（应用数学专业论文）多维随机模型结构性变点检测及bayesian图模型研究.pdf

摘要 摘要 本文的研究焦点是删c a lm o d e l l i n g ，即研究多维模型中两变量在其他所 有变量给定的条件下的条件相关性。在实际中，这种条件相关性往往不是恒定的。 随着时间变化，原本条件独立的两个变量可能变得条件相关；反之，原本条件相 关的两个变量也可能变得条件独立。因此，为了准确找出多维随机变量之问的条 件相关性，我们必须首先找出模型中可能含有的变点。在估计出变点位置后，我 们在不含变点的时间块中研究各变量之间的条件相关性。 文中我们首先给出一种检测多维随机模型波动性交点的方法。该方法通过对 样本序列进行函数变换，将一个多维随机模型波动性变点检测问题转化成若干个 一维随机模型的均值漂移检测问题，然后利用小波方法解决一维随机模型的均值 漂移检测问题。模拟实验结果表明，该方法在大样本下能够准确找出变点，但在 小样本下的表现差强人意。因此，在小样本下我们对以上方法进行改进。在多维 模型的误差向量的分布给定的情况下，可以通过m o n t ec a r l o 给出检验统计量的 临界值。 然后，我们通过简化m a k r a m 喇i h 的时变图模型，得到一种基于b a y e s i a n 思想的图结构检测方法。在缺乏先验信息和专业知识指导的情况下，基于假设检 验的图结构检测方法往往由于无法正确选择原假设而无法得到正确的结果。这种 情况下，应该采用基于b a y e s i a n 思想的图结构检测方法。 最后，我们采用本文模型对中国证券市场进行实证研究，着重研究证券市场 六大板块之间的条件相关性。研究结果表明，1 9 9 5 到2 0 0 4 年问，中国证券市场 存在1 2 个波动性变点。其中距2 0 0 4 年底最近的一个变点位置为2 0 0 3 年6 月， 因此由2 0 0 3 年7 月份至2 0 0 4 年1 2 月份的数据，我们可以研究2 0 0 4 年年底中国 证券市场六板块之间的条件相关性。 关键词：g 印h i c a lm o d e l l i n g ，结构性变点，小波，b a y 髓，条件相关性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nt h es t u d yo f g r a p h i c a lm o d e l l i n g , t h a ti st h es t u d yo f c o n d i t i o n a l 化l a t i “t yo f t w ov a r i a b l e sg i v e nt h er e s tv a r i a b l e si nt h em u l t i v a r i a t e m o d e l s i np r a c t i c e , s u c hc o n d i t i o n a lr e l a t i v i t i e sa r eu s u a l l yt i m e - v a r y i n g s o m e t i m e s , c o n d i t i o n a li n d e p e n d e n tv a r i a b l e sm a yb e c o m ec o n d i t i o n a ld e p e n d e n lw h i l e s o m e t i m e st h ei n v e r s ep r o c e s sh a p p e n s s o ，i no r d e rt of i n do u tt h ec o n d i t i o n a l r e l a t i v i t i e so f v a r i a b l e sc o r r e c t l y , w en e e dt od e t e c tt h ep m b a b l ec h a n g ep o i n t sf i r s t a f t e ro b t a i n i n gt h ee s t i m a t i o i l so f t h ec h a n g ep o i n t s ，w ea r ea b l et os t u d yt h e c o n d i t i o n a ln 蜥、，i a e so f v a r i a b l e sw i t h i nat i m eb l o c kw h i c hc o n t a i nn