（理论物理专业论文）双模压缩真空场与二原子相互作用过程中的纠缠传递.pdf

中文摘要 量子纠缠是量子力学特有的性质之一。纠缠的的非局域性在量子信息和量子 通讯中有着非常重要的位置。双模压缩真空场是具有良好的模间纠缠性质的光 场。如果两个独立的原子与空间上分开的两个模场分别发生局域相互作用，模问 纠缠可以传递到两个原子之间，即两个原子也可以纠缠起来。本文考虑了双模压 缩真空场与两个原子强度耦合相互作用过程的纠缠传递，通过数值计算发现两个 原予间的纠缠情况周期性演化，在时间f ：( 2 _ n + _ 1 ) t r 时达到最大，在f ：聊时解 z 纠缠，且纠缠的最大程度与光场的压缩参量有关。由于实际过程中，注入腔场后 的原子还保留着一定的速度，所以考虑了原子运动对两个原子纠缠程度的影响： 原子运动导致了原子和场的相互作用时间的改变，使两个原子间的纠缠程度不能 达到最大，但并不影响周期性。并在最后考虑了克尔介质即非线性作用的影响， 克尔介质的非线性作用的强弱不仅可以改变两个原子量子纠缠的周期性，而且也 减小了原子间最大纠缠程度。 关键词：量子纠缠双模压缩真空场强度耦合j - c 模型 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ti s au n i q u e p r o p e r t yo fq u a n t u mm e c h a n i c s t h e n o n - l o c a lp r o p e r t yo fe n t a n g l e m e n tp l a y si m p o r t a n tr o a li nq u a n t u mi n f o r m a t i o na n d q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n t w o - m o d es q u e e z i n gv a c u u mf i e l di st h eo p t i c a lf i e l dt h a t h a sp r e d o m i n a n tp r o p e r t yo fe n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h et w om o d e s i ft w oa t o m st h a t s p a t i a l l ys e p a r a t e di n t e r a c tr e s p e c t i v e l yw i t l lt h et w om o d e st h a ts p a t i a l l ys e p a r a t e d , t h e ne n t a n g l e m e n tc a nb et r a n s f e r r e df r o mt h ef i e l dt ot h ea t o m s s ot h et w oa t o m s c a nb ee n t a n g l e d i nt h i sp a p e re n t a n g l e m e n ts w a p p i n gi nt h ei n t e n s i t y - d e p e n d e n t i n t e r a c t i o nb e t w e e nt w oa t o m sa n dt w o - m o d es q u e e z i n gv a c u u mf i e l da r e i n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h et w oa t o m sc a nb ee n t a n g l e da n dd i s e n t a n g l e dp e r i o d i c a l l y ： w h e nt i m ei s ( 2 n _ + 1 一) z ，t h et w 。a t 。m sa r ei nm a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e ；、h e l lt i m e i sr t t z ，t h et w oa t o m sa r ed i s e n t a n g l e d ；a n dt h em a x i m u md e g r e eo fe n t a n g l e m e n ti s r e l a t e dt os q u e e z i n gp a r a m e t e r f u t h e r , t h ee f f e c to fm o v e m e n to ft h ea t o m so nt h e q u a n t u ms y s t e mi sc o n s i d e r e d ，t h er e s u l ts h o w st h a t i tw i l lc h a n g et h et i m eo f i n