（理论物理专业论文）非线性薜定谔方程的孤子微扰理论在玻色爱因斯坦凝聚体和光纤中应用.pdf

涉 0 工中文摘要 o 1中文摘要 孤子理论是物理学中的一个重要课题，它在物理学的许多领域 都有重要应用。孤子微扰理论在实用上有重要意义。它大体上可以 分为两种类型。一类是基于逆散变换的微扰论。逆散射法是求孤子 解的基本方法，这种微扰论有重要的学术意义，但它的思路迂回曲 折，不太容易理解和掌握，因此实用上并不十分方便。另一类是直接 的微扰论，其中最常用的系统方法是平方j o s t 解展开法。因为j o s t 解是逆散射变换过程中所出现的一种特解，所以该法实际上并未完 全摆脱对逆散射变换的依赖。在严格意义上，它只是一种“准直接 法”。上述两种方法的共同缺陷是只适用于可积系统而不适用于非 可积系统。颜家壬教授于1 9 9 6 1 9 9 8 年发展了一种基于分离变量法的 孤子直接微扰论。它不仅思路直接，容易理解和掌握，而且数学计算 也比其它方法更为简单，更重要的是，它完全摆脱了对逆散射变换 的依赖。它既适于可积系统，也适于非可积系统。最近他用此法成功 的处理了暗刁攻子微扰问题本文用这种方法处理了自聚焦非线性薛 定谔方程的孤子微扰理论。具体刘在波色爱因斯坦凝聚体和光纤中 的暗孤子问题进行了研究和分析，得出了一系列富有意义的结果。 全文共分为六章：第一章简要介绍孤子方程和孤子分类，以及孤 子微扰理论的几种方法。第二章详细的介绍了暗孤子微扰理论。给 出其具体思路及详细推导过程。第三章简单的介绍和回顾b e c 理论 的产生发展及实验研究过程，介绍了凝聚体宏观波函数满足的g p 方程。然后讨论了b e c 中暗孤子的实验情况和理论研究现状。第四 章本人基于直接微扰理论研究了b e c 中暗孤子的稳定性问题。第五 章简单介绍光纤中的暗孤子的起源以及用具体工作研究这多种微扰 作用下暗孤子的稳定性。第六章为总结和展望。 关键词：非线性薛定谔方程；孤子；微扰；玻色一爱因斯坦凝聚 1 l a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m so fp h y s i c s i th a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nm a n y 矗e l d s t h et h e o r yo fs 0 1 i 七o np e r t u r b a t i o nh a j v e s i g n i 6 c a n tm e a n i n gi np r a c t i c a la p p l i c a t i o n i tc a nb ed i v i d e dr o u g h l yi n t o t w ot y p e s o n ei st h et h e o r yo fp e r t u r b a 七i o nb a s e d0 1 1t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ( i s t ) ，w h i c hi se s s e n t i a lm e 七h o di ns e 甜c h i n gt h es 0 1 u t i o n o fs 0 1 i t o n ，s oi 七h a v ei m p o r t a n ta c a d e m i cm e a n i n g ) h o w e v e r ，t h em e 七h o di s n o te a s i l yu n d e r s t o o da n dg r a s p e db e c a u s eo fi t sc o m p l i c a t e dl i n eo ft h i n k - i n g a n o t h e ri st h ed i r e c 七t h e o r yo fp e r 七u r b a t i o n ，t h em e t h o do ft h es q u a r e d j o s ts 0 1 u 七i o n sc o n s t r u c t e da s 七h eb a s i so fp e r t u r b a t i o n i st h em o s tu n i v e r s a l i ns e v e r a ls y m m e t r i cw r s t h em e t h o dc a n tc o m p l e t e l yg e tr i do ft h ed e p e n d e n c et ot 1 1 ei s tb e c a ，u s et 1 1 a t 协es q u a r e dj o s ta p p e a ra st 1 1 ep a r t i e u l a r s o l u t i o ni nt h ep r o c e s so f 七h ei s t i ti st h e q u a s i 一出r e c tm e t h o d ”i ns 七r i c t t e r m s t h ea b o v et w om e t l