（理论物理专业论文）有限单元环链非线性动力学.pdf

蕊 华中科技大学硕士学位论文 摘要 f 大量的自然现象和社会现象都遵从非线性规律，诸如天气的变化， 人类社会的发展，人口或经济的增长等等，无不涉及到非线性理论。在 物理学、化学、生命科学等各个领域也都存在着大量的非线性过程。所 以对非线性方程的研究显得非常重要。由于非线性方程的解在 阶段的暂态过程( 与初始条件有关) 后即达到一稳定形式，所 稳定性就显得尤其重要。传统的研究稳定性的方法主要是采用 提出的两种解决稳定性问题的方法。一种方法是线性化方法， 性函数用近似的线性函数来表示，然后求解这个线性方程，并 定性， 个虚构 正负来 行为也 析求解 已 力学行 为。 经过初始 以研究其 l y a p u n o v 即把非线 分析其稳 这通常称l y a p u n o v 第一方法；另一种是直接分析法，即引入一 的能量函数，称为l y a p u n 。、，函数，然后直接根据y o ) 和望掣的 口f 判定运动的稳定性。另一方面，非线性系统的状态随时间的演化 是它的个重要特征。由于非线性方程不满足线性叠加原理，解 ，1 十分困难，因此普通采用数值模拟方法研究它的动态过程。、1 有的研究表明，非常简单的非线性系统就可以具有非常复杂的动 为。、本论文我们研究只有有限数目变量的非线性系统的动力学行 我们将利用线性化方法对有限环链非线性系统进行稳定性分析，并 利用数值方法研究它们的非线性动力学行为。这里我们将采用 m a t h e m a t i c a 符号软件进行辅助计算，f 这样会使方程的计算变得更容易1 本论文的工作主要分为以下的几部分： 一、利用线性化方法对相互作用的二能级三原子环非线性系统的稳定 性进行分析，并研究该系统的动态特性。、 簪瓣带趣 华中科技大学硕士学位论文 二、 利用同样的方法对相互作用的二能级四原子环非线性系统的稳定 性进行分析，并研究该系统的动态特性。 三、根据中医理论中所包含的动力学思想，建立相互耦合的五元环非 线性动力学模型，利用线性化方法对该系统进行稳定性分析，并 研究该系统的动态特性。 计算结果表明，这些结果都具有丰富的非线性动力学行为。 关键词： 非线性系统、线性化方法、稳定性分析、相互作用的有限原子环、 相互耦合的五元环 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t ag r e a td e a lo fn a t u r a l p h e n o m e n a a n ds o c i a l p h e n o m e n a a r e n o n l i n e a rp r o c e s s e s ，s u c ha st h e v a r i e t y o fw e a t h e r ，t h e d e v e l o p m e n to f h u m a n s o c i e t y ，t h ei n c r e a s eo f t h ep o p u l a t i o na n de c o n o m y t h e r ea r ea l s oa g r e a td e a lo f n o n l i n e a rp h e n o m e n ai np h y s i c s 、c h e m i s t r y 、b i o l o g ya n ds oo n s oi ti s v e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h en o n l i n e a rd y n a m i c se q u a t i o n ，s i n c et h e s o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o nw i l lr e a c has t a b l es t a t et h r o u g hat r a n s i e n t p r o c e s s ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h e i rs t a b i l i t y t h et r a d i t i o n a lw a y t os t u d y t h es t a b i l i t yi st oa d o p tt h em e t h o d sw h i c ha r ee x p o u n d e d b yl y a p u n o v o n e i sl i n e a rm e t h o d i nt h i sm e t h o d ，w eu s ea na p p r o x i m a t el i n e a rf u n c t i o nt o r e p l a c et h en o n l i n e a re q u a t i o na n dt h e ns o l v ei ta n da n a l y z et h es t a b i l i t y t h eo t h e ri sd i r e c tm e t h o d i nt h i sm e t h o dw ea d o p ta na s s u m e de n e r g y f u n c t i o nt os o l v ei t w ec a l li t l y a p u n o vf u n c t i o n a c c o r d i n g t ot h e p 。