（物理学专业论文）局域不确定关系与纠缠态的识别.pdf

国防科学技术火学研究生院硕士学位论文 摘要 纠缠识别问题，即如何在理论上和实验上有效地判断一个量子态是否为纠缠 态，是量子纠缠理论一直未能彻底解决的基本课题之一。另一方面，彻底解决纠 缠识别问题也是利用量子纠缠这个物理资源进行量子信息工程运用的先决条件。 因此，纠缠识别研究具有十分重要的理论和应用价值。 本文着眼于最基本、应用最广泛的两体问题，对两体纠缠识别的瓶颈p 盯 纠缠识别进行了深入的研究。我们利用局域不确定关系l u r s 和非归一局域正交算 子l o o s 得出了一类易于实验的非线性纠缠w i t n e s s ，它只需通过局域测量和经典 通信即可完成测量。经简单的优化后，我们还得到了具有可操作性且严格强于重 排判据的p p t 纠缠判据。同时借助局域不确定关系，该纠缠判据还获得了明晰的 物理意义：可分态继承局域态( 各子系统态) 的和不确定度，反映了总体比局部 更混乱的经典性质，而纠缠态则可能违背这一点。如果待测态经最优l o c a lf i l t e r i n g 操作预处理后，再用局域不确定关系进行纠缠识别，还可以获得更好的纠缠识别 效果。 我们还对局域不确定关系的结构进行了改造，提出了积算子形式的局域不确 定关系，进而得到了一个类似熵不等式的纠缠判据。我们还讨论了集体测量对局 域不确定关系纠缠识别能力的影响。对某些态，两个拷贝集体测量的纠缠识别效 果不如单个拷贝，但两个拷贝平行放置的纠缠识别结果优于对称放置。尽管对其 它态以及多于两个拷贝的情况，是否仍有同样的结论还需要进一步研究，但可以 确定：集体测量时，拷贝放置结构将会对纠缠识别带来不可忽略的影响。 另外由于局域不确定关系只涉局域测量和经典通信，与b e l l 不等式的实验步 骤十分相似。因此，我们猜测l u r s 同b e l l 不等式一样不仅能识别纠缠态，还能 反映纠缠态的非局域性质。而它又能够识别p p t 纠缠态，这也许就为我们直接实 验展示p p t 纠缠态的非局域性提供了可能。 主题词：量子纠缠p p t 纠缠纠缠识别局域不确定关系 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 a b s t r a c t h o wt od e t e c tt h ee n t a n g l e m e n te f f i c i e n t l yi nag i v e ns t a t eb yb o t ht h e o r ya n d e x p e r i m e n ti sab a s i ca n dl o n g s t a n d i n gp r o b l e mi ne n t a n g l e m e n tt h e o r y f u r t h e rm o r e ，i t i sa l s oap r e c o n d i t i o nw h e nw et a k eq u a n t u me n t a n g l e m e n ta sap h y s i c a lr e s o u r c ef o r q u a n t u mi n f o r m a t i o ne n g i n e e r i n g t h u s ，t h es t u d yo fe n t a n g l e m e n td e t e c t i o nh a sg r e a t m u c ho fa c a d e m i ca n dp r a c t i c a lv a l u e i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nt h eb i p a r t i t es y s t e m sa n dh a v el u c u b r a t e do np p t e n t a n g l e m e n td e t e c t i o n ，w h i c hi st h em o s td i f f i c u l t yp a r to fe n t a n g l e m e n td e t e c t i o n w e h a v e p u tf o r w a r dan o n l i n e a re n t a n g l e m e n tw i t n e s sb a s e do nl o c a lu n c e r t a i n t y r e l a t i o n s ( l u r s ) a n du n n o r m a l i z e dl o c a lo r t h o g o n a lo b s e r v a b l e s ( l o o s ) a n do n l y l o c a lm e a s u r e m e n t ( l m ) a n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ( c c ) a r en e e