（理论物理专业论文）复杂网络opinion动力学研究.pdf

博士学位论文 d o c t o r a l d l s s 日n 煳r 阳时 摘要 复杂网络是研究复杂系统的重要方法，而研究复杂网络的终极目的，是去理 解和解释网络拓扑结构对于在网络上发生的各种物理过程的影响，本文的主要内 容就是讨论复杂网络上的舆论动力学行为。 我们研究了在二维网格上以概率p 添加连线，并且连线的长度满z _ p ( 1 ) 一 2 吨的推广小世界网络上的s z n a j d 模型，这里长程连接以概率p ( ) 一：咄在拓扑距离 为z 的节点之间添加，a 值的变化会改变长程连接的分布位置，进而改变网络的全 局关联性质，如当参数妒和q 增加时，网络的小世界性质增强，即平均最短路径变 小而聚集系数增加，通过m o n t ec a r l o 模拟和对模拟的驰豫时间分布p ( 肛) 和决定时 间p ( 7 ) 进行比较，我们指出，铁磁吸引子有非平庸的出现概率且驰豫时间和决定时 问随着网络结构变化而不同。 我们提出了个体持续度厶的概念，即每个个体保持自己态度的能力，我们选取 了两种不同的策略：个体的持续度正比于连接度厶= 毒 和个体的持续度随机在 网络中分布，满足关系p ( i ) = r a ，其中第一种是考虑到个体在网络拓扑结构中的 异质性，节点的功能和所处结构有一定的关联，而后者则是个体的功能和结构没 有关联，研究了这两种不同策略下的s z n a j d 模型的传播特点。不论是否加入个体 持续度这个性质，系统总是会演化到两个稳定的铁磁性吸引子上，而且随着小世 界性质的加强，驰豫时间和决定时间都会减小，当加入个体持续度这个性质时， 在个体持续度和网络结构有关联时可以缩短这两个的时间，反之，个体持续度和 网络结构没有关联时，这两个时间都会增加，说明在个体性质和网络结构有关联 的时候可以进行有效传播。 在社区强度为可调节q 的无标度网络中，在异步更新方式下，发现驰豫时间 是会随着集团强度增加而增加的指数衰减，当采取三种不同的初始密度的选择： 随机选择初始节点对、选择同一个社区中的节点对和选择不同社区中中心节点对 时，会有非平庸的退出概率e ，在选择随机选择初始节点对时，退出概率和集团强 度没有关联，而其他两种策略会使得退出概率随着集团强度的变化而变化，存在 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 着最优策略使得退出概率在一定的集团强度下最大。 以上都是考虑的是静态网络上的舆论动力学，而实际上，网络的结构不是一 成不变，也是会受到网络上的传播流的性质变化而变化的，网络上的动力学会影 响到网络的拓扑结构，而网络的拓扑结构又会对网络上的动力学有反馈，这样就 产生了自适应性网络。我们考虑了自适应网络上的s z n a j d 模型，即网络中的节点 的态差大于置信区间时，节点对之间的连线会重绕，反之，则节点对可以对周围 的邻居有影响，在这样的自适应网络上的s z n a j d 模型研究中，我们发现由于重绕 概率p 的引入会出现网络的拓扑结构的分裂，出现不同态的小集团而且最大集团 的大小和数目受到重绕概率、置信区间的影响，当置信区间大于0 5 时，整个系统 会最终演化到相同的一个集团，当置信区间逐渐减小时，最大集团的大小逐渐减 小，并且集团的数目逐渐增加，我们也在不同尺寸大小的网络上做了研究。 本文还对目前和舆论动力学相关的自适应网络上的动力学做了简单回顾和综 述介绍。 关键词： 复杂网络：舆论动力学；自适应网络；平均场；驰豫时间；吸引子；平 衡态；i s i n g 模型；社区结构 博士学位论文 d o c t o r a l d 璐跚豫：i ) 蛆。1 0 n a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r ki sa ni m p o r t a n tm e t h o d st os t u d yc o m p l e xs y s t e m ，t h eg o a l o fc o m p l e xn e t w o r kr e s e a r c hi st ou n d e r s t a n dh o wt h es t r u c t u r eo fn e t w o r ki n f l u e n c e t h ep h y s i c sp r o c e s so nt h e s en e t w o r k s o nt h eb a s i so fc o m p l e xn e t w o r kt h e o r y , t h e o p i n i o nd y n a m i c so nt h ec o m p l e xn e t w o r ki ss t u d i e di nt h i st h e s i s w es t u d yt h es z n a j dm o d e lo nt h et w od i m e n s i o ng e n e r a l i z e ds m a l l w o r l dn e t - w o r k ( g s w n ) ，w h i c hi sc o n s t r u c t e db ya d d i n gs h o r t c u tr a t e 妒a n dt h el e n