（理论物理专业论文）重力场约束下费米体系的热力学性质研究.pdf

重力场约束下费米体系的热力学性质研究 刘慧( 理论物理) 指导教师：门福殿教授 摘要 近年来。研究外势及相互作用同时对热力学系统的影响已成为热门 课题特别是对谐振势约束下的量子系统进行了较为深入的研究，取得 了一系列的成果然而，重力场是一种常见而又重要的势场，研究重力 场中弱相互费米系统的热力学性质，具有重要的理论价值和实际意义 本论文运用量子统计中的若干方法，研究了均匀重力场中理想费米气体 和弱相互作用费米气体的热力学性质，以及弱相互作用费米气体的稳定 性条件。着重分析外势及粒子间的相互作用对体系性质的影响 首先，用半经典( 托马斯一费米) 近似法，研究了有限均匀重力场中理 想费米气体的热力学性质。导出了总能、费米能、化学势和热容量的一 般解析表达式，并且给出了化学势、热容量在高温和低温近似下的表达 式，然后以电子气为例进行了具体计算把这些结果和自由体系相应的 热力学量进行了比较，探讨了有限重力势场对体系性质的影响 其次，根据半经典近似法和局域密度近似法( l d a ) ，分别研究了无 限均匀重力场中理想费米气体和弱相互作用费米气体的低温( 低于费米 温度) 性质，得到了一些重要热力学量的一般解析表达式，分析了系统的 粒子数和能量密度的空间分布规律对自由费米体系、均匀重力场中理 想费米体系和弱相互作用费米体系进行了分析比较，探讨了重力势场及 粒子间的相互作用对体系性质的影响在此基础上，进一步研究了重力 势场中弱相互作用费米系统在高温( 高于费米温度) 条件下相应的性质， 得到了一系列与低温情况不同的结果 然后，在局域密度近似的框架内得到重力场中弱相互作用费米气体 的总能运用稳定性的能量最低原理。研究了不同温度情况下系统的稳 定性条件，并给出了稳定性条件的解析表达式 最后，总结全文并对该领域未来的研究作一展望 关键词：费米气体；热力学性质；均匀重力场；半经典近似；局域密度近 似 ： t h e s t u d yo ft h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so f af e r m i s y s t e mt r a p p e d i ng r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a l l i uh u i ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rm e nf u - d i a n a b s t r a e t r e c e n t l y , t h es i m u l t a n e o u ss t u d yo ft h ee f f e c t so fe x t e r n a lp o t e n t i a la n d i n t e r p a r t i c l ei n t e r a c t i o n so nt h e r m o d y n a m i cs y s t e mh a sb e c o m eap o p u l a r s u b j e c t e s p e c i a l l y , t h eq u a n t u ms y s t e m st r a p p e di nh a r m o n i cp o t e n t i a lh a v e b e e nd e e p l yi n v e s t i g a t e da n das e r i e so ff r u i t sh a v eb e e no b t a i n e d h o w e v e r , g r a v i t a t i o n a lf i e l di sak i n d o ff a m i l i a ra n di m p o r t a n tf i e l d ，a n dt h es t u d yo f t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so fs y s t e m si ng r a v i t a t i o n a lf i e l dh a v ei m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i st h e s i s ，t h es t a b i l i t yc o n d i t i o n so f aw e a k l yi n t e r a c t i n gf e r m ig a si nh o m o g e n o u sg r a v i t a t i o n a lf i e l d ，a sw e l la s t h et h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so fb e t ha ni d e a la n di n t e r a c t i n gf e r m ig a si n