（理论物理专业论文）原子分子玻色爱因斯坦凝聚系统的量子动力学研究.pdf

原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚系统 的量子动力学研究 理论物理专业 研究生郭俊杰指导教师谢征微 摘要随着稀薄碱金属原子气体中玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ，缩写为b e c ) 现象的实现，原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚系统 已经引起了人们的极大兴趣。通过磁场f e s h b a c h 共振技术，人们可以有效调节 原子间的相互作用从而达到操控该系统的目的；特别地，在共振磁场附近，系 统会呈现出丰富的物理性质。 在理论研究方面，已有的工作大多只考虑了初态处于福克态时系统的动力 学行为，对相干态系统的关注不够。本论文将采用量子方法和相空间的准几率 分布函数一q 函数来研究一个二分量玻色原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚体系统 当初态处于福克态和相干态时的演化行为。 本篇论文的内容分为两章。第一章主要介绍了b e c 的基础内容、实现b e c 的相关技术、g r o s s p i t a e v s k i i 方程( 简称g - p 方程) 以及已有的一些重要的 理论工作。第二章是对一个二分量玻色原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚体系统动 力学性质的研究。我们首先将描述系统的哈密顿量直接数值对角化，然后借鉴 前人关于激光与冷原子相互作用系统的研究成果，利用相空间的准几率分布函 数一q 函数分别研究了初态处于福克态和相干态两种情况下系统的演化行为，比 较了二者的差别，并探讨了粒子间非线性相互作用对系统演化的影响。此外我 们还讨论了系统中原子一分子转化效率的问题。由于粒子间的非线性相互作用可 通过外场调节，所以该研究除了可以加深对原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚体系 统中非线性现象的理解外，还可以为操控该系统及其在精密测量上的应用提供 有用的信息。 关键词：原子分子玻色一爱因斯坦凝聚体准几率分布函数非线性相 互作用 u q u a n t u md y n a m i c si naa t o m - - m o l e c u l e b o s e - - e i n s t e i n c o n d e n s a t e m a j o r i nt h e o r e t i c a ip h y s i c s p o s t g r a d u a t eg u oj u n j i es u p e r vis o rp r o f e s s o rx i ez h e n g w e i a b s t r a c tw i t ht h ee x p e r i m e n t nr e a l 【i z a t i o no fab o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) i nd i l u t ea l k a l ig a s e s ，t h es y s t e mo fa t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sh a ss t i m u l a t e dg r e a ti n t e r e s ti nt h ef i e l do fu l t r a c o l dp h y s i c s r e s o r tt om a g n e t i c f e s h b a c hr e s o n a n c e ，p h y s i c i s t sh a v eb e e na b l et om a n i p u l a t et h es y s t e mb yc o n t r o l i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m s p a r t i c u l a r l y , t h es y s t e ms h o w sv e r yr i c hp r o p e r t y n e a rt h em a g n e t i cf i e l do fr e s o n a n c e a sf o rt h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，m o s te f f o r t sp a ya t t e n t i o nt ot h es y s t e mo ff o c k s t a t e s ，a n df e wa r t i c l e