（计算数学专业论文）一类非线性变分不等式的非重叠区域分解法.pdf

an o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d f o rak i n do fn o n l i n e a rv a r i a ti o n a li n e q u a l i ti e s b y l i a n gz h u n b s ( h u n a nc i t yu n i v e r s i t y ) 2 0 0 7 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rz e n gj i n p i n g a p r i l ，2 0 1 1 舢8 9m 9m 6 0 9肼1胂y ，、1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：磐弘日期：) p f 年厂月母日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密翻 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：碧争 导师签 日期：加i 年r - 乒j2 矿日 e l 期：f 年，月讶e l 硕士学位论文 摘要 本文讨论一类变分不等式问题的区域分解法变分不等式在实际问题中有着 广泛的应用背景它的数值解研究也是计算数学领域以及工程界广受关注的研究 课题本文针对一类非线性变分不等式，讨论其数值计算方法这类变分不等式问 题可来源于自由边界问题换句话说，该问题在某一个区域内满足一个非线性偏微 分方程，而此区域存在一部分待定的边界，即所谓的自由边界本文针对自由边界 问题对应的变分不等式，构造一种区域分解法并讨论它的收敛性质 区域分解算法是上个世纪8 0 年代崛起的新型算法它和多重网格算法一样具 有与剖份网格无关的收敛速度故而被称为快速求解器区域分解方法通常按照该 方法对区域的分解方式被分为重叠区域分解法和非重叠区分解法两类本文提出 的方法属于非重叠区域分解法针对一类非线性椭圆型偏微分算子对应的自由边 界问题，通过与之等价的非线性变分不等式，构造了一种非重叠区域分解算法这 个算法可以视为是前人有关线性算子情形的有关结果的进一步推广主要内容包 括以下几个方面： 在第一章中，首先介绍了自由边值问题及其研究背景，综述了区域分解算法的 相关发展历史针对本文涉及的非线性椭圆型偏微分算子对应的自由边界问题，给 出了等价的非线性变分不等式问题同时作为本文的基础，还给出了前人有关线性 算子情形的相关结果 在第二章中针对第一章给出的非线性变分不等式，建立了非重叠区域分解算 法，并对该算法的收敛性作出了证明 在第三章中通过一定的数值算例，分析了算法的计算效率并验证了所得收敛性 理论的正确性在数值实验的例子中，包括一类二维的含有时滞的m i c h a e l i s - m e n t e n 反 应扩散方程 关键词：自由边界；非线性；变分不等式；非重叠区域分解 、 硕+ 学位论文 a b s t r a c t t h ef o c u so ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sf o ra k i n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sh a v em a n ya p p l i c a - t i o n s m u c ha t t e n t i o nh a sb e e nd r a w nt ot h e i rn u m e r i c a ls o l u t i o n sf r o mn u m e r i c a l a n a l y z e r sa n de n g i n e e r s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yn u m e r i c a lm e t h o df o rak i n do fn o n - l i n e a rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h e s ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sm a yc o m ef r o mt h ef r e e b o u n d a r yp r o b l e m s i nw h i c ht h es o l u t i o nb o u n d a r yc o n t a i n sap a r to fp r i o r iu n k n o w n b o u n d a r y , c a l l e df r e eb o u n d a r y f o rt h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yo ft h e f r e eb o u n d a r yp