（理论物理专业论文）开边界自旋梯模型的解.pdf

摘要 可积统计模型( 又称精确可解模型) 是统计物理中一类非常重要的模型。 它所研究的对象是一些简化了的真实物理体系，通过简化我们可以使原本非 常复杂的难以求得精确解的物理体系的配分函数变得简单而易于求解。因此 任何一种新的可积统计模型都非常重要，并能引起人们广泛的注意。可积统 计模型的深入研究，对其它学科也有着直接或间接的影响。在数学物理巾， 它导致了量子群的产生。此外，可积模型的研究方法在凝聚态物理和可积场 论中也有着广泛的应用。白旋梯模犁是精确可解模型中种非常重要的模 型，虽然人们已经对该模型的周期性边界条件下的能量本征值和本征态做了 大量的研究。但是，对于开边界条件下该模型的研究至今还没有人给出。因 此，这是一个非常值得研究的课题。 在论文的第二章和第三章，我们利用坐标b e t h ea n s a t z ( b a ) 方法，分别 求出了周期性边界条件下和开边界条件下的能量本征值和散射矩阵s 。求解 的过程为：首先我们由粒子的s c h r s d i n g e r 方程求得能量的本征方程：再设定 波函数的具体形式。求出单粒子态和0 个粒子态的本征能量；然后利用能量 本征方程和波函数的连续性条件求出两体散射矩阵s 。在第四章我们利用嵌 套b a 方法求解出自旋梯模型在开边界条件下的转移矩阵的本征值和本征态。 首先在反射方程的基础上，我们找到了转移矩阵的解，它决定了哈密顿量中 边界条件；接着我们求得了反射方程的解k + ；最后，主要使用嵌套b a 方法 对角化转移矩阵。在第五章总结并给出我们以上所得出的结论。 关键词：精确可解模型、坐标b a 方法、量子反散射法、b a 方程、嵌套b a 方 法。 a b s t r a c t t h ei n t e g r a b l es t a t i s t i c a lm o d e li sak i n do fi m p o r t a n tm o d e li nt h e s t a t i s t i c a lp h y s i c si ts t u d i e sas i m p l i f i e dr e a lp h y s i c a ls y s t e mt h r o u g ht h e s i m p l i f i c a t i o n ，t h ep a r t i t i o nf u n c t i o no fac o m p l e xs y s t e mw h i c hi s d i f f i c u l t t os o l v ec a nb ec h a n g e dt oe a s i l ys o l v e do n e ，s ot h ei n t e g r a b l em o d e li s v e r yi m p o r t a n ta n d c a na r o u s ep e o p l e sa t t e n t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，a f t e r w es t u d yi t d e e p l y , w ef i n dt h a ti t c a nb ea p p l i e do nm a n ya s s o c i a t e ds u b j e c t s ，s u c ha s ，i nt h em a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，i td i r e c t l yl e a dt ot h ea p p e a r a n c e o ft h eq u a n t u m g r o u pa n ds o m es t u d y m e t h o d su s e di ni tc a nb eg e n e r a l i z e d t ot h ec o n d e n s e dm a t t e ra n dt h ei n t e g r a b l ef i e l dt h e o r y s p i n l a d d e rm o d e l i so n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n tm o d e l so ft h ei n t e g r a b l em o d e l a l t h o u g hs o m e p e o p l eh a v es o l v e d t h ee i g e n s t a t ea n de i g e n v a l u ew i t hp e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n ，t h eo p e nb o u n d a r yc o n d i t i o nh a sn o tb e e ng i v e no u ty