（理论物理专业论文）h矩振荡性质的研究.pdf

摘要 本文将p q c d ，负二项式分布，三火球模型二= 种方法作了比较和分析，得出能量守恒是h 矩振荡主 要原因的结论；并以负二项式分布为试验讨论了误差，截断等因索对h 矩的影响，发现h 矩的尾部 受这些因素的影响程度相近，以致于难于区分；计算了岛能极限下火球模型和m n b d 的h 矩受 现h 矩振荡并未随能量上升而趋于平滑，相反，振幅增大，第一最小值后移至q = 6 ；粗略w g 了多源 模型下核子核子砷汹醴撞的h 矩 关键词：p q 眇，负二嗯分布( n b d ) ，三火憋掣( t f m ) ，眵火球孽型( f m ) 修正眵负二项 式分布( m n b d ) ，多源模型( m s m ) a b s t r a c t w ec o m p a r et h r e ed i f f e r e n tp h y s i c a lp i c t u r e s ：p q c d ，n b da n dt f ma n dg e tt h ee o d d n - s i o n ：t h ec o n s e r v a t i o no fe n e r g yi st h em a i nr e a s o nf o rhm o m e n to s c i l l a t i o n u s i n gn b da s e x a m p l e ，w ed i s c u s si nw h a td e g r e ee r r o r sa n dd i f f e r e n tn c u ti n f l u e n c et h eh m o m e n t t h e r e s u l ts h o w st h a tt h et a i lo ft h ehm o m e n ti st o os e n s i t i v et od i s c e r nd i f i e r e n ti n f l u e n c e h m o m e n to fu l t r a - h i g he n e r g yi sp r e d i c t e db o t hb ym n b da n db yf m i n s t e a do fg e t t i n g s m o o t h e r ，i t sa m p l i t u d eb e c o m e sl a r g e r ，a n di t l sf i r s tm i n i m u mh a p p e n sl a t e ra t 口26 t h e r e s u l to fc e n t r a ln u c l e u s - n u c l e u sc o l l i s i o ni se s t i m a t e dt h r o u g hm u l t i s o u r c em o d e l k e yw o r d s ：p q c d ，m n b d ，n b d ，t f m ，f m ，ht i l o m e n t ，m u l t i - s o u r c em o d e l 致驸 3 5 7 0 2 i 论文完成之际1 回想三年来与老师同学们共同度过的美好时光，费心里充满了深深的感激_ 粒 子所里几乎每一位老师和同学都曾给过指导和帮助，这里平等自由的学术讨论氛围，团结互助的 友爱精神令我终身难忘 首先要感谢导师刘连寿教授，1 挂所，就让我广泛接触物璐嘴，不仅使我对粒子物理这一领 域有了基本的认识，更使我克服了对新知乇 l 的保守畏惧b 理；他的不断鼓励与鞭策，使我从被动的 知识接受者转为独立主动的思考者；他对物理事业的奉献精神和严谨认真的治学态度以及对物 理问题敏锐的洞察力和清晰的表达力成为我工作学习的榜样；他鼓励年轻人提问，并创造许多 学术交流活动开拓我f 的视野正是在这拙活动中我有幸认识了w o l 丘a i nk i r t l e 教授，歃中教 授触们没有嘲笑椭些异想天开的看法，而是给予了砷b 细致的指导并且非常坦诚平等地讨论 问题，他口嘲嘘认真自自学苦风龄人敬佩 蒯凇子谚i 所有领翳晚师们给我提供了宝贵的学习机厶和良好的学习环境，在三年的学习 期问蠢目聊的言传身教，中肯的教导使我i 趺盗非浅特别要感谢李家荣老师，他看问题的猫啪f 面深 刻的角度，为人的朴实无华都时时给我启迪；感谢周代翠老师，他认真负责的工作态度，平易近人 的代人态度无声地教导我如何做人；感谢吴元芳老师，刘峰老师，王恩科老师，侯得富老师对我学 习和工作上的指导，”做好自己能作的工作吴老师的这句话使我摆脱了对理论的迷茫与畏惧，让 我时袤i 龊醒自己脚踏实地 力争啪叻范围内做到全面细致 _ ! 惑i ! 