r o b l e m ，w ew i l lc o n s t r u c tad o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n dd i s c u s s i t sc o n v e r g e n c e d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sa r ed e v e l o p e dr a p i d l ys i n c e8 0 so fl a s tc e n t u r y s a m ea sm g d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sh a v ea v e r yg o o dp r o p e r t yo fm e s hi n - d e p e n d e n tc o n v e r g e n c e ，a n dt h e r e f o r ea r ec a l l e d “f a s ts o l v e r s ”t h e s em e t h o d sc a nb e d i v i d e di n t oo v e r l a p p i n ga n dn o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sa c c o r d m g t oi ft h e r ei so rn oo v e r l a p p i n gb e t w e e nt h es u b - d o m a i n s t h em e t h o dw e p r o p o s e d b d o n 擎t on o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s f o rt h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e mw i t han o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a - t o r ，b a s e do ni t se q u i v a l e n tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , w ew i l lc o n s t r u c ta n o n o v e r l a p p i n g d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d t h em e t h o dc a nb er e g a r d e da sa ne x t e n s i o nf o rt h e t h ed i s c u s s i o n sr e l a t i n gt ot h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e m sw i t hal i n e a re l l i p t i c p a r t i a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r t h ea r t i c l ec o n c l u d e st h e f o l l o w i n g ： f i r s t l yi nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c e dt h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ff r e eb o u n d a r y p r o b l e n l sa n dt h ed e v e l o p m e n to fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s f o rt h ef r e eb o u n d - a r yp r o b l e mw ec o n s i d e r e d ，w ep r e s e n ti t se q u i v a l e n tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yf o r m a s ab a s e m e n t ，s o m er e s u l t sf o rt h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e mw i t hal i n e a re l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra r ea l s om e n t i o n e df o rc o m p l e t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ep