e t t h i si s w o r t hs t u d y i n g i nt h es e c o n dp a r ta n di nt h et h i r dp a r t ，t h ee i g e n v a l u ea n dt h et w o p a r t i c l es c a t t e r i n gm a t r i xa r eo b t a i n e di ns t u d y i n gt h ee l e c t r o ns p i n l a d d e r m o d e lu n d e rp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o na n du n d e ro p e nb o u n d a r yc o n d i t i o nw i t hc o o r d i n a t eb am e t h o di ni n t e g r a b l e t h ef i r s t ，t h ee i g e n v a l u ee q u a - t i o ni sf o r m e da c c o r d i n gt os c h r s d i n g e re q u a t i o n t h es e c o n d ，t h ee i g e n v a l u e i sw o r k e do u tw h e nt h ew a v ef u n c t i o ni sg i v e n ，a tt h ee n d ，t h et w o - p a r t i c l e s c a t t e r i n gm a t r i xi s c a l c u l a t e db ye i g e n v a l u ee q u a t i o na n dt h ec o n t i n u i t y c o n d i t i o no ft h ew a v ef u n c t i o n i nt h ef o u r t hp a r t ，w ew i l la p p l yt h en e s t e d b am e t h o dt of i n dt h ee i g e n v a l u ea n dt h ee i g e n v e c t o ro ft h et r a n s f e rm a t r i x f o rs p i n - l a d d e rm o d e lw i t ho p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n sf i r s tb a s e do nt h er e f l e c t i o ne q u a t i o n ，w ef i n dt h eg e n e r a ld i a g o n a ls o l u t i o n ，w h i c hd e t e r m i n et h e o p e nb o u n d a r yi n t e r a c t i o ni nt h eh a m i l t o n i a n n e x tw ei n t r o d u c et h es p i n l a d d e rm o d e lw i t ho p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n sb yf i n d i n gt h es o l u t i o nk + o f t h er e f l e c t i o ne q u a t i o nw h i c hd e t e r m i n e st h en o n t r i v i a lb o u n d a r yt e r m si n 1 l 目录i n t h eh a m i l t o n i a n a tl a s t ，c o n t r i b u t e st ot h ed i a g o n a l i z a t i o no ft h et r a n s f e r m a t r i xo ft h em o d e lw i t ho p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h ef r a m ew o r ko f n e s t e db a i nt h el a s tt h es u m m a r yo fo u rm a i nr e s u l t si sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：i n t e g r a b l em o d e hc o o r d i n a t eb a ；t h eq u a n t u m i n v e r s es e a t t e r i n gm e t h o d ( q i s m ) ；b ae q u a t i o n ；n e s t e db a 独创性声明 本人申明所呈交的学位论文是在本人导师指导下进行的研究t 作以及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的资料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的 说明并表示谢意。 