翳盘 6 且崃，滟瓣海狮的帮助感谢贺昌兰，捌始 古燕敏老师给予我的大力支持与帮 助 尤其簖嘘蠕要时，女蛳始了我翔匈鼓励 在i 涩运髓蝴驯、平，王欣，嘲雌，冯生琴i 李伟，斓虹彩献妇，槲到j | 隹题时他h 聪是 热情地伸出友谊之手同时要感谢张本威，刘复明，付青华戒们一起上课，一起讨论问题的快乐情 景仍历历在目，你们是我永远的朋友还要感谢黄梅周宇峰辛硗宇 杨红燕消君等师兄弟抒我 的共淌帮助 最后要特另憾谢我的父母和所有关心我的人，特另幌何蜂叔叔姚自珍阿姨对我生活上的照 顾感谤拧帅飞硝啪共删牧_ 卣他 丁，帮阿台斟嘎千悦激关 再一次裹蝴疑黝侑关b ，支持，帮助我的师长，家人和朋友们，黼射你们! c h a p t e r 1 引言 多粒子动力学锈域内一个长期薛在的问题是对多重数分布和关联函数的描写、没j 有一个能莺点 突出多粒子产生的动力学过程的普遍公式。 虽然阶乘矩可以抑制统计起伏，但却无法定性区分负二项式分布的结果与固定耦合常数下 微扰q c d 的结果。有人殴过比较，负二硬式分布取女= 5 时的阶乘矩可以很好地黼固定耦 合常数下微扰q c d 的拍= o 4 8 ，n l = 5 的情况 4 】。这说明若要区分不同的多重数分布，阶乘矩 还不够灵敏人们注意到阶乘累积矩对于多重数分布的纽小差别非常敏感，出现了不同程度的 揍 荡，但其绝列雀鸿懿麓增加而上爿极快，在阶数较小时就出现无穷大，这给数据的分析和比较 带来困难。d r i 等首先将阶乘矩与阶乘累积矩之比定义为h 矩用来分析多重数分布，由于阶 乘矩单调上升，所以它与阶乘累积矩的比值既抑制了上升趋势，又保留了阶乘累积矩对不同分 布的敏感特性d r e m i n , 将h 矩应用于p q c d 的计算，得到了与实验致的振荡，而原来用阶乘 矩无法区分的负二项式分布却得不到振荡。【3 ，4 看来，问题似乎很好螺决了：但通过更深入的研究，人们发现在应用负二项式分布时 应注意到限制条件，如实验所观i 睡0 的多重数有限等，这导致对多重数分布的截断，以此计 算h 矩也得到了与实验类似的振荡老问题的重新出现使得我 耻翰疆弱 嗅地对待它。 我们睬用与p q c d 及n b d 完全不同的三火球模型( t f m ) 【1 4 研究强子一强子实验中观察 到的h 矩振荡行为，发现和n b d 相似，完整的t f m 分布的h 矩是口的单调函数，而当分布在一 个不很大的c 。t 值被截断时发生振荡。这表明h 矩振荡不是p q c d 或n b d 的特殊性质，而是许 多被截断的多重数分布的共同性质，为此我仃谛佣数值分析，详细讨论归化因子和截断对阶乘 矩和阶乘累积矩及h 矩的影响，发现截断起了关键作用。 综合以上讨论，我们看到h 矩并不能定性区：分d r e m i n 的有能量守恒的p q c d 计算，有截 1 2 c h a p t e r1 引言 断的负二项式分布和三火球模型。文中我”粥仔细考察这三种方法，注意到d r i n 的p q c d 计 算式类似马尔科夫过程中的分支演化方程，而由概率论中分支演化过程或生灭过程 的k o l m o g o r o v 方程【1 q 在某些初条件下亦可得到修正的负二项式分布，二者图像上也非常相 似，差别在于前者考虑的是具体的物理过程，公式中的核( 女e r n e l s ) 由量子色动力学的相互作用关 系决定，后者是一抽象出来的数学模型，与具体的作用细节无关，只由过程的特性( 无记忆性) 和方 式( 分支过程) 以及初条件决定而具体的q c d 计算结果显示出考虑不同的相互作用对h 矩振荡 结果并无大的影响，这样来就容易理解为什么无法区分q c d 与n b d 了三火球模型则完全没有 考虑演化细节，它基于最大熵原理，加上物理条件约束而来，是一统计模型但必须明确，这里的”统 计”指的是最大熵厉稠! ，是含有系统动力学效应的，并非纯粹数学上的概率统计所以h 矩不熊定性 区分出三火球模型进步说明过程的具体动力学细节对h 矩影响很小 h 矩是否能从定量上区分q c d 与模型呢? d r e m i n 认为，随能量升高，模型通过截断而得到 的h 矩尾部振荡会趋于平滑，q c d 的结果则不会，从而在高能下可以区分出来针对这说法，文中 从以下几方面进行了分析讨论： ( 1 ) 固定舵参数 单独考虑c t i t 对陡勤行得h 矩的影响程度 ( 2 ) 喇耋参数后模型对实验目律担矩的拟合程度 ( 3 ) 宴验误差对嘲影响程度 ( 4 ) 离能极限下攒型静耐韵h 矩 通过这些定量上的分析，我们看到实验h 矩误差范围有多大成了关键，动力学细节对h 矩的影嘣e 小，实验所得h 矩中动力学的影响极为可能与误差导致的效应混合从前面的讨论我们知道，无法 有效区分动力学细节的影响就意味着无法区分模型与q c d 另一方面，我们注意到p q c d 计算是关于部分子的，实验观测到的却是末态强子，因而 若要将实验结果与p q c d 相比较必须对强子化过程作假设d r e m i n 瓤j 的是l p h d 假设 1 6 】， 虽然它可以方便的$ 辱p q c d 计算直接过渡到未态强子，但该假设的合理性一直存在争议。为 此k i t t e l 与m e t z g e r 等回避l p h i 撒，采用8 u 酊e t 的方法【5 】( e p 通过调节j e t 参量改变能动量 范围，从而由实验蝴末泰i 宜子出发睢出相当于部分子的j e 蚴布来，由此计算的h 矩就可直 接拿来与p q c 珥懒果相比较。) 