os t r u c t u r a l c h a n g e w ef i r s tc o n s i d e r 锄a p p r o ho f d e t e c t i n gt h ev o l a t i l i t yc h a n g ep o i n t si nm u l t i v a r i a t e m o d e l s v i ap e r f o r m i n gt r a n s f o r m a t i o nt os a m p l es e r i e s w ec h a n g et h es i n g l e p r o b l e mo f d e t e e t i n gt h ev o l a t i l i t yc h a n g ep o i n t si nm u l t i v a r i a t em o d e i si n t os e v e r a l p r o b l e m so f d e t e c t i n gt h em e a ns h i f t si nu n i v a r i a t em o d e l s t h e nw ea d d r e s st h e p r o b l e m sb yaw a v e l e tm e t h o d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ea p p r o a c hb e h a v e s w e l lw h e nt h es a m p l es i z ei sl a r g e b u ti t sp e r f o r m a n c eu n d e rs m a l ls m n p l es i z ei sn o t s a t i s f y i n g s ow ei m p m v eam o d i f i e da p p r o a c hf o rs m a l l - s a m p l ec a s e w h e ns o m e a s s u m p t i o no f t h ed i s t r i b u t i o no f t h ee r r o rv e c t o ri nt h em u l t i v a r i a t em o d e li sg i v e n , w em a ys h o wt h ec r i t i c a lv a l u e sf r o mt h es i n a i l - s a m p l ed i s t r i b u t i o n so f s t a t i s t i c sv i a m o n t ec a r l o n e x t ，b ys i m p l i f y i n gm a k r a m t a l t h sm o d e li n2 0 0 3 ，w ei n t r o d u c eab a y e s i a n a p p r o a c ho f d e t e c t i n gt h es t r u c t u r e so f g r a p h s w h e np r e v i o u sa n dp r o f e s s i o n a l m e s s a g ea r ea b s e n t ，t h ea p p r o a c ho f d e t e c t i n gt h es t r u c t u r e so f g r a p h s ，b a s e do n h y p o t h e s i st e s t , u s u a l l yb e h a v e sp o o r l y , s i n c ei ti sh a r dt oc h o o s et h en u l lh y p o t h e s i s c o r r e c t l y s oi ns u c hc a s e ，t h eb a y e s i a na p p m a c h i sab e t t e rc h o i c e a tl a s t ，w es t u d yt h es t o c km a r k e to f c h i n a , s p e c i a l l yt h ec o n d i t i o n a lr e l a t i v i t i e so