学位做作者签名：关使豸 签名日期：2 0 0 4 年5 月1 8 日 第一章引言 1 1 可积模型 统计物理从宏观上研究粒子体系的平均性质( 热力学性质1 。为了得到 热力学函数，g i b b s 1 1 引入了配分函数的概念。配分函数存统计力学中起着 至关重要的作用。对于一个温度为t 的热力学体系，如果其微观态s 的能量 为e ( 8 ) ，其配分函数可以被定义为z = e x p 一e ( 8 ) k 卅，其中是玻尔兹 曼常数。利用配分函数，我们可以很容易地得到很多体系的宏观量，例如自 由能f ，熵s ，平均值 ： f = e 0 ) 一t s ，s = 一k t i n z ，x ) = z 一1 x e x p - e ( s ) k 列 ( 1 1 ) 然后再利用自由能，我们日t 以得到其它热力学量，如内能u ，比热c 以及磁化 率x ： u 一2 嘉( 分c 一面0 2 ( 熹) ，= 一羔( 务) 卅。， 其中，为体系的总粒子数。所以，对于一个热力学系统，其主要问题便归 结为求体系的配分函数。很不幸的是，一个真实体系的配分函数是非常难于 求解的。因此，当人们研究体系临界点附近的特性时，这些方法也还是不管 用的。另一方面。利用普适性，我们可以用简化能量的方法来计算体系的配 分函数。因为根据普适性，体系的许多除了维度和对称性以外的微观细节都 可以被忽略。这样人们发现了很多精确可解模型，如i s i n g 模型【2 、六顶角模 型【3 】、八顶角模型 4 】、z nb e l a v i n 模型 5 】。 精确可解模型是一些简化了的真实系统，其目的是为了求出配分函数的 精确解。模型的可积性的证明主要有两种方法。一是根据著名的n o e t h e r 定 理：在一个力学系统中，一对相互对易的物理量对应一个守匣量。原则上 第一章引言2 可以任意选取其中之一作为体系的哈密顿量，一般来说，如果我们能找到 一个力学体系的无穷多对相互对易的物理量，那么就有无穷多个守恒量与 之对应，进而我们说这个体系是可解的( 可积的) 。另一种方法是利用l a x p a i r 。l a xp a i r ( l ，m ) 是系统相空间中的两个函数，且d l d t = f l ，m 1 ，其 。p ，1 足李代数对易括号。l a xp a i r 在证明系统的可积性。l ，有十分重要的作用。 通过它很容易构造体系的守恒流i ( l ) 。要求d ，( l ) d t = 0 。对于个经典的 一维n 粒子系统，l a x 6 汪明，对于一些待定的相互作用势，可以找到两个 厄米n x n 矩阵l 和a ，这两个矩阵满足l “方程d l d t = if a ，l 1 ，并且行列 式d e tf l u 1 是一个动力学常数。把该行列式按u 展开，可以找n n 个对合的 运动方程，于是系统是可积的。c a l o g e r o 和m o s e r f 7 n 正明了对应的最子系统也 是完全可积的。具有散射的体系，l 矩阵和一个对角矩阵( 各对角元为动量) 接近，于足d e t 【l u z 】= i i j n ( p j u ) 。因此在碰撞前后各个动量功都守 恒。s u t h e r l a n d 8 指出，此时波函数可以崩b a 方法渐进地给出。 在早期的精确可解模型中，i s i n g 模型是非常重要的一个。一维i s i n g 模 型是i s i n g 在1 9 2 5 年提出并解决的【2 】。在非零点该模型没有任何相变，在临界 点t = 0 附近，标度假定和普适性能够很好的满足。在同一篇文章中，他还首 次提出了转移矩眸方法。这一方法对于解决一维和二维精确可解模型是非常 重要的。接着，o n s a g e r 给出了两维i s i n g 模型的解【3 卜这个解首次证明了相 变的存在并满足普适性。 1 9 2 8 年，h e i s e n b e r g 提出了磁性物质的量子力学链模型 9 】。在统计物理 中这一模型又称为“x y z ”模型。其哈密顿量为： 日= 一；( 五仃：口：+ i + 占2 2 + 1 + 以碟仃3 + 1 ) ( 1 3 ) 。n = 1 其中五，以和上是有理的常数，自旋算子为如下形式： 以= i o 矿o o i ，( j = 1 ，2 ，3 ；n = 1 ，) ( 1 4 ) 其中，a j 为p a u l i 算子。特殊情形厶= 山= j z 和厶= 山上分别是我们所 熟知的“x x x ”和“x x y ”模型。物ni h e i s e n b e r g 链是绝缘体，对h e i s e n b e r g 的 第一章引言3 求解已经有了丰硕的成果。