（应用数学专业论文）脉冲微分方程解的存在及稳定性.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 脉冲微分方程广泛地应用于理论力学、化学、生物学、医学、控制理论等 诸多学科领域近年来脉冲微分方程解的存在及稳定性的研究受到了越来越多 研究者的重视，普遍的方法是利用比较方法、不动点定理和李亚普诺夫第二函 数方法。 本文主要工作包括： 利用迭代分析方法很成功地获得了某类脉冲和时滞微分方程解的存在性和 唯一性，以及其解稳定的充分条件。 本文第二章介绍了常微分方程中证明解的存在唯一性的毕卡存在唯一性定 理及本文用来研究各类微分方程解存在性和稳定性的迭代分析方法。 第三章分别把毕卡存在唯一性定理推广到带脉冲的常微分方程及带脉冲的 常微分方程组当中，并且还得到了其解稳定的充分条件及其衰减的时间估计。 第四章是把这种迭代分析方法应用到一种较常见、应用性也很广的一类中 立型时滞微分方程中，也得到其解存在性、唯一性、稳定性和衰减的时间估计。 第五章是对一类带脉冲的偏微分方程利用迭代分析方法来讨论其解的存在 性、唯一性、稳定性和衰减的时间估计。 最后一部分就对迭代分析方法的进一步研究进行了总结和展望。 通过讨论，我们可以清晰地看到：所研究的时滞或脉冲问题解的存在性及 稳定性的结论与时滞变量和脉冲条件密不可分。 关键词：迭代分析，脉冲，存在性，稳定性 彳闳人：赵组忱楚物岛 主- 冉：毒亥叶 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a l lb es u c c e s s f u l l yu s e df o rm a t h e m a t i e a l s i m u l a t i o ni nt h e o r e t i c a lp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o t e c h n o l o g y , m e d i c i n e ，p o p u l a t i o n d y n a m i c s ，o p t i m a lc o n t r o l ，a n di no t h e rp r o c e s s e sa n dp h e n o m e n ai ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g y t h e e x i s t e n c et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s h a sb e e n d e v e l o p e db yal a r g en u m b e ro fm a t h e m a t i c i a n s ，a n dt h o s es t u d i e sh a v ea t t r a c t e d m u c ha t t e n t i o n t h e yh a v eb e e ns u c c e s s f u li nd i f f e r e n t a p p r o a c h e sb a s e do n c o m p a r i s o nt e c h n i q u ea n dl y a p u n o vm e t h o d i nt h i sp a d e l i n c l u d e ： s u c c e s s f u l l yu s i n gi t e r a t i v ea n a l y s i sm e t h o dg e ts o m ep u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no f t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b l i l i t yo f t h e i r s o l u t i o n s t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e dp i c a r d se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m si n o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n s a n dt h i sp a p e ru s e dt os t u d yv a r i o u st y p e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n se