（计算数学专业论文）一些窄边矩形板元的收敛性和数值分析.pdf

摘要 y s s 3 本文针对板弯曲问题进行了研究应用给出的比a p e l 的定理易于操作的各向异性插 值定理，验证了用于板弯曲问题的协调元双三次h e r m i t e 矩形元和非协调元a c m 元具 有各向异性插值特征 正则性条件是有限元方法求解问题的前提条件文章中应用各向异性单元分析方法， 证明了正则性条件对双三次h e r m i t e 矩形元和a c m 元空间是不必要的。从而得到了窄 边双三次h e r m i t e 矩形元和窄边a c m 元对板弯曲问题的误差估计从误差分析得到的 结论。我们可以看出在窄边剖分下，这两个单元都具有和正则剖分下相同的收敛阶 本文最后，对双三次h e n n i t e 矩形元和a c m 元解决圃支板问题，在正则剖分和窄边 剖分下分别进行了数值实验 关键词。有限元；各向异性插值；板弯曲问题；正则性条件；误差估计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h ep l a t e b e n d i n gp r o b l e m at h e o r e ma b o u tt h ea n i s t r o p i c i n t e r p o l a t i o ni sp r o v e dw h i c hi se a s i e rt ob ea p p l i e dt h a na p e l s b a s e do nt h et h e o r e m ， i ti sp r o v e dt h a tt h eb i c u b i ch e r m i t e r e c t a n g u l a re l e m e n ta n d t h ea c me l e m e n th a v et h e a n i s t r o p i ci n t e r p o l a t i o np r o p e r t y i ti sa p r e c o n d i t i o ni nf e m t h a tt h es u b d i v i s i o no far e g i o nqi so fr e g u l a r i t y u s i n g t h ea n a l y t i cm e t h o do ft h e a n i s o t r o p i ce l e m e n t ，i ti sp r o v e dt h a tt h ep r e c o n d i t i o n i sn n n e c - e s s a r yt ot h et w of i n i t ee l e m e n ts p a c t h eb i c u b i ch e r m i t er e c t a n g u l a re l e m e n ta n d t h ea c me l e m e n t t h e nt h ee r r o re s t i m a t e so ft h en a r r o wb i c u b i ch e r m i t er e c t a n g u l a r e l e m e n ta n dt h en a r r o wa c me l e m e n tf o rt h e p l a t eb e n d i n gp r o b l e m i so b t a i n e d i nt h ee n do ft h ep a p e r ，n u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e n k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ；a u i s t r o p i ci n t e r p o l a t i o n ；p l a t eb e n d i n gp r o b l e m ；r e g u l a r i t yc o n - d i t i o n ；e r r o re s t i m a t e 第一章引言 有限元方法是求解偏微分方程的个强有力的手段，最视由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年提 出，5 0 年代蠹靛空续海纛程烬稍黔发展隧器逐活在固俸力学、弹性力学、流体力学等 领域得到广泛应甩 有限元方法的基本嚣想是将连续豹求解区域离教为一缓畜疆个，且按一寇方式福登袋 结农起的单元的组合体由于单辩解按不同的联结方式进行组合，且单觉本身又可以 有不阋形状，蹰此，可以模型化几侮形状笈：痞f 的求解域。