（计算数学专业论文）两类具有年龄分布的非线性种群系统的最优控制.pdf

两类具有年龄分布的非线性种群系统的最优控制 摘要 生物种群作为一种可再生资源，除了对人们的生活产生直接的经济价值外，还具有 极其重要的生态环境价值因此，对生物资源的开发，必须以经济、生态效益为中心，将 利用率控制在其再生力以内，使得生物资源得以保护和增值，从而达到对其可持续利用 的目的 近些年来，人们越来越关注具有年龄结构和空间扩散的时变种群动力系统的最优控 制问题本文在泛函分析和最优控制理论的基础上，主要研究具状态观测的单种群系统的 最优控制问题依据内容，本文分为三个部分： 第一部分是前言，它主要介绍了本文选题的背景，意义和种群系统的模型，研究现状 以及一些预备知识 第二部分讨论了一类具有年龄分布的非线性种群系统的最优控制问题用特征线法 表示出偏微分方程的形式解，利用e k e l a n d 变分原理，g r o n w a l l 引理和共轭系统证明了最 优控制的存在性，并借助于法锥概念得到了最优控制的必要性条件 第三部分讨论了一类非线性种群扩散系统的最优收获问题根据预备知识，利用紧 性定理和先验估计，证明了系统最优控制的存在性由法锥概念得到了控制问题的最优必 要条件 关键词最优控制，种群系统，年龄结构，空间扩散，必要条件，共轭系统 t h eo p t i m a lc o n t r o lf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a ra g e - d e p e n d e n t p o p u l a t i o ns y s t e m a b s t r a c t a sar e n e w a b l er e s o u r c e s ，t h ep o p u l a t i o nd y n a m i c sn o to n l yh a v ead i r e c te c o n o m i cv a l u eo n p e o p l e sl i v e s ，b u ta l s oh a v ea ne x t r e m e l yi m p o r t a n tv a l u eo fe c o l o g i c a le n v i r o n m e n t t h e r e f o r e ， f o rt h ed e v e l o p m e n to fp o p u l a t i o nr e ：s o u r c e s ，i tm u s tb ec e n t e r e do ne c o n o m i c sa n de c o l o g i c a l b e n e f i t ，c o n t r o lt h eo p e r a t i n gf a c t o rw i t h i nr e n e w a b l ep o w e r ，s oa st om a k ep o p u l a t i o nr e s o u r c e s b ep r o t e c t e da n dp r o l i f e r a t e da n dt h e na c h i e v ei t sp u r p o s eo fs u s t a i n a b l eu s e r e c e n t l yp e o p l ef o c u so nt h ec o n t r o lp r o b l e mo ft i m e - v a r i n gp o p u l a t i o nd y n a m i c sw i t ha g e - d e p e n d e n ta n ds p a t i a ld i f f u s i o n o nt h eb a s i so ft h ef u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h eo p t i m a lc o n t r o l t h e o r i e s ，t h i sp a p e rc o n s i d e r st h eo p t i m a lc o n t r o lf o ras i n g l ep o p u l a t i o nd y n a m i c s a c c o r d i n g t ot h ec o n t e n t s ，t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eg i v et h ep r e f a c e i ti n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d ，t h ep r e s e n ts t u d y i n g o fp o p u l a t i o nd y n a m i c sa th o m ea