（概率论与数理统计专业论文）二水平因析设计若干问题的研究.pdf

中文摘要 尽管对于正规部分因析设计， 试验者沿用上面全设计的公式， 其实在理论上这 是基于 一 定的 假 设的. 在 m u k e r j e e a n d w u ( 2 0 0 6 ) 中 作者 用投 影几 何的 方法 严格 证明了正规设计的别名集内因子效应值的关系， v (e) = 赤r (f )t e f (a .), 其中人代 表一 个 别 名集 ， 而e f ( 人) 则 是 这 个别 名 集中 所 有效 应的 共同 表 示. 方程 右 端正是w u a n d h a m a d a ( 2 0 0 0 ) 计 算正 规设 计中 因 子效 应的 公式. 在b o s e ( 1 9 4 7 ) 关 于 正交阵 的 划时 代 理 论之后， 人们 将 视野 从正规 设 计开 拓到 一 般正 交设 计 上 来. p l a c k e t t a n d b u r m a n ( 1 9 4 6 ) 给出 一 系 列非 正 规设 计如1 2 个 水 平组 合的 正 交 设计. 这 些设 计有 较复杂 的 别名 关系 ， h a m a d a a n d w u ( 1 9 9 2 ) 称 之 为部 分别 名 关系 ， k u l a h c i a n d b i s g a a r d ( 2 0 0 6 ) 讨 论了 它 的限 于 二阶因 子 效应的 别 名矩阵 . 受 制于 缺少 象 正规 设计的 严格 的因 子 效应 值的 混杂 结构， t a n g a n d d e n g ( 1 9 9 9 ) 和d e n g a n d t a n g ( 1 9 9 9 ) 虽 然 将 正规 设 计的m a准则 ( 我们 称 之为 最小 低 阶混杂准则) 推广到非正规的情形， 却没有给出严格的 理论依据. 本篇论文在第一章对非正规设计因 子效应混杂间题给出了清楚明确地解答， 这 个结论不止是适用非正规正交设计， 同时也适合非正交的任意部分因析设计. 所以 它的理论价值同时也适合平衡和不平衡的超饱和设计. 通过引进单位子群及非正规 设计的别名集的概念， 这个结论可以用如下方程表达. 2 丑-1 ev ( e ) +艺 b ij e e 人7=0,3#i 又v ( e ) 一 1 t (f ) t e f ( a :) , 已 e a r 其中b i,; 是e f ( 人) 与e f ( 冉) 的内 积 的n 分之一 这 个结 论同 时 也涵 盖了 前面 提 到的全设计因 子效应的计算公式、 正规设计的因子效应混杂关系. 在第一章我们还给出利用非正规设计混杂结构来估计重要的因子效应值的一种 方法， 从中我们可以看到非正规设计优于正规设计的一个方面， 论文的第二章， 我们从混杂结构的视角出发， 审视了现有的针对正规因析设计 和非正规因析设计的 最优准则， 得到一些新的结果并提出相关的新的准则. m a准 则 是由f l i e s a n d h u n t e r ( 1 9 8 0 ) 提出， 它 以 正规 设计的 定 义对 照子 群为 基础， 通过顺序最小化字长型来选择最优设计. 近二十年来 ma准则成为正规设计 理论的主流， 许多工作都是沿着这个方向展开的. 它的权威性最近受到多方面的质 疑. z h a n g e t a l . ( 2 0 0 6 ) 发现m a准 则并 非 真 正意 义下 的 最小 低阶 混杂 准则， 并给 出 一 个 新的g m c 准 则( 称为 一般 最小 低阶 混杂 准则 ) ， 该准 则能 够 全面 利用 所 有别 名集来考量设计低阶效应的混杂程度. 我们从混杂结构的观点出 发进一步分析评价了ma准则， 它实际上是选择能够 最 好地 估 计 效应 值v ( i ) 的 正 规设计 为最 优 设 计， 即 总 均值 效应i 受到 有可 能 的 最 轻微的混杂. 我们 证明了 ma最优设计不能最好地去估计其它重要的效应， 即其它 重要的效应不能同时也被最轻微地混杂. 在比 较简单的 情况下 ma最优设计确实 能平衡地照顾各个需要估计的效应. 但复杂情况下 m a设计不一定能达到这种平 衡， 因此我们提出了 关于平衡的概念及相应的平衡准则. 同时我们给出最大分辩度 准则、 纯净效应准则、 g m c准则的分析及其相互关系， 给出它们和平衡准则的 关 系. 我们也研究了 针对非正规因析设计的最小g -混杂准则和最小g 2 -混杂准则. 通 过 混 杂 关 系 我 们 发 现 ， 这 些 最 优 准 则 的 目 的 就 是 降 低 用是 e t (- ; ) 来 估 计v ( i ) j - 1 的风险. 基于此观察， 我们发现上面准则中的一些不合理的成份， 并提出了一个新 的准则一 最小 g 3 一混杂准则. 这个新准则对于超饱和设计也有一定的意义与针对超 饱和 平 衡 设计 的 最小e ( s 2 ) 准则有 一定 关 联. 在论文的第三部分， 我们讨论了关于选择最优二水平稳健参数设计的问 题。 由 于稳 健 参数 设 计 在 理论 上的 重要 性及其 在 工业中 的 应用 价 值， 自 从 t a g u c h i ( 1 9 8 7 ) 提出稳健参数设计以来就受到学者们及工业领域越来越多的关注. 