x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo f t h ei t e r a t i v ea n a l y s i sm e t h o d t h et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e dp i c a r d se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m sw e r e e x t e n d e dt ot h ep u l s eo f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ss y s t e m , a n da l s og e ti t sf u l lc o n d i t i o n so f s t a b i l i t ya n dt h et i m ed e c a y e s t i m a t e s t h ef o u r t hc h a p t e r , i t e r a t i v ea n a l y s i sm e t h o di sa p p l i e dt oam o r ec o m m o n , w h i c ha l s oh a v eav e r yb r o a da p p l i c a t i o no f ac l a s so f n e n t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，g e ti t se x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s , s t a b i l i t yo f s o l u t i o na n d t h et i m ed e c a y e s t i m a t e s n l ef i f t hc h a p t e r ac l a s so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u i s i v e si s b e e nd i s c u s s e di ni t ss o l u t i o ne x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t y , a n dt h et i m ed e c a y e s t i m a t e sw i t ht h ei t e r a t i v ea n a l y s i sm e t h o d s o nt h el a s tp a r t , f u l t h e rs t u d yw e r es u m m a r i z e da n dp r o s p e c t s t h r o u g ht h i sd i s c u s s i o n , w ec a nc l e a r l yu n d e r s t a n d ：r e s e a r c hb yt h ed e l a yo r p u l s i v ep r o b l e m sa n dt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sw i t ht h ec o n c l u s i o n so fs t a b i l i t ya n d p u l s i v ed e l a yv a r i a b i ec o n d i t i o n sa r ei n s e p a r a b l e k e yw o r d s ：i t e r a t i v e ，i m p u l s i v e ，e x i s t e n c e ，s t a b i l i t y h 武汉理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景和意义 微分方程理论一直是数学理论与应用研究的重要方向之一这是因为它所 涉及的问题来自各类学科如工程、自动化动力系统、控制理论、生物学、医学 等社会科学中众多的数学模型，因而有强烈的实际背景【i 】；另一方面，在微分方 程理论的研究中，对数学也提出了许多具有挑战性的问题。本世纪以来，自然 科学与社会科学的许多学科提出了大量时滞、脉冲微分方程问题，如动力系统、 核物理学、生物学、自动化控制理论、激光加热、地基工程等，微分方程理论 有着广泛的应用1 2 】。 