（应用数学专业论文）三阶差分方程边值问题.pdf

摘要 本文首先研究了三阶非线性差分方程 3 u ( t 一2 ) + n ( ) ，( “( ) ) = 0 ，t 【2 ，t + 2 满足多种边界条件时的正解存在性和二解性，其次研究了特征值问题 a 3 u ( t 一2 ) 十a a ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，t 2 ，t + 2 在满足不同边界条件时正解的存在性及二解性我们给出了各自边值问题的g r e e n 函数的具体表达式，使正解存在性及二解性的判断较为方便并且分别举例说明定理 的应用 a b s t r a c t f i r s t l y l s o m ec r i t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n dt w o p o s i t i v es o l u t i o n sa x eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l yf o rt h et h i r d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n ： 3 “ 一2 ) + o ( ) ，( u ( t ) ) = 0 ，t 【2 ，t + 2 】， s a t i s f y i n gs e v e r a ld i f f e r e n tt y p e sn fb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h es e c o n dp a r ti sd e v o t e d t od e t e r m i n ev a l u e so faf o rw h i c ht h e r ee x i s ta tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n dt w o p o s i t i v es o l u t i o n sf o r 3 u o 一2 ) + a a ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，t 2 ，t + 2 s a t i s f y i n g s e v e r a ld i f f e r e n tt y p e so fb o u n d a r yc o n d i t i o n s w eh a v ep r e s e n t e dd i f f e r e n t f u n c t i o ne x p r e s s i o no fg r e e nf u n c t i o n s s ot h e j u d g e m e n to f t h ee x i s t e n c eo no n e p o s - i t i v es o l u t i o na n dt w o p o s i t i v es o l u t i o n sb e c o m e sc o n v e n i e n t a tl a s t ，m a n ye x a m p l e s h a v e 西、r e nt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o n so fo u rt h e o r e m s 1 序言 非线性差分方程已广泛应用于计算机科学，经济学，神经网络，生态学等学科中 出现的离散模型在过去的十年里，关于差分方程定性性质的研究成果出现于大量的 文献中，这些文献涵盖了差分方程的许多分支，如有界性，稳定性，周期解与振动性 等这些问题的详细讨论可参阅文献【8 j 及其中的参考文献然而关于差分方程边 值问题的正解存在性及多解性的研究成果相对较少 另一方面，对微分方程边值问题解存在性的研究，早在所谓的s t u r m ( 斯图姆) 和 l i o u v i l l e ( 刘维尔) 时期就已经开始了至今在这方面已有广泛深入的研究多种非线 性分析的工具和方法被应用到该问题的研究中，主要有上下解与单调迭代法 9 - 1 2 ) 、 拓扑度同伦方法 1 3 - 1 5 】、变分方法与临界点理论 1 s - i s ) 、不动点理论等而经常使用 的k r a n s n o s e l s k i i 不动点理论是其中非常著名的一个这个理论最早是k r a n s n o s e l s k i i 于1 9 6 1 年发表的文1 1 9 j 中提到的，其后g u o 和l a k s h m i k a n t h a m 2 0 】在巴拿赫空间的 闭凸锥上使用这个算子理论并得到锥面上的一个不动点定理 文 2 1 - - 2 4 】等在解决环形区域上非线性椭圆问题时，应用k r a n s n o s e l s k i i 不动点理 论研究了下列二阶边值问题： “：? 