sr e f e rt ot h es i t u a t i o no fc o h e r e n ts t a t e s b yq u a n t u mm e a n s a n dt h eqf u n c t i o no fp h a s es p a c e ，t h i st h e s i sw i l ls t u d yt h ee v o l u t i o nd y n a m i c so fa t w o - - m o d ea t o m - m o l e c u l eb o s e - - e i n s t e i nc o n d e n s a t es y s t e mw h o s ei n i t i a ls t a t ei si na f o c ks t a t ea n dac o h e r e n ts t a t er e s p e c t i v e l y t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sar e v i e wa b o u tt h e b a s i cc o n t e n t so fb e c ，r e l e v a n te x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e s ，g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o n ( g pe q u a t i o n ) a n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a lj o b s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d y t h ed y n a m i c a lp r o p e r t yo fat w o - m o d ea t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s y s t e m w ed i a g o n a l i z et h eh a m i l t o n i a nf i r s t u s i n gt h eqf u n c t i o n ，w es t u d yt h e t e m p o r a le v o l u t i o nd y n a m i c so ft h es y s t e mf o rt w od i f f e r e n ti n i t i a ls t a t e s ，af o c k s t a t ea n dac o h e r e n ts t a t e c o m p a r et h ed i f f e r e n c ea n dr e s e a r c ht h ee f f e c t so ft h e n o n l i n e a ri n t e r a c t i o nt ot h ee v o l u t i o nd y n a m i c so ft h es y s t e m e l s e ，w er e f e rt ot h e c o n v e r s i o ne f f i c i e n c yb e t w e e na t o m sa n dm o l e c u l e s a st h en o n l i n e a ri n t e r a c t i o n i i i c a l lb ea d j u s t e de a s i l y , t h es t u d yc o u l dg i v eu ss o m eu s e f u li n f o r m a t i o nf o ru n d e r - s t a n d i n gt h en o n l i n e a rp h e n o m e n ai na t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n s y s t e m s ，m a n i p u l a t i n gb e cs y s t e m sa n dp r e c i s em e a s u r e m e n t k e yw o r d s ：a t o m - m o l e c u l eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s q u a s i p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n sn o n l i n e a ri n t e r a c t i o n i v 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师进延徵塾捶指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：亨fc 是王 导师签名：；玳气工 犰 签字目期：2 。