g g e s t ss o m es c h e m e so ft h er e p r e s e n t a t i o no fa n g u l a r m o m e n t u m ( s u ( 2 ) ) a l g e b r ab a s e do ng e n t i l es t a t i s t i c s i nt h e s er e p r e s e n t a t i o n s ，t h e a n g u l a rm o m e n t u ma l g e b r ac a nb er e p r e s e n t e db y as i n g l es e to fc r e a t i o na n d a n n i h i l a t i o no p e r a t o r s n o t i c et h a ti nt h es c h w i n g e rr e p r e s e n t a t i o nt w oi n d e p e n d e n t s e t so fb o s o no p e r a t o r sa r eu s e d ，a n dt h eh o l s t e i n p r i m a k o f f r e p r e s e n t a t i o n ，t h o u g h o n l vu s e sas i n g l es e to fc r e a t i o na n da n n i h i l a t i o no p e r a t o r s ，i sn o tr e a l l yab o s o n i c r e a l i z a t i o no ft h ea n g u l a rm o m e n t u ma l g e b r a k e yw o l i d s = g e n t i l es t a t i s t i c s ，r e a l i z a t i o no fa n g u l a rm o m e n t u m ，c o h e r e n t s t a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得。2 釜盎盔堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名獭勋签字日期沙 年月叽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞基茔，有关保留、使用学位论文的规定。 特授权天鲞大鲎一可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 | l t ，| _ _ _ _ l _ 一 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：卯7 年，月乙日 新躲狐彳钐 签字日期：夕唧年， 月岁日 天津大学硕士学位论文第一章引言 1 1 背景 1 1 1g e n t i l e 统计 第一章引言 我们把自然界中的粒子分为两类：b o s e 子和f e r m i 子。b o s e 子描述的是自旋 为整数的粒子，这种粒子具有对称的波函数；f e r m i 子描述自旋为半整数的粒子， 这种粒子具有反对称的波函数。b o s e 子服从b o s e - e i n s t e i n 统计，单个量子态上 的最大占有数为a d ；f e r m i 子服从f e r m i - d i r a c 统计，单个量子态上的最大占有数 为1 。 通过直接推广p a u l i 不相容原理，即认为一个态上最多可容纳聍个粒子，我 们可以得到一种介于b o s e e i n s t e i n 统计和f e m i d i r a c 统计之间的统计- - g e n t i l e 统计【1 。g e n t i l e 统计是介于b o s e e i n s t e i n 统计和f e r m i d i r a c 统计之间的中间统 计。g e n t i l e 统计中每个单个量子态上粒子的最大占有数为有限值刀，符合这种统 计的粒子是假想的粒子。g e n t i l e 统计粒子的行为更接近于f e r m i 子，因为它们每 个量子态上的最大占有数都是有限值。 