f s i x s e g m e n t so f t h em a r k e t ，v i ao u rm o d e l s t h er e s e a r c hr e s u l t ss h o wt h a tt h e r ea r e1 2 v o l a t i l i t yc h a n g ep o i n t sb e t w e e n1 9 9 5a n d2 0 0 4 t h ep o s i t i o no f t h el a s tc h a n g ep o i n t b e f o r e2 0 0 4i sj u n e2 0 0 3 。8 0w em a ys t u d yt h ec o n d i t i o nr e l a t i v i t i e so f t h es i x s e g m e n t sb yp e r f o r m i n gt h eb a y e s i a na p p r o a c ht ot h es a m p l e sf r o mj u l y2 0 0 3t ot h e e n do f 2 0 0 4 k e yw o r d s ：g r a p h i c a lm o d e l l i n g ， c o n d i t i o n a lr e l a t i v i t y 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名： 狡儿日期：砷年6 月g 日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 导师签名： 日期：9 。习年6 月富日 日期：“7 年月厢 砧。 摈穆 多维随机模型结构性变点检测及b a y e s i j m 图模型研究 1 1 研究背景 第一章绪论 我们人类社会存在于一个错综复杂的关系网中。这个无形的网是那么的神秘 而令人难以琢磨，往往表面上看似毫无关联的两个事物之间可能存在着密不可分 的联系，而表面看似关系密切的两个事物之间可能事实上并没有本质联系。许多 事物之间的相互关系还直接影响到人类的生存和发展，如癌症的病源是什么，全 球变暖的原因有哪些，经济危机的起因在哪里等等。因此，事物问相互关系的研 究吸引了无数学者。难怪早在两干多年前，古希腊哲学家d e m o c r i t u s 就说过：“1 w o u l dr a f f l e rd i s c a ) v e ras i n g l ec a u s a lr e l a t i o n s h i pt h a nb ek i n go f p e r s i a ” 从统计上讲，研究两个事物之间是否有关系，一个直观的想法就是求出这两 个事物的数据之问的相关系数，如果相关系数为零，则说明两事物问无关系，反 之则说明两事物之间存在某种关系。但是，历史上一个关于研究肺癌病因的例子 彻底否定了这种思想的正确性。在统计学发展初期，曾经有人对肺癌患者的数据 进行分析，发现喝咖啡和患肺癌这两者之间相关系数显著不为零，由此得到了喝 咖啡会导致肺癌的结论。这个在今天看来非常荒谬的结论，直到很多年后才被推 翻。事实上，喜欢喝咖啡的人大多喜欢吸烟，即喝咖啡和吸烟之间正相关；而吸 烟是导致肺癌的一大病因，因此研究肺癌患者的数据会发现，喝咖啡和患肺癌之 间正相关。如果在给定吸烟这个中间因素后，喝咖啡和患肺癌之间是没有本质联 系的，即喝咖啡和患肺癌是( 在给定吸烟条件下) 条件独立的。可见，研究事物 之间是否有关系并不是那么简单的问题，而g r a p h i c a lm o d e l l i n g 正是研究事物之 间条件相关性的一项有力的工具。 以上讨论的条件相关性是静态的，然而事物之间的条件相关性往往不是永恒 不变的。随着时间等因素的变化，原本相关联的事物也可能变得毫无关系。收入 与饮食消费之问的相关性就是一个好例子。在饮食消费和收入状况之外的其他生 活因素给定的情况下，一般来说一个人在饮食上的消费是和他的收入正相关的； 但是当收入大于某一水平后，饮食消费不再随着收入的变化而变化，即饮食消费 和收入不相关了。显然，如果采用g r a p h i c a l m o d e l l i n g 研究收入和饮食消费之间 的关系，我们应该对一般收入和高收入两种状况分别研究。推而广之，采用 g r a p h i c a lm o d e l l i n g 研究事物之间的相关性，必须保证模型中事物之间的相关性 第一章绪论 没有发生质变，否则，我们应该先把变点找出来，然后再按交点位置分块研究。 