r o p o s ea n o n o v e r l a p p i n gd o m m nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o r t h en o n l i n e a rp r o b l e ma n de s t a b l i s hi t sc o n v e r g e n c et h e o r e m l a s t l yi nc h a p t e rt r e e ，w ei l l u s t r a t es o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t st oi n v e s t i g a t e t h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d sa n d v e l i f yt h ec o n v e r g e n tt h e o r e t i c a lr e s u l tw eo b t a i n s i n t h et e s t s ，am i c h a e l i s - m e n t e nr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o ni nt w od i m e n s i o nw i t ht i m e d e l a yi sc o n c l u d e d i i 、 硕士学位论文 k e yw o r d s ：f r e eb o u n d a r y ；n o n l i n e a r ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；n o n - o v e r l a p p i n g d o m a i nd e c o m p o s i t i o n i i i 硕十学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 问题的背景1 1 2 预备知识2 1 3 源于自由边界问题线性的变分不等式的成果6 1 4 本文的主要工作8 第2 章非重叠区域分解法求解问题1 0 2 1 两子区域分解1 0 2 2 算法的建立1 2 2 3 算法的收敛性1 3 第3 章数值试验2 0 3 1 孤立的三维气泡问题的数值模拟2 0 3 2 时滞m i c h a e l i s - m e n t e n 反应扩散方程问题2 3 结论3 1 参考文献3 3 致谤 3 7 i v 硕士学位论文 1 1 背景 第1 章绪论 区域分解算法是上个世纪8 0 年代崛起的新型算法此算法的前身是s c h w a r z 交 替算法s c h w a r z 交替算法早在一百五十年以前，在讨论非规则区域上的椭圆型偏 微分方程边值问题的解的存在性和唯一性时由s c h w a r z 提出【1 1 但由于计算工具 的相对滞后，s c h w a r z 交替算法在数值上的巨大优越性一直不为人知，直到并行计 算机的出现随着大规模科学与工程计算对高效率计算需求的日益增强以及计算 机科学与技术的飞跃发展，特别是并行技术的发展，s c h w a r z 交替算法本身特有的 能将大型问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题等性质，使得它 在现代科学与工程计算中越来越突出地发挥着它的作用自上世纪中叶以来，已经 由s c h w a r z 交替方法派生出许许多多的适用于大规模问题数值计算的数值计算方 法这类算法统称为区域分解算法区域分解算法和多重网格算法一样具有与剖分 网格无关的收敛速度故而被称为快速求解器并日益受到计算数学工作者以及工程 师和技术人员的青睐时至今日，区域分解算法作为集并行算法、预处理技术、多 网格多水平技术、快速算法为一体，已成为9 0 年代后乃至当今计算数学的热门研究 领域【2 - 1 5 1 在将求解区域进行分解时根据子区域是否有重叠的情况，可将区域分解法分 为两大类：一类是重叠型区域分解法( 女i s c h w a r z 交替算法、加性s c h w a r z 算法与 乘性s c h w a r z 算法等) ，另一类是非重叠型区域分解法( 子结构方法中的d n 交替法 和n n 法等) 重叠型区域分解算法以s c h w a r z 交替法为理论依据上个世纪三十年代苏联数 学家基于变分原理阐述了s c h w a r z 算法，并推广到弹性力学问题上，但真正认识到 s c h w a r z 算法在数值分析的巨大数值潜力已经是上世纪6 0 年代以后的事了正是由 于s c h w a r z 算法可以把复杂区域分解为若干个相互重叠的子区域，而在子区域( 如果 能够分解为规则子区域的话) 上则可以用快速算法求解，因此随着快速直接法的发 展，这类区域分解技术引起了人们的广泛的关注和研究兴趣期间，可参见w e r n e r ， m