（应用数学专业论文）littlewoodrichardson系数的组合学.pdf

摘要 摘要 l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数是组合数学中的一个重要研究对象，同时也是代 数以及代数几何中的重要研究对象。在组合数学中，l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数 是斜s c h u r 函数关于s c h u r 函数的展开式中的系数该类系数有多种组合解释， 其中最著名的就是由l i t t l e w o o d 和r i c h a r d s o n 于1 9 3 4 年提出的l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 法则，即系数a 。，等于形状为入p ，类型为，并且反阅读字为格排列 的半标准杨表的个数在群表示理论中，l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数给出了一般 线性群的不可约表示在与的张量积中的重数。在代数几何理论中，它 们足两个s c h u b e r t 类乘积展开式中的系数 本篇论文的主要结果足关于l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数的一些组合性质及 其在组合数学中的应用。首先，我们利用h i v e 模型研究了l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数的一些组合性质，并给出了所有单重的斜s c h u r 函数的刻画，即在这类斜 s c h u r 函数关于s c h u r 函数的展开式中，所有的系数均为0 或者1 然后，我 们通过研究组合数学中的一个g 对数凸问题给出了l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数 的一个应用我们证明了多项式序列 ：o ( ：) 。矿) 他o 的q 对数凸性质，其中 l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数的一个重要性质一对偶p i e r i 法则在证明过程中起 到了重要的作用 在第一章中，我们首先给出了对称函数，特别是s c h u r 函数和l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数的发展历史和背景知识，同时也介绍了q 对数凸和g 对数凹的 背景知识，然后给出了本篇论文将要用到的相关记号和定义 在第二章中，我们利用h i v e 模型讨论了斜s c h u r 函数展成s c h u r 函数的表达 式中l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数为单重的问题h i v e 模型是一个可以用来研究 l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数及其性质的组合工具，它足l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 法则的又一种表现形式借助h i v e 模型，我们给出了斜s c h u r 函数关于s c h u r 函数的展开式为单重的充分必要条件从证明过程中我们可以看到，与传统的 i 摘要 l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 法则相比，利用h i v e 模型来讨论l i t t l e w o o d r i c h a r d s o n 系数可以使得问题的组合根源更加清晰，体现了h i v e 模型在研究l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数方面的优势，特别是在证明本章主要定理中的必要条件时，h i v e 模型使得证明更加直观。同时，通过h i v e 模型我们还能更深入地研究展开式中 l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数不满足单重条件的一些内在原因 在第三章中，我们利用l i t t l e w o o d - r i c h a r d s o n 系数的一些性质证明了王毅 等人提出的关于多项式序列 釜o ( ：) 2 q 七) n o 的q 对数凸性质的一个猜想，该 方法给出了处理组合数学中q 对数凸问题的一种新方法该类多项式是集合f n j 上类型b 的不交划分的生成函数，同时也出现在根系格增长级数的相关理论中 对于集合m 上类型a 的不交划分的生成函数，即n a r a y a n a 多项式，陈永川等 人已经证明了它的g 对数凸性质。通过利用s c h u r 函数理论中的p i e r i 法则和 j a c o b i t r u d i 恒等式，我们将一个关于初等对称函数乘积的和式展开成s c h u r 函 数，并证明了该展开式的s c h u r 非负性，然后通过利用对称函数的主特殊化证明 其g 对数凸性质。同时，我们还证明了王毅等提出的该类多项式在任何线性变化 下保持对数凸性质的一个充分条件，从而得到 ( ：) 。0 o t h ep o l y n o m i a li st h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n o ft h el a t t i c eo fn o n c r o s s i n gp a r t i t i o n so ft y p ebo nf n j ，a n di ta l s oa r i s e si nt h e t h e o r yo fg r o w t hs e r i e so ft h er o o tl a t t i c e f o rt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h el a t r i c eo fn o n c r o s s i n gp a r t i t i o n so ft y p eao n 【礼 ，w h i c hi sk n o w na st h en a r a y a n a p o l y n o m i a l ，c h e n ，w a n ga n dy a n gh a v ep r o v e di t sq l o g - c o n v e x i t y b yu s i n g p i e r i sr u l ea n dt h ej a c o b i t r u d ii d e n t i t yf o rs c h u rf u n c t i o n s ，w eo b t a i na ne x - p a n s i o no fas u i no fp r o d u c t so fe l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n si nt e r m so fs c h u r f u n c t i o n sw i