d e di ne x p e r i m e n t f u r t h e rm o r e ，w ep r e s e n ta no p e r a t i o n a lp p t e n t a n g l e m e n tc r i t e r i o nv i ao p t i m i z i n gt h i s n o n l i n e a re n t a n g l e m e n tw i t n e s s w i t ht h eh e l po fl u r s ，t h i sc r i t e r i o nh a sc l e a rp h y s i c a l m e a n i n g ：s e p a r a b l es t a t e si n h e r i tt h es u mu n c e r t a i n t yf r o ml o c a ls t a t e s ( t h es t a t e so f s u b s y s t e m s ) ，i m p l y i n gt h ec o m p o s i t es y s t e mi sm o r ed i s o r d e r e dt h a nl o c a ls y s t e m ， w h i l ee n t a n g l e ds t a t e sm a yv i o l a t ei t i fp r e p r o c e s st h eq u a n t u ms t a t ew i t ht h eo p t i m a l l o c a lf i l t e r i n go p e r a t i o nf i r s t ，t h e nw ew i l lg e tab e t t e re n t a n g l e m e n td e t e c t i o nw i t h l u r s w ea l s oh a v er e f o r m e dt h es t r u c t u r eo fl u r sa n dp r o p o s e dt h ep r o d u c t - o p e r a t o r l u r s ，w h i c hi ss i m i l a rt oe n t r o p yi n e q u a l i t yw i t hp r o p e r l yo b s e r v a b l e s w eh a v e s t u d i e dt h ei n f l u e n c eo fc o l l e c t i v em e a s u r e m e n to nl u r sa n df i n d ，f o rs o m es t a t e s ，o n e c o p yi sa l w a y sb e t t e rt h a nt w oc o p i e sf o re n t a n g l e m e n td e t e c t i o n ，w h i l et h ec a s eo ft w o c o p i e si np a r a l l e ls t r u c t u r ei sb e t t e rt h a ns y m m e t r i c a ls t r u c t u r e t h r o u g hw em a ym o d i f y t h i sc o n c l u s i o nw h e nc o n s i d e ro t h e rs t a t e sa n dm o r et h a nt w oc o p i e s ，i ti sn od o u b tt h a t d i f f e r e n ts t r u c t u r eo fc o p i e sw i l li n d u c ed i f f e r e n tr e s u l t so ne n t a n g l e m e n td e t e c t i o n b e s i d e s ，w ec o n j e c t u r et h a tt h ev i o l a t i o no fl u r sa l s or e v e a lt h en o n l o c a l i t yo f e n t a n g l e d s t a t e sl i k et h ev i o l a t i o no fb e l l i n e q u a l i t ya s i ti n v o l v e s o n l y l o c a l m e a s u r e m e n ta n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n i ti sk n o w nt h a tl u r sc a nr e c o g n i z ep p t e n t a n g l e m e n t ，t h u sw