有限元方法作为数俊分攒方淡 的鲎鬻特点是，搿籍在每一个单元内假设的谶似函数来分片她表为专求解域虎待求的采知 函数单元内的近似函数通常由朱知场函数及其导数在单元的各个节点的蛹壹值( 即寅 盎霞) 赣其播燕番数来裘逡一绦褥爨i 这骜褰叁寰羲帮瑗逶过瓣缀透数诗髯出各个单元 内场函数的近似值，从衙得到整个求解域上的近似解 褰蔽元方法处理藏瑟，首先妥敲戆就是把求惩莲域进餐考聚嚣剃分一般翡有限元爨 分，辨求满足最则性条件所谓芷则性条件，是指有限觉 kp ，辫满足 h k p k s g ，v 茁；h k _ + 0 其中为般单元，h k ，腿分另是k 的墩大直径和最大内切髑直径【 然丽，在实两江 筝中往往存在译多各向舅性结祷，很蛊熬静葱法就是在不同方向上用 不同尺寸的剖分这样常常出现窄迎单元网格，此时正则性条件是极难满恩豹文献渤 孛a p e l 等 圣论了恕各起雾径捶蘧方法瘦罴：争有隈元，绘凄t 令验涯萃潞囊：霉毪懿 定理这样使得对有些仿射等价有限元。如槊满足a p e l 给出的定理。即使不满足正则性 条件，选髓得到襁应的 瑟差信诗 本文考虑的板弯馥| 弼题，是实际工作中经常要处理的四阶阍蹶它的变分形式是t 求珏瑶( 固，捷v ”趱( 国a “，蛰) = 歹和) 其中，8 ( 糕，咎) = 互泠缸勘+ ( 1 一仃洳碍嚣雄一锄嘞一锄鞋蛾 ，( 秘) = 五歹口如，p ( 锄- 王 ( 1 王) 针对它的有限元分柝已经很多了白文教【1 1 1 3 j 1 4 3 【5 3 等我 订姆道热下结果；双三次 h e r m i t e 矩形元是用于它的个著名协调元若钍日4 ( q ) f 1 月0 ( q ) ，则在正则剖分下其 收敛阶为d ( 铲) a c m 元是用于它的个著名非协调元若珏王p ) n 瑶( q ) ，贝4 在 正则剖分下其收敛阶为o c h ) 文献【2 】中关于单元各项异性的验证不是十分方便，且仅讨论了l a g r a u g e 型单元对 窄边剖分下的h e r m i t e 型单元的研究在文献中并不多见本文用文献【2 】中定理的一种 改进，验证了双三次h e r m i t e 矩形元和a c m 元对板弯曲问题都是各向异性单元经过 误差估计我们得到它们在窄边剖分下的收敛阶与正则剖分下相同 文章最后针对边界固定的板弯曲问题分别对双三次h e r m i t e 矩形元和a c m 元进行 了数值实验，分别给出了这两个单元在正则剖分和窄边剖分下的数值结果，我们可以看 到数值结果与理论分析是十分吻合的 2 第二章基本定理 设膏是参考元，p 是霞上一个m 维多项式空间，称为形函数空间p 是p 的共轭空间侈- ，庇，多。) 和 研，疵，厩) 是p 和j ；7 的一对共轭基即满足 f l ，i = j ， 疵渤) = = 1 ，j m 【o ， 歹 称 疵，觑，瓯) 为单元自由度 设j ：h ( 露) - + p 七1 是有限元插值算子，即 显然。 且 疵( 知) = 廊( o ) i = 1 ，2 ，m 怕h ( 詹)( 2 1 ) 知= 窳( 秀) 武， = l 的= 雷，v 谚p( 2 2 ) 口：( a ，劬，) 是一多重指标，则西a 户也是玄上多项式空间。设维数出m d 8 p = r 又蠡) 冬l 是伊p 的一组基，贝! l d “( 两) = ：成 ) d 喻= b ) 鸟 ( 2 3 ) ；lj = 1 显然白是 西a a ) 的线性组合而b 是 窥( 台) ) 翟1 的线性组合设 6 j ( o ) = c 危 ) = l 则由( 2 1 ) 可得 如 ) ：妻q 成( 。) = 妻c i 厩( j 。) = b ( 勘) ( 2 4 ) 3 弓l 理2 , 1 1 1 存在常数c ( k ) ，使得v o w l + 1 一( 霞) ，1 ms ：+ 1 ，有 ；：j 磬、l p + 多0 。，玄c ( k ) iol i + l 。，膏 妊毋( 田 一 。 这垦a ( k ) 是霞匕次数不超过l 的多项式空间 定理2 2 6 】在上述表达下，如果如( o ) 能表示成 ( 0 ) = 8 ( b 8 0 ) ，1 j s r 其中乃( 日( 霞) ) 7 ，1 jsr ，l 5 同时最( 詹) cd a 户，z 8 1 则| c ( k ) 满足一 l l d 1 ( o 一。) 1 1 t 。它c ( 两l 西8 。l l + 1 ，它，0 ts z + 1 ，v 。日1 4 l + 件1 ( 旬 证明t 8 ( b 4 i a ) ：b 口o ) ? 6 j ( o ) ：8 ( b “o ) v 西b p ，存在0 p ，使西= d 。_ o 从而 曲= 鲰2 。, 2 b i o ? 如渤毋? 乃( 伊o ) 岛= 三乃( 而) 旬 k if = i，2 因为 如”：。是d 8 户的一组基，所以由上述等式得t v 西d 。p ，毋( 西) = 0 ，0 sj r 铮曲= 0 因此壹i 乃( ) i 助n 户上的模 任取西a ( k ) c d 。