二水平稳健参数 设计是非常重要的二水平因析设计中的一种. 假设系统的表现受到 h +l : 个因子的 影响， 其中 h个是控制因子， 这些因子的 水平一但选定在常规运行中就不能改变; 另外1 2 个是噪声因 子， 这些因子的水平在常规运行中是不能控制的. 稳健参数设计 的目 的就是选择好的控制因子组合， 使得系统的表现不会由于噪声因子的水平变化 而 产 生显 著的 波 动. 我 们用沙 + / 3 - ， 来表 示 一 个有妙 + 1 2 个 水平 组 合的 正规 设 计 矩阵. 文献中 很多作者在选择用于稳健参数实验的最优设计矩阵方面做了很多的贡献 和 2作， 如w u a n d z h u ( 2 0 0 3 ) , b i n g h a m a n d s i t t e r ( 1 9 9 9 ) 和z h u ( 2 0 0 3 ) . 但他 们 中文摘要 主要的 方法还是基于字长型及其推广形式， 而这些形式已 被发现不能提供足 够的有 关因子效应之间相互混杂的信息. 通过一个例子发现， 基于他们给出的一个最优准 则下的最优设计并不能纯净地估计出 最多的受到关注的因子效应值. 我 们 有 理由 说， 即 使 是对于 稳 健 参数 设计 试 验， 效 应等 级原 则( e ff e c t h i e r a r c h y p r i n c i p l e ) 也是有效的; 但试验者对因 子效应的兴趣或关注点并不完全由 它潜在的效 应值的大小 来决定， 而是由稳健参数设计的目 的决定的. 所以我们定义了 两种因子 效 应 排序 : 一 种 是 基于 试 验者 的 兴趣 ， 另 一 种是由 效 应等 级原 则 决定. 通过 与z h a n g e t a l( 2 0 0 6 ) 相 似的 方法， 我们 提出 来出 一 种 别名 型用 来衡 量感 兴趣的因 子被低 阶效应混杂的 严重程度. 一个新的准则随即被给出 来， 用于挑选最优的二水平设计 矩阵以满足稳健参数设计的特殊性. 在附录中给出了一些最优设计的表格以方便参 照. 第 一 种因 子 效 应排 序是 基于w u a n d z h u ( 2 0 0 3 ) 提出 来的 如 下 数字 法则 ， m a x ( i , j ) ， 多 ， j +iz i f m a x ( i , j ) ja n d i 1 , i f j i a n d j 1 . 了.，、.、 一一 口 价 w 其中 。 表示 一 个由i 个 控制因 子 和j 个噪 声因 子交 互 作用 产生的 因 子效 应， 排序 就 是按 照它 们 权 重w恤户由 小 到 大 来排 列， 称 这个 排序 为兴 趣 排序. 排在 第i 级 的因 子 效 应 记为( ) 一阶因 子效应， i 的 值 越小 越 受 到关 注. 另一个效应排序是按照它们的 字长， 遵照效应等级原则，由 短至长进行排列. 称这个排序为潜在显著性排序. 如 果一 个 因 子效 应 被正 好 k 个j 一阶因 子 效 应 别名， 它称 为被j 一阶 效 应以k 级 严 重 度 别 名 . 式 子 # c 7(k )(d) 用 来 表 示 兴 趣 排 序 中 第(、 ) 一 阶 的 满 足 一 定 条 件 的 因 子 效 应 个数: 这 些 效应 正好 被j 一阶 效 应以k 级 严 重度 别 名. 以 下向 量 将 所有 的( i ) 一阶 因 子 效应 分 成k j +1 份 蕊 c j 一 (# c (3), # c (1),(+) j (i) ， #(t) c a(k ,), 其中k j 二( j ) 如 果d , 和 是 两 个 不 同 的2 + 1， 一设 计 ， 比 较 向 量丸 q 俩) 及 高 q 俩 ) ， 如 果 “ 册 小 的 升使 得 蕊 可 k ) ( d i ) 0 浅 c j( k ) (d 2 ) 成 立 的 整 数 ， 并 胧有高 c il k) ( d i) 备 v 弓 *)( 司， 那 设 计d : 的(i ) 一 阶 因 子 效 应 被 j 一 阶 因 子 效 应 别 名 的 程 度 就 比 设 计 的 要 低 ， 或 称 蕊 几 (d l ) 大 于 龙 q ( d 2 ) 用盖 c j (d l ) -蕊 q ( d 2 ) 表 示 如 果 j 一 阶 因 子 效 应 不 能 忽 略 ， 那 么# c . 实 际 上 给 出 了9 一 阶 因 子 效 应 对 估 计( i) 一 阶 因 子 效 应 的 影 响 程 度 . 在 估 计 感 兴 趣 的 效 应 时 ， 就 不 同 的 . 9 而 言 ， (+)c i 的 重 要 性是 不 一样 的. 下面的# c就 是 根 据它 们 的 重要 性由 大到小 进 行排 列. 向量# c定义如下: 称 c le 裘 ) c 2 , 益 c 3 , 称 c 3 , 丸 c 3 , 急 志 c 4 , 高 c o , 高 c i , 高 c 2 , 高 c 3 , 称 c0，c4 #(z)#(z) 几以 #(l)#(l) 几以 券(0)#(0) 氏几 #(l)半(3) =几 c#(3) # 元 素 排 列 的 原 则 是 : ( i) 如 果m a x ( i ,力 m a x ( s , t ) 那 么 茂 c , 排 在 态 c t 前 面 ， (11 ) 如 果 max( ， j ) 一 m a x ( s , t ) 并 且 s 那 么 # )c j m m衷 )c , 前 面 ， (“ ) 如 果m a x i , j ) - m a x (s , t ) , 一 ， 而 且 j 1 , i fj i a n d j 1 , !