佃艘叫”) = 仉 挺k ，6 】， ( 1 ) iu ( n ) = “( 6 ) = 0 ， 一 得到了上述边值问题的正解存在性e r b e 和w a n g 2 5 】等人研究了三阶边值问题： 怯等二u 。t 淤嚣，= 0 ，徙 0 1 】 iu ( o ) = ( o ) = 札( 1 ) = ， 一 接着，e l o e 和h e n e r s o n f 2 6 2 7 】把它们推广到1 1 阶微分方程； u ”( t ) + o ( t ) ，( n ( t ) ) = 0 ，t f 0 ，】，( 3 ) 分别满足下列两种边值条件。 “。( o ) = u ( n - 2 ) ( 1 ) = 0 ，o s i s7 2 2 ， ( 4 ) 在，为超线性或次线性情形下正解的存在性 2 ( 5 ) 2一n 一 z 一 oo | | iu j | 、j o ，【 u 和 近几年来m e r d i v e n c i ，a g a r w a l ，h e n d e r s o n 及w a n g 等人将微分方程边值问题 的一些结果推广到离散情形m e r d i v e n c i ”一删研究了二阶边值问题： 2 “o 一1 ) + n ) ，( 让( 2 ) ) = o ， 1 ，丁+ 1 1 ， ( 6 ) 【u ( o ) = u ( t 十2 ) = 0 ， 在，为超线性或次线性情形下给出了正解的存在性定理并把结果推广到2 n 阶情 形 a g a r w a l ，h e n d e r s o n 3 1 】考察了三阶差分方程边值问题： 3 u ( t ) + n ( t ) ，( u ( t ) ) = 0 ， 。【o ，t 】， ( 7 ) iu ( o ) = u ( 1 ) = “( 丁+ 3 ) = 0 ， 得到了其正解的存在性，同时还考察了特征值问题： 3 ( t ) + a a ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，t 0 ，7 1 】，( 8 ) 给出满足上述边界条件时正解的存在性定理文 3 2 】在，为半线性情形下推广了相关 结论但是文f 3 1 3 2 都未能给出具体的g r e e n 函数，因此不论在定理的证明上， 还是在解的表达式上，都令人感到有所欠缺 注1 在文 3 1 】和 3 2 】中，方程a 3 “( t ) + o ( t ) ，( “( t ) ) = 0 的定义范厨为t 【2 ，t + 2 】，据本文作者的考察，应当改为本处的t 【0 ，t 】才有意义特作此说明 本文受以上工作的启发，研究如下三阶非线性差分方程： a 3 “0 2 ) + o ( t ) ，( “0 ) ) = 0 ，t 2 ，t + 2 j 满足下列边界条件之一 u ( o ) = u ( 1 ) = u ( t + 3 ) = 0 ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = x u ( t + 2 ) = 0 ， u ( o ) = u ( 1 ) = a 2 u ( t + 1 ) = 0 ， u ( o ) = a 2 u ( o ) = a u ( t + 2 ) = 0 a u ( o ) = a 2 “( o ) = u ( t + 3 ) = 0 ， 时的正解存在性和多解性同时研究了相应的特征值问题t a 3 钍( t 一2 ) + a ac t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，t 【2 ，t + 2 】 3 在满足上述边界条件之一时正解的存在性及多解性本文给出了上述各种边值问题 的g r e e n 函数的具体表达式，改进和推广了文【3 1 3 2 】，并使正解存在性及多解性的 判断较为方便最后分别举出例子说明本文定理的应用 本文作如下安排：在第一章我们给出了在相应边界条件下的g r e e n 函数及其性 质第二章我们给出了三阶差分方程边值问题至少一个正解存在性及二解性第三章 我们给出了三阶差分方程特征值问题至少一个正解存在性及二解性 我们注意到，在微分方程边值问题的研究中，有许多现成的g r e e n 函数公式， 另一方面，由于把微分方程边值问题转化成含有g r e e n 函数的等价积分方程的过程 中，可以充分利用d i r a c 一6 函数的性质和微积分学的计算公式，同时这种转化通常 是较易实现的而对于差分方程边值问题而言，求g r e e n 函数的表达式和把差分方 程转化成等价的和式方程时牵涉到大量繁琐的计算，而使问题显得更加复杂本文的 意义在于我们求出了上述所有边值问题的g r e e n 函数的具体表达式 最后，我们给出本文中将要用到的不动点定理 定理a设b 是b a n a c h 空间，k 是b 中的闭凸锥。