文献【1 5 】中对于g e n t i l e 统计的配分函数以及热力学性质有详细的讨论。其中 g e n t i l e 统计系统的巨配分函数可以表示为 三= 耳弘i ：i f 筹1 呻 fl l 1 l 得出上式的必要条件是z 1 时的统计行为将与b o s e e i n s t e i n 统计有很大不同。 1 1 2g e n t i l e 统计的算符实现 b o s e 算符的算符关系用对易括号来表示，f e r m i 算符的算符关系用反对易 天津大学硕士学位论文第一章引言 括号来表示，b o s e 子的产生湮灭算符满足 【口f ，司】- 磊 【q ，巳 = 才，矿 = o 其中 则】= z n ，一w 为对易括号。对于f e r m i 子的产生湮灭算符有 ( 1 2 ) 叩卜， ( 1 3 ) 口，a j = 西，巧) = o 、 其中 伽， ， = 驯+ 坩( 1 4 ) 为反对易括号。 那么g e n t i l e 算符的算符关系我们用n 一括号表示【2 瞳， 。兰u v - f ( n ) v u 塑 ( 1 5 ) f ( n ) = e 斛1 兰 在刀= 1 和刀= 时，g e n t i l e 统计回到b o s e e i n s t e i n 统计和f e r m i d i m e 统计。除 了这三种统计外，历史上对于分数统计 1 ，3 , 4 ，5 的讨论有很多，例如由全同粒子 交换导致波函数变化一个相位e 一的任意子【6 ，7 】，分数统计和量子h a l l 效应 1 6 】， 准粒子分数电荷在分数量子h a l l 效应中的激发 1 7 】，等等。 符合g e n t i l e 统计的算符有什么意义呢? 我们知道b o s e 子自旋是整数，f e r m i 子自旋是半整数。在处理具体的系统时，我们往往遇到的是很多粒子组成的多体 系统，多个b o s e 子组成的自然还是b o s e 子系统，问题在于对于由多个f e r m i 子 组成的系统我们如何处理。由多个f e r m i 子组成的系统可以被当作b o s e 子系统， 也可以被当作f e r m i 子系统。当然，要根据具体问题采用不同的处理方法。例如， 当我们研究f e r m i 气体性质的时候，这个系统就是f e r m i 子系统：可是当我们研 究的是”f e r m i 凝聚”时系统却是被当作b o s e 子系统( 由偶数个f e r m i 子凑成b o s e 子) 。这是因为根据f e r m i 子的性质，每个单个量子态上只能最多有一个f e r m i 子，因此要把多个f e r m i 子凝聚到低能级上就只能让偶数个f e r m i 子组成b o s e 子，这时的b o s e 子符合b o s e e i n s t e i n 凝聚。那么接下来面临的问题是在什么情 况下我们可以把偶数个f e r m i 子看成b o s e 子。我们拿两个f e r m i 子为例，当这 天津大学硕士学位论文 第一章引言 两个f e r m i 子距离足够远时这时的系统当然还是f e r m i 子系统，当他们的距离足 够近时就组成了”f e r m i 子对。，这时的f e r m i 子对我们就可以把它当作b o s e 子 来处理。那么，如果这两个f e r m i 子的距离是介于以上两种情况之间，也就是说， 没有近得足以使它们成为f e r m i 子对，而又没有远得使它们各自保持f e r m i 子的 。性质，这时我们认为他们处于一种”中间的状态”，因此这时它们符合的是某种中 间统计，例如g e n t i l e 统计。符合g e n t i l e 统计的算符之间的运算关系是介于对易 括号和反对易括号之间的一种关系，也就是所谓的n 括号。 在文献 2 】中粒子数算符的本征态用l y ) 。来表示，其中y 表示量子态上的粒 子数，力表示最大占有数。粒子数算符的本征方程为： n i v ) 。- - v i v ) 。 ( 1 6 ) 至于产生湮灭算符，虽为一套算符，但是相互之间不共轭，产生算符用口t 表示， 湮灭算符用6 表示，它们满足 d 6 1 0 i n ) t ：0 ) = o ( a 州t ) n l + 刀l b 留 ( 1 7 ) 6 h = o1 峨= o 。