em a ym a k eu s eo fl u r st od i s p l a yt h en o n l o c a l i t yo fp p t e n t a n g l e m e n te x p e r i m e n t a l l y k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t e n t a n g l e m e n td e t e c t i o n p p te n t a n g l e m e n t l o c a lu n c e r t a i n t yr e l a t i o n s ( l u r s ) 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 图目录 图1 1纠缠态与可分态一4 图1 2 纠缠态的层次结构5 图2 1p p t 态与n p t 态1 4 图2 2 纠缠w i t n e s s 2 1 图3 1l u r s 与p p t 纠缠识别3 5 图4 1 最优l o c a lf i l t e d n g 与l u r s 联合p p t 纠缠识别3 9 图4 2 两个拷贝平行放置4 5 图4 3 两个拷贝对称放置4 6 图4 4 集体测量与l u r s 4 7 第l l i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目一一 星拯丕煎定差鍪鱼纠缠查盟迟剔 学位论文作者签名：酗垫 日期：雕夕明日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名：耋垄垒 作者指导教师签名：望皇篁鱼 日期：矿蜉年二月孑日 日期：弘一矿年，z 月尸日 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第一章绪论 量子纠缠作为与经典世界差别最为迥异的量子特征现象之一，从被提出伊始 就受到了普遍的关注。早期主要用于有关量子力学基本问题的探讨和实验验证， 目前则侧重于基于量子纠缠的量子信息理论和应用研究。但到目前为止，我们对 量子纠缠的性质及其相关物理机制仍没有研究清楚，纠缠理论仍没有完整建立起 来，这极大地限制了我们对纠缠这个物理资源的进一步开发利用。其中如何有效 地在理论上和实验上实现纠缠识别是纠缠理论的基本问题，同时也是量子信息工 程应用的重要课题，这也是本文的立意所在。 本章第一节我们将介绍该课题的研究背景。第二节讨论纠缠的定义，重点说 明其物理根据。第三节简要介绍纠缠识别领域相关的基础知识和概念。 1 1 研究背景 如果说量子力学革新了我们的世界观，那么量子纠缠无疑是支撑这个观点的 核心证据之一。在量子力学创立之初，人们就发现了这个与经典世界格格不入的 “鬼异”现象，由此引发物理学界那场著名的争论n ) 。但直到b e l l 不等式乜3 提出以 前，量子纠缠只能算作一个抽象的概念供物理学家甚至哲学家们去争辩，而量子 力学的正统解释甚至在物理学家范围内都没有得到广泛的认同。一般认为，一个 更深刻、更接近真实自然的理论必须同以前所有已知的现象相符合，而且能预言 新的现象并被实验所证实。量子力学正是需要这样一个证明自己的机会。 历史总是充满巧合，机会反而来自反对者。当泊松口1 根据光的波动说推出了泊 松亮斑时，他认为这个“荒谬 的结论可作为推翻波动说的证据。但实验的结果 却更加确立了波动说的地位。反对量子力学正统解释的爱因斯坦h 3 等人也根据量子 力学正统解释提出了著名的e p r 佯谬，揭示了量子纠缠这个新现象，同时也为量 子力学提供了一个期待已久的机会。纠缠作为量子力学所预言的现象必须经受住 实验的考验，但e p r 佯谬提出后人们却缺乏有效的实验手段进行验证，只能陷入 纯思想实验的尴尬处境。直到贝尔从爱因斯坦的定域实在论和波姆畸1 的隐参数理论 出发，提出了著名的b e l l 不等式，终于使得我们可以直接实验验证量子力学的这 个预言，并最终由阿斯佩克阳1 等人得到了肯定的结论。随后又提出了c h s h m 不等 式以及g h z 眵3 定理等多种含不等式和不含不等式的b e l l 定理，并都得到了实验的 证实。由此量子力学正统解释得到了大多数物理学家的承认，我们不得不抛弃定 域的经典世晃观。 量子纠缠被实验证实之后一度淡出了人们的视野，这主要是因为在当时的历 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 史背景条件下，人们缺乏进一步研究纠缠的技术手段。直到九十年代初，它又在 量子信息这个崭新的舞台上担当了重要的角色，引发了一轮对量子纠缠的理论和 实验研究的新热潮。人们已意识到纠缠不再只是一个抽象的物理概念，不再只是 一个已被实验证实的物理现象，而且还是一种重要的物理资源一1 ，用于实现经典资 源无法完成的任务。除了量子超密编码n 们，量子隐形传态n ”等奇特任务外，更重 要的是用于量子计算n 幻、量子保密通信n 驯、量子调控等具有战略意义的关键技术。 