户， l | 参a 一i 。) l l 。它5i i b o - t z , 1 1 。，詹+ l i 曲一d 4 $ o l l t ，霞， 因为有限维空间上模相互等价硼，历以 o t 白一d a j 。忆】 g 壹l 乃( 曲一d 4 j o ) l ：g 三i 乃( 曲一d 4 。) = ip ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) = c l l b 。o 一面忆膏 将上式代入( 2 1 0 ) 式，由西a ( t ) 的任意性和引理2 1 。我们就得到了( 2 7 ) 式口 注t a p e l 在文献【2 】中指出t 若存在 乃) ；- 满足( 2 8 ) ( 2 9 ) 和( 2 6 ) ，则单元擂值估 计满足( 2 7 ) 又证明 乃) ；：- 满足( 2 8 ) ( 2 9 ) 的充要条件是， 劫a o = o ，则d o 勘= 0( 2 1 1 ) 但是【2 中并没有给出构造 玛) ；：，的一般方法， a p e l 只是针对不同的l a 酽a n g e 型单 元构造不同的 乃) 二。这样做有其局限性。很不容易操作，针对h e r m i t e 型单元更是 如此而文献【6 】给出的各向异性插值定理，即我们的定理2 2 给出了构造 玛) ；：- 的一 般性式子( 2 5 ) 若存在线形泛函 乃) 釜。满足( 2 5 ) 式，则由( 2 3 ) 式 rr b 。j o = 6 j ) 玉= g ( b 4 0 ) 白 j = 1j = l 若d a o = 0 ，则毋( d n 亩) = 0 ，所以由上式西8 知= 0 ，即( 2 1 1 ) 式成立 5 第三章 窄边双三次h e r 】m i t e 矩形元的的收敛性分析 第一节单元构造 设霞为参考矩形单元，顶点坐标为( - 1 ，一1 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，依次记为孟，五，五，也 越t = 孤厶= 丽，= 蕊厶：氯如图l 所示 图1 ，参考元霞 记心= 。( 磊) ，雷；餐( 磊) ，氐。= 器( 击) ，昏钾= 则自由度竞= 钒，。培，o 幻，i = l ，2 ，3 ，4 ) ， 其中 p 5 p l o p 1 4 ( 鳓，i = l ，2 ，3 ，4 形函数空间p = 8 p a n 侈1 ，血，a 6 ) = 1 一p ，南= 1 一矿，多7 = e ( 1 一p ) ，蠡= 口( 1 一矿) ，蠡= ( 1 一矿) ， = 寸( 1 一p ) ，| ；l l = ( 1 一o ( 1 一智2 ) ，如= 勃( 1 一p ) ，a 3 = 钿( i 一，7 勺 = ( 1 一p ) ( 1 一f 7 2 ) ，】h 5 = ，7 ( 1 一f 2 ) ( 1 一，7 2 ) ，a 6 = r ( 1 一f 2 ) ( 1 一，7 7 ) v p ，容易得到 其中 1 6 o = 城 t ；1 m ( = 魂，i = 1 ，2 ，3 ，4 口s 嘞= ；亩t 。一百i a 茸一。s e + i 1 。氅， 6 ( 3 - 1 ) 口e 獬= b + b b 一知 功彩 一 十 0 n 0 9 + 一 q q 1414 j l = 融 m妨协 一 + q 0 、，、， f 一 + 姐o 1414 i f i i 3 - ”r n 一 ，( 。) = 一百1 ”a - 一；。t e + ；仍一；。笃+ 百i 地a 一；。m 一；。4 一；讥；， 。e ) = 一；。z 一；。- ”一；仍一；。却+ ；讥一；如。+ 百1 钆一百1 。知， 啾。) = 一b + b b + ； a - 。( 。) ；一；。- e + ；。靶一；。e + ；。4 c ， 口- - ( 。) = 去。蜘一去+ 南。强。一去。翱 g - 。p ) = ；v l + ；。t e 一；如+ ；赴e + ；如一；如e 一；钒一；讥e ， 。- s ( 。) = ；。- + ；。- 。一；仍一百1 也a 。+ ；魄一；如。一；。4 + ；。如， 。m p ) = 一去一去萤t 钿+ 志一去龟翻一去+ 去亩铂+ 去+ 去台蜘 。- s ( 。) = 一去咄一去番t 翱+ 去咄+ 去一去咄+ 去。嘞+ 去诋一去钒钿 吣( 。) = 壶。- + 去亩l f + 壶+ 去。- 翱一壶锄+ 去瓴一去+ 击仍翱 1 1 。 1 i 1 1 1 1 一雨地一丽恤一诹口+ 雨豫目一诹巩一诹”衅+ 而m 目+ 诹”蜘 在霞上定义双三次h e r m i t e 矩形元的插值算予t 1 6 j ：h 4 ( 詹) - + 户，局= 口蕊 = l 设有限元簇 k ，p 由t 霞，宝，声) 经过仿射变换j k 得到，则k 上的插值算子为 ，：日4 ( k ) - p o 嵫1 ， = 矗。