1 2 g r a p h i c a lm o d e l li n g 简介 本文涉及的g r a p h i c a lm o d e l l i n g 是基于多元正态假设的，因此在本节中，我 们对这一部分的基础知识做一简要介绍。关于g r a p h i c a lm o d e l l i n g 的详细介绍可 见【l 】。 1 2 1c o v a r i a n e es e l e c t i o n 模型 在多元正态假设下，d e m p s t e r ( 1 9 7 2 ) ( 2 1 首次提出了一种令精度矩阵缸i s i m a t r i x ，即协方差阵的逆) 的某些非对角线元素为零的协方差阵建模方法，即 假设l ，= ( z ，匕) 7 是服从多元正态分布的g 维随机向量，多元正态分布的 = 仨吲o - i q 似， 置仨 笱 由多元正态分布的性质知，在( e ，艺) 给定的条件下，( k ，艺) 的条件分布是二 ( k 1 1k。12y，|-南瞄_k2k1 m s ， 【：- 铲j 万万i 矿【卅：七j u 。 一她”南 l 4 ) 这也就是y l 和y ：的偏相关系数。显然，k ”= o 等价于”。w = 0 。因此，两变量 r 和是条件不相关的( 在多元正态分布中等价于条件独立) ，当且仅当矿= o 。 多维随机模型结构性变点检涮及b a y e s i a n 图模型研究 以上结论可以从另一个角度推导得到。y 的密度函数可以写成： ，( ) ，) 爿2 # y i - “2e x p 一妻0 ，一) 7 - 10 ，一) ( 1 5 ) 我们还可以将它写成： ，( j 力= e x p ( a + f y 一去y 7 缈) ( 1 回 其中， 置= ，= - l ，口一丢1 i l i i 一兰，。一2 万) ( 1 7 ) 因此，( 1 5 ) 式可以改写成： ，( y ) ：e ，畈瑾+ 至卢一一一昙妻窆七# 咒乃) ( 1 8 ) 可见，当且仅当= o 时，( 力可以表示为不含咒和不含y ，的两部分的乘积， 即密度函数可以分解。因此， 薯巧f y 、 誓，巧 营矿= 0 爨 其中符号表示条件独立。 1 2 2 g r a p h i c a lg a u s s i a n 模型 w h i t t a k e r ( 1 9 9 0 ) p 】详细介绍了c o v a r i a n c es e l e c t i o n 模型，并将其与图论结 合，发展了基于多元正态假设的无向图模型，并称该模型为g r a p h i c a l g a u s s i a n 模 型。记图g = ，刃，其中y 是节点集，e 为边集，变量i 和_ ，之间的边记为o ，力。 令x = ( 五) 。，为一个d 维多元正态随机向量，其中每个变量均由图g 的一个节点 表示。令和x = “分别表示多元正态随机向量石的期望向量和精度矩阵。 在g r a p h i c a lc r a u s s i a n 模型中，以下三者是等价的： 矗变量墨和x ，之间的边不存在，即( f ，) 仨e ； 6 变量墨和x ，在其他变量给定的条件下是条件独立的，即五u x ，l 五眦，l ； n 精度矩阵足中元素= 七。= 0 。 因此，从图g 中我们可以直观的看出变量之问的条件独立关系。 第一章绪论 1 2 3 g r a p h i c a lg a u s s l a n 模型的极大似然 假设q 维随机向量y 服从多元正态分布虬，) ，y 的组观测值为 ，”，y ”，一。1 a ”t = l y 为样本均值向量，s = ：。“一刃o ，一刃7 ，为 l n f ( y ) = - q l n ( 2 万) 2 - 1 nj 1 2 - ( ) ，- a ) 7 1 【y - z ) 2 ( 1 9 ) 弛，k ) = - n q l n ( 2 石) 2 - n l n l y d 2 - o - z y x o , ( o - ) 2 0 1 0 ) 善( ，。一) r k o _ j ) 2 善( j ，一y - - - ) r k o , ( o _ 刃+ 眵一) r k 够一) ( 1 1 1 ) 接下来我们考虑和的极大似然估计。显然，z 的极大似然估计是罗。当 以下通过一个具体例子详细说明。设】，= ( y ”，p ”，y 仰) 7 服从3 似，) ，约束 y 1 u y i f 2 ，即七”= o ，k = ( t d ) = ，i , j = l ，2 ，3 。