l o d sa r ej u s ta p p l i c a l ) 1 et oi n t e 酽a ls y s t e m s ，n o t t h eu n i n t e g r a ls y s t e m s a 压yh i e r o p h a n to fp r o f 色s s o ry a nj i a r r e nd e v e l o p e da n e wd i r e c tm e t h o do ft h es 0 1 i t o np e r t u r b a 七i o nb a s e do ns e p a r a 七i n gv a r i 如l e t e c h n i q u ef r o m1 9 9 6t o1 9 9 8 i ti sn o to n l ye a s i l yc o m p r e h e n d e da n dc a u g h 七， b u ta l s om o r es i m p l ea n dc o n v e n i e n ti nc a l c l l l a t i o n i ti s 七h em o s ti m p o r t a n t t 1 1 a tt l l em e t l l o dc a s to f f _ t i l ee f f c c to ft h ei s t t h em e t l l o di sa i ) p l i e a b l et ot h e i n t e g r a la n du n i n t e g l a 1s y s t e m s r e c e n t ly ) h ed e a lw i t hs u c c e s s f u l l yt h ep e r 。 t u r b a t i o nt h e o r yo ft h ed a r ks o l i t o n i ni n yp a p e r ，t h em e t h o di sd e a l 七w i t h 七h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hs e v e r a lp e r t u r b a t i o n 七e r m s io b t a i n e dr i c hm e a n i n gr e s u l t st h r o u g he x p l o r i n ga n da n a l y z i n gt h ed a r ks o l i t o n o fo p t i c a lf i b e ra i l db o s ee i i l s t e i n c o n d e n s a t e s t h i sp a p e rc o n s i s t so fs i xc h a p 七e r s t h ef i r s tc h a p t e rh a st w op a r t s f i r s t ， w eb r i e b yi n t r o d u c es o r t so fs o l i t o ne q u a t i o na n dt h et y p e so fs o l i t o n ，s e v e r a l m e t h o d so fp e r t u r b a t i o i lt 1 1 e o r yo fs o l i t o n ia n a l y z et h es t r o n g p o i n ta n dd r a w b a c k so f 七h e s ea p p r o a c h e s i nt h es e c o n dc h a p 七e r ，ii n t r o d u c e di nd e 七a i lt h e p e r t u r b a t i o nt h e o r yo ft h ed a r ks o l i 七o nf o rt h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a - 七i o n ，g i v i n gt h ei d e a sa n dp r o c e s so ft r e a t m e n t i nt h et h i r dc h a p t e rw eb r i e f l y i n t r o d u c et h eb o s e e i i l s t e i nc o n d e 璐a t i o n st h e o r ya n di t se x p e r i m e n t s ，a n d t h en o n l i n e a rg r o s s p i t a e v a s k i ie q u a t i o n i nt h ef b u r t hc h a p t e r ，is n l d yt h e 上 j l 心 产 、i h m - ， 5 d i 中文摘要 1 1 l s 七a b i l i t yo ft h ed a r ks