s i t i v e n e s s 。rt h en e g a t i v e n e s s 。f 矿g ) a n d 旦! j 生t 。d e c i d et h es t a b i l i t y d t o ft h ee q u a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，o n eo ft h em o s t i m p o r t a n tc h a r a c t e r so f t h en o n l i n e a rs y s t e mi st h a tt h es y s t e ms t a t ew i l lc h a n g ew i t ht i m e s i n c e n o n l i n e a r e q u a t i o n s d o n t s a r i s f y l i n e a r s u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e ，i t i s d i f f i c u l tt of i n dt h e i r a n a l y t i c s o l u t i o n s s ow eg e n e r a l l yu s en u m e r i c a l s i m u l a t i o nm e t h o dt os t u d yt h e i rn o n l i n e a r d y n a m i c a lb e h a v i o r s t h ep r e s e n ts t u d ys h o w st h a t s i m p l en o n l i n e a rs y s t e mc a nh a sv e r y c o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r i nt h i sp a p e rw e w i l ls t u d yt h ed y n a m i c a l b e h a v i o ro fn o n l i n e a rs y s t e mw i t hf i n i t en u m b e r so fv a r i a b l e s i nt h i s p a p e rw ew i l l u s el i n e a rm e t h o dt o s t u d yt h es t a b i l i t y o f 1 1 1 华中科技大学硕士学位论文 i n t e r a c t i n gf i n i t eu n i tc y c l i cs y s t e ma n du s en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d t os t u d yt h e i rn o n l i n e a rd y n a m i c a lp r o c e s s w ew i l lu s et h em a t h e m a t i c a s y m b o ls o f t w a r et oh e l pc a l c u l a t i n g ，s i n c et h i sw i l lm a k et h ec a l c u l a t i o n e a s y o u rw o r kc a nb ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gp a r t s ： i nt h ef i r s tp l a c e ，w eu s et h el i n e a rm e t h o dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fa c y c l i cs y s t e m o f i n t e r a c t i n g t h r e ea t o m so ft w o e n e r g y - l e v e la n d i t s d y n a m i c a lq u a l i t y s e c o n d l y ，w eu s et h el i n e a rm e t h o dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fac y c l i c s y s t e m o fi n t e r a c t i n gf o u ra t o m so ft w o - - e n e r g y - l e v e la n di t sd y n a m i c a l q