“ 因为a t , b 为一套算符，因此它们之间不对易，并且仍然保持产生湮灭算符的意义。 正如产生湮灭算符的定义所说，产生算符是使量子态上产生一个粒子：湮灭算符 是使量子态上湮灭一个粒子。g e n t i l e 统计考虑的是量子态上的最大占有数为刀的 情况，那么当量子态上已经有玎个粒子时，就不可能再产生粒子，也就是说此时 作用在态上结果是0 ，b 作用在态上就会湮灭一个粒子：当量子态上没有粒子 时，就不可能再湮灭粒子，即b 作用在态上结果是0 ，口t 作用在态上会产生一个 粒子。 所以产生湮灭算符作用于态i d 。上： 矿b t v l ) 焉v d - 一l ) 8 ， 。= i ：y ) 。l， 。 其中 i , ) n - - - - - 生昙 ( 1 9 1 一e n + l 并且有 天津大学硕士学位论文第一章引言 口+ 6 i y ) 。= ( y ) 。l y ) 。 基于以上关系，任意态i y ) 。都可以由基态l o ) 。得到： h = ( a t ) ” ( 1 1 0 ) 正交归一关系为 。( y 。= o ( 1 1 2 ) 虽然这种情况下的产生湮灭算符与b o s e 子和f e r m i 子情况不同，但是产生 湮灭算符与粒子数算符的关系是本质的，因此g e n t i l e 统计中的产生湮灭算符与 粒子数算符的关系仍为 n ，口t 】= a n ，b - 一b( 1 1 3 ) 粒子数算符为 = 罢a r c c 。s 三( 口6 t + 6 a t - - a t t 口) 】0 1 4 ) 由以上讨论的内容还可以得出： 口：矿 【a t , b 】- 口，b 】= 0 a t a = b t ba l t ! = b b ? ( 1 1 5 ) 口口l y ) 。= 6 b l y ) 。- - i y ) 。i l y ) 。 a a l y ) 。= b b i y ) 。= ：i ( y + 1 ) 。i i y ) 。 1 1 3 角动量代数的g e n t i l e 统计实现 我们熟悉的角动量实现方式有两种：s c h w i n g e r 表象【8 】和h o l s t e i n - p r i m a k o f f 变换 9 】。这两种实现方法都能很好的描述多种量子系统的磁性 1 0 1 2 。s c h w i n g e r 表象 8 】是用两个独立的b o s e 算符来实现角动量代数 以= 去( 西口2 + a h ) j ，= i 1 q t 口2 一趣q ) ( 1 1 6 ) 11 ：= 去( 口j 口l + 口：口：) = 寺( l 一2 ) 天津大学硕士学位论文第一章引言 冥中 l2 守 ( 1 1 7 ) 2 = 口2 由( 1 1 6 ) 得出 2 = 以以+ - 麓j 三笺：。， t - - 8 ， 正 ，= q = ( ) h o l s t e i n - p r i m a k o f f 变换 9 看起来很象是用一个b o s e 算符来实现 以= - 导, f i - ) - n a 正：委历 ( 1 1 9 ) ) ：= 一n磷= 0 n 1 2 、 o。_ 但h o l s t e i n p r i m a k o f f 变换对n ( n 为占有数) 有限制，换旬话说， h o l s t e i n - p r i m a k o f f 变换中的产生湮灭算符虽然满足b o s e 算符的对易关系，但它 不是真正的b o s e 算符。因为b o s e e i n s t e i n 统计中单个量子态上的最大占有数 可以取任意整数。这意味着h o l s t e i n - p r i m a k o f f 变换不是真正的角动量代数的 b o s e 实现，而是一种服从( 介于b o s e - e i n s t e i n 统计和f e m i d i r a c 统计之间的) 中间统计的实现。 根据以上两种实现方式的不足，文献【2 猜测：单个的b o s e 算符是无法实现 角动量代数的。于是文献【2 给出了另外一种实现方式：利用g e n t i l e 统计【1 实现 角动量代数。 虽然角动量的实现方式有很多种，但只要是角动量就必须满足 始若2 2 , n 2 。， 【以，上】= 、 7 文献 2 】中计算了刀= l ，2 ，3 ，4 ，5 这五种情况。