结果发现在徼扰区内，由实验推得的部分子h 矩振荡绕累 无法用p q c d 得到，在非徽扰区的如t 才有与p q c d 的n n l l a 计算致的h 矩振荡。他们的结 论是h 矩不能证明q c d 到目前为止，已有大量的模型都得到了与实验一致的h 矩振荡，它们具有共同点：随机 碎跷 程，能量守甑导致的胡断h 矩从定隍上无法区分它们秀吆是否能从趄上匾玢呢? 如第最小值出现位置，振荡的周期性，振幅大小等但恰由于h 矩的敏感性，许多参量都会 嚣， z 3 对其有影响，f i i 且h 矩对误差的敏感有多强等问题的存存使细致的研究1 ：作难以进行，因此想 从h 矩细节出发讨论纯动力学因素的影响困难极大。 c h a p t e r2 h 矩的提出与d r e m i n 的p q c d 计 算 在高能碰撞多重产生过程中，末态粒子绝大多数是z 介f 。在统计各种分布及关联函数 时，人们往往可以忽略其它粒子而把它们看成同为”介f 。同时由于多粒子产生中的末态多重 数总是起伏不定，这就使得多重产生的统计相对于其它领域的统计有许多概念上的不同。 2 1 1 矩的基本概念 1 ，多重数 描述单个多粒子末态事件的一个蘑要参量是在这一事件中产生的粒子数，称为多重数，常用 符号m 表示由于一般探测器只对带电粒子敏感，实验上常常只给出带电粒子数，称为带电多重 数，用n c h 表示_ 由于末态粒子绝大部分是”介子，在同位旋守恒的假定下洧 ( 21 ) 2 ，密度函数 考虑个相空间n 假定其中有n 个粒子，每个粒子在相空间的位置用y 来表示，此处可以 是快度，膺快度，方位角，动量，不变质量或它们的高维联合变量。除非特别说明，y 总是一 般性地指这些变量中的某种。 5 6 c h a p t e r2 ，h 矩的提出与d r e m i n 的p q c d 计算 这n 个粒f 住相空间f 2 中的联合分布i r ， j 个连续几率密度函数p r - ( ” ，g n ) 表示。该函 数i j 崮举分布( e x c l u s i v ed i s t - r i b u t i o n ) 。 南r 相空问n 中的多重数n 总是存在起伏，也由于人们往往更共0 较低阶分布甬数，所以在 实际过程中涉及更多的是学举分布( i n c l u s i v ed i s t r i b u t i o n ) 。 q 阶单举分布固。( 叭，虮) 定义为： 刚扎m ) = 去啬五舻， ( 2 z ) 其t p 口是非弹性总截断，4 h d 是单举截而。 从遍举分布函数r ( y 一，“) 出发，单举分布函数也可以写为 嘶，。m ) 2 聃一协) - b 至刍上( y , , - , y q , y l ，”二) i = l 屯 ( 23 ) 或反过来 m 驰v m ) 地，一m ) + 至卅丽1 胁+ m ( y l , , y q , y l ，g 二) i 毛= 1 f 24 1 由以e 两式可以看出，单举分布函数的物理意义就是相空间中g 个粒子的坐标分别 为肌，弛，蜘的几率，而不管其它粒子有多少，在何处。 3 关联函数 仅由单粒子分布q - ( y ) 我们并不能得到q 阶单举分布函数q 。( y i ，y 。) 。这是由于粒子之 间存在相互关联。为了描述粒子间的这种关联效应，定义一种具体的关联函数c 。( 9 h - ，y 。) 。它满足的必要条件是：当粒子相互独立时q ( v 一，y 。) = 0 。种方法是按以下类似于集 团展开的形式来定义我们将肌简写为i ，般来讲 叭2 ，啦l i mp e r m 哚掣掣世挚 ( 2 5 ) m 其中“是。或正整数，且勿i 满足啦= m 1 = l 式中的求和号表示对各种l i 的组合以及m 的排列求和，因此，对于某种给定的f 。及m 有m 耶矿焉而耵碌个求和项 反过来，关联函数也可表示成 岛( 1 ，2 ) = q u ( 1 ，2 ) 一q 1 ( 1 ) q ( 2 ) 垂：巍 2 1 基本概念 q 3 ( 1 ，2 ，3 ) q 1 0 ) q 2 ( 2 ，3 ) + 2 q ，( 1 ) o l ( 2 ) 0 1 ( 3 ) ( 3 】 c 4 ( 1 ，2 ，3 ，4 ) ：q 4 ( 1 ，2 ，3 ，4 ) 一o ，( 1 ) 0 3 ( 2 ，3 ，4 ) 一q 2 ( 1 ，2 ) q 2 ( 3 ，4 ) f 4 )( 3 】 + 2 o t ( 1 ) q ( 2 ) q ：( 3 ，4 ) 一6 q 1 ( 1 ) q 2 ( 2 ) q ( 3 ) o l ( 4 ) ( 6 ) 7 ( 2 6 ) 求和号下的括号中的数字表示由m 个宗睦的组合所带来的求和次数。 对二粒子关联函数q ( ”，2 ) 积分 上上岛( f ，舶) 白，匆。= ( n i 凡一1 ) ) 一( n ) 2 = 。；一( n ) ( 2 7 ) 可见，关联函数的大小与多重数n 的起伏d j 有关。