首先在1 9 3 1 年b e t h e 【l o 】找到了“x x x ”链的哈密 顿量的本征值和本征矢，并且在解决这个问题时，他还提出著名的b e t h e a n s a t z 方法。这个方法后来被广泛地应用于其他可积模型，如k o n d o 模型【1 1 】， c a l o g e r o m o r s e 模型f 7 】等。在b e t h e 的论文之后。、，a n g 【1 2 】研究了具有6 函数 相互作用势的费米子系统提出b e t h e y a n ga n s a t z 1 9 7 8 年f a d d e e v , f i t a k h t a j a n 提出了量子反散射方法f 1 3 1 ( 代数b a 方法) ， 利用此方法他得到了六顶角模型和八顶角模型的转移矩阵的本征值，也就是 说，得到了“x x z ”和“x y z ”自旋链模型的哈密顿量的本征值。紧接着六 顶角模型及其等价得自旋链模型也被用坐标b a 方法【1 4 】、代数b a 方法f 1 5 1 和 解析b a 方法 1 6 研究过。c h e r e d n i k 1 7 和s k l y a i n n 1 8 】首次讨论了可积模型在 开边界条件下的物理规律。接着s k l y a i n n 系统地提出了反射方程( r e f l e c t i o n e q u a t i o n ) 来处理此问题。利用这个方程，他构造了系统的转移矩阵，并证明 了不同能谱的转移矩阵间相互对易，进而说明这个系统是训积的。他还得到 了开边界情况下“x x z ”h e i s e n b e r g 臼旋链的b a 方程。因为其优点显著，代 数b a 方法很快被推广到了其它精确可解模型，同时满足反射方程的反射矩阵 可以用来确定边界条件。罔此，反射方程的解也是一类很重要的课题，利用嵌 套b a 方法，f o e r s t e r 和k a r o w s k i 精确求解了开边界条件下具有s p l 。( 2 ，1 ) 不变 性的超对称t j 模型 1 9 1 。g o n z a l e z r u i z 给出了该模型的更一般的反射k 矩 阵【2 0 】。d ev e g a ；n 嵌套b a 方法作了进一步的推广 2 1 】。y u e 等人f 2 2 】精确求解 了最一般的具有s 乩im ) 对称性的顶角模型。 1 2 自旋梯模型简介 众所周知，可积模型让我们能够更好的理解一维关联多体系统。但是， 我们已知的h e i s e n b e r g f 2 3 】链一维h u b b a r d 模型 2 4 和超对称t - j 模型【2 5 】是令 人满意的模型，然而，对于自旋梯模型这样的模型目前还没发现。构造可积 自旋梯模型和构造二维严格可积模型几乎一样困难。比如，在一维模型中只 第一章引言 4 有一种路径连接两不同点，但是，对于耦合链就非常复杂，例如两耦台链， 我们就有许多条路径连接两不同点。日前，三自旋互作用可积模形已被提 出【2 6 】，无自由【2 7 】参数的可积模型也已被解出。但是，后者不能用b a 方法。 本文研究双二次互作用自旋梯模型。通过选择合适的自旋四耦台常数，我们 可通过代数b a 方法精确求解。该自旋梯的哈密顿量为【28 】 才，+ i 十7 j 宁j + 1 ) 才j + 1 ) ( 7 j 7 j + 1 ) 7 j ) x ( 才j + l 7 j + 1 ) ( 1 5 ) 其中才，和彳，表示作用在j 位置的p a u l i 矩阵。 和止是耦合常数。u 1 2 是双二 次耦合常数，n 表示梯的长度。若无匹自旋项，方程代表普通的自旋梯模型。 我们研究u = o 的情况。这是最简单的可积模型，但它却包含了系统主 要的物理内涵，该模型的哈密顿量为： + 14 - - g ( 才， j 才，+ 1 ) ( 1 + 宁，- 7 j + 1 ) 尹i - - 1 ) 十；( j 一沙0 6 ) 这种表示中，模型的可积性还是很不明显。为了使可积性更明了，上式中的 第二项可表示为墨1 功j + 1 其中功j + 1 是两个近邻阶梯的交换算符，n n ：上a 中的第一项是自旋一轨道模型【? 】中s u ( 4 ) 不变量。其中n j + i n 表示为：p j ，j + t = 印胃4 硌其中算子胃4 三i ) ( 岛i 是第j 阶梯的h u b b a r d 算符，1 ) 是- - d i r a c 砖 f p 触州：=言芦 以 仉 沈 l 一4 1 2 l 一4 1 4 j | + + + h 口雄匹芦 1 4 l 一2 第一章引言5 态，( l 岛) = d n 口是正交归一的。为了方便，我们作基矢变换： i o ) 2 老( i t ，1 ) 一) ) ， l i ) = mt ) ， 1 2 ) 2 壶( ) + ) ) ， 1 3 ) = i i ，1 ) 第一个态表示单态的阶梯，后三个态表示自旋三态的阶梯。所以，方程( i 6 ) 又可表示为： ：n3h霹一砖。