o l i t o ni n 七h eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a 七e sa n da n a l y z e 七h e m a i np r o p e r t i e so fd a r ks 0 1 i t o n i nt h ef l f t hc h a p t e r ，ii n t r o d u c e dt h es t a b i l i t y o fo p t i c 甜s o l i t o na n ds t u d i e dt h ep r o p e r t i e so ft h ed a r ks o l i t o ni no p t i c a lf i b e r is u m m a r i z em yw o r ka n dd i s c u s si t sp r o s p e c ti nc h a p 七e rs i x k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；s o l i t o n ；p e r t u r b a t i o n ：b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e 第一章引言 科学分类正经历着从低级到高级，从封闭到开放，从简单到复 杂，从平衡到非平衡，从线性到非线性。学科正在渗透、交叉，新兴 的学科不断地涌现。在所有这些新的学科中，非线性是一个十分重 要的课题。非线性现象普遍存在自然科学、社会科学及思维科学当 中，也就是说非线性是一般存在的普遍现象。非线性理论又是研究 这些非线性问题的重要工具。非线性科学作为一门重要的科学，它 也体现在物理学的各个分支，如流体力学、非线性光学、宇宙学等 等。非线性理论中的孤子理论又是非线性科学的一个重要课题。孤 子理论自从它命名以来，已经快速发展，因为孤立子现象普遍存在， 从等离子体、水波、光纤中光的传输、激光传播、超导约瑟夫森结、 磁学、结构相变、波色爱因斯坦凝聚体，都与孤子有关。因此一些学 者已将非线性科学誉为上世纪继相对论和量子力学之后自然科学的 “第三次大革命”。正如一位物理学家所说”“相对论的建立排除了 对绝对空间和时间的牛顿幻觉；量子力学的建立则排除了对可控测 量过程的牛顿迷梦；非线性科学的建立排除了拉普拉斯决定论的可 预见性的狂想”。非线性科学的建立是研究非线性现象性的一门学 问，它的研究主体是混沌、分形和孤立子，而且这三者彼此互相联 系。在本文中，我们将研究其中的孤子问题。 最早对孤立子这种非线性现象的描述可能是1 8 4 4 年，英国科学 家、苏格兰海军工程师罗素 1 ，2 在对英国科学协会作题为波动 论 2 的报告中，记载了他在运河里发现一个波形不变的单个凸起 的水团，这个水团运动一二英里之后在河流拐弯处消失了。什么力 量使水堆没有依托的情况下竟然能运动那么远的距离而形状基本保 持不变? 这是个令人深思的奇怪现象。由于当年未能从流体力学出 发给孤立波以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视。1 8 9 5 年，两位荷兰科学家科特维格( k o r t w e g ) 与德弗雷斯( d e i e s ) 对浅水 槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析，在长波 近似和小振幅的假定下，建立的单项运动浅水波的非线性浅水波方 2 程，即著名的k o r t e w e yd ev i e s ( k d v ) 方程 4 】。 第一章引言 妒一6 妒妒。+ 。= o ( 1 1 ) 其中妒。是弥散项，使初始局部脉冲脉冲扩展开来，并随着波的 行进使波形变矮变宽；而非线性项妒的作用恰恰相反，它使波形 前倾同时使波形变窄变尖。在特定的条件下( 特定的波形和传播速 度) 这两种现象互相平衡和抵消，形成了稳定的孤立波。所以说孤 立波是色散和非线性现象平衡的产物。但是此后孤立波现象的研究 与k d v 方程又被默默地遗忘了几十年。掀起这一领域研究热潮的应 归功于乌莱姆( s u l a m ) 。1 9 5 5 年，在乌莱姆领导的美国阿尔莫斯国家 实验室，著名物理学家费米( e f e r m i ) 、帕斯塔( j p a s t a ) 和乌莱姆数值 计算了用非线性弹簧联结的6 4 个质点组成的弦的振动，目的是从数 值实验上验证统计力学中的能量均分定理。他们对少数质点进行激 发，按照能量均分原理，由于弱的非线性相互作用，经长时间以后， 初始的激发能量应有涨落地均衡的分布到每个质点。然而计算结果 令人意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上 的状态，这与经典理论是背道而弛的。即，只要有非线性效应存在， 能量就会均分，备态经历的现象就会重复出现。这个结果预示着这 个非线性系统可以出现孤立波。这就是著名的f p u 问题。1 9 6 5 年， 美国数学家采布斯基( z a b u s k y ) 与克鲁思卡尔( k r u s k a l ) ，把f p u 的非 线性振子系统的能量不均分问题与k d v 方程联系了起来。