n 1 q 2 是b 中的有界 开区域口eq 1c 豆1cf 2 2 ，算子a ：k n ( _ 2 q 1 ) _ k 全连续，若下列条件之一成 立： ( i ) i i a z i l i i x l i 对可z 尺n a q l ，l l a x i 1 1 2 1 l 对v z k n a q 2 ( i i )i l z | | l l z | | 对v zek n a n l ，i i a x l | i i z | | 对v x k n a n 2 ， 那么 在kn ( n 2 n 1 ) 中必具有不动点 4 第一章边值问题与g r e e n 函数 在本文中我们记： f m ，n = l y t ，m + l ，一，n cz ，v z r ，吲表示对z 取整， a y ( k ) = y ( k 十1 ) 一y ( k ) ，a ”y ( k ) = a ( a “一1 ( ) ) ，n 2 ，n n ，。= 甄掣，厶= 鞣掣， a 等于0 或者。 考察如下三阶差分方程： a 3 u ( t 一2 ) + o o ) ，( ( t ) ) = 0 ，t 2 ，t + 2 】，( 1 ) 满足下列边界条件之一： u ( 0 ) = u ( 1 ) = u ( t + 3 ) = 0 u ( o ) = u ( 1 ) = a u ( t + 2 ) = 0 ， “( o ) = u ( 1 ) = a 2 “( t + 1 ) = 0 ， 4 ( 0 ) = 2 u ( o ) = a u ( t 十2 ) = 0 ， a u ( 0 ) = a 2 u ( o ) = u ( r + 3 ) = 0 ， 这里，：r + _ r + 连续，o ( ) 是定义在 0 ，t + 3 】上的正值函数 定义1 1t “( t ) 称为问题j j j ，俐一= 2 ，纠的正解如果满足 俐y i ： 0 ，t + 3 - - + 【0 ，。) ，且q ( t ) 不恒等于口， f 训毗( ) = g d t ，s ) n ( s ) ，( u 。( s ) ) ，t 0 ，t + 3 ， 其中：t f 0 ，t + 3 】， g 2 ( t ，s ) = g 3 ( t ，8 ) = g 4 ( t ，s ) = g 5 ( t ，s ) = g 6 ( t ，s ) = t ( t 1 ) ( t + 3 - s ) ( t + 4 - s ) 一【生! l f 生! ! ! 1 2 ( t r 3 ) ( t 2 1 2 坐= 12 i ! ! = 苎2 i ! ! = 盟 2 口+ 3 ) ( t + 2 ) ! 韭= ! ! i ! ! = 兰2 一f ! 二盟i ! = ! 1 2 2 ( t + 2 、 2 坐= 12 笾! = 生 2 ( r 十2 j 韭业一f 生! j i 二! ! ! 1 22 坐丑 2 ( 丁+ 3 5 ) 一韭二韭唔! 业， t ( t + 3 一s ) ， ( t + 3 - a ) ( t + 4 - s ) 一【二1 2 i 生! 1 2 22 ( t + 3 - s ) ( t + 4 - s ) 5 2 s t t 8 t + 2 ； 2 s t t 8 t + 2 ： 2 s t t s t + 2 ； 2 5 t t 8s t + 2 ； 2 8 t t 8 t + 2 ； 2 3 4 5 6 ，f【rfl ri r s 时，定义二元连续函数： g ( s ) 坐- - 一1 丛! 二一3 - s ) ( t + 4 - s ) 2 ( t + 3 ) ( 丁+ 2 ) 壁二型! 二三型2 s s 2 时， g 3 ( t + 1 ，s ) 一g 3 ( t ，s ) = 壁墨t 尘+ 2 垒生0 ， 所以有： 当t s 时，有0 曼g 3 ( t ，s ) g 3 ( 丁十2 ，s ) = 垒二必；兰= 丑， 当ts s 时。有g 3 0 ，s ) g 3 ( 文s ) = s s - 2 1 仃) ( t + + 2 、a - s ) 垃二n 唔曼= 丑， 综合之有： o a 3 ( t ，s ) sg a ( t + 2 ，。) ：量兰二! ! ：掣，( t ，s ) 0 ，丁+ 3 】【2 ，7 、+ 2 1 ， 另一方面 7 当tss 时。