g t hd i s t r i - b u t i o no ft h es h o r t c u tp ( f ) 一l o nt h er e g u l a rt w od i m e n s i o nl a t t i c e t h es h o r t c u t c o n n e c t sap a i ro fn o d el e n g t hlw i t hp r o b a b i l i t yo fv ( z ) 一l 一口，t h ead e t e r m i n e st h e d i s t r i b u t i o nl o c a t i o no ft h es h o r t c u ta n dh a v ee f f e c to nt h en e t w o r ks t r u c t u r e ，t h e s m a l l w o r l de f f e c te n h a n c e dw h e nt h ep a r a m e t e r a n dqg r o w i n g c o m p a r i n go f t h ec o n s e n s u st i m ep ( p ) a n dd e c i s i o nt i m ep ( 丁) a c c o r d i n gt ot h em o n t ec a r l o s i m u - l a t i o n ，w ef i n dt h a tt h e ya r ed e p e n do nt h en e t w o r ks t r u c t u r ea n dt h ef e r r o m a g n e t i c a t t r a c t o rh a v en o n t r i v i a le x i tp r o b a b i l i t y an e wq u a l i t y , i n d i v i d u a lp e r s i s t e n c ei t 、i si n t r o d u c e d i r e f l e c t st h ep e r s i s t e n c e o fi n d i v i d u a lw h e nf a c i n gt h ei n f l u e n c eo fo t h e r s w et a k et w od i f f e r e n ts t r a t e g i e so f 五：( i ) t h ei n d i v i d u a lp e r s i s t e n c ei sp r o p o r t i o n a lt oi t sd e g r e e ，i e ，五= ，( i i ) t h e i n d i v i d u a lp e r s i s t e n c ei sd i s t r i b u t e di nt h en e t w o r kt h a ts a t i s f i e dp ( z ) = i 一t h e f i r s ts t r a t e g yc o n n e c t st h en o d e ss t r u c t u r ew i t hi t sf u n c t i o n ，w h i l en oc o n n e c t i o n t a k i n gi n t oc o n s i d e r a t i o ni nt h es e c o n ds t r a t e g y t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es y s t e m w i l lf i n a l l ye v o l v i n gi n t ot w of i x e dp o i n t sa st h eu s u a lc a s ea n dt h es t r a t e g y ( i ) c a nr e d u c et h er e l a x a t i o nt i m ea n dd e c i s i o nt i m e ，w h i l et h es t r a t e g y ( i i ) g e t st h e m i n c r e a s e d i nt h es c a l e - f r e en e t w o r k sw i t ht h et u n a b l es t r e n g t h ( n o t e db yq ) o fc o m m u n i t y s t r u c t u r e ，u s i n ga s y n c h r o n o u su p d a t i n g ，i ti sf o u n dt h a tt h es m a l l e rt h ec o m m u i n 博士学位论文 d o c t o k a l d i s s e r t a t l 0 n n i t ys t r e n g t hq ，t h el a r g e rt h es l o p eo ft h ee x p o n e n t i a lr e l a x a t i o nt i m ed