h o m o g e n o u sg r a v i t a t i o n a lf i e l d a l es t u d i e d b y u s i n gs o m em e t h o d so f q u a n t u ms t a t i s t i c s t h ee f f e c t so fe x t e r n a lf i e l da n di n t e r p a r t i e l ei n t e r a c t i o n s o l lp r o p e r t i e so f s y s t e m sa r em a i n l ya n a l y z e d f i r s t l y , t h ep r o p e r t i e so fa n i d e a lf e r m ig a si nf i n i t eh o m o g e n o u s g r a v i t a t i o n a lf i e l da r es t u d i e d ，b a s e do nt h es e m i e l a s s i c a l ( t h o m a s - f e r m i ) a p p r o x i m a t i o n t h eg e n e r a la n a l y t i c a le x p r e s s i o n so ft h et o t a le n e r g y , f e r m i e n e r g y , c h e m i c a lp o t e n t i a la n dh e a tc a p a c i t yh a v eb e e nd e r i v e d m o r e o v e r , t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n so ft h ec h e m i c a lp o t e n t m la n dh e a tc a p a c i t yi nt h e h i g h - a n dl o w - t e m p e r a t u r ea p p r o x i m a t i o n sa r eg i v e n , a n dt h e n , t h ee x a m p l e o fe l e c t r o ng a si su s e dt oc a l c u l a t ee x a c t l y a l lt h e s er e s u l t sa r ec o m p a r e d i v w i t ht h o s eo ff r e ef e r m ig a s t h ee f f e c t so ff i n i t eg r a v i t a t i o n a lf i e l do n p r o p e r t i e so f f e r m ig a sa r ed i s c u s s e d s e c o n d l y , t h el o w - t e m p e r a t u r e ( t h et e m p e r a t u r ew h i c hi sl o w e rt h a n f e r m it e m p e r a t u r e ) p r o p e r t i e so fa r ti d e a la n daw e a k l yi n t e r a c t i n gf e r m i g a s i ni n f i n i t e h o m o g e n o u sg r a v i t a t i o n a l f i e l da r es t u d i e d , b a s e do nt h e s c m i c l a s s i c a la p p r o x i m a t i o na n dl o c a l - d e n s i t ya p p r o x i m a t i o n ( l d a ) t h e g e n e r a la n a l y t i c a le x p r e s s i o n so f s e v e r a lt h e r m o d y n a m i cq u a n t i t i e sh a v eb e e n d e r i v e d t h e 缸es y s t e m , b o t hi d e a ls y s t e ma n di n t e r a c t i n gs y s t e mi n h o m o g e n o u sg r a v i t a t i o n a lf i e l da r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d t h ee f f e c t so f g r a v i t a t i o n a lf i