g 3 ( t ，s ) = 业掣哗= g a ( 2 , s ) 当t s 2 时： g 3 ( t ，s ) g 3 ( s + 1 ，s ) 一 s ( s + 1 ) ( 丁+ 3 一s )， 2 + 2 ) 1 s ( s 一1 ) ( 7 t + 3 一s ) s ( t + 3 一s ) ， 2 ( t + 2 ) 。 ( t + 2 ) s ( s 一1 ) ( t + 3 8 ) ( s 一1 ) ( t + 2 一s ) z ( t + 2 ) 。 ( t + 2 ) s ( s 一1 ) ( t + 3 一s ) 2 ( ，+ 2 ) 等等：g 3 ( 2 ，。) 丁+ 2 。 所以有： 嘶啦掣娟( 2 ，s ) 综合之，有g 3 ( t ，s ) g 3 ( 2 ，。) = 可t + 3 - s 兰卫生掣f 可知面 当i = 4 ，5 时证n h - 法类似，我们不再重复 最后考虑g 6 ( t ，s ) 由其表达式可得 o g 羽，泌g 6 ( s 沪坠半- s ) 巾，s ) 【咿+ 3 】【2 ，丁+ 2 g 6 ( t ，8 ) 兰g 6 ( 丁+ 2 ，s ) ! ! ! 二12 f 三! 二1 2 上 2 ( t + 2 ) ( t ，s ) f 2 ，t + 2 】【2 ，t + 2 引理1 1 证毕 注2 对于g 2 ( t ，s ) ，如取t = 1 0 ，s = 3 ，则由引理可得r ( s ) = 8 经计算验证有 面1 g ( 8 ，3 ) g 2 ( ，3 ) g ( 8 ，3 ) ，v t 【2 1 2 8 第二章三阶差分方程边值问题正解存在性及二解性 设b 为b a n a c h 空间： b = “i u ：【0 ，t + 3 】_ r + ，其范数定义为l i | | = 。；翟癸l “( 吼且设： g 2 如b ”( 。) 0 , t 邙，丁+ 3 m 叫i n + u ( 。) 尬i i u i t - 易知g ( z = 2 ，6 ) 分别是b 中的锥定义： 丁十2t + 2t + 2 戛g t ( 刚) ( s ) _ 。嚣髯。】三g t ( ，s ) 。( s ) ，至g t ( ，s ) n ( s ) 作算子s i ：c i - b 定义如下： 丁+ 2 s “( ) = 乏：g ；( ts ) 。( s ) ，( u ( s ) ) ，t 【0 ，t + 3 】 5 = 2 为了得到边值问题( 1 ) ，( i ) ( i = 2 ，6 ) 的一个正解，我们只须在锥g 中找到算子& 的 一个不动点 引理2 1 & ( g ) g ，且s ：g _ + g 为全连续算予 证明仅就i = 2 证明，其余类似 事实上，对v u c 2 ，由格林函数g 2 ( ，s ) 的性质知：8 2 u ( t ) 0 ，t 0 ，t 十3 】 且由引理1 ，1 可得： ? + 2r + 2 岛“( t ) = g 2 ( t ，s ) o ( s ) ，( u ( s ) ) 兰9 2 ( s ) n ( s ) ，( “( s ) ) s = 2s = 2 故有 ? + 2 | j 岛训is 啦( s ) o ( s ) ，( u ( s ) ) j = 2 从而，对v u g ，有 吨m r i n + 2 】“( ) 2 。瞎至g 。( 酬s ) 伽( s ) ) 万玎罟彳而t + 2 2 9 ：( 。) 。( 。) m ( 。) ) ( 丁+ 1 ) ( t + ) 岛w p 严p 川p p 川 两褊怜u i i 即有：s 2 ( c 2 ) q ，另外由f 的连续性知岛全连续 9 snsg m m n 斗d j “m p 定理2 1 当下列条件之一满足时： f ，0 茎，o 亍i 一一， e m ( s ) n ( s )m 1 g ，( ”) n ( s ) 一一0sf 了干r l 一一 m ( ，) n ( s )m i g i ( a ，s ) a ( s l 烈边证r 遗( i 。l i ) 诘2 ，6 1 | 枉c t 寺! 岁鲁柱一个正解 证明仅就i = 3 证明，其余类似 这里如( s ) = 竖壁掣，= i 亍桶先证情形( i ) ，由，。= 甄掣及条件 ( z ) ，存在h 1 0 ，使 m 西甄1 “。曼“日l 作开子集q = z b ii i x l 0 ，使 ( 7 ) 设h 2 = m a x 2 h l ，击蕊) ，且作q 2 = x b if l x l l 0 使0 。使，【u ) 琴志忑“ 下面分两种情形： ( 9 ) 。 “ 皿 ( a ) f 是有界的； ( b ) f 是无界的 翌于子情形( 8 ) ，可设o 0 使当0 m a x 2 h 3 ，h 4 使0 s 凰时，( ) ，( 凰) 作n 4 = 3 7 bi j z | | 茎风) 对v u c 3 ，i m i = 吼我们有 茎t + 2 e9 3 ( 。) 。( 。) 再r 三一矾 茎 5 ) o ( s ) 再r 二一矾s = 2 9 3 ( k ) a ( k ) = 2 = j - 因而 l l 岛“j | f i “v u 岛n a q 4 ( 1 1 ) 对( 9 ) ，( 1 0 ) 式或者( 9 ) ，( 11 ) 式应用定理a 得岛在岛n ( - 4 2 3 ) 上有不动点，此不动 点就是边值问题( 1 ) ，( 3 ) 一个正解证毕! 推论2 2 当下列条件之一满足时： ( 站f 。= 0 ， 。= o o ； t t )i “= 0 ，f o = 。 则边值问题r j j ，何一= 2 ，纠在a 中至少存在一个正解 例2 1 考虑边值问题： 3 ( k - 2 ) + 丽f 可丢i 酉而( 5 珊) + w = 呲【2 ，7 十2 y ( o ) = ( 1 ) = y ( t 十3 ) = 0 ， 0 ， i , m 是任意非负实数这里，取f ( y ) = ( 5 y + m ) 7 且易知f 为次线性， 口( 2 丽话j i i 亍鲁f 两；而，满足推论2 2 之条件，因此在g ；中必存在至少一个 正解如y ( k ) = k ( k 一1 ) ( ? + 3 一) 为所讨论边值问题的一个正解 例2 2 考虑边值问题： 3 啪_ 2 ) + 丽f 蒜南( 码+ 3 ) 7 = 。，竞【2 ，7 1 ”( o ) = y ( 1 ) = a y ( 7 ) = 0 ， 这里o r 1 ，取，b ) = ( 7 + 3 ) ，则，满足次线性，口( 七) = 而两可击丽， 满足推论2 2 之条件，因此在g 中必存在至少一个正解知毅是) = ( 七一i ) ( i i 一) 为所给边值问题的一正解 1 2 巩， s0s 岛 m m 一 我们注意到，如果g 。f ，s ) 的具体表达式未给出，则定理2 1 的具体应用是困难 的正因为本文给出了g ，( ，s ) 的表达式，因此使得定理2 1 的应用变得可行，这正 是对文【3 2 】结果的改进 定理2 3 假设m a x f of 。 赢所以存在。 再r 一 eg 2 ( f ，3 ) d d = 2 作n 1 = z b | | | z | | 56 n 2 = z bj i i = i i 6 2 ，对v u c 岛n0 d 1 ，| i u | i = b 且“( s ) 而最两= 两赤两b - 。s 2 ，丁+ 2 】，故： r + 2 而“( f ) = g t ( ，n ( s ) ，( u ( s ) ) s = 2 兰 因而我们得到： | | s | “i f l h | f ，v u q na n l ( 1 2 ) 同理可得： i is 2 i l2 | ，v u q n a q 2 ( 1 3 ) 另一方面，由f o 匹r l 一一知存在0 a 1 盟， n 蜓 i 一 sa l = i m 故有 f i 岛t f | si l “| | ，v u q n a q 3 ( 1 4 ) 由f 0 使z 【d ，+ 。) 时有： ，( z ) m a x a 2 , d 则有。婴。m 曼誉：蒜口2 作吼= 。b j 妯 对 v u g 2na n 4 ，8 = 0 2 有：s 2 “曼a 2 = 1 1 “l | 故有 岛u f | s kv u q na q 4 ( 1 5 ) 当，( 。) 有界时，设；墨毕k ，( 。) = m + 。，令a 22 m 薹g 2 ( 正8 ) n ( s ) 十6 2 则 对v z 【0 ，十。) 有，( z ) m 亍干r 上一0 2 ，特别地当z 【0 ，n 2 】时， ，( 工) g 2 ( a ，s u ( s ) f i 广l 一一n 2 作n 5 = z b 刘茎0 2 ，可得 g 2 ( o s p ( s ) 昌u | | s | m | | ，v u qn a q 5 ( 1 6 ) 由式( 1 2 ) ( 1 3 ) ，0 4 ) ，( 1 5 ) 或者式( 1 2 ) ，( 1 3 ) ( 1 4 ) ，( 1 6 ) 及定理a 可断言，边值问题( 1 ) ，( 2 ) 存在两个正解u 1 ，2 q 且满足0 1 | i l | | b t 雨! 一，且有 m ，g 。( ) d ( s ) s = 2 则边值问题一j ，俐一= 2 ，卅在r t 中至少存在两个正解 证明：仅就i = 2 证明，其余类似 因为。i n f 岬m a x ! ， t + 2g t ( 磊，所以存在。 。 。： d l o 使z 【o ，d 1 】时有，( z ) 2 g 2 ( a ，_ ) 。