一2 j 妻掣+ ；( j 一；) v ( 1 ，) = 霹4 砖。一掣+ ；( l ，一；) v ( 1 7 j = 1o ，口= 0j = i 、7 其l | i 帆三釜，碍8 是守恒量。它表示系统的第阶梯的数目，( 1 7 ) r 1 ，第二 项常数2 l ，表示化学势。 第二章周期性边界条件下自旋梯模型的坐标b a 解 2 1 单粒子态的本征能量 本节利用坐标b a 方法，首先f 扫s c h r s d i n g e r 方程求得能量的本征方程，接 着设定波函数的具体形式，求出单粒子态和0 个粒予态的本征能量，然后利 用能量本征方程和波函数的连续性条件求出两体散射矩阵s 。首先设粒子的 参考真空态为： i n ) = 1 0 ) o1 0 2 ) o 一o1 0 y ) ( 21 ) 设单粒子态的能量本征态为： = 。( j 1 ) 霸1 。j q ) ( 2 2 ) n a i 单粒子态s c h r 6 d i n g e r 方程为： h l 妒1 ) = e i 曲) ( 2 3 ) 把哈密顿量( 1 ，1 1 ) 作用于单粒子态的能量本征态( 2 2 ) 得到单粒子态的能量 本征方程为： e 妒。( j 1 ) = 啦。( j l 一1 ) + 币。( j 1 + 1 ) + ( o 一2 4 - 2 j ) 妒。，0 1 ) ( 2 4 ) 其中o 为： 0 = ；( 1 2 j ) n ( 2 5 ) 设单粒子态的波函数为： 札。( j 1 ) = a 。( ) e 蛔1 ( 2 6 ) 6 第二章周期性边界条件下自旋梯模型的坐标b a 解 7 把单粒子态的波函数( 2 6 ) 式代入单粒子态的能量本征方程( 2 4 ) 式求得单粒 子态的能量本征值为： e = e 一拙+ e 挑+ ( f o 一2 + 2 j ) ，( 2 7 ) 令 e ”= 厕- i 2 ( 2 8 ) 把( 2 8 ) 式代入单粒子态的能量本征值( 2 7 ) 式，得到单粒子态的能量本征值的 另一种表示形式： e = 一而+ 2 j + 岛 ( 2 9 ) 利用周期性条件可给出单粒子态动量为： 向：孚，( j ：o ，l ，l 1 ) ( 2 1 0 ) 2 2n o 个粒子态的本征能量和两体散射矩阵s 设0 个粒子态的能量本征态为： 一 妒0 ) = 札。，。o t ，j z - - j o ) 礴1 。磴。x 瓣。l n ) ( 21 1 ) j m ，a m ；1 设0 个粒子态的波函数的表达式为： j n o ) = 雠口a 哳。口( 垴，慨，。) a ( j q , - - j q 2 - - j q t 。o 蛔( t 。) ( 2 1 2 ) 第二章周期性边界条件下自旋梯模型的坐标b a 解 其中口函数的取值为： 8 l 1 ， j l j 2 j 0 口( j l j 2 一j 帕) = ，j f j m ( 1 m ；z ，m = l ，2 0 ) 【o ， 。t h e r s ( 2 1 3 ) 上式中= l ，2 ，n 一1 ( i = 1 ，2 ，n o ) 代表不同的粒子态， 代表粒子的 位置。p 和q 分别代表0 个粒子的动量b 和0 个粒子的位置且的交换。我们 设j 个粒子的s c h r s d i n g e r 方程为： 日l 妒o ) = e l 妒o )( 2 1 4 ) 把0 个粒子态的能量本征态( 2 1 1 ) 和0 个粒子态的波函数( 2 1 2 ) 代入0 个粒 子的s c l l r 6 d i n g e r 方程( 2 1 4 ) 得到本征能量为： e = 一善n o ( 南埘) 怕 协 上式的结果利用了( 2 8 ) 的表达形式。利用能量本征方程和波函数的连续性条 件求得两体散射矩阵的表达形式为： a 。q ( 白。) = 叉。q ( s i n 觑，s i n 如) a 毗( b ，乜) ( 2 1 6 ) 其中& 埘( s i n ，s i nb ) 是两体散射矩阵s ，其具体表达形式为： 心吣，s t n 铲尝篙警 ( 2 1 7 ) 2 3 周期性边界条件下的b a 方程 从f 2 1 6 ) 式有 a 。，。( b 1 1 ，k p ，) s s a z ，口。( ，- 一，七，k 1 ) ( 2 1 8 ) 第二章周期性边界条件下自旋梯模型的坐标b a 解 利用周期性条件 山( x 1 ，一玛，_ x n ) = 也( x ”一，义 ) j 【l i 9 s = e 2 。r ，( = hb ，h ) | ? ：1 1 所以，求振幅a 波转化为求s s 的本征值与本征函数，从s 的f 埘显形。i 1 、满 越b 乃程故s s 就可以同时对角化。以下如果我们选参考态为： 小幺0 、? f 态为 嘞= j 0 1 ) j 0 7 ) o oj 0 v ) f ! 一i ) ：。棚，础f 2 ) ： j 川n | 、 | 山足波函数，m 从1 到+ 求和，。从i 到3 求和。我们山散射矩瞰、陶t n c ) l l m i r o l l l y 矩阵，然后由算符及算符之间的对易关系求出能量及b 。