聍1 第二节验证单元性质满足基本定理 双三次h e r m i t e 矩形元直用于四阶问题是协调元，误差估计的能量模为i u - - i u 1 2 ，n 其中， i b = ( i 1 6 2 , k ) l ， x e 容易验证它是模所以在每个单元上要估计iu - - l u1 2 , k ，即分别估计i i d 。0 1 u ) i i o ， 其中ial _ 2 所以要在a = ( 2 ，o ) ，口= ( o ，2 ) ，a = ( 1 ，1 ) 三种情况下讨论此单元具有的 7 性质满足定理2 2 ，然后才能由k _ 霞- - - 4 - k 的误差估计思路，运用定理2 2 进行误差 分析 1 ) 当口= ( 2 ，o ) 时， 1 6 d 8 j o = o i ) d 。武 i = i = 一2 a 5 ( 。) 一6 0 7 ) 一2 u a l o ) 一2 ( 1 一矿) o l l ) 一6 f q 0 1 2 ( o ) 一6 ( 1 一矿) 0 1 4 ( o ) 一2 7 ( 1 一矿) 8 1 5 p ) 一喏7 ( 1 一矿) d t 6 ( o ) 显然，一2 , - 6 5 ，一2 竹，一2 ( 1 一叩2 ) ，一6 f 仉一6 ( 1 一，7 2 ) ，一2 r ( 1 一叩2 ) ，一6 0 7 ( 1 - 2 ) 是d 。户的 一组基 所以，6 。( 。) = 0 5 ) = 一；。- e 一；。鸳一；e + 吾1 。峰 = ；雾眨叫蟛一；嘉他，雕砌嘞 且f f l ( ) f = 百1i 上。w d s + 五3 w 如f c l f 。，孵c l i 叫忆它 6 2 ) ：。， ) ；一百1 。一；。址+ ；锄一百1 。+ ；讥一；。m 一；讥一百1 。鸳 ；壶( 器慨叫娥一丽i 上1 。z 1 霉_ 1 ) 醒武 + 去器豫- 徙鸳一丽i - 1 。z 1 器( 钳) 蜊：毛( 分谚 且f 局和) f 壶( 1 叫( f ，一1 ) 篮武f 十l z 1 叫( f ，一1 ) 必必i + i 。埘继 1 ) 必f 埘 1 ) 武微d 。( l 枷i 。 畦+ l h 必+ j 如i 。厶必+ j 蜘i o , l , 。d ) 6 3 ( 0 ) = sc l 叫l 童sc l l t j l l 窖。j 8 伊 砖 吣凇1 8 时馨 上o f 1 8 也 一 18 + 弦 蟮 矗 百眩 一生孵 删 虮l 一8 且f 凡( ) f 。百1i 五。训d s 一丘s w d 8i sci i 。，越。i i i i 。，膏 k = 。，( 。) = 去。z 囟一丽1 + 去一菇1 翰 = 一击警菇+ 去攀雕舻。) 且lf 4 ( 叫) i = 去l 筹( ，一溅一鬻( 钮) 西 s c l 加i z , a k - c l l t j i l 2 童 k ( 矗) 5 劬( 。) 2 百1 矾+ 百1 啻f 百i 仍+ ；咄+ ；伲一；镟一百1 瓯一；咄 = 去( z 1 豢 - ) 西蟛一髻( 6 一z ) 喇 + 器恁1 ) 武娥一z 1 器昭- 徙：恐( 分 且l r ) i 去( j 训( f ，一1 ) 蟛武i + l z 1 蜘( 一1 ) 嘶必j + l 叫g ，1 ) 埏必j + , i o ( 钳) 燃i ) c 以i 叫f 啦。必+ i 甜f 。工。+ f 钟f 啦。必+ i 础1 0 。必) c j 叫j 掣演5c j j t o j j 2 ，膏 6 6 ( 。) ；口t t ( 。) = 一l - i - i 。知+ 去一矗。砌一去+ 去镟。+ 去+ 去钆妇 = 壶c 警c t ，一，窿一z 1 掣代，一t ，芘 + z 1 警( ) 必西一掣( 钮) 必必) ：r ( 伊 且f r ( 硼) s 刍( 1 筹( 己一1 ) d 锹f + , i 。1 筹慨一1 ) 娥 + l 筹豫，) 燃i + i z 1 筹( 钮) 砖峦1 ) c i 埘1 1 声童墨c 1 1 埘l 2 宜 9 b ( 。) 一( 。) = 一去吣一去咄。+ 去咄+ 壶倪如一去咄+ 去魂翱+ 击一壶。翻 一枞1 r l ，礤垆o 海叫必一誊t 瓣掣竭趱 + j f - - 1 1 燮a f 醒) ：f 7 ) 且i 毋) l = 去( i 创( 一1 ) 武i + l 叫( e ，1 ) i + i f i 。a 鲫w , 毒，一1 ) 磷 | 筹( 钳磁 ) c l l 翻毛艚+ 龟l 舒b 嘉se 1 1 镏| | 2 ，童 6 8 ( 。) 一蛳( 。) = 壶。- + 蠢咄+ 去钆+ 击。翱一去如+ 去蜮一去+ 去舌2 翻 1 1 1 。1 1 1 1 1 + 丽铅一丽镟一话+ 面地翱一瑟坝一面咏+ 话”铆十褥 = 去z 1 嘉 一，) 震窿一警晒一t ) 蛾 + 嘉豫- ) 燃一z 。嘉( 泓) 必鹰 + z 1 警( ，一1 ) 必鹰一警( 毛一t ) 必必 + z 1 警泛1 ) 锻一警绥t ) 篷) ：民疹蛰 且l 妫) i 甄1 【l 上i 。