i s t r i b u t i o n t h e nt h ee f f e c to ft h ei n i t i a lu p - s p i nc o n c e n t r a t i o np 缱af u n c t i o no ft h ef i n i a l 址lu pp r o b a b i h t yei si n v e s t i g a t e db yt a k i n gd i f f e r e n ti n i t i a l i z a t i o ns t r a t e g i e s ，t h e r a n d o mn o d e - c h o s e ni n i t i a l i z a t i o ns t r a t e g yh a sn od i f f e r e n c eu n d e rd i f f e r e n tc o m _ r f l u - n i t ) s t r e n g t h s ，w h i l et h es t r a t e g i e so fc o m m u n i t yn o d e - c h o s e n i n i t i a l i z a t i o na n d h u b n o d e - c h o s e ni n i t i a l i z a t i o na r ed i f f e r e n ti nf i n i a lp r o b a b i l i t yu n d e rd i f f e r e n tq ，a n d t h el a t t e ro n ei sm o r ee f f e c t i v ei nr e a c h i n gf i n i a ls t a t e m a n yr e a l - w o r l dn e t w o r k sa r ec h a r a c t e r i z e db ya d a p t i v ec h a n g e si nt h e i rt o p o l - o g yd e p e n d i n go nt h e s t a t eo ft h e i rn o d e s t h ei n t e r p l a yo ft h et w oe v o l u t i o n si st h e n an a t u r a li s s u et ob ei n v e s t i g a t e d m o r e o v e r ，t h ee v o l u t i o no ft h et o p o l o g ya n dt h e d y n a m i c a lp r o c e s s e sc a r ld r i v ee a c ho t h e rw i t hc o m p l e xf e e d b a c ke f f e c t s t h et o p o i - o g ym a yi n d e e dh a v ea ni m p a c to nt h ee v o l u t i o no ft h eu n i t e ds t a t e s ，w h i c hi ni t s t u r nd e t e r m i n e sh o wt h et o p o l o g yc a nb em o d i f i e d ：t h en e t w o r kb e c o m e sa d a p t i v e s o w ee x p l o r et h ec o n t i n u o u ss z n a j do p i n i o nm o d e lo na na d a p t i v en e t w o r k 。w h e r e t h el i n kb e t w e e na g e n t sw i t hf a ra p a r to p i n i o nw i l lg e tr e w i r e d o u ri n v e s t i g a t i o n s r e v e a lt h a tt h ea d a p t a t i o no ft h en e t w o r kt o p o l o g yf o s t e r sc l u s t e rf o r m a t i o nb ye n h a n c i n gc o m m u n i c a t i o nb e t w e e na g e n t s ，t h o u g ht h es z n a j dr u l ei sm o s te f f e c t i v et o a c h i e v eaf u l ls y n c h r o n i z a t i o no ft h ea g e n t s w h e nt h eb o u n dc o n f i d e n c ea b o v e0 5 ， t h es y s t e mw i l lt u r ni n t oaw h o l ef i n i a ls t a t e t h ei n t e r p l a yb e t w e e nd y n a m i c sa n d