例如对于丹= 1 ，也就是f e r m i 子 情况 t - - _ a t ，z = 口，t = 一昙 ( 1 2 1 ) 对应角量子数= l 2 的2 + 态1 1 2 ) 川，2 i 一1 2 ) 川，：。同样当玎= 2 时，对应角量 子数= l 的3 个态l 1 ) 户，l o ) 州，1 1 ) 4 。这时的角动量形式为 天津大学硕士学位论文 第一章引言 j = 压0 。j = 压q j ：= n 一妥 那 么1 7 = 3时，对应 j = 3 2 的 i - 3 2 ) j 鸪l 一1 2 ) 芦1 1 2 ) ，司1 3 2 ) j 司，：。角动量的形式为 以= 符口+ 五矿，正= 五口+ 如6 ，以= 一昙 1 2 内容概述 ( 1 2 2 ) 4 个态 ( 1 。2 3 ) 本文具体有五部分的内容，包括：( 1 ) n 括号运算性质，( 2 ) g e n t i l e 算符性质， ( 3 ) g e n t i l e 统计振子，( 4 ) g e n t i l e 统计的相干态，( 5 ) 角动量代数的g e n t i l e 统计实 现。 在本文的第二章中，我们将会给出n 括号的普遍性质，其中包括了任意多个 算符的n 括号性质，并且在接下来的讨论中把这些n 括号的普遍性质在 以_ o o ，力专l 时分别恢复到b o s e 子的对易括号和f e r m i 子的反对易括号。 第三章在第二章的基础上列举了g e n t i l e 算符的一些性质，包括g e n t i l e 算符 的对易括号关系以及它的n 括号运算关系。这些g e n t i l e 算符的关系在后面的角 动量代数的g e n t i l e 统计实现中，在讨论符合g e n t i l e 统计的系统的h a m i l t o n 量 和能谱及相干态中都非常有用，是后面那些内容的数学基础。 第四章我们给出一些g e n t i l e 统计振子可以用来构造h a m i l t o n 量的厄米算符 与产生湮灭算符的对易关系。把h a m i l t o n 量作用在系统的能量本征态( 粒子数 表象) 上就能够得出相应的能谱。能谱最初的表现形式是态上实际粒子数y 的函 数，但是这样的表示比较杂乱，因此经过重新整理我们把能谱写成逐渐递增的形 式。并且随便取几个最大占有数聍的取值举例说明总结出的规律。 第五章讨论的是g e n t i l e 统计的相干态。相干态是湮灭算符的本征态，由于 f e r m i 子的相干态涉及g r a s s m a n n 数，因此引出符合g e n t i l e 统计的系统的相干态， 这种相干态也要引入类似于g r a s s m a n n 数的鼋。第五章给出了相干态的三种实现 方法。无论是符合g e n t i l e 统计的系统的h a m i l t o n 鼍和能谱还是其相干态，都要 在玎寸1 , o o 的时候恢复到f e r m i 子和b o s e 子情况。但是相干态中的其中一种方法 不需要这样做。详细的讨论将在第五章中给m 。 天津大学硕士学位论文第一章引言 最后，由于角动量代数的构造方式不唯一，在本文的第六章中，我们将根据 ( 1 2 0 ) 写出实现角动量代数的其他方法。我们根据文献【1 捌，采用符合g e n t i l e 统计 的产生湮灭算符来实现角动量代数。a t ，a ；6 t ，6 作为一套算符来实现角动量。 这些产生湮灭算符之间互不对易。，6 t 分别为产生算符，口，6 分别为湮灭算 符。其中选用a t ，6 作为基本的产生湮灭算符，他们服从的算符运算关系正是文 献 2 中定义的n 括号。同时，最大占有数刀与角动量之间有明显的一一对应关系： 对于某个确定的r l ，可能的态为1 0 ) 一，i l b ，i n ) ”，对应角量子数，= h i 2 的刀+ 1 个态i + 夸) ，卜夸) ，其中兮= 1 。第六章中实现角动量代数的方法包括指数 方案，幂函数方案，多项式方案。接着我们对于多项式方案中的一种具体实现方 法给出求解过程，虽然这种方法并不好解但这一过程也可以说是角动量代数实现 必可解的证明。原则上我们可以实现最大占有数拧从0 取到o o 的所有值。本文只 实现了前几个刀，这三种实现方法：指数方案，。幂函数方案，多项式方案，我们 选择了一些比较好解的实现方式，给出了ls 以s4 的具体结果。