( s ) 器幽兰l z 作q 3 = 扛b l d 1 ，对v u q na q 3 ，i ：d j 有： 2 上，g 2 ( a ，5 ) o ( 6 ) ，( “( s ) ) 兰1 1 ：s 丝l 【! 生“( s ) ，s f 2 ，丁+ 2 】故 2 l 7 2 ( a ，s ) 口( 3 】 r + 2 s 2 ( 口) = g 2 ( a ，5 ) n ( s ) ，( n ( s ) ) t + 2 g 2 ( a ，咖( 。) 果掣，咖( s ) 岩丛竺型 3 。2 2 g z ( a ，s ) 0 0 = l i t 1 1 ， 2 故有 i i s 蚰( t ) f f lv u 岛n0 d 3 ( 1 9 ) 由， i 爹烛，存在d 2 。2 0 使z | d 2 ，+ o 。) 时有：，扛) 2 g z ( ) o ，) 擎灶z 作q 4 = z b z | | s d 2 ，对v u gn 0 9 t 4 ，1 1 f i = d 2 有： 2 g 2 ( ) d ( s ) 岛u ( o ) = g 2 ( o ，s ) o ( s ) ，( u ( s ) ) 1 5 s 似 sos 皤 m d 叫 一 q 甄 坞 故有 葚g 2 ( a ，。) 0 ( s ) 罢掣。( 。)，s ) o ( s ) 若二坐= 土“( s ) s 3 2 2 g 2 ( as ) a ( s ) _ = 2 = l l u l l ， 5 ；u f fsf f “i f ，v u qr 口n 4 f 2 0 ) 由式( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) ，( 2 0 ) 应用定理a 可断言，边值问题( 1 ) ，( 2 ) 存在两个正解1 ，2 g 且满足d ls ，i l a - o m i p 主z 如= + ，。= + 。 再r 一，o = 0 ，。= 0 三日托咖( s ) 姒迎氇问题f 1 ) ，f t ) ( 诘2 ，6 ) 枉c t 寺至少軎柱两个正解 例2 3 考虑边值问题： a 3 ( 一2 ) + 6 女2 ( 女一1 ) 2 ( 1 4 一女) 2e x p k ( k 1 ) ( 1 4 一) y o ) = y ( 1 ) = a y ( 9 ) = 0 ，k f 2 ，9 2 ( 女) e y ( ) = 0 这里属于边值问题r u 俐，取，( 9 ) 2y 2 e ，n ( ) = 研f 可再商泸6 面可i 可丽= 可， 显然有，o = 0 ，”= 0 ，由推论2 5 我们只颈找到p 0 使m i n 必 匿广l 注意到删在y 2 ，+ 。) 上是单调非增的，令坞p 2 卿 兰g 3 征4 扣扣】 赢p 2 ，p 7 2 ) ，则由f 的性质有；，( ”) p 2 e ，去p g p 因此只须 经计算可知，当7 2 p 3 5 2 时上述不等式成立因而由推论2 5 知此边值问 题存在两个正解y l 和y 2 且有0 i ”l 0 p i l y 2 1 1 ，由于p 7 2 ，3 5 2 ，我们 可进一步推断0 i i v l l is7 2 和1 1 w l l23 5 2 事实上，此边值问题的一个正解 v ( k ) = k ( k 一1 ) ( 1 4 一k ) ，j i v l i = 3 6 0 就在上述范围之内 南 一一 第三章三阶差分方程特征值问题正解存在性及二解性 在这一章，我们考虑下列特征值问题： 3 ( 一2 ) + a ac t ) f ( u ( t ) ) = 0 ， 且满足下列边值条件( 0 0 = 2 ，6 ) 之一 “( o ) = ( 1 ) = “( 丁+ 3 ) u ( o ) = “( 1 ) = a u ( t + 2 ) = 0 ， u ( o ) = m ( 1 ) = 2 u ( t + 1 ) = 0 ， u ( o ) = 2 u ( o ) = x u ( t + 2 ) ：0 a u ( 0 ) = 2 u ( o ) = “( t + 3 ) = 0 ， ( a ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 这里，：r + 叶r + 连续，a ( t ) 是定义在【o ，t + 3 】上的正值函数。 定义3 1n ：( ) 称为问题( a ) ( i ) ( i = 2 ，6 ) 的正解如果满足 t “：f 0 ，t + 3 】_ 【0 ) 且u i ( t ) 不恒等于以 一砂u ，( t ) = g d t ，s ) n ( s ) ，( u 。