（应用数学专业论文）线性模型中常用矩阵理论及矩阵算法.pdf

， 应 模 方面，得到了一些有意义的结果，这些结果都是在原有基础上的进一步推广。最 后讨论了矩阵算法中矩阵收敛速度问题。 本文取得的主要结果如下： 1 第三章主要给出了两类矩阵不等式的推广。首先，在本章第二节推广了 m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等式。c a u c h y s c h w a r z 不等式在线性模型 中有着广泛的应用，m a r s h a l l 和o l k i n 把这个不等式推广到矩阵形式，本节将其 推广到了一般形式，扩大了它的适用范围。其次，在本章第三节给出了约束条件 下矩阵迹不等式的推广。矩阵迹的不等式是矩阵理论的一个重要方面，它在许多 领域都有相当多的应用，本节把已有结果推广到了一般形式。这些结果在线性模 型也是十分有用的。 2 第四章简单介绍了m o o r e p e n r o s e 广义逆的性质。关于广义逆矩阵的性质， 卜2 总结了九十年代以前已有的结果。 3 总结出了加号广义逆矩阵的一些性 质。本节在较严格的条件下，证明了加号广义逆矩阵的三条新性质。 3 第五章主要介绍了矩阵收敛速度问题。在本节建立了一种新的预条件混 合型迭代算法来求解线性系统a x = b ，其中，a 为z 矩阵。然后我们给出了一些 比较定理，证明预条件混合型迭代法收敛速度比混合型迭代法收敛速度更快。最 后，举出了一个数值例子来说明得到的结果。 关键词：m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y - s c h w a r z 不等式广义逆矩阵半正定矩阵 矩阵的迹z 一矩阵预条件 模型中常用矩阵理论及矩阵算法 青岛科技大学研究生学位论文 c o m m o nm a t r i xt h e o r ya n dm a t r i xa l g o r i t h m i nl i n e a r modelmear a b s t r a c t m a t r i xt h e o r yh a sc o m ei n t ow i d eu s ei nm a n yb r a n c h e so ft h es t a t i s t i c s 、 e c o n o m i c s 、e n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o na n dh a sb e c o m ea ni n d i s p e n s a b l et o o li nt o d a y s s c i e n t i f i cc o m p u t i n g ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm a t r i xt h e o r y , m a t r i xt h e o r ya l s oh a sa w i d ea p p l i c a t i o ni nl i n e a rm o d e l i nt h i sp a p e r , s o m ef u r t h e rp r o b l e m sr e l a t e dl i n e a r m o d e la l ei n t r o d u c e di nt h em a t r i xt h e o r ya n dg e ts o m em e a n i n g f u lr e s u l t s t h o s e r e s u l t sa l eg e n e r a l i z e db a s e do nt h eo r i g i n a lr e s u l t sa n da l s od i s c u s st h ep r o b l e mo f m a t r i xc o n v e r g e n c es p e e di nm a t r i xa l g o r i t h m t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g 1 i nc h a p t e rt h r e e ，w em a i n l yg e tt h ee x t e n s i o no ft h et w ot y p e so fm a t r i x i n e q u a l i t i e s f i r s t l y , i ns e c t i o n i io ft h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ee x t e n s i o n so ft h e m a t r i xc a u c h y - s c h w a