或者说，单举关联函数有很大部分不 是来自于动力学关联，而是由于不同多重数事件的混合。 1 一，2 一粒子单举分布函数为： o ，( ) = 警卵( 口) ( 28 ) q 。( 扎z ) = a 。n w f ) 2 ( n 。) ( 29 ) a ，口。分别为总截面及多重数为n 的截面，0 ；“( l ，如) 对应于多重数n 固定情形下的口阶分布函 数，也称之为半单举分布函数于是 岛( 1 ，2 ) = 0 2 ( y 1 ，”2 ) 一q 1 ( 玑) q 1 ( ”2 ) = 竽。( 。) 一警q p ( ) 警o ( n ) ( ”z ) = 警( ：) 一警掣( - ) 掣( 妇) + 警。h ) 。( n ) ( 抛) 一竽。( n ) ( g - ) 警。( n ) ) = g + a f 2 1 0 ) 其中 g = 孕( q ( ，驰) 一o “( 。) q l ”( 。) ) = z ! ：c o ( 2 1 1 ) 8 c h a p t e r2 竭锄冉提出与d r 删的p q c d 计算 对应于固定多重数为n 时半单举关联函数c 二的加权平均，它只与系统本身的动力学关联有关而 g= = 显然是由不同多重数事件的混合所造成的0 ( ，t ) 吼( 。) 的统计误差即使系统没有动力学关 联，或让粒子在n 中随机产生，只要事件的多重数是不固定的，q 也仍然不为o 而且g 随质心能量 升高而变宽【1 散以岛的正负来区分性质不同的分布，岛为正，反映产生的两粒子倾向于以集团形式发 射，主要由粒子发射的动力学过程控制，c 2 为负，则意味着产生的两粒子相互分离，由能量动量守 恒控制的发射过程， 4 阶乘矩与阶乘累积矩 ( 1 ) 阶乘矩定义为 。 = ( n 1 9 1 ) = p n n m 一1 ) ( n q + 1 ) ：o q a ( z ) i( 2 1 3 ) 其生成函数为 g ( z ) = ( ( 1 + z ) “) = ( 1 + z ) “r = n 妻= o 踯+ 耋1 扣，口= 1 ：，+ 妻箬f 口 q = l q ( 2 ) 类似矩与累积矩的关系，定义阶乘累积矩 = 掣l 或 g 。，= c c ，+ 。，”，= a 中 莩蔷蚝 阶乘累积矩与阶乘矩之间的关系为 局= 蜀 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 22 妇q 堕口，。 卯 讲 卜堕。 ) 州 m v q 一 哪 “ 娥 旧 堕口堕口 。 2 j 基本概念 r = k 2 4 - k ； f 3 = k 3 + 3 k 2 k l + k ； f i = 肠+ 4 k 3 ，f l + 3 磁+ 6 k 2 k ；4 - 磁 9 ( 2 1 7 ) k n = r 一四一。一。 ( 2 1 8 ) o = t 5 矩与密度函数的关系 考查实验中测q 。( v l ，y ，) 的方法将有助于进步理解单举分布函数的物理意义以及它与 矩的关系 考虑由也。个事件组成的样本，假定第e u 个事件有n 个”介子，它们在相空间n 中的坐标 分别为”f ，。为了测量单举分布函数q 。( g ，口。) ，首先要建立一个新的q 维相空 问”- ，蜥，然后在n 个粒子中任意取出q 个粒子，它们的影像是一个点。如果改变这口个粒 f 的排列次序，它倪在，蜥空问中就分别得到口! 个点。同时如果考虑到从n 个粒子中取。 个粒子有铝种取法，那么这一事件在口维相空间中的投影就有 讲暖= n ( n 一1 ) ( n q + 1 ) = n l q 个点。这些点的分布对整个事件样本( 。个事件) 平均就可以得到单举密度分布函数，即 ，n 。un o 口( 口t ，一，y q ) = 斋一d ( f 一鳙 ) 6 ( 驷一g 髫) j ( 蜘一嚣) 鲫= 1 如q l 。 ( 2 1 9 ) 可见吼( 玑，蜘) 相r e $ - y l = 9 2 一= y q 轴是对称的。而且，显而易见，单举分布函 数吼( h 一，轧) 对n 积分对应于q 阶阶乘矩，即 洲v ) d v = _ _ q ：( 虬。) j n j n 上由互由。q 。( ，9 。) = 机一1 ) ( n - q + 1 ) ) = f 口 1 0c h a p t e r2 f d 龟的提出与d r e m i n 的p q c d 计算 既然遍举分布函数p n ( y l ，y 。) 包含r 所有粒产，不难看出 上由，正句n r ( ，n ) = ( 州) ( 2 2 1 ) 相应地，南( 21 3 ) 式，阶乘累积矩引以写为单举关联函数的积分。 = 上由-上由。