t hn o n n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s t h e nt h ep r i n c i p ms p e c i a l i z a t i o nl e a d s t ot h eq - l o g - c o n v e x i t y w ea l s op r o v et h a tat e c h n i c a lc o n d i t i o no fl i ua n dw a n g h o l d sf o rt h es q u a r e so ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s h e n c ew ed e d u c et h a tt h el i n e a r t r a n s f o r m a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h et r i a n g u l a ra r r a y ( ：) o j c ni sl o g - c o n v e x i t y p r e s e r v i n g f i n a l l y , w ep r o v i d eah i v em o d e lp r o o fo fap a i ro fi n e q u a l i t i e so nl i t t l e w o o d o r i c h a r d s o nc o e f f i c i e n t si nt h ea p p e n d i x k e y w o r d s ：l i t t l e w o o d r i c h a r d s o nc o e f f i c i e n t s ，q - l o g - c o n v e x i t y , s c h u rp o s i t i v - i t y , p i e r i sr u l e ，t h ej a c o b i t r u d ii d e n t i t y ，p r i n c i p l es p e c i a l i z a t i o n ，h i v em o d e l ， m u l t i p l i c i t yf r e e 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：琵 灸 柳7 年占月争日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 结。灸 加7 年么月午日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ：内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 一机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) o 一 。一。，。j y | c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d t h et h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n sa r i s e si nm a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，i n - c l u d i n gc o m b i n a t o r i c s ，g r o u pt h e o r y , l i ea l g e b r a ，a n da l g e b r a i cg e o m e t r y t h e 缸s tp u b f i s h e dp a p e ro ns y m m e t r i cf u n c t i o n sc a l lb et r a c e db a c kt oa l b e r tg i - r a r d 2 2 】，i nw h i c ht h ea u t h o rg a v ea ne x p r e s s i o nf o r m u l ab e t w e e nt h ep o w e r s u ms y m m e t r i cf u n c t i o n sp na n dt h ee l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n se n a n - o t h e ri m p o r t a n tf i t e r a t u r eo nt h ee a r l yh i s t o r yo fs y m m e t r i cf u n c t i o n si sd u et o v a h l e n 6 1 s c h u rf u n c t i o n ，o n eo ft h ec e n t r a lo b j e c t si nt h et h e o r yo fs y m m e t r i cf u n c - t i o n s ，i st h em a i no b j e c tc o n s i d e r e di nt h i st h e s i sa n d i sa l s ot h em o s ti m p o r t a n t t o o lt op r o v eo u ro t h e rr e s u l t s s c h u rf i m c t i o n sw e r ef i r s tc o n s i d e r e db ya u g u s t i n l o u i sc a u c h y 【1 2 】i n1 8 1 5 ，i nw h i c hc a u c h yd e f i n e das c h u rf u n c t i o nt ob ea q u o t i e n to ft w os k e w - s y m m e t r i cp o l y n o m i a l sa 8f o l l o w s d e f i n i t i o n1 1 1f o rq = ( q 1 ，o l 竹) ，l e to a = d e t ( x ) 乙：1a n dj = ( n 一1 ，n 一2 ，1 ，0 ) t h e n 加rap a r t i t i o n 入w i t hl e n g t hl e s st h a no re q u a lt on ， s c h u rf u n c t i o n si nt h ev a r i a b l e sx l ，z 付a r ed e f i n e db y s a ( x l ，z n ) = o a + 6 0 6 f o rt h ec o m b i n a t o r i a ld e f i n i t i o no fs c h u rf u n c t i o n ，i ti sk o s t k a 3 0 ，3 1 】w h o f i r s tg