（概率论与数理统计专业论文）带负相依重尾索赔额的有限时破产概率.pdf

带负相依重尾索赔额的有限时破产概率中文摘要 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率 中文摘要 周知，金融风险领域中的破产理论问题的研究备受人们关注，热点问题之一就是 对保险公司的破产概率的渐近估计近来，c h e n 和n g ( 2 0 0 7 ) 【1 】研究了有常利率， 带负象限相依( n q d ) 和广义正则变化尾索赔的无限时破产概率在本文的第二章， 我们得到了有常利率，带负象限相依和控制变化尾索赔，及负下象限相关索赔间隔时 间的有限时和无限时破产概率的弱渐近等价公式而广义正则变化尾分布包含在一致 变化尾分布族中，特别地，在索赔额为一致变化尾的条件下，我们得到了破产概率的 渐近等价公式在无利率，索赔额为负相协( n a ) 随机变量列，有共同分布属于控制 变化尾分布族及长尾分布族的假设下，本文第三章研究了随机时间内破产概率的弱浙 近性 尾 关键词：负相依，破产概率，更新模型，常利率，控制变化尾，渐近性，一致变化 作者李景芝 指导老师：王岳宝( 教授) 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率 a b s t r a c t f i n e t e t i m er u i nd r o b a b i l i t yw i t hn e g a t i v e l v上l n e t e t l m er u l np r ob a b l l l t yw l t n 上ne g a t l v e l v d e p e n d e n c eh e a v y t a i l e dc l a i m s a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tm u c ha t t e n t i o nh 锯b e e np a i dt oi s s u e so fn l i nt h e o r yi n t h ef i e l do f 丘n a n c i a lr i s l 【s o n eo ft h eh o ti s s u e si st h ea s y m p t o t i ce s t i m a t i o no fr u i n p r o b a b i l i t yo fi n s 毗a n c ec o m p a n y r e c e n t l y ic h e na n dn g ( 2 0 0 7 ) 【1 】h 嬲m v 船t i g a t e d i 血n i t 争t i m er u i np r o b a b i l i t yw i t hc o n s t a n ti 1 1 t e r e s tf o r c ea n dn e g a t i v e l yq u a d r a n td 争 p e n d e n t ( n q d ) a n de 斌e n d e dr e g u l a u r l yv a r y i n “a i l e dc l a i 1 j s i nt h es e c o n dd l a p t e r o ft h i sp a p e r ，w eo b t a i naw e a k l y 嬲y m p t o t i ce q u i v 蛆e n tf o m m l af o rt h e 血i t 争a n d i 血n i t 争t i m er m np r o b a b i l i t yw i t hc o n s t 锄ti 1 1 t e r e s tf o r c ea n dn e g a t i v e l yq u a d r a nd e - p e n d e n t 眦dd o m i n a t e dv a 巧i n 皆t a i l e dc l 曲n 8 w h i l ec o n s i s t e n tv a r i a t i o nc l a 鹃c o n t a i 珊 e 吼e n d e dr e g u l a u r 、，a 旺i a t i o nc l a 船，i np 砒i c u l a r ，w eo b t a l i na s ”n p t o t i ce q u i v “e n tf o r - m u l af o rt h ec 姻ei i lw 址c ht h ec l a i 玎够a 舱c o i l s i s t e n t l yv 蛳，i n 分t a j l e d s u b j e c tt ot h e 皤s 啪p t i o nt h a tc l a i m sa r en e g a t i v e l y 船s o c i a t i o n ( n a ) r a n d o mv a r i a