与此同时，许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶 段，会出现快速的变化，为了方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽 略这个快速变化的持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的，这种瞬 时突变现象通常称之为脉冲现象【3 】，脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是 普遍存在的，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特 点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻、更精确地反映 事物的变化规律近年最新科技成果表明，这类系统在航天技术、信息科学：控 制系统、通信、生命科学、医学、经济领域均得到重要应用【4 】。例如，可应用于 大型空间航天器的减震装置、卫星轨道的转换技术；可应用于机器人的研制； 还可应用于神经网络、混沌控制、机密通讯的研究【5 朋。 下面考虑一个具体的例子： 脉冲控制问题该问题起源于飞船等航天器的行使控制、生态控制等问题的 研究控制的目的就是干涉它的运动过程来达到预期的结果控制一般分为连续 控制和脉冲控制脉冲控制最大的优势是易于操作，并且经济适用，如在火箭运 行控制中，其运行轨道的脉冲校正装置要比飞行过程中的监视和正确行驶的装 置简单得多和经济的多 7 - m 。 脉冲微分方程的研究始于上世纪六十年代，近年来，脉冲微分方程的理论 已经得到了较大的发展在脉冲作用下，系统能否保持其基础系统的( 无脉冲的 相应系统) 零解的稳定性? 一个原来不稳定的基础系统在脉冲的作用下可以稳定 化，一个稳定的基础系统在脉冲的作用下可能保持稳定，其稳定性也可能被破 坏所以研究脉冲作用对一个系统的影响以及利用脉冲对系统进行控制具有较 武汉理工大学硕士学位论文 大的意义 3 0 - 3 2 】。 1 2 微分方程理论的研究现状 众所周知，在以往研究常微分方程存在、唯一性及稳定性时，普遍的方法是 分别利用比较方法，不动点定理和李亚普诺夫第二函数方法，尽管这些方法从 理论上来讲对研究脉冲微分方程都是相当成功的，但是从实际操作上这些方法 却有其不便之处，主要的困难在于李亚普诺夫函数的构造难度很大【i ”而且这些 研究用在带脉冲或者时滞的微分方程中的并不多见。本文的参考文献中只有 8 - 1 0 和 1 3 是利用迭代分析方法来研究某一类微分方程解的存在及稳定性 迭代分析方法是根据研究解的存在唯一性的逐次迭代的思想( p i c a r d 存在 唯一性定理) 发展而来的避免了构造l y a p u n o v 函数之难，避免了过烦计算， 而是直接根据系统右端系数之间的积分估计，给出显式代数判据0 4 q 8 】由于积 分具有平均性质，因此不要求系统是缓变的，甚至允许系统在某些时刻变化的 幅度较大值得强调的证明过程虽然看起来较繁，但并不需要具体计算每次迭 代程序，只要求保证迭代收敛的条件满足，便可得到各种稳定性判据，在验证 满足稳定条件时，较其他方法容易【”j 迭代分析方法是讨论微分方程解的性质的一种重要方法，目前仍在发展， 但是将其用于讨论脉冲微分方程的并不多见。近些年来，该研究方向逐渐成为 世界上数学理论及应用中的热门研究方向之一。本文主要研究是源于毕卡存在 唯一性定理【2 3 l 以及其在一般的常微分方程稳定性的应用【2 4 l ，因此本论文研究中 的创新点就在于研究的微分方程是具有脉冲项作用和时间滞后影响条件的微分 方程并且将讨论其迭代分析方法同时用于存在性、唯一性和稳定性的研究问题。 本文第二章介绍了毕卡存在唯一性定理及本文用来研究各类微分方程解存 在性和稳定性的迭代分析方法。 第三章分别把毕卡存在唯一性定理推广到带脉冲的常微分方程及带脉冲的 常微分方程组当中，并且还得到了其解稳定的充分条件及其衰减的时问估计 第四章是把这种迭代分析方法应用到一种较常见，应用性也很广的一类中 立型时滞微分方程中，也得到其解存在性、唯一性、稳定性和衰减的时间估计。 第五章是对一类带脉冲的偏微分方程利用迭代分析方法来讨论其解存在 性、唯一性、稳定性和衰减的时间估计。 最后一部分就对迭代分析方法的进一步研究进行了总结和展望。 2 从已有的研究结果看理论上这类微分方程较之经典微分方程的讨论更加复 杂，具有一定的前沿性和紧迫性。所研究的脉冲问题解的存在性及稳定性的结 论与时滞变量和脉冲条件密不可分。 文中所有的主要结果中的定理都是本人根据已有类似的方程研究的结果推 导出来的，如有错误之处，恳请各位专家批评指正为谢! 武汉理工大学硕士学位论文 第二章毕卡存在唯一性定理和迭代分析法 2 1 毕卡存在唯一性定理吲 引理【2 3 1 设初值问题 ：字= f ( x ，_ ) ，) ，y ( x o ) = y 。