t e r a c t i o n ，a n dt h e nw i l la l t e rt h em a x i m u md e g r e eo fe n t a n g l e m e n t ，a n dt h e p e r i o d i c i t y i nt h ee n d ，t h ei n f l u e n c e so fn o n l i n e a ri n t e r a c t i o no fk e r rm e d i u mo n e n t a n g l e m e n to ft h es y s t e m a r ed i s c u s s e d ，t h er e s u l t ss h o wt h a tt h en o n l i n e a r i n t e r a c t i o no fk e r rm e d i u md e s t r o yt h ep e r i o d i c i t yo fe n t a n g l e m e n te v o l u t i o no ft h e t w oa t o m s ，a n dt h em a x i m u md e g r e eo fe n t a n g l e m e n ti sr e d u c e d k e yw o r d s ： q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t w o m o d es q u e e z i n gv a c 2 1 u mf i e l d ， i n t e n s i t y - d e p e n d e n tc o u p l i n g ，j - cm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：刎6 年, 9 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫壅盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 签字日期：肋6 年 导师签名 签字日期：_ z 鲫6 年f 月e t ，务 朋 、勿 ，琵乃吓 c 、p 月易j 前言 量子纠缠是量子力学中最突出的特性之一。如果一个由n 个子体系组成的 系统的密度矩阵不能写成子系统密度矩阵直积的形式，即 p a b c no p bo p co 办，则称此系统是纠缠的对于最简单的两态系统， 如果态矢不能表示成两子系统态矢的直积形式，纯。纥固纯，那么这两个子系 统是纠缠的。在这种情况下，这两个子系统不再是独立的，即使它们在空间上是 远离的，对一个子系统的测量，不仅能给出另外一个子系统的信息，而且还提供 了对这个子系统进行操纵的可能性。自从量子纠缠首先被 e i m t c i n - p o d o l s k y - r o s c “a ( e p r ) 提出后，它一直是物理学中一个引人注目的研究 领域一方面，量子纠缠体现了量子态的非定域性，它是量子所独有的特性；另一 方面，它在量子信息处理，例如量子隐形传态、量子编码及量子纠错、量子密钥 分配和量子计算中具有重要应用 原子与光场相互作用的纠缠特性的研究对原子、光场量子态的制备以及原子 和光场的量子信息处理都有十分重要的意义。压缩真空光场不仅反映了压缩态的 本质属性，而且在连续变量的量子保密通信中，有着重要的应用。双模压缩真空 场是具有良好的模问纠缠性质的光场，本文研究了通过与两个无相互关联的原子 发生强度耦合相互作用后，光场的模间纠缠可以周期性的传递到两个原子之间， 实现了纠缠由连续变量量子系统传递到分散变量量子系统之间，而有限的离散量 子变量描述的系统( 原子) 具有易于测量和识别作用，因此在应用上具有重要作 用在实际实验中，腔场具有有限的长度，且当原子注入腔场后仍保留一定的速 度，所以考虑原子运动和场模结构对纠缠传递的影响是有必要的，当考虑原子运 动后，两原子的纠缠并不能达到最大，且纠缠的周期也发生了变化。最后考虑了 光场与原子相互作用过程中克尔介质的非线性作用影响，非线性破坏了原子纠缠 的周期性。 第一章量子纠缠 第一章量子纠缠 1 1 量子纠缠的历史及其意义 1 1 1 量子纠缠的历史 纠缠态( g n t a n g l c n m n ts t a t e ) 是近年来在量子力学文献中经常出现的一个词 汇，从历史讲，纠缠( e n t a n g l e m e n t ) 这一词是s c h r s d i n g e r 在1 9 3 5 年的一篇文 献p r e s e n ts i t u a t i o ni nq u a n t u mm e c h a n i c s 中【”最先提出的： i ft w o s e p a r a t e db o d i e s ，e a c hb yi t s e l fk n o w nm a x i m a l l y ，e n t e ras i t u a t i o ni n w h i c ht h e yi n f l u e n c ee a c ho t h e r ，a n ds e p a r a t ea g a i n ，t h e nt h e r eo c c u r s r e g u l a r l yt h a tw h i c hih e r ej u s tc a l le n t a n g l e m e n to fo u rk n o w l e d g eo f t h et w ob o d i e s 一e r w i ns c h r 5 d i n g e r 。 