在具体的实 际问题中，我们给出的1s 丹s4 的结果已经够用了。 天津大学硕士学位论文第二章n - 括号运算性质 第二章n 括号运算性质 g e n t i l e 统计是介于b o s e - e i n s t e i n 统计和f e r m i d i m e 统计之间的中间统计。 g e n t i l e 统计中每个单个量子态上粒子的最大占有数为有限值拧，符合这种统计的 粒子是假想的粒子。对应b o s e 算符的对易括号，f e r m i 算符的反对易括号，符 合g e n t i l e 统计的g e n t i l e 算符的算符关系我们用n 括号表示 2 】，n 括号有许多有 趣的性质我们将在2 1 节中详细描述。在刀= o o 和玎= 1 时，n 括号恢复到对易括 号和反对易括号，也就是我们要在2 2 和2 3 节中讨论的对易和反对易情况。 2 11 1 一括号运算性质 2 1 1 普遍的性质 文献【2 首次给出了n 括号算符运算的定义 瞳，l 暑材 ，一f ( n ) v u 塑 厂( ”) = e 斛1 量z 角标聍代表单个单个量子态上的粒子的最大占有数，也就是单个量子态上最多有 力个粒子，在刀= 和胛= i 时，n - 括号恢复到对易括号和反对易括号。 下面讨论1 1 括号下的算符运算关系，给出刀括号运算的一些普遍结果，其中用到 的z ，1 ，c ，d 等拉丁字母是任意算符，久等希腊字母为任意常数。算符有下面的关系 【”，甜】。兰甜2 - f ( n ) u 2 = ( 1 一z ) 甜2 ( 2 1 ) 【2 v ，c n = 【z ，c 】。 k c 】。 【c ，z ，v 】。= c ，” 。【c ，】， 【甜，旯l = 【欠，”】。= ( 1 一工) 2 u 【2 , a ，】。= 【2 u ，1 ，】。= 旯 z ，川。 i v ，甜】。= ( 1 - l 2 ) v u - l 2 ，v 】。 【“，】。+ v ，掣】。= ( 1 一五) “，v ) r ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 天津大学硕士学位论文 第二章n 一括号运算性质 阻，儿- i v ，甜 。= ( 1 + ) 【材，】 ( 2 8 ) ( 2 7 ) ，( 2 8 ) 两式分别给出了n 一括号与对易括号和反对易括号之间的关系。上面的 n 括号算符关系都是两个算符之间的关系，下面我们给出任意多个算符的n 一括号 关系 【d 1 q ，确啊 。 = o l q 1 q ，】。鸭i i i t + d l o k l 玛，吩一l q ，m j m j + l + 歹1 2 芝d i d - ，圭碍_ j q ，- + 1 一啊d f + l q ( 2 9 f t l j - l p r 一一 2 乞乞d l o j l 砚m j _ i o i ，m j m j + 1 r i d l + ! o k 1 = 1 ，= i + ( 1 一五) 码码d l o k 下面我们来证明这个式子，采用数学归纳法 证明： 对于露= z = 1 的情况 【0 l ，m i h = d l m l f n m l o l 对于k = 2 ，= 1 以及k = 2 ，= 2 的情况 【o t 0 2 ，玛】。= 0 1 d 2 强二强d 1 0 2 = 【d l ，_ 】d 2 + 0 1 【o z ，铂】+ ( 1 一f r ) m l d l 0 2 ( 0 l 呸，胧2 】。= o t 0 2 m l m 2 一f n m l m 2 0 1 0 2 = 【0 l ，l l 】d 2 + 玛【0 1 , m 2 0 2 + 0 1 【0 2 ，】 + d l 强【0 2 , m ： + ( 卜) 码0 l d 2 假设对于k ，1 时成立，即 0 1 o k , r 气- - - m 1 。：圭圭d i 一码_ 一l q ，- - + l - 一竹q i = 1j - l + ( 1 一z ) 码啊d l o k 那么对于k + l 和，此时用d 代替0 带入上式，并且令0 = o k o k + l 有 + ， d l d j 一，铂n l j 。 d ， + 1 研d ，+ 。q 一，d d i 。m 川 o , m j m j + 1 啊 j - l + o - l ) m , m i o l o k l d = d l o j 一。