， 其中f ( x ，力在矩形区域 r ： l x - - x 0 l a , l y - y 。l 6 内连续，而且对y 满足李氏条件，则( e ) 在区间1 = i x 。- h ， g o + 加上有并且只有一 个解，其中常数 = n t i n ( ，刍) ，而奶“m 蒯a x f ( x , y ) | 。 证明为了突出思路，我们把证明分成以下四步： ( 一)初值问题( e ) 等价于积分方程 y = y o + if ( x ，y ) d x ( 2 1 ) 事实上，设y = y ( x x x e ，) 是( e ) 的解，则有 y ( 曲i 厂( j b ) ，( z ) ) ，( 工，) ( 2 2 ) 和 y ( x o ) = y o ( 2 3 ) 由此，对恒等式( 2 2 ) 积分并利用初值条件( 2 3 ) ，得到 ) ，( 力= y o + 【，( _ ) ，( 力) 出，o ，) 即y = 贝力是积分( 2 1 ) 的解。 反之，设y = ) ，o d 是( 2 1 ) 的解，则只要逆转上面的推导就可知道 y = y ( 力是( e ) 的解。 因此，我们只需要证明积分方程( 2 1 ) 在区间，上有且只有一个解 ( 二)用逐次迭代法构造毕卡序列 y s + l ( 工) = ) ，o + f ( x , y ( 功) 出，( 工，) ( 2 4 ) 4 武汉理工大学硕士学位论文 仰= 0 , i ，2 ，) ，其中) 。( 力= y o 。 当疗= o 时，注意到阮儿( 力) 是，上的连续函数，所以由( 2 ，4 ) 可见 一( 力= y o + f 厂( 工，y o ( x ) ) d x ，( j d 在，上是连续可微的，而且满足不等式 i y - ( 曲一y o l s l 【沙( x ) i 叫m i j x o l ( 2 5 ) 这就是说，在区间，上i y l ( x ) - y o - m h 曼6 。 因此，似m o ) ) 在，上是连续的。所以由( 2 4 ) 可见 y 2 ( 工) = y o + ，y 。( 力) 出，o d 在，上是连续可微的，而且满足不等式 i y ：o ) 一y 。i s i e 扩( 而) - ( 力i 叫m i 工一i ， 从而在区间，上l y ：( 曲一y o l 胁6 。 如此类推，用归纳法可证：f l ( 2 4 ) 给出的毕卡序列y = 儿( 曲在，上是连续可 微的，而且满足不等式 | ) ，。( x ) - y o l m l x - x o f o = o ，l 2 ) 。 ( 三) 现证毕卡序列y = 只( 砷一致收敛到( 2 1 ) 的解 注意，序列儿( 曲的收敛性等价于级数 【。( x ) - y 。o ) 】 ( 2 6 ) 的收敛性。下面证明级数( 2 6 ) 在，上是一致收敛的。为此，我们用归纳法证明 不等式 h ( 曲州小警警 在，上成立q = o 1 ，2 ，“。 事实上，当月= 0 时由( 2 5 ) 可知( 2 7 ) 成立。 假设当行= 七时( 2 7 ) 成立先由( 2 4 ) 推出 i y o ) 一儿+ t ( 纠= j l f ( x ，y k + - ( 砌一f ( x ，y t o ) ) 蚓 再利用李氏条件和归纳法假设，我们得到 武汉理工大学硕士学位论文 似- - y i + 1 ( x ) | i 卅) ，“( 力一y , ( x ) l d x m l 学叫l k ( 七+ 1 ) ! i m ( l i x 一1 ) m 工 ( 七+ 2 ) ! 即，当玎= k + 1 时( 2 7 ) 也成立。因此，( 2 7 ) 得证。 显然，不等式( 2 7 ) 蕴含( 2 6 ) 在区间，上是一致收敛的。因此，毕卡序列 y = y 。( 石) 是一致收敛的。则极限函数 妒( 曲= l i m ) ( 工) ，( j e ，) 在区间，上是连续的。然后利用f ( x , y ) 的连续性和毕卡序列的一致收敛性，我 们在( 2 4 ) 中令n 一就得到 矿( j ) = y o + f 厂( 五妒( ) 西r ，( 工d 即，y = 烈工) 在区间，上是积分方程( 2 1 ) 的一个解。 ( 四)最后证明唯一性 设积分方程( 2 1 ) 有两个解分别为y = ( 曲和y = ，( 工) 。令 j = 阮一d ，x o + d 】为它们的共同存在区间，其中d 为某一正数，“s ) 。则由 ( 2 1 ) 推出 一“工) = f t y ( x ，( 助一，“曲) 猕，( x a 3 再利用李氏条件，我们得到 i l f ( 曲一v ( 刮s 叫【扣( 力一v o m 刮 ( 2 8 ) 注意在区间，上，| l l ( 茗) 一1 ( 力i 是连续有界的。因此可取它的一个上界k 。