n da b r o a da n dt h ep r e p a r a t i v et h e o r i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r t h ep r o b l e mo ft h eo p t i m a lc o n t r o lf o rac l a s so fn o n - l i n e a rp o p u l a r t i o nd y n a m i c ss y s t e mw i t ha g e - d e p e n d e n ti sd i s c u s s e d t h ef o r m a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sg i v e no nc h a r a c t e r i s t i cl i n e ，t h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a lc o n t r o li sp r o v e nb yu s i n g e k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，g r o n w a l ll e m m aa n da d j o i n ts y s t e m ，t h e nt h en e c e s s a r yc o n d i - t i o no fo p t i m a l i t yi so b t a i n e db ym e a n so ft h ec o n c e p t i o no fn o r m a lc o n e i nt h et h i r dc h a p t e r i ti sa b o u tt h eo p t i m a lc o n t r o lf o rac l a s so fn o n l i n e a rp o p u l a t i o n s y s t e mw i t hd i f f u s i o n t h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a lc o n t r o lf o rt h es y s t e mi sd e m o n s t r a t e dv i a c o m p a c t n e s st h e o r e ma n dp r i o re s t i m a t e s t h e nt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mi so b t a i n e db yt h ec o n c e p t i o no fn o r m a lc o n e k e yw o r d so p t i m a lc o n t r o l ，p o p u l a t i o ns y s t e m ，a g e - s t r u c t u r e ，s p a t i a ld i f f u s i o n ，n e c e s s a r y c o n d i t i o n ，a d j o i n ts y s t e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫盗竖整盘堂或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：赵鲣日期： 学位论文版权使用授权书 必绷如 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：叁夔盛导师签名： 第一章前言 1 1 选题背景和意义 在生态学中，所谓种群，就是在一特定时间内，占据一定空间的同一物种的个体的集 合种群作为一种可再生资源，本身具有自然再生力，但能否可持续利用在很大程度上取 决于人类的利用程度是否超过自然再生力阈值 当前存在着的问题是：缺乏科学指导下的宏观调控，对鱼类的过量捕捞，对森林的过 度砍伐和大面积的围湖造田导致资源枯竭和生态环境破坏，各行业相互争夺，造成生物资 源正在迅速丧失，这严重违背了可持续发展战略 紧迫的现实让我们必须以经济、生态效益为中心，依靠科技、政策和法规的作用，强 化生物资源的开发和环境的综合管理将利用率控制在其再生力以内，使得生物资源得以 保护和增值，从而达到对其可持续利用的目的而这种利用程度的确定和控制不仅需要有 关生物、经济知识，更需要利用现代科学的一切手段，包括数学知识种群系统的最优控 制是控制理论在生物种群上的应用从理论上讲，施加于种群系统的控制作用，在于影响 系统的行为，以达到某种预定的目标当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小 ( 或最大) 