b l 鹤而t hc o m - m o nd i s t r i b u t i o nb e l o n g st od o 血n a t e dv a r y i n 争t 缸l e dd a s sa n dl o n g - t a i l e dc l a s s ，t h e t h i r dc h 叩t e ro b t 缸n saw e a l c l ya s y m p t o t i ce q l l i v a l e n tf o 珊u l af o rt h em i np r o b a b i l i t y w i t b o u ti n t e r e 楚tw i t h i nar a n d o mh a r 沱o n k e y w o r d s ：n e g a t i v ed e p e n d e n c e ，m i np r o b d b i l i t y ，r e n e w 出m o d e l ，i i l t e r e s tf o r c e ， d o r n i n a t e d 、，a u i n gt a i l ，唧m p t o t i c ，c o n s i s t e n tv 缸i a t i o nt a i l w m t e l lb y “j i i l g z h i s u p e r 妇db yp r o f 、7 g1 y h e b a o i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名：二垄暴兰_ 期：乏盟：咝纷 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 蟹羔啉纽壁。丝睁 出期：础 第一章引言 为研究带负相依索赔额的有限时( 含无限时) 破产概率，我们在本章中首先介绍 经典的更新风险模型，在此基础上，引出一些更为实用的非经典更新模型它们都是 本文关注的风险模型由于带重尾索赔额的破产概率的研究与各种重尾分布有密切联 系，我们将在本章中的第二节给出一些相关的分布族的概念和基本性质而本文对破 产概率的研究限制在索赔额为负相依的情形，因此我们将在本章的第三节给出一些常 见的负相依随机变量列的概念最后在本章的第四节我们回顾了已有的研究成果，从 而引出本文的动机和目的 1 1更新模型简介 周知，标准更新模型的研究日趋成熟，在此模型中，令c 0 是常保险收益率， z o 为初始资本， o ，【( t ) ，t o ) 为普通更新过程，表示在时间( o ，t 】内索 赔发生的次数假设时间间隔 碥，佗1 ) 为一列i i d 正r v s ，有有限均值e m ，则 ) = s u p 【他1 ：乏二m ) ， o ( 1 1 1 ) 约定s u p 砂= o 到时间t o 的盈余记为矿( t ) ，则该模型的剩余过程为 型 纱( t ) = z + d 一乏：五， 亡o ( 1 1 2 ) 假设序列 ，礼1 ) 与 k ，竹1 】相互独立，且安全负荷条件 p ：塑嘉堕 o ( 1 1 3 ) p2 面i 一 u 3 j 我们称t ( z ) = i n f t ：u ( t ) ou ( o ) = z ) 为破产时刻，妒( z ) = p 口( z ) ) 为最 终破产概率或无限时破产概率，而矽( z ，t ) = p ( t ( z ) t ) 为有限时o t o 内的 破产概率定义为 妒( 。，t ) = p ( u ( t ) o 对某个o 亡tic ，( o ) = z ) ， ( 1 1 6 ) 而无限时破产概率定义为 妒( z ) 兰妒( z ，o o ) = i m 矽p ，卵 1 = p ( u ) 0 ；若t 。o ，6 0 在本文中，若无特别申明，所有的极限关系均指z o o 设o ( z ) 和6 ( z ) 是定义在 ( 一，o o ) 上的两个正函数若l i m 口( z ) 6 ( z ) = 1 ，则记n ( z ) 一6 ( z ) ；若l i ms u p 口( z ) 6 ( z ) 1 ，贝0 记o ( z ) 焉6 ( z ) ；若l i m i n f 口( z ) 6 ( z ) 1 ，贝0 记口( z ) 乏6 ( z ) 若l i m o ( z ) 6 ( z ) ：o ， 则记口( z ) = d ( 6 ( z ) ) 1 2一些常见重尾分布族 带大额尾索赔额的破产理论的研究，必然与一些重尾分布族有密切的关系下面 介绍一些常见的重尾分布族 定义1 1 称支撑在( 一o o ，) 上的分布y 属于长尾分布族，记为y c ，若 y ( z 一可) 一y ) 对所有y ( 一o o ，) 2 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第一章引言 定义1 2 称支撑在【0 ，o o ) 上的分布y 属于厂义正则变化分布族若存在某0 l ，记 嘶) - l t m i n r 镏秒一唧帮 进而记 如移，砧= i n 卧皆吨及石一小掣1 ) 用b i n g h 锄等( 1 9 8 7 ) 【3 j 的术语来说，这里的彤和拓正是非负非降函数u ( z ) = ( 可( z ) ) 一，z o 的上和下m a t u s z e w s l c a 指标为方便起见，我们就称砧和石分别 为分布y 的上和下m a t u s z e w s k a 指标显然，若y 冗一口对某a ，0 a 。