u a l i t y t h i r d l y ，b a s e do nt h et h e o r yo f c h i n e s et r a d i t i o n a lm e d i c i n ew eb u i l d ad y n a m i c a lm o d e lo fac y c l i cs y s t e mo fc o u p l e df i v eu n i ta n du s el i n e a r m e t h o dt oa n a l y z es t a b i l i t yo ft h es y s t e m t h ec o m p u t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h e s es y s t e m sh a v er i c hn o n l i n e a r d y n a m i c a lb e h a v i o r s k e y w o r d s ： n o n l i n e a rs y s t e m ，l i n e a r m e t h o d ，s t a b i l i t ya n a l y z e ， c y c l i cs y s t e mo f i n t e r a c t i n g f i n i t eu n i t s ，c y c l i cs y s t e m o f i n t e r a c t i n g f i v eu n i t s 华中科技大学硕士学位论文 1 绪言 在物理学中人们过去比较熟悉的大都是用线性方程描述其动力学规律的所 谓线性系统。线性方程容易求解，并且具有一些很简单的特性( 如叠加原理) 。 然而物理现象乃至其它一些自然现象或社会现象毕竟是复杂的，它们的动力学规 律往往都须用非线性方程表示。例如，光电导体无论是在直流电场下还是在交流 电场下，都可以出现混沌 1 3 ；化学反应中b z 反应中会出现间歇混沌，受迫 布鲁塞尔振子有可能会出现混沌卜8 ；在生命过程中，非线性也被认为是普遍特 性。随着近代物理的发展，离散系统的非线性动力学行为也得到更深入的研究， 研究内容也在不断丰富和发展。这些非线性系统的特点是，只有少数几个自由度 的非线性系统，就可以具有非常复杂的动力学行为。本文就是用非线性动力学方 法去研究有限单元原子环链的非线性动力学行为。 1 1 几种典型的离散系统的非线性动力学行为 1 1 1 逻辑斯谛方程 人口增长规律最早的一个模型是人( 虫) 口增长率与现有人( 虫) 口数x 成 正比，即 膏= 戗 ( 1 1 ) 其中口为比例常数。上述线性方程有很简单形式的解 x = x o e “( 1 2 ) 式中x 。表示f = 0 时的人( 虫) 口数。这就是所谓人( 虫) 口按指数( 几何级数) 增长的马尔萨斯人口论。这样的规律当然是过分简单了。比如它没有考虑如由于 人( 虫) 口过分密集资源不足、不同区域人( 虫) 口之间的相互作用( 迁徙和战 争等) 和科技进步引起的生产力发展以及人口寿命的变化等等因素。 华中科技大学硕士学位论文 如果考虑到在一定区域内由于人( 虫) 赖以生存的资源有限性，可以认为， 人( 虫) 口过密时人( 虫) 之间为争夺资源的竞争是限制人( 虫) 增长的主要因 素，则式( 1 1 ) 应改为 主= 甜一摩2 = x ( a f i x )( 1 3 ) 上式为非线性方程，它具有很简单形式的解 z 2 毒 ( 1 4 ) 式中常数c o ，它由f = 。时的人( 虫) 口数2 西南决定。当f m 时， j 寸口+ 口，这表示在资源有限的区域内，人( 虫) 口不能像式( 1 3 ) 那样无 限制地增长，而要趋于一饱和值( 号) 。此饱和值即代表该区域的资源所能供养 的最大人( 虫) 口数。人们称式( 1 3 ) 或( 1 4 ) 为l o g i s t i c 模型 9 】。这种具有饱和值 的逻辑斯谛模型自然要比简单的马尔萨斯人口论要合理得多。逻辑斯谛模型不仅 可较好地描述单一种群的繁殖，而且还可用于描述某些其它社会现象。如一种工 业产品刚问世时，其产量x 的增长率t 自然与产量x 成正比。但产品的销售毕竟 有一最大销售量，设n 代表此最大销售量，增长率i 还受制约：主还与n x 成正比；当x = n 时，2 = 0 。因此，产量的增长率满足下面的微分方程： i = 肛( 一z )( 1 5 ) 上式与( 1 3 ) 式一致，即产品产量增长也服从逻辑斯谛模型。令n = l ，则( 1 5 ) 可写为 戈= 声( 1 一x )( 1 6 ) 用计算机对该方程进行叠代模拟，研究该方程的稳定性发现：当t = 1 和= 3 时，系统稳定于不动点；当3 川 3 4 4 9 4 8 9 7 时，系统出现两点周期；当 3 4 4 9 4 8 9 7 呲 o( 2 4 ) d t zd i 。 ：。 、 、。 引入辅助未知含数y = 面d x 后，式( 2 4 ) 便化为一阶微分方程组： 查：。 譬 。 ( 2 5 ) 咖kr 、 d tm ，” 一一x 一一v 显然，式( 2 5 ) 是二维自治动态系统。这里，相平面坐标( x ，_ y ) 不再是一般理 解的位置坐标。