( s ) ) ，t 0 ，t + 3 1 这里，g i ( t ，8 ) 定义同第一章 b a n a c h 空间( b ，”f f ) 及锥g ，常数的定义同上章且我们作作算子a ，：“_ b 定义如下： a i u ( k ) = a g i ( t ，s ) n ( s ) ，( ( s ) ) ，k 【0 ，t + 3 类似于引理2 1 的证明可得a ( g ) q ，且a ，：g _ g 为全连续算子 定理3 1 当下列条件之一满足时： 倒_ 亍干i 上一 再：r l 一， 慨g i ( q ，5 ) n ( ，) hm ( s ) a ( s ) l o 一砂1 茸r j l 一 0 使，( u ) ( ，。+ e t ) 讥0 0 使，( u ) ( 厶一e ，) u ，“ 反设 皿= m a x 2 h i ，皿掣瓦 且作q 。= 。b i1 1 2 1 1 曼也 ，对v u c 2 ，i i u l l ：h 2 有。织。1 u ( t ) 南i i “忪瓦，则 了1 2 a 2 u ( a ) = a g ( a 2 ，s ) o ( s ) ，( u ( s ) ) s = 2 1 8 2 ( 7 1 + 1 ) ( 丁+ 2 ) t 2 ，t + 2 1 ue + o ， sos g m a 一 厶 sns g 啪m a 一 就 一， 点 一心 蜊 i n 动 一 篙 酉 刮婀正。_ 一0 一屯 g 一稼 一一 训在的引砷一m钔时矾土洲 i ，、xt一o一一 a征+一叽理特由t 一试 舰辨蛐口一吲。 由给啡 再#鬻懈薅 由f o = 而l i r a 掣及条件( i i ) ，存在h a 0 使，( “) ( f o e 2 ) u ，o o 使，( “) s ( ，”+ e z ) u ，“ h 4 下面分两种情形： ( a ) f 是有界的， ( b ) f 是无界的。 对于子情形( a ) ，可设q 0 使当0 m a x 2 h a ，葳 使0 一 h q + ，曲曲驰 避衙 = 0 边值问题似，0 = 2 ，卅在g 中至少存在一个正解 例3 1 考虑边值问题： a 3 v ( k 一2 )丽f 丽 y ( o ) = p ( 1 ) = ( 7 ) = 0k f 2 ，7 】 ( 8 y ( k ) + m ) 7 = 0 o 0 此特征值问题在c 。3 中必存在至少一个正解如取a = 3 ，9 ( ) = ( 女i ) ( i i 一蜘为一正解 例3 2 考虑边值问题： 嘲七一2 ) + 1 丽而0 f 0 0 1 矸y ( k i ) + 1 面- e 两( i 矿可丌i i ：。 ( o ) = ( 1 ) = 却( 7 ) = 0 k f 2 7 这里，取，( ) = o - 0 0 1 y + 1 一e “9 ，。( ) = 丽蕊雨可可再雨皂面j 而两，且 有，o2 4 0 0 1 ，。= 0 0 0 1 ，m a = 击：曼g 3 ( o ，s ) n ( s ) = 2 0 0 3 9 ，因此由疋理，j 知当0 2 6 1 9 2 甄两2 丽1 a 甄丽丽面1= 4 9 9 时此特征值问题在g 中必存 在至少一个正解如取a = 6 ，( 女) = 女忙一1 ) ( 1 1 一 ) 为一正解 定理3 3 假设0 a 瓤忑1 ，所以存在0 6 t 下万一6 2 g 2 ( e ，3 ) o ( $ ) 作2 。= z bj | i z | | 兰6 ，n 2 = z bi i l x l l s6 2 ，对v u c 2na q t ，i l u l i = b l ，且 “( s ) 而最丽= 再责丽b l ，s f 2 ，t + 2 】，故= 因而我们得到 同理可得 t + 2 a 2 札( f ) = a g 2 ( f ，5 ) o ( s ) ，( u ( s ) ) 5 = 2 i 钍 七) o ( 七) f 2 。t + 2 a 2 u l i l l u l l ，y u q n a q l i f a 2 u l l l l “玑v u q n a q 2 另一方面，由 0 使 g 2 p p ) n 。) ，。 f 2 6 1 ( 2 7 ) 由，。= 耍吾掣，存在0 n t b ，使n 【o ，。】时有，( u ) 茎( ，。+ e t ) u ，作 n 3 = z bi l i x l l 墨n 1 ) ，对v u g 2 na 吼3 ，| l u l l = n l 有： r + 2 a 2 u ( t ) = a g 2 ( t s ) n ( s ) ，( u ( s ) ) j = 2 a 2 u i ij “，v u 岛n a q 3 ( 2 8 ) 2 1 训 + + ，j ， 盯 盯 g g m m i 础啦 a 一 。使n l 面，+ 。