t o p o l o g yc a nh a v ei m p o r t a n tc o n s e q u e n c e sf o rt h es p r e a d i n go ft h eo p i n i o n s w e a l s os i m u l a t et h e s ei nt h ed i f f e r e n ts y s t e ms i z ea n dg e tt h es a m er e s u l t ar e v i e wo fr e c e n tr e s e a r c ho i lt h eo p i n i o nd y n a m i c sa n dt h ea d a p t i v en e t w o r k s i si n t r o d u c e d k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；o p i n i o nd y n a m i c s ；a d a p t i v en e t w o r k ；m e a n f i e l d ； r e l a xt i m e ；a t t r a c t o r ；c o n s e n s u ss t a t e ；i s i n gm o d e l ；c o m m u n i t ys t r u c t u r e 1 v 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的 成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作 品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律结果由本人承担。 论文作者签名： 厶么队 一对 吼立于朋尸日 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解华中师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名：“ 只竺鼍竺皇熙 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文提 交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中规定享受相关权益。凰 论文 日期 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s e r t a t i o n 第一章 jl 士 i 百 复杂性科学是用以研究复杂系统和复杂性的一门方兴未艾的交叉学科，复 杂性科学研究的复杂系统涉及的范围很广，包括自然、工程、生物、经济、管 理、政治与社会等各个方面；它探索的复杂现象从一个细胞呈现出来的生命现 象，到股票市场的涨落、城市交通的管理、自然灾害的预测，乃至社会的兴衰等 等，目前，关于复杂性的研究受到了世界各国科学家们的广泛关注。1 9 9 9 年，美 国科学杂志出版了一期以“复杂系统”为主题的专辑，这个专辑分别就化学、 生物学、神经学、动物学、自然地理、气候学、经济学等学科领域中的复杂性研 究进行了报道。由于各学科对复杂性的认识和理解都不一样，所以该专辑避开术 语上的争论，采用了“复杂系统”这个名词。概括起来，复杂系统都有一些共同的 特点，就是在变化无常的活动背后，呈现出某种捉摸不定的秩序，其中演化、涌 现、自组织、自适应、自相似被认为是复杂系统的共同特征。 涌现机制是复杂系统出现各种激动人心现象、图案和模式的共同表征，这里 既包括灾难式的突现，也包括创新式的涌现。涌现的数学、物理学、生物学和社 会学表征及其临界点将成为认识复杂系统的重要标志。复杂系统中宏观结构的涌 现往往孕育于其自组织的机制，这在生物学和社会学中均不乏例证。自组织还是 复杂系统对环境产生自适应性的一个重要的调整机制。自适应性表征了复杂系统 在系统层次上的自身调控能力。复杂系统与各层次子系统之间往往具有一定的自 1 博士学住论文 图11 - 复杂性科学涉及的研究领域树图。 相似性，可以利用分形来加以描述。复杂系统研究冲破了牛顿咀来一直统治科学 的线性论、简化论和还原论的思维方式。 复杂性科学的诞生，可咀说是出身显赫。它由夸克的提出者、1 9 6 9 年诺贝尔 物理学奖的获得者默里盖尔曼提出，然后盖尔曼跟安德森、阿罗等一些其他的诺 贝尔奖获得者和著名科学家在美国新墨西哥州组建了以研究复杂性为宗旨的美国 圣达菲( s a n t af e ) 研究所。事实证明圣达菲研究所不负众望迅速地把复杂性科学 这样一个新的横断学科推向了二十一世纪的学科，也推向了国际学术界。盖尔曼 在提出复杂性科学之初把它叫做“p l e c t i e s ”1 1 ，这是盖尔曼根据自己对复杂性科 学的理解造的一个词。我们可以通过盖尔曼的两段话来对复杂性科学的本质略见 一斑。 