样本协方差阵为 r 3 0 2 31 2 5 81 0 0 4 、i s = i1 2 5 8 1 7 0 90 8 4 2i i1 0 0 40 8 4 2 1 1 1 6j 多维随机模型结构性变点检测及b a y e s i j m 图模型研究 i x0 8 4 2 1 1 1 6 j ，3 0 2 3 1 2 5 8 0 6 2 0 ) r0 4 7 7- 0 3 5 1 0 、 宝= i1 2 5 8 1 7 0 9o 8 4 2i 圣- - i - 0 3 5 1 1 1 9 0 - 0 7 0 3i 1 0 6 2 0 0 8 4 21 1 1 6j 1 0 - 0 7 0 31 4 2 6j 利用以上结论，我们可以得到g r a p h i c a l g a u s a i a n 模型的极大似然值： 其中最后一项是因为窆和s 仅在= o 的对应元素上有差异，因此仃( 由) = 1 2 4 g r a p h i c a lg a u s s i a n 模型的图选择 设两个g 维g r a p h i c a lg a u s s i a n 模型m o 和m i ，对应的图分别为g o = ( e o ，t o ) 和g l = ( 局，k ) 。其中e o 量蜀，r o = 巧，则我们称m 嵌套，记为m e 腹， ”，帅为q 维随机向量y 的组观测值。考虑以下假设检验： h o ：y m o h l ：y m 1 构造如下检验统计量： g 2 = 2 ( 一l o ) ( 1 1 4 ) 其中为模型m 的极大似然函数值。检验统计i g 2 渐近服从z 2 分布，自由度为 擞蜀) 一椒e o ) ，椒) 函数求出集合的元素个数。当接受原假设时，我们认为原假 设模型比备择假设模型更贴近观测值，反之，认为备择假设模型更贴近观测值。 通过设计一定的检验次序以考察所有可能的模型，我们可以找出与观测值最吻合 的模型，即图结构。 1 2 5 g r a p h i c a lg a u s s i a n 模型与线性回归模型的关系 记工为彳的一组样本，则翘数似然函数值为： m l z , k , g ) _ - 罢l o g ( 2 咖三11 0 9 吲 善磊。( 五刊讹训( 1 1 5 ) 第一章绪论 其中，朋为的第f 个元素。 记墨，= 一，i 。由多元正态分布的性质知，在给定置，的条件下置的条 件分布也是正态的，其期望和方差为： e 瞄i l ) = 鸬一孚- p j ) = , u , - ( 乃一约) ( 1 1 6 ) j ii i ii 郧，n 吐 陆瞒i l ) = ( 1 1 7 ) 其中，( 1 3 ) 可视为以e ，为自变量，置为响应变量，残差服从正态分布的线性回 归模型的条件期望。该回归模型的系数为： 岛一詈x l ( i 酣啪 ( 1 1 8 ) 截距项为： 风= 肛一岛吩 ( 1 1 9 ) 1 3 结构性变点简介及研究现状 1 3 1 结构性变点的分类 考虑一维时阎序列 ，t = l ，2 ，栉，其期望和方差分另j 为“) 和 q ) 。如 果有“，t “和砰；o - 2 ，甜和盯2 为常数，则说明 z 来源于同一模型。否则，则意 味着 】：) 不是来源于同一模型，序列存在结构性变点。一般结构性变点可以分成 三类：期望发生变化的变点( 均值漂移) ，方差发生变化的变点( 波动性变点) 以及 期望和方差同时发生变化的交点。以上结构性变点思想可以推广到多维时间序列 和其他非时间序列模型中。 1 3 2 结构性变点理论的研究现状 很多文献对结构性变点的检测闯题进行了研究，如s h i a u ( 1 9 8 5 ) ”， y m ( 1 9 8 8 ) t 5 j , b 鹳s e v i h e 锄d n i l 【i f i 珊v ( 1 9 9 3 ) 6 1 ，谛锄d c h u ( 1 9 9 3 ) p , w a n g ( 1 9 9 5 ) s ， w o n g ，i pa n dl i ，( 2 0 0 1 ) ”，c h ，c h o ia n dz h o u ( 2 0 0 5 ) 。其中，大多数文献研 多维随机模型结构性变点检测及b a y e s i a m 图模型研究 究的是一维模型的变点检测问题，而研究多维模型变点检测问题的文献则很少。 但是，我们经常会遇到需要检测多维模型结构性变点的问题。比方说，在多维随 机过程控制中，我们常需要检测过程的期望向量是否存在漂移；在金融市场中， 市场参与者的羊群行为会导致价格的波动存在长期依赖结构，因此导致资产价格 的波动发生异变，即条件方差过程存在变点。 