时，就是最优控制问题显然人们设计控制系统总希望它达某种最优的性能例 如我们从事某项工作时，总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益，采取 何种手段来达到这样的目的就是我们要研究的最优控制问题用数学模型的方法对种群 系统进行研究，不仅能够揭示种群发展的动态，预测它的未来，还能使人们采取有效的措 施对其进行控制，使其向着人们期想的状态发展，而且在生态平衡的前提下，根据生态学 和生物学的原则建立更合理的性能指标，选择合适的收获努力量值使收益最大化，这是具 有现实意义和应用价值的 1 2 种群系统模型及其研究现状 用动力学的方法研究种群生态学称为种群动力学种群动力学主要研究种群个体数 量和结构的变化规律，其研究起始于十八世纪后期1 7 9 8 年，英国神父t r m a l t h u s 在他 的专著里，首次提出著名的m a l t h u s 人口模型【l 】 并指出人口按几何级数增长1 8 3 8 年， p f v e r h u l s t 改进了m a l t h u s 模型，他提出著名的l o g i s t i c 模型【2 】上面两个模型均未考虑 到种群个体的年龄因素1 9 1 1 年，s h a r p 和l o t k a 考虑到对于不同年龄的种群的个体，将 有不同的生育率和死亡率，于是按年龄区别来改进m a l t h u s 人口模型而得到s h a r p - l o t k a - m c k e n d r i c k 年龄结构线性模型【3 1 ： 1 f 象+ 凳一小) u ( 蚺 口 叭 0 ， i 仳( o ，t ) = p ( 口) t ( 口，t ) d a ， i 加 【u ( o ，0 ) = t o ( o ) 由此一系列关于生物数学模型的研究工作都应运而生 人类的生存环境状况越来越不容乐观，乱捕乱伐破坏了种群食物链结构，致使某些种 群灭绝因此，对种群系统的研究已是刻不容缓，生物种群系统的最优控制在这种情况下 异军突起1 9 6 6 年l e f k o w i t c h 首先分析了个具有离散年龄结构的种群模型的最优收获 控制问题【4 1 1 9 7 4 ，m e g u r t i n 与r c m a r c a m y 提出著名的g u r t i n - m a c c a m y 模型他们研 究了具有年龄结构的非线性种群动力学系统 1 9 8 0 年，c r o r r e s 和w f a i r 开始讨论具有连续年龄结构的收获问题 6 】但他们假设 控制策略与时间无关，只与年龄有关1 9 8 5 年德国学者b r o k a t e 研究了一个比较一般的具 有年龄结构的种群动力系统的最优控制 s l ，证明了控制问题的p o n t r y a g i n 8 极大值原理： f tf o o m a x m i z e 札( ) p ( n ，t ) d a d t ，0 u ( t ) - 其中p ( a ，t ) 是系统 掣+ 掣+ 小 p ( 啪p ( n 一州加( n = o ， p ( o ，t ) = 卢( n ，p ( t ) ) p ( 口，t ) d a ， p ( a ，0 ) = p o ( a ) ， p ( ) = p ( 口，t ) d a 的解接着又研究了具有连续年龄结构的最优收获问题 1 9 9 0 年，l f m u r p h y 和s j s m i t h 讨论了下列最优收获问题【1 2 】： 其中r 0 为贴现率，h ( a ，t ) 为收获率，耖( 口) 为给定的价值函数此文利用将偏微分系统转 化为常微分系统的方法考虑了该种群系统的最优收获问题随后他们又研究了非限制性 非线性系统的最优收获问题 1 9 9 7 年，李淑锦分析了一类最优收获问题解的存在性【1 4 1 ，同年b u s o n i 和m a t u c c i 考 2 椭 舻 蚴 心 从 + 心 d m “掣卜琳 | | | i = 卜= 焉州 虑了个具有两阶段年龄结构的种群收获问题【1 5 1 罗马尼亚学者s e b a s t i a na n i t a 在1 9 9 8 年分别讨论了线性时变周期种群系统和一类非线性种群系统解的存在唯一性和最优收获 的存在唯一性 1 6 1 一【1 7 1 ，并给出了最优性条件在2 0 0 0 年出版了具有年龄结构的种群动力 系统的控制与分析方面的第一本专著 1 s l ，获得了很多重要的研究成果 2 0 0 1 年，陈任昭，李健全，付军利用抛物偏微分方程的有关理论和延滞法，证明了一类 与年龄相关和空间扩散的非线性时变种群扩散方程广义解的存在性问题矧： d p ( r ，t ，z ) 一k a p + | c 。( r t ，z ) + p 。