z 表示自由振动的位移，y 则表示速度，y ：z ，：宰，而 鲁= x = 警表示加速度。对于方程组( 2 5 ) ，我们从直观意义上看，称满足 y 。= o ，一兰一二蜘= 0 的点k ，y 。) 为平衡点。在相平面上，运动系统在该点的 速度x 和加速度x 均为0 。在数学意义上，我们对于方程( 2 5 ) ，称满足 j p g 。，蜘) = 0q ( x 。，y 。) = 0 的点k ，y 。) 为奇点，也称临界点、平衡点等，其余 点称为常点。显然，方程( 2 5 ) 所表示的动态系统，若k ，y 。) 是奇点，则k ，y 。) 是不动点( 即平衡点) ，即如果给定初始条件x b = x 0y k = y 。，则运动系统在 原位置k ，y 。) 不动。 若对奇点g 。，y 。) 的任邻域c ，存在k ，) 的一个邻域u c u ，使对 每一式( 2 3 ) 的轨线g o l y o ) ) ，如果g ( o ) ，y ( o ) ) u 。，则对一切r 0 ，有 g ( f l y ( f ) ) u ，此时称奇点k ，儿) 是稳定的，否则，就称奇点是不稳定的。如 l o 华中科技大学硕士学位论文 m x 。，y 。) 是稳定的，且存在u ：，0 。，乩) u ：cu ，使对式( 2 3 ) 的轨线g y o ) ) ， 只要g ( o l y ( 0 ) ) u ：。便有 l i m f x ( r ) h ，哼恂l y 刨一b j 成立，此时称奇点k ，y 。) 是渐近稳定的。 在二维线性系统中，如果式( 2 3 ) 的解x = x ( f x y = y ( f ) 是t 的周期函数，且不 是常数，则称此解在( t y ) 相平面上的轨线为方程( 2 3 ) 的闭轨线。而在非线性自 治系统中可能出现孤立闭曲线的情形，这种孤立闭轨线( 周期解) 称为极限环。 若在极限环附近的轨线均为正向( t 斗+ o o ) 趋近此极限环，则称其是稳定极限 环；若在极限环附近的轨线均为负向( f 呻。) 趋近此极限环，则称其是不稳 定极限环。在实际应用中，若系统存在稳定的极限环，则意味着这个系统存在稳 定的孤立周期振荡。上面定义了平衡点( 奇点) 及极限环的稳定性概念。在此基 础上，我们定义一般意义下的运动稳定性概念。 对系统运动微分方程( 2 1 ) ，每组初值确定其一个特解，它对应系统的一个 具体运动。对于由同一方程组所描述的系统，根据初值不同，系统有相应不同的 解，对应于不同的运动。式( 2 1 ) 所描述的动态系统在某初始条件下确定的某一特 解t = ，( f x ( f = 1 , 2 ，n ) ，所对应的某个具体运动称为无扰运动。若改变初始条 件，则在新初始条件下确定的式( 2 i ) 的特解一= 毛( f ) ( f = 1 , 2 ，h ) 所对应的运动 称为受扰运动。x ，在任何受扰运动和无扰运动中的差值称为干扰或扰动。如果 对任意给定的占 0 ，总存在占( s ) 0 ，使得对所有受扰运动 x ，= t ( f ) ( 1 = 1 , 2 ，n ) 在初始时刻扣t 。时，满足不等式h 也) 一z “l 子， ( f = 1 , 2 ，甩) ，而在所有， ，。时，满足不等式k ( ，) z 0 ，使k 也) 一：o 。】民时( 即当初始干扰足够小 时) ，随时间，的无限增长，对所有受扰运动都有 l l 华中科技大学硕士学位论文 l i r a ，j x ( f ) 一，= 0 ，( i = 1 , 2 ，n ) ，则称无扰运动是渐近稳定的。若无扰运 动一= ：( r x ( f = 1 , 2 ，n ) 是渐近稳定的，且存在区域d 。，当初始干扰 k 。( f 。) 一，“) 】d 。时，对所有受扰运动都有l i m ，i x ( f ) 一z 刚= 0 ， ( i = 1 , 2 ，n ) ，则称域d o 为无扰运动稳定域或吸引域。吸引域表明了保持运动 渐近稳定的最大区域，一般希望吸引域足够的宽以便将外界对系统的任何扰动包 含进去。即系统保持运动渐近稳定的区域充分大，使系统始终保持渐近稳定。一 个用微分方程所描述的运动系统，往往会因某些原因引起初始条件变化所引起的 解改变问题，人们称其为l y a p u n o v 稳定性问题。 除l y a p u n o v 提出的上述稳定性概念( 即运动稳定性) 外，还有系统的轨道 稳定性和结构稳定性理论。若我们不考虑代表点对时间的依赖，而只考虑轨线的 形状，则可以定义系统的轨道稳定性。设z ( x 0 ，) 是方程的解，则对于自治系统， x ( x 。，t + f ) 也是方程的解，r 是任意时间间隔。在相空间中方程解的轨道则是一 些曲线。若令c 表示某一轨线，如果任意给定s 0 ，存在r 0 ，使得是在 时刻“距c 为r 之间另一轨线上的代表点，则当，0 的所有时刻，x 保持在距 c 为之内，则称c 为稳定轨道，反之，则称c 是不稳定轨道。若c 是轨道稳定 的，且当t 一十。时x 和c 间的距离趋于零，则称c 为渐近轨道稳定的。轨道稳 定性是运动稳定性的推广，它反映了初始化条件变化时，系统相轨线的变动情况。 所谓结构稳定性是指系统在结构摄动后，仍保持其定性行为不变的一种属 性。一般来说，当系统所含参数有较大的变化时，系统相图的拓扑结构( 系统运 动的性质) 也将发生变化。