他们还是 采用数值模拟的方法，用计算机又计算了两个具有不同速度孤立波 前后追逐中发生的现象。设有同向行进两个孤立波，波幅较高在后 的孤立波，逐渐赶上前面幅度较低的孤立波，于是两个孤立波相遇 了。令人惊奇的是两个孤立波相遇后，又能很好地分离开来继续前 进，而原来的波包形状没有发生大的变化。即两个在空间传播的孤 立波具有碰撞特性，说明：( 1 ) 孤立波非常的稳定；( 2 ) 象一个物质粒 子。人们将具有碰撞特性的孤立波称为“孤立子一8 0 i i t o n ”，简称“孤 子”。此后人们发现，在许多物理体系中都存在k d v 方程，说明孤立 波是一种普遍存在的物理现象。于是k d v 方程被看作为数学物理的 一个基本方程。后来人们又进一步发现，除k d v 方程外，其它的一 些偏微分方程也有孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开 来了。 5 i 】孤子方程与孤子分类 3 1 1 孤子方程与孤子分类 在物理学的很多问题中遇到大量的能反映各种物理量之间相互 制约和相互依存的关系，可称之为非线性演化方程。孤子理论就是 研究这些方程的孤子解的理论。在数学上，把具有下列性质的非线 性方程的解称为孤子解 5 ，李政道给出了孤子解的定义 6 ：在一个 场论系统中，如果有一个经典解，它在任何时间都束缚于空间的一个 有限区域内，那么这样的解就叫经典孤立子解。这也没有给出孤子的 明确定义，下面给出的一些明确定义：( 1 ) 孤立子是向单方向传播的 行波；( 2 ) 能量有限并分布在一个区域中；( 3 ) 波形保持不变，不随时 间变化；( 4 ) 孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 在最近几十年里孤子理论已经有长足的发展。描述孤波现象包括各 种修正项的方程，有几十种。最典型的孤子方程有下面几种f 4 ，7 1 k d v 方程非线性s c h r 6 d i n g e r 程 s i n e g o r d o n 方程 妒4 一方程b u r g e s 方程 b o u s s i n e s q 方程k p 方程 ( 1 ) k d v 方程 t 6 u u z + u z z z = 0 ( 1 2 ) 其中u 为垂直与传播方向的波振幅，下角标z 和分别表示对空间 坐标和时间的倒数。利用解非线性方程常用的行波法，在初值u 瑚= 一2 s e c 2 z 可得方程( 1 2 ) 的解为： 札( 叫) = 2 差( z 刮) ( 1 3 ) 这就是k d v 方程的单孤子解如图。1 ，孤波越矮，波形越宽，传播速 j ： j 。l 一 | u 3卜 f i g 1 1 ：t = 0 ，c 的取值分别为2 ，6 时，u 随x 的演化曲线 4 第一章引言 度越慢。孤波越高，波形越窄，传播速度越快。k d v 方程也是其它许 多领域中孤波现象的模型，如在长波小振幅近似下，可描写冷等离 子体的磁流体波的运动；非谐振晶格的振动；等离子体离子声波；弹 性杆中纵向色散波；液、气两种混合态的压力波；管底下部流体的 转动等等。 如果让拄。= 一6 s e c 2 z ，则是双孤立子的处条件，k d v 方程有双孤 子解 一地鬻筹笔封 ( 1 4 ) ” 1 。f 3 c d s 九( z 一2 8 t ) + c o s 3 ( z 1 2 z ) 1 2 、7 方程( 1 4 ) 选自【8 】 我们给出不同时刻其解的波形如图2 从图中我们 八一 一 八 f 唔1 2 ：t 取不同值时，一u 随x 的演化曲线 能够看到，随着时间的延伸，双孤子在零时刻变为单孤子解。双孤 子朝一个方向传播。 s i i l e g o r d o n 方程1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y h n e 把g o r d o n 方程非 线性化为s i n e g o r d o n 方程 u 配一u 。+ s i ，r ? ，“= o( 1 5 ) 它的孤立波解基于逆散射法和本文给出的直接微扰方法能够得出一 些特解。 u 士= 一7 r 44a r c t a n e x p 土庇( 一岛) 】( 1 6 ) j o 孤子方程与孤子分类 5 方程( 1 6 ) 给出称为s i n e g o r d o n 方程的孤立波解，其中 u + = 一7 r + 4 a r c t a n e x p 七 一岛) 称为扭结孤子，也称为拓扑孤子 j 厂 一 。 d 亏一磊 f i g1 3 ：k i n k 孤子 ( 1 7 ) u 一= 一丌+ 4a r c t a n e x p 一尼( 一o ) ( 1 8 ) 称为反扭结波( a n t i k i n kw a v e s ) ，也称反孤立子( a n t i - s o l i t o n ) 除此之外，s g 、 c 毛一号o l f i g 1 4 ：a n t i - k i n k 孤子 方程还存在如下形式的特解 一4a r c t a n 字蔫 n 9 ， 在p o r 取丌的倍数时，其图如下这是一种周期性的波包f 8 。