r za n dm a r s h a l lo l k i ni n e q u a l i t i e s c a u c h y s c h w a r zi n e q u a l i t i e s p l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nl i n e a rm o d e l m a r s h a l la n do l k i ng e n e r a l i z e di tt om a t r i x v e r s i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w eg e tn e we x t e n s i o n so ft h ec a u c h y - s c h w a r za n dm a r s h a l l o l k i ni n e q u a l i t i e s i t sa p p l y i n gs c o p ei se x p a n d e d s e c o n d l bi ns e c t i o ni i io ft h i s c h a p t e r , w eg e tt h ee x t e n s i o no ft h ei n e q u a l i t i e so fh e r m i t i a nm a t r i xt r a c e t h et r a c e i n e q u a l i t yo fm a t r i xi sa ni m p o r t a n ta s p e c ti nm a t r i xt h e o r y ，t h et r a c ei n e q u a l i 哆o f m a t r i xh a saw i d eu s ei nm a n yb r a n c h e s i nt h i ss e c t i o nt h er e s u l t sh a v e b e e ne x t e n d e d t ot h eg e n e r a lf o r m ，t h o s er e s u l t sa r ea l s ov e r yu s e f u li nt h el i n e a lm o d e l 2 i nc h a p t e rf o u r , w e s i m p l y i n t r o d u c et h e p r o p e r t y o f m o o r e p e n r o s e g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x w i t hr e g a r dt ot h ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s e m a t r i x ，【1 2 s u m m a r i z e dt h er e s e a r c hf o u n d i n gb e f o r et h e1 9 9 0 s ，【3 s u m m a r i z e ds o m e p r o p e r t i e so ft h ep l u sg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x ，i nt h em o r es t r i n g e n tc o n d i t i o n s ，t h i s a r t i d ep r o v e st h r e en e wp r o p e r t i e so fp l u sg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x 1 v 青岛科技大学研究生学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 符号说明 1 绪论1 1 1 研究背景及发展现状1 1 2 本文主要研究工作2 2 预备知识3 2 1 矩阵微商3 2 2h e r m i t e 阵4 2 3 广义逆矩阵5 2 4 矩阵分解8 2 5m 矩阵9 3 两类矩阵不等式的推广1 1 3 1 引言1 1 3 2m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等式的推广1 1 3 3 带约束条件的矩阵迹的推广1 5 4m o o r e - p e n r o s e 广义逆的性质2 1 4 1 引言2 l 4 2 加号广义逆矩阵的三条性质2 1 5 矩阵收敛速度研究2 5 5 1 引言2 5 5 2 基于z 矩阵的预条件混合型迭代算法2 6 结论3 3 参考文献3 4 v 型中常用矩阵理论及矩阵算法 