e l da n di n t e r p a r t i c l ei n t e r a c t i o n so np r o p e r t i e so f f e r i n ig a sa d i s c u s s e d b a s e do nt h ed e r i v e de x p r e s s i o n s ，t h ep r o p e r t i e so faw e a k l y i n t e r a c t i n gf e r m is y s t e mi ng r a v i t a t i o n a lf i e l d 砒t e m p e r a t u r e sw h i c ha r e h i g h e rt h a nf e r m it e m p e r a t u r e a r cf i l r t h o rs t u d i e d ，a n ds o m er e s u l t sw h i c ha r e d i f f e r e n tf r o mt h o s eo fl o w t e m p e r a t u r e sa r eo b t a i n e d t h e n , t h et o t a le n e r g yo f aw e a k l yi n t e r a c t i n gf e r m ig a si nh o m o g e n o u s g r a v i t a t i o n a li sd e r i v e dw i t h i nl o c a l - d e n s i t ya p p r o x i m a t i o nf r a m e w o r k b y u s i n gt h ee n e r g y m i n i m u mt h e o r yo fs t a b i l i t y , t h es t a b i l i t yc o n d i t i o n so ft h e s y s t e ma td i f f e r e n tt e m p e r a t u r e sa r cs t u d i e d ，a n dt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n so f s t a b i l i t yc o n d i t i o n sa r cg i v e n f i n a l l y , t h ew h o l ep a p e ri ss u m m a r i z e da n dt h ep r o s p e c to ff u t u r es t u d y i n t h e r e g i i s p u t k e yw o r d s ：f e r m ig a s ；t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t y ；h o m o g e n o u sg r a v i t a t i o n a l f i e l d ；s e m i c l a s s i c a la p p r o x i m a t i o n ；l o c a l - d e n s i t ya p p r o x i m a t i o n 中国石油大学( 华东) 硕士论文主要符号表 主要符号表 重力加速度 单粒子质量 粒子距地面的高度 s 波散射长度 粒子的热波长 普朗克常量 玻尔兹曼常量 自旋简并度 温度 逸度 体积 总粒子数 费米能 基态能 化学势 总能 熵 热容量 压强 粒子数密度 能量密度 熵密度 g 肼 善 口 名 矗 七 嘞 r z 矿 知 u s c 尸 聆 j 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名； 主! j 型! 伽口7 年 午月2f 日 导师签名：i ：3 塑垒叁 2 - 7 砰月二1 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 量子体系和量子统计 对任意一个宏观体系，有鼹个因素在决定体系的宏观性质上起着十 分重要的作用，这两个因素分别慰1 j ： ( i ) 分子间的相互作用势，它的作用方式由势函数。决定 ( i i ) 分子间的量子效应，它的作用由简并判据n 2 决定 当因素( i ) 可以忽略时( u = o ) ，体系是理想的当因素( i i ) 可以忽略时 ( 以3 1 ，可见，电子气是 高度简并的，必须用费米分布通过对热力学函数的计算，可以得到： 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 旦：；耵o c t ( 2 1 9 ) n k2 占。 、 即c v m 约为圳知的量级，这一点在物理上容易理解：根据费米分布 和泡利不相容原理，只有能量在费米能级岛附近，打( 热激发能的量级) 范围内的电子才可能被激发。