确m j _ 。 d ， + 1 ”m l o l + i o k o k + - i = 1 1 - 1 + d l o k l 鸭ll q + l 巧j + i 啊+ 乞d l 一l 鸭ll q + l 巧j + i 啊 + ( 1 一z ) ， l l 研，0 1 0 t _ 1 d 0 1 + l 吧研一o k o k 聊月+ ，m t = 吼碍一。 q 彬聊，m l + l m i + 码m i 。o t ，m j m j + 。m ，o t + 。 【。纠，强搬 k + liof-= e z o , d f - 。码一。o i ，m j 一m i + i - - - y i i ，0 i + ，o k + l 【o 纠，强搬 d f - 。码一t ， f + 1 一 f _ l t i + ( 1 一工) m ，d i o m 对于七和，+ 1 ，用垅代替m ，带入上式，并且令功= m l m l + ! 有 o l q ，m 一。脚】。= ( 2 9 ) 得证。 q q 一，哆一。o ， + 。聊一。柳d f + 。q 七 + d l 0 i 一1 码碍一lo i ，m o i 1 o k i = 1 + ( 1 一z ) 啊啊一l 所d l o j d l q 。确珊川 q ，m jm j + 1 一m 一1 m l m t + l o i + l o k o j - i 码一，【d ，码+ ，】q + ，q + ( 1 一无) 码m j l 啊一+ l d l o i o i ，m l m l + 。 - - - m , o , ，码+ 。】+ 【d ，】聊，+ ， d l d j 1 ，z 1 m - l0 f ，所， 聊，+ l ，吩+ l 4 - 1 o k + ( 1 一z ) 玛啊+ 。o j q 证毕 接下来的两个式子为( 2 9 ) 的推论，是当( 2 。9 ) 的n 括号的前后两部分分别为一个算 符时的情况。只要分别把d i 吼和码竹换成一个任意算符w 就可以了。 1 0 州 汹， = l 狮 鸭 仉 一 p h 一 。附 一 。商 d 。汹 + m 闩 。矧 = 、l + 肌 p 天津大学硕士学位论文 第二章n 一括号运算性质 【d l q ，w 】。= o l o k - 1 q ，w 】。+ d l o k 一2 【q l ，w q + + z d l ，w 】d 2 q - l = d l o k - l q ，w 】。+ 五o i o j _ l q ，w o j + l o k ，l l 七 = d l d f l q ，w 】d j + 1 吼+ ( 1 一l ) w o , o k ( 2 1 0 ) f l w ，d i o k 。= 【md i 】。0 2 o k + f n o l w ，0 2 0 3 o k + + z d l o k 1 w , o k 】 七 = w d 1 。0 2 o k + 工d l d 一l 【w ，d ，】d f + l o k i = 2 k = o l o j _ i w ，d ，】d f + l o k + ( 1 一z ) d l o k w ( 2 1 1 ) i = 1 有t ( 2 9 ) 的任意多个算符的n 括号形式，那么当n 一括号的前后两部分的任意多个 算符分别是算符的任意次幂又会怎样? 我们还是可以根据( 2 9 ) 把d i o k 和 m l m ，换成d ，m 7 就能得到答案。 d ，m 1 = d 一1 【d ，所】。m l - - l + l o h e m 卜1 d ，m m j = 2 一 ， + 五d 扣1 m 一 d ，m m 卜d 扣 lf = o 卜1 m 川【o ，m m t - ) d 卜+ ( 1 一z ) 朋7 d ( 2 1 2 ) i = 1 户l 同上，我们来看当( 芝1 2 ) 的n 括号的前后两部分分别为一个算符时的情况。只要 分别把0 ，所换成一个任意算符w 。 k - l 【d ，w 】。= d 扣1 d ，w 。+ z d 卜1 【口，w o h j 篁1 k - - z d h 【d ，w o h + ( 卜) w d ( 2 1 3 ) ，= l 量 【w ，d 】。= 【w ，d 一+ z d 卜1 【w ，d 扩 悖2 膏 = d 卜。 