则由 ( 2 8 ) 式可见 扣( 工) 一v ( 工) i s 工足k 一而l 然后把它代a ( 2 8 ) 的右端，我们推出 卜( x ) 一v ( x h s k ! 兰k ：；鱼垒二- ， o ，) 然后，令疗- - i ，则上面不等式的右端趋于零。因此，我们推出 ( d = “工) ，0 ，) 6 武汉理工大学硕士学位论文 这就是说，积分方程( 2 1 ) 的解是唯一的。 2 2 迭代分析法【2 5 】 从毕卡存在唯一性定理的证明过程我们可以清楚的看到，对于一般的常微分 方程解的存在唯一性，我们可以用上面的四步来证明，那么，类似的在带脉冲 或者时滞的微分方程中是否也能用这样的思路来考虑其解的存在、唯一性，或 者更迸一步的稳定性? 这样的一种方法我们就称之为“迭代分析法”。利用迭代 分析法来研究方程存在唯一性及稳定性的一般步骤如下： 第一步：把要讨论的方程转化为一种带积分的形式。 第二步：根据解得积分形式定义一个合适的迭代序列，并证明此序列一致收 敛于原问题的解，即可得解的存在性。 第三步：利用反证法加上g r o n w a l l 不等式来证明解的唯一性。 第四步：利用解稳定性的定义得到其解各种稳定性的充分条件和解衰减的时 间估计。 对于下面的几类带脉冲或者时滞的微分方程我们分别用迭代分析法得到相 应的解的各种性质。 7 武汉理工大学硕士学位论文 第三章一阶脉冲微分方程及方程组解的存在和稳 定性 在文献【1 3 】中，作者利用迭代分析方法讨论了一阶常微分方程和常微分方 程组解的存在性、唯一性和各种稳定性的充分条件以及衰减的时间估计。根据 这个讨论思路，我们把这两类微分方程都加上脉冲条件也得到了类似的结论。 3 1 一阶脉冲常微分方程解的存在及稳定性 3 1 1 引言 考虑下列一阶脉冲常微分方程： ，( f ) = a ( t ) x ( t ) + 厂( f ，x ( f ”，t t o ，t t i x ( ) = l i ( x ( t i ) ) ，i = 1 , 2 ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) x ( t o ) = 而 ( 3 1 1 3 ) 我们记函数空间p c ( t o ，o o ) ，r ) = 扛l x ( t ) 在t 时左连续并且在t = t 时左右极限 工( f f + ) ，j ( ) 均存在。o = 1 ，2 ，) ，a x ( t i ) = x ( t i + ) 一工 一) ，其中r 指实数域。 以下是基本假设： 喝) t o t 2 o 使得 i ( ) 一i ( 恐) 阵吼l 而一而i 正，i ) 存在常数k 0 和在n n t o ，呦上连续的函数占( f ) 使得 e x p ( j 2 4 ( s ) d s ) k e x p ( 一【删凼) 我们记 一( f ) = k l ( t ) e x p ( f 【口( f ) + 占( 善) 】d 善) 西 武汉理工大学硕士学位论文 口= 磁 q f c - 州m a x 】 4 ( 5 ) + 口 ，q b ，l d = c + l 肘毗m 帆a x q 。 唧( 1 口g ) d 考) ) 风) 假设0 c 1 ，0 m 1 总是满足。 3 1 2 主要结果 引理3 1 1 ”如果假设条件q ) 满足，则问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 的解可表 示为 j o ) = x o e x p ( 口( s ) 出) + e x p ( f 口( f ) d 孝) ，o ，工( s ) ) 出 + e x p ( f 。( 。m ( x ( ) ) m 证明：当t t o ，t t 】，在此区间上没有脉冲作用，由常数变易法可得 砸) = 而e ) 【p ( 口( s ) 凼) + f oe x p ( f 口( o d o f ( s ，h s ) ) 西 当f ( ，f 2 】，我们令 工( ) = x o e x p ( j ：口( j ) b ) + e x p ( f a ( 孝) 苗) ，o ，x ( s ) ) a s + ( x ( ) ) ( 3 1 5 ) 在区间( f l ，f 2 j 上考虑柯西问题( 3 i 1 ) ，( 3 1 5 ) ，我们有 x ( f ) = x o e x p ( f o 口( s ) 凼) + j ：唧( f n ( f ) 劣) 厂o ，x ( s ) ) d s + e x p ( f 口( s ) 凼m ( x “) ) 在区间( t 2t 3 ，( f 3 ，f 4 】，上重复以上的步骤很容易得到( 3 1 4 ) 成立。 定理3 1 2 如果假设条件h i - - 一h $ ) 成立，则问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 在l g t o ，叫存在唯一的解砸) 且有 l 善o ) 阵1 - 与1 x o i e x p ( 一f 譬( s ) 凼) ( 3 1 6 ) 9 里! 