，年r 月多 日 签字日期：如【年月 日 第一章玻色一爱因斯坦凝聚 1 1 玻色一爱因斯坦凝聚( b e e ) 简介 玻色一爱因斯坦凝聚开始于印度物理学家s b o s e 对p l a n c k 黑体辐射问题 的研究。在假设光子可以被看作是全同粒子的基础上，b o s e 于1 9 2 4 年重新考 虑了p 1 a n c k 黑体辐射问题并精确推导出p l a n c k 公式【l 】；e i n s t e i n 意识到b o s e 工作的重要性并把这种方法推广到了全同粒子理想气体【2 】，这就是著名的 b o s e e i n s t e i n 统计。在此基础上，e i n s t e i n 于1 9 2 5 年指出在温度足够低的情 况下理想玻色气体中的原子会聚集在基态，这种现象称为玻色一爱因斯坦凝聚。 在此后的半个世纪内，由于找不到降低原子温度的有效方法，有关b e g 的 实验研究进展缓慢。直到二十世纪八十年代，华裔物理学家朱棣文( s c h u ) 等 人发展起来的激光冷却技术 3 叫终于开启了超冷原子物理研究的大门；他所在的 小组首次把钠原子冷却到了2 4 0 肚，让人们看到了b e c 的曙光。随后发明的 磁光阱( m o t ) 【7 j 技术和气室m o t 8 】技术进一步促进了超冷原子物理研究的迅速发 展。1 9 9 5 年，美国科罗拉多大学和美国国家标准局的联合天体物理实验室 ( j i l a ) 、r i c e 大学和m i t 的研究小组先后成功地将稀薄碱金属原子气体冷却 到了量子简并状态，从而在实验室里真正实现了b e c 9 - l l 】。 下面分三小节介绍玻色一爱因斯坦凝聚的基础内容。 1 1 1 玻色子和费米子 按照自旋的不同，基本粒子可以被分为玻色子和费米子。自旋为整数倍h 的 粒子称为玻色子，最常见的玻色子是光子，它的自旋是h 。自旋为半整数倍h 的 粒子称为费米子，如质子、中子、电子等都是费米子，它们的自旋为忽2 。那 么如何判断一个复合粒子到底是玻色子还是费米子呢? 比如说要判断一个碱金 属原子属于玻色子还是费米子，就要看它所包含的基本粒子的自旋之和是壳的 整数倍还是半整数倍，如果是整数倍，这个粒子就是玻色子；反之，如果和是 半整数倍，它就是费米子。因为原子核内的质子数等于核外的电子数，也就是 说质子的自旋与电子自旋的和是整数倍的壳，所以原子核内中子的数目就决定 了这个原子是玻色子还是费米子；因为中子本身就是费米子，所以中子数为偶 数的原子是玻色子，中子数是奇数的原子为费米子。 玻色子和费米子遵守完全不同的统计规律。费米子受泡利不相容原理的限 制，服从f e r m i d i r a c 统计规律，即一个量子态上最多只能容纳一个费米子， 它们在温度很低时会形成费米海。玻色于满足b o s e e i n s t e i n 统训，聚集在同 一个量子态上的粒子数不受限制，当温度很低时，在无相互作用( 在实际系统 中粒子间会存在微弱的相可作用) 的原子气体中，众多的玻色子会同时处在 基态上，形成b e c 。罔11i 是1 l i ( 玻色原子) 和6 l i ( 费米原子) 气体在低 温下的实验结粜i i “。从图中我们可以看出当温度降低时7 f 气体出现r 凝聚现 象，而6 血气体的尺寸达到一定值时就不再减小。实际上，只有在非常低的温 度下( 一般温度至少要降低到肚量级) ，玻色子体系和费米子体系才会表现出 各自明显的宏观量子统计性质。 图111 低温下7 l i 和6 l i 气体的统计性质 2 简单的冷原子图像 微观粒f 的波粒二象件可以由德布罗意关系式表达如下： = h p ( 1l _ 1 v = e h( 1 1 2 ) k = h 4 2 7 d 1 4 k 口t ( 1 1 3 ) ( 1 1 3 ) 式中乃。是原子的德布罗意波长。当温度比较高( 比如在室温下) 时德布罗意波长远远小于原子间的平均距离，这时原子就会表现出经典粒子的 行为，如图1 1 2 ( a ) 所示；图1 1 2 ( b ) 表示的是德布罗意波长会随着温度 的降低而逐渐增大，当它与原子间的平均距离可比拟时，原子就会表现出波动 性，此时的原子可以被当作波包来处理。如果继续降低原子的温度，德布罗意 波长就会进一步增大，这些波包就会交叠起来而无法分辨，原子会表现出明显 的波动现象，如图1 1 2 ( c ) 所示。只有在温度降低到使两个波包无法分辨的 情况下，粒子的量子统计特性才会强烈地影响粒子的行为，这时玻色子会形成 b e c ，费米子会形成费米海。如图1 1 3 所示。 g 卜z 帼 ( a ) 如 ， 图1 1 2 随着温度的降低，原子表现出波动性 哥冒 t c 垒_ a 气体 酶低温度 图1 1 3 玻色子与费米子在低温下不同的量子行为 色子 米子 1 1 3 理想气体的b e c 在热平衡状态下，考虑温度为t 时由n 个全同、近独立的玻色子组成的系 统，如果以t ，表示处于岛能级的平均粒子数，则有瓦，= 1 ( e x p ( 6 - a ) k 占t - i ) 。 