在多维模型结构性变点的研究中，大多数文献研究的是参数方法，特别是基 于多元正态假设的模型。s f i v a s t a v a 和w o r s l e y ( 1 9 8 6 ) 采用似然比方法检验 多元正态分布的期望向量是否存在变点。s u l l i v a n 和w o o d a l l ( 2 0 0 0 ) 1 2 1 研究多元 正态模型均值漂移，协方差阵变点及均值和协方差阵同时存在变点的检测问题， 同样的，他们也采用了似然方法。p e r r e a u l t 等( 2 0 0 0 ) t ”1 采用b a y e s i a n 方法研究 多元正态分布均值漂移问题。对于更一般的多维模型，h o r v a t h ，k o k o s z k a 和 s t e i n e b a c h ( 1 9 9 9 ) 1 “1 研究了m 步相依平稳过程的期望向量变点检测问题。 另外，t a l i h ( 2 0 0 3 ) 1 ”1 同样采用b a y e s i a n 方法检测多元正态模型的结构性变 化问题，但是他考虑的问题不同于本节第一段中定义的三种结构性变化问题。他 所检测的结构性变化是基于g r a p h i c a lm o d e l l i n g 的角度，即他研究的结构性变化 的定义为：任意两个原本条件相关的变量变成条件独立( 或者反过来) 。在找出 结构性变点位置的同时，t a l i h ( 2 0 0 3 ) i ”l 的模型同时给出了每个时间块中图的结 构。 1 4 本文研究内容及框架 本文研究多维随机变量的图的结构，即研究任意两变量在给定其他变量的条 件下的条件相关性。事实上，我们仅关心在最后时刻多维随机变量的图的结构， 因此对于一个多维随机序列，我们需要先检验它是否存在波动性变点。如果存在 变点，我们必须估计出变点的位置，然后在每一个时间块中找出多维随机序列 的图结构。 按照以上思路，本文的框架设计如下： 第二章我们研究一种检测多维随机模型波动性变点的非参数方法。在给出检 验统计量的极限分布的同时，我们还给出小样本下改进的检验统计量即其检验临 界值。最后，我们通过m c m c 模拟分别考察模型在大样本下和小样本下的表现。 第三章我们简化t a l i h ( 2 0 0 3 ) “1 的模型，通过b a y e s i a n 方法找出在同一个时 第一章绪论 间块中多元随机变量的图结构。本章模型是基于多元正态假设的。 第四章是一个关于中国证券市场六大版块之间相关性的实证研究。我们先采 用第二章的模型找出9 4 一0 3 年间我国证券市场可能存在的波动性交点位置，然 后我们在采用第三章的模型找出单个时间块中图的结构。 第五章我们讨论了两个与多元正态分布有关的f 日题。 第六章是结语。 多维随机模型结构性变点检测及b a y e s a n 图模型研究 第二章一种检测多维模型波动性变点的方法 2 1 本章引言 本章中我们考虑一种检测多维随机模型波动性变点的方法。通过函数变换， 我们把一个多维随机模型的波动性变点检测问题转化成多个一维随机模型的均 值漂移检测问题，然后通过小波方法检测一维随机模型的均值漂移。 2 2 二维随机模型波动性变点的非参数检验方法 2 2 1 模型思想 我们考虑以下二维非参数模型： 】：= ( 置) + ( 墨) l ”毛，t = l 2 ， 其中， 五) ， 为2 维随机向量序列，t = l ，2 ，；纯 为以i 五) = 0 ， ( q i 五) = ，的2 维误差向量序列，为2 x 2 单位阵。z ( ) 是回归函数( 条件期 望向量) ，( ) 是波动函数( 条件协方差阵) 。可见， i 置) = ( 墨) 。此外我 们假定： ( a o ) 俺 是f 甜随机序列，满足研( 衫b ) 2 “】 o 。 我们在本章中只讨论多维随机模型的波动性交化，因此我们假设模型( 2 1 ) 中的( ) 已知，不失一般性，我们设( ) = 0 。记( 置) 为： ( 墨) = o ，i s f s m ， l ， f s 鸭， ， ， ( 2 2 ) p l ，m p - l f m p ， ，m p f s 其中，i f ，是未知参数矩阵，p 是一未知正整数，( 2 2 ) 中共有p 个 交点，1 9 i p ，我们记= 心】，o g l ，f = l ，2 ，p 。我们的目的是检 验】：的条件协方差阵是否存在交点，即( 五) 是否存在任何变点。