3 7 论文目录3 8 3 9 3 9 青岛科技大学研究生学位论文 a 彳 a a 一1 a a + a 0 a 0 i a l 或d e t ( a ) l r ( a ) 五似) a ( a ) r ( a ) p ( r ) m p n p r d 1 厶 弓 d b 符号说明 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭 矩阵a 的共轭转置( 即刀) 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的广义逆矩阵 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵 a 为半正定阵( 实对称或h e r m i t e 阵) a 为正定阵( 实对称或h e r m i t e 阵) 表示矩阵a 为行列式 表示矩阵a 的迹 表示矩阵a 的第f 个顺序特征值 表示矩阵a 的奇异值 表示矩阵a 的秩 谱半径 p a 的分裂矩阵 p a 的分裂矩阵 迭代矩阵 辅助非负对角矩阵 辅助严格下三角矩阵 预条件矩阵 易a 的对角矩阵 v 型中常用矩阵理论及矩阵算法 b a 的严格下三角矩阵 易a 的严格上三角矩阵 预条件混合型迭代法的迭代矩阵 p s o r 方法的迭代矩阵 p a o r 方法的迭代矩阵 青岛科技大学研究生学位论文 1 1 研究背景及发展现状 1 绪论 线性模型是一类统计模型的总称，许多生物，医学，经济，管理，地质，气 象，农业，工业，工程技术等领域的现象都可以用线性模型来近似描述。参考文 献4 5 1 ，因此线性模型成为现代统计学应用最为广泛的模型之一。在线性模型的统 计推断中，矩阵理论和矩阵算法将是一个十分重要的工具。 随着研究的深入和应用的发展，矩阵与线性模型之间的关系会越来越深刻。 一方面，线性模型对矩阵理论研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理 论及矩阵计算研究的发展：另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于线 性模型的理论研究及其应用中。近三十年来，很多统计学家在这方面付出了很大 努力，并写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在线性模型的研究中发挥 着很大的作用。 随着科技日新月异地进步，矩阵的应用越来越广泛，矩阵理论及矩阵计算的 研究也就越来越重要f 6 1 。 本文皆在向读者介绍线性模型中常用矩阵理论及矩阵算法的如下几个方面： 矩阵不等式、m 矩阵、广义逆矩阵等，这些方面与线性模型息息相关。 关于矩阵不等式，已经出版了好几部英文专著，要么以数量和函数的不等式 为主要讨论对象，要么从某一特定方向研究一类数量或矩阵的不等式，其中最有 影响的是h a r d y ，l i t t l c w o o d 和p o l y a 的“i n e q u a l i t i e s 【7 】，b e c k e n b a c k 和b e l l m a n ( 1 9 6 1 ) 的“i n e q u a l i t i e s 8 1 以及m a r s h a l l 和o l k i n ( 1 9 7 9 ) 的“i n e q u a l i t i e s ：t h e o r y o f m a j o r i z a t i o na n di t s a p p l i c a t i o n s ”9 1 9 。随着矩阵理论的迅速发展，矩阵理论在 自然科学、工程技术和社会经济等领域有着广泛的应用，因此关于矩阵不等式的 新结果层出不穷，它们或者是经典不等式的改进与推广，或者是完全新型的不等 式，或者是应用的深入与拓广，这些结果在线性模型的研究中也起到很大的作用。 m 矩阵从2 0 世纪初至今，应用日益广泛，对m 矩阵的研究也日益受到人们 的重视，有关的研究论文达数百篇，是基础数学，计算数学，和应用数学中较为 活跃的研究领域之一，国际上许多著名数学家从事这个领域的研究，并取得了许 多重要的成果，我国的数学工作者起步较晚，作为矩阵理论的一个分支和研究问 线性模型中常用矩阵理论及矩阵算法 题的方法和手段，自2 0 世纪8 0 年代以来，经过许多数学家和经济学家的不懈努 力，m 矩阵的研究得到飞速发展和不断完善。 广义逆矩阵是上世纪矩阵理论中极为重要的一项新发展 1 0 1 ，广义逆的概念 是r e d h o l m 最早在1 9 0 8 年提出的，他给出了t f r e d h o l m 积分算子的广义逆，在 1 9 1 2 年利用有限维f r e d h o l m 积分算子的零空间h u r w i t z 给出了此类广义逆的一个 简单的代数表征，在1 9 0 4 年h i l b e r t 讨论广义g r e e n 函数时曾提出了微分算子的 广义逆，许多学者从此以后研究了微分算子的广义逆，特别是m y l l e r 、w e s t f a l l 、 r e i d 等。