其中，k 口是玻耳兹曼常量，为粒子的化学势。 在体积v 内，能量在占到o o + d 占之间的粒子的可能的状态数为： d ( 占) d 占：_ 2 n f v ( 2 m3 2 e 1 2 d 占 ( 1 1 4 ) 结合玻色分布公式，可得相应的粒子数为： 柳= 等( 2 矿 ， 对上式积分，可得体积v 内系统的总粒子数： = 等c 2 酽雾篙 “， 由( 1 1 6 ) 式可知，在总粒子数给定的情况下，降低系统的温度丁就 会使化学势升高。考虑到理想玻色气体的化学势恒小于零，则系统有一个 临界温度乏，使得当t = 疋时，达到最大值。此时 = 等c 2 雾毙= 一r 万x 1 2 d x ， 其中 f 。o x = 2 6 1 2 ( 1 1 8 ) ,xld2dxjo e1 、1 1 。7 由式( 1 1 7 ) 可得临界温度为： 正= 丽h 2 丽n 万) 2 3 ( 1 1 9 由于化学势。t _ 百d , w r 零，所以当系统的温度t 时，总粒子数将不再 是一个常数，这是不合理的。 系统的实际粒子数应为： 4 = 莩耻莩南 实际上，在上面的推导过程中做变换= s od ( 占) 如时，漏掉了能级s = 0 上的粒子数： = 志 考虑到( 1 1 1 1 ) 式，则实际系统的总粒子数应为： + 等c 2 矿i 高 当温度足够高时，处在能级占= 0 的粒子非常少，可以忽略。但在低温下情 况就不同了，特别地，当t = 0 时，( 1 1 1 2 ) 式右边的第二项将变为零，于是 有n = n 。，这就意味着玻色子全部集聚在s = 0 的能级上，即系统中出现了玻色 一爱因斯坦凝聚现象。此外，由式( 1 1 9 ) 我们可以看出，实现b e c 的方法有 两种：第一种方法是降低系统的温度丁，使其低于临界温度r ；第二种方法是 提高原子云的密度，使其大于给定温度下的临界密度。实验室里产生b e c 通常 采用第一种方法。 1 2 实现b e o 的相关技术 实现原子系统的玻色一爱因斯坦凝聚的关键是要将原子气团的温度降低到 至少肚量级。1 9 7 5 ，h a n s c h 和s h a w l o w 等人提出了利用共振激光使原子减速 的冷却方法【l 引。之前，l e t o h o v 等人也于1 9 6 8 年发现共振散射的偶极作用力可 以减慢原子的速度从而将原子俘获在光束之中。然而，真正突破性的技术是 1 9 8 5 年朱棣文( s c h u ) 等人发展起来的激光冷却技术，通过这种技术，朱棣 文等人首次把钠原子冷却到了2 4 0 以。1 9 8 6 年，d a li b a r d 和p r i t c h a r d 发展 了磁场和光结合的冷却技术。在此基础上，朱棣文等人和c o h e n t a n n o u d j i 的 研究小组提出的冷却方案可以把氦原子在一个方向上冷却到1 肚。最终在1 9 9 5 年，w e i m a n 的研究小组成功地把稀薄铷原子气体冷却到0 1 7 肚，从而首次在 实验室里实现了原子的玻色一爱因斯坦凝聚。 1 2 1 激光冷却与磁光阱技术 根据多谱勒效应，我们知道当原子在频率稍微低于其跃迁能级差且相向传 播的激光束中运动时，原子一般会吸收与它作相向运动的光子，而很少吸收与 它运动方向相同的光子。光子被原子吸收后随即就会自发辐射，所以平均看来， 就产生了一个阻碍原子运动的作用力，使原子减速，从而将原子冷却下来。在 实验室里，通常将三对相对传播的激光束安置在三个互相垂直的方向，就形成 所谓的“光学粘团”，这一装置可以在三维方向上冷却原子。这就是激光冷却 技术。 a 三维的情况 图1 2 1 范萤 用 ： b ) 一维晌浒况 磁光阱原理图 s ；l s z o 图1 2 1 是磁光阱的原理图。三对偏振方向相反( 盯+ 光和仃一光) 且相向 传播的激光束同时射向装有样品的真空气室中心。将两个通有反向电流的线圈 如上图所示安置好，这样的设计会使线圈周围空间产生非均匀磁场，且在坐标 原点处，磁场为零。基态原子的自旋s = 0 ；而激发态原子的自旋s = 1 ，能级 有三个：m = 0 ，l 。调节激光频率国使其略低于原子的跃迁频率，那么根 据选择定则，我们知道a = + 1 的跃迁只与盯+ 光有关而a = - 1 的跃迁只与 仃一光有关；于是在z 轴下方的原子更多吸收仃+ 光，而在z 轴上方的原子更多 6 吸收盯一光，它们都受到指向原点处的力。x 轴和y 轴情况也是如此。这样，原 子最终被冷却并囚禁到气室的中心。 1 2 2 蒸发冷却技术h 4 1 h e s s 在1 9 8 6 年发表的一篇文章中首先提出将原子蒸发冷却的方法【1 5 】，此 后不久人们就用该方法成功冷却了自旋极化的氢原子。蒸发冷却技术就是剔除 掉磁阱中能量较高的原子，使得剩余的原子在通过频繁的弹性碰撞之后达到热 平衡，当然这时系统的温度比原来要低。