因此才对比热有贡献如果每个可能被激 发的电子对比热的贡献按k 估计，则比热为m ：2 z 伽，的量级 电子比热在r 一0 时以线性形式趋于零，这与晶格振动即原子对比 热的贡献不同晶格振动( 声子) 对比热的贡献与温度的三次方成正比，一 般来说，金属的比热应包含晶格和电子两部分贡献之和在极低温时。 电子比热比晶格比热更重要 电子气的压强尸= 等= 万2 n 卸【1 + 百5 7 r 2 k t 2 + 】，在r 专0 时，此 压强的极限值为 尸一娑卸 (220)v5 ，。、7 显然，此值为一远大于零的常数，它给出费米气的零点压强这个压强 的存在，是由于电子间的泡利不相容性带来了统计排斥作用【1 6 1 2 1 4 白矮星( w h i t ed w a r f s t a r ) 的临界质量( c r i t i c a lm a s s ) 用处理费米气体的方法还成功地解决了白矮星的问题，白矮星是简 并费米气的一个有趣的例予1 8 4 4 年，贝塞尔( b e s s e l ) 观察到了天狼星运 行轨道沿一直线略有摆动，似有一不可见的星与其相伴而行，两星在共 绕其引力中心运动1 8 6 2 年，克拉克( c l a r k ) 在预言的位置发现了这颗星 天狼星b ，这就是最早的白矮星由于白矮星的密度非常大，它不可 能是由氢原子组成的一个比较合理的解释是：在白矮星内。原子被挤 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 压破坏，其中的电子都被“挤”出来，形成费米气体同时，星体又由核 间的吸引而结合在一起，这种引力极大，靠费米气排斥压强的抵制才能 使星体不致坍塌 白矮星中的电子气为简并的费米气另一方面，因为费米温度极高， 尽管星体的温度很高，我们还是可以用低温极限的结果讨论它这时费 米函数可以简化为阶跃函数白矮星的平衡条件是费米气的压力( 有膨胀 趋势) 与核间引力( 质量引力) 平衡这就是说，克服费米压力而使电子气 由无限稀薄收缩至半径为戳白矮星半径) 的功是由引力所作的这就构 成了力学平衡条件： j i p 0 4 z r r 2 d r = 呵竿 q 2 1 ) 2 = 呵半 ( 2 据此，可求得白矮星保持力学平衡所允许的最大质量，即上限质量或临 界质量 丝= ( 爿壕卜 其中f 为数量级为1 的常数，g 为引力常数，为核的质量小于临界质 量的白矮星，深层密度较大，电子为极端相对论的，电子的斥力可与核 间的引力平衡；质量大于i 临界质量，斥力不能与引力抗衡，星体进一步 收缩，原子核被挤垮，质子与电子反应形成中子，迸一步就形成中子星 2 1 5 外磁场中的自由电子气 用b o l t z m a n n 统计处理原子顺磁性的一般结果是：高温时，磁化率遵 从居里定律( c u r i el a w ) za c t 一1 ；低温时，介质可以达到磁化饱和 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 ( m a g n e t i cs a t u r a t i o n ) 涉及到物质中电子的磁性，经典处理就不恰当了 由于电子在常温下的热波长与晶格常数同数量级，因而会显示明显的量 子效应，必须采用量子统计处理它们用费米统计处理介质中电子的磁 性时。会得出一些显然不同的结果在高温时虽然也遵从居里定律，但 具有不同的高温极限尤其是低温下，由于电子是费米粒子，受泡利不 相容原理的限制，即使在绝对零度时仍然保持着运动( 基态运动) ，因此不 会得出低温下达到磁化饱和的结果，而是得出一个和温度无关但是强烈 地依赖于费米气体密度的磁化率的低温极限值 外磁场对自由电子主要有两方面的影响：其一是电子的自旋取向有 沿外场排列的趋势，导致泡利顺磁性；其二是电子围绕场运动轨道的量 子化导致朗道抗磁性 总之，平衡态的磁现象是量子效应产生的电子的自旋提供p a u l i 顺 磁性。轨道运动可以表现为l a n d a u 抗磁性这类抗磁性的数值很小，不 能用来解释超导体的完全抗磁性现代关于抗磁性的研究指出：l a n d a u 抗磁性的磁化率一般在一1 旷，而超导的完全抗磁性导致磁化率z 专一1 除超导体的完全抗磁性和l a n d a u 的抗磁性外，尚未发现其它抗磁性机制 【1 6 1 2 ，6 原子的统计模型( 1 _ _ f 模型) t h o m a s 和f e r m i 关于重原子中超原子核空间的电荷分布和电场的计 算是费米统计的另一个应用他们的方法是根据此系统中的电子被看成 非均匀密度n ( r ) 的完全简并费米气体通过考虑平衡态图景，可以得到 不同位置r 处的电势d ( r ) 和电子密度以( r ) 这种模型被称为原子的 t h o m a s - f e r m i 模型由于n ( r ) 是随着r 平滑变化的函数，就避免了使人 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 们联想起玻尔电子轨道理论“峰”的存在然而，经证明这种模型对解决 诸如原子束缚能级等方面的问题是非常有用的，并且经过适当的修正， 它可以应用于分子、固体以及原子核【用 