a v ei t sd e f i n i t i o ni nt e r m so fm o n o m i a l s t h ec o e f f i c i e n tk l i nt h ee x p a n - s i o n s a = m p 肛 i st h u sc a l l e dk o s t k an u m b e r t h ek o s t k an u m b e r sk uc o u n tt h en u m b e ro f s e m i s t a n d a r dy o u n gt a b l e a u xo fs h a p e 入a n dt y p ep ，w h i c hi sd u et od e l i t t l e w o o d 4 1 】，s e ea l s o 4 4 】a n d 【5 4 t h e s en u m b e r sa l s oc o u n tg e l f a n d t s e t l i n p a t t e r n s ，s e ef o re x a m p l e 【2 0 】a n d 【5 4 s i n c et h e n ，m a n yw o r ko ns c h u rf u n c t i o n sa p p e a r e d o n eo ft h ew o r kw e c o n c e r ni sd u et oj a c o b i 【2 6 ，i nw h i c hj a c o b ig a v et h es o - c a l l e dj a c o b i - t r u d i i d e n t i t ye x p r e s s i n gs c h u rf u n c t i o n si nt e r m so ft h ec o m p l e t es y m m e t r i cf u n c t i o n s t h e o r e m1 1 2 ( s 4 ) l e t 入= ( 入1 ，入n ) t h e n s a = d e t ( h a i - i + j ) 乙：1 ， w h e r ew es e th o = 1a n dh k = 01 0 rk oo fn o r m e g a t i v en u m b e r si sl o g - c o n c a v e ( r e s p 1 0 9 - c o n v e x ) i fa k l a k + 1 0 2 ( r e s p a k l a k + 1 0 2 ) f o ra n yk 1 m a n yw e l l - k n o w nc o m b i n a t o r i a ln u m b e r s ，s u c ha st h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ( n b ) ， t h ee u l e r i a nn u m b e r sa ( 扎，七) ，t h es t i r l i n gn u m b e r sc ( n ，k ) a n ds ( n ，艮) o ft w o k i n d si n 七f o rf i x e d 佗a r ea l ll o g - c o n c a v e ，s e et h es u r v e ya r t i c l e s 6 ，5 2 】a n ds o m e r e c e n tw o r kb yy w a n g 6 4 - 6 9 1 f o rt h ek n o w l e d g eo nl o g - c o n v e x i t y , s e et h e s u r v e y 【6 3 f o rd e t a i l s t h ec o n c e p to fq - l o g - c o n c a v i t yw a sf i r s ts u g g e s t e db ys t a n l e y , w h i c hc a n b er e g a r d e da saq a n a l o go fl o g c o n c a v i t y g i v e nas e q u e n c eo fp o l y n o m i a l s 【厶( g ) 2 0 ，w es a yt h a ti ti sq - l o g - c o n c a v ei ff o ra n yk 1t h ed i f f e r e n c e + 1 ( q ) f k 一1 ( q ) 一f k ( q ) 2( 1 1 1 ) h a sn o n p o s i t i v ec o e f f i c i e n t sa u sap o l y n o m i a lo fq a n di ti ss t r o n g l yq - l o g c o n c a v e i f 一l ( q ) f t + l ( q ) 一 ( q ) f t ( q ) h a sn o n p o s i t i v ec o e f f i c i e n t sa sap o l y n o m i a lo fq ( 1 1 2 ) t h eq - l o g - c o n c a v i t yh a sb e e ns t u d i e db vm a n ym a t h e m a t i c i a n s b o t hb u t l e r 8 1a n dk r a t t e n t h a l e rf 3 2 1p r o v e dt h a tt h es e q u e n c eo f 口一b i n o m i a lc o e 伍c i e n t s 嘲di sq - l o g - c o n c a v ei nk i n 【8 】，b u t l e ra l s oc o n j e c t u r e dt h eq - l o g - c o n c a v i t yo f q - s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d ，w h i c hw a sp r o v e dl a t e rb yl e r o u x 3 s s a g a n 4 7 ，4 8 s t u d i e dt h eq - l o g - c o n c a v i t yo ft h es t i r l i n gn u m b e r s a l lo ft h o s e m a t h e m a t i c i a n sh a v ec o n t r i b u t e dt op r o v i n gp a r t so ft h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 1 5 ( 4 8 ) t h ef o l l o w i n gs e q u e n c e sa r ea l ls t r o n g l yg l o g c o n c a v e ， 