i l l e r 和m i t c h e l l 等人做的许多杰出的研究工作，如算法的构建、算法的数值分 析以及算法的收敛性分析和收敛速度估计等然而，s c h w a r z 算法真正令人注目的 发展还是始于上世纪的8 0 年代，而促进这个巨大发展的是并行计算技术的兴起对 s c h w a r z 方法作m 全新解释当归功于p l l i o n s ，他在第一届区域分解算法国际学术 会议上首次利用变分解释巧妙地把s c h w a r z 方法与投影方法联系起来，从而使得那 些看来复杂的收敛性证明简化为对投影算子的估计紧接着在第二届区域分解算 一1 一 一类非线性变分不等式的非重叠区域分解算法 法国际学术会议上p l l i o n s 又提出把位势理论、布朗运动和s c h w a r z 交替方法联 系起来【1 6 l ，【1 7 l ，这种多学科间的渗透引起了各个工程领域和计算数学界广泛而持久 的研究兴趣总而言之，以s c h w a r z 算法为基础的重叠型区域分解算法目前正由于 p l l i o n s 的卓越贡献使得人们对它有了完全新的认识和理解，并成为构造新型算 法的理论依据如多子域乘性和加性s c h w a r z 算法的产生及其收敛性分析和收敛速 度估计等在通常的意义下，乘性s c h w a r z 算法是串行结构的而加性s c h w a r z 算法是 并行结构的但是对于乘性算法，人们仍然可以通过适当对区域进行分解，使得在 子问题的计算过程中，可以并行处理 非重叠区域分解方法可参见文献【2 】，【8 】，【1 3 】，该方法的基本思想来自于工程中 早已运用的子结构法在子结构方法中，有限元刚度矩阵按子结构分解成块结构形 状并使用g a u s s 块消去法就导出容度方程非重叠区域分解法，例如d n 交替方 法( 又称d i r i c h l e t n e u m a n n 交替法) ，其原理是通过相邻子域共用交界面上的连续 性条件作为传输条件因为如果再像古典s c h w a r z 算法那样用d i r i c h l e t 边界条件作 为传输条件的话，迭代解在子域的公共边界上将不会产生更新，从而迭代解不会更 新，也即算法不会收敛到问题的精确解【1 8 1 1 8 变分不等式广泛应用于阐述与研究机械，工程，物理，金融，最优控制的数学模 型以及交通运输中出现的各种平衡模型因此，研究其快速数值解法有着重要的理 论意义和应用价值本文针对一类非线性变分不等式问题，讨论其非重叠区域分解 法这类变分不等式问题可来源于自由边界问题换句话说，该问题在某一个区域 内满足一个非线性偏微分方程，而此区域存在一部分待定的边界，即所谓的自由边 界如果不存在自由边界，在求解区域上问题满足一个偏微分方程，即问题可归结 为一个偏微分方程边值问题的求解然而当存在自由边界时，虽然已知在求解区域 的一部分区域上满足方程，其余部分解为给定值但由于无法预先知道自由边界的 位置，该问题是一个非线性很强的问题，即使微分算子是线性的自由边界问题在 整个定解区域上满足一个变分不等式而非等式它广泛应用于渗流力学、等离子 物理、塑性力学、射流等学科领域，有着广阔的实际应用背景，如水坝以及油井中 的渗流问题等等【9 一捌因此，这类问题的区域分解算法的研究是一项十分有意义 的工作 1 2预备知识 在讨论本文涉及的问题之前，首先给出一些预备知识 1 特殊记号 对于舻中的区域和函数集合，本文采用如下通用的些记号： 对于区域q ，r = a q 表示区域q 的边界我们还采用s o b o l e v 空间中的惯用 一2 一 硕士学位论文 符号例如，i i i i m , l 。, f i 表示定义在区域q 上的s o b o l e v 空间w m p ( q 中的范数： n _ ( 三上j l 型o x i 附p ， t 0 满足 ( a ( u ) 一a 0 ) ，u 一钞) c o l l u v i i 2 ，v u ，秽v 则称算子a ：v 叫y 是强单调的；如果存在一个常数m 0 满足 a ( u ) 一a ( v ) l i m l l u 一 i l ，v u ，口v 则称算子a 是l i p s c h i t z 连续的 引理1 2 1 【2 3 l ，【2 4 1设y 是一个实的h i l b e r t 空间，kcy 是非空的闭凸子 集假设算子a ：v _ y 是强单调的和l i p s c h i t z 连续的，则对任意的- 厂v ，变 分不等式 钆k ， ( a ( u ) ，口一心) ( ，秽一让) ， 讹k 存在唯一解钆k ，这个解l i p s c h i t z 连续地依赖于，换言之，如果u 1 和u 2 满足变 分不等式 2 正i k ， ( a ) ，口一) ( 五，| ，一) ，协k ， i = 1 ，2 一3 一 一类非线性变分不等式的非重叠区域分解算法 则 i i 牡1 一抛0 c i i 一，2 0 ， 其中c 为某正常数 3 自由边界问题及其等价的非线性变分形式 在本文中，非线性算子对应的自由边界问题如以下形式给出： a u + i ( u ，z ) = 0 ， ( 1 1 ) 其中u 为关于向量z 