、， 经过计弹 2 6 】，我们得到了b a 方程为： ( 糍) n = 垂鬻垂篝蝴，? h i 。, , - 1 2 2 - j n 让一i 2 。u i 七j 地 夔蔫= ”1 v - # , , - 1 2 ：， j i 中 ，l 2 j + _ 0 + 飓； 儿= 2 + 飓。n 如= a 0 ；a ，舭。和。代表昧波述p ：。 雕27 3 ) ( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 的求解中，利用了周期性边界条f t 二又艘1 ：v ， i 舟密顿缝( 17 ) 的能量本征值为： e = 一篓( 南圳) 托。 l ! 地n 汹 篇黯 m 烈 第二章周期性边界条件下自旋梯模型的坐标b a 解1 0 通过坐标b a 的方法得到了电子自旋梯模型i 约b a p y 程( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) j g i ( 2 2 5 ) 本征能量( 2 2 6 ) 年1 1 两体散射矩阵s ( 2 1 7 ) ，利用以上结果我们可进一步研究该 模型的其它一些热力学性质，比如说系统的自由能和表面自由能、磁化率和 比热等热力学量。同时，也可研究该模型的边界条件，比如说周期性边界条 件和开边界条件等。 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解 本章利用坐标b a 方法，首先i = l ：l s c h r s d i n g e r 方程求得能量的本征方程，接 着设定波函数的具体形式，求出单粒子态和0 个粒子态的本征能量，然后利 用能量本征方程和波函数的连续性条件求出两体散射矩阵。 3 1 单粒子态的本征能量 设开边界条件下的哈密顿量为： _ 3 _ h = 碍4 砖。一2 ，碍。 + * 一；) + 三3 ( 蹦屁川a ) ( 3 t ) 首先设单粒子的参考真空态为： i n ) = 1 0 1 ) 1 0 2 ) o o i o n ) ( 3 2 ) 设单粒子态的能量本征态为： = 札，霸1 0 l l “1 单粒子态s c h r s d i n g e r 方程为： 【妒1 ) = e | 妒1 ) ( 33 ) ( 34 ) 把哈密顿量( 3 1 ) 作用于单粒子态的能量本征态( 3 ，3 ) 得到单粒子态的能量本 征方程为： e 妒。( j 1 ) = 妒。，( j l 一1 ) + 岵。( j l + 1 ) + e o 妒。( j 1 ) ，( 3 5 ) 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解 填中 e 妒。( 1 ) = 妒。( 2 ) + ( e o + p l 。) 忆。( 1 ) e 妒。( l ) = 妒。( l 一1 ) + ( e o + 尸l 。) 砂n 。( l ) 由方程( 3 5 ) ，( 36 ) 得 ( 3 + ，) ( 3 丁) e 。= ；( 1 2 j ) n 一2 + 2 j 【：；、) 札。( 0 ) = p i 。札，( 1 ) 殴单粒子态的波函数为： 妒。( z ) = a 。，( 女) e 。2 一a 。，( 一k ) e 1 。 ( 引1 ) 把单粒子态的波函数( 3 1 0 ) 式代入单粒子态的能量本征方程( 3 5 ) 式求卅i l 粒子态的能量本征值为： e = 一再南+ 2 n mi ：；| ! 】 利用周期性条件可给出单粒子态动量为： 驴t 2 r j ，( j = o ，1 ，l 1 ) i ；l 二) 把单粒子态的波函数( 3 1 0 ) ，代入( 3 9 ) ，得： a 。( ) d 。( - k ) = a 。，( - k ) n 。( k ) 填中： o z 。( ) = 1 + p l 。e 矾 ii ) j ：是得 x * t - l 力。程( 3 5 ) ( 3 ，7 ) 得 生! ! 盥：! 二鱼! ! ：! ： 1 。( 一七) l 一尸l 。e 佩 妒。( l4 - 1 ) = 尸k 忆。( l ) 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解 把单粒子态的波函数( 3 i 0 ) ，代入( 3 1 6 ) ，得 其中 于是得 所以 a “。( k ) 风，( ) = a 。( 一女) 风。( 一七) ( 3 1 7 ) 风。( k ) = ( 1 + 吃。e 1 2 ) e “( “1 ) 兰! ! 盟：! ：竺二垒! ，m a 。( 一)e 恢一尸l 。 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 篓鲁襞孚篆掣e i 2 啪) _ 1 (3。o)1 ( 一兄。e 诂) ( 1 一r 。e 舭) 。 “ 7 3 2n o 个粒子态的本征能量和两体散射矩阵s 设0 个粒子态的能量本征态为： o ) = 吡，。0 ( j j j n o ) x 一 m 磅。磁。