i t i sa p p r o p r i a t e t h a t e e t i e s ”r e f e r s t oe n t a n g l e m e n to r t h e l a c k t h c r c o f s i n c e e n t a n g l e m e n t i sak e y f e a t u r eo f t h e w a yc o m p l e x t ya r i s e so u to fs i m p l i c i t y , m a k i n g o a fs u b j e c t w o r t hs t u d y i n gi t i s t h ee n t a n g l e m e n to f t h es t a t e so f t h ep a r t i c l e s t h a t i sr e s p o n s i b l ef o rm a t t e ra sw ek n o wi t 2 博士学位论文 d o c t o r a l d 珞s e i 札a t i o n 一一m m a yg e l l - m 锄 l i k e w i s e i ft h ep a r t so fac o m p l e xs y s t e mo rt h ev a r i o u sa s p e c t so fac o m p l e x s i t u a t i o n ，a l ld e f i n e di na d v i c e ，a r es t u d i e dc a r e f u l l yb ye x p e r t so nt h o s ep a r t so r a s p e c t sa n dt h er e s u l t so ft h e i rw o r ka r ep o o l e d ，a na d e q u a t ed e s c r i p t i o no ft h ew h o l e s y s t e mo rs i t u a t i o nd o s en o tu s u a l l ye m e r g e t h er e a s o n ，o fc o u r s e ，i st h a tt h e s e p a r t so ra s p e c t sa r et y p i c a l l ye n t a n g l e dw i t ho n ea n o t h e r w eh a v et os u p p l e m e n t t h ep a r t i a ls t u d i e sw i t hat r a n s d i s c i p l i n a r y “c r u d el o o ka tt h ew h o l e 一一m u r r a yg e l l - m a n n 第一段话中盖尔曼说“p l e c t i c s 表示纠缠，因为纠缠是从简单到复杂的关键， 也正是因为纠缠我们的学科才值得研究；粒子态之间的纠缠形成了物质，正如我 们所知道的那样。其实这里盖尔曼还举了一个例子【l 】：人类和与人类相关的事物 本质上是夸克和电子束，如果这些微观粒子彼此独立地处于自己的状态，那么我 们还有与我们相关的事物就不存在了。从盖尔曼的这段话可以看到，复杂性科学 要注重组成部分之间的纠缠或者叫做耦合。 再来看第二段话，盖尔曼说科学家们对复杂性系统的各个组成部分或者是复 杂事件的各个方面进行认真研究得到的结果，很多时候不能反应这个系统或者事 件本身。原因是这些组成部分或者事件的不同方面是彼此纠缠在一起的，我们必 须以学科交叉的全局眼界对局部研究加以补充。这段话不只强调了纠缠，还强调 由于纠缠的存在我们需要以学科交叉的全局眼界来对待复杂性科学。 所以，从盖尔曼的这两段话，我们可以总结到对复杂性科学来说最重要的两 点： 1 复杂性科学的研究对象复杂系统由很多不同的元素组成，而且这些元素之间 通过各种各样的相互左右彼此耦合。 2 复杂性科学是一个多学科交叉的学科，需要全局的眼界，这也正是从还原论 到整体论的转变。 从以上我们可以看到，复杂系统由很多不同的元素组成，而且这些组成元素 之间存在相互作用。那么，如果抽象一点，我们把复杂系统中的元素和相互作用 3 博士学位论文 d o m l 呲d i s s e k t a t i o n 分别抽象成节点和连线就会得到网络，在复杂系统研究中，近年来尤其是关于复 杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段。这个正是本文的研究范围。 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典 型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表 真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具 有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被 看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形 成的网络：计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞 线、同轴电缆等相互连接形成的网络；类似的还有电力网络、社会关系网络、交 通网络等等。 数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连， 至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都 是他们不在意的。