世界范围内各科技强国无不投入大量人力物力致力于这一薪兴领域，我国制定的 国家中长期科学和技术发展规划纲要( 2 0 0 6 2 0 2 0 年) 还将“量子调控研究”列为 基础研究的四项重大研究计划之一。在学术界，世界顶级物理学杂志专门为量子 信息开辟了专栏。可以预见，这个领域所蕴含的巨大学术价值和应用价值对整个 世界的推动作用将不亚于一场新的科技革命。 量子纠缠的地位和价值已得到大家的普遍认同，但遗憾的是，至今为止我们 对量子纠缠本身并没有研究清楚。其中一个最基本的问题就是纠缠的识别问题u 引， 即给定一个量子态如何在理论上和实验上有效地判断它是否是纠缠态。这是量子 纠缠理论一直未能彻底解决的基本课题之一。另一方面，在理论上和实验上解决 纠缠识别问题是利用纠缠资源进行量子信息工程运用的先决条件。这是因为在实 际运用过程中，我们必须对纠缠源进行检测，以判断此纠缠源是否产生符合我们 工程设计要求的纠缠。当然这里面还涉及到更深层次的问题，如纠缠分类u 副、纠 缠度量n 引，但作为第一步我们首先要解决纠缠识别问题。再次，要解决纠缠识别 问题需要对量子纠缠本身进行深入地研究，这将有助于扩展我们对纠缠的认识。 因此纠缠识别研究具有重要的学术和应用价值。 由于纠缠自身结构的复杂性，彻底攻克纠缠识别问题将是一项浩大的系统工 程。本文将从其中最基本，同时也是目前实际工程运用需求最迫切的两体纠缠识 别入手，对纠缠识别问题展开研究。理论方面( 己知态的密度矩阵) ，纯态纠缠 识别问题已完全解决，但混态还在研究之中。总的目标是构建即具有可操作性又 兼备通用性的纠缠判据。由于两体低维情况下，p p t 判据 是判断是否为纠缠态 的充要条件，因此目前的主流方向是构造能识别p p t 纠缠态的纠缠判据，从而与 p p t 判据互补，如重排判据n 8 3 等。纠缠判据的效能普遍较高，不足之处在于缺乏 明晰的物理意义。实验方面主要有b e l l 不等式，纠缠w i t n e s s 9 1 ，非线性w i t n e s s 啪1 等。它们所具备的主要优点是可以用于直接实验探测，因此特别适合用于未知量 子态的纠缠识别问题。主要缺点是探测效果依赖于力学量的选取和测量，因而缺 乏通用性，实际探测效果也没有纠缠判据好。在本文中我们将运用局域不确定关 系l u r s ( l o c a lu n c e r t a i n t yr e l a t i o n s ) 进行纠缠探测，并取得了很好的纠缠识别 效果。它巧妙地融合了上述两类方法的优势：它属于非线性w i t n e s s ，可以用于直 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 接实验探测，再经过简单的优化后，它还可以导出具有操作性且严格优于重排判 据的p p t 纠缠判据。这也为纠缠识别研究提供了新的思路。 1 2 纠缠的定义 显而易见，要解决纠缠探测问题首先要明确什么是纠缠，即给出纠缠的定义， 并且最好具有可操作性，即通过定义就能方便地识别纠缠。同时我们必须理解这 个定义所反映的物理内涵为什么这个定义就是纠缠的定义，它的物理依据是 什么? 纠缠与其它所有物理学研究对象一样，人们对它的认识和理解可分为两个层 次：一是描述，二是解释。对于描述层次，一个基本任务就是从纠缠的种种性质 中抽象出它的本质，并给出与现有物理学( 对纠缠指量子力学) 公式体系相容的 数学描述。因此，纠缠的数学定义的物理根据就是纠缠的性质，而纠缠的性质就 是纠缠的数学定义所反映的物理内涵。 遗憾的是，从发现纠缠到现在7 0 多年过去了，纠缠的性质仍没有完全搞清楚。 可能大家不禁要问，连纠缠的性质都没搞清楚又怎么能对它下定义呢? 其实与此 类似的情况在物理学中屡见不鲜，光就是一个典型的例子。人们首先注意到光的 直线转播等性质，认为光的本质是粒子流，通过几何光学描述；然后又发现了光 具有干涉衍射等波动性质，直线传播只是一种特例，这样认为光的本质是波，通 过波动光学描述；最后发现光具有波粒二象性，它的本质可抽象为光子，通过量 子光学描述。在特定的时代背景条件下，人们不能发现光的全部性质，所以只能 依据当时已知的性质对光进行定义和数学描述。当发现新的性质时，原有的描述 就要修改，而且不仅要反映新发现的性质同时也能反映原有的性质。这也是人们 探求科学真理的一般规律。我们对纠缠的认识当然也不能摆脱这个规律，纠缠的 定义正是建立在纠缠目前已知的性质基础上。如果以后有了对纠缠更深刻的认识， 发现了新的性质，而现有定义又不能支持时，就应该修正目前的定义。为了更好 地理解这一点，我们把三种典型的纠缠定义做一个比较。 1 2 1 b e l l 关联态 定义1 2 1 ：若a l i c e 和b o b 分享某个态任意多份拷贝，他们各自选择某些力 学量做局域测量。然后通过经典通信对比各自数据，再分析这些数据之间的统计 关联，看是否有经典对应，即是否能被局域隐变量l h v ( 1 0 c a lh i d d e nv a r i a b l e ) 模 型解释。如果存在不能这样解释的统计关联，这个态就是纠缠态。 这个定义是认为纠缠态具有非经典的统计关联，不能用l h v 模型解释。