然后继续剔除高能量的原子，使磁阱 中剩下的原子再达到温度更低的热平衡，反复采用这种方法就可以逐渐降低原 子气体的温度。 实验室通常采用一个射频磁场来实现蒸发冷却。当选择适当的射频场频率 时，磁阱中能量较高的原子就会逸出磁阱，然后逐渐调低射频场频率，将更多 的能量较高的原子从磁阱中剔除，系统的温度也就逐渐降低。蒸发冷却技术的 关键是：( 1 ) 极高的背景真空度，这是为了保证原子能够被长时间地囚禁在势阱 里以便于完成蒸发冷却的过程；( 2 ) 缩短系统重新达到热平衡所需的时间，这 就要求磁阱中原子的密度较高且具有较大的弹性碰撞截面。 1 2 3 静磁阱技术n 4 1 根据电磁理论，我们知道磁场可以将具有固有磁矩的粒子囚禁在磁场极小 点处。设磁场强度为b ，粒子的磁偶极矩为西，则磁场对该粒子的作用力 b = 一v ( 豆b ) ，所以静磁阱可以被用来囚禁中性原子。实验室里通常采用的静 磁阱是由一对通有反向电流且半径相等的线圈形成的四极阱( 线圈间距等于其 半径的i 2 5 倍) ，这样的设计会使得静磁阱中心处的场强为零。利用这种磁阱， n i s t 小组把激光冷却后的原子囚禁了l s 以上【1 6 】。因为静磁阱中心处的磁场强 度为零，而中心处附近的磁场方向变化剧烈，所以当处于定自旋态的原子经 过静磁阱中心处时，其自旋取向就可能发生变化，而那些自旋取向发生反转的 原子就很容易逸出阱外。静磁阱设计上的这一特点严重地限制了阱中原子密度 的增加。为了克服静磁阱技术的这一缺陷，科学家们提出了“t o p 阱、“i o f f e ” 阱、“光学塞孔”阱等等。 ( 1 ) “t o p ”阱 将一个以几m h z 旋转的小的横向磁场叠加在磁四极阱上就形成了时间平均 轨道势阱( t i m e a v e r a g e do r b i t i n gp o t e n t i a l ，t o p ) 。横向磁场旋转频率的选 择既要使原子的自旋取向能够缓慢地跟随所在点的磁场方向的变化而变化，又 要使外势场的时间平均能够决定原子在空间的运动。通过以上设计而形成的时 间平均轨道势阱实际上为阱内的粒子提供了一个椭球面形简谐势场，如图 1 2 2 所示。由于势阱最小点附近的场强非零，且变化平缓，所以能够克服磁 四极阱容易使原子逸出阱外的缺陷。 图1 2 2“t o p ”阱的形成 ( 2 ) “i o f f e 阱 图1 2 3 为i o f f e 磁阱的结构示意图，该磁阱是由六块两两相对的圆柱状 永久磁铁组成的，它们沿着x 轴、y 轴、z 轴方向置。这六块磁铁按照不同的磁 极有序放置，如图1 2 3 所示。竖直方向的两块磁铁会产生偶极磁场，而水平 方向的磁铁则提供了一个磁四极场。这样设计而成的“i o f f e ”阱其中心处的磁 场强度不为零。由于中心处场强不为零，所以该磁阱可以减缓通过其中心且处 于一定自旋态的原子的运动速度，从而阻止其逸出势阱。正是利用“i o f f e ” 阱，h u l e t 实验小组于1 9 9 7 年成功囚禁了7 f 原子【1 7 】。 图1 2 3 “i o f f e ”阱的结构 科学家们为了克服四极阱的缺陷还提出了“光学塞孔”阱和“c l o v e r l e a f ” 阱，它们也可以有效阻止原子的逃逸，从而提高磁阱中原子的密度。 1 2 4b e c 的观测技术4 。 目前实验室通常利用共振吸收成像技术来观测b e c 的形成。利用这种技术 不仅可以确定原子的密度、数目、温度还可以探测原子的空间分布。共振吸收 成像技术的过程为：首先瞬间撤去磁场，于是在低温下凝聚的原子云就会自由扩 散，然后用共振脉冲光在不同的时刻探测原子云。由于原子能够吸收共振光， 所以在探测光中会出现一片阴影区，然后利用c c d 装置对透射光成像并将得到 的图像进行数字化处理，最终会得到原子云在每一点的光学厚度。逐点校正由 以上手续所获得的一系列飞行时间( t i m e o f f l i g h t ，t o f ) 图像，就可以得 到扩散原子云的二维速度分布( 注：利用共振荧光方法可以测量出距冷原子团中 9 心一定距离处荧光强度的时间演化，从而可以求得冷原子的速度分布，再根据 量子统计理论可以推出冷原子的温度。这种方法就是飞行时间测量法) 。 扩散原子云的二维速度分布曲线包含了原子的许多信息：对曲线所包围面 积作积分，所得结果正比于总的原子数；对零速度附近出现的窄特征峰的峰值 曲线所包围面积作积分，所得结果正比于基态的原子数；通过测量扩散原子云 的平均半径和扩散时间就可以求得原子的平均扩散速度和平均能量等特征参 量。共振吸收成像技术也有弊端，原因是原子会强烈地散射共振光子，所以利 用共振光探测原子云会提高原子云的温度从而在一定程度上破坏b e c 。 1 3b e c 的理论研究 1 3 1g r o s s - p i t a e v s k ii 方程 g r o s s p it a e v s k ii 方程【1 8 乏0 1 ( 简称g - p 方程) 是由g r o s s 和p it a e v s k ii 利用平均场理论各自独立地推导出来的，后来在玻色一爱因斯坦凝聚领域获得了 广泛的应用。