、.、 一一 j 氏 w w h e r e e r a d e n o t e s a f a c t o r i a l i n t e r a c t i o n i n v o l v i n g c o n t r o l f a c t o r s a n djn oi s e f a c t o r s ， t h e o r d e r o f a e ff e c t i s a c c o r d i n g t o it s w e i g h t w ( e ; j ) fr o m s m a l l e r t o l a r g e r , c a l l e d t h e o r d e r o f i n t e r e s t , t h e i t h r a n k e ff e c t s i s d e n o t e d 衍 ( i ) - o r d e r e ff e c t s . a n o t h e r r a n k o f e ff e c t o r d e r i s a c c o r d i n g t o t h e i r w o r d l e n g t h , f o ll o w i n g h i e r a r - c h i c a l p r i n c i p l e , w h i c h i s c a ll e d t h e o r d e r o f p o t e n t i a l i m p o r t a n c e i f a f a c t o r i al e ff e c t i s a li a s e d w i t h e x a c t k 夕 - o r d e r f a c t o r i a l e ff e c t s , i t i s c a ll e d t o b e a li a s e d b y j - o r d e r e ff e c t s a t d e gr e e “ t h e n o t a t io n 龙 c i( k ) is t o d e n o t e t h e n u m b e r o f ( i ) - o r d e r f a c t o r i al e ff e c t s w h i c h a r e a li a s e d b y j - o r d e r f a c t o r i al e ff e c t s a t d e gre e k . t h e f o l l o w i n g v e c t o r d is t r i b u t e a ll ( i ) - o r d e r f a c t o r i a l e ff e c t s i n t o 凡+ 1 gr o u p s # ) c j = (# c (o ) # c (1)jb ) j w ， #(+) c (k ) , w h e r e k j = (7 ) - l e t d l a n d d 2 b e tw o d iff e r e n t 2 1, + 1， 一 d e s ig n s , c o m p a r e th e tw o v e c to rs 浅 c j (d l ) a n d 蕊 c j (d 2 ) , “ k is t h e s m al l es t n u m b e r s u c h t h a t 蕊 c , k )( d i ) t 蕊 c i( k ) (d 2 ) a n d if w e h a v e # ) c k ) (d l ) 蕊 c j k )( d 2 ) , t h e n ( i) - o r d e r fa c t o ri al e ff e c t s o f d 1 is le s s s e v e r e al ia s e d b y j - o r d e r f a c t o r s t h a n t h a t o f d 2 , o r 蕊 c j (d i ) is s a id t o b e la r g e r t h a n 龙 c j (d 2 ) d e n o t e d b y 茂 c j (d i ) - 龙 c j (d 2 ) - a c c o r d i n g t o t h e i m p o r t a n c e o f t h e e n t r i e s f o r e s t i m a t i n g t h e i n t e r e s t e d e ff e c t , f o ll o w i n g v e c t o r i s o b t a i n e d t h e v e c t o r # c i s d e f i n e d a s # c 一 (代 )c