但实 际上，纠缠并不仅仅体现为有非经典的统计关联，而且违背l h v 模型只是具有非 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 经典关联的充分条件：不能用l h v 模型解释一定存在非经典关联，但可以由l h v 模型解释并不意味这一定就是经典关联。这个定义真正定义的是b e l l 关联态或b e l l 非局域态【矧，这样的态一定违背某个b e l l 不等式。 1 2 2e p r 关联态 定义1 2 2 ：若a l i c e 和b o b 分享某个态任意多份拷贝，a l i c e 随机选择某个力 学量做局域测量，记测量后b o b 相应的态为群；a l i c e 再换一个力学量测量，记 测量后b o b 相应的态为硝。若a l i c e 拥有两个力学量，且测量后b o b 的态不同 钟一j d 乒，则这个态是纠缠态。 这个定义是根据人们最早认识到的纠缠性质：a l i c e 做局域测量会改变b o b 的 状态。“量子力学允许实验者根据他自己的意志改变一个系统的状态，尽管他与 这个系统没有任何相互作用”薛定谔啪1 。它定义的就是我们熟知的e p r 关联 态。本质上看定义1 2 1 和定义1 2 2 都认为纠缠态具有非局域性，只是定义1 2 1 强调的是b e l l 非局域性，定义1 2 2 则是依据更广泛的一种非局域性即e p r 非局 域性。 1 2 3 不可分态 定义1 2 3 ：某个态若不能由a l i c e 和b o b 通过局域操作和经典通信l o c c 制 备，则这个态是纠缠态。即不能写成如下可分态形式的态。 p ( 么，b ) = 娥a o ) a ( b ) ( 1 2 1 ) 7 其中p i 苫o ，罗；仍= 1 。 注意到可分态满足凸性，即若a ，p ：都是可分态，它们的凸组合仍为可分态。 p p a + ( 1 - p ) p 2 ，0 s p s 1 ( 1 2 2 ) 这样全体可分态构成一个凸集，同样全体态即可分态与纠缠态的并集也构成一个 凸集。如下图所示。 图1 1 纠缠态与可分态 第4 页 国舫科弓乏技术大学研究生院硕士学位论文 这个定义就是目前公认的纠缠定义。最早由w e r n e r 心纠提出，他认为经典关联 态可以通过l o c c 制备，即能数学表述为可分态的形式。而纠缠态具有非经典的 统计关联，因此不能通过l o c c 制备，或者说纠缠态等价于不可分态。这个定义 实际上包含了两个前提：经典关联态等价于可分态( 直积态可理解为关联为o 的 经典关联态) ；纠缠态具有非经典关联或者说关联型非局域性。对于第二点大家 没有异议，对第一点虽然得到普遍承认，但到目前为止并没有给出证明。幸运的 是，对两体情况人们已经证实拉射：经典关联态确实等价于可分态，不可分态都具 有非经典关联。因此在两体情况下，不可分态与纠缠态是等价的。 值得注意的是这三种定义之间存在严格的包含关系1 ：b e l l 关联态是e p r 关 联态的真子集，而e p r 关联态又是不可分态的真子集，见下图。这正好体现了对 纠缠认识升华的过程。但对纯态，这三种定义是完全等价的。 图1 2 纠缠态的层次结构 b e l l 关联态：l ：e p r 关联态：i + i i ： 不可分态即纠缠态：l + l l + 1 1 1 一般来说，目前公认纠缠具有非经典的统计关联，关联型非局域性，但纠缠绝 不仅仅体现在统计关联上。对纠缠态，总系统的状态可以是完全确定的，而子系 统的状态却不确定，这是与经典世界格格不入的现象。正如n i e l s e n 乜酗曾指出：纠 缠体系中子系统反而比总系统更加混乱是量子纠缠的一个显著特征。然而纠缠的 这个性质长期以来并没有得到大家的重视，个重要原因就是缺乏合适的数学手 段来描述这种性质。直到上个世纪九十年代，人们才发现熵可以用来描述量子态 混乱度，熵不等式可以反映总系统与子系统的混乱度关系。而某些纠缠态会违背 熵不等式啪1 ，刚好体现了纠缠的这种性质。随后n i e l s e n 乜5 提出了m a j o r i z a t i o n 的概 念更好地描述了总体与子系统混乱度之间的关系，并得出了一个很好的纠缠判据。 但是这类判据的纠缠识别能力较弱，特别是不能识别p p t 纠缠态，这极大地限制 了它的应用。我们认为，这可能是由于还没找到反映纠缠这个性质的最佳数学工 具。最近提出的局域不确定关系l u r s 也可以反映这一性质，同时它还可以识别 p p t 纠缠态，因此l u r s 可能更适合反映纠缠这个性质。我们将在后续章节中具体 说明这个问题。 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 从上面的讨论可以看出，要解决纠缠的定义问题必须先搞清纠缠的性质。目 前看来，w e m e r 的定义代表了对纠缠最深刻的认识，反映了纠缠最本质的性质， 但这不等于就是最终结论。特别是这个定义只是根据纠缠的非经典的统计关联而 没有涉及纠缠另一个重要性质，即局部比总体更混乱。当然，关于纠缠的这两条 性质是否独立还值得商榷，但到目前为止，大家仍倾向于认为这两条性质是独立 的。