q ( 扎，蝴 ( 2 2 2 ) 值得注意的是：前面通过对二一粒子关联函数的分析，发现关联函数有很大部分不是来自于动力 学关联，而是由于不同多重数事件的混合，所以由此推断阶乘累积矩中含不同多重数事件的混合 效应 2 1 2 阶乘矩对统计起伏的抑制 6 0 年代末，在量子光学的研究中，人们已经认识到阶乘矩对系统统计起伏的抑制效应 1 9 8 6 年，b i a l a s 和p e s c h a l l s k i 把这一原理推广到多重产生中，他们提出末态粒子的归一化阶乘 矩町以消除统计起伏而直接揭示出高能碰撞系统本身的动力学 2 】2 ( 1 ) b e r n o u l i 型噪声的抑制 假定粒子落到某一子相空间6 中的几率为p ，并且系统产生的总多重数是固定的，则6 中 的粒子数k 将服从b e r 礼0 “分布 s ( 炉鼎p - p ) “ ( 2 2 3 ) 如果几率p 本身存在着动力学起伏，e p n 从某种分布p 。，) ，则女的分布应是( 2 2 3 ) 式和p ( 力的 卷积，即 。( 轳d p p 。) 丽巧咎疆以1 _ p ) “ ( 2 2 4 ) 引入的另种生成函数 g ( = ) = ( z ) = o ( ) z 。( 2 2 5 ) 则 0 9 g ( z ) l o z q l ：1 q ( k ) k ( k 一1 ) 忙一g + 1 ) k 日 ( 2 2 6 ) ，毒 2j 基本概念 将( 22 4 ) 代入( 22 5 ) 式，则 ) 2 莩蚓，) 斋与p 即刊“叼 = d p 砌) ( 1 一p + z p ) ” ( 2 2 7 ) 对( 22 7 ) 式求微分，有 0 。a ( z ) i o z q l ： 或 比较( 2 2 6 ) 和( 2 2 s ) 式，则 d p p ( p ) ( 一1 ) ( 一q + 1 ) p 9 n ( n 一1 ) ( n q + 1 ) ( p 9 )( 2 2 8 ) 铲，= 篇名 ( 2 2 9 ) q = 器= a 鲣坐掣一日 ( 2 3 0 ) 其中a = 可正蕊n 丽q 丽f 是一翩玫。 商能碰撞中末态粒子多重数n 往往是起伏不定的，因此相空间j 中的多重数女的统计噪声并 不总是可以取b e r n o u l i 型的，下面讨论p o i s s o n = 犁噪声的情况。 ( 2 ) p o i s s a n 型噪声的抑制 对p o i s s o n 型噪声来讲，( 2 2 3 ) 式应写为 跗) = d p p 竽( p ) t 因此与( 2 2 7 ) 式对应，生成函数变为 ) = d p p 批唧扣- 1 对z 求导得 与( 2 2 6 ) 式比较得 掣卜d p p ( 制= i n 悯 如) 。 堡堕二! l 坐二! ! 1 2 ( n q ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 4 ) 1 2 c h a p t e r2h j 韵提出与d r e m i n 的p q c d 计算 且芟 q = 黔= a 丝堕霉型一f 口 ( 2 。s ) 其中a = 黼是相空间总多重数的归化矩由( 2 3 0 ) 和( 2 3 5 ) 可以看出，归一化阶乘矩 ，一! ! ( ! 二! ! ! ! 二! 业 。 ( n ) 。 的确】+ 以抑制系统的统计噪声。 2 2 不同分布下的矩 以上我们介绍了各种分布和矩的定义，并分析了它们的关系及特点，下面我们将对具体例子 作分析计算，以更鳓h 了解对于不同性质的多重数分布，它们各有什么样的特点。 1 ，固定多重数分布 p n = 矗。( 2 3 6 ) 2 ，泊松分布 a g | 瓦l 。2 m ( 23 7 ) ( 2 3 8 ) 上d q g ( z ) l ( n ) 。d z qi z = o 硬元n 了。可! ， 1 q o 限制积分区问n 。为跑动耦合常 数，且，b ，c = f g 等式右方第一项与初态未演化的部分子有关，其中e 印 - ( ，) 】为形状因子；第二项表 示a 劈裂为b ，c ；b 占初能量的，c 占初能量的1 一封分裂顶点k 胃o ；演化参量北形状因 子e x p 一w a ( ) + ( y ) 决定了未分裂的初态部分子 将上式两边同乘以e 印 ( ) 】，然后对微分，从而可除去形状因子弄导到以下方程( 为简便起 见变量z 未写出) 17 】 ，1 d g o d y = d x k u g 、。 2 g 口( 掣+ l n z ) g a y + j n ( 1 一列一1 6 台( f ) ) 1 6 c h a p t e r2 丑矩的提出与d r e m i n 的p q c d 汁算 + n ，- 1d z k g ( z ) 7 9 l c f b + 打l z ) g f b + 托( 1 一z ) 1 一g c ( 可) ， d g f d y = d x k p ( x ) 镌( a a ( y + l n x ) g f y + i n ( 1 一z ) 一g f ( y ) ) j 0 其中“，为有效昧数，幅= 警方程的核为 k 暑( z ) = = 1 一( 1 一z ) 2 一z ( 1 一z ) = 孤1 x 2 + ( 1 一$ ) 2 】 k a f ( 加垒n c f x ! 