在s c h r 5 d i n g e r 的这篇文章中，他提出的对量子力学的认识接近于现在的 观点：一个量子系统的波函数或态矢给出了这个系统的全部信息。对于纠缠态， 他认为，整体状态是一个确定的态，但对于组成的每一部分处在什么状态就不确 定了。在他的论文中还提出了著名的s c h r s d i n g e r 猫态：有一只可怜的小猫被关 在笼子里，笼内放置有一只毒药瓶，瓶的开关由一个放射性原子装置控制。此原 子处于激发能态( 记为l ”) 时，瓶子是关闭的，猫未受到毒药损害，是活的。 当原子跃迁到基态( 记为i ”) 后，伴随有光子释放出来，它将启动瓶的开关装 置，毒药释放出来，猫就被毒死。s c h r s d i n g e r 用下列波函数来描述( 猫+ 原子) 这个复合体系 i 谚= 口i 活猫) 1 个) + 纠死猫) 卜) ( 1 1 ) 盯+ i p l 2 = 1 按波函数的统计诠释，p f 2 表示原子处于激发态而猫是活的概率，i 纠2 表示原 第一章量子纠缠 子处于基态而猫是死的概率。在这个系统中，猫和原子组成的系统整体状态是一 个确定的态，但对于猫来说，它以一定概率处于死和活的不确定的混合态。换言 之，猫是处于不死不活的状态，而宏观世界中，猫非死即活，二者必居其一。因 此量子力学的统计诠释有悖于日常生活经验，是难以接受的。他对量子力学规律 是否适用于宏观世界，提出质疑。 其实在s c h r 6 d i n g e r 对正统量子力学的诠释提出质疑之前，a l b e r te i n s t e i n ， b o r i sp o d o l s k y 。和n a t h a nr o s e n 在1 9 3 5 年p y s i c a lr e v i e w 上发表的一篇论 文c a nq u a n t u m - m e c h a n i c a ld e s c r i p t i o no fp h y s i c a lr e a li t yb ec o n s i d e r e d c o m p l e t e ? 1 2 对量子力学的完备性和自洽性提出了质疑，他们认为：( 1 ) 量子 力学对于“物理实在”的描述是不完备的。这主要针对波函数的统计诠释，认为 “上帝并不掷筛子”，他们相信应该存在可以对物理实在给出更完备描述的理论， 即所谓的“隐变量理论”。( 2 ) 量子力学的理论是不自洽的。这个问题的实质是 涉及多粒子体系的纠缠态概念的澄清，而在坐标表象中就表现为量子力学的“非 定域性”。 自1 9 3 5 之后的3 0 年里，这场关于纠缠和e p r 佯谬的争论一直处于哲学思 辨的层次上，对于物理学家来说“i t w a s n o t h i n g m o r e t h a n t h a t ”。直到1 9 6 4 年j o l l l l b e l l 在物理学上发表了关于e p r 佯谬【3 】一文，才大大改变了这种情形。 b e l l 得到了一个在量子力学中可以偏离，但在局域和完整的每一个模型中所必须 满足的不等式一也就是所谓的局域隐变量模型。他以两个自旋为1 2 的粒子组成 的总自旋为零的单态体系为对象，考虑到它们不再同方向上自旋分量的关联，导 出一个可供实验检验的不等式。贝尔的工作可以用来检验局域隐变量模型是否能 够对所观测的物理现象作出解释。由于贝尔不等式完全基于爱因斯坦的定域性原 理，如果实验结果证明贝尔不等式是正确的，那就否定了量子力学的预测；相反 地，如果实验结果违背了贝尔不等式，也就否定了爱因斯坦的定域性原理。a a s p e c t 【4 】等人的实验观测，以及后来所有有关的实验都证明正统量子力学理论是 正确的，而定域隐变量理论所给出的不等式与实验观测结果明显不符。实验观测 结果对贝尔不等式的违反充分证明了量子体系中纠缠的存在，且在1 9 9 6 年美国 c o r o l a d on i s t ( n a t i o n a li n s t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y ) 的c m o n r o e 等成 功地实现了介观尺度上的s c h r s d i n g e r 猫态【5 】 1 1 2 量子纠缠的意义 在1 9 9 5 年，p e t e rs h o t 在a t & t 研究中发现，对于一些问题，如果用量子 第一章量子纠缠 位来代替经典位可以大大节省计算时间。s h o r 的发现使人们对量子计算和量子 信息产生了极大的兴趣。