所以我们有理由期待更好的纠缠定义，因为w e m e r 陴1 的定义可能并没有体现 纠缠全部的性质。当然要超越w e m e r 对纠缠的理解并不容易，从8 9 年提出到现 在，它从没受到任何实质性挑战。 1 3 1 算子空间 1 3 知识准备 众所周之，如果系统处于纯态则可由h i l b e r t 空间的一个矢量描述，称之为态 矢量。但如果系统处于混态则只能用一个线性厄米算子描述，称之为密度算子， 记为，多或。实际上所有作用在相应h i l b e r t 空间上的线性厄米算子本身也可以够 成一个实矢量空间，简称为算子空间乜刀。其对应的内积定义为h i l b e r t s c h m i d t 积： ( p | 害) = 乃( p 雩) = 乃( p 舌) = 打( 舌p ) = 乃( 舌p ) 一p ip ) ( 1 3 1 ) 又因为量子力学中用线性厄米算子表示力学量，故也将其称之为力学量空间。若 h i l b e r t 空间的维数为d ，相应算子空间的维数为d 2 。以下我们将用日表示h i l b e r t 空间，疗表示相应的算子空间。这样系统的密度算子实际上是算子空间中的一个 矢量。由于算子空间本质是一个矢量空间，它也可以同h i l b e r t 空间一样定义相应 的s c h m i d t 分解等数学工具。 1 3 1 1 局域正交算子l o o s 算子空间疗对应的一组正交归一完备集 龟，k - 1 , 2 d 2 包含d 2 个力学量，满 足正交归一性： ( 反l 砖) 一( 反f 砖) = 打( 反岛) ； ( 1 3 2 ) 同时还可以证明乜引，它们有以下关系式： 羹印= 刃兮耋( ( 反) 2 ) = d m 3 渤 z ( 龟) - t r p 2 其中，为dx d 单位算子，p 为系统的密度算子。例如对二维系统，我们可以取 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 向) 一击 ，或，由，盘) ，对一般的d 维系统，可以取 玩一 去( 1 川) ( 厅i + i 以) ( 聊i ) 忑1 ( f i 肌) ( 以i 珈i ) 伽i ) i 小) ( 州 1sm ns d ， 1sm ns d ， ( 1 3 4 ) 1smsd 其中 i m ) ) 是相应系统h i l b e r t 空间h 的一组标准正交基。当然 反) 不是唯一的， 但任意两组 龟) 之间可以通过实正交变换联系，因为它实际上对应实矢量空间中 的基变换。 通常我们又把复合系统中子系统所对应的 反) 称为局域正交算子l 0 0 s ( l o c a lo r t h o g o n a lo b s e r v a b l e s ) 。 1 3 1 2 算子空间中的s c h m i d t 分解 考虑一个两体系统，若 印) ， 群) 是子系统对应的l 0 0 s ，则 印 唧) 也是 复合系统算子空间h ( a ，b ) 的一组正交归一完备集。因此任意线性厄米算子 户疗即，曰) 都可以分解为如下形式： 户；( 6 7 0 碟i 户) o ? 。簖 一6 7 0 砩 若对上式中所定义的实系数矩阵c 做奇异值分解，即 c ；u r e v 灯，吼( c ) 6 灯 ( 1 3 6 ) 其中u 和y 均为实j 下交矩阵，为对角矩阵，吼( c ) 为系数矩阵c 的奇异值。而 l o o s 经实诈交变换后仍为l 0 0 s 故我们可以诜取如下两细新的i o o s ： 0 ： 6 7 弘q 6 斟 册 j 再注意到u u r = u r u i 以及v v r v r v = i ，这样有下述关系式成立： ( 1 3 7 ) 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 印2 ；【，砭8 72 ；u 盯6 7 | ( 1 3 8 ) 仁= ( y ) ：g ；= o 外 户；辜善( y ) r g k g j 一善；( ) ( y ) ：6 ： 6 ； 一( 比) 钿( y ) 二钟 o ； 一( y r ) 灯g ? 6 ； 再注意到( y f ) 一唧r r 一，故 户= ( w y r ) 灯6 ：。6 ； 一善( ) 暂o ? o ；= 善吼( c ) o ：。6 ； ( 1 3 1 0 ) 。吼( c ) o ：0 6 ： 第8 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 1 3 2 1 转置t 定理1 3 2 1 ：转置操作t 是不完全正映射啪1 。 证： 设f e i t i ( b ) 是正算子，即f 的本征值谱为 ， 2o ，则丁( f ) = f r 的本征 值谱仍为 ， 之0 。故r ( ，) 也为正算子，即t 为正映射。 考虑投影算子只。砉磊| 豇) ( 万i 。显然p + e 9 ( 彳，b ) 为正算子，但 ( l t ) 只2 砉磊阿) ( i 不是正算子。故l 。丁不是正映射。 对比不完全正映射的定义，即知t 确实为一个不完全正映射。