一1 + 萼) c = 3 为色教，c f = ；c ( 1 一f 2 ) = 4 3 固定耦合常数下，将( 2 5 1 ) 代入方程，比较栌前的系数，从而求出 对于跑动耦合常数的情况，采用泰勒展开 g o + g ) g ( 掣) + g7 ( ) e + ；g ”o ) 2 + 考虑最简单的情况，胶子的演化方程： ，i d g ( y ) d y = d z k g ( z ) 镌g 扫+ t n z ) a u + 打i ( 1 一z ) 】一g ( ) j 0 此处将g 憎+ l n z ) ，g y + i n ( 1 一z ) 对进行泰勒展开，代入e 式 采用泰勒展开方法可以明确显示出不同阶近似情珂 2 5 小结与讨论 ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) 对于d r e m i n 的计算有几点值得注意： ( 1 ) 出发点 d r e m i n 采用的辟裂方程与d g l a p 方程形式并不致( 针对力驮【4 】中说法) 辟裂方程式( 2 5 3 ) ，左边为分裂前粒子，右边为分裂后所有可能分裂情况相加，所以方程自身可 以保证能动量守恒( 但若要求能动量守恒 j 宜子则不在质壳e ) d g l a p 方程： 对于夸克分布函数有 觜= 警z 1 警b ( m 潲7 ( 2 。，) z 5 小结与讨论 1 7 对十胶子分布函数有 r1 觜= 警z 1 i d z l ，q j ( z , q 2 ) p g j ( 知。2 ) 蹦纠慨6 2 ) 其中岛。，p 口，局。，b ，为辟裂函数 町见演化方程左边为某种粒子随参量的演化，右边为整个过程中所有产生该种粒子的几率之 和，力程自身不能保证能动量守匣定律，只能将能量范围作为约束条件限制方程结果一 ( 2 ) 计傅过程中的细节处理的影响 南后面图3 可以看出，不同阶近似下q c d 计算结果并不相同，h 矩对q c d 计算时所做的假设相 当敏感，d l a ，m l l a 等均得不到振荡，只有更高阶近似下n n l l a 才有振荡而我们知道，能量范围 不同是采取不同近似的基本依据，能量较低时，微扰作用强，产生粒子数目少，由能量守恒导致的分 裂时粒子间能量分配的关联效应强 ( 3 ) 结论的前提假设 d r e m i n 通过计算所得到的是部分子的矩，而实验所得的是关于末态强子的情况为了将二 者相比，d r e m i n 采用了l p h d 假设，虽然它可以方便的将p q c d 计算直接过渡到末态强子， 但该假设的合理性一直存在争议。为此k i t t e l 与m e t z g e r 等回避l p h d 假设 5 ，采用3 u b 3 e t 的 方法( 即通过调节j e t 参量改变能动量范围，从而由实验测得的末态粒子出发推出相当于 部分子的e 玢布来，由此计算的h 矩就可直接拿来与p q c d 计算结果相比较。) 结果发现 在微扰区内，由实验推得的部分子h 矩振荡结果无法用p q c d 得到，在非微扰区f l c j j e t 才有 与p q c d 的n n l l a 计算一致的h 矩振荡。他们的结论是h 矩不能证明q c d ( 4 ) 结论的预言 计算结果能量无关，h 矩的振荡特性不随船量变化 我们从第一点可看出，辟裂方程反应了分支点的能量守恒定律与能量无关，所以其结果也必 然与能量无关，而只与过程本身的性质有关正是由于这一点，d r e m i n 后来指出【5 其它模型由 截断得到的振荡会随n c u t 增大趋向于乎缓，而n 。t 随能量升高而增加，这就有可能在高能下区 分q c d 与模型的h 矩计算结果在后面章节中，我们将细致讨沦这几个方面存在的问题 0 图3 c h a p t e r2 日矩的提出与d r e m i n 的p q c d 计算 舻 i， 步弋0 ，。心 扎m ij 5 m o m e n tr a n k q mucj爿h叮huqh叮一 c h a p t e r 3 截断的负二项式分布与h 矩振荡 3 1 物理条件约束对分布的影响 3 1 1 电荷守恒定律的影响 由于电荷守恒定律，对于整个事件，带正电荷的粒子和带负电荷的粒f 数目必定相等，因而对整个 事件只有偶的带电多重数 3 1 2 能量守恒定律的影响 实验能量有限必将导致最后产生的末态粒子数有限从而导致对多重数分布的截断 磊= r 0 1 2 n 。ti 舌n p ( n ) 为零，但是由于实验仪器灵敏度的限制，可以预 测仍有粒子未被探测到( 这一点从理论预计的n 。“ n c u t 可以看出) 。所以存在这种可能：一 些实际产生多重数 n 。u t 的事件被当作多重数为n c u t 附近的事件被记录下来。但情况似乎 并不严重，因为n 。t 附近的p ( n ) 已经非常b t ，对于以前计算矩及阶乘矩来说，可以作为无 穷小量处理，而丝毫不影响分析结果。但是对于尾部异常敏感的h 矩来说，这种影响是否也达 到了可以忽略的地步呢? 有人发现h 矩尾部的振荡程度与事件数有关，这似乎不可思议，因为 当统计事件足够多时，其结果应该趋于稳定。