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i | o f 舡斑n ： 羽) 七 o ， c h ，纠k o ， s i n ，纠k o ， 2 f o rf i x e dk ： 嘲) n o ， s i n ，纠】n o ， 3 如啦e d 啪搿吨抄，协+ 歹，忌+ 吡抛 s 【死+ 工尼+ 吡抄 s i m i l a rt ot h ec o n c e p to fq - l o g - c o n c a v i t y , l i ua n dw a n g 6 3 】i n t r o d u c e dt h e d e f i n i t i o no fq l o g - c o n v e x i t y as e q u e n c ei sq - l o g - c o n v e xa n ds t r o n g l yq - l o g - c o n v e x i ff o ra n yk21 ，t h ed i f f e r e n c ei ne q u a t i o n ( 1 1 1 ) a n de q u a t i o n ( 1 1 2 ) h a v e n o n n e g a t i v ec o e f f i c i e n t sa sap o l y n o m i a lo fq ，r e s p e c t i v e l y i th a sb e e ns h o w nt h a tm a n yc o m b i n a t o r i a lp o l y n o m i a l sa r eq - l o g - c o n v e x ， s u c ha st h eb e l lp o l y n o m i a l s ，t h ee u l e r i a np o l y n o m i a l s ，t h eb e s s e lp o l y n o m i a l s ， t h er a m a n u ja np o l y n o m i a l sa n dt h ed o w l i n gp o l y n o m i a l s ，s e el i ua n dw a n g 6 a ， a n dc h e n ，w a n ga n dy a n g 【1 5 m o r e o v e r ，c h e n 【1 3 】p r o p o s e das e r i e so fg - l o 哥 c o n v e x i t yc o n j e c t u r e so nt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n so ft w ok i n d so fp o l y n o m i a l s r ( z ) = 詹r ，k x 七a n d n ( z ) = 后m 2 n ，k x 七，w h e r er ，k i st h en u m b e ro f p e r m u t a t i o n s7 1 o n 佗 s u c ht h a tt h el e n g t ho ft h el o n g e s ti n c r e a s i n gs u b s e q u e n c e s o f7 re q u a l sk ，a n dm 2 几，ki st h en u m b e ro fm a t c h i n g so n 【2 n 】w i t hc r o s s i n gn u m b e r k 1 2s c h u rf u n c t i o na n dl i t t l e w o o d r i c h a r d s o n ，”j c o e m c l e n t i nt h i ss e c t i o n ，w ew i ur e v i e ws o m ed e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n sa n dw e l l - k n o w nr e s u l t s i nt h et h e o r yo fs c h u rf u n c t i o na n dl i t t l e w o o d - r i c h a r d s o nc o e f f i c i e n t r e c a l l t h a tap a r t i t i o nao fan o n n e g a t i v ei n t e g e r 佗i saw e a k l yd e c r e a s i n gs e q u e n c e ( a 1 ，入2 ，) o fn o n n e g a t i v ei n t e g e r ss a t i s f y i n g t 入i = 他，d e n o t e d 入b - 他w bu s u - a l l yo m i tt h ep a r t s 九= 0 w ea l s od e n o t eap a r t i t i o na 卜礼b y ( u r n - ，2 m 2 ，1 m 1 ) i f 入h a sm i sf o r1 i 佗l e tl a id e n o t et h es l l i no fa l lt h ep a r t so f 入，w h i l e 粤( 入) t h en u m b e ro fp a r t s l e tp a rd e n o t et h es e to fa 1 1p a r t i t i o n s ，w h i l ep a r ( n ) d e n o t et h es e to fa l lp a r t i t i o n so f 佗m o r e o v e r ，f o r 口= ( q 1 ，q ，1 ) n ，d e f i n e z aa st h em o n o m i a l z a = z 宇1 z 嚣” i f 入卜礼，w ed r a wal e f t - j u s t i f i e da r r a yo f 礼s q u a r e sw i t h 入 s q u a r e si nt h ei t h r o w t h i sa r r a yi sc a l l e dt h ey o u n gd i a g r a mo f 入b yt r a n s p o s i n gt h ed i a g r a mo f 5 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 入，w eg e tt h ec o n j u g a t ep a r t i t i o no f 入，d e n o t e d 入7 w eu s ep at od e n o t et h a t t h ey o u n gd i a g r a mo f 灿i sc o n t a i n e di nt h ed i a g r a mo f 入 f a = ： 目= 面= 目= 田 n o ww ea r er e a d