( r ，z ，s ( t ，z ) ) p ( r ，z ) = 0 ， f a p ( o ，t ，z ) = 卢( r ，t ，z ；s ( t ，z ) ) p ( r ，t ，x ) d r , _ ，o p ( r ，0 ，z ) = p 0 ( r ，z ) ， p ( r ，t ，z ) = 0 ，e = e a q ， ，a s c t ，z ) = t ，( 7 - ，t ，z ) p ( r ，t ，x ) d r 2 0 0 2 年，陈任昭，李健全利用非线性抛物型偏微分方程的有关理论和比较原理，进一 步证明了上述系统广义解的唯性酬，为进一步讨论该系统的最优控制等问题提供了必 要的理论依据本文第三部分就是在此基础上给出性能指标，继续讨论该系统最优控制的 存在性和最优性条件 2 0 0 3 年，何泽荣，王绵森研究了具有年龄结构和迁移的非线性种群的最优生育控制问 题【2 8 4 ： ，t ，a1 m i n i m i z e f 去刖2 ( 口，t ) + p ( n ，t ) d a d t ， - ，0，0 其中p 是大于零的常数( 牡( o ，t ) ，p c a ，t ) ) 满足下列系统： 生o t + 关+ 似n ) p + p ( p c 啪p = ，( n 一， ，a v ( o ，t ) = t ( n ，t p ( n ，t ) p c a ，t ) d a ， p ( a ，0 ) = v o ( a ) ， ，j 4 p ( t ) = p ( 口，t ) d a 利用e k e l a n d 变分原理证明了最优控制的存在唯一性，给出了一阶最优性条件，讨论了最 优反馈的公式，所得结论推广了已有文献中的一个结果 赵春，王绵森，何泽荣，赵平在2 0 0 4 年研究了一类周期种群系统的适定性及最优控制 问题 3 2 1 ： m i n i m i z e 阻( n ，) 矿( n ，) + 去弘2 ( n ，t ) l d 8 d t ， 3 其中( u ( 口，) ，矿( n ，) ) 满足下列系统： 囊+ 关+ ( 口) + p ( 8 ，p ( t ) ) 】p ( 叫) ；m ，t ) ， p ( o ，t ) = p ( 口，p ( t ) ) p ( n ，t ) d a ， p ( a ，0 ) = v ( a ，t + t ) ， ，a p ( t ) = t l ( d ，t ) v ( a ，t ) d a 利用压缩不动点原理讨论了该种群系统的周期解的存在唯一性，并用变分法给出了最优 控制所满足的必要条件在2 0 0 5 年又研究了一类非线性时变种群扩散系统的适定性及最 优收获问题： m 砒e z t z a 上附砌( d 纰) 一三姐) 】d 础如， 其中( u ( a ，t ，z ) ，p ( o ，t ，z ) ) 是下面系统的解： d p k a p + p ( 口，t ，z ，p ( t ，z ) ) p = 一u p ， ，o + p ( o ，t ，z ) = p ( n ，t ，z ) p ( n ，t ，x ) d a ， ，0 p ( a ，0 ，z ) = p o ( a ，z ) ， v ( a ，t ，z ) = 0 ， e = 0 a q ， ，口+ p ( t ，z ) = v ( a ，x ) d a 借助不动点原理确立了系统的适定性，证明了最优解的存在性，导出了最优性条件 2 0 0 6 年，何泽荣，朱广田研究了带权的种群系统的最优收获问题【4 1 l ： m 一讥z t , 石o a 9 ( a t ) 讹 t ) p ( a t ) d 础， 其中函数9 ( n ，t ) l i ( q ) 表示个体的经济价值，( u ( a ，t ) ，v ( a ，t ) ) 满足下列系统： 掣+ 掣+ p ( 。t 踯) ) p ( 叫) 州叫) p ( 口一= o ， v ( o ，t ) = j ( p ( 口，t ，s ( t ) ) p ( 口，t ) d a ， v ( a ，0 ) = p o ( 口) ， t a s ( t ) = w ( a ，t ) p ( 口，t ) d a ， 利用不动点原理确立了系统的适定性，应用极大化序列和紧性证明了最优解的存在性，并 导出了最优性条件本文第二部分就是在此模型基础上变化而得到的，是对已有研究成果 4 的推厂 2 0 0 8 年，王战平，赵春讨论了一类周期种群系统的稳定性和最优控制问题【鹞】： m 址妇；z ez t o a 加( u ) 一魂1 2 d n d t ， 其中勿( n ，t ) 是人们追求的理想状态，p ( t i ) 是下面系统的解： f 掣+ 掣州n ，t ) p ( n 一_ ，( 叫) 叫n ) p 班“北q ， p ( 。