2 2 对非理想费米气体的研究方法 实际量子气体的性质受多方面因素的影响，其中包括系统的总粒子 数、空间维数、能谱色散关系以及外势的形式等除此之外，粒子问的间 相互作用也是影响系统性质的一个重要方面有些文献就采用量子力学 中求密度矩阵的方法，通过对正则系综的配分函数的严格计算发现：影 响系综配分函数的因素不仅有全同粒子的交换，而且还有系统粒子的相 互作用势引起的量子修正和坐标交换在忽略系统的粒子间相互作用势 引起的量子修正和坐标交换后，其配分函数正好就是经典量子统计下的 配分函数量子体系的许多性质，如化学势、内能、热容等都因粒子间存 在相互作用而与理想系统存在差异由于量子力学中遇到的问题大多不 能严格求解，在进行量子统计力学的计算时，就很难写出多粒子体系能 量的精确解析表达式因此，常常无法写出配分函数的解析式，这就使 通过统计平均计算宏观量变得十分困难为此，人们寻找了不少近似方 法来处理多体系的量子统计力学问题【1 6 】 2 2 1 硬球势模型 计算非理想体系的配分函数，可以先计算体系的能级，然后用 q ( 矿，丁) = p 一舰得出配分函数在相互作用势比较简单，能用微扰论 解出能级的情况下，这种方法是可行的实际上原子间的相互作用甚为 复杂，可以认为它有一个很强的排斥势芯，称硬球势由于硬球芯很小， 就有可能采用一种近似的方法，称赝势法( p s e u d o - p o t e n t i a lm e t h o d ) 把分 1 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 子看作直径为口的硬球，硬球之间有短程吸引力，而当，哼0 时( 两分子 无限接近) ，排斥力趋于无穷，即 p ( ，) = 慑有限爱， p ( 7 ) 2 1 负有限 ， 口 ( 2 2 3 ) 它将相互作用势转变为有效势，只通过低能相移参数表示用这个势， 经典情形容易获得常用的范德瓦尔斯( v a n d e rw a a l s ) 方程，量子情形对于 玻色气体则可得出超流的结果 2 0 世纪五六十年代，著名的物理学家黄克逊、杨振宁、李政道等酋 次推广1 9 3 6 年费米提出的赝势法，并以此研究了粒子间存在相互作用的 非理想玻色气体，解析地求解了非理想玻色气体的热力学性质1 $ - 2 1 1 他 们的研究成果对其后非理想量子气体的理论研究产生了重要的影响不 论是求解非线性薛定谔方程( g r o s s - p i t a e v s k i ie q 埘t i o n ) 或是做数值运算 c 2 2 之7 l ，都是在黄克逊、杨振宁、李政道等人研究的基础上考虑相互作用 的影响 2 2 2 集团展开法 若粒子间的相互作用不太强，可将系统的各物理量写成级数展开的 形式，级数的主要项表示相应的理想系统的结果，而后面的各项则表示 由粒子间的相互作用引起的修正梅逸叫a y 哪等人在2 0 世纪3 0 年代完 成了对经典系统进行级数展开的系统方法，称为集团展开法以后由 k a h n 、u l m e n b e c k 及李政道、杨振宁等人将这一方法推广到量子系统，使 这一方法更加完善用这种方法可以研究非理想的经典和量子体系的物 态方程，得出相应的m a y e r 定理，再计算维里系数，也就是把非理想气体 的物态方程化为求集团积分的问题量子m a y e r 定理与经典m a y e r 定理 类似，只是集团积分有不同的意义但是对于高级维里系数的计算十分 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 复杂 2 2 3 平均场理论 平均场理论是一种唯象理论。是早年发展起来的一种比较成功的相 变理论在重整化群理论出现以前，物理学家建立了多种描述特殊体系 的模型，例如范德瓦尔斯方程、伊辛模型等，在理解和预言相变的重要特 征方面获得了很大的成功不同的模型和理论虽然形式上彼此差异，但 却有着共同的特点，就是用“序参量”来表征相变的特征对于不同的物 体系，序参量可能是不同的物理量，但是它们总可以与某个所谓的平均 场联系起来这种平均场是用以代替物体系内的相互作用的一种内部场， 因此这种相变理论统称为平均场理论伊辛在1 9 2 5 年提出了一个描述 铁磁体的简单模型伊辛模型，给出了系统的配分函数： q ( 屈占) ：e 瑚争邬兰e 。2 p ( 一- a n s ) 虬国( + ，+ + ) p 姚( 2 2 4 ) 式中鳓是自旋磁矩，b 是外场，厂是每格点的最近临格点数，n + 是自旋 向上总粒子数，n + + 是相邻两自旋均向上总对数，国是物体系的构型总数 可以利用这个配分函数来研究相变此模型的严格求解在一维情形比较 容易，随维度的增加变得十分困难布喇格( b r a g g ) 一威廉斯( w i l l a m s ) 近似 方法是一种典型的平均场近似在伊辛模型中，两个参数n + ，n + + 要严 格确定是比较困难的这样，布喇格和威廉斯提出一个假设，近似地取 三h 甜， 再定义长程序参数q ，它由下式给出： 等；丢( 1 + 口) ( _ l g 轴，( 2 2 6 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 这样得到的配分函数 易，印= p 州柑坨+ 砌剐 ( 2 2 7 ) 陶l 再由此计算铁磁体的热力学函数并讨论相交后来，杨振宁与李政道与 1 9 5 2 年利用巨正则系综方法找到一种发生相变的机制，并用它研究了伊 辛模型的相变点，称为杨李理论，他们将相变理论用n - 维伊辛模型， 获得了铁磁相变的结果另外，在1 9 3 7 年，l a n d a u 发表了关于连续相交 的一种普遍的唯象理论，获得了很大的成功 2 2 。