值得注意的是 ( i ao 丁) p = p ，( lo 丁) 实际就是部分转置操作。在下一章可以看到，这个映射 正好可以用来构建著名的p p t 判据。 1 3 2 2l 映射人：f ( 乃f ) ，一， 定理1 3 2 2 ：a 是不完全正映射凹1 。 证： i 5 j t f e i t i ( b ) 是正算子。即f 的本征值谱为 丑，丑之0 ，贝, l j a ( f ) 的本征值谱 仍为 一肿一 ) 。注意到m 一j ，则一肼一 一川- o 。故人( f ) 也 、 j一j l 一j - l l 、o 为正算子，人为正映射。 类似可以证明，。 人不是正映射。我们在下一章将提供具体的反例。 对比不完全正映射的定义，可知人也是一个不完全正映射。在下一章我们也 将用这个映射构造一个重要的纠缠判据约化判据。 1 3 3 量子通道 在纠缠识别过程中，待测态经适当的预处理后往往会得到更好的探测效果。 完成这些预处理后，原来的态转变成了另外一个量子态，因此又被形象地称为通 过了一些量子通道。在这一小节我们简要介绍一些在纠缠识别领域经常用到的量 子通道。 1 3 3 1 一般量子通道 量子通道泛指将一个量子态映射到另一个量子态的操作。但同上一小节介绍 的不完全正映射不同，它始终将一个量子态转变为一个量子态，而不完全正映射 则有可能将一个态映射为非态，即非密度算子。从数学角度看，量子通道就是一 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 个迹不增的完全正c p 映射。m 1 ： p 人( p ) n ( 人( p ) ) ( 1 3 1 1 ) 对任意量子态p ，满足乃( 人( p ) ) s 1 。打( 人( p ) ) 为态p 通过这个量子通道转 变为态人( p ) 丹( 人( p ) ) 的成功概率。 更一般地，映射人可以用k r a u s 算子表示： a ( p ) 一k ( 1 3 1 2 ) 其中yk 口si 。 乍 1 3 3 2 可分操作 考虑一个两体复合系统h ( a ，b ) ，若对这个系统态p ( a ，b ) 进行的操作总是保 持态的可分性，即它总是将可分态转变成可分态，则这个操作称为可分操作。其 数学形式可写为啪1 ： 人嚣( p ) a 4o 垦p 4 耳 4 4 t 。孟目。l a i b ( l 3 j 3 ) 7 其中k r a u s 算子4 ，4 只作用在子系统h o ) 上，而k r a u s 算子最，耳只作用于子系 统h 佃) 。由于可分操作不改变态的可分性，在纠缠探测时我们可以先对待测态进 行可分操作预处理，再利用其它手段探测。 1 3 3 3 随机可分操作l o c a lf i l t e r i n g 这类操作与可分操作一样，也保持态的可分性，但是成功的几率不为一。可 以将其直观地想象为随机成功的可分操作1 。 l a 固b i p 雹固b ： 孵( p ) 2 参丽( 1 3 “) j a 砖固b i 毯sl a i b 相应成功几率为。矾4 t e 群p 。显然可分操作只是随机可操作的一个特 例，我们平常熟悉的局域幺正操作、局域一般测量、局域操作与经典通信l o c c 也都是这类操作的特例。 1 3 3 4 最优l o c a lf i l t e r i n g 前面已经提到经过l o c a lf i l t e r i n g 预处理后，我们可能达到得到更好的纠缠探测 效果。但一般地具体给定一个态，我们将进行哪种l o c a lf i l t e r i n g 以达到最好的结果 第1 0 页 呢? 文献 3 1 提出了一种可操作的办法实现最优l o c a lf i l t e r i n g ，经过这个操作后， 态p 将转变成称为f n f ( f i l t e rn o r m a lf o r m ) 的形式： j d 肿i ( 吒) p ( e ) t 乏i _ ( l 。l + ；最硝。臂) ( 1 3 1 5 ) 其中鼢，刁) 和悔，臂卜是算子空删椰即，的一组政归一完备 集。 硝) 以一。、 砰) 乖。实际上分别是子系统s u ( d ；一1 ) 、s v ( a ；一1 ) 群的厄米生成 元。虽然这个操作只保证对满秩态绝对成功，但对非满秩态我们可以以任意小的 误差接近f n f 。先将p 与白噪声混合得到一个满秩态声 p = ( h ) 舭等， 1 ( 1 3 1 6 ) 这样满秩态声可以通过最优l o c a lf i l t e r i n g 转变为n 晒： ( 只 戽) 乃( 元。危) 。壶( l 。厶+ ；最露。臂) ( 1 3 1 7 ) 注意到， ( 元。危) p ( e 丘) = ( e 。最) 卜) 州等) ( e 元) ；( 1 一) ( 只。最) p ( 只 瓦) + d a l d n ( e 曰) o ( 丘露) ( 1 3 1 8 ) 移项即得 ( e 。丘) p ( 只。丘) 一去( l 。+ ；鲁露。鸳) +万瓦吾习ni1dd1 k 一( 只曰) 。( 最露) 】 + 7 弋i。矽口一i ，。，ji 眇i ，。，：i | 一8 ( 一) l 4 。