目 6 j 哒 炳象 作：触，兀 、 f 培1 5 ：呼吸子 第一章引言 前，s i n e g o r d o n 方程在晶格位错的传播，铁磁体中畴壁的运动等领 域中有着广泛的应用。 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程形如 的方程称为非线性s c h r 6 d i n g e r 方程。通过行波法或逆散射法，可得 n l s 的单孤子解 u ( z ，) = 2 a s e c 九2 位( z 一4 p ) e 印 一2 i ( z + ( 及2 一2 ) ) 它表示一个被调制的平面波，其包络线2 q s e c 允2 ( z 一4 卢) 为孤立波 ( a o ) ，称为包络孤子。上述几种非线性方程存在孤子解除外。在物 理学的许多领域中仍存在有孤子解的非线性方程 9 一1 2 】，如m k d v 方 程，h i r o t a 方程，t o d a 非线性晶格波方程，非线性i l e i n g o r d o n 方程， 超导中g i n z u b r g l a n d a u 方程。这些方程可用逆散射方法求解，也可 用本文提到的直接法求解。孤子是形态上稳定的，能量不弥散的，非 线性场所激发的准粒子f 1 3 1 。这种准粒子遵循一般的能量、动量、质 量守恒定律，有粒子的所有的特性，又具有波动性。在一定条件下 都可存在。孤立子遵循经典运动规律，服从牛顿运动方程或哈密顿 运动方程。所以孤立子是一种新型的准粒子，它是本世纪物理学中 提出的一个重要的新概念。尽管从1 8 3 4 观察到河面上稳定的孤峰兀 立的水波，1 8 9 5 年柯特维格和德弗里导出k d v 方程及其孤子解以来 已经许多年了，但引起人们对它的普遍关注却还是本世纪六七十年 代的事。对此，国内外已经有了很多综述和若干专著。在短短的二 十年中，孤子这一新的概念得到了极其广泛地应用。 i 】孤子方程与孤子分类 7 最初，研究的是经典的孤子理论，然后被弗里德伯格和李政道推 广为量子的，对任何一种玻色子场系统，只要经典孤子存在，则总存 在相应的量子孤子解，至少在弱耦合的情形时是如此。粒子物理中 的许多相互作用体系，只要有相对稳定的客体，就存在相应的孤子 问题。描述粒子系统相互作用耦合的的方程一般是非线性的。粒子 满足波粒二象性，在量子力学中它用一个波包来描述，波包是由平 面波叠加而成。这和孤子想对应，所以孤子理论的应用是很广泛的。 孤子理论及其数学方法必将进一步发展，也将更加深入地应用到各 个领域。 孤子理论中存在一类实际问题，那就是在一个非线性系统中可 以把阻尼，外加的驱动力等等包含在原方程的修正项里面，它们的 作用效果可以当作微扰处理，这时求严格解几乎不可能。那么运用 微扰理论，可以得出一些近似解。 孤子理论的种类有很多。例如：1 拉格朗日微扰理论；2 基于逆 散射变换( i s t ) 微扰理论；3 基于直接法的微扰理论；4 基于h i r o t a 方法的微扰理论等等。但较为普遍的是建立在逆散射理论基础上的 微扰理论。这种方法是由k a u p 1 4 】，k a r p m a n 和m a s l o v 提出来的，并 在随后的一些工作中得以扩充 1 5 ，1 6 ，k i v s h a r 和m a l o m e d 1 7 逆散射 法适用的范围很广泛，是一种最遍的孤子微扰方法。但其特点是很 复杂，比较繁琐。随后，o s t r o v s k y 1 8 】首先提出了所谓的“直接法”， 这种方法是将非线性方程线性化，然后逐级求解。如平方j o s t 解方 法。选取其解用平方j o s t 解做展开基，又用逆散射法求孤子解。 颜家壬教授在前人的研究基础上，发展了一套基于分离变量法 的孤子微扰论直接法。其关键问题构造一套本征函数，并使这些函 数满足正交归一化条件。把函数波用本征函数展开，并消除久期性 条件，可得到波函数的一阶修正解和孤子参数随自变量的演化。 在接下来的第二章中，我将通过应用非线性薛定谔方程中暗孤 子的孤子微扰理论，进一步详尽的阐述我们的直接法及其改进方法。 在第三章中将对玻色一爱因斯坦凝聚中的孤子的研究现状进行综述， 并于第四章中我利用颜教授的直接法所得出来的关于非线性薛定谔 方程的暗孤子微扰的成果来研究玻色一爱因斯坦凝聚中的暗孤子稳 8 第一章引言 定性问题，对这部分工作进行了具体的介绍。第五章中对光纤中的 暗孤子稳定性进行分析。第六章总结和展望 第二章非线性薛定谔方程的直接微扰理论 2 1前言 逆散射法是功能强大的微扰方法。它要求在没有微扰的情况下， 这个方程能用逆散射变换做精确求解，这就限制了它的适用范围。1 9 7 6 k a u p 引进基于逆散射变换的微扰理论。1 9 7 8n e w e l l 对逆散射法做出 很大的贡献。运用i s t 的确切可解的方程具有许多不同寻常的性质。 如b a c k l u n d 变换，p a i n l e v e 性质，h i r o t a 双线性形式。直接微扰理论第 一次被o s t r o v s l ( i i 建立。在这种理论的框架内，把原来的非线性方程 线性化，把原来的不受微扰解当作微扰来考虑。