因此，检验以 下假设： 第二章一种检测多维模型波动性变点的方法 上：i = 2 一- - - * oo = ，= 。 竭：l 不全相等( 2 3 ) 事实上我们可以将( 鬈l 置) 展开，得到： c 砒，= 意矗恐，黝砦 g 棚 其中，是i 的第f 维元素。可见，( i i 置) 恒定等价于v 到，i 置) ，v 缸o 2 ，i 置) 和c o v ( y i ，款，i 置) 三者均恒定。三者中任意一个存在交点，则默ri 置) 发生结构 性变化。因此，检验( 2 3 ) 等价于以下检验： 凰：v 缸乩i 置) ，毗，i 置) 和c o v o , , ，翰i 五) 均无变点，例如v a r o , , ，l 五) = q ， 毗，l 五) = c 2 ，c o v ( y 1 ，如i 置) = c 3 ，q ，岛和岛为常数； 曹：嘞，l 置) ，v a r o , ：, i 置) y 阳c o y ( y , ，y z ，i 置) 至少其中之一存在变点。 ( 2 毋 ( 2 5 ) 是一联合检验，我们设计以下三个变换分别检验v 鲫，l 置) ， v a r o , ：，l 五) 和c o v 咄，咒，i 五) 是否含有变点： 毛，= = l a ( z i ，) + 盯( 毛，) 弓 气= 屯= ( ) + 口( 毛k z 卦= m ，j ，2 ，= ( 乃。) + 盯( 毛t ) b ( 2 回 其中，( ) 是期望函数，盯( ) 为协方差函数，e 他) = o ，f a r ( e , ) = 1 当( 置) = o n ，检验( 2 5 ) 等价于： 风：p ( ) ，p ( z z ，) 和( 锄) 均恒定q ：至少其一含有变点 ( 2 7 ) 检验( 2 7 ) 是以下三个假设检验的联合检验， 日j ：( 气) 为常数甄：( 气) 不为常数 日0 ：p ( z z ，) 为常数马：( 乞，) 不为常数 月j ：( 毛，) 为常数营：( 毛，) 不为常数 ( 2 7 a ) ( 2 t o ) ( 2 7 c ) 多维随机模型结构性交点检测及b a y e s i ：m 图模型研究 当这三个假设检验都成立时，检验( 2 7 ) 接受n o ：三个假设检验中任意一个 不成立时，检验( 2 7 ) 拒绝日。 当拒绝检验( 2 7 ) 原假设时，我们可以分别估计( 气) ，( ) 和( ) 的变点 位置，其所有变点的合集便是( 置) 的变点集。 这样，我们便将一个二维随机模型波动性交点检测问题转化成三个一维随机 模型均值漂移检测问题了。 以上思想可以直接拓展到多维随机模型的波动性交点检测问题中。一个d 维 随机模型的波动性变点检测问题可以转化成d + d ( d 一1 ) 2 个一维随机模型的均 值漂移检测问题。 2 2 2 运用小波方法检测一维随机模型的均值漂移 小波是一种检测结构性变化的强有力的工具，因此，我们在本节中采用小波 方法检验上一节中提至的( z ) ，( 乞，) 和( 毛) 是否含有变点的问题。关于小 波理论，详见w a n g ( 1 9 9 s ) 嘲，l i 和x i e 0 9 9 s ) ，i p 等0 9 9 9 ) 旧，w o n g 等( 2 0 0 1 ) 嘲 和i p 等( 2 0 0 3 ) i s 】。 考虑以下模型： * = g ( 玉) + 仃( 鼍) 呼，i = l ，2 ，n ( 2 8 ) g o ) = t r ( x ) = 0 s 毒幺， 只 工s 岛， 日 工良i ， i 工易， 嘭 x 1 0 x s b ， 岛 j b ， 岛 并钆， q - i 0 ，有： 粪e i 呲) 盯“) 轳4 f 嘴甜“o ；( u ) d u 其中， 刃( 力= 斫”e ( e ) 以e ( e 2 “) ， 0 s x s b ， b 工s 岛， 斫”e ( 矿“) ，6 ； 工s 艮。， 矿p “- ir f x 矿| 、， 盯尹层( 矿“) ， x 茎易， 巳 1 时，定理2 1 也成立。v 五石和局， ，l s l m ， 我们考虑 色，1 s f s 哆) 的一个线性组合：厶q 氟，其中嘶e r ，1 s f s 册为定 常数。由( 2 1 7 ) 我们可以得到： 1k 1 111 荟q 色2 善q 既+ 亩i 1 善u 炒“蛔+ d ，( 一一+ q 吲 ( 2 2 0 ) m“i j i l，啊 v 耖2 ( 乳w 2 毒哥d ，商州扣 。， 2 斋荟q 弓+ d ， 其中，a t = 刍( d 。