在1 9 2 0 年矩阵的广义逆由m o o r e 首次提出，他利用投影矩阵定义了唯 一的广义逆。b j e r h a m m e r 在不知道m o o r e 结果的情形下，重新提出了广义逆矩阵 的定义，利用广义逆给出了线性方程组的解。b o t t 和d u f f i n 在研究电网络理论时， 引进了后来被称为b o t t d u f f i n 广义逆。但是，在此后的2 0 年中，这种广义逆几 乎没有引起人们的多少注意，直到1 9 5 5 年，p e n r o s e 证明了m o o r e 所定义的广义 逆是满足四个矩阵方程的唯一的矩阵之后，广义逆的研究才真正为人们所重视， 得到迅速发展并在诸多领域获得广泛的应用。近四十年来，广义逆矩阵理论在数 理统计、最优化、算子理论、计算数学和经济学等众多数学分支和工程科技领域 发挥了重大作用。 1 2 本文的主要研究工作 本文共分五章，第一章是绪论，这一章主要介绍与线性模型相关的矩阵理论 的发展现状及研究意义，以及交代了本文的主要研究工作；第二章是预备知识， 列举了与本文所需有关矩阵论方面的预备知识，为下几章矩阵知识的运用做准 备；第三章主要讨论两类矩阵不等式的推广，其中分别讨论了m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等式的推广和约束条件下矩阵迹的不等式的推广，两部分都 是在原有的基础上，把已有结果推广到了一般形式，扩大了它们的适用范围，这 些结果在线性模型中都有重要的用途；第四章介绍了m o o r e p e n r o s e 广义逆的性 质。在较严格的条件下，本章证明了加号广义逆矩阵的三条新性质。第五章介绍 了矩阵收敛速度的问题，在本章中，我们建立了一种新的的预条件混合型迭代算 法来解决线性模型a x = b ，这里的a 是z 矩阵并提供一些比较定理，证明预条 件混合型迭代法收敛速度比混合型迭代法收敛速度更快。 2 青岛科技大学研究生学位论文 2 预备知识 矩阵理论及矩阵计算是线性模型中非常重要的工具，其中涉及的知识点很 多，由于张数所限，本文不可能一一详细的论述，因此本章将线性模型中常用的 结果且与本文相关的一些矩阵知识进行不加证明地汇集一下，详细的证明过程请 参见文献【1 l 一2 1 】。 2 1 矩阵微商 假设x = ( ) 是一个聊刀实矩阵，甜= 厂( x ) 为一实值函数，在求( x ) 的极 值时，我们总需要计算导数瓦a f ( 一，肌；= 1 ，。，刀) 。这里总共有所，z 个导数， 为简单计，我们记 堕： 蕊 可 魄。 礴 阮。 封 挑。 毯 这是一个，z ，2 矩阵，称为“对矩阵x 的导数，为了表示上的简洁和运算上的 方便，我们需要把所求出的m # 1 个偏导数箬写成矩阵形式，于是有一些独特的 吼搿 运算规律，本章列举一些常用性质。 定理2 1 1 设a 和x 均为厅1 向量，“：a x ，则_ o u ：口： c 定理2 1 2 设a 为拧以对称阵，x 为nx l 向量，“= x a x ，贝uo u ：2 a x ； o x 定理2 1 3 设x = ( ) 和y = ( ) 分别为所刀和p g 矩阵，a ，b ，c 和d 分 别为p x m ，n x q ，p x n ，和m x q 的矩阵，他们可以是x 的函数，则如下两条是等价 的 3 ( 2 ) 存在一个酉阵u ，即u 满足u u = l ，使得 u a u = d i a g ( a 9e - 9 以) ， 即h e r m i t e 阵一定是酉相似与对角阵。 定理2 2 2 设a 为n 阶h e r m i t e 阵，则a 0 当且仅当下列条件之一成立。 ( 1 ) a 的所有特征值为正数； ( 2 ) 存在一个可逆h e r m i t e 阵b ，使得a = 曰2 ； ( 3 ) 存在可逆复方阵b ，使得a = b b ； 4 是 许 ( 4 ) 对任一可逆复方阵p ，脚 o ； ( 5 ) a 的所有主子式为正数； ( 6 ) a 的所有顺序主子式为正数。 定理2 2 3 设a 为1 阶h e r m i t e 阵，则a 0 当且仅当下列条件之一成立。 ( 1 ) a 的所有特征值为非负； ( 2 ) 存在一个h e r m i t e 阵曰，使得a = b 2 ； ( 3 ) 存在t x 以矩阵曰，其中f = ，( 彳) ，使得a = b b ； ( 4 ) 对任一复方阵p ，p - f 4 p o ； ( 5 ) a 的所有主子式为非负。 定理2 2 4 设a ，曰为两个同阶半正定h e r m i t e 阵，则存在可逆阵q ，使得 q a q 和q b q 皆为对角阵。 定理2 2 5 设a ，曰为两个n 阶h e r m i t e 阵，则存在酉阵【，使得u + a u 和 u b u 为对角阵，当且仅当a b = b a 。 