yt od e f i n es o m eb a s i cs y m m e t r i cf u n c t i o n s ，i n c l u d i n gm o n o - m i a ls y m m e t r i cf u n c t i o n s ，e l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n s ，c o m p l e t es y m m e t r i c f u n c t i o n s ，p o w e rs u i ns y m m e t r i cf u n c t i o n sa n ds c h u rf l m c t i o n s b yt h et h e o r yo f s y m m e t r i cf u n c t i o n w ek n o wt h a te a c hs u c hc l a s so fs y m m e t r i cf u n c t i o n sf o r m s ab a s i sf o rt h er i n go fs y m m e t r i cf u n c t i o n s l e t 入= ( 入1 ，a n ) b - n ，t h e nt h e m o n o m i a ls y m m e t r i cf u n c t i o nmx ( z ) i sd e f i n e db y m a = 扩， a w h e r et h es u mr a n g e so v e ra l ld i s t i n c tp e r m u t a t i o n so t = ( q 1 ，a 2 ，) o f 入 t h ee l e m e n t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o n se aa r ed e f i n e db y w i t he 0 = 1 e n = ，n 0 i l i ” e a = e a l e a 2 ， t h ec o m p l e t es y m m e t r i cf u n c t i o n sh xa r ed e f i n e db y w i t hh 0 = 1 ，竹0 n t “ h a = h a l 九a 2 ， t h ep o w e rs u ms y m m e t r i cf u n c t i o n sp aa r ed e f i n e db y m = m n = z t p a2p a l p a 2 ， 6 ，礼1 埘t hp 0 = 1 as e m i s t a n d a r dy o u n gt a b l e a uo fs h a p eai sa na r r a yt = ( ) o fp o s i t i v e i n t e g e r so fs h a p eas u c ht h a ti t i sw e a k l yi n c r e a s i n gi ne a c hr o wa n ds t r i c t l y i n c r e a s i n gi ne a c hc o l u m n t h et y p eo ft i sd e f i n e da st h ec o m p o s i t i o n 口2 ( 口1 ，口2 ，) ，w h e r eq i st h en u m b e ro ft s i nt l e tzd e n o t et h ev a r i a b l e s z 1 ，x 2 ，】i ft y p e ( t ) = q ，t h e nw ew r i t e x t = z q l t l x & 2 2 t h es c h u rf u n c t i o ns a ( z ) i sd e f i n e da st h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s a ( z ) = ， t s u m m e do v e ra l ls e m i s t a n d a r dy o u n gt a b l e a u xto fs h a p ea w h e n 入= 仍，w e s e ts 0 ( z ) = 1 i ti sw e l lk n o w nt h a ts c h u rf u n c t i o n ss x ( x ) f o r mab a s i sf o rt h e r i n go fs y m m e t r i cf u n c t i o n s w h e n 入= ( 1 七) f o rk 1 ，t h es c h u r f u n c t i o ns x ( x ) b e c o m e st h ek - t he l e m e n - t a r ys y m m e t r i cf u n c t i o ne k ( x ) ，i e ， s ( 1 ) ( z ) = e k ( x ) = 1 i l i k 戤1 z t k ( 1 2 1 ) j u s ta st oe a c hp a r t i t i o n 入t h e r ec o r r e s p o n d sas c h u rf u n c t i o n8 a ，t oe a c h p a i ro fp a r t i t i o n s 入a n d 肛w i t hp 入t h e r ec o r r e s p o n d sas k e ws c h u rf u n c t i o n s a 肛 4 2 ，4 4 t h i sm a yb ed e f i n e db yn o t i n gf i r s tt h a tt h e r ee x i s t s as y m m e t r i c b i l i n e a rf o r m ( ，) o i lt h er i n go fs y m m e t r i cf u n c t i o n sas u c ht h a t ( ，s l ，) = ， a n dt h e nd e f i n i n gs a 似b yt h er e l a t i o n s 4 4 】 ( s a p ，s y ) = ( s 入，s ps ) ， ( 1 2 2 ) f 6 ra l lp a r t i t i o n s t h ei n t e g e r ( 8 a ，s i t s ) = ( s a l ，s p ) = ( s a p ，s | ，) ，d e n o t e db y c 妣，i st h ew e l lk n o w nl i t t l e w o o d - p d c h a r d s o nc o e f f i c i e n t s i n c et h el i t t l e w o o d r i c h a r d s o nc o e f f i c i e n t s 冼l ，a r i s ea st h em u l