在这类型的问题中，由g - p 方程可以导出粒子的密度与动量的分 布并能够与b e c 实验结果符合得很好。 稀薄玻色气体出现玻色一爱因斯坦凝聚后，粒子之间的相互作用是非常微弱 的，当温度非常低时，将热量和粒子的损耗忽略，可得到描述场算符的非线性 薛定谔方程： 晓掣_ - 芸v 2 + 晰) + 叭尹力w 吲蛳黼力( 1 3 1 ) 其中，p ) 是外囚禁势，m 为原子质量，y p 一尹) 描述两体之间的相互 作用，表示式为： y ( 尹一尹) = g 。万( 亏一弓) l3 2 ) i p l 口) = 昙m 卢) 1 2 ( 2 3 3 0 ) = 去e 卅卜m 其中= 0 和时分别得到分子场和原子场的q 函数。由该式可知，初态 时分子场q 函数图的等高线关于z 轴旋转对称，原子场的q 函数图的等高线关 于与z 轴平行的某条直线旋转对称( 如图2 3 5 所示) ；平均粒子数的大小决定 了对称轴偏离原点的程度；而等高线所及的范围则代表了相空间中量子涨落的 区域。因为初始时刻分子场处于真空态，因此图2 3 5 显示准几率分布的等高 线为一组以坐标原点为圆心的同心圆；而原子场所对应的等高线则为一系列圆 心偏离原点的同心圆，这意味着此时所有粒子均集中于原子场，并且原子场在 相空间中呈现对称的量子涨落。 ：。滁i l ( i ! 一 图235 r = 0 时( t = 伊) ，相干态系统中原于场、分子场的q 幽数分布图及等高 线图。参数选择：九= o o l g 、d = - 25 n l 、口。= - , 3 4 ( 即初始时刻平均原于数 ( ) = l “。f = 3 4 ) 。图中左边两囤为原于场的q 函数分布图及二维苒高线，右边两图为分 于场的q 函数分布图及二维等高线。 随着时间的演化，当t = 0 4 4 时，q 函数分布如图23 6 所示。我们可以 看出原子场和分子场所对应的等高线的中心相对于各自的初始位置都有了一定 的移动。对于分子场而言，其等高线的中心偏离了原点，这表示经过一段作用 时间后，系统中已经有分子形成；相应地比较图2 3 5 与图23 6 中原子场的 等高线对中心的偏离程度可以看出平均原子数有所减少。两场之间的这种量子 “交换”来自于哈密顿量中系数为g 的转化项。另一方面，与图2 3 5 相比， 图236 中原于场和分子场的等高线都发生了一定的形变，即在某些方向被“压 缩”了，这是福克态系统没有的现象。这种“压缩”意味着原子场和分子场量 子涨落分布发生了变化，物理上它根源于系统中原子一原子、分子一分子和原子一 分于的非线性相互作用，即与( 2 3 1 ) 中系数为k 、屯和九的非线性项有关； 这些非线性项可以引起原子场、分子场的自相调制和互相调制，自相调制和百 相调制最终导致了原于场和分子场量子涨落的变化。 。令_ 令 1 0 r 1 。1 5 if ；。蟪 弋 5 1 3 f 百丁； r “e ) 圈236t = 04 4 时( t = g t ) ，相干态系统中原于场、分于场的q 函数分布幽及 等高线圈。参数选择同图235 。 图237 给出了演化时刻t = 0 , 9 时原于场和分子场的q 函数分布。可以 看出与图23 6 相比，图2 3 7 中各场的等高线无论从形状还是其中心的位置 都发生了进一步的变化，这表明随着演化时间的增加，原子场和分子场的量子 数、量子涨落都有了进一步的变化。从原于场、分子场各自对应的等高线中心 所在相空间的位置来看，此时原干数再次多于了分子数。 从以上的分析可以看出，当系统初态处于相干态情况下，由于受非线性相 互作用的影l 向- 在演化过程中原子场和分子场在相空间的量子涨落分布发生了 显著的变化。 玲_ 食” 图23 7t = 0 9 时( t = 矿) ，相干态系统中原子场、分子场的q 函数分布图及等 高线圈。参数选择同图2 35 。 2 34 结论 通过哈密顿量直接数值对角化的方法，利用量子方法计算了初态处于福克 态时原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚系统中粒子数布居随时问的演化，结果显示， 随着时间的增加原子一分子转化率慢慢降低，当继续增加相互作用时间时又会有 所升高；对于不同的初始总粒子数，我们发现大粒子数系统转化率较低。借助 相空间的准几率分布函数一q 函数，本论文还分别研究了初态处于福克态和相 干态两种情况系统的时问演化行为，结果显示，初态为福克态时，系统在随时 间演化过程中原子场和分子场的q 函数在相空间的分布是对称的，这意味着相 空间中的量子涨落总是呈现对称形式；而初态为相干态时，系统在演化过程中 由于原子一原子、分子一分子和原子一分子之间的非线性相互作用的影响，原子场 和分子场的q 函数图在相空间的分布不再是对称的形式，其量子涨落受到了不 同程度的“压缩”。由于非线性相互作用和失谐量等可通过外场调节所以该研 一 5 0 4 巴 一一 国憋 1jjliljj士 究可为操控原子一分子玻色一爱因斯坦凝聚体系统及其在精密测量上的应用提供 有用的信息。 