现在量子纠缠不仅作为量子力学一个突出的特征，而且 在量子信息和量子计算中被作为物理资源来对待。1 9 9 3 年m m 研究员c h a r l e s b e n n e t t 和他的五位合作者首次将量子纠缠运用在远程传送量子信息中。b e n n e t t 和四个国家的六位科学家联合在( e h y s i c sr e v i e wl e t t e r ) ) 上发表了一篇题为 t e l e p o r t i n g a l lu n k n o w n q u a n t u m s t a t e v i ad u a lc l a s s i c a la n d e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e nc h a n n e l s ) ) 的论文 6 1 ，开创了量子隐形传态的先河，也标 志着现代量子信息的开始。 量子纠缠在量子隐形传态川中占有核心位置。量子隐形传态的基本思想是， 发送者a l i c e 和接收者b o b 之间进行一个未知量子态的传送，为了实现这个隐形 传态，a l i c e 和b o b 之间必须事先共享一个纠缠的量子通道，即e p r 粒子对， 或两个自旋1 2 的粒子a 和b 的两个独立态( 向上或向下) 分别记作l o ) 和1 1 ) ， 它们作为一个量子系统出于以下的量子态就称之为e p r 态 l 甲) 。= 去0 0 ) 。j 1 ) 。一1 1 ) 。1 0 ) 。) ( 1 - 2 ) v 上 其基本思想就是将原物的信息分为经典信息和量子信息，它们分别由经典信 道和量子信道传送给接受者，经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得的， 量子信息是发送者在测量中未提取的其余信息。接受者在获得这两种信息后，就 可以制造出原物的完美的复制品。在此过程中，原物并未被传送给接受者，它始 终停留在发送者处，被传送的仅仅是原物的量子态，发送者可以对这个量子态一 无所知，而接受者是将别的粒子变换成与原物完全相同的量子态，原物的量子态 在发送者进行量子测量及提取经典信息时已遭破坏。量子隐形传态的基本原理 是，对待传送的未知量子态与e p r 对的其中的一个粒子进行联合b e l l 基测量， 由于e p r 对的量子非局域关联性，此时未知量子态的全部信息将会转移到e p r 对的第二个粒子上，只要根据经典信道传送的b e l l 基测量结果，对e p r 对的第 二个粒子的量子态旌行恰当的幺正变换，就可以使这个粒子处于与待传送的未知 态完全相同的量子态，从而使e p r 的第二个粒子实现对未知态的重现。 量子隐形传态的基本过程： 首先制备粒子1 ，让它处于一个未知的量子态： 第一章量子纠缠 i ) ，= a l o ) 。+ 6j 1 ) 。，k 1 2 + j 6 1 2 = l ( 1 - 3 ) i 妒) 。是开始a l i c e 要传递给b o b 的量子态，但粒子1 要始终留在a l i c e 哪里。 要实现这个未知量子态的隐形传送，其具体过程可分为以下三个步骤来完成： ( 1 ) 量子通道的建立，即e p r 源的制备过程。为了传送量子位，除粒子1 外，还需要另外两个粒子，我们称之为粒子2 和粒子3 ，粒子2 和3 制备到如下 的e p r 量子态上： 甲) 。= 击( i o ) ：1 1 ) ，也i o ) ，) ( 1 - 4 ) e p r 对构成的量子体系的复合波函数，即量子态l 甲) 可以写成l 力。与l l 壬，) ：，直积 的形势： l 甲) 。= 慨固j 甲) 。 = 。1 0 ) l + 6 1 1 ) 1 ) 圆击( i o ) 2 1 1 ) ，帆i o ) ，) 2 西a ( 1 0 ) i i o ) ：1 1 ) ，一i o ) 。恢i o ) ，) + 万b ( 峨i o ) ：1 1 ) ，柏j 1 ) 2 i o ) ，) ( 1 - 5 ) a l i c e 持有粒子2 ，将粒子3 发送给b o b 。为了完成隐形传态，a l i c e 必须对 粒子1 和粒子2 进行测量。粒子1 和粒子2 构成的量子系统可以使用b e l l 基表 示，b e l l 基为： 1 2 = 万1 ( m i o ) ：1 1 ) 1 1 1 ) ：)1 2 = 西1 ( 1 ) ：1 1 ) l l o ) 2 ) ( 1 - 6 ) 则i v ) 。可表示为： m 。韶二黼鼎裂端 ， ( 2 ) a l i c e 将测量结果传送给b o b 。a l i c e 采用能识别b e l l 基的分析仪对粒 予1 和她拥有的e p r 粒子2 进行联合测量，测量的结果出现在四种可能的量子 态中的任意一个，其几率是1 4 。a l i c e 进行一次测量只能得到一个结果，即粒子 1 和粒子2 的子系统在测量之后将塌缩到其中一个b e l l 基上，并与粒子3 消纠缠， 基于纠缠的非局域性，a l i c e 的测量结果将使得粒子3 由原来的纠缠态塌缩到相 第一章量子纠缠 应的量子态上，其对应关系为： m i c e 对粒子i ，2 的b e l l 基测量后粒子3 可能的量b o b 对粒子恢复时的幺 测量结果 子态 正操作 p ) ，： - a l o ，- b l ， 一( ： p ) 。