在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态 就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那 么，什么样的拓扑结构比较适合厨来描述真实的系统呢? 两百多年来，对这个问 题的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素 之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，又或 者最近邻环网。到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的 方法，在这种方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个 概率决定。数学家把这样生成的网络叫做随机网络，它在接下来的四十年里一直 被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的网络。直到最近几年，由于计算机数 据处理和运算能力的飞速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络， 也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络 被科学家们叫做复杂网络( c o m p l e xn e t w o r k s ) ，对于它们的研究标志着第三阶段 的到来。 遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从 这几年的研究来看，之所以称其为复杂网络，大致上包含以下几层意思：首先， 它是大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网 4 博士学位论文 d d i c l d i l a l d i s 班汉礤刺 络复杂，因为我们可以很容易地生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一 种简单方法能够生成完全符合真实统计特征的网络；最后，由于复杂网络是大量 复杂系统得以存在的拓扑基础，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所 以复杂”这一至关重要的问题。 复杂网络最经典的几篇综述【2 5 】和书籍 6 - 9 】，在这几年被引用了近千次， 也是囊括网络知识的入门读物。提出小世界模型的w a t t s 的第一本复杂网络 的书就是关于小世界网络的结构及其演化【6 】，而和w a t t s 合作提出小世界模型 的s t r o g a t z 在n a t u r e 一期特刊上发表的综述【2 则是从网络结构演化的动力学方面 探讨了复杂网络的不同属性。a l b e r t 和b a r a b a s i 3 】，d o r o g o v t s e v 和m e n d e s 4 ，8 】的 综述则是从统计力学出发，偏重关于增长网络的模型入手。而后n e w m a n 2 0 0 3 年 用独特的视角和所附的四百多篇的参考文献 5 】的综述吸引了大量的读者。除此之 外，还有四篇比较重要的参考文献也值得一提，由b o r n h o l d t 和s c h u s t e r 编辑的文 献集f 7 1 ，由p a s t o r - s a t o r r a j s 等编辑的文献集【1 0 1 ，由b e n - n a i m 编辑的文献集i n ， 以及p a s t o r - s a t o r r a s 和b e s p i g n a n i 编著的关于i n t e r t 网络的分析和模拟 9 】。对于想了 解复杂网络这门学科的大众读者，也有许多普及的书，如b u c h a 工l a t l 的n e x u s ：s m a l l w o r l d sa n dt h eg r o u n d b r e a k i n gs c i e n c eo fn e t w o r k i n g 。第一篇关于网络的国 内综述【1 2 】是由吴金闪和狄增如在2 0 0 4 年用中文撰写，在0 7 年物理学进展上出 版了两期以复杂性为专题的专刊综述f 1 3 】，最新最近的一篇综述是由l u c i a n o d ef o n t o u r ac o s t a 等人完成涵盖了所有领域里面的复杂网络的应用【1 4 】。除 此之外，在各个专业领域也涌现出关于复杂网络的书，如在数学的图论领 域，b o l l o b a s 1 5 ，1 6 ，w 西t 【1 7 1 和h a r a r y 1 s 等人发表了网络的图论理论；而由w a s s e r - m a l l 和f a u s t 1 9 ：s c o t t 2 0 编写的书则成为了社会网络分析学家的教材；参考文 献 2 1 2 3 贝i j 提供了标准图算法的源代码思想；而基于生物为基础的网络研究更是 广泛和热门f 2 4 1 。 在由节点和连线构成的网络中，其特殊的连接方式定义了网络的拓扑结构。 