上，伽( ，一1 ) 磷武i + l z 1 叫( f ，一1 ) 必i + l 叫旺，1 ) + i ；1 凹旺，1 ) 必i | 鬻终_ 1 ) 蛾| + i i z l 筹一1 ) 邀鼹 + 筹( 钳) 廷l + l z 1 筹( 钮) 武西| ) 墨c ll 伽i 。, s k 十嘲it l j l l 。越sci i t l j 0 宜 显然a = 纭0 ) 对，单元具有的性质潢足定理2 2 。 譬当8 = ( o ，妨时， b i o 。釜哪( 。) d 嗡；一2 口6 ( 。) 一6 叼n 8 ( 。) 一2 善n 9 ( 。) 一2 ( 1 一p ) 口1 l ( 。) 一6 刀口1 3 ( 。) i - = - 1 1 0 一2 f ( 1 p ) 0 1 4 ( 。) 一6 叩( 1 一f 2 ) 口z 5 ( 。) 一6 f 叩( 1 f 2 ) a l l p ) 由f ，叼在基函数中的对称性同理可知，口= ( o ，2 ) 时，单元具有的性质也满足定理2 2 3 ) 当a = ( 1 ，1 ) 时， o1 d 8 局= 圣啦 ) d 8 a = i ( n l ) 一0 2 ( 。) + a 3 ( o 一她( 。) ) 一2 r a g ( o ) 一2 口1 。( 。) + 4 r a l l ( o ) + ( 1 3 2 ) 口1 2 ( o ) + ( 1 3 r 2 ) 口1 3 ( o ) 一2 7 ( 1 一必2 ) a 1 4 ( o ) 一2 f ( 1 3 r 2 ) 口1 6 ( o ) + ( 1 3 f 2 ) ( 1 3 叩2 ) 口1 0 ) 显然， ，一2 仉- 2 f ，4 f ，7 ，( 1 3 p ) ，( 1 3 矿) ，一2 卵( 1 3 p ) ，一2 f ( 1 3 f 2 ) ( 1 3 f 2 ) ( 1 3 ，7 2 ) 是d a 户的组基 j 听以一l ) = 口l ) 一a 2 ) + 0 3 ( o ) 一a 4 ( o ) = o l 一如+ 0 3 一。4 = 托( 1 “1 嘉- 1 ) 必咖+ 1 ，1 1 意1 ) 酬觑) 且1f 1 ) i s ；( 1 埘( 毒，一1 ) 咖l + l 叫( ) 却1 ) c i 叫j o 。a i c 0 叫j l z j 幻( _ 。) = 哪( 番) = 一；。t 。+ ；一；龟。+ ；。钾 = ；( 嘉- 1 ) 必一意：砌铆 且ib ) l i ( 1 上。加( f ，一1 ) 必l + l 上。”嬉，1 ) 武i i，i c l 叫i o 。a 童e l l o i l 2 ，詹 6 3 ( 。) = 。( 。) = 一氟+ ；咄一氟+ 否1 蛳a e = 一百1 【上1 。嵩( 1 油一蒜( 刊蜕砌嘲 1，1 ，1 且f 毋) f i ( i 上。t u ( 1 ，叩) 咖i + f 厶叫( 一1 ，叩) 咖i ) c i l ui o ，。它sc l l 1 1 2 。它 k ( 。) = o n ( 。) = 去。- 翱一去蝙+ 击一去 = 一去( 警峭一掣1 ) d 虻肿嘲 且1 只( 叫) l s 去( 1 筹( f ，_ 1 ) i + l 筹( 钳) 武i ) c i t i 1 1 , a c - - - c l l 叫l l 置詹 6 5 ( 毋) = a 坦 ) = 百1 饥a + 百i 口a t e 一；锄+ ；锰+ ；瑰一；镟一；钒一；。越 = 去( 高( ，一t ) 必面+ 高( 钳) 鹰鳓 一；( o - - 脚两( m o - - 砌两( _ 1 ，帕) ：f 5 ( 拥) 1t l，lp 1 ，11 且i 忍) f 丽( f _ 。上。暇一1 ) 咖 + i 上。上。t j ( f ，1 ) d 譬d r i ) 1 ，l r l + i ( i 上。 ( 1 ，7 ) 咖i + i 上。( 一1 ，们咖1 ) 曼c i j 。，腑c j i 叫忆膏 6 6 ( 。) = a - 。( o ) = ；。t + ；。- 。一；倪一；。卸+ ；如一；。3 ，一；钒+ ；钒。 = 话1 【上1 。l 1 高炉，) 蚴+ 淼胤叩) + 百1 【上1 。蒜城一o - 鳓c 丽( _ 1 ) 嘲三砌嘲 且i p 6 ( 叫) 1 丽11 1 上t - 。上t l 。加( ，一1 ) 咖i + i 呱，1 ) 鹰却1 ) + 扣叫( f ，1 ) 霹i + l 一1 ) 必1 ) c i 叫c i i 毗i i 席 1 2 6 7 ( 。) = a t t ( 。) = 一去。”一丽1 a 。+ 去一去。柳一去锄+ 去咄，+ 去+ 去钒钿 = 南( 意( 6 一t ) 畦一蠢( 铋) 必+ 掣( 问咖 + 盟o r ， 一l ，f 7 ) 咖) ：而( 鲫 1，1，1 且1 西( 镏) i s 盍( 上。