4 、“47、4 4 7 j ( 1 3 1 9 ) 其中右边第一项即是我们需求的f n f ，而第二项中 ( 只露) ( 瓦露) s l l ( 1 3 2 0 ) 因此第二项仍为正算子且有界，故 g 吣( 瓦。最) p ( 只 戽) h 去( l 。+ ；鲁露。露) ( 1 3 2 1 ) 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 录) ，且一般情况下，特别是在纠缠识别领域中，我们只需关心最后的f n f 形式 而不用考虑相应的k r a u s 算子。 在这个被称为f n f 的态中，各子系统都处于白噪声态完全混态。这也可 能是为什么用l o c a lf i l t e r i n g 预处理后，我们往往能获得到更好的纠缠探测效果的原 因。因为这种形式的态更有利于体现局部比总体更混乱这一纠缠态的特征性质。 例如，两个q u b i t 系统中的最大纠缠态4 个b e l l 态，它们相应子系统态都是自 噪声态。我们将在后续章节中看到这个操作重要作用。 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院硕七学位论文 第二章两体纠缠识别重要结论 如果已知态的具体形式，如何判断它是否是纠缠态呢? 在第一章中我们已给 出了纠缠态的定义，一个自然的想法就是根据这个定义去判断待定态是否是纠缠 态。但不幸的是这个方法的复杂度已被证明是n ph a r d 盼引不具备可操作性。 注意到纠缠态和可分态是互补的两个集合，如果我们能判断一个态是可分的它必 定不是纠缠态；相反若能判断一个态不是可分的，它必定就是纠缠态。从这个角 度看，纠缠识别问题等价于判断态是否可分，也就是所谓的可分性问题。由于可 分态有明显的数学表达式，更容易做数学分析，因此目前普遍采取判断可分性这 条迂回路线。主要思路是先通过可分态的性质得出可分的必要条件，如果待定态 不满足这个条件即可判定它是纠缠态，如满足则这次尝试失败，需要进一步识别。 在实际工程应用时往往并不知道态的密度算子，上述方法不能直接使用。这 时需要把可分态的性质与可观测量联系起来而不仅仅是数学形式上的联系。当然 我们可以先用态层析技术t o m o g r a p h y 得出态的密度算子，再用可分判据识别。 但这往往大大增加了实验复杂度，缺乏效率。目前的主要办法是设计一个或一组 合适的力学量纠缠w i t n e s s ，然后进行测量。对可分态，其平均值总是非负； 而对纠缠态，其平均值总是负的。 由于纯可分态等价于直积态，因此非常容易判断其可分性。例如，只需简单 地计算子系统的约化密度矩阵，若其本征值谱只有 aa 1 一项，则为可分态否则 为纠缠态。下面我们分别介绍一些重要的纠缠判据或者说可分性判据和纠缠 w i t n e s s 。 2 1 基于不完全正映射的可分性判据 在1 3 2 小节中我们已指出不完全正映射总是把可分态映射成正算子，但对纠 缠态却没有这样的性质。这正是可分态区别于纠缠态的一个重要性质，因此我们 可以用来构成可分性判据。下面我们先介绍一个重要的定理。 引理2 1 啪1 ：两体系统态p 可分，当且仅当对任意不完全正映射a ，( ，。o a ) p 总是一个正算子。 我们可以这样直观理解：对纠缠态p ，一定存在某个不完全正映射将其映射 成非正算子，若在所有不完全正映射下仍是正算子的话则只可能是可分态。这个 引理原则上提供了彻底解决纠缠识别的办法，但如同用纠缠的定义来判别纠缠态 一样，一般情况下是不具备可操作性的。幸运的是，我们可以运用这条定理的必 要性得出很好的可分性判据。 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 2 1 1 p e r e s 判据【1 7 1 定理2 1 1 ： 两体系统态可分，则它的部分转置p = ( i _ o 丁) 儿为正算 子，即p 矗乏0 。 注意到转置t 是不完全正映射，由引理2 1 的必要性即可推出p e r e s 判据，也 就是著名的部分转置正p p t 判据。为了更明显地看出这一点，我们给出一个简单 的证明。 证： 由于是可分态，根据定义具有如下形式： p 知= b n 似) 肛( b ) 其中只是非负的权重系数，肛似) ，n ( b ) 分别是子系统a ，b 可能态。则 p 一( i a 丁) 一见( lo 丁) ( 肛( 彳) 肛( 曰) ) ( 2 1 1 ) 一p 肛似) 鲥( 曰) 显然( b ) 为正算子，可以用来描述子系统口的某个可能状态。故p 仍为一个可 分态，当然也是一个正算子。 需要指出的是p 巧之。与p 矗o 是等价的。p l 一( j d r ) 毛t ( p 毛) r ，而转置不会 改变算子的正定性。通常我们把满足p p t 判据即部分转置正的态称为p 盯态，而 把不满足p p t 判据即部分转置负的态称为n p t 态。注意到p p t 态也满足凸性，全 体p p t 态也构成一个凸集。 图2 1p p t 态与n p t 态 由p e r e s 判据可以看出：所有可分态都是p p t 态，所有n p t 态都是纠缠态。