j 时有：，( “) 0 使当0 m a x 2 b 2 ，面 使0 a 2 时，( “) f ( a 2 ) 作吼同 上，对v u q na n 4 我们有 a 2 u ( t ) r + 2 a g 2 ( a ，s ) o ( s ) ，( 0 2 ) l ， 2 ，t + 2 】 因而 i i a 2 u l f i l “0 ，v u c 2n a q 4 f 3 0 ) 由式( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 或者式( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 3 0 ) 及定理a 可断言，边值问题( 1 ) ，( 2 ) 存在两个正解u l ，u 2 岛且满足a l m i b 1 m a x 可r 上一，下；r j 一 且有 m g t ( ) a ( s ) ，o 眦g i ( a ，s ) o ( s ) k ，i n f 麟，等】 蕊1 - 则边值问题阻，一= 2 ，刚在g 中至少存在两个正解 2 2 s ， sos 岛 m f q曲 盯g 嶝麻 一 0 使 2 g ，s ) a ( 5 ) ，o _ # 2 、( t + 1 ) ( r + 2 ) ( 2 g 2 ( a , s ) n ( s ) ) ( ，0 一e 1 ) ，= z 由，o = 百顽掣，存在0 _ 亍善! 蛆型翌一，存在e 2 0 使 2 互仉扣p k 扣 a 可# _ 竖生 ( 2 g ：( 正s ) n ( s ) ) ( 厶一e 。) 5 = 2 由厶= 县装掣，存在n 2 6 2 。使“ d z ，+ 。】时有：，( u ) 三= _ ( 厶一e 2 ) “ 作吼= z b 川z f i a 2 对v u 岛n a n 4 ，我们有 a 2 u ( a ) 故有 i a 2 u l i i l u i l ，v u q n a q 4f 3 4 】 由式( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 及定理a 可断言，边值问题( a ) ，( 2 ) 存在两个正解u 1 ，2 岛 且满足g 11 j | t 0 6 1 0 i n f 蛳 m 蜓a x 一等1 0 边值问题阻，御一= 2 ，砂在g 中至少存在两个正解 2 4 su f 刚， 0s盯 2 g f a = k s0s口岛 j f a 一 参考文献 a g a r w a lr p d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ：t h e o r y m e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s m n e wy o r k ：m a r c e ld e k k e r ，1 9 9 2 ， e r b elh x i ah y u is g l o b a fs t a b i l l t yo fal i n e a rn o n a u t o n o n i o u sd e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n s j j d i f f e q s ，a p p l 一1 9 9 5 ( 1 ) ：1 5 1 1 6 1 g y 6 r ii ，l a d a sg 。o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha p p l i c a t i o n s m o x f o r d ：o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 k o c i cv l ，l a d a sg g l o b a lb e h a v i o r 可n o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so f h i g h e ro r d e r w i t ha p p l i c a t i o n s m b o s t o n ：k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s 1 9 9 3 h a t s u n a g ah jh a r at ，s a k a t as g l o b a la t t r a c t i v i t yi o ran o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o nw i t