伽( ，1 ) 必1 + 1 上。伽( ，1 ) 醒j + l 筹( 1 ，柑，7l + i 鬻( 叩) 砌 ) c l 叫i o , 8 r + c 2l 叫i l 。a 它cl 叫1 2 。膏 6 8 ( 。) = a “。) = 一去钆一去。坳+ 去咄+ 壶一去咄+ 去+ 去咄一壶 = 去( 蒜( _ l ，叼) 咖一蒜( - 潮由+ 警恁，一t ) 鹰 + 警挑) 1，lr l 且lf b ( 埘) l 盍( 1 上。 ( 一1 ，们咖j + j 上。”( 1 ，叩) 咖l + i 筹( 己一1 ) 磷l + f 筹( 钳) 必1 ) c ll 钮l o , o r + c a ；咎；1 p 宜c 8 t l l l 2 膏 6 9 ( 。) = 口埔( 。) = 去。z 一击锄+ 击如一去讥+ 去钆+ 去咄一去讯一去让 + 去一去锄一去锄+ 去+ 丽1 魂钿+ 两1 镟。+ 去咄。+ 去舌怔。 = 菇1 【上r l 。上1 1 。鑫( f ，一1 ) 啦咖+ o - - 脚两t 1 ) 必跏一意( 1 砌咖 + 嘉) 鳓吲1 上1 。z 1 警- 1 ) 诺鹰 一掣皤_ 1 ) 蛾+ f 1 2 1 警心- 燃 一掣( 法鳓：f 9 ( 西嘲 且i 而( 叫) i c i i 3 i o ，晴+ c 2f t o1 1 a j c l l 叫1 1 2 宜 显然，口= ( 1 ，1 ) 时，单元具有的性质满足定理2 2 综合以上证明可知，当ial = 2 ，s = 2 ， = l 时，双三次h e r m i t e 矩形元具有的性质 满足定理2 2 的条件所以我们有 d 。 一i o ) l l o ，童c ( 定) i d 8 。1 2 ，童，均日4 ( 露) ，ln 怿2 第三节窄边剖分下的误差估计 设k 为般矩形单元，h l 为矩形单元的嚣方向长度的半，圯为矩形单元的”方 if = 2 斧 向长度的半，0 0 ，铷) 为矩形中心k 经过坐标变换变为参考元霞令 if 7 = 皆 h = ( h l ，k ) n c 辟是矩形区域，将其剖分成任意窄边矩形单元，记为霸，u = q k e t h 双三次h e r m i t e 矩形元求解板弯蓝问题( 1 1 ) 的离散格式是t 求牡 k ，使得 其中。 a ( 蛳，) = ( ，) ，v v n k( 3 2 ) k = 饥；i k = 番。嵫1 ，o 定义如( 3 1 ) ，懈靠， 地( d ) = ( 回= ( d ) = o ，v d 铀) 四阶问题要估计l 牡一 n ，双三次h e r m i t e 元对四阶问题是协调元，所以由6 引理 8 1 而 钍一鲰坯c 蕊1 1 t - - 。j b 拯c l 牡一凡1 2 , 1 1 - - - - - c ( 磊i u - - i t 岫5 ， t 一九臣耳= l i d 4 ( 一凡) 惦。k ， l 盘l = 2 1 4 d 8 ( u 一1 u ) i o ，k = 1 i i d 。 一询忆詹( 九l h 2 ) ；( 由坐标变换) c h l ( l 2 ) 1 1jd 4 砬j 2 霞( 由定理( 2 2 ) ) = c h l ( - k ) ( l | d 州堋童) l 芦】= 2 = c h ”( l 2 ) 炉( 。+ 4 | i d 。+ 4 t 眩k ( l 圯) 一1 p( 由坐标变换) i 剜= 2 = c ( n 。+ 1 2 0 , k 、j ； 1 4 1 = 2 s c ，岛a x l t 1 4 , k 其中 m 强= m a x ( l i ，) ，且d 与 耳触无关 因此， t 一t 1 2 n ciu 一凡j 2 皿；c ( ju i u 匡j f ) i k e n = c ( 8 d 口( 牡一峨耳) l 磕a x l 缸2 ，一1 e - t hi a l = 2k 6 t hi 口i = 2 c 磕娃i “i i i n 由上述分析我们得到； 定理3 1 假设t ，分别是( 1 1 ) 和( 3 2 ) 的解，且t h * ( f 1 ) n 丑0 ( q ) ，则 it 一1 2 ，n c ；n 缸li t , 1 4 , n 其中，c 与h k p k 无关，怄t h ，h m a x = n i o 比 h i ，k ) 所以，在窄边剖分下此赣，6 对板弯曲问题是收敛的，且与正则剖分具有相同的收敛阶 1 5 第四章 窄边a c m 元的收敛性分析 第一节单元构造 本章部分延用第三章中的记号 在参考元玄上，自由度= 哦，姬，i = l ，2 ，3 ，4 ，形函数空间 p = p 3 c k ) u 渤，轫3 ) = 印m 研 ，兜i ，矾， = 1 ，2 ，3 ，4 ) 其中 矾= ；( 1 根) ( 1 + 删( i - 1 一垦鲍2 一掣) 1 1 s 吲 兜= ( 1 + 6 9 2 ( 1 + 啸，7 ) ( 1 一f ) ( 6 ) 8 ，i i 4 瓶i = ( 1 + 6 ) ( 1 + 讯，7 ) 2 ( 1 一班，7 ) ( 一, 7 d 1 8 ，1 i 4 ( l ，巳，矗，氛) = ( 一1 ，1 ，l ，- t ) ，幻l ，诒，珊，现) = ( - 1 ，- i ，1 ，1 ) v 。