然后找到线性方程 的线性算子，并找出线性算子的本征函数，微扰项用本征函数展开。 在消除久期性条件后，然后获得孤子参数的一级方程。在格林函数 的帮助下，能够研究孤子的辐射。应用格林函数构造线性方程的双 线性结合的本征函数。直接微扰理论要求不受微扰的确切的孤子解， 以及线性方程的本征函数，它要求不受微扰的方程不一定是精确可 积的。直接微扰理论适用单孤子解，这种理论适用的范围更加广泛。 本章详细的介绍直接微扰理论，并给出孤子参数的演化方程及方程 的一级修正解。 2 2 微扰的非线性薛定谔方程的线性化 在这下面的论文中，我主要是以导师颜家壬教授发展的孤子理 论作为工具【1 9 ，2 0 来研究波色爱因斯坦凝聚体和光纤中的暗孤子问 题。在这一章，我将简单介绍颜家壬教授最近发展的非线性薛定谔 方程的暗孤子微扰理论。给出一个具有下列形式的非线性薛定谔方 程： i 咖。一曲。+ 2 ( | f 2 一p 2 ) = ：f f e r 咖】 ( 2 1 ) 当方程( 2 1 ) 右边等于零，有下面的单孤子解 妒( z ，z ) = e 一徊晤+ j 7 7 t a n h p ( z z o + 2 ) 9 ( 2 2 ) 1 0 第二章非线性薛定谔方程的直接微扰理论 故独立的孤子参数数只有三个。显然，暗孤子解满足如下边界条件 o ( z ，) 一p ， z 叫+ 。， 咖j ( z ，t ) 一p e 一2 徊， z 叫一。 ( 2 3 ) 引进慢空间变量丁= e 屯我们替代砒_ 砒+ e 丹。同时替代曲( z ，) ： 垆( z ，z ) + e u ( z ：t ) 。从方程( 2 1 ) 不难得到它的零级和一级方程 i a 妒一魂。妒+ 2 ( i 妒j 2 一p 2 ) 妒= o ， ( 2 4 ) i u t 。+ 2 _ ( 2 i 妒1 2 一p 2 ) u + 2 妒2 西= i ( r 妒 一辞妒) = i 7 妒】，( 2 5 ) 式中上面划一短横( o v e r b a r ) 代表取复共轭，相应的初始条件为 妒( z ，o ) = e 一8 陈+ i ? 7 t a n h ? 7 ( z z o ) 】，u ( z ，o ) = o ( 2 6 ) ( 2 5 ) 式为标准的n l s + 方程，妒( z ，) 即为( 2 1 ) 式所表示的暗孤子解，不 过由于微扰的影响，其孤子参数一般将不再为常数，而为慢变量的待 定函数 垆( z ，) = e 一徊( + i 叼t a n hz ) ，z = 7 7 ( z 一 ) ，q = 2 ，( 2 7 ) 引进一套移动坐标 t ，z 一，彳= z z o 一2 z ； a ，跣叫a 一2 a z ，a 。 则( 2 5 ) 式及其复共轭可表为 乱比一叩2 u 。一2 i 7 7 u 。+ 2 ( 2 | 妒1 2 一= 1 2 ) u + 2 妒2 国= i r ( z ) ，( 2 8 ) i 国十叼2 面。；一2 叩西。一2 ( 2 | 妒1 2 一p 2 ) 回2 9 2 u = i f ( z ) ，( 2 9 ) 相应的初始条件u ( z ，o ) = o ( z ，o ) 令 兰u c z ，。，= ( 三譬ii ；) 兰p c z ，= ( ；：；) c 2 1 。， 将方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) 改写为矩阵形式 i 嘉，c 0 ) + 肛叱，f o ) = 州扎 ，。) = 。，( 2 1 1 ) 2 2 微扰的非线性薛定谔方程的线性化 1 l 式中三为如下定义的线性微分算子 三2r 2 柳衾l 罴2 下讲2 煮t ：蒜幺2 7 。) ( 2 1 2 ， 、 2 ( 7 一i t a n hz ) 2 一理+ 2 i 7 晓+ 4 t a n h 2z 2 + 2 1 2 、“1 ， 因为( 2 1 2 ) 式所定义的算子不是自共轭的，我们还需定义一个与它相 关连的辅助算子 t ：盯3 盯3 ：f 硬锄7 统一4 t a n h 2 z + 2 2 ，y 22 ( ，y 州a n hz ) 2 、猢1 一2 ( 7 一i t a n hz ) 2 一理+ 2 i 7 晓+ 4 t a n h 2z 一2 + 2 7 2 夕 叫 式中c r 3 为第三个包里矩降是用分离变量法求解一阶近似方程( 2 1 1 ) 并从而导出微扰对孤子的影响 l ) ( = a ) ( ， l t u = a u ( 2 1 4 ) 与( 2 1 5 ) 各有两组连续谱本征值与本征函数) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 枞仕讹p 三妒k 2 石篙面( 乏粼产笋三掣2 ) ， ( 2 1 6 ) 和 三u ( 土c z ，庇，2 千盯。x ( 士c z ，七，= 土了斋( f | ： 三；：竺；二i 三兰：蓦i ( 2 1 7 ) 相应的连续谱本征值为 a = a 7 之a 士= 忌肛蚪， 肛( 土) = 一2 7 士l ，己= 、伍f 干i 币雨，一 ：尸厂o 。 一o 。 + 丁( d 七f t + ( z o ，意) j x ( + ( 七) + 丁( 一( 幻，后) i x ( 一( 尼) o ( o ) j x ( o ) + 丁( 1 ( z o ) j x ( 1 ( 2 1 9 ) 第二章非线性薛定谔方程的直接微扰理论 i 于( 。( t o ) 十2 7 7 2 丁( 1 ( o ) = i ， t o ( o ) = o ，t 1 ( o ) = o ，( 2 2 0 ) i 于( 1 ( o ) ：i ， t ( 1 ( o ) = o ， ( 2 2 1 ) 利用u 和) ( 的正交完备性关系，可以得到有关孤子参数 扣扣仁炳e 矾m 矽。， ( 2 2 2 ) 和 叼，一2 7 7 2 矗：一r e 厂o 。d z ，y ( t a n h z + zs e c h 2 z ) t 厂 纠e 循一，m 厂。d z ，【纠e 诏，叼，一2 7 7 2 矗= 一r e d z ，y ( t a n hz + zs e c h 。z ) t 厂【妒 e ”一j m d z 川叫矿。， j o o 一一 所+ ，y 乜f 一6 1 1 0 0 = o ( 2 2 4 ) 其中r e ( ，e 坩) 和，m ( ，e 徊) 展为t a n hz 的幂级数，再化为如下形式 r e ( ，e 循) ：n 。+ 。lt a n hz + 。2s e c h 2 z + 血3t a n h zs e c h 2 z + 血4s e c h 4 z + 一， i m ( i 厂e i 8 ) ：6 。+ b 1t a n h z + b 2s e c h 2 z + 6 3 t a n hzs e c h 2 z + b 4s e c h 4 z + ( 2 2 5 ) = 孝p 仁训扩b ) 南( 1 一e 细玖汁h 。卅 9 ( 盘) 南( 1 私) ( ( _ - ( 2 2 6 ) 给出微扰对孤子形状的微小修正式中夕( 士( 南) 为七的某一正常函数 扩) ：千( 乇) 1 z c s c l l ( 知2 锄铷伸州- + ( _ 2 似拶k + 讲1 允。一生笔墨掣 。一丢七( 七2 + 4 ) d 。+ 一 ( 2 2 7 ) 第三章玻色一爱因斯坦凝聚及其中的孤子问题 3 1引言 光的量子称为光子是在2 0 世纪初出现的。1 9 2 4 年印度物理学玻 色提出黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了“光子在各能级 上的分布”问题，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公 式 2 3 】。爱因斯坦于1 9 2 4 年和1 9 2 5 年发表两篇文章，将玻色对光子的 统计方法推广到某类原子，并预言当这类原子的温度足够低时，所 有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所 说的玻色一爱因斯坦凝聚。随后人们在理论有所突破，自然界有两种 类型的基本粒子，一种为费米子，另一种为玻色子。基本粒子或复合 粒子的自旋数为半整数时为费米子，如电子、质子、中子、m 子、h e 3 原子等，它们具有反对称波函数，遵从费米一狄拉克统计和泡利不相 容原理。基本粒子或复合粒子的自旋数为整数时为玻色子，如p 介 子、光子、h e 4 原子等，它们具有对称波函数，遵从玻色爱因斯坦 统计。由于费米子和玻色子具有本质的不同，表现出两类截然不同 的性质。在很长一段时间里，没有任何物理系统被认为与玻色一爱 因斯坦凝聚现象有关。1 9 3 8 年，伦敦提出低温下液氦的超流现象可 能是氦原子玻色凝聚的体现，玻色一爱因斯坦凝聚才真正引起物理 学界的重视。 在凝聚体中，宏观数量上的b o s e 原子占据能量最低态，并且通过 宏观的方式表现相同的量子特性。由于实现b e c 的实验条件：一方 面希望达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气态，这很 难实现。随着激光冷却技术的发展，这需要将原子气体降到接近于 绝对零度( 一2 7 3 1 6 ) 的极低的温度。经过物理学家十几年的努 力，威依迈和科纳尔的研究组于1 9 9 5 年6 月在铷( 8 7 r b ) 原子蒸气 中第一次直接观测到玻色一爱因斯坦凝聚。随后麻省理工学院的沃 尔夫冈凯特纳研究组在钠( 2 3 n a ) 原子蒸气中实现了玻色一爱因斯 坦凝聚。他采用不同的方法 2 4 2 5 。2 0 0 1 年度诺贝尔物理学奖授予 了e r i ca c o r n e l l ，w b l 绝a n gk e t t e r l e 和c a r le w i e m a n ，表彰他们在实 1 3 1 4 第三章玻色一爱因斯坦凝聚及其中的孤子问题 现弱相互作用玻色气体的玻色爱因斯坦凝聚实验方面的开创性工 作【2 4 。2 0 0 4 年国际著名学术刊物( ( 科学将实现费米子的玻色一爱 因斯坦凝聚评为年度国际科技十大进展之一 3 】o 玻色一爱因斯坦凝 聚的理论和实验研究已成为国际物理学界的研究热点之一。我国中 科院上海光机所量子光学重点实验室的王育竹院士率领的课题组经 过三年的艰苦努力，也终于在2 0 0 2 年成功地观察到了铷原子的玻色 一爱因斯坦凝聚现象 2 6 】，成为国内首个实现玻色一爱因斯坦凝聚的 实验室。 