对于许多网络应用来说并不是要重现现实社会中的某一种网络，而是关注大多数 具有共性的复杂网络拓扑结构的性质。当前的大多数研究都是围绕着两个关键问 题，这两个关键问题也对应于复杂网络研究的两个方向：复杂网络中有哪些重要 5 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s 日h x r l 0 时 的拓扑性质是随着时间演化的? 第二，复杂网络的功能是如何依赖于这些性质 的? 第一个问题的研究方面关注于网络的动力学。在这里，网络自身的拓扑结构 被看做一个动力学系统，这个系统通常随着具体的局域规则演化。这类问题通常 研究的是特定演化规则下所生成的具有某种拓扑性质的网络以及对这样的网络的 度量，如随机重连生成的小世界网络和优先连接生成的无标度网络；而第二个问 题的研究方向则是关注于网络上的动力学。在这里，网络中的每个节点都代表着 一个动力学系统，而由于网络的拓扑结构使得各个节点之间有耦合。这样，网络 的拓扑结构保持稳定而节点的态由于动力学规则会发生变化。这类问题的研究包 括同步动力学【2 5 】，舆论形成【2 6 1 和疾病扩散f 2 7 1 。这些方向的研究表明特定的网络 拓扑结构会对动力学产生重要的影响，如无标度网络上对一部分节点免疫仍然不 能阻止疾病的传播。 在大多数复杂网络模型中，“网络的动力学”和“网络上的动力学”是分开的， 研究者们常常忽视网络拓扑结构的形成和网络功能性质的涌现之间的相互影响， 当网络结构与节点的动力学状态无关，或者这两方面的变化速度相当不同的时 候，这样做是合理的。然而，在学术研究、艺术创作、金融交易、全球气候变化 和大脑中神经元网络的突触可塑性等实际现象中，人们发现，结构和功能可以从 同一个过程涌现出来，这时，节点的状态以及它们之间的相互作用都随时间演 变，二者相互反馈。所以，对于这些问题，应该采用合适的、基于耦合演化机制 的新模型。然而，只有很少的模型能同时自发涌现出网络的无标度结构和节点集 体动力学。另一方面，研究者们经常假设新节点知道整个增长网络的全局信息， 而这对于规模巨大的系统而言通常是不可能的。从这种意义上来讲，需要建立基 于局部相互作用机制的模型来了解能否从自组织动力学推导出整个系统的结构和 功能性质。 网络节点的状态与连边关系协同演化的模型，可以称为耦合演化网络模型， 也称为自适应网络模型，由局部信息引起连边关系的变化，从而导致宏观性质涌 现的网络模型，则称为自组织网络模型。这个新的课题涉及到了广泛的领域，但 是在这些不同领域中都有一个共同的特征：简单的局部规则导致的自组织复杂动 力学和稳定的拓扑结构。从0 6 年起，这个方向的文献在美国物理评论等一系列重 6 博士学位论文 i x ) c r o r a l d i s s 日n 瑚删 量级杂志上雨后春笋般出现，其中包括疾病传播【2 8 】，舆论演化 2 9 - s 7 ，自组织临 界性 3 s - 3 9 ，合作博弈【4 0 】等等内容，最新的相关综述1 4 8 在送审6 天之后即被英国 皇家学会杂志采用，而这一刚刚起步的方向也许又是会掀起网络研究的热潮。 自然界中众多规律的统计性使得统计物理在现代物理中占有越来越重要的地 位，而近年来由于交叉学科突飞猛进的发展，使得统计物理在诸如生物，医学， 信息科学，计算科学中应用广泛，同样，统计物理学家也逐渐进入远离“传统” 领域的研究中【4 1 】o 在社会现象中，基本的组成部分并不是粒子而是人，并且每 个个体联系的其他个体数是非常有限的，但是，人类社会却有着非常好的秩序 性【4 2 】，存在从无序到有序这样的相变过程，诸如自发形成一种通用语言或者文 化，或者对某个问题的看法一致，存在着标度性和普世性。这些宏观现象很自然 的就引起了统计物理学家对社会行为的关注，即，尝试理解相互作用的简单个体 之间在大尺度范围内涌现出来的规则性和群体行为。 其实用物理模型来解释社会现象要早于用统计模拟来解释物理现象，对于大 量人群的集体行为的量化分析，如出生率、死亡率、犯罪率等的统计需求大大刺 激了统计的发展，激励科学家和哲学家提出量化分析的方法。社会科学中的统计 应用的重要性在m a j o r a n a 的最著名的第十篇文献中曾被预言【4 3 】，只是到最近才 使得原来使用哲学语言描述的的社会现象发展成为使用具体的数学物理方法来研 究，社会学家和物理学家等都希望用尽可能简单的模型分析来解释现有的大量数 据。关注社会动力学的统计物理学家致力于解释人类的从有序到无序的现象，如 有共同的观点，文化，语言等，而关键因素都是个体之间是相互作用使得个体之 间更相似。 舆论是典型的复杂系统。舆论是由许许多多的社会个体的意见相互作用而形 成的，其发展变化受到自然、社会、经济、文化、政治、法律等各种因素的影 响，因而它的演化过程具有高度的复杂性、开放性、不确定性、非平衡性、自组 织性等复杂系统的特征： 舆论的开放性表现在任何个体都可能成为舆论演化系统的对象，或因为生命 的终结等其他原因而从系统中突然消失，以及它的边界的不确定性上：舆论活动 的方式、手段是多种多样的，舆论情绪涨落也少有规律性，在时间上，舆论有的 7 博士学位论文 d o c t o r a l d i s s 目阳脯t 1 0 n 朝生熄灭，有的持续数月、数年，在社会空间上，蔓延边界即难于寻觅形成的， 也无以判断最后消失的极限，加之，公众的参与和退却的随机性，所有这些都势 必表现为舆论运动的随机性、不确定性和非线性。