，t ) = o 口+ p ( 口，) p ( 口，) d 口， t 冗， lp ( 口，t ) ：p ( n ，t + t ) ，( 口，t ) q 利用l y a p u n o v 函数，对系统的稳定性进行了分析，给出了系统稳定的充分条件并且利用 b a n a c h 空间理论，证明了最优收获控制的存在性和唯一性，并给出了最优控制所满足的必 要性条件 本文章综合运用多种方法，对具有年龄结构的非线性种群系统的最优控制问题进行 了分析讨论，分别得到了不带扩散和带扩散的种群系统的最优解的存在性和最优条件在 文章的第二部分讨论了一类具有年龄分布的非线性种群系统的最优控制问题用特征线 法表示出偏微分方程的形式解，利用e k e l a n d 变分原理，g r o n w a l l 引理和共轭系统证明了 最优控制的存在性，并借助于法锥概念得到了最优控制的必要性条件第三部分讨论了一 类非线性种群扩散系统的最优收获问题利用紧性定理和先验估计，证明了系统最优控制 的存在性由法锥概念得到了控制问题的最优必要条件 1 3 预备知识 定义1 1 【1 0 】设x 是b a n a c h 空间，函数妒：x _ 夏称为是下半连续的：如果它在任一 点z o x 上均满足 1 i m i n f ￥, ( x ) 妒( z o ) o + z 0 定义1 2 1 2 9 设t l k ( q ) ，对于给定的重指标口，函数 l k ( q ) 称为u 的q 阶弱 导数，如果对所有的妒c 矿( q ) 成立 上妒 a z = ( 一1 ) 陋l o u 。a z ， 定义1 3 1 8 正切锥与标准锥 设缸“= t ，l ( q ) ：7 1 ( a ) st ，( n ，) 恤( o ) ) 其中q = ( 0 ，a + ) ( 0 ，t ) 且 ，y l ( ) ，饱( ) 是给定的可测函数，使得7 1 ( a ) 他( n ) ，y ，a e 在( 0 ，a + ) 中 5 1 ) 凸集合“中的正切锥瓦似) 具有如下性质： 死似) ，当且仅当几乎处处在q 上 有， v ( a ，t ) 0 ，如u ( a ，t ) = 能( o ) 2 ) 标准锥( 即法锥) 帆似) 有如下性质：伽帆似) 当且仅当几乎处处在q 上有， w ( a ，t ) 0 ， 如u ( a ，t ) = 他( n ) ， w ( a ，t ) = 0 ，如7 l ( a ) 0 ，存在t 。z ，使得 f ( u e ) s ，( t ) ，d ( t c ，t ) 入， f ( x ) f ( u 。) 一a 一1 d ( t 。，t | ) ，v z x u 。) 引理1 6 ( 紧性定理) 设h i ( 0 ，t ；l 2 ( o ，a ；础( q ) ) ，l 2 ( o ，a ；l 一1 ( q ) ) ) 是p l 2 ( o ，t ；l 2 ( o ，a ； 础( q ) ) ) 且裳l 2 ( 0 ，t ；l 2 ( o ，a ；h 一1 ( n ) ) ) 的元素的集合，则从研( o ，t ；l 2 ( o ，a ；硪) ) ，l 2 ( o ，a ； l _ 1 ( q ) ) ) 到l 2 ( q ) 的线性映射是紧的 引理1 7 m 若切。 为h 1 中的有界集，则t 孙) 为l 2 ( q ) 中的列紧集 6 第二章一类具有年龄分布的非线性种群系统的最优控制 2 1引言 随着人口的增长和经济社会发展对我国资源需求的增长，越来越多的学者从事于对 生物种群动力系统最优控制的研究，以使之更好的为人类服务目前已获得了不少重要成 果文【3 2 】讨论了较为一般的一类周期种群系统的适定性及最优控制问题文【3 6 】研究了 一类特殊的种群系统的适定性及最优控制问题文【4 l 】研究了基于年龄分布和加权总规 模的种群系统的最优收获控制本文在【3 2 】的基础上讨论下列非线性种群系统的最优控 制问题： 生c o t + 关+ p ( 叫，户( 州，t ) = ，( 口，t ) ， p ( 。，t ) = o a p ( n ，t ，p ( t ) ) p ( 口，t ) d 口， p ( o ，0 ) = p o c k ) ， 即) = z a t t ( n ) p ( ) d n ( a ，t ) q ， t ( 0 ，t ) ， ( 2 1 ) 口( 0 ，a ) ， t ( o ，t ) ， 其中q = ( 0 ，a ) ( o ，t ) ，固定常数a ，t 分别表示个体最高寿命和控制周期状态变量p ( n ，t ) 表示t 时刻年龄为a 的个体数量f ( a ，t ) 表示外界向种群生态环境的输入率u ( 口，t ) 是控制 变量，表示外界对种群的影响因子p ( n ，t ，z ) ，p ( n ，t ，z ) 分别表示个体的出生率和死亡率p o 为初始年龄分布 选取指标函数： ，( u ) = o t o ab 扩( 。，t ) ) + 列1 u ( n ，t ) | 2 】d 矾t ， 其中p 是大于零的常数 设! 生，西为常数，u u = t l ( q ) ：0 笪u ( a ，t ) 豇，v ( 口，t ) q ，称u 为允许 控制集 我们的目的是在u 中选取“+ 使得 ，( t + ) - m 。