：- a l o ，+ 6 1 1 ) 3 ( 州 ： 口陬+ b l o ， ( ： 口峨- b l o ， ( 量子隐形传态的目的是将粒子3 制备在粒子1 原先的量子态上，所以b o b 在 a 1 i c e 对粒子1 和2 进行联合测量后，只有根据a l i c e 的测量结果对粒子3 进行 相应的幺正变换，才能得到a l i c e 要传送的未知量子态。 ( 3 ) a l i c e 经由经典信道将她对粒子i 和2 的测量结果告诉b o b ，b o b 根据 这个结果对粒子3 实施相应的幺正变换，就可以使粒子3 还原出粒子i 的状态， 从而实现了量子隐形传送。 1 9 9 7 年1 2 月，奥地利i n n s b r u c k 的z e i l i n g e r 小组在实验上首次成功演示 了量子隐形传态，论文发表在 n a t u r e ) 上。这是国际上首次在实验上成功的将 一个量子态从甲地的光子传送乙地的光子上。实验中传输的只是表达量子信息的 状态，作为信息载体的光子本身并不被传输。 量子隐形传态是量子通信中最简单的一种，它不仅在物理学领域对人们认识 与揭示自然界的神秘规律有非常重要的意义，而且可以用量子态作为信息载体， 通过量子态的传送完成大容量信息的传输，实现原则上不可破译的量子保密通 讯。如果量子隐形传态的技术得以实现，它将在量子计算和量子通信中获得重要 应用，而所有这些的基础都是以纠缠态作为一种物理资源的。纠缠态因为它的非 局域性成为量子信息学的基础，在量子计算和量子密码术等其它量子信息中占有 核心位置。可以说没有量子纠缠就没有现在的量子信息学，制备和研究纠缠态成 为量子信息学中的一个重要组成部分。 第一章量子纠缠 1 2 量子纠缠概述 1 2 1 纠缠的概念 关于纯态纠缠，可以从以下几个方面去理解： ( 1 ) 如果一个由n 个子系构成的系统的密度矩阵不能写成各个子系统密度矩 阵直积的形势，即n n 办。岛。岛固m ，则称这个系统是纠缠的。在整 个大系统中，整体系统是处在一个确定的状态，但对每一个子系，却不是。在纠 缠态中不能通过描述各个组成部分来描述整体系统，也不能通过确定整体状态来 确定每一个子系所处于的状态。如在s e h r s d i n g e r 猫态中，即 i 妒) = 口i 活猫) 1 个) + i 死猫) 卜) ，猫和原子整体是一个确定的状态，但猫以l 口1 2 的 概率处在活的状态，以i 1 2 的概率处在死的状态，其中i 口1 2 + l 1 2 = 1 ，对猫来说， 它处于或死或活的不确定的状态上，因此系统的整体状态不能通过描述猫和原子 的状态来确定。 ( 2 ) 也可以从关联角度来理解纠缠。如果对系统的其中一个部分的测量结果不 依赖于是否对其他粒子进行了测量，则这个系统处在非关联态上，反之，则这个 系统处在关联态及纠缠态上。例如：对于由二能级原子l 和2 组成的系统状态为 i 甲) 。：= 去( i o ) 。i o ) ：+ i o ) ，1 1 ) ：) ，其中i o ) 齐n 1 1 ) 分别表示原子处在基态和激发态。对 v 二 原子l 进行测量，测量到它处于基态的概率为1 ，这并不依赖于是否对原子2 进 行了测量，同理，测量到原子2 处于基态和激发态的概率也不依赖于原子1 。但 是，对于态i 甲) 。：= 去( 1 0 ) 。i o ) ：+ | 1 ) 1 1 1 ) ：) ，测量到原子l 处于基态的概率依赖于 、， 是否对原子2 进行了测量：如果对原子2 进行了测量，假设态塌缩在去i o ) 。i o ) ： v 二 上，这时测到原子1 处于基态的概率为1 ，处于激发态的概率为o ；而如果没有 对原子2 进行测量，则测到原子1 处于基态和激发态的概率均为i 2 ，所以对原 子1 的测量结果依赖于是否对原子2 进行了测量，这时整体状态就处在一个纠缠 态。 ( 3 ) 纠缠态还可以从约化密度矩阵是否为混合态角度来考虑：在量子力学中， 对于一个复合体系，若只对其子体系的力学量进行观测，就是一个不完全测量， 7 第一章量子纠缠 在此情况下，为了描述子体系的量子态，就需要引进约化密度矩阵【8 1 。 考虑复合体系a 十b ，设i 讥是构成子体系a 的量子态的一组完全集，i ) 。是 构成子体系b 的量子态的一组完全集，则l f ) 。o f p ) 。；l f ) 。l ) 。；i 胁) 构成复合 体系a + 丑的量子态的一组完备基，则a + b 体系的任何一个量子态总可以表示成 这一组完备基的线性叠加， 1 1 l ，) 。= ) 。，k f = 1 ( 1 - 8 ) s u 相应的密度矩阵为 以+ 。- - i v ) 。婶i = 口，o l i ) 。i 力。( _ ，l 。p i ( 1 9 ) i , u i o 对于复合体系a + b 来讲，这是一个纯态。 设既是子体系a 的可观测量，则在复合体系a + b 中，在l 甲) 。态下的平均 值为 ( g ) = 。( 甲l 幺。如l 甲) 。 = 。( 儿( d l g o 厶院i ) 。 