p ，容易得到 o = e ( 矾代，7 ) 吼+ 矾( 7 ) 豫+ 瓯眩 7 ) ) ( 4 1 ) 在詹上定义a g m 元插值算子， j ：日3 ( 霞) 一户，局= e ( 奴i ( 毛彩包+ 疵i 熊彩镟+ j 嬉，彩) 。 设有限元簇 k ，p 由 詹，氨户) 经过仿射变换艮- 得到，则k 上的插值算子为 i ：h 3 憾、_ p q k l ，i = 抽o k l 第二节验证单元性质满足基本定理 我们首先证明a c m 元插值算子满足各向异性插值定理2 2 ，这样可以用定理2 2 的 结论估计a c m 元的插值误差插值误差在每个单元上要估计1 t 一j u1 2 , k ，即分别估计 i l d n 心一x t 0 1 1 0 , 耳，其中ial - 2 所以要在a = ( 2 ，o ) ，a = ( o ，2 ) ，a = ( 1 ，1 ) 兰种情况下讨 论此单元具有的性质满足定理2 2 1 6 1 ) 当口= ( 2 ，o ) 时，d 。p = q 1 ( 玄) = 1 ，f ，7 7 ，以 鲥。= 繁= 薹4c 繁2 针警+ 警谢 = i ( i - 叩) ( 咄一。t f ) + 1 - ( 1 + ) ( 咄一咄) + 磐产仇也+ 仉刚。汁掣( 也+ 讥+ 咄+ 咄) ：壹6 “ ) 口。； 霉) 其中，甄l = ( 1 一7 ) ，缸2 = ( 1 + 7 ) ，血3 = i f ( 1 一叼) ，蠡4 = i ( 1 + ，7 ) 显然， 口- - ，血2 ，讪，礼) 是d 。户的一组基 6 1 l ( 。) = 妒咄= 五。器d 8 ：f l l ( 咖) 且if 1 ( 仞) i = if t 铆矗si c 铆i 。，a 】 c l | 铆i l 。，詹 垴= 吨= 五。等幽：f 1 2 ( 觑) 且i 凡( 训= j 五。 d 8 i _ c i 伽k c i i 岫 h s ( 功= 。t 一锄+ 址+ = 一嚣心一1 ) 鹰+ 要( 一1 ，一1 ) + 赛( 1 ，一1 ) = 扣鼢_ 1 ) 嘶十1 1 瓦( - 1 , - 1 肼瓤_ 1 ) 蚓 ；l ( 1 誊，- 1 ) 磷一豁_ 1 ) 础强 且加) l = ；l 口z 1 叫( 旷1 ) 幽一叫( s ，一1 ) d 懈i 2 i 伽( s , - 1 ) ld s = 2 五。l 甜c i 叫i 愀c i i 叫i i - ，童 6 l ( 。) 刊。+ 钒坻坻= ；l ( 1 器肛雾圳避执( 椭) 1 7 且圳= 互1i 小( s 1 ) d 3 一叫( ) d s 西i s 2 s 1 1 ) ld s = 2 厶d s c 叩霞剑呲，霞 显然a = ( 2 ，0 ) 时，单元具有的性质蒋足足理2 2 2 ) 当a = ( o ，2 ) 时，d a 户= q l ( 玄) = 1 ，叼，轫 伊知= 等；妾e 争聃铬+ 帑蝴- = ；( 1 一f ) 如一亩1 目) + i ( 1 + ) ( 0 3 ”一赴q ) + 巡4 盟( 。l 地+ + ) + 盟掣她一瑰+ + 如o 5 蚤6 2 i ( 。) 熊田) 其中，幺z = ( 1 一 ) ，珏= ( 1 + 0 ，弦= i 露( 1 一f ) ，勃4 2 i 野( 1 + f ) 显然，恼l ，锄，缸，缸 是加户的一组基 由，q 在基函数中的对称性同理可知， 口= ( o ，2 ) 时，单元具有的性质也满足定理 2 。2 3 ) 当a = ( 1 ，1 ) 时，亩a p = l ， ， ，2 ，矿) 赫：鬻= 砉c 铬钒+ 铬镟年镥埘 = ；耋( 6 佻魂一；协咄一；6 ) + ；砉6 依镟+ ；砉6 讯锄” 十警妻( 一泓+ 删+ 警壶( 嘲饥+ 6 蝴 。蚤h ( 。) 知( f ，7 其中，翕。= 1 ，囟。= i ，知= i ，蟊t = ；p ，珏= ；矿 显然， 蠡。，蠡2 ，知，氟，籼) 是伊户的组基 b 。( 。) ：。一。：+ 玩一。4 + ：( 。十赴一咄一饥 ) + ； ”+ 。柚一。3 ，) 一) 1 8 = 厶器必却一瓢器幽+ 五蒜删一规蒜如+ 上。器删 = 厶器武咖一；厶意虻f 3 1 ( 厕) 且 玛- ( 叫) h 厶叫必d 叩一；z 霞叫d s e _ c 1f 硼i o , r + c 2l 硼b 它c f f 忆童 6 3 。( 。) = 一咄+ 咄一吣= 一厶器d s 十五。鑫d s ：如( 伊。) 且j 如 ) f = l 厶叫幽一五，t u 出f c l 伽f 。