墨墨三奎兰堡主堂垡丝壅 则 f 一钟( t ) i - - - g i x oi e x p ( 一占( s ) 凼) i 一1 ( f ) 峰k i x , l c x p ( _ f 占( s ) 凼) + k e x p ( f 4 ( 孝y f ) 皿( f ) l x o l e x p ( 一f s ( s ) 幽) + 磊置吲一f 占( s ) d s ) k q , i x o le x p ( 一j ：“s 脚 - g l x ol e x p ( 一( s ( j ) 西) + k 2 l ( t ) l x oi 易得 因此 + 足2 q li x , l e x p ( 一s ( s ) 出) s k o l x , l e x p ( 一f e ( s ) 凼) 【e x p ( r 【n ( d + s ( f ) m 善) 出敬p ( 一工占( s ) 出) i x 埘( t ) i k d 2i x , e x p ( - 卜o ) 西) 利用数学归纳法我们可得到对于任意正整数，以下不等式成立： ( f ) 区肋7 i x , ie x p ( 一“s ) 凼) ，= 0 , 1 2 一1 ( f ) 一一。( f ) 辟麟p ( f 4 ( s ) 出) i 厂( 。，z 。o ) ) l a s + i 懿p ( j ：a 。) 出珥( 一。辑) ) x c l , o l e x p ( - f e ( s ) a s ) i 一2 ( f ) 一一m ( f ) 喀 e x p ( j a ( s ) , t s ) if ( s ，一1 o ) ) 一f ( s ，一。( s ) ) ia s + e ，畈f n d ) 凼) i ( 一”( ) ) ( 一。q ) ) l k c 2 i x , e x p ( 一f 耶) 西) 利用数学归纳法可证得： f z ( f ) 一一 ( t ) l g c + i x , l e x p ( 一f f ( s ) 西) i o ) c 一嘶 嘶! m ( 七馕啦 y 哆 删 胁 i 哆 司 p o 吒 州 口 d 【 烈 畎 唧 取 协 武汉理工大学硕士学位论文 i 一。+ ( f ) | 羔k 一1 ( f ) 一工( f ) i + l 工。( f ) l j - o 窆ki髓，既p(一s(s)西)+gl而lexp(一【s(s)凼)j= o 。 s f k 虿| 而ie ) 【p ( 一【占( s ) 出) 对于任意自然数p ，有 旷，( f ) 一烈f ) 峰芝 x c i ) ( t ) - x ( m ( f ) i j = m + l 器酬一 因此，对于任意确定的正数r ，函数序列协( f ) ) 在【乇，刀一致收敛。令 憋( f ) 2 工( f ) ，显然工( f ) 满足不等式( 3 - l 6 ) 。 现在证明唯一性。假设y ( f ) 是另外一个解，则 l x y l 0 ，使得当l x ( t o ) i t o ，t o t 2 t ，c i ( i = l ，2 ，n ) 均为常数。我们记，= 【f o ，t 】，函数空间p c ( j 。，r ) = “i 葺( f ) 在tt k 时左连续并 且在t = t k 时左、右极限纯+ ) ，而( f 。一) 均存在。o = l ，2 ，n ；k = 1 ，2 ，) ) ， t ( 气) = 而( + ) 一而也一) ，其中r 指实数域。 3 2 2 主要结果 我们首先考虑脉冲系统( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 解的稳定性。( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 的解 可表示为下列积分方程： 邪心e x p ( f p u ( s ) d s ) + ，毛【c x p ( f 岛g 烤舭呐冲 ( 3 2 4 ) 以下是基本假设： q ) t o t t f 2 o 和在区间 t o ，刀上连续的函数占( f ) 使得 e 】【p ( 【办( s ) 凼) 置e x p ( 一占o ) 凼) f = 1 ，2 ，n 我们记 武汉理工大学硕士学位论文 岛( f ，f o ) = 1 ：e x p ( ( p , a o + f ( 孝) ) d 孝) i 岛( s ) i 凼s 吩= 常数，f ，j - - 1 ，2 ，玎；f _ ， = o ，i = l ，2 ，疗，矩阵彳= ( ) 。；曰= 彳+ 墨q k e ；) 5 = k i i g l 。