定理2 2 6 设a ，b 为两个n 阶h e r m i t e 阵且b 0 ，则存在可逆阵q ，使得 a = q + 人q ， b = q + q ， 其中a = 幽昭( a ，无) ，乃( j f = 1 , - - - , ) 为仙- 1 的特征值。 2 3 广义逆矩阵 设a 为以n t y 阵且满秩，众所周知，存在a 的唯一逆矩阵，记为a - 1 满足 a a 一= a 。a = l 此时，线性方程组a x = b 有唯一解x = a b 。 如果a 不是满秩的或它根本就不是方阵，这就需要将经典的逆矩阵概念加以 推广，为此，人们提出了“广义逆矩阵”的概念。 5 这里曰，c 和d 为适当阶数的任意矩阵。 由定义和定理2 3 1 ，推出a 一的性质 定理2 3 2 ( 1 ) ( 彳一) + = ( 彳) 一； ( 2 ) 若a 可逆，则a 一唯一，且a 一= a - 1 。 ( 3 ) 若记 力+ ： 允q ，乒o 贝o ( 五彳) 一：五+ 么一5 00 i，兄= 、7 6 青岛科技人学研究生学位论文 ( 4 ) r ( a 一) ，( 彳) ； ( 5 ) 从一，a a 都是幂等阵，且厂( 州一) = ，a 一彳) = ，( 爿) 。这里一个方阵b 被 称为幂等阵当且仅当b 2 = b 。 定理2 3 3 对任意矩阵a ，有 ( 1 ) a ( a 4 ) 一彳与广义逆( 彳+ 彳) 的选择无关； ( 2 ) a ( a + 么) 一4 + a = a ，彳a ( a 彳) 一彳+ = 爿。 前面是广义逆a 一的一些重要性质，m o o r e - p e n r o s e 广义逆a + 作为一个特殊的 a 一，除了具有a 一的全部性质外，还具有一些特殊的性质。 定理2 3 4 ( 1 ) 设m x 疗矩阵a 的奇异值分解为， ( 其中，p 和q 分别是所m ，刀刀酉阵，= 幽昭( q ，q ) ，t = ，( 彳) 。则 小q ( i 1 妒 ( 2 ) 对任何矩阵a ，a + 总是惟一的。 定理2 3 5 设a 为m x ，z 矩阵，有 ( 1 ) 若p 和q 分别为m xm ，玎玎酉阵，则( 剐q ) + = q _ 1 彳+ 尸； ( 2 ) 若p 和q 分别为七肌，l x m 矩阵，满足p p = l ，q + q = l ，即p 和q 的列 向量是标准正交的向量组，则 ( p a q ) + = q a + 尸 定理2 3 6 对任意矩阵a ，有 ( 1 ) ( 彳+ ) + = 彳； ( 2 ) ( 彳+ ) = ( 彳) + ，a + ) = ( 4 ) + ； ( 3 ) i a + a ；这里记号b c 表示b c 0 ，即b c 为半正定阵 7 其中如。= 如一a 。气a ：，a 。2 = a ，一a ：如如。 2 4 矩阵分解 矩阵分解就是将一个矩阵写成某种意义上讲比较简单或对它的性质比较熟 悉的若干矩阵的乘积。 本节主要叙述一般矩阵的几种重要分解。 使得 定理2 4 1 ( 秩分解) 设a 为k m 复矩阵，则存在两个可逆阵最。和瓯。， 8 青岛科技大学研究生学位论文 a = p ( 乞三) q ， 这里f = r ( a ) 。 定理2 4 2 ( s c h m i d t 三角化分解) 设a 为k x m 复矩阵，r ( a ) = 朋，则存在 m m 上三角阵尺7 ： 1kx m 的矩阵q ，q q = l ，使得a = o r 。 定理2 4 3 ( 奇异值分解) 设a 为k x m 秩为f 的复矩阵，则存在两个酉阵以娃 和。膈，使得 一( 儿 其中= d i a g ( c r t ，0 - 3 ，呸 0 z = 1 ，t a = 砰，以= 酽为a a 的非零特征 值。 注：q = 甜陀，o - , = 胆成为a 的奇异值。 定理2 4 4 ( 满秩分解) 设ay g k x m 复矩阵，r ( a ) = f ，则存在后f 和f 聊 且秩为f 的矩阵曰和c ，使得 2 5m 矩阵 定义2 5 1设z “h - - - - - ( o , , ) 1 彳尺脓月，嘞 p ( b ) 时，称a 为非奇异m 矩阵；当s = 尸( b ) 时，称a 为奇异m 矩阵；对称的m 矩阵称为s 矩阵。 定义2 5 3设a 为z 矩阵且a - 1 0 ，则称a 为m 矩阵( 非奇异) 。 引理2 5 1 矩阵a 为z 一矩阵，如果对任意的f ，j = 1 ，2 刀，f 满足口 f 0 。 o a 为非奇异m 矩阵。 引理2 5 7 设a 为z 矩阵则a 为非奇异m 矩阵的充要条件为：存在一个正 向量x 满足a x 0 。 引理2 5 8设m ，n r ，如果m - 1 0 和n 0 ，则a = m n 称为正 则分裂。 