o ，则 砖= 口；若y 冗y ( 一a ，一卢) 对某口和p ，o a p 。o ，则q 占砧p 近来，k o n s t a n t i n i d e s 等( 2 0 0 2 ) 【4 j 引入如下次指数分布族的子族 定义1 5 令y 为支撑在( 一，o o ) 上的分布，称y 4 ，若y s 且有一个下 讹z 让s 名e 伽后。指标满足0 z l ， z 2 ) p ( 墨 z 1 ) p ( 配 z 2 ) 见l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 【引称r v s ，n 1 ) 为两两n q d 的，若对所有的正整数i 歹， 五和玛是n q d 的 称r v s o ) 的 条件下，k l i i p p e l b e r g 和s t a d t m 讧l l e r ( 1 9 9 8 ) 【9 】受s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 【1 0 】积分方程 的启发，利用复杂的妒变换技术，证明了结果。 帅) 一去础) ( 1 “) 4 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第一章引言 a s m u s s e n ( 1 9 9 8 ) 1 1 l 】和a s m u s s e n 等( 2 0 0 2 ) f 1 2 】证明了更般的结果在f 酽下， 得到结果 始) 一害掣咖 ( 1 4 2 ) 其中，p = f ：劈f ( z 一3 ，) f ( ) 咖一2 庐( z ) ) ，p = 铲f ( 夕) 劫( o ，。o ) 由 k 1 i i p p e l b e r g ( 1 9 8 8 ) 【13 】引入，并指出若f ，则f 和其积分尾分布乃( 乃( z ) = 岳f ( 可) 匆，z o ) 均为次指数的后来仍然是在s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 1 1o 】工作的基 础上，k a j a s h n i k o v 和k o n s t a n t h l i d e s ( 2 0 0 0 ) 【1 4 j 及k o n s t a n t i n i d e s 等( 2 0 0 2 ) 【4 1 在积分 尾分布乃4 的条件下l ，即f j 是次指数的，且满足l i m s u m o 。笔辫 1 用个更加简单的方法重新推导出( 1 4 1 ) t a n g ( 2 0 0 4 ) 【1 5 1 把k o n s t a n t i n i d e s 等( 2 0 0 2 ) 【4 1 的工作推广到离散时间模型，得到了 有限时和无限时破产概率的渐进性，1 1 a n g ( 2 0 0 5 0 ) 【1 6 】把k l n p p e l b e r g 和s t a d t m n u e r ( 1 9 9 8 ) f 9 j 的结果推广到更一般的更新模型，i 缸g ( 2 0 0 5 6 ) 【2 l 研究了有常利率和次指数 索赔的复合p o i 蹈o n 模型的有限时破产概率，并得到对每个t 0 岬) 一一汀打字咖 ( 1 4 3 ) 显然( 1 4 3 ) 和( 1 4 2 ) 一致特别地，若f 冗一a ，( q o ) 则对t 一致有 北丁) “去f ( z ) ( 1 一e 呻打) ( 1 4 4 ) 显然( 1 4 4 ) 和( 1 4 1 ) 的结果一致 近来，c h e n 和n g ( 2 0 0 7 ) 1 1 】利用纯概率的方法研究了索赔额为两两n q d ，有共 同分布f 冗v ( 一q ，一p ) 且索赔间隔时间为i i d 的无限时破产概率的渐近公式 其结果如下 定理1 a 考虑上述更新模型，若索赔额，n = 1 ，2 ，为两两n q d 的，有共 同分布f 7 已y ，贝0 妒( z ) 一歹( z e 以) d m ( ) ( 1 4 5 ) 特别地，若( ) 是强度为a o 的齐次p o i s s o n 过程，关系( 1 4 5 ) 可以简化为 此m z f 1 出= 害0 。