4 重整化群理论 由于平均场理论没有正确地计入临界点附近的涨落突变和强关联， 它给出的临界指数结果与精确解有明显的差异，与实验也难以定量吻合 因此，我们需要一种普适的、能正确处理临界点附近热力学函数的新理 论经过不断深入的研究，以威尔逊、卡丹诺夫为代表的一批学者先后做 出了卓越的工作，建立了临界现象的现代微观理论重整化群理论， 通过标度假设和普适性假设阐明了反映临界现象的深刻规律的标度 律，突破了平均场理论的框架。重整化理论一般通过给出重整化变换、研 究不动点、计算临界指数三个步骤讨论了临界点的主要特征但是计算 出的结果与严格解是有偏离的，正确的结果要通过计算高级项获得 2 2 5 格林函数理论 f e y n m a n 等人在量子场论基础上发展的多体系格林函数( g r e e n f i m c t i o n ) 理论，为统计力学提供了一种十分有效的近似方法，它是以量子 场论的描述方法为基础的 有相互作用的体系的哈密顿包含多体项，往往很难获得精确解常常 将这些相互作用作为微扰处理一般只取展开式中前面少数项这样的 计算有时不能满足需要，有必要寻找便于计入较多微扰项系统的方法 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 借助于格林函数理论建立的量子场论方法，是解决这类问题的一种成功 的理论。首先引入的是零温条件下的单粒子格林函数，得出它与典型的 力学量之间的联系，后来又引入了有限温度下多粒子体系的格林函数 对于格林函数的计算，f e y n m a n 提出了用图形表示格林函数展开式中的 各级项的方法借助于费曼图，我们可以精确地写出格林函数到任意一 级“重整化”技术解决了只考虑前几级微扰不精确的困难，它是对格林 函数展开的所有项分类进行部分求和并重新整理，组成新的收敛快的级 数。依次取新级数的各级项计算，就可以得到相应精确程度的格林函数 近似值 2 2 6 变分原理 派尔斯( p e i e d s ) 定理：如果物体系的哈密顿算符为日， 丸 代表此系 统的一个任意的正交( 未必完全) 的波函数组，那么，相应的配分函数必满 足不等式 q e 叫制， ( 2 2 8 ) 当 九 是日的一组完全本征函数时，等号成立 定理提供了一种近似求解配分函数的可能对于难解出精确波函数 的体系，选择适当的尝试波函数组，改变其中某些参数以使p 川 m 极大，即可得配分函数的下限值根据自由能和配分函数之间的关系式 f = - k t l n q ，可用定理求自由能的近似( 上限) 值具体做法是：选择一 组波函数轨 ，例如可以选择有相互作用h a m i l t o n 量的自由部分的波函 数，再加入某些特定参数( 变分参数) ，通过改变变分参数来改变溉 使f 达到极小，此f 则为自由能之上限值，即： 1 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章对费米体系研究的 基本理论和方法 f s 一灯l 叫缸川i ( 2 ，2 9 ) 此外，对于非理想气体理论，还有量子流体理论通常所讲的量子 流体有更广的含义：凡是量子效应起主导作用的相互作用多粒子流体系 统，统称为量子流体量子流体展现了丰富多彩的现象，例如液h e 的超 流性和金属的超导性等，量子流体是统计物理和凝聚态物理的一个重要 的研究领域 2 8 并且，计算机技术的发展，不仅为各种近似方法的应用 提供了广阔的空间，而且拓宽了对于非理想体系的研究途径 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 第3 章有限均匀重力场中理想费米气体的热力学性质 由于外势的形式是影响量子体系性质的一个重要因素，实验中b e c 和费米凝聚都是在外势约束的情况下实现的，所以近年来对于外势约束 下的量子体系进行了诸多研究外势场中的简并费米气体是一个重要的 研究方向近年来。除了正在进行的玻色凝聚的实验以外，一些科研团 体为了观察到费米气体的简并现象进行了实验研究并取得了重要的成果 1 2 9 - 3 ”随着实验技术的发展，人们对外势中费米气体的低温性质也作了 大量理论上的研究 n - z 5 1 。但对于重力场中费米气体的性质还没有系统的 研究 考虑到重力场是一种与谐振势不同的典型的线性势场，由于它直接 反映地球内部的密度。