i u n ，( t ) ( 2 2 ) 为了讨论系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的最优控制问题，我们假设下列条件成立： ( h 1 ) 对任意的( a ，t ，z ) q 【0 ，+ o o ) ，p ( o ，t ，z ) o ；对任意的z 【0 ，+ ) ，p ( ，z ) l l ( 0 ，a ) 【0 ，卅) ，j p ( 口，t ，x ) d a = + o o ，且p 关于z 有二阶连续的偏导数，满足i 地l + i p 霉。i 尬； ( h 2 ) p ( ，z ) l ”( 国兄+ ) ，对任意：的( n ，t ，z ) q f 0 ，+ ) ，0 p ( 口，z ) m 1 ，且p 关 7 于z 有二阶连续的偏导数，满足i 忍i + i 厦船i 九； ( h 3 ) p ( n ，t ，) 单调不增，肛( n ，t ，) 单调不减； ( h 4 ) p o ( a ) l 。o ( o ，a ) ，对任意的口( 0 ，a ) ，p o ( a ) o ；，l ( q ) ，对任意的( n ，t ) q ，l ( a ，t ) 0 ； ( h 5 ) 9 ( z ) c ( r + ) ，且g 关于z 有二阶连续的偏导数，满足i 啦i + i 如z i m 2 ，其中m i ，m 2 均为常数 其中 定义2 1 所谓系统( 2 1 ) 的解是指函数p l ( o ，t ；l i ( o ，a ) ) 满足 象+ 关+ p ( 州，邱) ) p ( 州) 训8 一， ， 刚r , m ，p ( 叫+ ) 2 上f l ( a , t , p ( 咖( 州) d n ， 。l 。i m 0 + p ( a + e ，) 2 册( 口) ， p ( t ) = 0 au ( n ，t ) p ( n ，t ) 如， a e ( a ，t ) q ， a e t ( o ，t ) ， 口e a ( 0 ，a ) ， a e t ( 0 ，砷， d p ( 叫) _ 一l i m + 蜓型半型盟 2 2 基本引理 由文献【18 】知，下面定理成立 定理2 2 系统( 2 1 ) 存在唯一的非负解p ( a ，t ) 并且如果p o l 。( o ，a ) ，l ( q ) ，则 对于任意给定的t 阢p ( a ，；p ) l o o ( o ，t ；l 1 ( o ，a ) ) ，其解的表达式为 im f n n 竹f n t t ：p ) + l ( a s ，t s ) 7 r ( o ，t ，鼻：p ) d s n t x v 、- - - i k - - 7 - - 7 - - 7 - -， ， p a ；p 2 16(t一口；p)霄(口，a；)?厂口，(口-8，一s)丌(口-7，-s；i-7t ptt p ) d s ，n t ，l6 ( t 一口；p ) 7 r ( 口，a ；) + ，一s ) 7 r ( 口，s ； ，n ， 、 j o 其中 ，8 7 r ( 口，t ，s ；p ) = e 印 一! p ( n 一丁，t 一下，p ( t r ) ) d 7 - ) ，8 ( 0 ，m i n a ，毋) - ，o 坼；p ) = 耶p ) + z 。酢，妒) 6 ( t - s ；p ) d s ( 0 ，巩 这里 ， f ( 。；p ) 2 j o p ( 。+ 。，。，p ( ) ) p 0 ( n ) 丌( 口+ t ，。，。；p ) d n + 乃( 州州) z 酬“，( a - - s , t - - 8 m a , t , s ；p ) d s d 口 8 融 回 q 伫 q q x - ( ( t ，a ；p ) = 卢( n ，t ，p ( t ) ) 7 r ( n ，t ，n ；p ) 上述表达式中，函数p o ，p ，r 在其定义域外延拓为零 引理2 3 存在正的常数b l ，玩，使得对几乎所有的t ( o ，t ) ，有 ，t i f ( 句只) 一f ( 如易) i b l ( i p l ( t ) 一p 2 ( t ) l4 - j f1 只( s ) 一p 2 ( s ) l d s ) ， ，u 1 6 ( t ；p 1 ) i 玩， ，t i b ( t ；p 1 ) 一b ( t ；p 2 ) i b z ( i p i ( t ) 一p 2 ( t ) i4 - 1 只( 5 ) 一p 2 ( s ) l d s ) ，u 证明由( 2 4 ) ，( 2 6 ) 及假设( h 1 ) 一( h 4 ) 知 f ( t ；p 1 ) 一f ( t ；1 2 ) i i p ( 口+ t ，t ，p l ( t ) ) 一p ( n - i - t ，t ，p 2 ( t ) ) i v o ( a ) l r ( a + t ，；p 1 ) d a + p ( n + t ，t ，p 2 ( t ) ) p o ( a ) l t r ( a - t - t ，t ，岛p 1 ) 一丌( n - i - t ，t ，岛马) i d a + 上i p ( 口，2 ，p i ( 。) ) 一卢( 吼。，尼 ) ) lj o f ( a - s , t - s ) f m i n7 r ( n ，。