掣妇 ( 1 4 6 )砂( z ) 一a f ( z e 缸) 出= ；掣妇( 1 4 6 ) j n uj 互 h 这结果显然与( 1 4 2 ) 是一致的 从破产概率的研究历史，我们可以看出索赔额的共同分布f 的范围在不断延展， 索赔额独立性的限制在不断弱化，我们发现在索赔额，n 1 为两两n q d ，有共 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率 第一章引言 同分布f d 的条件下，可以得到和( 1 4 5 ) 类似的破产概率的弱渐近等价结果，并 且，还发现当索赔发生时间间隔不受i i d 的限制时，结果并不受影响本文第二章，在 索赔额五。，佗1 为两两n q d ，有共同分布f d ，且索赔发生时间间隔孔，n 1 为负下象限相依的条件下，我们讨论破产概率的渐近性我们将在第二章给出上述条 件下的有限时破产概率的渐近性及其证明 在标准更新模型下， j i a i l g 和x u ( 2 0 0 4 ) 【1 7 】研究了索赔额为i i d ，共同分布f 冗y ( 一口，一p ) 下的随机时间7 - 内的破产概率矽( z ，7 ) 定理1 b 在满足条件( 1 1 3 ) 的更新模型中，若f 冗v ( 一q ，一卢) ，对某1 口 p o o ，且e 坪 + 1 ，则对任意正r v 丁与剩余过程( 1 1 2 ) 独立且满 足e 7 o ，有 妒( z ，丁) 一e ( 7 ) f ( z ) 我们发现当索赔额为n ar v s ，有共同分布f dnc 时，我们仍可以得到类似 的随机时破产概率渐近性结果 以下将继续使用本节的概念，记号和约定 6 第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔 的破产概率 在本章第一节中，我们首先给出本章中的主要结果，并对其中的条件做一些说明 在第二节给出证明主要结果所需要的引理最后，在第三节中给出该结果的证明 2 1主要结果 定理2 1 考虑上述非标准更新模型，令舶= 尸n o 对某o 0 ，我们将作一些解释肌佗9 和 拖瑚( 2 0 0 5 ) 1 1 8 】的定理j j 指出t 俐d = 刃1u 口2u 仇，其中 d 1 = fd n 【o i o 。) ：兄 ) = 1 对所有的可 1 ) ， 现= fd n o ，o o ) ：o 且( 3 ) 1 ) ， 仇= fd 扎 o ，。o ) ：o o 骨f d 3 似砂记 口( 一口，一p ，a ，b ) = ( f 支撑在【o ，o 。) ：j e 7 可一p 只( 可) p ( y ) a 可一，对所有秒 1 ) ， 其中0 口p o o ，o j e i 1 a o o ，则我们有 d = u d ( 一q ，一p ，a ，日) ， 0 o 口 0 b s l 蔓 7 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 巩= 【j 刃( 一口，一，a ，b ) o o 口 o 日s 1 o 铮彤 j ( i i ) 若y 口，则对任意a 砧，存在正数c ； 和现， = l ，2 ，满足 器q ( ；) 口对所有z y 。-c 彤 c 0 充分大和任意a 1 5 。( 孑) y ( d 参) 知。( 爹) y ( 咖) ( 2 2 3 ) 8 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 我们发现( 2 2 3 ) 的不等号应该是”，而不是”我们的证明如下： 不失一般性，取a = 2 ，并且令名= 惜= 可一s ，则 如。( 孙咖小焘肌+ s ) 。( 抑州 由分部积分，我们可以知道 z 。( ；) y ( d y ) 一如。( 詈) y ( d 可)5 。( 詈) y ( d 秒) 一z 。( 考) ) d y ( + s ) = 。( 詈) ( 矿( 2 s ) 一矿( s ) ) + z 8 ( 矿白+ s ) 一矿 ) ) d g ( 考) 。 但是这个问题不影响后面需要使用的引理2 2 的结论 最后一个引理拓展了c h e n 和n g ( 2 0 0 7 ) 【1 】的l e m m a2 引理2 3 考虑第一章介绍的更新模型若索赔额，n 1 为两两的， 有共同分布f d ，且索赔发生时间死，几1 为l d d 的，则对所有0 z ) n = 1 啪 焉l ；1 p ( e 一概1 ( h z ) ( 2 2 4 ) n = 1 姗 啪 p ( e 一6 1 ( d z ) 一p e 一梳1 ( s 即 z ) ( 2 2 5 ) n = lr i = 1 证明我们只需证明m o 2 且o o ，我们有 m 0 p ( k 刀) n = l 伽啪 p ( u ( 碥 z l ) ) + p ( k z ， n = ln = l = 尸1 ( z ) + p 2 ( z ) 9 伽 n ( m z l ) ) l = 1 ( 2 2 7 ) 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 已知g n 是，n 1 的分布由f 刃知对任意0 0 ，若z z o ，贝4 p 1 ( z ) + + 占 伽 z l ) 鼠( 钯) n = l 户( 卯e 幻) 6 ( 咖) 只 一 e 口一l 口一l 卢( z e 幻) g n ( 咖) z ) 对于易( z ) ，由c h e na n dn g ( 2 0 0 7 ) 【1 l 的证明及凰d ，我们有 啪 i = 1 啪 i = 1 兰- 。】