i q ) ( 3 2 1 ) j m ，b m = 1 设0 个粒子态的波函数的表达式为： 札。a 帕( j l , j 2 诫) = 印a 嘶n 。( b ，2 p 0 ) 州。吼鲡：9 嘞扣p ( 。蔷b 抽r ) 1 三 2 0 ， ( 3 2 2 ) j 1 j 2 j 帕 受拓( 1 m ；，m = 1 ，2 t a i ) ) o t h e r s ( 3 2 3 ) ，illj，、lli | i ： 为 ：、 直 一 取 一 的 如 数 一 晒 中 口 其 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解1 4 上式中啦= 1 ，2 ，n 一1 ( i = 1 ，2 ，o ) 代表不同的粒予态，童代表粒子的 位置。p 和q 分别代表0 个粒子的动量b 和d 个粒子的位置j 肭交换。我们 设m 1 个粒子的s c h r s d i n g e r 方程为： 日i 妒d ) = e i 妒n o )( 32 4 ) 把o 个粒子态的能量本征态( 3 2 1 ) 和o 个粒子态的波函数( 3 ，2 2 ) 代入0 个粒 子s c h r b d i n g e r 方程f 3 2 4 ) 得到能量本征方程为： e 妒n - a 。一帕( j 1 ，2 j ) = 忆。嘶( j m j ，盔+ s ，抵) + ( s 。+ 誊c z j z ，) 妒。：。c ，。，“。， ( j 。j 2 ) ，( 3 2 5 ) e 妒o 。口2 ”0 0 ( j 1 ，j 2 j n o ) = 忆，一。0 ( j l 胁j ，血+ 即一，) + n o ；c z j 一，) 妒。c ，。t ，挑， ( j l = j 2 ) ( 32 6 ) 波函数必须满足的连续性条件为 l i m 忆。( j l ，- 一，死j m ，j 0 ) = l i m 妒。a 。( j l ，一，死j m ，一，j ) ，m i j m 。 ( 3 2 7 ) 把波函数( 3 2 2 ) 代入能量本征方程( 3 2 5 ) m ( 3 2 6 ) 求得本征能量为： e = 一霎( 南划) 怕 c 。z s ， 肚一若( 蒋切2 j ) 札0 _ c 。2 8 ， 第三章开边器条件自旋梯模型的坐标b a 解1 5 上式的结果利用了( 2 8 ) 的表达形式。利用能量本征方程( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 和波函 数的连续性条件( 3 ，2 7 ) 求得两体散射矩阵s 的表达形式为： an ，n ，( 。一k l ，磅。) = & 。，( s i n k l ，s i n k j ) aq ”，( - b ，) ( 3 2 9 ) 其中s n ( s i nk i ，s i nb ) 是两体散射矩阵s ，其具体表达形式为 其中 心i n 蛐栌等繁 3 3 开边界条件下的转移矩阵t 由第一节和第二节得如下关系 a ( - k l 置) = u ( ) a , ( k l b ) = u ( k 1 ) s t 2 ( a a 1 ) & a ( 2 七，1 ) ( 3 3 0 ) = u ( 1 ) s t 2 ( a a 1 ) - s i n ( a a n ) xv ( ，) a ( 如，一h ) = u ( k 1 ) $ 1 2 ( a a 1 ) s l n ( a a n ) v ( 1 ) s 杀( 一a 一入) 长| l ( - a a - ) a ( 一，一k n ) ( 3 3 1 ) a ( 一1 - ) = u ( k 1 ) a ( k l 女) a ( l 一k n ) = v ( ) a ( 1 ) “=面sinfk-面sin再kjbij，+ 面f 眄岛，2 五百j 蔬再1 1 十五百j i i 忑 岛= 蔫；南蜀 2 j i f = i 丽1 十j i f 写丽。 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解 定义算符彳1 ( 柏； 于( a 1 ) = u ( 1 ) s 1 2 ( a l ，a 2 ) s 1 ( a 1 ，a r ) v ( k t ) s 高( 一a l ，a ) - s 毒( 一a - ，a z ) 式( 3 3 1 ) 可表示为： 于( 1 ) a = a 。 我们定义算符t ( a ) 及丁- 1 ( 一a ) 分别为： 丁( a ) = l o l ( a ，a 1 ) l o n ( a ，a ) ， t 一1 ( 一a ) = 三高( 一a ，a v ) l 矗( 一a ，a 1 ) 算符t ( ) 为： t ( a ) = t r k + ( a ) t ( a ) k 一( ) t 一1 ( a ) 令a = a 1 ，得： t ( a 1 ) = t r k + ( a 1 ) t ( 1 ) k 一( a i ) t 一1 ( 一a 1 ) = ( l 1 2 ( 1 ，a 2 ) l 1 ( a l ，a n ) k 一( a 1 ) l 品( - ；q ，a ) l 吾( 一a 1 ，a 2 ) ) x t r 岛l 工寻( 一a 1 ，a 1 ) k + ( a 1 ) 定义算符露+ 为： 露+ ( a 1 ) = t r p 0 1 l 甜( 一a 1 ，a 1 ) k + ( a 1 ) 对照式( 3 3 5 ) ，( 3 3 9 ) 得下列结果： 钮l l j 咄( a t , a j 憾) = s l j 。