参考文献 1 s b o s e p l a n c k sg e s e t zu n dl i c h t q u a n t e n - h y p o t h e s e z p h y s i k ，19 2 4 ，2 6 ：17 8 181 2 a e i n s t e i n s i t z u n g s b e r k l g p r e n s s a k a d 、m s s ，19 2 4 ：2 61 2 6 7 ，a n dq u a n t e n t h e o r i ed e s e i n a t o m i g e ni d e a l e ng a s e si i p r e n s s a k a d w i s s 1 9 2 5 ：3 - 1 4 3 】s c h u ，l h o l l b e r g ，j b j o r l d a o l m ，e ta 1 t h r e e d i m e n s i o n a lv i s c o u sc o n f i n e m e n ta n dc o o l i n g o f a t o m sb yr e s o n a n c er a d i a t i o np r e s s u r e p h y s r e v l e t t ，1 9 8 5 ，5 5 ：4 8 5 1 【4 】d s e s k o ，c gf a n ，a n dc e w i e m a n p r o d u c t i o no fac o l da t o m i cv a p o ru s i n gd i o d e 1 a s e r c o o l i n g j o p t s o c a m ，1 9 8 8 ，b5 ：1 2 2 5 1 2 2 7 【5 】p a u ld l e t t ，r i c h a r dn w a t t s ，c h r i s t o p hi w e s t b r o o k ，e ta 1 o b s e r v a t i o no fa t o m sl a s e r c o o l e d b e l o w t h e d o p p l e r l i m i t p h y s r e v l e t t ，1 9 8 8 ，6 1 ：1 6 9 1 7 2 。 【6 】h j m e t c a l f , v a i ld e rs t r a a t e n l a s e rc o o l i n ga n dt r a p p i n g s p n n g e r19 9 9 7 e l r a a b ，m p r e n t i s s ，a l e xc a b l e ，e ta 1 t r a p p i n go fn e u t r a ls o d i u ma t o m sw i t hr a d i m i o n p r e s s u r e p h y s r e v l e t t ，19 8 7 ，5 9 ：2 6 31 - 2 6 3 4 【8 】c m o n r o e ，w s w a r m ，h r o b i n s o n ，e ta 1 v e r yc o l dt r a p p e da t o m si nav a p o rc e l l p h y s r e v l e t t , 1 9 9 0 6 5 ：1 5 7 1 1 5 7 4 9 m h a n d e r s o n ，j r e n s h e r , m r m a t t h e w s ，e ta 1 o b s e r v a t i o n o fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o ni nad i l u t ea t o m i cv a p o r s c i e n c e ，1 9 9 5 ，2 6 9 ：1 9 8 2 0 1 10 】kb d a v i s ，m o m e w e s ，m r a n d r e w s ，e ta 1 b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nag a so f s o d i u ma t o m s p h y s r e v l e t t ，19 9 5 ，7 5 ：3 9 9 6 3 9 9 9 【11 】c c b r a d l e y , c a s a c k e r ，j j t o l l e t t ，e ta 1 e v i d e n c eo fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni n a l la t o m i cg a s 谢吐1a t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s p h y s