，s ；p 1 ) d s d 口 ， 口，t ， f m m t a , t l + p ( o ，t ，p 2 c t ) ) ，( a 一8 ，t 一8 ) 1 7 f ( n ，t ，8 ；p 1 ) 一7 r ( a ，t ，s ； 2 ) l d s d a 当t ( a ，t ) 时，p ( 口4 - t ，t ，p ( t ) ) = 0 因此 【；m j t 【；灼j i 尬厂a i p i ( ) 一p 2 ( t ) l 厂d f ( a - s , t s ) d s d n j oj o + 舰2 o a o d ，( a - s , t - s ) f o 。1 只( 一r ) 一p 2 ( t 一下) m s d 口 尬l l f ( 口，。) 1 1 l t ( q ) ip 1 ( t ) 一b ( t ) i + m 1 2 i i f ( a , t ) l l l ( q , j o1 只( s ) 一岛( s ) l d 3 蝇l l f ( a , t ) i i l ，( q ) m a x 1 ，m 1 ( 1 e l ( 。) 一最( 。) l - - o 1 只( 3 ) 一忍( s ) i d s ) 当t f 0 ，a 1 时，有 f ( ；p 1 ) 一f ( t ；p 2 ) i m 1 i i p o ( n ) l i l ，( 。，a ) i p l ( ) 一b ( ) i + 蝇2 i l v o ( n ) 1 1 l ，( 。，a ) z 0 ti p l ( s ) 一恳( s ) l d s + m i l l f ( a , t ) l l l l ( 口) m 觚 l ，m d ( 1 e 1 ( 。) 一恳( 。) i + j o it1(ft s ) 一恳( s ) i d s ) 9 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) m l l l r o ( a ) l l l t ( o a ) m a x l ，m i ( 1 只( t ) 一尼( t ) i + 1 只( s ) 一恳( 3 ) i d s )。 ，0 + m l l l f ( a ，t ) i i l , ( q ) m a x 1 ，m x ( i p l c t ) 一p 2 ( t ) i + fl p l ( s ) 一p 2 c s ) l d s ) ，o m a x 1 ，m 1 m 1m a x l l f ( a , t ) l l l , c q ) ，i l p o ( n ) i l l l ( 。，a ) ) ( 1 只( ) 一p 2 ( t ) l + j o i t 1 ( 5 ) 一恳( s ) l d s ) = b l ( i p l ( t ) 一p 2 ( t ) i + 1 p l ( s ) 一p 2 ( s ) l d s ) ， ，0 其中 b i = m a x 1 ，m 1 m 1m a x l l f ( a ，t ) l l m ( q ) ，j i p o ( a ) l l l x ( o ，a ) ) 由( 2 5 ) 一( 2 7 ) 和假设条件( 风) 知 以；p 1 ) isi i f ( ；。) 1 1 l 。( 。，t ) + 舰z | 6 ( 3 ；p 1 ) i d s 由b e l l m a n 不等式，可得 1 6 ( ；且) lsl i f ( ；o ) i i l * ( o ，刃e x p t m , ：= 孔 由( 2 5 ) 一( 2 8 ) 知 6 ( ；只) 一6 ( 如岛) i l f ( ；只) 一f ( t ；忍) | + l k ( t ，粤；只) 一k ( t ，s ；p 2 ) l l b ( t s ；p 1 ) l d s + k ( t ，s ；p 2 ) l b ( t s ；t 1 ) 一b ( t 一3 ；b ) i d 8 b i ( 1 a ( t ) 一b ( 。) i + j o1 只( s ) 一p 2 ( s ) l d 3 ) + 尬7 1 1 7 r ( s ，t ，s ；只) 一7 r ( 3 ，t ，s ；p 2 ) l d s + 厂。l p ( 3 ，p l ( ) ) 一p ( s ，岛+ 尬厂。i t l tp 1 t ( t ) ) l d s 6 ( 3 ；只) 一6 ( s ；岛) i r i s j 0 j o + l p ( 3 ，) ) 一p ( s ，岛+ 尬6 ( 3 ；只) 一6 ( s ；岛 b i ( i p i ( t ) 一p 2 ( t ) i + i p l ( s ) 一p 2 ( s ) l d s ) + 舰2 噩z o h ) _ 踟- r ) 附d s + 矸尬t 1 只( ) 一p 2 ( t ) i + 尬1 6 ( s ；只) 一6 ( s ；p 2 ) l d s b 1 ( 1 只( t ) 一忍( 驯+ 上1 只( s ) 一易( s ) l d s ) + 尬2 乃t 上i t 1 只( s ) 一尼( 3 ) | d s ， + 丑尬t 1 只( t ) 一p 2 ( t ) i + m 1 1 6 ( 3 ；n ) 一6 ( s ；p ，) l d s 1 0 ( b 1 + t i m i t m a x l ，舰 ) ( i p l ( t ) 一p 2 c t ) i + ! 