i pm = 4 即。( ，i g h ( 1 - 1 0 ) f p 它可以表示成： ( 幺) = 以( 矶奶) 以= 咿加+ h 。( 州 拙 = ( ) ( 1 1 1 ) 以= ( p 。) 称为约化密度矩阵。约化密度矩阵具有如下一些性质： ( 1 ) 九+ = 办 ( 2 ) t r , n = 1 ( 3 ) 办的本征值为非负实数。 纠缠态从约化密度矩阵来考虑：对于一个多粒子体系的量子态，如果它的子 体系相应的约化密度矩阵是混合密度矩阵，则为纠缠态，反之，约化密度矩阵为 纯态密度矩阵，则为非纠缠态。 第一章量子纠缠 例如：对于e p r 态： l 甲) 。= 万1 ( 1 ) 。一1 1 ) 。i o 。) ( 1 1 2 ) 其密度矩阵： n 。= i 甲) 。( 甲l ( 1 - 1 3 ) a 原子的约化密度矩阵为 以= ( 儿) = 兰( i o ) 。( 。i + i ) 。( t i ) = 丢( ：) = j 1 c t 一4 ， 显然n 22 去l 以，是混合态。因此是纠缠态。而对于态 l 甲) 仰= 击( m 1 1 ) 。一1 1 ) 胞) ( 1 1 5 ) 一= ( p 。) = 州 m 成2 = 三( 1 ： = 以，是非纠缠态。 1 2 2 量子纠缠程度 为了表示对纠缠的量度，引入纠缠度的概念。作为量子纠缠的定量描述，纠 缠度应满足一下准则： ( i ) 可分离态的纠缠度是零。 ( i i ) 对任一组份粒子进行的任何局域幺正变换不应改变纠缠度。也就是说， 局域幺正变换等价的态应有相同的纠缠度。 ( i i i ) 在局域操作和经典通讯下，系统的平均纠缠不应增加。 目前，常用的纠缠度有三种： ( 1 ) 量子约化熵，即 c o nn e u m a n n 熵 量子约化熵例只适用于计算纯态的熵。在纯态i 甲) 。中，每个粒子状态的约 化熵彼此相等，即s ( 九) = s ( 店) ，成，, o n 为子体系a ，b 的约化密度矩阵， 几。= i 甲) 。i ( 1 1 7 ) 第一章量子纠缠 p = t r b p u ，p b = 打m p n t 1 - 1 8 ) 其中s ( 以) 的定义为： s ( 以) = 一f ，( 以l 0 9 2 p a ) 由s c h m i d t 分解1 ：两体系统的任一纯态i l i ，) 。总可以表示成以下称为 s c h m i d t 分解的形式： l l i ，) 。：z 厄l i ) 。l i ，) 。 f 厄：1 ( 1 - 1 9 ) 这里厄有时也取负根； 1 1 ) 。 和驴) 。 分别是h 。和h 。中某两组特殊的正交基， 。o l j 。= 岛和。( ，i j ) 。= 岛 ( 1 - 2 0 ) 可得，在纯态i 甲) 。中，每个子体系的约化密度矩阵具有相同的本征值，所 以量子纠缠度可以用任意一粒子的约化熵来定义， 占，= s ( 仍) = s ( 岛) ( 1 - 2 1 ) 量子约化熵的取值范围为：o 岛s l 。当岛= o 时，则说明l 甲) 。为非纠缠 态；如果岛= 1 ，则i 甲) 。为最大纠缠态。 ( 2 ) 量子相对熵 对两体量子态一。，相对熵纠缠度可定义为：态以。对于全体可分离态的相 对熵的最小值 1 1 - 1 2 】： 耳( ) = m i n s ( n 。口。) ( 1 - 2 2 ) d 柚e d 其中：s ( 口) 为相对熵： s ( 如口吒。) = t r p ( 1 0 9 ：如一l 0 9 20 a s ) ) ( 1 - 2 3 ) 。为全部两体可分离态的集合。量子相对熵纠缠度在量子信息领域中起着重要的 作用，它形象的解释为纠缠态与非纠缠态的最小“距离”，对两体纯态，量子相 对熵等于量子约化熵 ( 3 ) p e r e s 判据 p e r e s 给出了关于给定量子态是否可分离的一个判据【1 3 1 ：两体双态系统密度 矩阵以一式可分离态的充要条件为：对其任一体做部分转置运算后所得矩阵p ? 第一章量子纠缠 一，。t a 仍是个密度矩阵，既不出现负的本征值。如果出现负的本征值，则为纠缠 态。纠缠程度定义为：占= - 2 丑，其中丑为密度矩阵部分转置后的负的本征 ， 值。当s = 0 时，为可分离态，当占= l 时，为最大纠缠态。 对于两体双态系统以。，例如对a 进行部分转置为： p 2 = 。( o l p 。l o ) 。i o ) 。( o l + ( 1j p 。1 1 ) 。1 1 ) 。0 1 + 。( 1 l p a 。i o ) 。i o ) 。( 1 l + 。( o l p 。1 1 ) 。1 1 ) 。( o l ( 1 - 2 4 ) 1 2 3 量子纠缠的物理本质 从关联测量的实验观测角度：纠缠的本质为关联塌缩。这也是量子纠缠的精 髓，即在对各个粒子分别作测量时，表现为各个粒子状态塌缩结果之间是否存在 关联。 从理论分析角度：纠缠等价于关联非定域性。 从允许内部相对位相差角度：两体系统存在纠缠的充要条件为，两粒子间不 容许存在任意相对位相差而不改变系统的状态。 量子纠缠是一种量子的物理效应，它之所以引起人们的兴趣在于它的重要 性：第一，在测量塌缩中表现出一种非定域的、超空间的关联，并且成为调控和 传送量子信息的重要手段。