是否有可能是n c u t 附近的事件在起作用呢? 定性 上可以这样理解：多重数在n c 。t 附近的事件极小，如果事件数取得不够多，有可能根本就漏 掉了一些大多重数的事件，更不用说* n c 。t 的事件。相反，如果刻意去寻找大多重数事 件又必然会影响统计的准确性。由于处理实验数据时是先由大量事件平均的方法求阶乘矩( 见 式( 2 1 3 ) ) ，再利用阶乘矩与阶乘累积矩的关系( 式( 2 1 8 ) ) 求得阶乘累积矩，最后由二者之比得 到h 矩的，所以不同事件数的影响早已隐含在阶乘矩中。最终其效果在h 矩中显现出来。我们 采用n b d 作为分析试验检验n c 。t 附近尸( n ) 的误差对h 矩的影响 用负二暖式分布取代实验测得的分布，讨论在n 。t 附近多重数分布的微小涨落，对阶乘矩 的影响，和对h 矩的影响。 取扣= 5 2 6 g e v ，女= 9 4 的n b d 分布，n 。t = 3 2 ，p ( 3 2 ) = o 0 0 1 3 1 9 3 6 ，在尾部手放入误 差0 0 0 1 ( 第盘有效数字) 或0 o o o l ( 第- l z t - - 4 i 效数字) ， ip r ( n ) =p ( n ) ，n n c 。t 一4 ia ( n ) =p ( n ) + o o 0 0 1 ( o , - o 0 0 1 ) ，n 。一4 n s n 。 再重归化，求得“( n ) 对于中部误差采用类似方法：取v 百= 5 2 6 g e v ，k = 9 4 的n b d 分布，n 。t = 3 2 ，p ( 1 6 ) = o 0 9 6 3 2 2 1 ，在中部手放入误差0 0 1 ( 第一位有效数字) 或0 0 0 1 ( 第二位有效数字) ， jp r ( r i ) =p ( n ) + o 0 0 1 ( o r o 0 1 ) ，n 。讲2 2 0 f ( z ) = l ( z ，t ) = 1 一p 0 1 ) 】o ( 3 9 ) f 3 j 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 31 4 1 ( 3 1 5 ) 为k = 的负二瑚式分布的生成函数 物理图象如图a ) 所示：源以a o 的强度发射出一些按泊松分布的团，这些团再以a 。的强度进行 纯增殖浼化l ；( 引5 卜甚x 条件( 2 ) 下 心蛰 ! 。 奁 l 0 f i z ) = p ( n ，t = o ) z “ r t = o c h a p t e r3 裁断的负_ 项式分布与h 矩振荡 = c 碍酽口”“z “ = 【1 + n ( z 一1 ) 】 ( 3 1 6 ) k t ，：点琊 业篙等p “ c 。 蹦，= 刍鼍笋乙 = 鬻c ，_ ，“齐f c 5 刁可万o 一f 一百而。 口( 1 + p ) f 3 1 8 1 其中n = 1 ，2 ，f ( s ，b ，c ，z ) 为高斯型超比儿何函数，( n ) = p ( n ) n = 和+ n a ( 1 + p ) 若取o = 南1 e x p (a 2 t ) 则丌( z ，) 1 1p ( z1 ) 】一一是七= + 芒的负二项式 分布的生成函数在第二二种仞条件卜，k 由移入率和产生率的比值f ，及初态的受激粒子团 的最大数n n 给出如果，移入率a o = 0 ，此式也应成立，则= a o a 2 = 0 , k = n ，即得 到= n 的负二项式分布 第二种初始条件下的物理图象如b ) 示：我们有两种不同类型产生的团：一种与初条件( 1 ) f 的相同，是由源产生的团，另一种则是( o m n ) 个t = 0 时按二项式分布( 1 0 ) 的受激粒 子( 火球或团) 。每个初始的团或粒子最后都由生成函数( 3 7 ) ，按几何分布衰变为来态粒子。 当f = 0 ( 无移入) 时，只有第二种类型的团，分枝方程演变为纯增殖过程。生成函数可写 为： 帅) ：( 黜p ( 3 1 9 ) 由式( 3 1 7 ) 知：= p 一( 1 + p ) a ，r = p = a + ( n ) ，= n ，( n ) = n a ( 1 + p ) 此时修正的负二 项式分布( m n b d ) 为： 跏n - 一掣厂蒜f c - n + 1 , n + 1 , 2 ；矗南， ( 3 2 0 ) 我们所观测到的平均多重数( n ) 是随v 佰升高f f i i 上升的，这就需要t 也随之上升， 则撕- o o 时t _ c 。