所以在地球物理学、海洋学和空间技术中占有特 别重要的地位另外，重力场是普遍存在的势场，所以研究均匀重力场 中费米气体的性质并与自由体系进行比较具有十分重要的意义在较低 温度下，粒子问的相互作用主要取决于s 波散射由于描述费米子的波函 数具有反对称性，处在同一自旋态的两个费米子的s 波散射振幅为零，所 以常将费米体系看作理想体系 3 1 总粒子数和总能 用r r 表示单个粒子的质量，g 表示重力加速度且为常数此模型可 以被看成：理想费米气体被局限于底面积为s 高度为工的有限体积的容 器中，系统的能谱为占= p 2 2 m + m g x 当系统的粒子数很大，并且约束 粒子的势能比动能小得多时，半经典近似法是适用的此时对量子态的 求和可以用对相空间的积分来代替在三维空间中，总粒子数和总能可 以表示为 2 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 = 三考b = 势鹄， ， u = 三考= 鹪 这里詹和h 分别是玻尔兹曼常数和普朗克常数，鳓是自旋简并度，是 化学势，r 是系统的温度，z = e x p ( k t ) 是此系统的逸度 对于外势场中的费米气体，粒子的态密度可以表示为 荆= 竽k 乒研3 ， ( 3 3 ) 而对于重力势场中的系统，考虑到外势是一个小量，所以粒子的态密度 可以写成 、 嘶) = 丝竽竺r 而瓣一r r2 一等s 一班 ( 3 4 ) 这样总粒子数和总能分别表示成 =4rff万(2m一)32上p,_sv2万-m盯glz-v24_占， ( 3 5 ) u = 4 ；, r v i ( 2 广m ) 3 2 玉, 8 3 i 2 i ；= - m 面g 面l 铲s v 2 4 占 ( 3 6 ) 利用费米积分( 2 2 ) ，则( 3 5 ) i i 抑( 3 6 ) 式又可以表示成 ：华眦卜掣眦) ( 3 7 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 秽：塑咝4 删一掣硝力 = 百3 w o v 2 ( z ) e 0 0 4 v m g l ，：掣2 。) ( 3 8 ) 这里a = 2 w o x v ( 2 m ) 3 2 h 3 ，= l k r ，a = 止丽是热波长，矿是气体 的体积 3 2 费米能基态能，化学势 费米积分z ( ：) 表示费米系统的性质在高温下，z 很小，口l l j f , ( z ) 可 以被展开成一个级数，如式( 2 1 4 ) 所示在温度很低的情况下，z 很大， 这时可应用s o m m e r f e l d 引理将费米积分对大宗量t n z 作渐近展开，如式 ( 2 9 ) 所示 当t = o k 时，( 2 9 ) 式只取第一项，并将其代a ( 3 7 ) 式可以得到 ：要4 ：一掣衅：， ( 3 9 ) 用迭代法可以计算出费米能 白= 8 f o4 - _ m g - l ( 3 1 0 ) 这= ( 等) 驴= 丢( 等) 驴是不考虑重力场时自由体系的费米能 将( 2 9 ) 式代入( 3 8 ) 式，并考虑到( 3 1 0 ) 式，则t = o k 时给出系统的基 态能 v o ：3 n 卸o + _ n m g l n ( 3 1 1 ) 2 丁 ( 3 1 1 ) 当温度t 耳时，g t ( 2 1 4 ) 式的第一项代入( 3 7 ) 式，得到高温情况下的化 学势 一叫三石( 翁( 一别 3 3 系统的热容量 存外势傈椿不变的情凋下将( 3 8 ) 式对t 求导可以得到系统的热容 量 c = 等 1 5 ( 玎) 5 2 鲥垆半( 耵) 非勘( 力 一 6 ( 灯) 班眦卜m g l ( k t ) 2 删 i 6 吼k t f 3 ( 2 ：( ) z ) 一- 2 m 碱g l f w 删( z ) ( 3 1 4 ) 这里用到了费米积分的性质 x 掣：几o ) ， 积 且焉d n ：o 时， 口 ( 3 1 5 ) 生dt兰t兹4k糍2mglf_l2 玩2 ( z ) 一 ( ：) 在温度丁“乃的低温情况下，将( 2 9 ) 式的前两项代入( 3 1 4 ) d p ，可以得到 热容量在低温情况下的解析表达式 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 c ；胍冬旦f l + 型i ( 3 1 0 2 印ol知oj 、 在t 疋的高温情况下，将( 2 。1 4 ) 式级数的第一项代入( 3 。1 4 ) 式中，可以 得到系统在高温情况下的热容量 c ：三脚 ( 3 1 8 ) 2 、 3 4 分析和讨论 ( 1 ) 若是不考虑费米子的自旋，系统的热力学量可以被写成表3 1 中 的形式从表中可以看出，除了高温极限下的热容量以外，有限重力场 中费米气体的总能、基态能、费米能、化学势和低温热容量都比自由费 米气体相应的热力学量要大不难理解，在重力场作外势时，系统的能 量既包括粒子热运动的动能，又包括重力场提供的势能，所以其总能、基 态能比自由体系的要大对于同样的k t 占p 。，要使其温度升高，动能和 势能都要提供给此系统，从而导致热容量增加当? 专0 时，c = 0 ，满 足热力学第三定律；当r 时，系统的热容量与自由体系热力学极限 下的结果一致这是因为在高温的条件下，并且当重力场是有限时，满 足k t m g l ，使得外势对热容量的影响没有体现出来化学势是推动 相变中质量转移的一种势，它总是使质量从具有较高的化学势的相转移 到具有较低化学势的相，当重力场作外势时，激发费米子所需要的能量 比自由体系要大。