舆论是由社会公众所参与的群 体的意识活动来体现的。由于人的性格、人们之间的关系、文化背景等人的因素 存在差异，人的意见本身对他人的作用具有复杂性、多样性，以及外界噪声的影 响，将导致舆论演化的非平衡性。系统的自组织性是建立在系统的开放性、非平 衡性和非线性的基础上的，是一个开放的非线性耗散系统所具有的基本特征。某 些舆论曾经轰动一时，不久即行消失，但在适当的时候，它又会重现于世，又显 示出某种规律性。人们常常惊叹现实实际和历史有着惊人的相似，有的人甚至 说，你要知道历史吗? 就看现在：你要认识现在吗? 就请看看历史；这些说明舆 论系统存在自相似性。 舆论动力学到目前发展为止，都只是各个学者的初步尝试，目前为止还没有 一个统一的理论框架。第一个被物理学家提出的舆论动力学模型是w e i d l i c h 4 4 1 ， 此模型是在概率论社会动力学基础上提出来的，随后i s i n g 模型的提出使得这个模 型第一次出现在舆论动力学中【4 5 】，自旋之间的耦合代表了相互作用的个体对， 磁矩则代表了社会的主流意见，在上个世纪，物理学家们活跃在舆论动力学中， 并提出了很多模型，如v o t e r 模型，m a j o r i t yr u l e 模型，基于有限信任的置信区间 提出的模型等等，并且这些模型也很好的解释了社会现象，如政治中的巴西，意 大利，波兰选举 4 6 】，在不同历史时期和不同国家的选举，却存在相同的标度行 为【4 7 】，经济中的股票价格【4 8 等，最新最全的一篇综述可参考 4 8 】，这个领域也在 国内掀起了热潮，最新的书包含了各个领域f 3 7 1 。 本文的工作以舆论动力学为基础，包括各种网络上的舆论动力学以及自适应 网络上的舆论动力学。作为必要的理论基础，本文第二章介绍描述复杂网络拓扑 结构的基本物理量、网络的分类和一些相关模型而第三章简要介绍舆论动力学的 研究特点以及几个主要模型。第四章和第五章是本文的主要部分，主要介绍了我 们的研究工作。在第四章中我们在推广小世界网络，小世界网络，具有集团结构 的无标度网络这三种不同网络上的s z n a j d 模型的动力学特征研究。根据现实二维 空间以及地理约束构建的推广小世界网络上，探讨了在增加网络的长程连接数量 8 博士学住论文 d o m i 认l d i s $ i b l t a t k ) n 和长程连接的长度这两个参数变化的情况下，导致的s z n a j d 性质变化，结果表明 随着网络参数的增加，小世乔性质的增强，s z n a j d 模型的驰豫时间在一定参数范 围内减小并且铁磁吸引子出现的概率不同；不同于推广小世界网络中完全探讨网 络结构对于演化性质的影响，在小世界网络上的演化还提出了个体持续度的概 念，即个体对自己原有态的持续程度，采用异步更新方式，考虑了两种不同的个 体持续度策略和小世界网络的长程连线数量这两个参数影响下，发现增加网络连 线可以减少驰豫时间和决定时间，并且这两种时间都会在不同的个体持续度决策 下呈现不同程度的衰减；在具有集团结构的无标度网络中，模型的驰豫时间会随 着集团强度的增加而增加，并且在采取三种传播节点对的策略时，发现系统最终 出现一致态的概率随着初始态密度和集团强度而不同，而且存在着最优策略。第 五章讨论了自适应网络上的舆论动力学，在连续态的s z n a j d 模型中，如果个体中 间的态差别在一定程度内则按顺磁性规则演化，否则这两个个体之间的连线重 绕，发现这样的自适应网络由于增加了个体之间的耦合会利于集团的形成，而且 重绕的概率越大越易生成集团。同时也介绍了相关的自适应网络上的舆论模型。 第六章为工作总结和展望。 9 博士学位论文 i x 3 c t o r a l d 璐懿强m 虹。1 0 n 第二章 复杂网络的基本概念和特征 复杂网络是- - 1 7 包括各种学科的新兴领域，这个领域可以追溯至u f l o r y 4 9 1 、 p a p o p o r t 5 0 - 5 2 、e r d s s 和雕n 妒f 5 3 5 5 】早在二十世纪四五十年代的工作，只是 现在科学家才开始关注到这个领域。网络的兴起源于真实世界的网络远远 不同于纯粹的随机网络，它有丰富的圈和幂率连接度分布行为。这些现象 鼓动了两个重要的研究成果的发现：w a t t s 和s t r o g a t z 的小世界网络模型【5 6 】以 及b a r a b a $ i 和a l b e r t 的无标度网络模型f 5 7 】。虽然图论是一个在数学和计算机理 论科学中早已成熟发展的学科，但是随着最近大量网络研究涉及到社会科学， 生物和物理等各个领域，这些领域的科学家们不仅仅是应用这些已有的工具和 概念来考察真实网络的数据和性质，还对网络的拓扑演化产生了浓厚的兴趣。 随着计算机计算能力的提高以及对真实网络的数据搜集能力加强，类似于发现 的i n t e r n e t 5 8 和w w w 5 9 6 0 1 的标度无关性使得网络新兴领域的研究逐步成为热 门。 网络研究成为一个热门的主要原因还因其灵活性和表示任何自然结构的广泛 性，包括经历着拓扑变化的动力学。事实上，每个离散结构，诸如树、网格，都 可以用图来表示，这样对于用网络这样的工具来研究复杂系统就不足为奇了。另 外一个感兴趣的原因是研究网络的演化行为，研究网络拓扑结构在演化过程中的 行为特征。这两类都是基于研究网络