1 0 青岛科技人学研究生学位论文 3 1 引言 两类矩阵不等式的推广 随着矩阵理论的迅速发展，矩阵理论在自然科学、工程技术和社会经济等领 域有着广泛的应用，因此关于矩阵不等式的新结果层出不穷，它们或者是经典不 等式的改进与推广，或者是完全新型的不等式，或者是应用的深入与拓广，这些 结果在线性模型的研究中也起到很大的作用。矩阵不等式的理论已经在统计学中 的很多问题上得到应用，在其它学科中的应用也相当广泛。本章主要介绍两类矩 阵不等式的推广，这两类不等式分别为m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等 式和约束条件下矩阵迹不等式。 c a u c h y - s c h w a r z 不等式是一个非常基本的不等式，自从1 9 4 8 年k a n t o r o v i c h 通过c a u c h y s c h w a r z 不等式的推广形式得到了k a n t o r o v i c h 不等式以来，在数理 统计和统计相对效率方面有着广泛而重要的应用，许多统计学家相继给出了一些 矩阵意义下的k a n t o r o v i c h 不等式的推广形式。在1 9 9 0 年，m a r s h a l l 和o l k i n 2 2 1 将c a u c h y - s c h w a r z 不等式推广到矩阵形式。在本章第二节中，我们结合 k a n t o r o v i c h 不等式的推广形式 2 3 将其推广到了一般形式，扩大了它的适用范 围。这些推广在线性模型的参数估计和相对效率的研究中能起到很重要作用， 矩阵迹是矩阵论中一个重要内容，它在许多方面都有广泛的应用。本章第三 节主要讨论带约束条件的矩阵迹不等式，把已有结果推广到了一般形式，这些结 果在数理统计中是十分有用的。 3 2m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等式的推广 我们已经证明，对n x n l - e 定h e r m i t e 阵a 及任意两个n x l 向量x 和少，有 p y 2 x a x y 。a 一1 y 特别，当x = y ，z x = l 时，上式可以改写为 1 1 x x = l k ， ，秩为k ， 其中五如乃是a 的顺序特征值( 证明见文献【2 3 】) 。 本节在引理3 2 1 和引理3 2 2 结论的基础上，推广了已有结果，得到了 m a r s h a l l 和o l k i n 型c a u c h y s c h w a r z 不等式的一般形式，使得应用范围更广( 参 见文献【2 4 】) 。 定理3 2 1 ：设a 为以刀正定h e r m i t e 阵，x 为n x k 矩阵，满足 脚山贝i j ( x * a x ) - i _ x , 4 - 1 x x x ( x 。翩) 1x + x ， 1 4 x + a x x + x ( x a 一1 x l qx 。x ， 由引理3 2 2 知 脚( 删x ) - i x x 以为其特征值，n 2 p ，则对一 切满足x x = i 。的矩阵，有 因此，如果我们要证明定理3 3 1 ，我们只需要证明 ( 3 3 1 ) 征值，则对一切满 ( 3 3 2 ) 11 2 0 护【童础一( 譬a a _ 1 宕) - 1 】( 五4 ) 三一( 以一+ 。瓯) j 】 ( 3 3 3 l ) 、 o - 一 、 一t 1 j、， 我们采用l a g r a n g e 乘子法，设工= ( 岛) 为由l a g r a n g e 乘子组成的聆刀对称阵 考虑辅助函数： f ( 宕，) = t r 2 h 2 一( 童”1 j ) 一1 】一t r l ( 2 戈一i ) 1 ， 利用微商公式得： 1 6 青岛科技大学研究生学位论文 一o t r x a x ：2 心 o x a t r ( x 磊 a 厂- x 一) - ：_ 2 人一- 碧( 义r 人一- 戈) _ 2 ， a x ， 。 o t r l x 万x 一：2 9 l a x x 寸f ( g ，) 关于j 求导，并令其为零，得到 右乘碧得到 右乘世，泣得 j a 八+ ( j ，人一1 t o o _ 2 戈a a - 1 = 磁 ( 3 3 4 ) 譬从+ 僻”1 从) - 2 戈1 = 暖：蚶+ 3 - 1 心) - 1 7( 3 3 5 ) j ( 八) 2 雪+ 傅”1 a x ) _ 2 x , a 2 2 = 瞳蚶) 2 + ”1 欲) - 1 碧：蚶( 3 3 6 ) 因为( 3 3 6 ) 的左端和右端第一项都是对称阵，因而右端第二项的两个矩阵 j ：从j ，( j ”1 麟) - 1 是可交换的，由此可知戈：从萱，j ”1 欲也是可交换的，存在 正交阵使得 碧：1 掌= 啪，n = d i a g ( n 1 ，n 。)( 3 3 7 ) z a m t = 蝴，m = d i a g ( m l ，m 。)