，由d = 1 一e ) 【p ( 一沁t ) 知，t - + c o 对q - 1 ，所以q _ 1 即表 示撕- + o o 3 2 负二项式分布的统计背景 ：(_1)善：f(一n+1,npcr,) + l ，2 ，1 ) ( 3 2 1 ) = ( 一1 ) 一1 i ；：干i f f ( 一 十 + 1 ，2 ，1 ) ( 3 2 1 ) 该式即为第二种初条件下无移入时高能极限的m n b d 2 ，求解分支演化过程的k o l m o g o r o v 方程【1 1 根据q c d 给出的物理图象，将其简化为这样一种数学模型：将多粒子产生过程描述为分 两步进行：首先，碰撞时产生一些初始化的团，然后它们的演化按稳态分支过程( 8 t a t l o n a r y b r a n c h i n g ) 进行，过程中只有一种类型的粒子并具有连续的演化参量( 不一定是时间) 该过程 的k o l m o g o r o v 方程为： 掣2 暑鲋加，z ) ( 3 2 2 ) 方程两边同乘以”2 = ( 1 ，地， 。) ，l l o 1 ) ( 4 2 0 ) r = 器( ；5 一；z 6 + 鬈z 7 ) “p ( 一4 z ( 一a ) ) ( 1 1 3 a 3 0 41 0 5 405 2 01 6 5 2 61 27 605 4 03 2 6 2 61 36 30 ，5 0 23 8 2 0 02 i60 0 4 05 3 5 4 02 8 jo 7 4 3i o o 9 0 03 4 0 7 7 01 0 4 k i 4 2 强子一强子非单衍过程的多重数分布 “ 综合以上讨论，我们看到h 矩并不能定性匦分d r e m i n 的有能量守恒的p q c d i 。r 算，有截断 的负：项式分布和! 火球模型。通过对这种力、法的讨论，汴意到d r e m i n 的p q c d 计算式类似 码尔科夫过程中的分支演化方程，而由概率论中分支演化过程或生灭过程的k o l m o g o r o v 方程 在某些初条件下亦可得到修正的负二项式分布，_ 二者图像e 也非常相似，差别在于前者考虑的 是具体的物理过程( 但只在非常特殊的情况，如单纯的胶子演化或夸克演化下才能精确求解) ，公 式中的核( k e r n e l s ) l 妇量子色动力学的相互作用关系决定；后者是一抽象出来的数学模型，与具体 的作用细节无关，只由过程的特性( 无记忆性) 和方式( 分支过程) 决定而具体的q c d 计算结果 显示出，考虑不同的相互作用对h 矩振荡结果并无大的影响，这样一来就容易理解为什么无法区 分q c d 与n b d 了三火球模型则完全没有考虑如何演化，它基于最大熵原理，j ，1 3 = 物理条件约束 而来，是统计模型但必须明确，这里的”统计”指的是最大熵原理，含有系统动力学效应，并非纯 粹数学上的概率统计所以h 矩不能定性区分出三火球模型进步说明过程的具体动力学细节 对h 矩影响很小另外越过三种方法的分析可看出”h 矩振荡是由于级联过程导致的”这种观点 有问题，因为m n b d 的统计背景也是分支级联过程，可它在无截断时得不到振荡；而三火球模型 只要求每一受激系统最后达到熵极大，对中间过程的具体演化方式无任何限制，它在截断下得 到h 矩振荡；再考虑到d r e m i n 计算中关键两点是能量守恒和辟裂所以三者共同点是能量守恒，因 此导致h 矩振荡肯定有能量守恒的原因 4 2 2 多重数分布的高能极限 第一章中我q 船1 d r e m i n 认为高能f h 矩可区分q c d 与模型这里有假设，高能下模型形 式不变魍如果髓非常高，模型将不得不作出调整越里我们讨论它的极限情况：强子强子碰撞 的高能极限【1 3 】8 0 圭阡e 末期以来，随着质子一反质子对撞技术的发展，碰撞质睬能量迅速 提高，更激起了对高能极限研究的兴趣在这一小节里，我们要从普遍的最大熵原理出发，讨 论强子强子碰撞的高能极限 在上一节里已经说明，在高能碰撞多粒子产生过程中，随机性起着很大的作用，因而在各 种物理约束条件的制约下，多粒子产生黾按最对疆机的亢蜕绗，能够用来旖杰隘噼的量是 信息熵，因此，多粒子产生的规律遵循相应约束条件下的最大熵。 为了在实际中应用最大熵方法，首先必须知道约束条件。在通常情况下，由于强子一强子 碰撞的动力学十分复杂，物理约束条件一般难精确地表述。但随着能量的升高，动力学的影响 减弱，随机性的因素增强，在高自售汲限下，动力学的约束十分简单，随机性起着支配作用，因 而，强子强子碰撞多粒子产生的高能襁限有可能瘦用最大熵方法进行模型无关的研究 c h a p t e r4 三火球模型与日j 眶振荡 熵呵由所对应的不l 司随机变量来定义。例如，对应于带电多重数n 的熵是s n 2 一。p ( n ) l n p ( n ) ； 对于末态粒子总横能e i 的熵是s e = 一厂p ( e - ) i n p ( e i ) d e l 最普遍的物理约束条件是能量守恒，即在任，有限的质心系能量 i 之f ，末态粒子的总平均 横能( j h ) 只能取特定的有限值，所以横能分布的高能极限应该由这一条件下的总横能熵踟- 有摄大值决定。 如果b 攒醣l 守恒是唯一的约束条件，则横能分布的高能极限就应该是 p ( e 1 ) 2 南8 4 。 ( 4 _ 2 2 ) 然而，我”_ 胚不应溉汜，这些末态粒子是由两个入射强子嗣啦- 产生的，产生末刻畦子的能量 由两个入躺虽子的纵向运动隐中取得，e 述事实，即使在高自台谖限下，也会留下，蘸迹。基于 这一考虑，我们假定，强子强子