r e v l e t t ，1 9 9 5 ，7 5 ：1 6 8 7 1 6 9 0 1 2 d gf r i e d ，t c k i l l i a n ，l w i l l m a n n ，e ta 1 b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fa t o m i c h y d r o g e n p h y s r e v l e t t ，1 9 9 8 ，8 l ：3 8 1 1 3 8 1 4 ， 【l3 】t h a n s c h ，a s c h a w l o w c o o l i n go fg a s e sb yl a s e rr a d i a t i o n o p t c o m u n ，19 7 5 ，13 ： 6 8 6 9 【1 4 】王晓辉，李义民，王义道玻色爱因斯坦凝聚的物理实现及其应用展望物理，1 9 9 8 ， 2 7 ( 1 ) ：3 1 0 15 】h eh e s s e v a p o r a t i v ec o o l i n go fm a g n e t i c a l l yt r a p p e da n dc o m p r e s s e ds p i n - p o l a r i z e d h y d r o g e n p h y s r e v b ，19 8 6 ，3 4 ( 5 ) ：3 4 7 6 3 4 7 9 3 5 【1 6 a l m i g d a l l ，j vp r o d a n ，a n dw d p h i l l i p s f i r s to b s e r v a t i o no f m a g n e t i c a l l yt r a p p e d n e u t r a la t o m s p h y s r e v l e t t ，19 8 5 ，5 4 ：2 5 9 6 2 5 9 9 【17 】c c b r a d l e y , c a s a c k e a ，a n dr gh u l e t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fl i t h i u m ： o b s e r v a t i o no fl i m i t e dc o n d e n s a t en u m b e r p h y s r e v l e t t ，19 9 7 ，7 8 ：9 8 5 9 8 9 【1 8 l p p i t a e v s k i i v o r t e xl i n e si na i li m p e r f e c tb o s eg a s s o v p h y s j e t e1 9 6 1 1 3 ：4 5 1 _ 4 5 4 【19 e p g r o s s s t r u c t u r eo faq u a n f i z e dv o r t e si nb o s o ns y s t e m s n u o v oc i m e n t o ，19 61 ，2 0 ： 4 5 4 - 4 7 7 2 0 n n b o g o l i u b o v o nt h et h e o r yo fs u p e r f l u i d i t y j p h y s m o s c o w ，19 4 7 ，11 ：2 3 3 2 【21 】y k a g a n ，gvs h l y a p n i k o v , a n dj t m w a l m w e n b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nt r a p p e d a t o m i cg a s e s p h y s r e v l e t t , 19 9 6 ，7 6 ：2 6 7 0 - 2 6 7 3 【2 2 y k a g a n ，a e m u r y s h e v , a n dg vs h l y a p n i k o v c o l l a p s ea n db o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n i na t r a p p e db o s eg a sw i t hn e g a t i v es c a t t e r i n gl e n g t h p h y s r e v l e t t ，19 9 8 ，81 ：9 3 3 9 3 7 2 3 e l e v i c h ，vy a k h o t t i m ee v o l u t i o no fab o s es y s t e mp a s s i n gt h r o u g ht h ec r i t i c a lp o i n t p h y s r e v b ，1 9 7 7 ，1 5 ：2