( 3 3 8 ) 将( 3 3 7 ) ，( 3 3 8 ) 式代入( 3 3 6 ) ，一再左乘，然后转置所得方程最后得 , ! u t q + ( a ) _ 1 q n - 2 = q + - 1 )( 3 3 9 ) 这里q = 旆，记q 的第列为( q l ，q 。) 7 ，z i = 五( a 八) 则( 3 3 9 ) 蕴含着 等价地 以呸+ 所1 纽肛产= 呸( m j + 以i 1 ) i = 1 ，厅 ( 3 3 1 0 ) q s 1 t f 一麒( m ，+ 以j 1 ) + 以- 2 】= 0 i = 1 ，刀 ( 3 3 1 1 ) 1 7 记q = 舶= ( 锄) 我们上面已经证明，q = 勘的每个列至多有两个非零元 素，且若q 的第列的两个元素，不为零，则( 3 3 1 4 ) 右端和式中就有一项为 l1 ( 彩一爵) 2 现在我们要证明，和式中所含的特征值不会重复这归结为证明， 在q 的任一行只有一个非零元素，即对一切f ， 鲰锄= 0i j ，k = 1 ，n ( 3 3 1 5 ) 注意到q q = i 和( 6 ) 可推出 以q 矗q 村= 0 ，f j ( 3 3 1 6 ) 七= 1 青岛科技人学研究生学位论文 吼= o ，i j ( 3 3 1 7 ) 因而q 不可能只有一行有两个非零元素事实上，若只有在行有两个非零元 素，吼j ，i j ，贝l je h ( 3 3 1 6 ) 徒j l q 中q f l j = 0 ，这是不可能的如果q 有两行具有两个 非零元素，且它们在两个列里，设为q 。一，吼，和q t 2 i , q 如，于是由( 3 3 1 6 ) 和( 3 3 1 7 ) 得： 心鸟印g ，+ f 2 q 1 2 i q t 2 ，= 0 口印g ，+ 口f 2 i q 乜，= 0 因为心j 所以q q i q j = 0 矛盾类似地讨论可以证明q 也不可能有两 个以上的行有两个非零元素这就证nt ( 3 3 1 5 ) 既然每个z ；不能重复出现 我们的最大值是 ( 序一庳) 其中以= 丑( 叫 i = 1 即 1 1 2 矿瞳7 础一瞳a a 以震) 。1 】- ( 序一厄；h ) i = 1 又 丑万毒以= 以( a 八) 以4 和 丸一“万善z 。一+ 1 = 以一；+ 1 ( a 八) 以4 + 1 4 所以 i1 2 l1 2 研岩人j 一潆a 八一增) 一1 】- ( 后一库；h ) 【( 以4 ) i 一( 乃州色) j 】 i = 1i = 1 定理证毕。 定理3 3 2 ：设a 为实对称正定矩阵，a 以为其特征值，则对一切可 逆矩阵x ，有 1 9 2 0 得 都 佳 献 加 青岛科技大学研究生学位论文 4 1 引言 4 m o o r e - p e n r o s e 广义逆的性质 广义逆矩阵的概念最早是由m o o r ee h 于1 9 2 0 年提出，但当时并未受到重 视。直到1 9 5 5 年p e n r o s er 又提出了广义逆矩阵的概念，并证明了加号广义逆矩 阵的唯一性，发现它在许多学科都有广泛应用，这才受到人们的关注。 关于广义逆矩阵的性质，f 1 2 1 总结了九十年代以前已有的结果。f 3 1 总结出了 加号广义逆矩阵的一些性质。在较严格的条件下，本节证明了加号广义逆矩阵的 三条性质。 4 2 加号广义逆矩阵的三条性质 设a 是m 力矩阵，如果存在矩阵g 使 1 ) a g a = a 2 ) g a g = g 3 ) ( a g ) = a g 4 ) ( g a ) 7 = g a 则称g 是m o o r p e n r o s e 矩阵a 的逆矩阵或加号逆矩阵，记为a + 。 关于加号广义逆矩阵的主要基本性质有以下几条 a + 是唯一的 秩( a + ) = 秩似) a + = 似么) + a 7 从+ 是j 下投影阵 ( p a q ) + = q a + p 7 其中a 是聊n ，p ，q 分别是肌m ，刀疗正交阵， 2 1 矩阵算法 两端左乘p 右乘p 得 从而 广义逆矩阵也不一定具备。但在 ，z 半正定矩阵，且a c = c a 时 以 0 ( 4 2 1 ) o k ( 4 2 2 ) 0 j 、， p 卸呤鞘含吕p a p m ， 把p 分块为眨乏卜中a l 是r r 矩阵 p 卸呤鞘2 纵含计a 气a , a ，a , 吕) 勺 呤习脚= 除撇绔忖人子2 ) ， 段州人a 予2 ) ( 4 2 6 ) 由此知 人，是可逆矩阵， 故有 p p ( 1 ： 脚= ( 乞1 0 0 ) t a , 针 ( 人。1 0 a 1 人。1 0 a 2 ) = ( a 0 a 1 。0 ) = ijij 阿。o 、1 ) = 脚p t , o 妒 所以 胛( 1 妒p ( 1 扣 另据m o o r p e n r o s e 矩阵的性质 c + = ( p ( 八，：) p ， + = p ( 八，：) p = p ( 1 ： p ， 由( 4 2 1 1 ) 和( 4 2 1 2 ) 可知 a c + = 胛除1 ：卜= p ( 公：) 烈= c + a 定理证毕。 