的函数，z = ( x l ，x 2 ) qcd ，d 为砰上的凸闭集，关于让 的偏导数恒大于或等于零 边界条件为第一、二类边界条件，即 o u i a o n d ：0 0n a o n d 2 和 u i a d a q = a ( x l ，x 2 ) ， 其中 a qndcd 为自由边界，a ( x z ，x 2 ) 0 为已知函数 对于问题( 1 1 ) ，它的等价变分形式为【2 4 】，【2 5 l ：求u k ，使得 ( a ( u ) ，v u ) 0 ， v v k ， ( 1 2 ) 其中 ( 徘) ，口) = 上( v u w v + m ，咖) 如， k = u h 1 ( d ) l u = 9 ( x ) o no d ，钍0i nd ) 已知函数，关于“的偏导数恒大于或等于零 一般情况下这里定义的变分形式中，( a ，) 显然为非线性的形式但是当厂为牡 的线性函数时，( a ( 乱) ，口) 退化为一个双线性型和一个线性泛函的和，即 ( a ( 钆) ，秒) = 厶( v u v v + ( o t u + p ) 口) 如 = l d v u v v + l d a u v d x j rl d 8 如 = a ( u ， ) + ( 7 ，秽) ， 其中 。( u ，可) = d v u v v + 上及u 础， 一4 一 硕士学位论文 ( 掣) = 上触出 这里，( u ，写) = q t + 卢，q 0 对于如上定义的非线性算子a 即 ( a u ，口) 垒( v u v v + ( u ，z ) t ，) d z j d 那么，不难算出 ( a ( u ) 一a ( 移) ，u t ，) = ( a ( u ) ，u ) 一( a ( t ) ，钉) 一( a ) ，也) 一( a ( u ) ，口) = 上v ( 让一秒) v ( 钆一 ) 如+ 上( ，( 让，z ) 一，( 口，z ) ) ( 钍一移) 如 = fv ( 牡一秽) v ( u 一钞) 如+ v 丘( ，z ) 上( 让一口) 2 出 v ( 札一v ) v ( u 一钳) c o 一 1 1 2 其中c 0 为某正常数这里，我们用到了u 一口明( d ) 以及p o i n c a r e 不等式 c o l l v l l ，砩( d ) 故由定义1 2 1 知a 为强单调的 此外，不难算出， 这里 因此有： ( a ( u ) 一a ( 秒) ，缸一移) = fv ( u u ) v ( “一口) 如+ v 厶( ，z ) 上( 让一钞) 2 如 m a x 1 ，v ) f f 仳一秽1 1 2 全i l l u 一训1 2 m 全m a x 1 ，v 九) i a ( u ) 一a ( v ) l l m l l u 一训1 故由定义1 2 1 ，a 为l i p s c h i t z 连续的因此根据引理1 2 1 ，知变分不等式问题( 1 2 的解是存在唯一的 一5 一 一类非线性变分不等式的非重叠区域分解算法 1 3 源于自由边界问题的线性变分不等式的成果 1 源于自由边界问题的线性变分不等式的非重叠区域分解法 如果在问题( 1 1 ) 中，令 s ( v ，x ) = c ( z ) 可( z ) 一r ( z ) ， 则问题退化为如下的线性算子情形的自由边界问题在文献【2 5 】中，j i a n gb i n 等讨论 了这类问题的一类非重叠区域分解算法此时，自由边界问题为求开域q 2cd 2 以 及u ( x ) h 2 ( d ) 使得 一a u - t - c ( z ) 牡= 7 ( z ) ，v z q = d 1 u a 2 u r o ( 1 3 ) 这里dcr 2 为开域，且d = d 1ur ou 现，d 1 ，跳均为开域且d 1nd 2 = 0 ，如 图1 1 所示 | d _ 一珐 | 1 l l 、i ， 卜叱 d i l q 2 l 图1 1 求解区域d 的两子区域非重叠分解 此外，在整个区域d 内，解u 满足如下互补条件 而且， ( 一a u + c c x ) u r c z ) ) 让( z ) = 0 ， 缸0 ， 一钆+ c ( x ) u 一7 ( z )0 ，x d ， u = 9 ( z ) ，z o d d 2 一q 2 = z di 乱( z ) = o ) ， 6 一 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其中各参数满足如下关系： c ( x ) 0 ，c ( x ) c a ( _ ) ， r ( x ) c n ( 万) ， 夕( z ) c 恤+ 2 ( 面) ，0 0 ，u 2 = 0 ， 一1 5 图2 3 不可能的情况 e 墅= 乱呈一u 2 0 又虿i a b 0 ，虿i b g 0 ，虿l a c = 0 ，及 r a i n 虿i d a 口c = 0 = 虿l a c 婴 o 肌觚 另一方面，由于钍2 为原问题的解，劢为满足钆2 = 0 的区域，那么： 尝i a c ：0 丽i a c2 - 同时，虿为自由边界嘧的解，劢为其部分边界必满足： 婴i a c ：0 丽i a c 2 因此，在a c 上有 婴：婴一娑：o 一= = a na na 佗 一 矛盾! 