第二，量子系统与环境发生难以避免的量子纠缠正是 量子退相干一量子信息丧失的主要方式。 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 在量子光学领域，由于非经典光场理论和实践的重要性，近十几年来已引起 了人们的极大关注；实验上业已证明光场的非经典效应有：光场压缩态、光子反 聚束和亚泊松分布。这些被近代光学实验证实的光场的许多非经典效应和非经典 特征表明，光场具有一些不同的量子特性，这些都只能在全量子理论范围以内加 以精确解释。由于压缩态在其某一正交位相分量上具有比相干态更小的量子噪 声，因而它在光通信、精密计量等方面有着潜在的应用前景；因此对有关物理体 系的压缩效应和其它各种非经典特性进行系统研究，不仅在理论上具有极大的学 术价值，更重要的是具有实践意义。 光场与原子间的相互作用一直是量子光学研究的中心，其中最简单且精确可 解的模型为j a y n e s c u m m i n g s 模型。 2 1 光场的相干性 2 1 1 光场的经典相干性 我们知道，在两束光波的交叠处，如果出现光场强度重新分布的干涉条纹， 我们就说这两束光使彼此相干的，反之，如果不出现干涉条纹，我们则说这两束 光彼此不相干。光的干涉实验表明，只有当两束光的频率相同，且相互间有稳定 的相位差时，它们才能产生干涉。对于同一束光，如果它的子波列之间彼此相干， 我们则说这束光场为相干光场。例如，由于激光的单色性好，所以它是较理想的 相干光场，而由腔体辐射的热光场则由于它是由大量不同频率的光波组成，所以 一般说来它不是相干光场。在经典理论中，光场的相干性表现为光场的时间相干 性和空间相干性。迈克尔逊干涉仪是测量光场时间相干性的典型装置：产生干涉 的两束光是同一点光源在时间间隔小于相干时间内产生的。杨氏双缝试验是展现 光场的空间相干性的典型装置：干涉图样反映的是，有实际线度的光源发射的光， 在它传播的多大空间范围提取的两个次波经双缝后还呈现相干性 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 2 1 2 光场的非经典效应一反聚束效应 在相干光场中，用一阶相干度g 1 ( ，吒，f ) 1 棚来描述不同时空点光场的相位 关联程度。它反映了来自两个光场时空点的光场叠加时产生干涉的能力。在量子 体系中，一阶相干度定义为： g ( 1 ) ( 柏，) = 竺竺羔! 1 2 ( 分一( t t ) 会卜( 吃岛) ) ( 会一( 乞) 会+ ( t t ) ) i ( 2 1 ) 方程右边的角括号是系综平均。其中e ( ) 为时空点( 疗) 处的电场强度算符， 它可以表示成： ( ”卜) ( 一) r ( + ) 1 + ( 一) = e ( 疗) + e ( ) ，e ( r f ) 2 l e ( r f j 2 2 e ( 疗) 是电场的正频部分，它只包含光场的湮灭算符。e ( 疗) 是光场的负频部 分，只包含产生算符。 通常，我们把g 1 ( ，吒，f ) = 1 的光场叫做一阶相干光。g o ( ，眨，f ) = o 的叫作 非相干光。介于0 和1 之间的叫作部分相干光。 经典理论中对一阶相干度的定义相似，只是用f ( 一) 来代替盒。( ) ，用 e ( ) 代替e ( 玎) 。且一阶相干度的取值范围相同的。 光场的一阶相干度只是描述了不同时空点光场的相位关联程度，但不能描述 不同时空点光场的强度关联，因而对光场一阶相干度的讨论不足以全面揭示光场 的相干性，需要引入高阶相关函数。 光场的二阶相干度： g 2 ( ，吒岛；巧，吃f 2 ) = ( 2 3 ) 如果光场的二阶相干度o g 2 ( ，r 2 t 2 ；r 1 6 ，吒乞) 1 ，称此光场是反聚束的， 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 而g 2 ( ，；柏，吒f 2 ) 1 则称为聚束的：当高的强度起伏峰到达光电管时，引起密 集的光子计数，而低强度谷到达时，产生很少的计数。光场的反聚束效应不同于 光场的聚束效应，是光场的一种非经典效应，这种非经典效应是经典理论所不允 许的，它是光场量子特性的体现。 如果所讨论的光场是自由光场，则二阶相干度可简化为 g ( 2 k ) = 锝 ( 2 - 4 ) 则表明光场的二阶相干度能反映光场的光子数的空间分布。光子的反聚束效 应说明光场具有很好的空间分布。 2 2 光场的压缩态 随着认识的深入，人们已经发现有三类光：一是混沌光，它是由自发辐射过 程产生的光子构成的，给出的是最大噪声的光场；二是相干光，即激光，具有很 低的总噪声，并称之为真空噪声；三则是由非线性过程产生的非经典光，如压缩 光、光子数态光等。 由于压缩态中可以使光场的某个正交分量具有比相干态更小的量子噪声，因 此，在光通讯、高精度测量等诸多应用中具有极为重要的实际意义。 