定理4 2 2 当a 可逆时，有( a c a 7 ) + = 似。1 ) c + a 4 证明： a c a ( a - 1 ) c + a _ 1 a c a = a c c + c a = a c a ( a - 1 ) c + a 一c a u 一1 ) 7 c + a = 似_ 1 ) c + c c + a - 1 = ( a 1 ) 7 c + a - 1 ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 1 1 ) ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) 所以( a c ) + = c + a + 。 证明证毕。 青岛科技人学研究生学位论文 5 1 引言 矩阵收敛速度的研究 为求解线性系统 a x = 玩 ( 5 1 1 ) 其中，a 是n 阶方阵，x 和b 是n 维向量，若a = m n ，m 是非退化的， 则对应于基本迭代法是 m x k “= 矿+ b ，k = 0 ，1 ( 5 1 2 ) 因此( 5 1 2 ) 可以改写为 矿“= 彤4 - c ，k = 0 ，1 ， 其中，t = m 一1 ，c = m 一场。 在本文中，不失一般性假设，我们假设a 的主对角线元全为1 ，且有 a = ，一上一u ，这里，是单位阵，屯和坩分别是a 严格下三角和严格上三角矩 阵。 将线性系统( 5 1 1 ) 转换为预条件形式，即方程( 5 1 1 ) 的两边分别乘以p ， 我们可以得到 p a x = p b 然后，我们可以定义基本迭代方案 m p f q = np + p b ，k = q ， 这里p a = m p 一坼和m p 是非退化的。 我们取z = m p - i n p ，c = m p - p b ，则上面的公式也可以写成 矿“= 乃，+ c ，k = 0 ，1 ，。 在文献 4 0 ，陈光辉等介绍了一种混合型迭代法，设d 1 是一种辅助非负对角 矩阵，厶是一种辅助严格下三角矩阵且满足0 厶， ( 5 1 3 ) 异对角占优 1 ) ，其中， 的选择辅助 对于线性系统( 5 1 1 ) ，我们考虑其预条件形式 弓血= 弓6 ， 其中易= j + & ， 取p p a = 如，易b = b p ， 我们有 如z2 。 我们取d 芦， ，奶分别为的对角矩阵、严格下三角阵和严格上三角矩 阵，d l 为辅助非负对角矩阵，厶为辅助严格下三角矩阵，且满足o 厶，则 青岛科技大学研究生学位论文 相应的预条件混合型迭代法可以表示为 慨+ d 1 + 厶一岛) 矿“= ( d l + 厶+ ) 矿+ 既k = 0 1 2 ， 其中迭代矩阵为 r 2 怫+ q + 厶一知) 。1 ( d l + 厶+ ) ( 5 2 1 ) 如果我们选择特定的辅助矩阵，则可以得到经典的迭代法 p s o r 方法： q ：兰( 1 一，) d ，厶：0 = ( 啡一嘭) q 0 - r ) o p + r u p 】 ( 5 2 2 ) p a o r 方法： q ：1 - o 一，) d ，厶：0 三，= ( j d 芦一厄口) - 1 ( 1 - w ) d a + ( w 一，i 弘卢+ w u 0 】 ( 5 2 3 ) 为了更好的分析矩阵收敛速度我们先讲一下收敛性分析和比较定理 下面给出我们得到的主要定理。 定理5 2 1 假定a = ，一l u 是一个m 一矩阵，q 0 且0 厶厶，其中 屯，u 分别是a 的严格下三角部分和严格上三角部分，那么预条件混合型迭 代法( 5 1 4 ) 是收敛的。 证明：我们先记 d b = i s ll a = l s a + s a lu 。= u + s 2 其中墨，是是& u 的对角线和上三角部分， 则 m = o p + d 1 + 厶一 n = d 1 + 厶+ u 口 因为a 是一个m 一矩阵，并且o 厶l ，我们有 m = 怫+ b + 厶一易) = 【( d _ + q ) 一睇- z 0 _ 1 0 a _ 1 0 ，= d l + 厶+ u 口0 根据引理2 5 3 、引理2 5 4 和引理2 5 8 ，我们可得m 一矩阵预条件混合 那么，我们有 m = i + q + 厶一工 n = 皿+ 厶+ u = ( ，+ s p ) u + 3 1 + 厶一l ) 易= u + & ) 假+ 厶+ u ) a = m n ，a b = mb nb = eb f bo 么p s o r 迭代法 那么p a o r 迭 ， o 厶三一， ( i ) 因为a 是一个非退化的z 一矩阵且满足q 0 和0 厶k ，则易得 m = ，+ q + 厶一 青岛科技大学研究生学位论文 是一个非奇异m 矩阵且分解a = m - n = ( ，+ d 1 + 厶- l ) - ( d , + 厶+ u ) 是一个m _ 分解。因此p 仃) o o