根据( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，等价性得证 此时由于u 2 鲍，故在( 2 8 ) 中可令口= 钆2 ，有： a 2 ( 扎，e ；) 一a 2 ( u 2 ，e 墨) 】4 - e 獬如万e d s ， 一 ，- j r ot ，f o 即 ( e 一虿) e ；d s a 2 ( z t 2 ，e ；) 一a 2 ( u ；，e ；) = 一 n 2 ( 乱；，e 写) 一a 2 ( z t 2 ，e 墨) 】( 2 1 4 ) 硕士学位论文 由于 图2 4 自由边值问题的真解和数值解 最后，将( 2 7 ) 与( 2 1 4 ) 式代入( 2 6 ) 后有： | i 尹嵫 i l 矿i i 至。一4 a l ( u ，e n l ) 一a l ( u ，e t ) j 一4 a 2 ( 乱；，e ；) 一0 2 ( t t 2 ，e ) 】 = i i 矿嵫一 4 上，v e 7 v e 出+ 上，( m 扣) 一m ，膀叫 一4 上：v e 墨v e 如+ 厶( ，( 仳；，z ) 一，( “2 ，z ) ) e ；捌 j l 矿嵫一4 ( v e ? v e ? 如+ v 匆v e 如) j d xj d 2 4 m i n ( v f l ，v f 2 4 7 e ? 如+ 4 n e 2 n f 2 ) ( j 如) 一4 m n ，de ? e ? 如+ j d n e 2 n 如) 利用p o i n c a r e 不等式，有 夕t l + 1 l i 矿悒： 矿嵫 2 l 2 v = m i n f u ；( ，z ) 0 ，i = 1 ，2 ， 一4 c ( y e w 4 + e ? e ? ) + ( v e r y e n 2 + e 2 n e 墨) 】 jd ljd 2 一4 c ( 1 1 4 1 1 2 + i l e j 1 2 ) ， 其中c 为某正常数由于 | | 歹干t l l 2 单调递减且 c ( 1 l e ? j 1 2 - fi 揭| 1 2 ) 0 ， 0 i i 歹丽l i 至。l l 矿i i i 。全m 一1 7 一 0 ，气泡所受压力应该满足偏微分方程： 钍= 0 其中为l a p l a c e 算子此外在边界a q 上，应该有： 1 饥+ 去i v 乱j 2 = ，( 亡) ， - 其中y ( t ) 是已知函数由于q t 是根据时间的变化而变化的，那么边界a q 。是未知的 边界，即为自由边界 为了使解是适定的，在这里，在自由边界a q 。上再给出一个补充条件： v 、，钆v 、，圣= 一圣t 圣= 0 v 一2 0 当只考虑一维的情况时，即求在任何时刻t 0 的气泡所受压力牡( z ，t ) 以及自由边 界z = s ( t ) ( 或者是气泡所占的区域q t ) 的问题便转化为如下的问题( 下面还赋予 了一定的初始，边界条件) ： 正( z ，t ) = 0 ，0 z o ， s ( o ) 一4 ， u ( x ，0 ) = 0 关于该问题解的存在唯一性已在文献【4 0 】中给出不难验证，该问题的精确解 可表示为 钍= ( 2 x + 1 ) 亡， 自由边界为 z = s ( t ) = 4 一t 2 取0 t l ，考虑d = ( 0 ，4 ) x ( 0 ，1 ) 时，可对区域做如下分解d = d 1u f oud 2 ， 其中 f o = z = 2 ) ，d 1 = ( 0 ，1 ) ( 0 ，2 ) ，d 2 = ( 0 ，1 ) ( 2 ，4 ) ， q = o 0i nd 1 满足： 且边界条件为： - - a u l + 厂( z ，y ，乜1 ) = 0 鬻仙铷 在r o 上； 百o u l ：0 在边界可：0 和z ：1 上； c ，几 札( 0 ，y ) = 可( 1 一y )在边界x = 0 上 子问题2 ：求 u 2 ，q 2 ) ，使得札2 恐= iv h 1 ( d 2 ) ，可0i nd 2 满足： 一札2 + 厂( z ，y ，? 2 2 ) = 0 i nd 2 ； 一2 4 硕士学位论文 类似有边值条件： 塑+ u 2 ： 在r o 上；on + u 22 9 2征j 1 0 上； 尝：o 在边界y ：1 和z ：1 上； 几 乱( o ，y ) = y ( 1 一y ) 利用r o b i n 边界条件，在r o 上，令 g l = 2 u 2 一夕2 ， 在边界z = 0 上 9 222 u l 一夕1 重复做子问题1 和子问题2 直到地( i = 1 ，2 ) 最近两次迭代值误差不超过e 对于数值求解问题1 和问题2 ，在内节点上离散后的迭代格式为： 边界点上则有： 一面1虬一1+(壶+2j+丽ui,j1,j a x i u i + 1 , j - 砑y 2 ) u i , 一丕：石让i 一 一 + 【五万+j + 丁瓦 一瓦去乱i j 一1 1 - 砑，+ 1 8 一o 5 ) 2 ：o 一砑j 一1 一y 2 1 q , j + 1 一苎( y j