w d 】d 卜+ ( 卜l ) o w ( 2 1 4 ) i = 1 下面我们来看两个比较有用的n - 括号性质定义d ，巳，o k 为任意算符 天津大学硕士学位论文第二章n 一括号运算性质 l 颤l d i ，巳】。，q 】。= o - l ) 2 l lo ， ( 2 1 5 ) 【 0 ，o j 。，吼= ( 1 一z 2 ) 6 t 拗o l o h ( 2 1 6 ) 其中和为l e v i c i v i t a 符号。 毛2 3 = 1 2 一= 一钿 针对( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 的展开形式为 哆川一粤一+ 【c 甜m 也c m n 也甜】一 c 】一+ 【c ，v 】一，们一m 】，：( 2 1 7 ) ( 1 - l ) 2 ( u v c + c i i v + v c u + v z c + c v 以+ u c v ) 、 【豁，订：，c 】一+ 【 c ，钍k ，v 】n + 【y ，c 】一，掰】n 一【v ，】一，c 】一一【c ，以一，钟】一一 以，c k ，v k2 ( 2 1 8 ) ( i z 2 ) ( “w + c z + 懈一v u c - - c v u 一训 。 它们是推广的雅司比恒等式。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 是三个任意算符之间的关系，我们把( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 推广到四个任意算符 得到 i 白h | 【 q ，哆】。，吼】。，d _ 】。= ( 1 一z ) 3 l f 帅i d 。o ，d f q ( 2 1 9 ) ，。 k ，m - 1w ，t - ，。1 d f ，q l ，唧】。，l = ( 1 - l ) ( 1 + f d 2 e 懈o w o r o , o , ( 2 2 0 ) ，。j , k , m - 1 w t r t , a = l ( 2 1 9 ) 的另外一种写法 眦q ，0 2 。，吼，d 4 l = ( 1 一z ) 3 q o ：0 3 0 4 ( 2 2 1 ) pp ，分别代表全排列和轮换，根据( 2 1 5 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 1 ) 我们还可以把它们 p ， 推广到任意多个算符 【 d l ，d 2 】。，吼一，k ，q 】。= o - l ) 卜1 2 0 1 0 2 o k ( 2 2 2 ) p k - 2 p 此外还有一些很漂亮的算符关系，先说明一下，我们用到了以下符号 举个轮换的例子 我们能够得出 0 i ，0 2 0 3 = q ，0 2 0 3 。+ 【d 2 ，0 3 0 1 。+ 【d 3 ，0 l d 2 】。 ( 2 2 3 ) = ( 1 一z ) ( d jd 2 d 3 + 0 2 0 3 q + q 0 2 ) 天津大学硕士学位论文 第二章n 一括号运算性质 0 l o k q ，q l = o - z o ) z d j d l ( 2 2 4 ) p p z t o , ，d ：q 。= ( 1 一z ) d l o k ( 2 2 5 ) p p z t o , _ ，q l = ( 1 一) d l o k ( 2 2 6 ) ，r z t o , ，0 2 o k 。= ( 1 一z ) d l o k ( 2 2 7 ) rr 由( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 可以看出无论左边n 一括号中的“，”在任何位置，公式右边 都给出同样的结果。所以我们可以总结如下： d 1 0 1d f + ，o k 。= ( 1 一z ) d l o k ( 2 2 8 ) pp h g ，。o a 。= ( 1 一z ) q ( 2 2 9 ) 也可以表达成 【d 1 q ，o k 。= ”o k - 2 ，o k 一，o k 。= 【d l ，0 2 o k 。= ( 1 一无) d l o k ( 2 3 1 ) ，rr ， 2 1 2 一些其它形式的性质 对于形如( 2 1 0 ) 的三个算符的n 括号，除t ( 2 1 0 ) 的形式外还可以有下面的一 些关系 瞄v c 】一2 奇阻，v k 吐“【 u 卅驴川