其中e 为 胛九的单位矩阵，我们注意到对于确定的r ，j t o f o t k t f 丁时，在乇与，之间只有 有限个脉冲点，因此吼也是有限的。 h 3 ) 假设矩阵曰酾谮半径以口) 1 。 定理3 2 1 问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 的解可以表示为： 妒q c x p ( 胁_ 蠹e x p ( f 椭啪州出 ( 3 2 5 ) + ( 以) ) e x p ( , p u ( s ) 出) 证明：当t 【t o ，】时，易得( 3 2 5 ) 成立。我们取 椭h 州e 小+ 蠹e x p ( f p u ( ( ) d 善聃蹦蛐州砒) ) ( 3 2 6 ) 在区间( f l ，t 2 】上考虑柯西问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 6 ) ，我们有 ( f ) 2 q e x p ( p a ( s ) d s ) + 赢【e x p ( f 办( 善) d 善) 乃( s k ( s ) 出 + i ( x f ( f i ) ) e x p ( ip e ( s ) d x ) 在区间( f 2 ，f 3 】，也，r 4 】，上重复以上的步骤很容易得到( 3 2 5 ) 成立。 定理3 2 2 如果假设条件墨) 一一只) 成立，则问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 - 3 ) 在区 f 日q t o ，刀存在唯一的解c o l ( x a ( t ) ，而( f ) ，( f ) ) 且有 c o l ( 1 ( f ) i ，ix ：( t ) l ，i _ ( f ) i ) s ( e 一口) 。，( ，尼，r , ) e x p ( - f 占( s ) 幽)( 3 2 7 ) 证明：我们定义迭代序列 。哪( f ) 2 c ，懿p ( f 既( s ) 西) + 毫【e x p ( f 风( 善) d 善) 助( s ) _ “b ) 西 + ( 薯“瓴) ) 唧( ：n ( j ) 西) ( 3 2 8 ) t o l g 。 0 ( f ) = q 懿“【n ( s ) 凼) m = 1 ，2 ， 则由h 2 ) 和( 3 2 8 ) 可得 1 4 武汉理： 大学硕士学位论文 1 0 。( f ) l = i qi e x p ( 岛( j ) 西) 乃e x p ( 一s ( s ) 西)( 3 2 9 ) c o l ( i x , ( f ) f ，i 而。( f ) l ，i x , “( t ) d s e c o l ( ，如，以) e x p ( 一占o ) 出) ( 3 2 1 0 ) 迭代式( 3 2 8 ) 中当m = l 时我们有 1 0 ”( f ) 一蕾旧( f ) l e ，【p ( f p k ( 掌v f ) l 易，( s ) i l _ 。d ) i 凼 i l ， + i ( 玉。( ) ) 一( o ) i e x p ( f 风( s ) 西) ( a o y j + k ，q , z 1 ) e x p ( 一占o ) 西) j = 1 ，耐k q 叠 。 ( 套一) 吲一【 c o t ( i 1 ( f ) 一0 0 ( f ) i ，i x , 1 ( f ) 一屯o o ) f ，i x ”( f ) 一o o ) 1 ) o ，使得当i ( t o ) i t o ，v , f f e j ，f o ) o , ：l t t o ，v 肛l o 以上不等式分别蕴涵着初值问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 的平凡解( i ) 一致稳定；( i i ) 渐近稳定；( i i i ) 一致渐近稳定；( i v ) 指数稳定。 记 7 ( ) 。i ：8 ( 5 ) 凼 ( 3 2 1 4 ) 则有以下结论： 定理3 2 5 对于脉冲初值问题( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，假设定理3 2 3 中的条件 成立，如果，( f ) 严格单调递增，则其非零解i ( f ) 由i ( 岛) l i = l | 而临日衰减到 i ( f ) 临h t o ，t ，1 1 ( f ) = ( 薯( ) ) 五( f o ) = q 同上一节类似的方法，易得以下结果： 3 3 2 主要结果 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 定理3 3 1 问题( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) ，( 3 3 - 3 ) 的解可以表示为： 删= 倒【删