3 2g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程 下面是由g i n s b u r g 和l a n d a u 在分析超导时推导出来的后来被 g r o s s 和p i t a e v s l ( i i 推广的方程，该方程被称为g p 方程。这个方程在 波色爱因斯坦凝聚实现以后，利用该方程可以分析b e c 的特性并预 言b e c 的许多新特征。下面，我们给出g p 方程的推导。在二次量 子化方法中，个相互作用的玻色原子气体系统的h 口仇砒。疵n n 能够 表示为 6 3 疗= 榭c 刁 一黑v 2 懈蒯 + 三。c f 矗，) 矗歹由+ ( 刁。+ ( 尹) y ( ，一尹) c ：j ( 尹) 国( 力 ( 3 1 ) 其中o + ( 力和白( 而分别表示为产生和湮没场算符。他们满足b o s e 对易关系 ( 2 ，+ ( 刁，d ( 刁 = 6 ( r r ，) ( 3 2 ) k 唧( 刁是外场囚禁势y ( ，一) 是两体相互作用势1 9 4 7 年，b o g o l i u b o v 提出了稀薄玻色气体的平均场理论，其后被b e l i a e v 推广，其关 键思想是d ( 力分离为凝聚和非凝聚部分 d ( 刁= ( d ( 刁) + 国7 ( 力，( 3 3 ) 龟3 2 g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 力程 其中 ( ( 2 7 ( 力) 三妒( 力， ( 3 4 ) 这里妒( 力为玻色子宏观玻函数，即是场算符的期待值如果系统的温 度极低，面7 ( 力是小量，即非凝聚部分非常少，我们可以把c = 7 7 ( 囝看成微 扰将多体日口m i 2 d 倒o n ( 3 1 ) 代入日e i s e 礼6 e 叼方程，得场算符u ( f ) 满 足的方程 i 危知归m 捌= 嚆v 2 地扪k 十d 。+ ( ，= ；，) y ( 一力。( p ，) 。( f ) ( 3 5 ) 在实现b e c 的条件中，原子间的相互作用起很重要的作用。虽 然原子间的相互作用很复杂，但是通过赝势法，将相互作用转变为 有效作用势，可简化到只用低能相移参数来表示。在量子力学中，低 能散射相移与势的形状无关，而只依赖于一个参数“，称为散射波 长。用钢球模型处理稀薄气体原子，y ( 7 = ；一力可以用一个有效作用势 来表示 y ( 7 7 一力= 9 6 ( r 7 一而，( 3 6 ) 这里夕为耦合常数，与s 波散射长度。相关。理论表明，s 波散 射长度和作用于原子的磁场有关，在一定的磁场条件下，o 可以为正 也可以为负。正表示两体作用相互排斥，负表示两体作用相互吸引。 这种现象称为f e s h b a c h 共振 3 2 一 3 3 。在这里，如果没有特别说明， 一般。为正，即两体相互排斥。 4 丌忍n 1 72 ， r f l ( 3 7 ) 这里仇是玻色原子的质量在温度为零的条件下，将( 3 6 ) 代入 ( 3 5 ) 可以得到宏观波函数妒( 而满足的方程 3 5 i 忍鼢垆篙v 2 地扪蚓删私训 ( 3 8 ) 1 6 第三章玻色一爱因斯坦凝聚及其中的孤子问题 这就是著名的g r o s s p i t a e v s h i ( g p ) 方程，1 9 6 1 年，g r o s s 和p i t a e v s k i i 分别独立完成其推导。这也是用平均场理论处理b o s e e i n s t e i n 凝聚 系统的基本方程 3 3 玻色一爱因斯坦凝聚中的孤子问题 平均场理论导致的描述玻色一爱因斯坦凝聚的g p 方程( 3 1 ) 式 是一个非线性的薛定谔方程，所以g p 方程非线性性质的研究就成 了广大研究者非常感兴趣的问题，其中孤子问题的研究由于有了实 验的实现 2 7 3 1 更成为了其中的重点。下面，我们就从暗孤子和亮 孤子这两个方面来分别进行阐述。 3 3 1暗孤子 玻色一爱因斯坦凝聚的实验实现极大的刺激了物质波非线性性 质的研究。孤子由于和其背景相比较有两种情况值得考虑，一种是 相应于背景凸出，这种情况有亮孤子出现。另一种情况则相反，这 种情况相应于暗孤子。孤子可以分为亮孤子和暗孤子两类，描述它 的非线性方程的不同，现在主要分析暗孤子。在玻色爱因斯坦凝 聚中凝聚体的宏观波函数满足非线性g p 方程，它的非线性性质来 源于原子间的相互作用。已有的研究结果表明，随着原子间相互作 用分别表现出排斥和吸引的不同，g p 方程的解分别对应为暗孤子和 亮孤子。其中，暗孤子的性质在理论上已经被广泛的研究 3 4 ，3 6 4 5 ， 而且在雪茄型的玻色一爱因斯坦凝聚体中，这些理论已经被实验所 证实 2 卜2 9 l 。国内也有不少学者在玻色一爱因斯坦凝聚体中暗孤子 的理论研究上做出了许多的工作f 4 5 4 8 1 。 当凝聚体原子间相互作用s 波散射长度a 大于零时，原子间表 现出排斥相互作用( 例如8 7 r b 原子) ，凝聚体中观察到有暗孤子出 现，已经有实验证实【2 7 ，2 9 了暗孤子的出现及描述动力学性质。文 献 2 7 中用相位印记的