所以化学势要增大费米能是o k 时费米子的最大能量， 它是表示系统性质的一个物理量，与自由体系相比较，重力势约束下的 系统中重力势亦对费米能有贡献，所以导致费米能比自由体系的要大 值得一提的是，重力势场使得费米气体的总能、基态能和热容量都比自 由费米气体相应的热力学量明显增大。而对于费米能和化学势的影响较 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 小，这是因为前三个物理量表示系统总体的性质，而后两个物理量表示 单个粒子的性质，且重力势场较小的缘故 物理量自由体系重力场中的体系 总粒子数 等( 2 o ) 3 2筹( 2 埘扩一华( 2 朋) 驴妒 总能u 3 _ n k ra 2 ( z ) 3 胍t a z ( 。) 一碱z ( z ) 6 2 厶2 ( z ) 2 厶2 ( z ) 一m g l f v 2 ( z ) 2 费米能唧 8 f q唧o + m g l 2 基态能砜3 n 占f o 53 n 6 p o 5 + n m g l 2 低温 小生1 2 唧t , e ，o )十蔷鲫 + 斗譬 绷 高温 一m 4 , 旦s r , 门3础l 4 石时k 矗o j ( t 一等) 低温c 脓 ：j r 2 k t 2 c f o l 8 f o1fof 、, hm 白g 。l 2 高温c a r k3 23 2 袁3 - l ：自由费米体系和有限均匀重力场中理想费米体系的对比这里 5 ，。：竺f6 f f 2 旦1 ”表示无自旋自由体系的费米能，而g ，表示有限均匀重力场中 2 m v 无自旋费米系统的费米能 ( 2 ) 金属中的电子气模型 对于电子气而言，其自旋简并度= 2 ，一般教科书上已经讨论了简 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 并的自由电子气我们来考虑在有限均匀重力场中，其热力学量的变化 应用以上的计算结果。可以得到重力势约束情况下简并电子气的热力学 量： 费米能 卸= 印。+ 丁m g l ， ( 3 1 9 ) 基态能 = ；嗨一下n m g l ， 总能u = ；峰。 - + 等陕 2 + 竿 t + 生2f，k旦6fo,1)2， 化学势 。 - 隈) 2 + 警 ，一等( 羔) 2 ， 热容量 c - n k u 2 k t 、i m g l 2 s f t e 6 f n c ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 这里卸。= 篆f 3 万2 n f 3 自旋简并度为2 的自由费米气体的费米能 与自由体系相比。从这些公式中可以看出重力场对电子气的性质有明显 的影响 对于金属中的电子气，室温下可以看成绝对零度由于非相对论气 体的压强与内能之间存在关系p = 寺号，则电子气的简并压可以写成 p o = j 2 歹n 。t _ n m 矿g l ，其体弹性模量k = j 5p o 一2 3n 矿，。+ 芩5 n m 厂g l 对 于碱金属n a 和k 中的自由电子气，已经测得其体弹性模量的实验值分别 为o 8 3 x 1 0 1 0 p a 0 4 0 x 1 0 1 0 p a 【3 2 1 若按自由电子气模型计算其体弹性模量， 则分别为o 9 2 7 x l o o a a 0 3 0 0 x 1 0 1 0 p a ，若是考虑重力势场的影响，利用本 文的结果计算，并取三= l o m , 可以近似得到这两种金属的体弹性模量分 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第3 章有限均匀重力场中理想 费米气体的热力学性质 别为( o 8 2 7 + 1 2 5 x l o 。1 0 ) x 1 0 1 0 p a ，( o 3 0 0 + 6 7 x l o 。o ) x l o a p a ，这里可以看出 重力势约束下的电子气比自由电子气更接近于实验值 ( 3 ) 若是不考虑重力场，体系就回归到自由的状态，这样解析式 ( 3 7 ) 、( 3 8 ) 、( 3 9 ) - ( 3 1 8 ) 就和教科书口7 , 3 a 铡中的结论致当然，还可以 计算其他热力学量如自由能、熵等对于均匀重力势场中非理想费米系 统的性质，我们将在下一章中研究 3 5 本章小结 本章研究了有限均匀重力场中理想费米气体的热力学性质，得到了 一些重要热力学量的解析表达式，并把它们与自由体系进行了比较结 果表明：重力势场使得费米气体的总能、基态能、费米能、化学势和低 温热容量都比自由费米气体相应的热力学量增大，重力势约束下的费米 气体模型比自由费米气体模型更接近实际 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第4 章均匀重力场中弱相互 费米气体的低温性质 第4 章均匀重力场中弱相互作用费米气体的低温性质 近