婴坚m z l )一 m a x 托 三) 尸( 圣k k l ，m 老) m o ( m 。_ 1 ) 户( 嘉) 且( 意) 由( 2 2 7 ) - ( 2 2 9 ) 和凰口，我们得到 伽 尸( 碥 z ) n = 1 啪一 玩( z ) n = 1 缈一p 亲盟 一升1 霉_ + 登鼠( z ) = 虾1 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) + 黜嬲p 蠡 ( 2 2 1 0 ) 由( 2 2 6 ) 和( 2 2 1 0 ) 我们得到( 2 2 4 ) 进一步，若f cnd ，由引理2 2 知巩cnd ，n 1 因此， 姗 p 1 ( z ) s 凰( z ) n = l 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 1 0 ) 及( 2 2 1 1 ) ，我们得到( 2 2 5 ) 1 0 ( 2 2 1 1 ) 口 ，八 t 一凰z 瑚言-l t “ z 一风 啪言-l 一 一 zk 伽脚 p = p 巴 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 2 3定理2 1 的证明 定理2 1 的证明我们仍然记k = 五。e 一概1 h t ) ，有分布三k ，n 1 由( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 知 o o 妒l o ，t ) 三p ( 碥 z + j 一1 c ) 妒( z ，t ) p ( k z ) 三妒2 ，t ) ( 2 3 1 ) 竹= ln = 1 我们将分别处理砂l ( z ，t ) 和妒2 ( z ，t ) 记m = 甚m + 1 k ，m o 因为【死，礼1 ) 为n l o d 的，由b l o c l 【等( 1 9 8 2 ) 1 6 】的( 3 5 ) a n d ( 3 6 ) 对任意p o 和n l 有 e e 一卵7 靠( e e 一6 n ) n ( 2 3 2 ) 沿用c h e n 和n g ( 2 0 0 7 ) 【1 】中( 4 4 ) 和( 4 5 ) 的证明方法由引理2 2 和( 2 3 2 ) ，对任意 正整数m 满足甚m + 1 礼_ 2 z ) p ( 碥 z n 一2 ) p ( e 一6 h z 扎一2 ) n = m + 1n = m + 1 p ( 。 f ( z ) o )， - 二= l i m l + ；掣n 妻。帮一o - ( 2 3 3 ) 由f 刀和珈 o ，存在一个正数c o 满足对所有死t 。o ， 岛 )尸( m z ，丁l t ) p ( x l e 一轨 z ，n 蜀) p o 户( z e 胁) c 户( z ) ( 2 3 4 ) 结合( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) ，我们知道对任意o z ) ) e 日j 0 )( 2 3 5 ) 鼠( z ) 鼠( z n 2 ) e 扁( z ) ( 2 3 6 ) n = m o + 1n = f n o + 1 1 1 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 我们首先估计砂1 ( z ，t ) 由引理2 3 ，( 2 3 6 ) 和f 口知对任意o 口 1 和上述 0 _ = 1 一s ) 1 一) l 一) 礼= 1 胆m 0 + l 矾 + 6 - 1 c ) 鼠( 口- 1 z ) 办俨恻由) ，t ( 1 一) 3 反p 一1 ) 户( z e 幻) m ( d 分) ( 2 3 7 ) ，0 由( 2 3 7 ) 及和口的任意性，( 2 1 1 ) 的左不等式成立 最后，我们确定矽2 ( z ，t ) 相应的渐近上界对任意o 口 1 和o n = l 伽 ( 1 + ) 三；1 芝二凰( ( 1 一p ) z ) + 鼠( p z ) ( 2 3 8 ) n = l 由与( 2 8 ) 类似的方法，我们有 鼠( ( 1 一口) z ) 焉l ；1 豆( z )n = 1 ，m o ( 2 3 9 ) 由日1 d ，( 2 3 8 ) 及( 2 3 9 ) ，我们知道存在一个常数c g ，满足 妒2 ( z ，t ) + + e 由的任意性及( 2 3 1 0 ) 知( 2 1 1 ) 的右不等式成立 巩( z ) 户( z e 曲) m ( 咖) ( 2 3 1 0 ) 0 一 f o + z m 1 p 一 1f8言脚 1广厶 c c e + + 口 2 一p f l l 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率第二章带n