动态系统几何理论在结构稳定性方面的研究的主要问 题是，当参数作很小变化时，系统相图的拓扑结构将发生根本改变的现象 1 3 1 6 1 。 考察一个参数为旯的二维系统： 1 2 旬q d 力 ” 弘如如 i l i l 出一出砂一讲 华中科技大学硕士学位论文 当参数a 从参数值九作很小改变时，若系统相图的基本拓扑结构没有改变，则 称厶是a 的分叉值，如果系统式( 2 6 ) 的奇点k ，y 。) 当a 变化时，不改变奇点的 类型和稳定性，则称奇点b 。，y 。) 是粗的，否则称为细的。若对确定的参数范围， 系统不出现定性的行为变化( 相图的拓扑结构不改变) ，就称系统是结构稳定的， 反之，当有一个小参数变化时，系统行为出现定性的改变，则称系统出现分叉， 也称分岔、分支等。结构稳定性概念与l y a p u n o v 稳定性定义有实质性差别。前 者在系统本身发生变化的情况下，研究系统运动性质的稳定性：而后者则是对一 个给定不变的系统改变其初始条件，研究其解的稳定性。一个含参数的系统，可 能会在某些参数值下，失去结构稳定，产生分又、突变等内在不连续现象，也可 能由于一系列的结构失稳而进入混沌态，呈现系统内在的随机性。 混沌来自非线性，逐次分叉通常是混沌出现的前奏，混沌行为反映了系统 内在的随机性，混沌是由系统内在原因( 微分方程本身变化) ，而非外来的噪声 和干扰( 初始条件改变) 所致，而随机性指的是其不规则、嘈杂，无法预测的行 为只能用统计的方法描述，从而将非线性复杂系统的混沌行为理解为其系统自身 与外界进行物质、能量和信息交换过程中内在的有结构的行为，而非外在的和偶 然的行为。混沌对初始条件非常敏感，初始条件微小的改变将导致运动的无限分 离。所以，混沌运动具有长期不可预测性 1 7 2 0 】。 2 2 l y a p u n o v 方法 在大量非线性系统中出现的微分方程，除了极个别情况可把它们的解求出 来( 积分为封闭形式) 外，大部分都是不可积的。这就给研究稳定性问题造成困 难，从而迫使人们放弃传统意义下求解的一切企图，而从定性方面探求方程解的 一般性态，形成了微分方程的定性理论。l y a p u n o v 提出的两种解决稳定性问题 的方法，为非线性动态系统的稳定性分析提供了有力工具。 华中科技大学硕士学位论文 种方法是线性化方法，也即级数展开法，把非线性函数用近似级数来表 示，然后用近似方法解这个非线性方程，并分析其稳定性，这通常称为l y a p u n o v 第一方法，由于系统在平衡点的稳定性取决于s ( x ，t ) 在平衡点附近的性质，因此， 用一个在平衡点附近与真实系统接近的简单系统代替非线性系统进行稳定性分析 可能是有效的。 另一种方法通常称为l y a p u n o v 第二方法，也称直接法。其特点是直接研究 非线性动态系统，而不是其线性化模型。它不需要求出方程组的解，只是借助于 构造个具有特殊性质的函数，结合方程组本身来讨论稳定性，并可给出 l y a p u n o v 方法处于临界时的稳定性结论。它对那些难以求出解的描述非线性动 态系统的方程组，不论是在理论上还是在应用上十分有效。其基本思想是把无扰 运动的稳定性归结为平衡点的稳定性问题，寻找一个随系统状态而变化的能量函 数。若系统有一个渐近稳定的平衡点，那么系统能量将随时间增加而衰减，直到 平衡状态处达到极小值。这里引入了一个虚构的能量函数，称为l y a p u n o v 函数， 它是般力学系统中能量函数的推广。其物理意义是从能量的观点分析系统的稳 定性，位于势能极小值点的小球处于稳定平衡状态。如果用标量函数y x ) 表示 系统能量，y b ) 必为正值。若皇娶立是负值，系统能量逐渐减少，则系统稳定。 讲 反之，若系统不断从外界吸收能量，系统能量越来越大，则系统不稳定。从而可 直接根据矿g ) 和旦娶型的正负来判定运动的稳定性。换句话说，对一个给定的 a t 系统，只要能找到一个正的矿b ) ，而皇娶苎! 是负的，则这个系统就是稳定的。 d f 在这种方法的应用当中，最关键是要凭借经验和技巧寻找到l y a p u n o v 函数v ( x ) 。 本文将采取线性化方法对有限环链非线性系统的稳定性进行分析，并根据该 方法采用m a t h e m a t i c a 符号计算软件来进行计算。 1 4 华中科技大学硕士学位论文 3 相互作用的二能级多原子环非线性动力学 3 1 相互作用的二能级多原子环非线性动力学模型 h = 莩s ；一j 1j 善e s _ + s j s 。) 以丢( 略。+ 圭 ( 。+ i 1 ( ，)j 一 ，0，d 、 一一 弘口j ( ，叫口，) ( 3 - 2 ) b ，口小气，b 小k ? ，口j 】= 0 ( 3 5 ) h = 一寺。+ 日 一去，( 口j 口+ 口，a j 。) 一 j ；o j 口，n 二。口，+ 。+ b j 口，4 - 口，口，+ 。+ 口二，口二；巳口，+ 。) 。 。 j 6 ( 3 6 ) j 。d 华中科技大学硕士学位论文 i a ，= 。q j e a 一2 j , y a 知n q + 2 ，口以订肿 ( 3 6 ) 5j5 其中的点表示对时间t 的求导。