，a 霞c l i 叫忆膏 ) = 一五，蒜j 1 3 盎虻晟3 ( 讹) 且f 如( 叫) l - i 厶锄d s 一上。叫如i c l 叫i 。肿c l i 仙i i - ，它 喇= 一五意蚴+ 厶高蚺五。意幽汹) 且i 黾( 叫) l i 厶切蟛咖一厶 d s 一五。叫如l s c li 叫l 啦+ 仍i 切j 。肿c l i 加1 1 1 i 胄 ) = 一厶嘉武咖+ 五，淼幽+ 厶鑫凼：民( 觑) 且l 氏 叫) i - - - iz k 必咖一五。叩d s 一五。 d sl c ，1 伽1 。，詹+ 晚l 叫l 。，船sc i l 训z ，膏 显然口= ( 1 ，1 ) m t ，单元具有的性质满足定理2 2 综合以上证明可知，当lo z l = 2 ，8 = 1 ，l = 0 时，a c m 元具有的性质满足定理2 2 的 条件所以我们有 l i b 8 一j o ) 1 l o ，膏s c ( 霞) l d 。0 1 ，j ，啪日3 ( 霞) ，1a l = 2 1 9 第三节窄边剖分下的误差估计 令n c 舒是个矩形区域，矗是q 的个任意窄边矩形剖分，u = 磊a c m 元的有限元空阅定义如下； y h = t j 一j k = oo 嫒：1 ，o 定义如( 4 1 ) ，v k t h ， v n ( a ) = ”k ( 0 ) = ? j h v ( 口) = o ，v a a q ) 则( 1 1 ) 的离散问题为t 求h ，使得 a h ( t h ， ) = ( ，t i ) ，v v h k t ( 4 2 ) 其中。 a 一( u b ”一) 2 盖上a ( ，) 出由， a 沁 ，t j h ) = a u h a t u a + ( 1 一力( 2 t l 印叫 z y t 1 h = = u 2 h ，g ，一t 嚣叫把2 ) 由s t r a n g 引理i s ， 1 1 - u h l l 园乞剐u 刊溉幽剑) ( 4 3 ) 其中，”i i n 2 ( 五| 1 戛耳) 是能量模 昂( t ，叫 ) ：8 ( t ，虮) 一( ，w h ) 由文献【1 1 】，我们有 取( t ，饥) 2 嚣a u a t v h + ( 1 一叮) ( 2 u 洲船，砘舢w u w m ! ， - n f w a d x d y = 盖 上x m 警”一帅扣警一一她警 d s a u v w 如匆) 一w d x d y = 一磊厶( v u v 撕+ f ) d x 蚺盖上k _ ( 1 叫】警】如 + f e t 。厶( 1 一仃沁”警d s = 墨+ 马+ 玛 2 0 其中，t ，p 分别是切向量和法向量， 目= 一盖丘( v u v + ，叫n ) d m d y 2 盖上耳o 百a u 叩, s 一( - a 2 u + 加一蛐 岛2 磊厶m _ ( 1 叫叫警】d s ， 玛2 盖加一咖警缸 因为a c m 元是个c o 元，c 础( 蟊) ，所以， 盖z x 百b a u 伽h d s = 0 i 且玛= 。 又由文献【1 】，知板弯曲问题( 1 1 ) 满足方程 所以， 一l c - 2 t + f ) 叫h d x d y = 0 k e t h 。k 因此， 玩( u 胁) = 易= 轰厶陋( h m 警如 令z l = 。，正2 = ! ，岔l = f ，金2 = ，7 ，p = ( n ，地) ，( ) ；击，1 i 2 则 毋( u ，) 。盖荟上k ”一( 1 一力刈( ) i 砖如 显然，( 叫 ) 0 = l ，2 ) 在a 的结点上连续所以，7 r l ( t i j ) 础( q ) ，i = l ，2 ，这里 霄，县双线性插值算子 2 1 州扣 衅 忙 凼j 比， 她t j ) 2 磊蚤厶m 一( 1 一恻一( 喇嘛 ( 4 4 ) 由1 1 3 】的( 4 1 1 ) 式 上 ( 伽 ) i 一，r - ( 蛳k v i d s = 0 ，l = 1 ，2 ( 4 5 ) 令叮- = u 一( 1 一a ) u u ，由( 4 4 ) 和( 4 5 ) 可以得到 翰2 盖薹上耳p 一伽r ) ( ( ) 一丌- ( 叫n ) t ) 地妞 显然，在l l 和岛上， 1 = 0 ，在如上，n = 1 ，在厶上n = 一1 所以， z 耳( r 一7 r o f ) ( ( 叫n ) t 一丌- ( 埘n ) t ) n d s = ( 厶一上) ( r 一7 r 0 下) ( ( 叫n1 - - 7 r 1 ( 叫n ) - ) v l d s = 上去附一7 r o r ) ( 也一丌。c 埘如) j 如。如。 同理，可得 厶( r 一) ( 。一m m 础= 厶矗【( 一刎( ) 2 - - 耳i ( 叫也) m t d 奶 因此。 i e “) i _ i 盖委厶去【( 下一丌o r ) ( ( 坝k 一丌- 如) 1 出- 出。l