1 只o ) 一p 2 c s ) l d s ) + 尬厂2 i b c s ；毋) 一6 ( s ；p 2 ) l d s j 0 t t， = 死( 1 只( t ) 一p 2 ( t ) l - i - 1 只( s ) 一p 2 c s ) l d s ) + 舰i b ( s ；p 1 ) 一6 ( s ；p 2 ) l d s ， j 0j 0 其中t 2 = b 1 + m a x l ，尬) 噩尬z 利用g r o n w a l l 不等式得 1 6 ( t ；p 1 ) 一6 ( ；p 2 ) i b 2 ( i p , ( t ) 一p 2 ( t ) i + i p l ( s ) 一p 2 ( s ) l d s ) ， 其中 b 2 = m a x t l ，t 2 【1 + ( 1 + t ) 尬e x p m , t l 由上面引理，我们有下引理成立 引理2 4 存在正常数q ，伤，对任意的u ，t ，u ，下列不等式成立 l i f c a ，t ) 一f ( a ，t ) l l l ，( o ，a ) c , l l - ( - ，t ) 一t ，( 口，t ) l l l - ( q ) ，t ( o ，t ) ， ( 2 1 1 ) 0 矿( 口，t ) 一p va ，t ) i i l c q ) t c 2 1 1 u ( a ，t ) 一t ，( 口，t ) i i l * 。c q ) ( 2 1 2 ) 证明当t ( 0 ，a ) 时，由( 2 3 ) 一( 2 1 0 ) 知 f a o i f ( n ，t ) 一矿( n ，t ) l d n j o 扩( n ，。；) 一矿( 口，句p ) i d 口+ z i矿(n，tp)一pv(a,tra ；p ) l d d t ，cp t - - a b 2 ( 1 严( t 一口) 一p t ，( 一a ) l d a + i p t ( s ) 一p ”( s ) l d s ) d a ，o，0 + 尬小ih ；p ”) l f o 口州h ) _ p m 叫附d 口 + 尬z 2 o d ，( a - s , t - s ) 5 lp t ( t r ) 一p 一丁m 丁d s d 口 + 尬z a 册( 口一t , f o 。i p t ( t 一下) 一p ( 一下) j d 下d 口 + 尬z a z 2 ，( a - s , t - s ) f o 。l p ( 一力一p ( t r ) l d r d s d 口 ( f 琵- i - b 2 t + b 2 m i t + m l l l f ( a ，t ) l l z t ( 口) - i - m l l l p o ( a ) l l l - ( o ，a ) + m l l l f ( a ，t ) i i l , c q ) ) j 0 0 ti p “( s ) 一p ( s ) l d s ( b 2 + b 2 t + b 2 m i t + m i l l y ( a ，t ) i i l , c q ) - i - m l l l p o ( a ) l l l - ( o ，a ) + m l l l f ( a ，t ) i i l , c q ) ) 【z z ai t t ( n ，3 ) 一u ( a ，s ) i p u ( 口，s ) d 以s + z 。j o o av ( 口，s ) l 矿( n ，s ) 一矿( n ，s ) i d a d s 】 1 1 其中 ( 岛+ b 2 t + b 2 m i t + m f l l ( a ，t ) l l 二- ( 口) + m 10 p 0 ( o ) l l 工- ( o ，a ) + m l l l f c a ，t ) i i l - ( q ) ) o 多( d ，d | j l 。( q ) z tz ai u ( 口，d t ，( ，t ) l d a d t + 一，s ) 一矿( 口，s ) l l m ( o , a ) d s j o i l l (】 懒，吡峭) 上上u ( 口，t ) 一t ，( 则 ，s ) 一矿( 口，s 】 = 死悔( 口，圳i p ( 铆o t o ai u ( n ，t ) 一t ，( n ，驯d 口d t + 乃面z 。i i 矿( n ，s ) 一矿( 口，3 ) | b ( 。d s ， t 3 = 玩+ b 2 t + b 2 m i t + m l l l f ( ，t ) l l z l ( q )