取g l a u b e r 相干态 2 5 】作为哈密顿量本征态的尝 试波函数，相干态满足等式： 口，i 口，) = 口，i 口，) ( 3 7 ) 其中，口，为一复数本征值，用相干态表示式( 3 6 ) 变为： r 鲁= a j - j ( 口1 + 1 + o c j - i ) - 2 j ：i 。1 2 + 1 训2 b + 2 j i 口斤( a 1 1 - 口j - 1 ) ( 3 8 ) 式( 3 7 ) 可变为 设哆= 岳e 1 ，r = 蛳= j ，2 _ z ( 3 9 ) ，；，：一6 一防l2 沁川+ 乞一。) 一垮，峙+ 。i2 + i 善川1 2 ( 3 1 0 ) 其中点表示对时间f 求导数。当，= 0 时，式( 3 1 0 ) 即为著名的离散非线性薛定谔 方程。下面我们主要采取m a t h e m a t i c 符号语言进行数值计算，并分析系统的稳 定性。 3 2 相互作用的二能级三原子环动力学特性 相互作用的二能级三原子环非线性动力学模型 i 4 j = 6 一s 蚶k 一旬一。) 一g 乞h t 2 + l 旬一。一 其中n 2 3 ，乞+ ，= 乞。 在方程( 3 1 2 ) 中，s 和g 都是非线性相互作用参数。我们下面研究不同参数 值下系统的非线性动力学行为。 华中科技大学硕士学位论文 1 取g = l ，改变s 的值，观察系统的非线性动力学行为。 取g = 1 ，s = 1 ，可以看出，当系统取初值为氧( o ) = - 0 0 9 6 9 0 0 9 9 1 i ， 孝2 ( 0 ) = o 3 7 1 9 + 0 3 8 0 8 i ，岛( 0 ) = 0 0 6 9 8 0 1 2 2 9 i 时，三个原子都做周期性振 荡，其中三个原子的振幅分别约为0 4 0 ，0 5 5 ，0 3 2 ，周期约为2 5 。但是三个原 子的振荡并不同步，它们之间存在着周期性的能量交换( 如图3 - 1 ) 。 u1 圈3 - 1 ，当g = l ，s = l 时三原子环的动力学行为 取g = 1 ，s = 3 ，可以看出，当系统取初值为茧( 0 ) = o 3 7 7 1 0 0 5 0 7 i ， 岛( 0 ) = 一o 2 8 6 一o 2 7 1 5 i ，乞( o ) = 一0 0 9 1 9 + o 0 0 9 2 i 时，从大范围来看，三个原 子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。三个原子的能 量随时间的演化为周期性振荡。它们之间存在着能量交换( 如图3 2 ) 。 取g = l ，s = 7 ，可以看出，当系统取初值为卣( 0 ) = 一0 1 3 7 3 0 3 1 2 9 i ， 孝2 ( 0 ) = - 0 2 6 4 3 + o 3 8 i ，岛( o ) = 一o 0 2 2 3 0 2 0 7 2 i 时，从图中可以看出，从大 范围来看，其中两个原子分别作着接近周期性振荡，大范围的周期大约为4 0 。 但是每个周期都包含3 次幅度较大的振荡，随后跟着7 个振幅较小的振荡。另外 一个原子的振荡周期很规则，但振幅大小不。三个原子的振荡不是同步的，它 们之间发生着一定的能量交换( 如图3 3 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 图3 - 2 ，当g = l ，s 书时三原子环的动力学行为 图3 - 3 ，当g = l ，s = 7 时三原于环的动力学行为 取g = 1 ，s = i o ，可以看出，当系统取初值为孝。( o ) = - o 0 3 9 0 + 0 1 6 3 8 i ， 4 2 ( 0 ) = - 0 1 5 7 5 3 7 + 0 2 6 0 6 8 i ，参( o ) = 0 0 4 0 8 - 0 3 3 9 2 0 8 i 时，图中三个原子均 做着不规则振荡，它们的能量变化均为无序的，它们之间发生着不规则的能量交 华中科技大学硕士学位论文 换( 如图3 - 4 ) 。 i1 ff f il 丛 ljj。j j 世! i 丛 图3 - 4 ，当g = 1 s = l o 时二原干环的动力学行为 2 取g = 3 ，改变s 的值，观察系统的非线性动力学行为。 取g = 3 ，s = l ，可以看出，当系统取初值为昌( 0 ) = 0 3 9 6 4 0 3 6 4 9 i ， 孝2 ( 0 ) = 0 2 3 6 5 0 2 6 4 1 i ，彘( o ) = - 0 3 0 2 + 0 1 7 5 7 2 i 时，从大范围来看，其中两 个原子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。另外一个 原子的能量随时间的演化为周期性振荡，它的振幅约为0 3 ，周期约为2 5 。它们 之间存在着能量交换( 如图3 5 ) 。 取g = 3 ，s = 3 ，可以看出，当系统取初值为最( 0 ) = - 0 1 8 2 6 一o 0 9 6 5 i ， 磊( 0 ) = 一0 3 3 1 5 0 1 6 3 4 i ，茧( 0 ) = o 0 4 9 5 + 0 1 9 1 3 i 时，从大范围来看，三个原 子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。