q d 控制变化尾索赔及n l o d 索赔时间间隔的破产概率 若f cnd ，由引理2 2 知巩cn 口，n l ，且对任意的0 e 一 第三章带n a 索赔额的随机时破产概率 在本章中，我们在第一节给出我们的主要结果及推论，在第二节给出上述结果的 证明 3 1主要结果及推论 我们将继续沿用第一章中的概念带重尾分布索赔额的随机时破产概率的渐近性 已经被许多作者广泛研究近来，j i a n g 和x u ( 2 0 0 4 ) 【17 】研究了索赔额为i i d ，共同 分布f 7 w ( 一q ，一p ) 下的随机时间丁内的破产概率妒( z ，7 ) 从对破产概率研究的历史可以看出，索赔额的共同分布的范围在不断延伸，而索 赔额独立性的限制在不断减弱由此出发，本章，在索赔额 x ，佗1 ) 为一n ar v s ， 有共同分布f 口n 的条件下，讨论了随机时间内的有限时破产概率的弱渐近性 考虑第一章第一节介绍的满足( 1 1 3 ) 的更新模型，我们的主要结果如下s 定理3 1 索赔额 ，n 1 为一mr t ，s ，若其共同分布f 刃nc ，索赔间 隔时间列 k ，n 1 ) 是玩d 列，且e 圩 砧+ 1 ，又满足以下的两个条件 之一i 俐e x i 1 及e 7 i 似) e 耐 o ，满足e ( t ) o ，则 e ( t ) l f 户( z ) s 妒 ，t ) 焉e ( t ) l ；1 户( z ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 推论3 2 考虑经典模型，即 ，n 1 ) 是统dn 口s ，p j 砂中的计数过程 ( 亡) 是强度为a = 壶的齐次p d 诂s d 他过程假设门7 纠满足， f c ，对任正 r u 下与剩余过程以j 纠独立，且o 一o o ，其共同分布f 支撑在 s ，。o ) 上，有限均值肛 l ，e 研 o o 且e 丁 z ) 一e e 户( 。) l n r 。? 王开永和王岳宝( 2 0 0 7 ) f 2 2 】的定理2 2 改进了上述引理 引理3 2 设【k ，n 1 ) 为一同分布m 列，且有支撑在( 一o o ，o 。) 上的共同分 布f 且e 对 。o e 是非负整值的r ，独立于 ，礼1 且e e s 办 若f dnc 满足条件 f ( 一 ( z ) ) = o ( f ( z ) ) ， 对某个 使 ( z ) to o ，z 一1 ( z ) 一。且f 扛一3 ，) 一f ( z ) ，对m 0 ) 则引理只j 的 结果仍然成立 如下引理来自k j e f e r 及w o 怕而t z ( 1 9 5 6 ) f 2 3 j 定理5 和6 引理3 3 令 墨，n 1 ) 为t i dr u s ，有有限均值e 局 o 佃此最大值 m = s u p o n o ，e m p o o 当且仅当 e ( m a x ( 墨，o ) ) 升1 o ，当z z o 时，掣q 由此知 e ( 7 _ ) ：( 知+ 厂) ( z ) p ( 7 - 如) - ，0 ，善o ，i 正o， 上( z ) 尸( 丁如) + qz 。p ( 7 如) ，i 王o ( z ) p ( 7 - 出) + q 研 o 反设 e ( 7 - ) = e ( 。) p ( 7 如) = o ， ， o 则易知( z ) = o ，a s 对任。o 此与( z ) 一z ( e m ) 一1 矛盾 1 5 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率 第三章带n a 索赔额的随机时破产概率 回忆由( 1 1 2 ) 定义的剩余过程，易知 ( t ) 地下) = p ( 。浆，( z + 以一五) o ) 叫。勘( z 一善( 咒叫) ) z ) ( 3 2 1 ) o n 墨( f ) 蒿 对任意o 6 1 及任意o c l c ，满足e 墨一c 1 e m o 有 n 此p ( 。墨占( x 咱刚 o ：( 五一c 1 e m ) ( 1 6 ) z ) o n s ( 7 _ ) 百 + p (s u p芝：( c 1 e m c m ) 6 z ) 兰l + 2 ( 3 2 2 ) o n ( 1 - ) 石 对l ，由引理3 1 及f 口nc 有 1 一e ( 丁) p ( x 1 一c 1 e m ( 1 6 ) z ) 一e ( 丁) 户( ( 1 6 ) z )( 3 2 3 ) 对2 ，由m a r k o v s 不等式有 ： 如) 南引。