类似所= 1 的证明，我们可以证明：l q l “( 氟一) 是 渐近正态的，因此l “( 色 一色”反 一以南，免 一以j - ) 7 的渐近分布 多维随机模型结构性变点检测及b a y c s m 图模型研究 _ ( o ，+ ) ，其中= ( ) ， 。4 = 孚m c o v ( n * ”t a j 一pj ) ，n 2 0 i 一p j 沁 2 舰专n ? 。羔i - , 铷c 毛k 喜c 淋地) 刁 2 舰二伽i 铷( 毛k ，荟( 淋地j 、 2 熙二n i i 2 ) = f 盯2 ( 咖嚷( 砌鬈出 疋埕2 1 让罕由足理2 1 , - j 见，尢论征裣验( 2 1 1 ) 日可缘1 嵌议尬是备弹假设f ， 谚，。，五s _ ，七e 服从渐近正态。 推论2 1 假如定理2 1 条件成立，如果，满足熙等= m ，那么当呻m 时， ( 1 ) 对露，( 6 ，2 - 7 ) 职瓦一) 二们，f 2 ( 6 ) ) ( 2 2 3 ) 加胁其中，螈回= 川多一岛h ， = 2 叫2 ( 扩篮) 一护( 跣”r 眇。坶 ( 2 均 f 2 = 盯2 妒2 ( u ) d u ( 2 2 s 3 ( 2 ) 对k ，u 。t 。j ( 岛，2 叫2 ) ， 抠各馕3 n q 矿( 2 2 0 其中七2 7 专2 ，o z 1 ，一d 表示依分布收敛。 证明：由定理2 1 可以得到 1 ，2 ( 办一颤) - ! ：( o ，f 媛( 力盯2 ( 曲妫 ( 2 2 7 ) 类似于p 等( 2 0 0 3 ) n 8 1 ，可以证明当n - - ) a o ，如果七“毋，2 一。) ， 办= 2 - ：7 2 缈( ；) 一护( 乙) ) r o ) 出+ 口( 2 叫2 ) 第二章一种检测多维模型波动性变点的方法 f 嵋o ) 盯2 ( x ) d x = a 2 ( b ) f ：| 缈2 ( x ) d x 如果七叠u f l l j ( 6 ，2 - 2 ) ，o 矿1 ( i - a ) ，我们拒绝日j 。 2 2 3 一维随机模型均值漂移变点位置的估计 如果检验( 2 1 1 ) 的原假设被拒绝，那么我们知道模型( 2 8 ) 含有均值漂移。我 们通过以下方法找出该交点的位置。对于任意点谚，我们检验其是否是变点如下： i - o ：蜀= ( f - l ，日l ：，邑h ) 【2 3 3 ) 注意到，在假设检验( 2 1 3 ) 的e 下，对于i e ， ，2 - ) 有： 1 7 2 2 - j 2 ( ；) 一t , - ( e l 。) ) r 妒( 功出- 因此，我们有； 1 7 第二章一种检测多维模型波动性变点的方法 定理2 3 假如推论2 1 条件成立，则在检验( 2 3 3 ) 的h o t ，对所有露，有： 瑶= 等三删) 在检验( 2 3 3 ) 1 拘羁下，对七e ，( 6 ，2 7 ) ，有 ( 2 3 5 ) 由定理2 3 ，我们知道检验( 2 3 3 ) 的h o t ，n 1 7 2 房 ，f ( ) 渐近服从( o 1 ) 。 其中睇= k 2 7 ，_ j u - 。，( 岛，2 - j ) 。因此，我们在i 瑶| o - 1 ( 1 一a 2 ) 时，拒绝原 假设。 2 2 4 几个实际操作问题 在实际操作中，我们需要给定一个小波函数缈( 力在本文中，我们采用i p 等( 2 0 0 3 ) 的小波函数： 矿( d = 5 ( x 1 ) 4 ， 1 j 2 挈( 川) ( 川) 2 ，一2 s x 纠 ( 2 j 6 ) o ，其他 以上小波函数( 功使得小波系数的估计 反，矗k = ， 在o * 下 相互独立，即( 2 1 6 ) 中当s t 时，以，= 0 。 由于( 2 3 6 ) 仅在【_ 2 ，一l 】u 【1 ，2 】上取值不为零，因此在采用离散化方法计算积 分( 2 1 2 ) 和( 2 1 6 ) 时，离散化的块数不能太少。在本文中，我们把积分区间【o ，l 】等 比分为5 0 0 0 个块进行计算。 为了计算统计量掣和巧的值，我们必须估计( 2 1 6 ) 和( 2 2 5 ) 中的仃2 ( 力。我 们可以通过核方法估计盯2 ( 力如下： 其中， 嘲= 邕豪鬻等 乃 鼬，= 鬻 ( 2 3 8 ) 多维随机模型结构性变点检测及b a y e s i 图模型研究 雪( 功是g ( x ) 的核估计，墨= i l n 。在某种一般条件下，铲( 曲是盯2 ( 力的相合估 计，因此我们可以用毋2 ( 曲替代( 2 1 6 ) 和( 2 2 5 ) 中的盯2 【d 。 由于检验( 2 7 ) 是三个子检验的联合检验，且从数据的角度上看，检验( 2 7 ) 的三个