三个原子的能 量随时间的演化为周期性振荡。它们之间存在着能量交换( 如图3 6 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 o 0 0 o 0 0 6 5 6 5 5 5 45 3 5 u1 10 i4 n 。 nn0nn0n h 川川 h nn 1 川j y 州i u2 f n1nn y 州川j u3 t t 图3 - 5 ，当g = 3 ，f l 时三原子环的动力学行为 t 图3 - 6 , 当g = 3 ，产3 时三原子环的动力学行为 取g = 3 ， s = 7 ， 当系统取初值为善l ( 0 ) = 0 3 9 8 + 0 1 3 6 i ， 彘( o ) = 一o 0 9 7 一o 3 2 5 6 i ，岛( o ) = - - 0 2 0 0 2 + o 2 8 4 1 i 时，图中三个原子均做着不 华中科技大学硕士学位论文 规则振荡，它们的能量变化均为无序的，它们之间有着无序的能量交换( 如图3 7 ) 。 。 圈3 - 7 ，当g = 3 ，g = 7 时三原子环的动力学行为 取3 ，s = l o ，可以看出，当系统取初值为螽( o ) = 卸1 9 2 7 o 3 9 4 1 i ， 磊( o ) = 一o 3 7 7 7 + 0 3 2 4 3 i ，磊( o ) = o 3 1 4 3 + 0 0 1 8 6 i 时，图中三个原子均做着不 规则振荡，它们的能量变化均为无序的，它们之间发生着不规则的能量交换( 如 图3 - 8 ) 。 3 取g = 7 ，改变s 的值，观察系统的非线性动力学行为。 取g = 7 ，s = l ，可以看出，当系统取初值为直( 0 ) 0 2 5 2 7 0 2 4 7 3 i ， 磊( 0 ) = o 0 1 9 3 一o 2 8 8 9 i ，乞( o ) = 一o 1 4 0 4 + o 2 6 3 4 i 时，从大范围来看，三个原 子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。三个原子的能 量随时间的演化为周期性振荡。它们之间存在着能量交换( 如图3 9 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 图3 - 8 ，当g = 3 ，s = l o 时三原子环的动力学行为 图3 - 9 ，当g = 7 ，s = l 时三原子环的动力学行为 取g = 7 ，s = 3 ，可以看出，当系统取初值为矗( o ) = 0 0 3 4 6 0 0 1 4 9 3 5 i ， 3 5 2 5 5 i 0 0 0 o o 0 华中科技大学硕士学位论文 10 10 a a a a0 0 0 lnn n nin0 0nn n f 1 1 0n0f 鼎 图3 - i o ，当g = 7 ，s = 3 时三原子环的动力掌行为 善2 ( o ) = 0 1 1 9 0 8 5 0 3 9 6 2 3 8 i ，乞( 0 ) = 0 3 8 6 4 7 9 + 0 0 2 9 5 6 4 2 i 时，三个原子都做 周期性振荡，其中三个原子的振幅都约为0 4 ，周期约为2 5 。但是三个原子的振 荡并不同步，它们之间存在着周期性的能量交换( 如图3 - 1 0 ) 。 取g = 7 ，s = 7 ，可以看出，当系统取初值为石( 0 ) = 0 3 1 7 0 1 4 5 i ， 善2 ( o ) = 0 0 6 4 8 + o 1 6 8 8 i ，岛( 0 ) = 0 3 8 4 4 + o 1 5 1 i 时，从图中可以看出，其中一 个原子做着较为规则的周期运动，其周期大约为2 5 ，振幅大约为1 0 ，另外两个 原子，从大范围来看，也做周期性振荡，大范围的周期大约为1 0 。但是每个周 期都包含3 个振荡，其中两头振动幅度大，中间振动幅度小。它们之间存在着能 量交换( 如图3 1 1 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 1 1 1 图3 - 1 i ，当g = 7 ，s = 7 时- - 原于环的动力学行为 取g = 7 ，s = l o ，可以看出，当系统取初值为眚。( 0 ) = - 0 1 5 1 + o 2 7 7 7 i ， 彘( o ) = 一o 1 7 0 6 + 0 2 3 2 i ，与( o ) = 一0 1 3 4 2 0 3 9 1 8 i 时，从图中可以看出，其中 两个原子的振荡周期很规则，周期大约为1 0 ，但振幅大小不一，另外一个原子， 从大范围来看，也做周期性振荡，大范围的周期大约为3 0 。但是每个周期都包 含几个形状不一的振荡。它们之间存在着能量交换( 如图3 1 2 ) 。 4 取g = l o ，改变s 的值，观察系统的非线性动力学行为。 取g = l o ，s = l ，可以看出，当系统取初值为直( 0 ) = - 0 2 8 7 0 8 0 1 4 3 8 9 i ， 孝2 ( 0 ) = o 3 0 4 8 0 8 一o 0 7 7 9 1 7 1 i ，岛( o ) = 0 1 7 9 6 3 8 + o 2 6 3 1 2 7 i 时，图中三个原子 都做着不太规则的振荡，但是都呈现出一种时间的对称性。