2 2 1 压缩态的定义 将频率为国的光场看成一个谐振子场，相应的广义坐标和动量为： ；= 压( 衍)；= 厚( o 协s ， 均方差定义为： 爿= 相干态是湮灭算符的本征态 拍刮口) i 口) = e x p ( 一明莓渺 对于相干态，它具有最小的量子涨落： ( 幻) = 压( 印) = 厚( g 印) = 苎 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 妣妒卜臣 协 妊黔 = 压； 文：文： ：一i ( 2 - 1 1 ) ( ( 戚) 2 ) ( ( 氨) 2 ) 而1 协 ( ( 文，) 2 ) = ( ( 受：) 2 ) = i 1 ( 文- 支：) = i 1 c 2 一s ， 如果( 文1 ) 2 或( 支：) 2 - - s ( 占) l o o ) = i _ ( 一e 。8 t a n h s ) l n ，1 ) (222)eosh s 怠、 川 通过调节压缩参量占，可以使双模压缩真空场的某一正交分量小于最小真空 涨落。 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 2 2 2 双模压缩真空场的纠缠性质 对于压缩角为零的双模压缩真空场，不仅可以就有压缩性质，而且还具有良 好的模问纠缠性质”】，可以用量子约化熵来表示两模间的纠缠程度 s = s ( p o ) = s ( 见) = c o s h 2 s l o g ：( c o s h z s ) - s i n h 2 s 1 。g ：( s i i l h 2 s ) ( 2 2 3 ) 成，见是频率为吃，两个光场的约化密度矩阵。画出模间纠缠度随压缩 参量变化的关系图 x 图1 - 1 模间纠缠度随压缩参量的变化 横轴代表压缩参量s 的变化，纵轴代表模间纠缠度，即量子约化熵 可见随s 的增加，模间纠缠也逐渐增加，当s 增大到某一程度，即c o s h ( r ) s i n h ( r 1 时，模间纠缠为零。 2 3j a y n e s c u m m i n g s 模型 量子光场与原子的相互作用是量子光学和激光物理研究的核心内容之一，该 相互作用最简单且可精确求解的模型为j - c 模型。它是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在 讨论微波激射器时提出的。它描述的是单个二能级原子与单模量子电磁场的相互 作用，是描述原子与光场作用的理想模型。 假设原子仅有一个处于中心位势为v ( r ) 中，且质量为研，电荷为e 的电子， 电子的动量为p 。电子与频率为缈的可以由矢势a ( r ，f ) 描述的辐射场相互作用， 则系统的哈密顿量可写为 第二章光场的鼍子特性及与原子作用模璎 日= 去( p 一咣) 2 + 矿( ，) + 诉= 以+ 砟+ 毋 ( 2 2 4 ) 其中以为描述原子的哈密顿量，h 4 2 五1 - + 矿( r ) ：描述辐射场的哈密顿量 月r ，= a 鲫a ，描述原子与场相互作用的哈密顿量 珥= 一旦2 m c k 五；) + 新柳 沼2 s ， 在略去小量去( 嘭) 2 ，和长波近似下，相互作用哈密顿量可写为 h i = 一三五j ( o ) ( 2 - 2 6 ) ，以c 其中彳( o ) = 五( 4 + + 4 ) 若二能级原子的两个能量本征态基态和激发态分别用l e ) 和k ) 表示，则这两 个能量本征态可构成一组完备基矢。设原子两个能级能量分别为e = 圭壳嘞和 乓= 一三壳，能级间隔为衄= e 一以= a 嘞。 原子的能量算符h 。可表示为 矾= e , l e ) ( e l + e , l g ) ( g i = 警( i e ) p h g ) ( g i ) ( 2 - 2 7 ) 原子的动量算符p 可写为 p = p i 尸i g ) i e ) ( g i + ( g i p i e ) l g ) 0 i m 。a y od ( 1 e ) ( g i + 酬e i ) ( 2 - 2 8 ) 如果l 。= 习，l g ) = o ，协( g i ，j g ) ( e l 可以用赝自旋算符叽和t 表示， 其中q = 瞄习，疋= o 习，满足 q i g ) - - l e )q i e ) = o t i g ) = 0 疋l e ) = l g ) ( 2 2 9 ) 第二章光场的量子特性及与原子作用模型 贝l j h a = 警吒，p = 一警d ( 以+ 以) ，相互作用哈密顿量 珥= 上m c 五( “口) ( - 警t i ed j ( q + 以) 、 k， ；g ( 口+ c r - + 口o o + 口+ c r + + a o r ) ( 2 3 0 ) g 为原子和光场的耦合常数。式中第一项反映的是原子由激发态跃迁到基态 并放出一个光子的相互作用过程：第二项反映的是原子由基态跃迁到激发态并吸 收一个光子的过程；第三项表征原子由基态跃迁到激发态并放出一个光子的过 程；第四项对应原子由激发态跃迁到基态并吸收一个光子的过程。 在近共振情况下，即光场频率与原予本征跃迁频率近似相等，国* c o o 的情况 下，前两项对应的过程能量守恒，a 目* 0 。由不确定关系 f a t 壳( 2 3 1 ) 可得，f 一。，即产生稳定的实光子。 但是后两项对应的过程中能量不守恒，且能量改变量为a e = h ( c o + d 0 0 1 ，e