2 愁， 矿v ( ( a 1 ) ：= ，g ( ( a 1 ) k 一- ( ( a 入i 。； 1 6 ( 3 3 5 ) f 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 第三章开边界条件自旋梯模型的坐标b a 解 其中9 ( a 1 ) ，( a 1 ) 是两个矩阵函数，于是得 1 7 于( 。) = ，( a 1 ) g ( a 1 ) t ( 1 ) ( 3 4 3 ) 因此，求解哈密顿置的本征值问题就转化为求t ( a 1 ) 的本征值问题。在下一章 中我们将给出如何求解这一算子的本征值。 第四章开边界条件自旋梯模型的嵌套b a 解 4 1自旋梯模型的尺矩阵 自旋梯模型的尺矩阵为 r ：( “) = “+ i ，a = 1 ，2 ，3 兄：2 ( ) = i t ，a b = 1 ，2 ，3 r 黠( u ) = i ，o b = 1 ，2 ，3( 4 1 ) r 尘( 乱) = 0 ，o t h e r s 为了方便，定义如下函数 a ( “) = u4 - i ，b ( u ) = “，w ( “) = u i ，c ( 乱) = i r 矩阵满足y a n g - b a x t e r 方程 r 1 2 ( 铭一 ) 冀1 3 ( 7 2 ) r 2 3 ( 口) = r 2 3 ( 口) r 1 3 ( i t ) r 1 2 ( 口一口)( 4 2 ) 其中r 1 2 ( u ) ，r 1 3 ( 乱) 和r 2 3 ( i t ) 作用在c 3 c 3 0 g 3 ，且r 1 2 ( u ) = r ( u ) o l ，r 2 3 ( u ) = 1 0 r ( u ) ，局域转移矩阵l ( t ) 满足下列方程f 2 9 】， 3 0 i ， 3 1 】： r 1 2 ( “一u ) l 1 ( i t ) l 2 ( 口) = l 2 ( u ) l 1 ( 让) r 1 2 ( u u )( 4 3 ) 其中l l ( u ) = l ( i t ) 0 1 ，l 2 似) = i o l ( 让) 。标准的m o n o d r o m y 矩阵为方 阵定义为： t ( u ) = l n ( u ) l 1 ( 钍) = r 0 ( 扎) r o l ( 让)( 4 4 ) l ( “) 满足_ y a n g - b a x t e r 方程： r 1 2 ( u u ) 正( u ) t 2 ( ) = t 2 ( ) n ( u ) r 1 2 ( u 一 )( 4 5 ) 】8 第四章开边界条件自旋梯模型的嵌套b a 解 1 9 算符t 是一个作用在曙量予空间的3 3 的作用算符。现在，利用m e ：i n c e s c u e 辛g n e p o m e c h i e 的般形式构造开边界条件下的可积系统。在这种情况下，反 射方程取如下形式【3 2 】，【3 3 】： r , 2 ( 札一 ) f ( 札) r 2 , ( u + u ) k 2 ( ) = 爿i 0 ) r n + u ) 眉f ( u ) r 2 l ( u 一 ) 冗1 2 ( 一“+ 口) 耳寸( “) “r 2 ( 乱一t ，一d f ) 耳( ) 虹 = 手( ”) 幻r 1 2 ( 一u u d f ) 耳 ( “) - 忌。( 一“+ 。) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 再。 l d2 3 。显然，g ：- ( “) 和q - ( 乱) 同构。 溻) 一( 扎) = k 一( 一u 一害) ( 4 8 ) 给出方程( 4 6 ) 的解k 一( “) ，我们可以求得方程( 4 7 ) 的解k + ( u ) 。本文我们 将e 打方程( 4 8 ) 定义+ ( 札) 。解反射方程( 4 7 ) ，我们取如下的对角化的解3 4 1 。 k 一( u ，) = 掣( u ，) 玩。( 4 9 ) 其中 咖2 ：麓乏三 相应的耳+ ( “，0 为： k + ( 0 ( 4 1 0 ) 砰( u ，= 侩+ u ”+ d d l i 2 2 ：l a f h = 薹3 磁p 1 6 德芒番等高纠u ， r ( 2 ， 魂) ) 盅：j 老b d 。( 钉1 ) b 也( 忱) b d 。( 刨工) i u n c ) + 札t ( 4 4 1 ) 其中卢( 1 ( u ) 为 f l ( 1 ) ( ) = 丽2 u 6 ( u ) 护( 一u ) ( 4 4 2 ) 由以上方程，得到下列重要的关系式： 【l ( 1