三个原子的振荡不是 同步的，它们之间发生着一定的能量交换( 如图3 - 1 3 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 囤3 一1 2 ，当g = 7 ，铲1 0 时三原子环的动力学行为 巡y ! 蝴 圈3 - 1 3 ，当g = l o ，铲i 时三原子环的动力学行为 取g = l o ，s = 3 ，可以看出，当系统取初值为点( o ) = 0 0 2 2 7 5 9 0 0 3 3 2 7 i ， 华中科技大学硕士学位论文 善2 ( o ) = o 1 8 5 4 4 3 + 0 0 3 1 3 6 3 2 i ，岛( 0 ) = 一0 0 8 1 6 3 0 6 + o 1 1 5 7 5 9 i 时，从大范围来 看，三个原子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。三 个原子的能量随时间的演化为周期性振荡。它们之间存在着能量交换( 如图3 1 4 ) 。 图3 - 1 4 ，当g = l o ，s = 3 时三原子环的动力学行为 取g = l o ，s = 7 ，可以看出，当系统取初值为菖( 0 ) = o 0 7 7 6 + o 1 8 9 4 i ， 孝2 ( 0 ) = 一0 2 6 8 7 + o 2 1 5 5 i ，夤( o ) = o ，0 3 4 0 9 一o 3 8 0 7 i 时，从大范围来看，其中 两个原子分别作周期性振荡，在每一个周期中，原子也做周期性的振荡。另外 一个原子在大范围上也做周期性振荡，但振荡规律与前两个不一样。它们之间 存在着能量交换( 如图3 - 1 5 ) 。 取g = l o ，s = l o ，中可以看出，当系统取初值为点( o ) = 0 2 8 3 7 0 1 6 7 1 i ， 告2 ( 0 ) = o 3 9 3 5 + 0 3 2 1l i ，乞( 0 ) = o 0 0 6 + 0 1 0 1 3 i 时，图中三个原子均做着不规 则振荡，它们的能量变化均为无序的，它们之间发生着不规则的能量交换( 如图 3 - 1 6 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 图3 1 5 当g = lo # _ 7 时三原子环的动力学行为 图3 16 ，当g = 1 0 ，产1 0 时三原子环的动力学行为 i i iii j烈陨肌 ii i iii i i li 州删从o 4 2 8 6 4 4 2 b 6 4 3 5 2 5 2 l o o l l o 0 o l l 0 o o 0 o 华中科技大学硕士学位论文 由上可见，当系统非线性参数发生改变时，方程的三个变量的动力学行为都 将发生很大的变化，分别呈现出周期、混沌等各种性态，它们之间能量交换随时 间的演化也发生了巨大的改变。另外，它们的动力学行为在时间上大部分都呈现 出某种对称性。 3 3 相互作用的二能级四原子环动力学特性 相互作用的二能级四原子环非线性动力学模型 ，；：- 6 喇堍一岳。) 嗡制2 ) 其中n = 4 ，掌，+ 。= 善，。 在方程( 3 1 3 ) 中，s 和g 都是非线性相互作用参数。我们下面研究当n = 4 时， 不同参数值下系统的非线性动力学行为。 1 取g = l ，改变s 的值，观察系统的非线性动力学行为。 取g = l ，s = l ，当系统分别取初值为舌( 0 ) = o 3 5 8 5 一o 3 5 4 4 i ， 毒2 ( 0 ) = 一0 0 9 4 4 + 0 1 5 6 6 i ，舌3 ( 0 ) = o 2 8 9 7 0 1 0 3 i ，六= 一0 1 7 0 5 一o 3 0 5 4 时， 从大范围来看，四个原子分别做近似周期性振荡，在每一个周期中，原子也做 近似周期性的振荡。但其中两个原子振荡规律相象，另外两个原子振荡规律与 前两个不同，但它们两个的振荡规律相象。它们的振荡都不同步。它们之间存 着一定的能量交换( 如图3 1 7 ) 。 取 g = l ， s = 3 ，当系统分别取初值 为 盏( 0 ) = 0 3 6 2 + o 1 0 5 i ，磊( 0 ) = 一o 3 1 1 2 十0 2 2 7 2 i ，孝3 ( o ) = 一0 1 1 3 十0 2 1 8 8 i ，六= - 0 0 9 6 + 0 0 5 9 9 i 时，四个原子都做周期性振荡，其中四个原子的振幅都约 为0 - 2 5 ，周期约为3 。其中两个原子的振荡基本同步，另外两个原子之间的振荡 并不同步，它们之间存在着周期性的能量交换( 如图3 - 1 8 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 图( 3 - 1 7 ) 当g = 1 产l 时四原子环的动力学行为 h h ( 3 - 1 8 ) 当g = l ，萨3 时四原子环的动力学行为 2 9 华中科技大学硕士学位论文 取g = 1 ，s = 7 ，当系统分别取初值氧( 0 ) = 一0 3 5 4 4 0 0 7 4 6 i ， 善2 ( 0 ) = 0 0 2 3 8 0 2 1 1 9 i ，参( 0 ) = 0 3 7 9 7 + 0 0 1 8