墨娄( c 1 e h 叫) ) p ( 3 2 4 ) 令历= c 1 e m c m ，显然e 历 o ，e ( 计) p ec l e m c ml p c elhl p + c l e h o o ，由引理3 3 知 n e ( s u p ( c l e m 一叱) ) p 1 砧，且f 矽，则由( 3 2 4 ) 及引理2 1 ( i i i ) 知 2 = d 一p + 1 ) = d ( p ( z ) ) ( 3 2 5 ) 把( 3 2 5 ) 和( 3 2 3 ) 代入( 3 2 2 ) ，由f dn 有 u 磐p 蒜南剑竺p 坐甥需字幽 ( 只( ( 1 6 ) _ 1 ) ) ( 3 2 6 ) 带负相依重尾索赔额的有限时破产概率 第三章带n a 索赔额的随机时破产概率 再令6 【0 ，则 ；嬲p 揣姊1 类似地，对任意0 6 c 满足e m c 2 e m 也) o n ( r ) ：三f u s n s vi r j 石 p f n ，躲m ( x - c 2 e m ) ( 1 + 删一蒜( r ) ( c 。e m c m ) 一巧z ) o n ( 7 - ) 葛 u s n s 。vl r j 百 ：p ( s u p( 五一c 2 e m ) ( 1 + 6 ) z ) o s n ( r ) 蔷 一p ( s u p ( c m c 2 e m 如) 兰3 一4 ( 3 2 7 ) o s n s ( r ) ：= 再由引理3 1 及f c 有 3 一e ( r ) p ( 墨一c 2 e m ( 1 + 6 ) z ) 一e ( 丁) 户( ( 1 + 6 ) z ) ( 3 2 8 ) 因为ei 嘶一c 2 e ml p c emi p + c 2 e m o o ，由引理3 3 及引理2 1 ( i i i ) ，如前所证 4 = o ( f ( z ) ) ( 3 2 9 ) 把( 3 2 9 ) 和( 3 2 8 ) 代入( 3 2 7 ) ，由f nd 有 - 蚴r 黼黜f 麴驾希字幽 晟( 1 + j ) ( 3 2 1 0 ) 再令jj ，o 知( 3 1 1 ) 之左不等式成立由( 3 2 6 ) 及( 3 2 1 0 ) ，立得( 3 1 1 ) 若f c ，则l f = 1 ，( 3 1 2 ) 显然成立，定理3 1 得证 口 参考文献 【1 】c h e n ，y ，n g ，k w ，2 0 0 7 t h er u i np r f 、b a b i l i t yo ft h er e n 铡缸m o d e lw i t hc o 璐t a n ti n - t e r 笛tf o r c ea n dn e g a t i v e l yd e p e n d e n th e a 咿t a i l e dc l a i m s 1 1 1 s u r a n c em a t h e m a t 妇a n d e c o n o m i 馏4 0 ，4 1 5 - 4 2 3 【2 】t a n g ，q ，2 0 0 5 b t h e 丘n i t 争t i m er u i np r o b a b i l i t y0 ft h ec o m p o u n dp 0 i s s o nm o d e lw i t h c o n s t a ti n t e r 船tf o r c e j o u r n 缸o fa p p l i e dp r o b a b i l i t y4 2 ( 3 ) ，6 0 8 - 6 1 9 3 】b i n g h a m ，n h ，g 0 1 d i e ，c m ，t e u g e l s ，j l ，1 9 8 7 r e g u l a rv a r i a t i o n c 锄b r i d g eu n i v e r - s 时p r e s s ，c 卸如r i d g e 【4 】k o n s t a n t i n e d 髑，d ，t a n g ，q ，t s i t s i 嬲h v i l i ，g ，2 0 0 2 e s t 妇a t 朗f o rt h en l i np r o b a b i l i 锣i nt h ec k 玛s i c a l lr i 8 km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e i nt h ep r e s e n c eo fh e a 呵 t a i l s i 璐1 l r 锄c em a t h 锄a t i 岱a n de c o n o n l i 馏3 1 ( 3 ) ，4 4 7 - 4 6 0 【5 】l e h m 姐n ，e l 1 9 6 6 s o m ec o n c e p t so fd 印e n d e n c e a n n a l so fm a t h e m a t i c a is t a t i s t i c s 3 7 ( 5 ) ，1 1 3 7 - 1 1 5 3 【6 】b l o 出，h w ，s a 啊t 8 ，t h ，s h a k e d ，m ，1 9 8 2 s o m ec o n c e p t s0 fn e g a t i v ed e p e n d e n c e a j l n a l s0 fp r o b a b n i 锣1 0 ，7 6 5 7 7 2 7 】m 锄，k